Razdalja od točke do črte je kratka. Razdalja od točke do premice v ravnini in v prostoru: definicija in primeri iskanja

V tem članku bomo z vami začeli razpravo o eni "čarobni paličici", ki vam bo omogočila, da številne probleme v geometriji zmanjšate na preprosto aritmetiko. Ta "palica" vam lahko zelo olajša življenje, še posebej, če se počutite negotovi pri gradnji prostorskih figur, odsekov itd. Vse to zahteva določeno domišljijo in praktične spretnosti. Metoda, ki jo bomo začeli obravnavati tukaj, vam bo omogočila, da se skoraj popolnoma abstrahirate od vseh vrst geometrijskih konstrukcij in sklepanja. Metoda se imenuje "koordinatna metoda". V tem članku bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke in vektorji na ravnini
3. Sestavljanje vektorja iz dveh točk
4. Dolžina vektorja (razdalja med dvema točkama).
5. Sredinske koordinate
6. Točkovni produkt vektorjev
7. Kot med dvema vektorjema

Mislim, da ste že uganili, zakaj se koordinatna metoda tako imenuje? Res je, da je dobil tako ime, saj ne operira z geometrijskimi objekti, temveč z njihovimi numeričnimi značilnostmi (koordinatami). In sama transformacija, ki omogoča prehod iz geometrije v algebro, je sestavljena iz uvedbe koordinatnega sistema. Če je bila prvotna figura ravna, potem so koordinate dvodimenzionalne, če pa je figura tridimenzionalna, potem so koordinate tridimenzionalne. V tem članku bomo obravnavali le dvodimenzionalni primer. In glavni namen članka je naučiti se uporabljati nekaj osnovnih tehnik koordinatne metode (včasih se izkažejo za uporabne pri reševanju problemov v planimetriji v delu B Enotnega državnega izpita). Naslednja dva razdelka na to temo sta posvečena razpravi o metodah za reševanje problemov C2 (problem stereometrije).

Kje bi bilo logično začeti razpravo o koordinatni metodi? Verjetno s konceptom koordinatnega sistema. Spomnite se, kdaj ste jo prvič srečali. Zdi se mi, da v 7. razredu, ko ste se učili o obstoju linearne funkcije npr. Naj vas spomnim, da ste to gradili po točkah. Ali se spomniš? Izbrali ste poljubno število, ga nadomestili v formulo in na ta način izračunali. Na primer, če, potem, če, potem itd. Kaj ste dobili kot rezultat? In prejeli ste točke s koordinatami: in. Nato ste narisali »križ« (koordinatni sistem), na njem izbrali merilo (koliko celic boste imeli kot en segment) in nanj označili prejete točke, ki ste jih nato povezali z ravno črto, nastalo črta je graf funkcije.

Nekaj ​​stvari vam je treba pojasniti nekoliko podrobneje:

1. Izberete en segment zaradi udobja, da se vse lepo in kompaktno prilega sliki

2. Predpostavlja se, da gre os od leve proti desni, os pa od spodaj navzgor

3. Sekata se pod pravim kotom, točko njihovega presečišča pa imenujemo izhodišče. Označena je s črko.

4. V zapisu koordinate točke je npr. levo v oklepaju koordinata točke vzdolž osi, desno pa vzdolž osi. Zlasti preprosto pomeni, da je točka

5. Če želite nastaviti katero koli točko na koordinatni osi, morate določiti njene koordinate (2 številki)

6. Za katero koli točko, ki leži na osi,

7. Za katero koli točko, ki leži na osi,

8. Os se imenuje x-os

9. Os se imenuje y-os

Zdaj pa naredimo naslednji korak z vami: označite dve točki. Poveži ti dve točki s črto. In postavimo puščico, kot da bi risali segment od točke do točke: to pomeni, da bomo naš segment usmerili!

Se spomnite, kako je drugo ime za usmerjeni segment? Tako je, imenuje se vektor!

Če torej povežemo piko s piko, in začetek bo točka A, konec pa točka B, potem dobimo vektor. Tudi to konstrukcijo ste delali v 8. razredu, se spomnite?

Izkazalo se je, da lahko vektorje, tako kot točke, označimo z dvema številoma: ti številki se imenujeta koordinate vektorja. Vprašanje: Ali menite, da je dovolj, da poznamo koordinate začetka in konca vektorja, da bi našli njegove koordinate? Izkazalo se je, da ja! In to je zelo enostavno narediti:

Torej, ker je v vektorju točka začetek in konec, ima vektor naslednje koordinate:

Na primer, če, potem koordinate vektorja

Zdaj pa naredimo obratno, poiščimo koordinate vektorja. Kaj moramo za to spremeniti? Da, zamenjati morate začetek in konec: zdaj bo začetek vektorja v točki, konec pa v točki. Nato:

Poglejte natančno, kakšna je razlika med vektorji in? Njihova edina razlika so znaki v koordinatah. So nasproti. To dejstvo je zapisano takole:

Včasih, če ni posebej navedeno, katera točka je začetek vektorja in katera je konec, potem vektorji niso označeni z dvema velikima črkama, temveč z eno malo črko, na primer: itd.

Zdaj malo praksa in poiščite koordinate naslednjih vektorjev:

Pregled:

Zdaj rešite težavo malo težje:

Vektorski torus z on-cha-scrap na točki ima co-or-di-on-you. Najdi-di-te abs-cis-su točke.

Vse isto je precej prozaično: Naj bodo koordinate točke. Potem

Sistem sem sestavil tako, da sem določil koordinate vektorja. Potem ima točka koordinate. Zanima nas abscisa. Potem

odgovor:

Kaj še lahko storite z vektorji? Da, skoraj vse je tako kot pri običajnih številkah (razen tega, da ne morete deliti, lahko pa množite na dva načina, o enem bomo razpravljali tukaj malo kasneje)

1. Vektorje je mogoče zlagati drug z drugim
2. Vektorje je mogoče odštevati drug od drugega
3. Vektorje lahko pomnožimo (ali delimo) s poljubnim številom, ki ni nič
4. Vektorji se lahko med seboj pomnožijo

Vse te operacije imajo precej vizualno geometrijsko predstavitev. Na primer pravilo trikotnika (ali paralelograma) za seštevanje in odštevanje:

Vektor se raztegne ali skrči ali spremeni smer, ko ga pomnožimo ali delimo s številom:

Vendar nas bo tukaj zanimalo vprašanje, kaj se zgodi s koordinatami.

1. Pri seštevanju (odštevanju) dveh vektorjev seštevamo (odvzemamo) njune koordinate element za elementom. To je:

2. Pri množenju (deljenju) vektorja s številom se vse njegove koordinate pomnožijo (delijo) s tem številom:

Na primer:

· Najdi-di-vsota ko-ali-di-nat stoletja-to-ra.

Najprej poiščimo koordinate vsakega od vektorjev. Oba imata isti izvor - izvorno točko. Njihovi konci so različni. Potem, . Zdaj izračunamo koordinate vektorja. Nato je vsota koordinat dobljenega vektorja enaka.

odgovor:

Zdaj pa sami rešite naslednji problem:

· Poišči vsoto koordinat vektorja

Preverjamo:

Razmislimo zdaj o naslednjem problemu: na koordinatni ravnini imamo dve točki. Kako najti razdaljo med njima? Naj bo prva točka in druga. Označimo razdaljo med njima kot . Za jasnost naredimo naslednjo risbo:

Kaj sem naredil? Najprej sem povezal točki in iz točke narisal premico, vzporedno z osjo, iz točke pa narisal premico, vzporedno z osjo. Ali sta se sekali v točki in tvorili čudovito figuro? Zakaj je čudovita? Ja, ti in jaz veva skoraj vse o pravokotnem trikotniku. No, Pitagorov izrek, zagotovo. Želeni segment je hipotenuza tega trikotnika, segmenti pa so noge. Kakšne so koordinate točke? Da, na sliki jih je enostavno najti: Ker so segmenti vzporedni z osemi in je njihovo dolžino enostavno najti: če dolžine segmentov označimo skozi, potem

Zdaj pa uporabimo Pitagorov izrek. Poznamo dolžine katet, našli bomo hipotenuzo:

Tako je razdalja med dvema točkama koren vsote kvadratov razlik iz koordinat. Ali - razdalja med dvema točkama je dolžina odseka, ki ju povezuje. Lahko vidimo, da razdalja med točkama ni odvisna od smeri. Nato:

Iz tega potegnemo tri zaključke:

Malo vadimo izračun razdalje med dvema točkama:

Na primer, če je razdalja med in enaka

Ali pa pojdimo drugače: poiščite koordinate vektorja

In poiščite dolžino vektorja:

Kot lahko vidite, je enako!

Zdaj pa malo vadite sami:

Naloga: poiščite razdaljo med danima točkama:

Preverjamo:

Tukaj je še nekaj težav za isto formulo, čeprav zvenijo nekoliko drugače:

1. Poišči-di-te kvadrat dolžine veke-to-ra.

2. Nai-di-te kvadrat dolžine veke do ra

Predvidevam, da jih zlahka obvladaš? Preverjamo:

1. In to je za pozornost) Koordinate vektorjev smo že našli: . Potem ima vektor koordinate. Kvadrat njegove dolžine bo:

2. Poiščite koordinate vektorja

Potem je kvadrat njegove dolžine

Nič zapletenega, kajne? Preprosta aritmetika, nič drugega.

Naslednjih ugank ni mogoče nedvoumno razvrstiti, so bolj za splošno erudicijo in sposobnost risanja preprostih slik.

1. Poiščite-di-ti sinus kota na-clo-on-od-reza, povežite eno-n-to točko z osjo abscise.

in

Kako bomo to naredili tukaj? Najti morate sinus kota med in osjo. In kje lahko iščemo sinus? Tako je, v pravokotnem trikotniku. Torej, kaj moramo storiti? Zgradite ta trikotnik!

Ker so koordinate točke in, potem je segment enak, in segment. Najti moramo sinus kota. Naj vas spomnim, da je torej sinus razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo

Kaj nam preostane? Poiščite hipotenuzo. To lahko storite na dva načina: s pomočjo Pitagorovega izreka (kraki so znani!) ali z uporabo formule za razdaljo med dvema točkama (pravzaprav enako kot prva metoda!). Jaz bom šel po drugi poti:

odgovor:

Naslednja naloga se vam bo zdela še lažja. Ona - na koordinatah točke.

Naloga 2. Od točke se per-pen-di-ku-lar spusti na os abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Naredimo risbo:

Osnovica navpičnice je točka, v kateri seka x-os (os) zame je to točka. Slika prikazuje, da ima koordinate: . Zanima nas abscisa - torej komponenta "X". Je enakovredna.

odgovor: .

Naloga 3. V pogojih prejšnjega problema poiščite vsoto razdalj od točke do koordinatnih osi.

Naloga je na splošno osnovna, če veste, kakšna je razdalja od točke do osi. Ti veš? Upam, a vseeno vas opomnim:

Torej sem na svoji risbi, ki se nahaja nekoliko višje, že upodobil eno tako pravokotno? Katera os je to? do osi. In kakšna je potem njegova dolžina? Je enakovredna. Zdaj sami narišite pravokotno na os in poiščite njeno dolžino. Enako bo, kajne? Potem je njuna vsota enaka.

odgovor: .

Naloga 4. V pogojih naloge 2 poiščite ordinato točke, ki je simetrična točki glede na os x.

Mislim, da intuitivno razumete, kaj je simetrija? Ima ga zelo veliko predmetov: veliko zgradb, miz, letal, veliko geometrijskih oblik: krogla, valj, kvadrat, romb itd. Grobo rečeno, simetrijo lahko razumemo na naslednji način: lik je sestavljen iz dveh (ali več) enake polovice. Ta simetrija se imenuje aksialna. Kaj je potem os? To je natanko tista črta, po kateri lahko figuro, relativno gledano, "razrežemo" na enake polovice (na tej sliki je simetrijska os ravna):

Zdaj pa se vrnimo k naši nalogi. Vemo, da iščemo točko, ki je simetrična glede na os. Potem je ta os simetrijska os. Torej moramo označiti točko, tako da os razreže segment na dva enaka dela. Poskusite sami označiti takšno točko. Sedaj pa primerjaj z mojo rešitvijo:

Ste storili enako? Dobro! V najdeni točki nas zanima ordinata. Je enakovredna

odgovor:

Zdaj mi povejte, potem ko sem malo premislil, kakšna bo abscisa točke, ki je simetrična točki A glede na os y? Kakšen je vaš odgovor? Pravilen odgovor: .

Na splošno lahko pravilo zapišemo takole:

Točka, ki je simetrična točki glede na os x, ima koordinate:

Točka, ki je simetrična točki okoli osi y, ima koordinate:

No, zdaj pa je res groza. naloga: Poiščite koordinate točke, ki je simetrična na točko glede na izhodišče. Najprej pomislite sami, potem pa poglejte mojo risbo!

odgovor:

zdaj problem paralelograma:

Naloga 5: Točke so ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Najdi točke-dee-te ali-dee-on-tu.

To težavo lahko rešite na dva načina: z logiko in koordinatno metodo. Najprej bom uporabil koordinatno metodo, nato pa vam bom povedal, kako se lahko odločite drugače.

Povsem jasno je, da je abscisa točke enaka. (leži na navpičnici, ki poteka iz točke na os x). Najti moramo ordinato. Izkoristimo dejstvo, da je naš lik paralelogram, kar pomeni, da. Poiščite dolžino segmenta z uporabo formule za razdaljo med dvema točkama:

Spustimo navpičnico, ki povezuje točko z osjo. Točka presečišča je označena s črko.

Dolžina odseka je enaka. (poiščite problem sami, kjer smo razpravljali o tem trenutku), nato pa bomo našli dolžino segmenta s pomočjo Pitagorovega izreka:

Dolžina segmenta je popolnoma enaka njegovi ordinati.

odgovor: .

Druga rešitev (posredoval bom samo sliko, ki jo ponazarja)

Napredek rešitve:

1. Porabite

2. Poiščite koordinate in dolžino točke

3. Dokažite to.

Še en problem dolžine reza:

Točke so-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Poiščite dolžino njegove srednje črte, par-ral-lel-noy.

Se spomnite, kaj je srednja črta trikotnika? Potem je za vas ta naloga osnovna. Če se ne spomnite, vas bom spomnil: srednja črta trikotnika je črta, ki povezuje središča nasprotnih stranic. Je vzporedna z osnovo in enaka njeni polovici.

Osnova je segment. Njegovo dolžino smo morali poiskati prej, je enaka. Potem je dolžina srednje črte polovica dolga in enaka.

odgovor: .

Komentar: To težavo je mogoče rešiti na drug način, ki ga bomo obravnavali malo kasneje.

Medtem pa je tukaj nekaj nalog za vas, vadite na njih, so precej preproste, vendar vam pomagajo "napolniti roko" s koordinatno metodo!

1. Točke se pojavijo-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Poiščite dolžino njegove srednje črte.

2. Točke in yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Najdi točke-dee-te ali-dee-on-tu.

3. Poiščite dolžino iz reza, povežite drugo točko in

4. Najdi-di-te območje za-rdečo-shen-noy fi-gu-ry na ravnini ko-or-di-nat-noy.

5. Krožnica s središčem na-cha-le ko-or-di-nat poteka skozi točko. Najdi-de-te njene ra-di-brke.

6. Nai-di-te ra-di-us krog-no-sti, opišite-san-noy blizu pravega kota-no-ka, vrhovi-shi-ny nečesa-ro-go imajo co-or - di-na-ti-so-iz-odgovora-vendar

rešitve:

1. Znano je, da je srednja črta trapeza enaka polovici vsote njegovih osnov. Osnova je enaka, vendar osnova. Potem

odgovor:

2. To težavo najlažje rešimo tako, da to opazimo (pravilo paralelograma). Izračunajte koordinate vektorjev in ni težko: . Pri dodajanju vektorjev se dodajajo koordinate. Potem ima koordinate. Točka ima enake koordinate, saj je začetek vektorja točka s koordinatami. Zanima nas ordinata. Je enakovredna.

odgovor:

3. Takoj ukrepamo po formuli za razdaljo med dvema točkama:

odgovor:

4. Poglejte sliko in povejte, med katerima figurama je »stisnjeno« osenčeno območje? Stisnjen je med dva kvadrata. Potem je površina želene figure enaka površini velikega kvadrata minus površina majhnega. Stranica majhnega kvadrata je odsek, ki povezuje točke, njegova dolžina pa je

Potem je površina majhnega kvadrata

Enako storimo z velikim kvadratom: njegova stranica je segment, ki povezuje točke, njegova dolžina pa je enaka

Potem je površina velikega kvadrata

Območje želene figure najdemo po formuli:

odgovor:

5. Če ima krog središče izhodišče in poteka skozi točko, bo njegov polmer natanko enak dolžini segmenta (narišite in razumeli boste, zakaj je to očitno). Poiščite dolžino tega segmenta:

odgovor:

6. Znano je, da je polmer kroga, ki je opisan okoli pravokotnika, enak polovici njegove diagonale. Poiščimo dolžino katere koli od dveh diagonal (navsezadnje sta v pravokotniku enaki!)

odgovor:

No, ste uspeli vse? Ni bilo tako težko ugotoviti, kajne? Tu velja samo eno pravilo - znati narediti vizualno sliko in preprosto "prebrati" vse podatke iz nje.

Ostalo nam je zelo malo. Obstajata dobesedno še dve točki, o katerih bi rad razpravljal.

Poskusimo rešiti to preprosto težavo. Naj bosta podani dve točki. Poiščite koordinate sredine segmenta. Rešitev tega problema je naslednja: naj bo točka želena sredina, potem ima koordinate:

To je: koordinate sredine odseka = aritmetična sredina ustreznih koordinat koncev odseka.

To pravilo je zelo preprosto in študentom običajno ne povzroča težav. Poglejmo, pri katerih težavah in kako se uporablja:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th-točko in

2. Točke so yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te ali-di-na-tu točke re-re-se-che-niya njegovega dia-go-on-lei.

3. Find-di-te abs-cis-su središča kroga, opišite-san-noy blizu pravokotnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nekaj-ro-go co-or-di- na-ti-od-vet-stvenno-ampak.

rešitve:

1. Prva naloga je pač klasika. Takoj ukrepamo tako, da določimo sredino odseka. Ima koordinate. Ordinata je enaka.

odgovor:

2. Lahko vidimo, da je dani štirikotnik paralelogram (celo romb!). Sami se lahko prepričate tako, da izračunate dolžine stranic in jih med seboj primerjate. Kaj vem o paralelogramu? Njegove diagonale razpolovi presečišče! Aha! Kaj je torej presečišče diagonal? To je sredina katere koli diagonale! Izbral bom predvsem diagonalo. Potem ima točka koordinate.Ordinata točke je enaka.

odgovor:

3. Kaj je središče okrog pravokotnika opisanega kroga? Sovpada s točko presečišča njegovih diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika? Sta enaki in presečišče je razdeljeno na pol. Naloga je zmanjšana na prejšnjo. Vzemimo za primer diagonalo. Potem, če je središče opisanega kroga, potem je sredina. Iščem koordinate: Abscisa je enaka.

odgovor:

Zdaj pa malo vadite sami, dal bom samo odgovore na vsako nalogo, da se boste lahko sami preverili.

1. Nai-di-te ra-di-us krog-no-sti, opišite-san-noy blizu trikotnika-no-ka, vrhovi nekoga-ro-go imajo ko-ali-di -no gospodov

2. Najdi-di-te ali-di-na-tu središče kroga, opišite san-noy v bližini trikotnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nekaj-ro-go koordinate

3. Kakšen ra-di-y-sa naj bi bil krog s središčem v točki, tako da se dotika abscisne osi?

4. Find-di-te ali-di-on-to točko ponovnega ponovnega se-che-ing osi in izreza, povežite-nya-yu-th-to točko in

odgovori:

Je vse uspelo? Resnično upam na to! Zdaj - zadnji pritisk. Zdaj bodite še posebej previdni. Gradivo, ki ga bom zdaj razložil, ni pomembno samo za probleme s preprosto koordinatno metodo v delu B, ampak ga najdemo tudi v celotnem problemu C2.

Katere svoje obljube še nisem držal? Se spomnite, katere operacije na vektorjih sem obljubil uvesti in katere sem na koncu uvedel? Sem prepričan, da nisem ničesar pozabil? Pozabil! Pozabil sem razložiti, kaj pomeni množenje vektorjev.

Obstajata dva načina za množenje vektorja z vektorjem. Glede na izbrano metodo bomo dobili objekte drugačne narave:

Vektorski izdelek je precej zapleten. Kako to storiti in zakaj je to potrebno, bomo z vami razpravljali v naslednjem članku. In pri tem se bomo osredotočili na skalarni produkt.

Obstajata že dva načina, ki nam omogočata izračun:

Kot ste uganili, bi moral biti rezultat enak! Poglejmo torej najprej prvi način:

Pikčasti produkt skozi koordinate

Poiščite: - skupni zapis za pikčasti produkt

Formula za izračun je naslednja:

Se pravi, pikčasti produkt = vsota produktov koordinat vektorjev!

primer:

Najdi-dee-te

Odločitev:

Poiščite koordinate vsakega od vektorjev:

Skalarni produkt izračunamo po formuli:

odgovor:

Vidite, absolutno nič zapletenega!

No, zdaj pa poskusite sami:

Najdi-di-te skalar-noe pro-od-ve-de-nie stoletja do jarka in

Vam je uspelo? Mogoče je opazil majhen trik? Preverimo:

Vektorske koordinate, kot v prejšnji nalogi! Odgovor: .

Poleg koordinate obstaja še en način izračuna skalarnega produkta, in sicer preko dolžin vektorjev in kosinusa kota med njimi:

Označuje kot med vektorjema in.

To pomeni, da je skalarni produkt enak produktu dolžin vektorjev in kosinusa kota med njima.

Zakaj potrebujemo to drugo formulo, če imamo prvo, ki je veliko preprostejša, v njej vsaj ni kosinusov. In potrebujemo ga, da lahko iz prve in druge formule sklepamo, kako najti kot med vektorji!

Nato si zapomnite formulo za dolžino vektorja!

Če nato te podatke vključim v formulo pikčastega produkta, dobim:

Ampak drugače:

Torej, kaj imamo? Zdaj imamo formulo za izračun kota med dvema vektorjema! Včasih je za kratkost zapisano tudi takole:

To pomeni, da je algoritem za izračun kota med vektorji naslednji:

1. Skalarni produkt izračunamo preko koordinat
2. Poiščite dolžine vektorjev in jih pomnožite
3. Rezultat točke 1 delite z rezultatom točke 2

Vadimo s primeri:

1. Poiščite kot med vekami-to-ra-mi in. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

2. Pod pogoji prejšnjega problema poiščite kosinus med vektorjema

Naredimo to: prvo težavo ti bom pomagal rešiti, drugo pa poskusi rešiti sam! Se strinjam? Potem pa začnimo!

1. Ti vektorji so naši stari prijatelji. Njihov skalarni produkt smo že obravnavali in bil je enak. Njihove koordinate so: , . Nato poiščemo njihove dolžine:

Nato iščemo kosinus med vektorji:

Kolikšen je kosinus kota? To je kotiček.

odgovor:

No, zdaj pa sami rešite drugi problem, potem pa primerjajte! Dal bom le zelo kratko rešitev:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Naj bo kot med vektorjema in potem

odgovor:

Vedeti je treba, da so naloge neposredno na vektorjih in metodi koordinat v delu B izpitne pole precej redke. Vendar pa je veliko večino problemov C2 enostavno rešiti z uvedbo koordinatnega sistema. Tako lahko ta članek obravnavate kot osnovo, na podlagi katere bomo naredili precej zapletene konstrukcije, ki jih bomo potrebovali za reševanje kompleksnih problemov.

KOORDINATE IN VEKTORJI. VMESNA STOPNJA

Ti in jaz nadaljujeva s študijem metode koordinat. V zadnjem delu smo izpeljali številne pomembne formule, ki omogočajo:

1. Poiščite vektorske koordinate
2. Poiščite dolžino vektorja (alternativa: razdalja med dvema točkama)
3. Seštevanje, odštevanje vektorjev. Pomnoži jih z realnim številom
4. Poiščite sredino odseka
5. Izračunajte pikčasti produkt vektorjev
6. Poiščite kot med vektorji

Celotna koordinatna metoda seveda ne sodi v teh 6 točk. Temelji na takšni znanosti, kot je analitična geometrija, s katero se boste seznanili na univerzi. Želim samo zgraditi temelje, ki vam bodo omogočili reševanje težav v eni državi. izpit. Ugotovili smo naloge dela B v Zdaj je čas, da preidemo na kakovostno novo raven! Ta članek bo posvečen metodi za reševanje tistih problemov C2, pri katerih bi bilo smiselno preiti na koordinatno metodo. Ta razumnost je določena s tem, kaj je treba najti v problemu in kakšna številka je navedena. Torej bi uporabil koordinatno metodo, če so vprašanja:

1. Poiščite kot med dvema ravninama
2. Poiščite kot med premico in ravnino
3. Poiščite kot med dvema premicama
4. Poiščite razdaljo od točke do ravnine
5. Poiščite razdaljo od točke do črte
6. Poiščite razdaljo od premice do ravnine
7. Poiščite razdaljo med dvema črtama

Če je slika, podana v pogoju problema, vrtilno telo (krogla, valj, stožec ...)

Primerne številke za koordinatno metodo so:

1. kvader
2. Piramida (trikotna, štirikotna, šestkotna)

Tudi po mojih izkušnjah je neprimerna uporaba koordinatne metode za:

1. Iskanje območij odsekov
2. Izračuni prostornin teles

Vendar je treba takoj opozoriti, da so tri "neugodne" situacije za koordinatno metodo v praksi precej redke. Pri večini opravil lahko postane vaš rešitelj, še posebej, če niste preveč močni v tridimenzionalnih konstrukcijah (ki so včasih precej zapletene).

Katere so vse številke, ki sem jih naštel zgoraj? Niso več ravne, kot so kvadrat, trikotnik, krog, ampak voluminozne! V skladu s tem moramo upoštevati ne dvodimenzionalni, ampak tridimenzionalni koordinatni sistem. Zgradimo jo dokaj enostavno: le poleg abscise in ordinate bomo uvedli še eno os, aplicirano os. Slika shematično prikazuje njihov relativni položaj:

Vse so medsebojno pravokotne, sekajo se v eni točki, ki jo bomo imenovali izhodišče. Abscisno os bomo tako kot prej označili, ordinatno os - , uvedeno aplicirano os pa - .

Če je bila prej vsaka točka na ravnini označena z dvema številkama - absciso in ordinato, potem je vsaka točka v prostoru že opisana s tremi številkami - absciso, ordinato, aplikacijo. Na primer:

V skladu s tem je abscisa točke enaka, ordinata je , aplikata pa .

Včasih absciso točke imenujemo tudi projekcija točke na abscisno os, ordinata projekcija točke na ordinatno os, aplikata pa projekcija točke na aplicirano os. V skladu s tem, če je dana točka, je točka s koordinatami:

imenujemo projekcija točke na ravnino

imenujemo projekcija točke na ravnino

Postavlja se naravno vprašanje: ali vse formule, izpeljane za dvodimenzionalni primer, veljajo v prostoru? Odgovor je pritrdilen, pravični so in imajo enak videz. Za majhen detajl. Mislim, da ste že uganili kateri. V vse formule bomo morali dodati še en člen, ki je odgovoren za aplikacijsko os. namreč.

1. Če sta podani dve točki: , potem:

• Vektorske koordinate:
• Razdalja med dvema točkama (ali vektorska dolžina)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Če sta podana dva vektorja: in, potem:

• Njihov produkt je:
• Kosinus kota med vektorjema je:

Vendar prostor ni tako preprost. Kot razumete, dodatek še ene koordinate vnaša znatno raznolikost v spekter figur, ki "živijo" v tem prostoru. In za nadaljnjo pripoved, moram uvesti nekaj, grobo rečeno, "posplošitve" ravne črte. Ta "generalizacija" bo ravnina. Kaj veš o letalu? Poskusite odgovoriti na vprašanje, kaj je letalo? Zelo težko je reči. Vendar si vsi intuitivno predstavljamo, kako to izgleda:

Grobo rečeno, to je nekakšen neskončen "list", potisnjen v vesolje. "Neskončnost" je treba razumeti, da se ravnina razteza v vse smeri, to je, da je njena površina enaka neskončnosti. Vendar ta razlaga "na prste" ne daje niti najmanjše predstave o strukturi letala. In to nas bo zanimalo.

Spomnimo se enega od osnovnih aksiomov geometrije:

• Premica poteka skozi dve različni točki na ravnini, poleg tega samo eno:

Ali njegov analog v vesolju:

Seveda se spomnite, kako izpeljati enačbo ravne črte iz dveh danih točk, to sploh ni težko: če ima prva točka koordinate: in druga, potem bo enačba ravne črte naslednja:

Skozi to ste šli v 7. razredu. V prostoru enačba premice izgleda takole: imamo dve točki s koordinatama: , potem ima enačba premice, ki poteka skozi njiju, obliko:

Na primer, črta poteka skozi točke:

Kako naj bi to razumeli? To je treba razumeti takole: točka leži na premici, če njene koordinate zadoščajo naslednjemu sistemu:

Enačba premice nas ne bo preveč zanimala, pozornost pa moramo posvetiti zelo pomembnemu konceptu usmerjevalnega vektorja premice. - vsak neničelni vektor, ki leži na dani premici ali je vzporeden z njo.

Oba vektorja sta na primer smerna vektorja premice. Naj bo točka, ki leži na ravni črti, in bo njen usmerjevalni vektor. Potem lahko enačbo ravne črte zapišemo v naslednji obliki:

Še enkrat, enačba ravne črte me ne bo preveč zanimala, ampak res moram, da se spomnite, kaj je smerni vektor! Ponovno: je KATERIKOLI neničelni vektor, ki leži na premici ali je vzporeden z njo.

Dvigniti tritočkovna enačba ravnine ni več tako nepomembno in običajno ni zajeto v srednješolskem tečaju. Ampak zaman! Ta tehnika je ključnega pomena, ko se zatekamo k koordinatni metodi za reševanje kompleksnih problemov. Predvidevam pa, da ste polni želje po učenju česa novega? Poleg tega boste lahko naredili vtis na svojega učitelja na univerzi, ko se bo izkazalo, da že znate uporabljati tehniko, ki se običajno preučuje pri predmetu analitične geometrije. Pa začnimo.

Enačba ravnine se ne razlikuje preveč od enačbe premice na ravnini, ima namreč obliko:

nekatera števila (niso vsa enaka nič), ampak spremenljivke, na primer: itd. Kot lahko vidite, se enačba ravnine ne razlikuje zelo od enačbe ravne črte (linearna funkcija). Vendar se spomnite, kaj smo se prepirali z vami? Rekli smo, da če imamo tri točke, ki ne ležijo na eni premici, potem je enačba ravnine enolično obnovljena iz njih. Ampak kako? Poskušal ti bom razložiti.

Ker je enačba ravnine:

In točke pripadajo tej ravnini, potem bi morali pri zamenjavi koordinat vsake točke v enačbo ravnine dobiti pravilno identiteto:

Tako je treba rešiti tri enačbe že z neznankami! Dilema! Vendar lahko to vedno domnevamo (za to moramo deliti s). Tako dobimo tri enačbe s tremi neznankami:

Vendar takega sistema ne bomo reševali, ampak bomo zapisali kriptični izraz, ki iz njega izhaja:

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matrika)) \desno| = 0\]

nehaj! Kaj je še to? Zelo nenavaden modul! Vendar predmet, ki ga vidite pred seboj, nima nobene zveze z modulom. Ta objekt se imenuje determinanta tretjega reda. Odslej, ko se boste ukvarjali z metodo koordinat na ravnini, boste pogosto naleteli prav na te determinante. Kaj je determinanta tretjega reda? Nenavadno je, da je samo številka. Še vedno je treba razumeti, katero specifično številko bomo primerjali z determinanto.

Najprej zapišimo determinanto tretjega reda v bolj splošni obliki:

Kje so številke. Poleg tega s prvim indeksom mislimo na številko vrstice, z indeksom pa na številko stolpca. Na primer, to pomeni, da je podana številka na presečišču druge vrstice in tretjega stolpca. Zastavimo si naslednje vprašanje: kako točno bomo izračunali tako determinanto? Se pravi, s katerim konkretnim številom ga bomo primerjali? Za determinanto prav tretjega reda velja hevristično (vizualno) pravilo trikotnika, ki izgleda takole:

1. Zmnožek elementov glavne diagonale (od zgornje leve proti spodnji desni) zmnožek elementov, ki tvorijo prvi trikotnik, "pravokoten" na glavno diagonalo, zmnožek elementov, ki tvorijo drugi trikotnik, "pravokoten" na glavno diagonala
2. Produkt elementov sekundarne diagonale (od zgornjega desnega kota do spodnjega levega) produkt elementov, ki tvorijo prvi trikotnik "pravokotno" sekundarne diagonale produkt elementov, ki tvorijo drugi trikotnik "pravokotno" sekundarne diagonale
3. Potem je determinanta enaka razliki med vrednostmi, dobljenimi na koraku in

Če vse to zapišemo v številkah, dobimo naslednji izraz:

Vendar pa vam ni treba zapomniti metode izračuna v tej obliki, dovolj je, da samo obdržite trikotnike v glavi in ​​samo idejo o tem, kaj se čemu doda in kaj se nato od česa odšteje).

Metodo trikotnika ponazorimo s primerom:

1. Izračunajte determinanto:

Ugotovimo, kaj dodajamo in kaj odvzemamo:

Izrazi, ki imajo "plus":

To je glavna diagonala: produkt elementov je

Prvi trikotnik, "pravokoten na glavno diagonalo: produkt elementov je

Drugi trikotnik, "pravokoten na glavno diagonalo: produkt elementov je

Seštejemo tri številke:

Izrazi, ki imajo "minus"

To je stranska diagonala: produkt elementov je

Prvi trikotnik, "pravokoten na sekundarno diagonalo: produkt elementov je

Drugi trikotnik, "pravokoten na sekundarno diagonalo: produkt elementov je

Seštejemo tri številke:

Vse, kar je treba narediti, je, da od vsote plus členov odštejemo vsoto minus členov:

V to smer,

Kot lahko vidite, pri izračunu determinant tretjega reda ni nič zapletenega in nadnaravnega. Pomembno je le, da se spomnite trikotnikov in ne delate aritmetičnih napak. Zdaj poskusite izračunati sami:

Preverjamo:

1. Prvi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
2. Drugi trikotnik, pravokoten na glavno diagonalo:
3. Vsota plus izrazov:
4. Prvi trikotnik, pravokoten na stransko diagonalo:
5. Drugi trikotnik, pravokoten na stransko diagonalo:
6. Vsota členov z minusom:
7. Vsota plus členov minus vsota minus členov:

Tukaj je še nekaj determinant za vas, njihove vrednosti izračunajte sami in primerjajte z odgovori:

odgovori:

No, se je vse ujemalo? Super, potem lahko greš naprej! Če pride do težav, je moj nasvet naslednji: na internetu je kup programov za izračun determinante na spletu. Vse kar potrebujete je, da si izmislite svojo determinanto, jo izračunate sami in nato primerjate s tem, kar izračuna program. In tako naprej, dokler se rezultati ne začnejo ujemati. Prepričan sem, da ta trenutek ne bo dolgo prišel!

Zdaj pa se vrnimo k determinanti, ki sem jo zapisal, ko sem govoril o enačbi ravnine, ki poteka skozi tri dane točke:

Vse kar morate storiti je, da neposredno izračunate njegovo vrednost (z uporabo metode trikotnika) in rezultat nastavite na nič. Seveda, ker so spremenljivke, boste dobili nek izraz, ki je odvisen od njih. Prav ta izraz bo enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na eni premici!

Naj to ponazorimo s preprostim primerom:

1. Sestavite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

Sestavimo determinanto za te tri točke:

Poenostavljanje:

Zdaj ga izračunamo neposredno po pravilu trikotnikov:

\[(\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(matrika)) \ desno| = \levo((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \levo((z + 1) \desno) + \levo((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Tako je enačba ravnine, ki poteka skozi točke:

Zdaj poskusite sami rešiti eno težavo, nato pa bomo o njej razpravljali:

2. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke

No, zdaj pa se pogovorimo o rešitvi:

Izdelamo determinanto:

In izračunajte njegovo vrednost:

Potem ima enačba ravnine obliko:

Ali če zmanjšamo za, dobimo:

Zdaj pa dve nalogi za samokontrolo:

1. Sestavite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke:

odgovori:

Se je vse ujemalo? Še enkrat, če obstajajo določene težave, je moj nasvet naslednji: vzemite tri točke iz glave (z veliko verjetnostjo, da ne bodo ležale na eni ravni črti), na njih zgradite letalo. In potem se preverite na spletu. Na primer na spletnem mestu:

Vendar pa s pomočjo determinant ne bomo zgradili le enačbe ravnine. Ne pozabite, povedal sem vam, da za vektorje ni definiran samo pikčasti produkt. Obstaja tudi vektor, pa tudi mešani izdelek. In če bo skalarni produkt dveh vektorjev število, potem bo vektorski produkt dveh vektorjev vektor in ta vektor bo pravokoten na dane:

Poleg tega bo njegov modul enak površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih in. Ta vektor bomo potrebovali za izračun razdalje od točke do črte. Kako lahko izračunamo navzkrižni produkt vektorjev in če so podane njihove koordinate? Na pomoč nam spet priskoči determinanta tretjega reda. Preden pa preidem na algoritem za izračun navzkrižnega produkta, moram narediti majhno lirično digresijo.

Ta digresija zadeva bazične vektorje.

Shematično so prikazani na sliki:

Zakaj misliš, da se imenujejo osnovne? Dejstvo je, da:

Ali na sliki:

Veljavnost te formule je očitna, ker:

vektorski izdelek

Zdaj lahko začnem predstavljati navzkrižni produkt:

Vektorski produkt dveh vektorjev je vektor, ki se izračuna po naslednjem pravilu:

Zdaj pa navedimo nekaj primerov izračuna navzkrižnega produkta:

Primer 1: Poiščite navzkrižni produkt vektorjev:

Rešitev: Naredim determinanto:

In izračunam:

Zdaj se bom od pisanja skozi bazne vektorje vrnil k običajnemu zapisu vektorjev:

V to smer:

Zdaj poskusite.

pripravljena Preverjamo:

In tradicionalno dva naloge za nadzor:

1. Poiščite navzkrižni produkt naslednjih vektorjev:
2. Poiščite navzkrižni produkt naslednjih vektorjev:

odgovori:

Mešani produkt treh vektorjev

Zadnja konstrukcija, ki jo potrebujem, je mešani produkt treh vektorjev. Tako kot skalar je število. Obstajata dva načina za izračun. - preko determinante, - preko mešanega proizvoda.

Namreč, recimo, da imamo tri vektorje:

Potem lahko mešani produkt treh vektorjev, označenih z, izračunamo kot:

1. - to pomeni, da je mešani produkt skalarni produkt vektorja in vektorski produkt dveh drugih vektorjev

Na primer, mešani produkt treh vektorjev je:

Poskusite sami izračunati z uporabo vektorskega produkta in se prepričajte, da se rezultati ujemajo!

In spet - dva primera za neodvisno rešitev:

odgovori:

Izbira koordinatnega sistema

No, zdaj imamo vso potrebno osnovo znanja za reševanje kompleksnih stereometričnih problemov v geometriji. Preden nadaljujemo neposredno s primeri in algoritmi za njihovo reševanje, menim, da se bo koristno posvetiti naslednjemu vprašanju: kako natančno izberite koordinatni sistem za določeno sliko. Navsezadnje je izbira relativnega položaja koordinatnega sistema in figure v prostoru tista, ki bo na koncu določila, kako okorni bodo izračuni.

Opozarjam vas, da v tem razdelku obravnavamo naslednje oblike:

1. kvader
2. Ravna prizma (trikotna, šestkotna…)
3. Piramida (trikotna, štirikotna)
4. Tetraeder (enako kot trikotna piramida)

Za kvader ali kocko priporočam naslednjo konstrukcijo:

To pomeni, da bom figuro postavil "v kot". Kocka in škatla sta zelo dobri figuri. Za njih lahko vedno enostavno najdete koordinate njegovih vrhov. Na primer, če (kot je prikazano na sliki)

potem so koordinate vozlišča:

Seveda vam tega ni treba zapomniti, vendar je zaželeno, da se spomnite, kako najbolje postaviti kocko ali pravokotno škatlo.

ravna prizma

Prizma je bolj škodljiva figura. V prostoru ga lahko razporedite na različne načine. Vendar se mi zdi najboljša naslednja možnost:

Trikotna prizma:

To pomeni, da eno od strani trikotnika v celoti postavimo na os, ena od oglišč pa sovpada z izvorom.

Šesterokotna prizma:

To pomeni, da ena od oglišč sovpada z izvorom, ena od strani pa leži na osi.

Štirikotna in šesterokotna piramida:

Situacija, podobna kocki: dve stranici baze združimo s koordinatnimi osemi, eno od oglišč združimo z izhodiščem. Edina majhna težava bo izračunati koordinate točke.

Za šesterokotno piramido - enako kot za šestkotno prizmo. Glavna naloga bo spet iskanje koordinat oglišča.

Tetraeder (trikotna piramida)

Situacija je zelo podobna tisti, ki sem jo navedel za trikotno prizmo: eno oglišče sovpada z izhodiščem, ena stranica leži na koordinatni osi.

No, zdaj sva končno blizu tega, da začneva reševati težave. Iz tega, kar sem povedal na samem začetku članka, bi lahko potegnili naslednji zaključek: večina težav C2 spada v 2 kategoriji: težave za kot in težave za razdaljo. Najprej bomo obravnavali težave pri iskanju kota. Ti pa so razdeljeni v naslednje kategorije (ko se kompleksnost povečuje):

Težave pri iskanju vogalov

1. Iskanje kota med dvema premicama
2. Iskanje kota med dvema ravninama

Te težave obravnavajmo zaporedno: začnimo z iskanjem kota med dvema ravnima črtama. Daj no, spomni se, ali sva s tabo že reševala podobne primere? Saj se spomniš, saj smo že imeli nekaj podobnega ... Iskali smo kot med dvema vektorjema. Opomnim vas, če sta podana dva vektorja: in, potem kot med njima najdemo iz relacije:

Zdaj imamo cilj - najti kot med dvema ravnima črtama. Obrnimo se na "plosko sliko":

Koliko kotov dobimo, ko se dve premici sekata? Že stvari. Res je, da le dva od njih nista enaka, drugi pa so navpični nanje (in torej sovpadajo z njimi). Kateri kot naj torej štejemo za kot med dvema ravnima črtama: ali? Tukaj je pravilo: kot med dvema ravnima črtama ni vedno večji od stopinj. Se pravi, iz dveh kotov bomo vedno izbrali kot z najmanjšo stopinjsko mero. To pomeni, da je na tej sliki kot med obema premicama enak. Da se ne bi vsakič obremenjevali z iskanjem najmanjšega od obeh kotov, so zviti matematiki predlagali uporabo modula. Tako je kot med dvema ravnima črtama določen s formulo:

Kot pozoren bralec bi se morali vprašati: kje pravzaprav dobimo prav te številke, ki jih potrebujemo za izračun kosinusa kota? Odgovor: vzeli jih bomo iz smernih vektorjev premic! Tako je algoritem za iskanje kota med dvema črtama naslednji:

1. Uporabljamo formulo 1.

Ali podrobneje:

1. Iščemo koordinate smernega vektorja prve premice
2. Iščemo koordinate smernega vektorja druge premice
3. Izračunajte modul njihovega skalarnega produkta
4. Iščemo dolžino prvega vektorja
5. Iščemo dolžino drugega vektorja
6. Pomnožite rezultate točke 4 z rezultati točke 5
7. Rezultat točke 3 delimo z rezultatom točke 6. Dobimo kosinus kota med premicama
8. Če nam ta rezultat omogoča natančen izračun kota, ga poiščemo
9. V nasprotnem primeru pišemo skozi arkosinus

No, zdaj je čas, da preidemo na naloge: rešitev prvih dveh bom podrobno prikazal, rešitev še ene bom na kratko predstavil, na zadnji dve nalogi pa bom podal samo odgovore, morate naredite vse izračune zanje sami.

Naloge:

1. V desnem tet-ra-ed-re poiščite-di-te kot med you-so-that tet-ra-ed-ra in stranjo me-di-a-noy bo-ko-how.

2. V desnem-naprej šest-premog-pi-ra-mi-de je sto-ro-na-os-no-va-niya nekako enaka, stranska rebra pa enaka, poiščite kot med ravnimi vrstice in.

3. Dolžine vseh robov desne štiri-ti-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy so enake drug drugemu. Poiščite kot med ravnimi črtami in če je iz-re-zok - ti-tako-da pi-ra-mi-dy, je točka se-re-di-na njenem bo-ko- th rebru

4. Na robu kocke od-me-che-do točke, tako da Find-di-te kot med ravnimi črtami in

5. Točka - se-re-di-na robovih kocke Nai-di-te kot med ravnimi črtami in.

Ni naključje, da sem naloge postavila v ta vrstni red. Medtem ko še niste imeli časa, da bi začeli krmariti po koordinatni metodi, bom sam analiziral najbolj "problematične" figure in pustil vam bom, da se ukvarjate z najpreprostejšo kocko! Postopoma se moraš naučiti delati z vsemi figurami, zahtevnost nalog bom stopnjeval od teme do teme.

Začnimo reševati težave:

1. Nariši tetraeder, ga postavi v koordinatni sistem, kot sem predlagal prej. Ker je tetraeder pravilen, so vse njegove ploskve (vključno z osnovo) pravilni trikotniki. Ker nam ni podana dolžina stranice, jo lahko vzamem enako. Mislim, da razumete, da kot ne bo v resnici odvisen od tega, koliko bo naš tetraeder "raztegnjen" ?. Narisal bom tudi višino in mediano v tetraedru. Spotoma mu bom narisala osnovo (tudi nama bo prav prišla).

Najti moram kot med in. Kaj vemo? Poznamo le koordinato točke. Torej moramo najti več koordinat točk. Zdaj mislimo: točka je točka presečišča višin (ali simetral ali median) trikotnika. Pika je dvignjena točka. Točka je sredina odseka. Nato moramo končno najti: koordinate točk: .

Začnimo z najpreprostejšim: koordinatami točk. Poglejte sliko: Jasno je, da je aplikat točke enak nič (točka leži na ravnini). Njegova ordinata je enaka (ker je mediana). Težje je najti njegovo absciso. Vendar je to enostavno narediti na podlagi Pitagorovega izreka: Razmislite o trikotniku. Njegova hipotenuza je enaka in ena od nog je enaka. Potem:

Končno imamo:

Zdaj pa poiščimo koordinate točke. Jasno je, da je njegova aplikata spet enaka nič, njena ordinata pa enaka ordinati točke, tj. Poiščimo njeno absciso. To je storjeno precej trivialno, če se tega spomnimo višine enakostraničnega trikotnika deli presečišče v razmerjuštetje od zgoraj. Ker je:, potem je želena abscisa točke, enaka dolžini segmenta, enaka:. Tako so koordinate točke:

Poiščimo koordinate točke. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. In aplikacija je enaka dolžini segmenta. - to je ena od nog trikotnika. Hipotenuza trikotnika je segment - noga. Išče se zaradi razlogov, ki sem jih označil s krepkim tiskom:

Točka je sredina odseka. Potem se moramo spomniti formule za koordinate sredine segmenta:

To je to, zdaj lahko iščemo koordinate vektorjev smeri:

No, vse je pripravljeno: vse podatke nadomestimo v formulo:

V to smer,

odgovor:

Ne smete se bati takšnih "groznih" odgovorov: za težave C2 je to običajna praksa. Raje bi bil presenečen nad "lepim" odgovorom v tem delu. Poleg tega, kot ste opazili, se praktično nisem zatekel k ničemur drugemu kot do Pitagorovega izreka in lastnosti višin enakostraničnega trikotnika. To pomeni, da sem za rešitev stereometričnega problema uporabil najmanjšo količino stereometrije. Dobiček pri tem delno "ugasnejo" precej okorni izračuni. So pa precej algoritemski!

2. Narišite pravilno šesterokotno piramido skupaj s koordinatnim sistemom in njeno osnovo:

Najti moramo kot med črtami in. Tako se naša naloga zmanjša na iskanje koordinat točk: . Zadnjim trem bomo iz male risbe poiskali koordinate, preko koordinate točke pa bomo poiskali koordinato oglišča. Veliko dela, vendar je treba začeti!

a) Koordinata: jasno je, da sta njena aplikata in ordinata nič. Poiščimo absciso. Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku. Žal, v njej poznamo le hipotenuzo, ki je enaka. Poskusili bomo najti krak (ker je jasno, da nam bo dvakratna dolžina kraka dala absciso točke). Kako ga lahko iščemo? Spomnimo se, kakšno figuro imamo na dnu piramide? To je navaden šesterokotnik. Kaj to pomeni? To pomeni, da so vse stranice in vsi koti enaki. En tak kotiček moramo najti. Kaj idej? Idej je veliko, vendar obstaja formula:

Vsota kotov pravilnega n-kotnika je .

Tako je vsota kotov pravilnega šesterokotnika stopinj. Potem je vsak od kotov enak:

Še enkrat poglejmo sliko. Jasno je, da je segment simetrala kota. Potem je kot stopinj. Nato:

Kam pa potem.

Torej ima koordinate

b) Zdaj zlahka najdemo koordinato točke: .

c) Poiščite koordinate točke. Ker njegova abscisa sovpada z dolžino segmenta, je enak. Tudi iskanje ordinate ni zelo težko: če povežemo točki in in označimo presečišče premice, recimo za. (naredi sam preprosta konstrukcija). Potem Tako je ordinata točke B enaka vsoti dolžin segmentov. Še enkrat poglejmo trikotnik. Potem

Potem od Potem ima točka koordinate

d) Zdaj poiščite koordinate točke. Razmislite o pravokotniku in dokažite, da so torej koordinate točke:

e) Ostaja še najti koordinate oglišča. Jasno je, da njena abscisa in ordinata sovpadata z absciso in ordinato točke. Poiščimo aplikacijo. Od takrat. Razmislite o pravokotnem trikotniku. Po stanju problema stranski rob. To je hipotenuza mojega trikotnika. Potem je višina piramide krak.

Potem ima točka koordinate:

To je to, koordinate vseh točk, ki me zanimajo, imam. Iščem koordinate usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

Iščemo kot med temi vektorji:

odgovor:

Tudi pri reševanju tega problema nisem uporabil nobenih prefinjenih trikov, razen formule za vsoto kotov pravilnega n-kotnika, pa tudi definicije kosinusa in sinusa pravokotnega trikotnika.

3. Ker spet nimamo podanih dolžin robov v piramidi, jih bom štel za ena. Torej, ker so VSI robovi, in ne samo stranski, enaki drug drugemu, potem na dnu piramide in me leži kvadrat, stranske ploskve pa so pravilni trikotniki. Upodabljajmo takšno piramido in njeno osnovo na ravnini, pri čemer označimo vse podatke, navedene v besedilu problema:

Iščemo kot med in. Ko bom iskal koordinate točk, bom naredil zelo kratke izračune. Morali jih boste "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njene koordinate:

c) Dolžino odseka bom našel s pomočjo Pitagorovega izreka v trikotniku. Našel bom po Pitagorovem izreku v trikotniku.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate so

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Iskanje kota:

Kocka je najpreprostejša figura. Prepričan sem, da lahko to ugotovite sami. Odgovori na nalogi 4 in 5 so naslednji:

Iskanje kota med premico in ravnino

No, čas preprostih ugank je mimo! Zdaj bodo primeri še težji. Za iskanje kota med premico in ravnino bomo postopali na naslednji način:

1. S pomočjo treh točk sestavimo enačbo ravnine
   ,
   z uporabo determinante tretjega reda.
2. Z dvema točkama iščemo koordinate usmerjevalnega vektorja premice:
3. Za izračun kota med premico in ravnino uporabimo formulo:

Kot lahko vidite, je ta formula zelo podobna tisti, ki smo jo uporabili za iskanje kotov med dvema premicama. Struktura desne strani je enaka, na levi pa zdaj iščemo sinus in ne kosinus kot prej. No, dodano je bilo eno grdo dejanje - iskanje enačbe ravnine.

Ne odlagajmo reševanje primerov:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia equal-but-poor-ren-ny triangle-nick you-with-that prize-we are equal. Poiščite kot med premico in ravnino

2. V pravokotnem pa-ral-le-le-pi-pe-de od West Nai-di-te je kot med ravno črto in ravnino

3. V desnosučni prizmi šestih ogljev so vsi robovi enaki. Poiščite kot med premico in ravnino.

4. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em od zahoda kota rebra Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny ravnina os -no-va-niya in straight-my, ki poteka skozi se-re-di-na reber in

5. Dolžine vseh robov desnega štirikotnega pi-ra-mi-dyja z vrhom so med seboj enake. Poiščite kot med ravno črto in ravnino, če je točka se-re-di-na bo-ko-in-th robu pi-ra-mi-dy.

Spet bom prvi dve nalogi rešil podrobno, tretjo - na kratko, zadnji dve pa vam prepuščam, da jih rešite sami. Poleg tega si že imel opraviti s trikotnimi in štirikotnimi piramidami, s prizmami pa še ne.

rešitve:

1. Nariši prizmo in njeno osnovo. Združimo ga s koordinatnim sistemom in označimo vse podatke, ki so podani v nalogi naloge:

Opravičujem se za nekaj neupoštevanja razmerij, vendar za rešitev problema to pravzaprav ni tako pomembno. Ravnina je samo "zadnja stena" moje prizme. Dovolj je, da preprosto ugibate, da ima enačba takšne ravnine obliko:

Vendar pa je to mogoče prikazati tudi neposredno:

Na tej ravnini izberemo poljubne tri točke: na primer .

Sestavimo enačbo ravnine:

Vaja za vas: to determinanto izračunajte sami. Vam je uspelo? Potem ima enačba ravnine obliko:

Ali preprosto

V to smer,

Za rešitev primera moram najti koordinate usmerjevalnega vektorja premice. Ker je točka sovpadala z izhodiščem, bodo koordinate vektorja preprosto sovpadale s koordinatami točke.Za to najprej poiščemo koordinate točke.

Če želite to narediti, razmislite o trikotniku. Z vrha narišimo višino (je tudi mediana in simetrala). Ker je ordinata točke enaka. Da bi našli absciso te točke, moramo izračunati dolžino segmenta. Po Pitagorovem izreku imamo:

Potem ima točka koordinate:

Pika je "dvignjena" na piki:

Nato koordinate vektorja:

odgovor:

Kot lahko vidite, pri reševanju takšnih težav ni nič bistveno težkega. Pravzaprav "naravnost" figure, kot je prizma, postopek nekoliko bolj poenostavi. Zdaj pa pojdimo na naslednji primer:

2. Narišemo paralelepiped, v njej narišemo ravnino in ravno črto ter ločeno narišemo njegovo spodnjo osnovo:

Najprej poiščemo enačbo ravnine: koordinate treh točk, ki ležijo v njej:

(prvi dve koordinati sta pridobljeni na očiten način, zadnjo koordinato pa zlahka najdete na sliki iz točke). Nato sestavimo enačbo ravnine:

Izračunamo:

Iščemo koordinate smernega vektorja: Jasno je, da njegove koordinate sovpadajo s koordinatami točke, kajne? Kako najti koordinate? To so koordinate točke, dvignjene vzdolž aplikativne osi za ena! . Nato iščemo želeni kot:

odgovor:

3. Nariši pravilno šesterokotno piramido, nato pa vanjo nariši ravnino in premico.

Tukaj je celo problematično narisati ravnino, da ne omenjam rešitve tega problema, vendar koordinatna metoda ne skrbi! Prav v vsestranskosti je njegova glavna prednost!

Ravnina gre skozi tri točke: . Iščemo njihove koordinate:

1) . Sami prikažite koordinate za zadnji dve točki. Za to boste morali rešiti problem s šesterokotno piramido!

2) Sestavimo enačbo ravnine:

Iščemo koordinate vektorja: . (Ponovno glej problem trikotne piramide!)

3) Iščemo kot:

odgovor:

Kot lahko vidite, v teh nalogah ni nič nadnaravno težkega. Samo s koreninami morate biti zelo previdni. Na zadnji dve težavi bom dal le odgovore:

Kot lahko vidite, je tehnika reševanja problemov povsod enaka: glavna naloga je najti koordinate vozlišč in jih nadomestiti z nekaterimi formulami. Preostane nam še en razred problemov za izračun kotov, in sicer:

Računanje kotov med dvema ravninama

Algoritem rešitve bo naslednji:

1. Za tri točke iščemo enačbo prve ravnine:
2. Za ostale tri točke iščemo enačbo druge ravnine:
3. Uporabimo formulo:

Kot lahko vidite, je formula zelo podobna prejšnjima dvema, s pomočjo katerih smo iskali kote med premicami in med premico in ravnino. Tega si torej ne bo težko zapomniti. Skočimo naravnost k problemu:

1. Sto-ro-na osnovi pravilne trikotne prizme je enak, dia-go-nal stranske ploskve pa je enak. Poiščite kot med ravnino in ravnino osnove dobitka.

2. V desnem-naprej štiri-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de so vsi robovi nekoga enaki, poiščite sinus kota med ravnino in ravnino Ko-Stu, ki poteka skozi točka per-pen-di-ku-lyar-but straight-my.

3. V pravilni prizmi s štirimi premogi so stranice os-no-va-nia enake, stranski robovi pa enaki. Na robu od-me-che-do točke, tako da. Poiščite kot med ravninama in

4. V pravilni štirikotni prizmi sta stranici osnov enaki, stranski robovi pa enaki. Na robu od-me-che-do točke, tako da Poiščite kot med ravninama in.

5. V kocki poiščite ko-si-nus kota med ravninama in

Rešitve težav:

1. Narišem pravilno (na dnu - enakostranični trikotnik) trikotno prizmo in na njej označim ravnine, ki se pojavljajo v pogoju problema:

Najti moramo enačbi dveh ravnin: Osnovno enačbo dobimo trivialno: lahko naredite ustrezno determinanto za tri točke, vendar bom enačbo sestavil takoj:

Zdaj pa poiščimo enačbo Točka ima koordinate Točka - Ker - mediana in višina trikotnika, jo je v trikotniku enostavno najti s Pitagorovim izrekom. Potem ima točka koordinate: Poiščite aplikacijo točke Če želite to narediti, razmislite o pravokotnem trikotniku

Nato dobimo naslednje koordinate: Sestavimo enačbo ravnine.

Izračunamo kot med ravninama:

odgovor:

2. Izdelava risbe:

Najtežje je razumeti, za kakšno skrivnostno ravnino gre, ki gre skozi točko pravokotno. No, glavno je, kaj je to? Glavna stvar je pozornost! Dejansko je črta pravokotna. Tudi črta je pravokotna. Potem bo ravnina, ki poteka skozi ti dve premici, pravokotna na premico in bo mimogrede šla skozi točko. Ta ravnina gre tudi skozi vrh piramide. Nato želeno letalo - In letalo nam je že dano. Iščemo koordinate točk.

Skozi točko poiščemo koordinato točke. Iz majhne risbe je enostavno razbrati, da bodo koordinate točke naslednje: Kaj je zdaj treba najti, da bi našli koordinate vrha piramide? Še vedno je treba izračunati njegovo višino. To naredimo z uporabo istega Pitagorovega izreka: najprej dokaži to (trivialno iz majhnih trikotnikov, ki tvorijo kvadrat na dnu). Ker imamo po pogoju:

Zdaj je vse pripravljeno: koordinate vozlišča:

Sestavimo enačbo ravnine:

Ste že strokovnjak za izračunavanje determinant. Enostavno boste prejeli:

Ali drugače (če oba dela pomnožimo s korenom iz dva)

Zdaj pa poiščimo enačbo ravnine:

(Nisi pozabil, kako dobimo enačbo ravnine, kajne? Če ne razumeš, od kod ta minus ena, se vrni k definiciji enačbe ravnine! Vedno se je izkazalo, da je moj letalo je pripadalo izvoru!)

Izračunamo determinanto:

(Morda boste opazili, da je enačba ravnine sovpadala z enačbo premice, ki poteka skozi točke in! Pomislite, zakaj!)

Zdaj izračunamo kot:

Najti moramo sinus:

odgovor:

3. Kočljivo vprašanje: kaj je pravokotna prizma, kaj mislite? Vam je samo dobro znan paralelepiped! Risanje takoj! Osnove ne morete prikazati posebej, tukaj je malo uporabnega:

Ravnina, kot smo že omenili, je zapisana kot enačba:

Zdaj naredimo letalo

Takoj sestavimo enačbo ravnine:

Iščem kot

Zdaj pa odgovori na zadnji dve težavi:

No, zdaj je čas za oddih, saj sva ti in jaz super in opravila odlično delo!

Koordinate in vektorji. Napredni nivo

V tem članku bomo z vami razpravljali o drugem razredu problemov, ki jih je mogoče rešiti s koordinatno metodo: o problemih razdalje. Upoštevali bomo namreč naslednje primere:

1. Izračun razdalje med poševnimi črtami.

Dane naloge sem naročil glede na njihovo zahtevnost. Najlažje je najti razdalja med točko in ravnino in najtežje je najti razdalja med sekajočimi se črtami. Čeprav seveda nič ni nemogoče! Ne odlašajmo in takoj nadaljujmo z obravnavo prvega razreda problemov:

Računanje razdalje od točke do ravnine

Kaj potrebujemo za rešitev tega problema?

1. Koordinate točk

Torej, takoj ko dobimo vse potrebne podatke, uporabimo formulo:

Moral bi že vedeti, kako sestavimo enačbo ravnine iz prejšnjih problemov, ki sem jih analiziral v zadnjem delu. Takoj se lotimo posla. Shema je naslednja: 1, 2 - pomagam vam pri odločitvi in ​​nekoliko podrobneje, 3, 4 - samo odgovor, sami se odločite in primerjate. Začelo se je!

Naloge:

1. Dana kocka. Dolžina roba kocke je Poiščite razdaljo od se-re-di-ny od reza do ravnine

2. Glede na desno-vil-naya štiri-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe rob sto-ro-na os-no-va-nia je enak. Poišči-di-te razdalje od točke do ravnine, kjer - se-re-di-na robovih.

3. V desnem trikotnem pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em je drugi rob enak, sto-ro-on os-no-va-niya pa je enak. Poišči-di-te razdalje od vrha do ravnine.

4. V desnosučni prizmi šestih ogljev so vsi robovi enaki. Poišči-di-te razdalje od točke do ravnine.

rešitve:

1. Narišite kocko z enojnimi robovi, zgradite segment in ravnino, sredino segmenta označite s črko

.

Najprej začnimo z enostavnim: poiščite koordinate točke. Od takrat (zapomnite si koordinate sredine segmenta!)

Zdaj sestavimo enačbo ravnine na treh točkah

\[\levo| (\begin(matrika)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(matrika)) \right| = 0\]

Zdaj lahko začnem iskati razdaljo:

2. Ponovno začnemo z risbo, na kateri označimo vse podatke!

Za piramido bi bilo koristno, če bi njeno osnovo narisali posebej.

Tudi dejstvo, da rišem kot kurja šapa, nam ne bo preprečilo, da bi zlahka rešili ta problem!

Zdaj je preprosto najti koordinate točke

Ker koordinate točke

2. Ker so koordinate točke a sredina segmenta, potem

Enostavno najdemo koordinate še dveh točk na ravnini.Sestavimo enačbo ravnine in jo poenostavimo:

\[\levo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(matrika)) \right|) \right| = 0\]

Ker ima točka koordinate: , izračunamo razdaljo:

Odgovor (zelo redek!):

No, si razumel? Zdi se mi, da je tukaj vse tako tehnično kot v primerih, ki smo jih obravnavali z vami v prejšnjem delu. Zato sem prepričan, da če ste to snov obvladali, vam ne bo težko rešiti preostalih dveh problemov. Dal vam bom samo odgovore:

Izračunavanje razdalje od premice do ravnine

Pravzaprav tu ni nič novega. Kako se lahko premica in ravnina nahajata glede na drugo? Imajo vse možnosti: da se sekajo ali da je premica vzporedna z ravnino. Kaj misliš, kakšna je razdalja od premice do ravnine, s katero se dana premica seka? Zdi se mi, da je jasno, da je taka razdalja enaka nič. Nezanimiv primer.

Drugi primer je težavnejši: tu je razdalja že različna od nič. Ker pa je premica vzporedna z ravnino, je vsaka točka premice enako oddaljena od te ravnine:

V to smer:

In to pomeni, da se je moja naloga zmanjšala na prejšnjo: iščemo koordinate poljubne točke na premici, iščemo enačbo ravnine, izračunamo razdaljo od točke do ravnine. Pravzaprav so takšne naloge na izpitu izjemno redke. Uspelo mi je najti samo eno težavo in podatki v njej so bili takšni, da koordinatna metoda zanjo ni bila preveč uporabna!

Zdaj pa preidimo na drug, veliko pomembnejši razred problemov:

Izračun razdalje med točko in črto

Kaj bomo potrebovali?

1. Koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Koordinate katere koli točke, ki leži na ravni črti

3. Koordinate vektorja smeri premice

Kakšno formulo uporabljamo?

Kaj vam pomeni imenovalec tega ulomka in zato mora biti jasno: to je dolžina usmerjevalnega vektorja premice. Tukaj je zelo zapleten števec! Izraz pomeni modul (dolžino) vektorskega produkta vektorjev in Kako izračunamo vektorski produkt, smo se učili v prejšnjem delu dela. Osvežite svoje znanje, zdaj nam bo zelo koristilo!

Tako bo algoritem za reševanje problemov naslednji:

1. Iščemo koordinate točke, od katere iščemo razdaljo:

2. Iščemo koordinate poljubne točke na premici, do katere iščemo razdaljo:

3. Gradnja vektorja

4. Zgradimo smerni vektor premice

5. Izračunajte navzkrižni produkt

6. Iščemo dolžino nastalega vektorja:

7. Izračunajte razdaljo:

Imamo veliko dela, primeri pa bodo precej zapleteni! Torej zdaj usmerite vso svojo pozornost!

1. Dana je desnosučna trikotna pi-ra-mi-da z vrhom. Sto-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy je enako, you-so-ta je enako. Poiščite tiste razdalje od se-re-di-ny bo-ko-th roba do ravne črte, kjer so točke in se-re-di-ny reber in co-from- vet -stven-ampak.

2. Dolžine reber in pravega kota-no-para-ral-le-le-pi-pe-da so enake, in Find-di-te razdalja od top-shi-ny do straight-my

3. V desni prizmi s šestimi premogi so vsi robovi roja enaki, najdi-di-te razdalje od točke do premice

rešitve:

1. Naredimo lepo risbo, na kateri označimo vse podatke:

Imamo veliko dela za vas! Najprej bi rad z besedami opisal, kaj bomo iskali in v kakšnem vrstnem redu:

1. Koordinate točk in

2. Koordinate točk

3. Koordinate točk in

4. Koordinate vektorjev in

5. Njihov navzkrižni produkt

6. Dolžina vektorja

7. Dolžina vektorskega produkta

8. Razdalja od do

No, čaka nas veliko dela! Zavihajmo rokave!

1. Da bi našli koordinate višine piramide, moramo poznati koordinate točke, katere aplikata je nič, ordinata pa je enaka njeni abscisi. Končno smo dobili koordinate:

Koordinate točk

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

srednja točka

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski produkt:

6. Dolžina vektorja: najlažje je zamenjati, da je odsek srednjica trikotnika, kar pomeni, da je enak polovici osnove. torej.

7. Upoštevamo dolžino vektorskega produkta:

8. Končno poiščite razdaljo:

Fuj, to je vse! Iskreno vam povem: reševanje tega problema s tradicionalnimi metodami (s konstrukcijami) bi bilo veliko hitrejše. Ampak tukaj sem vse zmanjšal na že pripravljen algoritem! Mislim, da vam je algoritem rešitve jasen? Zato vas bom prosil, da preostali dve težavi rešite sami. Primerjaj odgovore?

Še enkrat ponavljam: te probleme je lažje (hitreje) rešiti s konstrukcijami, namesto da bi se zatekli k koordinatni metodi. Ta način reševanja sem prikazal samo zato, da vam pokažem univerzalno metodo, ki vam omogoča, da "ničesar ne dokončate".

Nazadnje razmislite o zadnjem razredu težav:

Izračun razdalje med poševnimi črtami

Tukaj bo algoritem za reševanje problemov podoben prejšnjemu. Kaj imamo:

3. Vsak vektor, ki povezuje točke prve in druge črte:

Kako najdemo razdaljo med črtami?

Formula je:

Števec je modul mešanega produkta (predstavili smo ga v prejšnjem delu), imenovalec pa enak kot v prejšnji formuli (modul vektorskega produkta usmerjevalnih vektorjev premic, razdaljo med katerimi smo iščejo).

Na to vas bom spomnil

potem formulo za razdaljo lahko prepišemo kot:

To determinanto razdeli na determinanto! Čeprav, če sem iskren, tukaj nisem razpoložen za šale! Ta formula je pravzaprav zelo okorna in vodi do precej zapletenih izračunov. Na tvojem mestu bi ga uporabil samo v skrajnem primeru!

Poskusimo rešiti nekaj težav z zgornjo metodo:

1. V pravilni trikotni prizmi so vsi robovi nekako enaki, poiščite razdaljo med premicami in.

2. Glede na pravokotno trikotno prizmo so vsi robovi os-no-va-niya nekoga enaki Se-che-tion, ki poteka skozi drugo rebro in se-re-di-nu rebra so yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie med straight-we-mi in

Jaz se odločim za prvo, na podlagi tega pa ti za drugo!

1. Narišem prizmo in označim premice in

Koordinate točke C: potem

Koordinate točk

Vektorske koordinate

Koordinate točk

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\levo((B,\naddesna puščica (A(A_1)) \naddesna puščica (B(C_1)) ) \desno) = \levo| (\begin(matrika)(*(20)(l))(\begin(matrika)(*(20)(c))0&1&0\end(matrika))\\(\begin(matrika)(*(20) (c))0&0&1\end(matrika))\\(\begin(matrika)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\konec(matrika))\konec(matrika)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Upoštevamo navzkrižni produkt med vektorji in

\[\naddesna puščica (A(A_1)) \cdot \naddesna puščica (B(C_1)) = \levo| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(matrika)\\\begin(matrika)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(matrika)\end(matrika) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\puščica naddesno k + \frac(1)(2)\puščica naddesno i \]

Zdaj upoštevamo njegovo dolžino:

odgovor:

Sedaj poskusite pazljivo opraviti drugo nalogo. Odgovor nanj bo:.

Koordinate in vektorji. Kratek opis in osnovne formule

Vektor je usmerjen segment. - začetek vektorja, - konec vektorja.
Vektor označimo z oz.

Absolutna vrednost vektor - dolžina segmenta, ki predstavlja vektor. Določeno kot.

Vektorske koordinate:

,
kje so konci vektorja \displaystyle a .

Vsota vektorjev: .

Produkt vektorjev:

Pikčasti produkt vektorjev:

Skalarni produkt vektorjev je enak produktu njihovih absolutnih vrednosti in kosinusa kota med njimi:

PREOSTALI 2/3 IZDELKOV STA NA VOLJO SAMO ŠTUDENTOM YOUCLEVER!

Postanite študent YouClever,

Pripravite se na OGE ali USE iz matematike po ceni "skodelica kave na mesec",

Prav tako pridobite neomejen dostop do učbenika "YouClever", programa usposabljanja "100gia" (knjiga rešitev), neomejenega preizkusa USE in OGE, 6000 nalog z analizo rešitev in drugih storitev YouClever in 100gia.

Naj bo pravokotni koordinatni sistem fiksiran v tridimenzionalnem prostoru Oxyz, dana točka , premica a in potrebno je najti razdaljo od točke IN naravnost a.

Pokazali bomo dva načina za izračun razdalje od točke do premice v prostoru. V prvem primeru iskanje razdalje od točke M 1 naravnost a gre za iskanje razdalje od točke M 1 do točke H 1 , kje H 1 - osnova navpičnice, spuščena s točke M 1 neposredno a. V drugem primeru bo razdalja od točke do ravnine najdena kot višina paralelograma.

Pa začnimo.

Prvi način za iskanje razdalje od točke do premice a v prostoru.

Ker je po definiciji razdalja od točke M 1 naravnost a je dolžina navpičnice M 1 H 1 , potem ko smo določili koordinate točke H 1 , lahko želeno razdaljo izračunamo kot razdaljo med točkama in po formuli.

Tako se problem zmanjša na iskanje koordinat osnove pravokotnice, zgrajene iz točke M 1 na ravno črto a. To je dovolj enostavno narediti: pika H 1 je točka presečišča premice a z ravnino, ki poteka skozi točko M 1 pravokotno na premico a.

Posledično algoritem, ki vam omogoča določanje razdalje od točke naravnosta v vesolju, je:

Druga metoda, ki vam omogoča, da najdete razdaljo od točke do črte a v prostoru.

Ker nam je v pogoju problema dana premica a, potem lahko določimo njegov smerni vektor in koordinate neke točke M 3 ki leži na ravni liniji a. Nato glede na koordinate točk in lahko izračunamo koordinate vektorja:

Odložite vektorje in iz točke M 3 in na njih sestavite paralelogram. V ta paralelogram nariši višino M 1 H 1 .

Očitno višina M 1 H 1 konstruirani paralelogram je enak želeni razdalji od točke M 1 naravnost a. Najdimo.

Po eni strani je območje paralelograma (označujemo ga S) lahko najdete preko vektorskega produkta vektorjev in po formuli . Po drugi strani pa je površina paralelograma enaka produktu dolžine njegove stranice in višine, to je , kje - vektorska dolžina , enaka dolžini stranice obravnavanega paralelograma. Torej razdalja od dane točke M 1 na dano vrstico a lahko najdemo iz enakosti kako .

Torej, najti razdaljo od točke naravnosta potrebna v prostoru

Reševanje nalog o iskanju razdalje od dane točke do dane premice v prostoru.

Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Poiščite razdaljo od točke naravnost .

Odločitev.

Prvi način.

Zapišimo enačbo ravnine, ki poteka skozi točko M 1 pravokotno na dano premico:

Poiščite koordinate točke H 1 - točke presečišča ravnine in dane premice. Da bi to naredili, izvedemo prehod s kanoničnih enačb premice na enačbe dveh sekajočih se ravnin

nakar rešimo sistem linearnih enačb Cramerjeva metoda:

V to smer, .

Ostaja še izračunati zahtevano razdaljo od točke do črte kot razdaljo med točkama in : .

Drugi način.

Številke v imenovalcih ulomkov v kanoničnih enačbah premice so ustrezne koordinate usmerjevalnega vektorja te premice, tj. - smerni vektor naravnost . Izračunajmo njegovo dolžino: .

Očitno ravna črta poteka skozi točko , nato vektor z izhodiščem v točki in končajo na točki jesti . Poiščite navzkrižni produkt vektorjev in :
potem je dolžina tega navzkrižnega produkta .

Zdaj imamo vse podatke za uporabo formule za izračun razdalje od dane točke do dane ravnine: .

odgovor:

Medsebojna razporeditev črt v prostoru

Razmislite o uporabi analiziranih metod za iskanje razdalje od dane točke do dane premice na ravnini pri reševanju primera.

Poiščite razdaljo od točke do črte:

Najprej rešimo problem na prvi način.

V pogoju problema nam je dana splošna enačba premice a oblike:

Poiščimo splošno enačbo premice b, ki poteka skozi dano točko pravokotno na premico:

Ker je premica b pravokotna na premico a, je smerni vektor premice b normalni vektor dane premice:

to pomeni, da ima smerni vektor premice b koordinate. Zdaj lahko zapišemo kanonično enačbo premice b na ravnini, saj poznamo koordinate točke M 1, skozi katero poteka premica b, in koordinate usmerjevalnega vektorja premice b:

Iz dobljene kanonične enačbe premice b preidemo na splošno enačbo premice:

Zdaj poiščemo koordinate točke presečišča premic a in b (označimo jo s H 1) z reševanjem sistema enačb, sestavljenega iz splošnih enačb premic a in b (če je potrebno, glej sisteme reševanja člankov linearnih enačb):

Tako ima točka H 1 koordinate.

Ostaja še izračunati želeno razdaljo od točke M 1 do ravne črte a kot razdaljo med točkama in:

Drugi način za rešitev problema.

Dobimo normalno enačbo dane premice. Da bi to naredili, izračunamo vrednost normalizacijskega faktorja in z njim pomnožimo oba dela prvotne splošne enačbe premice:

(O tem smo govorili v poglavju o spravljanju splošne enačbe premice v normalno obliko).

Normalizacijski faktor je enak

potem ima normalna enačba premice obliko:

Zdaj vzamemo izraz na levi strani dobljene normalne enačbe premice in izračunamo njegovo vrednost za:

Želena razdalja od dane točke do dane ravne črte:

je enaka absolutni vrednosti prejete vrednosti, to je pet ().

razdalja od točke do črte:

Očitno je prednost metode iskanja razdalje od točke do premice na ravnini, ki temelji na uporabi normalne enačbe premice, sorazmerno manjši obseg računskega dela. Po drugi strani je prvi način za iskanje razdalje od točke do črte intuitiven in se odlikuje po doslednosti in logiki.

Na ravnini je fiksiran pravokotni koordinatni sistem Oxy, podani sta točka in premica:

Poiščite razdaljo od dane točke do dane premice.

Prvi način.

Od dane enačbe ravne črte z naklonom lahko preidete na splošno enačbo te ravne črte in nadaljujete na enak način kot v zgornjem primeru.

Lahko pa drugače.

Vemo, da je zmnožek naklonov pravokotnih premic enak 1 (glej članek pravokotne premice, pravokotnost premic). Zato je naklon črte, ki je pravokotna na dano črto:

je enako 2. Potem ima enačba premice, pravokotne na dano premico in poteka skozi točko, obliko:

Zdaj pa poiščimo koordinate točke H 1 - presečišča črt:

Tako je želena razdalja od točke do ravne črte:

enaka razdalji med točkama in:

Drugi način.

Pojdimo od dane enačbe premice z naklonom k ​​normalni enačbi te premice:

normalizacijski faktor je enak:

zato ima normalna enačba dane premice obliko:

Zdaj izračunamo zahtevano razdaljo od točke do črte:

Izračunaj razdaljo od točke do črte:

in na ravno črto:

Dobimo normalno enačbo premice:

Zdaj izračunajte razdaljo od točke do črte:

Normalizacijski faktor za enačbo ravne črte:

je enaka 1. Potem ima normalna enačba te premice obliko:

Zdaj lahko izračunamo razdaljo od točke do črte:

enako je.

Odgovor: in 5.

Na koncu bomo ločeno preučili, kako najti razdaljo od dane točke ravnine do koordinatnih črt Ox in Oy.

V pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy je koordinatna premica Oy podana z nepopolno splošno enačbo premice x=0, koordinatna premica Ox pa z enačbo y=0. Te enačbe so normalne enačbe premic Oy in Ox, zato se razdalja od točke do teh premic izračuna po formulah:

oz.

Slika 5

Na ravnini je uveden pravokotni koordinatni sistem Oxy. Poiščite razdalje od točke do koordinatnih črt.

Razdalja od dane točke M 1 do koordinatne premice Ox (podana je z enačbo y=0) je enaka modulu ordinate točke M 1, to je .

Razdalja od dane točke M 1 do koordinatne premice Oy (ustreza enačbi x=0) je enaka absolutni vrednosti abscise točke M 1: .

Odgovor: razdalja od točke M 1 do premice Ox je 6, razdalja od dane točke do koordinatne premice Oy pa enaka.

Koordinatna metoda (razdalja med točko in ravnino, med premicami)

Razdalja med točko in ravnino.

Razdalja med točko in črto.

Razdalja med dvema črtama.

Prva koristna stvar, ki jo morate vedeti, je, kako najti razdaljo od točke do ravnine:

Vrednosti A, B, C, D - koeficienti ravnine

x, y, z - koordinate točk

Naloga. Poiščite razdaljo med točko A = (3; 7; −2) in ravnino 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

Vse je dano, lahko takoj nadomestite vrednosti v enačbi:

Naloga. Poiščite razdaljo od točke K = (1; −2; 7) do premice, ki poteka skozi točki V = (8; 6; −13) in T = (−1; −6; 7).

1. Najdemo vektor ravne črte.
2. Izračunamo vektor, ki poteka skozi želeno točko in poljubno točko na premici.
   
3. Nastavimo matriko in poiščemo determinanto za dva dobljena vektorja v 1. in 2. odstavku.
4. Razdaljo dobimo, če kvadratni koren vsote kvadratov koeficientov matrike delimo z dolžino vektorja, ki določa premico(Mislim, da ni jasno, zato pojdimo na konkreten primer).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Vektor najdemo skozi točki K in T, čeprav bi bilo možno tudi skozi K in V ali katero koli drugo točko na tej premici.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Dobite matriko brez koeficienta D (tu ga za rešitev ne potrebujete):

4) Letalo se je izkazalo s koeficienti A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z - koordinate vektorja ravne črte, v tem primeru ima vektor TV koordinate (9; 12; −20)

Naloga. Poiščite razdaljo med premico, ki poteka skozi točke E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), in premico, ki poteka skozi točke M = (4; −1; 4), L = (–2;3;0).

1. Postavimo vektorja obeh premic.
2. Vektor poiščemo tako, da vsaki premici vzamemo eno točko.
3. Zapišemo matriko 3 vektorjev (dve premici iz 1. točke, ena premica iz 2.) in poiščemo njeno numerično determinanto.
4. Nastavimo matriko prvih dveh vektorjev (v 1. koraku). Prvo vrstico nastavimo kot x, y, z.
5. Razdaljo dobimo, ko dobljeno vrednost iz točke 3 modulo delimo s kvadratnim korenom vsote kvadratov točke 4.

Preidimo k številkam.

Razdalja od točke do premice je dolžina navpičnice od točke do premice. V opisni geometriji se določi grafično po spodnjem algoritmu.

Algoritem

1. Ravna črta se prenese v položaj, v katerem bo vzporedna s katero koli projekcijsko ravnino. Če želite to narediti, uporabite metode transformacije ortogonalnih projekcij.
2. Nariši pravokotnico iz točke na premico. Ta konstrukcija temelji na izreku o pravokotni projekciji.
3. Dolžino navpičnice določimo s pretvorbo njenih projekcij ali z uporabo metode pravokotnega trikotnika.

Naslednja slika prikazuje kompleksno risbo točke M in premice b, ki ju definira daljica CD. Morate najti razdaljo med njimi.

Po našem algoritmu je treba najprej premakniti premico v položaj, ki je vzporeden s projekcijsko ravnino. Pomembno je razumeti, da se po transformacijah dejanska razdalja med točko in črto ne sme spremeniti. Zato je tukaj priročno uporabiti metodo zamenjave ravnine, ki ne vključuje premikanja figur v prostoru.

Rezultati prve faze gradenj so prikazani spodaj. Slika prikazuje, kako se uvede dodatna čelna ravnina P 4 vzporedno z b. V novem sistemu (P 1 , P 4) so ​​točke C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 na enaki razdalji od osi X 1 kot C"", D"", M"" od osi os x.

Z izvajanjem drugega dela algoritma iz M"" 1 spustimo navpično M"" 1 N"" 1 na ravno črto b"" 1, saj je pravi kot MND med b in MN projiciran na ravnino P 4 v polni velikosti. Določimo položaj točke N" vzdolž komunikacijske črte in narišemo projekcijo M"N" odseka MN.

Na zadnji stopnji je treba določiti vrednost segmenta MN z njegovimi projekcijami M"N" in M"" 1 N"" 1 . Da bi to naredili, zgradimo pravokotni trikotnik M"" 1 N"" 1 N 0, v katerem je krak N"" 1 N 0 enak razliki (Y M 1 - Y N 1) odstranitve točk M " in N" od osi X 1. Dolžina hipotenuze M"" 1 N 0 trikotnika M"" 1 N"" 1 N 0 ustreza želeni razdalji od M do b.

Drugi način reševanja

• Vzporedno s CD uvedemo novo čelno ravnino П 4 . Seka P 1 vzdolž osi X 1 in X 1 ∥C"D". V skladu z metodo zamenjave ravnin določimo projekcije točk C "" 1, D"" 1 in M"" 1, kot je prikazano na sliki.
• Pravokotno na C "" 1 D "" 1 zgradimo dodatno vodoravno ravnino P 5, na katero je ravna črta b projicirana na točko C" 2 \u003d b" 2.
• Razdalja med točko M in premico b je določena z dolžino segmenta M "2 C" 2, ki je označen z rdečo.

Sorodne naloge: