Uporaba določenega integrala: izračun površine dolžine loka. Geometrijske aplikacije določenega integrala

Predavanje 21 Aplikacije določen integral(2h)

Geometrijske aplikacije

A) Območje figure

Kot je navedeno v predavanju 19, numerično enako površini krivočrtni trapez, omejen s krivuljo pri = f(x), naravnost X = A, X = b in segment [ a, b] Os OX. Še več, če f(x) £ 0 na [ a, b], potem je treba integral vzeti z znakom minus.

Če na danem intervalu funkcija pri = f(x) spremeni znak, nato pa za izračun površine figure, ki je zaprta med grafom te funkcije in osjo OX, razdelite segment na dele, na vsakem od katerih funkcija ohrani svoj znak, in poiščite območje ​vsak del figure. Zahtevano območje je v tem primeru algebraična vsota integralov po teh segmentih in integralov, ki ustrezajo negativne vrednosti funkcije so v tej vsoti vzete z znakom minus.

Če je lik omejen z dvema krivuljama pri = f 1 (x) In pri = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), potem je, kot izhaja iz slike 9, njegova površina enaka razliki območij krivuljnih trapezov A sonce b in A AD b, od katerih je vsak številčno enak integralu. pomeni,

Upoštevajte, da je površina slike, prikazane na sliki 10a, najdena z isto formulo: S = (dokažite!). Pomislite, kako izračunati površino figure, prikazane na sliki 10b?

Govorili smo le o krivuljnih trapezih, ki mejijo na os OX. Toda podobne formule veljajo tudi za figure, ki mejijo na os OU. Na primer, območje slike, prikazane na sliki 11, se najde s formulo

Pusti črto l=f(x), ki omejuje ukrivljeni trapez, je mogoče podati parametrične enačbe , tО , in j(a)= A, j(b) = b, tj. pri= . Potem je površina tega krivuljastega trapeza enaka

.

b) Dolžina loka krivulje

Naj bo krivulja podana pri = f(x). Oglejmo si lok te krivulje, ki ustreza spremembi X na segmentu [ a, b]. Poiščimo dolžino tega loka. Da bi to naredili, razdelimo lok AB na n deli po točkah A = M 0, M 1, M 2, ..., M n= B (slika 14), ki ustreza točkam X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].

Označimo D l i dolžina loka, torej l= . Če so ločne dolžine D l i so dovolj majhni, jih je mogoče obravnavati približno enake dolžine ustrezne segmente, priključne točke M i-1,M i. Te točke imajo koordinate M i -1 (x i -1, f (x i-1)), M i(x i, f(x i)). Potem sta dolžini segmentov enaki

Tukaj je uporabljena Lagrangeova formula. Postavimo x i – x i-1 =D x i, dobimo

Potem l = , kje

l = .

Tako je ločna dolžina krivulje pri = f(x), ki ustreza spremembi X na segmentu [ a, b], ki ga najdemo po formuli

l = , (1)

Če je krivulja podana parametrično, t O, tj. l(t) = f(x(t)), potem iz formule (1) dobimo:

l=
.

To pomeni, da če je krivulja podana parametrično, potem je dolžina loka te krivulje, ki ustreza spremembi tО, najdemo po formuli

V) Prostornina vrtilnega telesa.

Podobno lahko izpeljemo formulo za prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem krivočrtnega trapeza okoli osi OU, omejeno z grafom funkcije X= j( pri), naravnost l = c , l = d in segment [ c,d] os operacijskega ojačevalnika (slika 15):

Fizikalne aplikacije določenega integrala

V predavanju 19 smo dokazali, da z fizična točka pogled, integral numerično enaka masi pravokotna tanka neenakomerna palica dolžine l= b – a, s spremenljivo linearno gostoto r = f(x), f(x) ³ 0, kjer je X– razdalja od konice palice do njenega levega konca.

Razmislimo o drugih fizikalnih aplikacijah določenega integrala.

Problem 1. Poiščite delo, potrebno za črpanje olja iz navpičnega cilindričnega rezervoarja z višino H in osnovnim polmerom R. Gostota olja je r.

rešitev. Gradimo matematični model te naloge. Naj poteka os OX vzdolž simetrijske osi valja z višino H in polmerom R, izhodišče je v središču zgornjega vznožja valja (slika 17). Razdelimo valj na n majhni vodoravni deli. Kam pa potem A i– črpalna dela i th plast. Ta delitev valja ustreza delitvi segmenta spremembe višine plasti na n deli. Oglejmo si eno od teh plasti, ki se nahaja na daljavo x i od površine, širina D X(ali takoj dx). Izčrpavanje te plasti si lahko predstavljamo kot "dvig" plasti na višino x i.

Potem je delo za črpanje te plasti enako

A i»P i x i, ,

kjer je P i=rgV i= rgpR 2 dx, R i– teža, V i– volumen plasti. Potem A i» R i x i= rgpR 2 dx.x i, kje

, in zato .

Problem 2. Poiščite vztrajnostni moment

a) votel valj s tanko steno glede na os, ki poteka skozi njegovo simetrično os;

b) poln valj glede na os, ki gre skozi njegovo simetrično os;

c) tanko palico dolžine l glede na os, ki poteka skozi njegovo sredino;

d) dolžina tanke palice l glede na os, ki poteka skozi njegov levi konec.

rešitev. Kot je znano, je vztrajnostni moment točke glede na os enak J=g 2, in sistemi točk.

a) Valj ima tanko steno, kar pomeni, da lahko debelino sten zanemarimo. Naj bo polmer osnove valja R, njegova višina H, gostota mase na stenah pa je enaka r.

Razdelimo valj na n dele in poiščite kje J i– vztrajnostni moment i element particije.

Razmislimo i element predelne stene (infinitezimalni valj). Vse njene točke so na razdalji R od osi l. Naj bo masa tega valja t i, Potem t i= rV i» rS strani= 2prR dx i, Kje x i O. Potem J i» R 2 prR dx i, kje

.

Če je r konstanta, potem J= 2prR 3 N, in ker je masa valja enaka M = 2prRН, potem J=MR 2.

b) Če je valj trden (napolnjen), ga razdelimo na n vlo tanki valji, povezani drug v drugem. če n velik, se lahko vsak od teh valjev šteje za tankostenski. Ta razdelitev ustreza razdelitvi segmenta na n deli s točkami R i. Poiščimo maso i tankostenski valj: t i= rV i, Kje

V i= pR i 2 H – pR jaz- 1 2 H = pH(R i 2 –R i -1 2) =

PH(R i–R i-1)(R i+R i -1).

Zaradi dejstva, da so stene valja tanke, lahko domnevamo, da je R i+R i-1 » 2R i in R i–R i-1 = DR i, nato V i» pH2R i D.R. i, kje t i» rpН×2R i D.R. i,

Potem končno

c) Razmislite o palici dolžine l, katerega masna gostota je enaka r. Vrtilna os naj poteka skozi njegovo sredino.

Palico modeliramo kot segment osi OX, potem je os vrtenja palice os OU. Razmislimo o elementarnem segmentu, njegova masa, razdalja do osi se lahko šteje za približno enako r i= x i. Potem je vztrajnostni moment tega odseka enak , od koder je vztrajnostni moment celotne palice enak . Ob upoštevanju, da je masa palice enaka , torej

d) Naj gre zdaj vrtilna os skozi levi konec palice, tj. Model palice je segment osi OX. Nato podobno, r i= x i, , kje , in od , potem .

Naloga 3. Poiščite silo tlaka tekočine z gostoto r on pravokotni trikotnik z nogami A in b, navpično potopljen v tekočino, tako da noga A je na površini tekočine.

rešitev.

Zgradimo model problema. Naj vrh pravi kot trikotnik je v izhodišču, krak A sovpada s segmentom osi OU (os OU določa površino tekočine), os OX je usmerjena navzdol, noga b sovpada z odsekom te osi. Hipotenuza tega trikotnika ima enačbo ali .

Znano je, da če na vodoravni regiji območja S, potopljeno v tekočino z gostoto r, pritiska steber tekočine višine h, potem je sila pritiska enaka (Pascalov zakon). Uporabimo ta zakon.

Območje krivolinijskega trapeza, ki je zgoraj omejeno z grafom funkcije y=f(x), levo in desno - naravnost x=a in x=b v skladu s tem od spodaj - os Ox, izračunano po formuli

Območje krivolinijskega trapeza, ki je na desni omejeno z grafom funkcije x=φ(y), zgoraj in spodaj - naravnost y=d in y=c v skladu s tem na levi - os Oj:

Območje krivulje, ki je zgoraj omejeno z grafom funkcije y 2 =f 2 (x), spodaj - graf funkcije y 1 =f 1 (x), levo in desno - naravnost x=a in x=b:

Območje krivulje, ki je levo in desno omejeno z grafi funkcij x 1 =φ 1 (y) in x 2 =φ 2 (y), zgoraj in spodaj - naravnost y=d in y=c oziroma:

Oglejmo si primer, ko je črta, ki omejuje krivočrtni trapez od zgoraj, podana s parametričnimi enačbami x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Kje α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Te enačbe določajo neko funkcijo y=f(x) na segmentu [ a, b]. Območje ukrivljenega trapeza se izračuna po formuli

Pojdimo na novo spremenljivko x = φ 1 (t), Potem dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), torej \begin(displaymath)

Območje v polarnih koordinatah

Razmislite o krivuljnem sektorju OAB, omejeno s premico, podano z enačbo ρ=ρ(φ) v polarnih koordinatah dva žarka O.A. in O.B., za katerega φ=α , φ=β .

Sektor bomo razdelili na osnovne sektorje OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n = B). Označimo z Δφ k kot med žarki OM k-1 in OM k, ki tvorijo kote s polarno osjo φ k-1 in φk oz. Vsak od osnovnih sektorjev OM k-1 M k zamenjajte ga s krožnim sektorjem s polmerom ρ k =ρ(φ" k), Kje φ"k- vrednost kota φ iz intervala [ φ k-1 , φ k], In sredinski kot Δφ k. Območje zadnjega sektorja je izraženo s formulo .

izraža območje "stopničastega" sektorja, ki približno nadomesti dani sektor OAB.

Območje sektorja OAB se imenuje meja območja "stopničastega" sektorja pri n → ∞ in λ=max Δφ k → 0:

Ker , To

Dolžina loka krivulje

Naj na segmentu [ a, b] je podana diferenciabilna funkcija y=f(x), katerega graf je lok. Segment [ a,b] razdelimo ga na n deli s pikami x 1, x 2, …, xn-1. Te točke bodo ustrezale točkam M 1, M 2, …, Mn-1 loke, jih povežemo z lomljeno črto, ki jo imenujemo v lok včrtana lomljena črta. Obod te lomljene črte bo označen z s n, to je

Opredelitev. Dolžina loka črte je meja oboda vanj vpisane zlomljene črte, ko je število povezav M k-1 M k neomejeno narašča, dolžina največjega med njimi pa se nagiba k ničli:

kjer je λ dolžina največjega člena.

Dolžino loka bomo šteli od neke točke, npr. A. Naj pri bistvu M(x,y) dolžina loka je s, in v bistvu M"(x+Δ x,y+Δy) dolžina loka je s+Δs, kjer je i>Δs dolžina loka. Iz trikotnika MNM" poišči dolžino tetive: .

Iz geometrijskih premislekov sledi, da

to pomeni, da sta neskončno majhen lok premice in tetiva, ki je pod njim, enakovredna.

Transformirajmo formulo, ki izraža dolžino tetive:

Če preidemo na limit v tej enakosti, dobimo formulo za odvod funkcije s=s(x):

iz katerega najdemo

Ta formula izraža diferencial loka ravninske krivulje in je preprosta geometrijski pomen: izraža Pitagorov izrek za infinitezimalni trikotnik MTN (ds=MT, ).

Diferencial loka prostorske krivulje je določen s formulo

Razmislite o loku prostorske črte, ki ga definirajo parametrične enačbe

kje α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - diferenciabilne funkcije argumenta t, To

Integracija te enakosti v intervalu [ α, β ], dobimo formulo za izračun dolžine tega loka

Če premica leži v ravnini Oxy, To z=0 pred vsemi t∈[α, β], zato

V primeru, ko je ravna črta podana z enačbo y=f(x) (a≤x≤b), kje f(x) je diferenciabilna funkcija, ima zadnja formula obliko

Naj bo ravninska premica podana z enačbo ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polarnih koordinatah. V tem primeru imamo parametrične enačbe premice x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, kjer je kot parameter vzet polarni kot φ . Ker

potem formula, ki izraža dolžino loka črte ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polarnih koordinatah ima obliko

Volumen telesa

Poiščimo prostornino telesa, če je znana površina katerega koli preseka tega telesa, pravokotnega na določeno smer.

Razdelimo to telo na osnovne plasti z ravninami, pravokotnimi na os Ox in definirana z enačbami x=konst. Za kakršno koli fiksno x∈ znano območje S=S(x) presek danega telesa.

Elementarni sloj, odrezan z ravninami x=x k-1, x=xk (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), ga nadomestite z valjem z višino Δx k =x k -x k-1 in osnovno površino S(ξ k), ξ k ∈.

Prostornina navedenega elementarnega valja je izražena s formulo Δv k =E(ξ k)Δx k. Povzemimo vse te izdelke

ki je integralna vsota za dano funkcijo S=S(x) na segmentu [ a, b]. Izraža prostornino stopničastega telesa, sestavljenega iz elementarnih valjev in približno nadomešča to telo.

Prostornina danega telesa je meja prostornine določenega stopničastega telesa pri λ→0 , Kje λ - dolžina največjega od osnovnih segmentov Δxk. Označimo z V prostornina danega telesa, potem po definiciji

Na drugi strani,

Posledično se prostornina telesa v danih presekih izračuna po formuli

Če telo nastane z vrtenjem okoli osi Ox ukrivljen trapez, ki je na vrhu omejen z lokom neprekinjene črte y=f(x), Kje a≤x≤b, To S(x)=πf 2 (x) in zadnja formula ima obliko:

Komentiraj. Prostornina telesa, ki jo dobimo z vrtenjem ukrivljenega trapeza, ki ga na desni omejuje graf funkcije x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), okoli osi Oj izračunano po formuli

Površina vrtenja

Razmislite o površini, ki jo dobite z vrtenjem loka črte y=f(x) (a≤x≤b) okoli osi Ox(predpostavimo, da funkcija y=f(x) ima zvezni odvod). Popravljanje vrednosti x∈, bomo dodali prirastek argumentu funkcije dx, kar ustreza "elementarnemu obroču", ki ga dobimo z vrtenjem elementarnega loka Δl. Zamenjajmo ta "obroč" s cilindričnim obročem - stransko površino telesa, ki nastane z vrtenjem pravokotnika z osnovo, ki je enaka diferencialu loka. dl, in višino h=f(x). Tako, da zadnji kolobar prerežemo in ga razpremo, dobimo trak s šir dl in dolžina 2πy, Kje y=f(x).

Zato je razlika površin izražena s formulo

Ta formula izraža površino, ki jo dobimo z vrtenjem loka črte y=f(x) (a≤x≤b) okoli osi Ox.

Predstavimo nekaj aplikacij določenega integrala.

Izračun površine ravne figure

Območje ukrivljenega trapeza, omejenega s krivuljo (kjer
), naravnost
,
in segment
sekire
, izračunano po formuli

.

Območje figure, omejeno s krivuljami
in
(Kje
) naravnost
in
izračunano po formuli

Če je krivulja podana s parametričnimi enačbami
, potem območje krivuljnega trapeza, ki ga ta krivulja omejujejo z ravnimi črtami
,
in segment
sekire
, izračunano po formuli

,

kje in so določene iz enačb
,
, A
pri
.

Območje krivuljnega sektorja, omejenega s krivuljo, podano v polarnih koordinatah z enačbo
in dva polarna polmera
,
(
), se najde po formuli

.

Primer 1.27. Izračunajte ploščino figure, omejene s parabolo
in ravno
(Slika 1.1).

.

Potem imamo po formuli (1.6).
Izračun dolžine loka ravninske krivulje
Če krivulja
na segmentu

.

- gladka (to je izpeljanka
(
zvezno), potem se dolžina ustreznega loka te krivulje najde s formulo Pri parametričnem podajanju krivulje - zvezno diferenciabilne funkcije) dolžina loka krivulje, ki ustreza monotoni spremembi parametra , izračunano po formuli

od do
,
,
.

rešitev. Primer 1.28. :
,
Izračunajte dolžino loka krivulje

.

Poiščimo izpeljanke glede na parameter

. Nato iz formule (1.7) dobimo
2. Diferencialni račun funkcij večih spremenljivk
Naj vsak urejen par številk
z nekega območja ustreza določenemu številu . Potem in ,
-klical funkcija dveh spremenljivk neodvisne spremenljivke ,
-oz argumenti domena definicije funkcije in niz vse vrednosti funkcij -
.

obseg njegovih vrednosti
in označujejo

Geometrijsko definirano področje funkcije običajno predstavlja nek del ravnine, omejeno s črtami, ki lahko pripadajo temu območju ali ne.
Primer 2.1.
.

je odprt in ga je mogoče določiti s sistemom neenačb: Če spremenljivka
, A dati nekaj prirastka
pustite konstanto, nato funkcijo
bo prejel prirastek , poklical zasebno povečanje funkcije :

po spremenljivki Podobno, če spremenljivka
, A dobi prirastek
pustite konstanto, nato funkcijo
bo prejel prirastek , poklical ostane konstantna, potem funkcija :

po spremenljivki

,

,

Če obstajajo omejitve: se imenujejo
delni odvodi funkcije in po spremenljivkah

oz. Opomba 2.1.

Parcialne odvode funkcij poljubnega števila neodvisnih spremenljivk določimo podobno. Opomba 2.2.

Ker je delni odvod glede na katero koli spremenljivko odvod glede na to spremenljivko, pod pogojem, da so druge spremenljivke konstantne, potem so vsa pravila za razlikovanje funkcij ene spremenljivke uporabna za iskanje delnih odvodov funkcij poljubnega števila spremenljivk.
.

rešitev Primer 2.2.

,

.

. Najdemo: Primer 2.3.
.

rešitev Primer 2.2.

,

,

.

Poiščite delne odvode funkcije
Popolni funkcijski inkrement

imenovana razlika Glavni del polni prirastek
funkcije
in
,, linearno odvisen od prirastkov neodvisnih spremenljivk se imenuje totalni diferencial funkcije
in je določen

,

kje
,
. Če ima funkcija zvezne delne odvode, potem skupni diferencial obstaja in je enak

- poljubni prirastki neodvisnih spremenljivk, imenovani njihovi diferenciali.
Podobno velja za funkcijo treh spremenljivk

.

skupni diferencial je podan z
Naj funkcija
ima na točki delni odvodi prvega reda glede na vse spremenljivke. Nato se pokliče vektor gradient
funkcije
na točki
in je določen
.

oz Opomba 2.3.
Simbol

se imenuje Hamiltonov operator in se izgovarja "nambla". Primer 2.4.
.

rešitev Poiščite gradient funkcije v točki

,
,

. Poiščimo delne odvode:
:

,
,
.

in izračunajte njihove vrednosti v točki
.

torej Izpeljanka
funkcije
na točki
v smeri vektorja
pri
:

imenovana meja razmerja
.

, Kje
Če funkcija

,

kje ,je diferenciabilen, potem se odvod v določeni smeri izračuna po formuli: - koti, ki je vektor
in
oblike s sekirami

oz.
V primeru funkcije treh spremenljivk

kje
smerni derivat je definiran podobno. Ustrezna formula je .

- smerni kosinus vektorja Primer 2.5.
funkcije
Poiščite odvod funkcije
v smeri vektorja
.

rešitev, Kje
. Poiščimo vektor

,
,
,
.

in njegove smerne kosinuse:
:

,
,
;
,
,
.

Izračunajmo vrednosti delnih odvodov v točki

.

Če zamenjamo v (2.1), dobimo se imenujejo delni odvodi, vzeti iz delnih odvodov prvega reda:

,

,

,

Delni derivati
,
se imenujejo mešano . Vrednosti mešanih derivatov so enake v tistih točkah, kjer so ti derivati ​​zvezni.

Primer 2.6. Poiščite delne odvode funkcije drugega reda
.

rešitev. Najprej izračunajmo delne odvode prvega reda:

,
.

Če jih ponovno ločimo, dobimo:

,
,

,
.

Če primerjamo zadnje izraze, vidimo, da
.

Primer 2.7. Dokaži, da funkcija
zadošča Laplaceovi enačbi

.

rešitev Primer 2.2.

,
.

,
.

.

Pika
ustreza določenemu številu lokalna najvišja točka (najmanj ) funkcije
, če za vse točke
, drugačen od
in pripada dovolj majhni soseščini tega, neenakost

(
).

Maksimum ali minimum funkcije se imenuje njen ekstrem . Točka, v kateri je dosežen ekstrem funkcije, se imenuje ekstremna točka funkcije .

Izrek 2.1 (Nujni pogoji za ekstrem ). Če je točka
je ekstremna točka funkcije
, ali pa vsaj ena od teh izpeljank ne obstaja.

Točke, za katere so ti pogoji izpolnjeni, se imenujejo stacionarni funkcija dveh spremenljivk kritičen . Ekstremne točke so vedno stacionarne, vendar stacionarna točka morda ni ekstremna točka. Da je stacionarna točka točka ekstrema, morajo biti izpolnjeni zadostni pogoji za ekstrem.

Najprej uvedemo naslednji zapis :

,
,
,
.

Izrek 2.2 (Zadostni pogoji za ekstrem ). skupni diferencial je podan z
dvakrat diferencibilen v okolici točke
in pika
za funkcijo miruje
. Nato:

1.če
, nato pokažite
je ekstrem funkcije in
bo največja točka pri
(
)in najmanjšo točko pri
(
).

2.če
, potem pa na točki

ni ekstrema.

3.če
, potem ekstrem lahko obstaja ali pa tudi ne.

Primer 2.8. Preglejte funkcijo ekstrema
.

rešitev. Ker v tem primeru delni odvodi prvega reda vedno obstajajo, za iskanje stacionarnih (kritičnih) točk rešimo sistem:

,
,

kjer
,
,
,
. Tako smo dobili dve stacionarni točki:
,
.

,
,
.

Za točko
dobimo:, to pomeni, da na tej točki ni ekstrema. Za točko
dobimo: in
, torej

na tej točki to funkcijo doseže lokalni minimum: .

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije

zvezna državna avtonomna izobraževalna ustanova

visoka strokovna izobrazba

"Severna (Arktika) zvezna univerza poimenovan po M.V. Lomonosov"

Oddelek za matematiko

TEČAJNO DELO

Pri disciplini Matematika

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Nadzornik

Art. učiteljica

Borodkina T. A.

Arhangelsk 2014

NALOGA ZA TEČAJNO DELO

Uporaba določenega integrala

ZAČETNI PODATKI:

21. y=x 3 , y= ; 22.

UVOD

Pri tem delu sem dobil naslednje naloge: izračunati ploščine likov, omejeni z urniki funkcije, omejeno s črtami, podane enačbe, omejene tudi s premicami, podane enačbe v polarnih koordinatah, izračunajo dolžine lokov krivulj, podane z enačbami V pravokotni sistem koordinate, določene s parametričnimi enačbami, določene z enačbami v polarnih koordinatah, ter izračunajo tudi prostornine teles, omejenih s ploskvami, omejenih z grafi funkcij in nastalih z vrtenjem likov, omejenih z grafi funkcij, okoli polarne osi. Izbral sem tečajno nalogo na temo “Določen integral. V zvezi s tem sem se odločil ugotoviti, kako preprosto in hitro je mogoče uporabiti integralne izračune in kako natančno je mogoče izračunati naloge, ki so mi dodeljene.

INTEGRAL eden od najpomembnejši pojmi matematika, ki se je pojavila v povezavi s potrebo po iskanju funkcij na eni strani po njihovih derivatih (na primer najti funkcijo, ki izraža pot, ki jo prepotuje gibljiva točka na podlagi hitrosti te točke), in na drugi strani roko, za merjenje površin, prostornin, dolžin lokov in dela sil za določeno časovno obdobje itd.

Razkritje teme tečajno delo Izvedel sem naslednji načrt: definicija določenega integrala in njegovih lastnosti; dolžina loka krivulje; območje ukrivljenega trapeza; površina vrtenja.

Za vsako funkcijo f(x), zvezno na intervalu, obstaja antiodvod na tem intervalu, kar pomeni, da obstaja nedoločen integral.

Če je funkcija F(x) kateri koli protiodvod od neprekinjena funkcija f(x), potem je ta izraz znan kot Newton-Leibnizova formula:

Osnovne lastnosti določenega integrala:

Če sta spodnja in zgornja meja integracije enaki (a=b), je integral enak nič:

Če je f(x)=1, potem:

Pri preurejanju limit integracije določeni integral spremeni predznak v nasprotno:

Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka določenega integrala:

Če so funkcije integrabilne na, potem sta njihova vsota in integral vsote integrabilna na enaka vsoti integrali:

Obstajajo tudi osnovne metode integracije, kot je sprememba spremenljivke:

Diferencialni popravek:

Formula za integracijo po delih omogoča redukcijo izračuna integrala na izračun integrala, ki se lahko izkaže za preprostejšega:

Geometrijski pomen določenega integrala je, da je za zvezno in nenegativno funkcijo v geometričnem smislu ploščina ustreznega krivuljnega trapeza.

Poleg tega lahko z uporabo določenega integrala najdete območje območja, ki ga omejujejo krivulje, ravne črte in, kjer

Če je krivolinijski trapez omejen s krivuljo, ki jo definirata parametrični premici x = a in x = b ter os Ox, potem njegovo ploščino najdemo s formulo, ki jo določimo iz enačbe:

. (12)

Glavno območje, katerega območje najdemo z določenim integralom, je krivuljasti sektor. To je območje, omejeno z dvema žarkoma in krivuljo, kjer sta r in polarni koordinati:

Če je krivulja graf funkcije kjer je in je funkcija njen derivat zvezna na tem segmentu, potem lahko površino figure, ki nastane z vrtenjem krivulje okoli osi Ox, izračunamo po formuli:

. (14)

Če sta funkcija in njen odvod zvezna na segmentu, ima krivulja dolžino enako:

Če je enačba krivulje podana v parametrični obliki

kjer sta x(t) in y(t) zvezni funkciji z zveznimi odvodi, nato pa se dolžina krivulje določi po formuli:

Če je krivulja podana z enačbo v polarnih koordinatah, kjer sta in zvezni na segmentu, potem lahko dolžino loka izračunamo na naslednji način:

Če se ukrivljeni trapez, omejen z neprekinjenim odsekom in ravnima črtama x = a in x = b, vrti okoli osi Ox, bo prostornina telesa, ki nastane z vrtenjem tega trapeza okoli osi Ox, enaka:

Če je ukrivljeni trapez omejen z grafom zvezne funkcije in premicami x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Če je slika omejena s krivuljami in (je "višja" od in z ravnimi črtami x = a, x = b), bo prostornina telesa vrtenja okoli osi Ox enaka:

in okoli osi Oy (:

Če se krivolinijski sektor zavrti okoli polarne osi, potem lahko površino nastalega telesa najdete po formuli:

2. REŠEVANJE PROBLEMOV

14. naloga: Izračunajte ploščine likov, ki jih omejujejo grafi funkcij:

1) Rešitev:

Slika 1 - Funkcijski graf

X se spreminja od 0 do

x 1 = -1 in x 2 = 2 sta meji integracije (to lahko vidite na sliki 1).

3) Izračunajmo površino figure z uporabo formule (10).

Odgovor: S = .

15. naloga: Izračunajte ploščine likov, omejenih s premicami, podanimi z enačbami:

1) Rešitev:

Slika 2 - Funkcijski graf

Oglejmo si funkcijo na intervalu.

Slika 3 - Tabela spremenljivk za funkcijo

Ker bo to obdobje ustrezalo 1 loku. Ta lok je sestavljen iz osrednjega dela (S 1) in stranskih delov. Osrednji del je sestavljen iz želenega dela in pravokotnika (S r):. Izračunajmo površino enega osrednjega dela loka.

2) Poiščimo meje integracije.

in y = 6, torej

Za interval - meje integracije.

3) Poiščite območje figure z uporabo formule (12).

krivulja integralni trapez

Problem 16: Izračunajte ploščine likov, omejenih s premicami, podanimi z enačbami v polarnih koordinatah:

1) Rešitev:

Slika 4 - Funkcijski graf,

Slika 5 - Tabela spremenljivk funkcij,

2) Poiščimo meje integracije.

zato -

3) Poiščite območje figure z uporabo formule (13).

Odgovor: S =.

Naloga 17: Izračunaj dolžine lokov krivulj, podanih z enačbami v pravokotnem koordinatnem sistemu:

1) Rešitev:

Slika 6 - Funkcijski graf

Slika 7 - Tabela funkcijskih spremenljivk

2) Poiščimo meje integracije.

spremeni iz ln v ln, je to razvidno iz pogoja.

3) Poiščite dolžino loka z uporabo formule (15).

odgovor: l =

Naloga 18: Izračunajte dolžine lokov krivulj, podanih s parametričnimi enačbami: 1)

1) Rešitev:

Slika 8 - Funkcijski graf

Slika 11 - Tabela funkcijskih spremenljivk

2) Poiščimo meje integracije.

c se spreminja od, to je očitno iz pogoja.

Poiščimo dolžino loka s formulo (17).

20. naloga: Izračunaj prostornine teles, ki jih omejujejo površine:

1) Rešitev:

Slika 12 - Funkcijski graf:

2) Poiščimo meje integracije.

Z se spreminja od 0 do 3.

3) Poiščite prostornino figure z uporabo formule (18)

21. naloga: Izračunajte prostornine teles, omejenih z grafi funkcij, vrtilna os Ox: 1)

1) Rešitev:

Slika 13 - Funkcijski graf

Slika 15 - Tabela funkcijskega grafa

2) Poiščimo meje integracije.

Točki (0;0) in (1;1) sta skupni obema grafoma, torej sta to meji integracije, kar je očitno na sliki.

3) Poiščite prostornino figure z uporabo formule (20).

Naloga 22: Izračunajte ploščino teles, ki nastanejo zaradi vrtenja likov, omejenih z grafi funkcij okoli polarne osi:

1) Rešitev:

Slika 16 - Funkcijski graf

Slika 17 - Tabela spremenljivk za graf funkcije

2) Poiščimo meje integracije.

c se razlikuje od

3) Poiščite površino figure z uporabo formule (22).

Odgovor: 3,68

ZAKLJUČEK

V procesu zaključevanja nalog na temo "Določen integral" sem se naučil izračunati ploščine različnih teles, poiskati dolžine različnih lokov krivulj in tudi izračunati prostornine. Ta predstavitev o delu z integrali, mi bo pomagal v prihodnosti poklicna dejavnost kako hitro in učinkovito izvesti razne akcije. Navsezadnje je sam integral eden najpomembnejših konceptov matematike, ki je nastal v povezavi s potrebo po eni strani poiskati funkcije po njihovih derivatih (na primer poiskati funkcijo, ki izraža pot, ki jo prepotuje premikajoča se točke s hitrostjo te točke), na drugi strani pa za merjenje površin, prostornin, dolžin lokov, dela sil v določenem časovnem obdobju itd.

SEZNAM UPORABLJENIH VIROV

1. Napisano, D.T. Zapiski predavanj o višji matematiki: 1. del - 9. izd. - M .: Iris-press, 2008. - 288 str.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Višja matematika. Diferencial in integralni račun: T.2 - M.: Bustard, 2004. - 512 str.

3. Zorich V. A. Matematična analiza. Del I. -- Ed. 4. - M .: MTsNMO, 2002. -664 str.

4. Kuznecov D.A. »Zbirka nalog za višja matematika"Moskva, 1983

5. Nikolsky S. N. “Elementi matematična analiza" - M.: Nauka, 1981.

Podobni dokumenti

Izračun površin ploščate figure. Iskanje določenega integrala funkcije. Določitev površine pod krivuljo, površine figure, zaprte med krivuljami. Izračun prostornin vrtilnih teles. Limit integralne vsote funkcije. Določanje prostornine valja.

predstavitev, dodana 18.09.2013


Značilnosti izračuna prostornin teles, omejenih s ploskvami, z uporabo geometrijskega pomena dvojni integral. Določanje ploščin ravninskih likov, omejenih s premicami, z integracijsko metodo pri tečaju računa.

predstavitev, dodana 17.09.2013


Odvod določenega integrala glede na spremenljivko zgornja meja. Izračun določenega integrala kot limite integralne vsote z uporabo Newton–Leibnizove formule, sprememba spremenljivke in integracija po delih. Dolžina loka v polarnem koordinatnem sistemu.

test, dodan 22.08.2009


Momenti in težišča ravninskih krivulj. Guldenov izrek. Površina površine, ki nastane z vrtenjem loka ravninske krivulje okoli osi, ki leži v ravnini loka in je ne seka, je enaka produktu dolžine loka in dolžine kroga.

predavanje, dodano 04.09.2003


Metodologija in glavne faze iskanja parametrov: območje krivuljnega trapeza in sektorja, dolžina loka krivulje, prostornina teles, površina vrtilnih teles, delo spremenljive sile. Postopek in mehanizem za izračun integralov s pomočjo paketa MathCAD.

test, dodan 21.11.2010


Potrebno in zadosten pogoj obstoj določenega integrala. Enakost določenega integrala algebraična vsota(razlike) dveh funkcij. Izrek o srednji vrednosti – posledica in dokaz. Geometrijski pomen določenega integrala.

predstavitev, dodana 18.09.2013


Problem numerične integracije funkcij. Izračun približne vrednosti določenega integrala. Iskanje določenega integrala z metodami pravokotnikov, srednjih pravokotnikov in trapeza. Napaka formul in primerjava metod glede točnosti.

priročnik za usposabljanje, dodan 01.07.2009


Metode za izračun integralov. Formule in preverjanje nedoločen integral. Območje ukrivljenega trapeza. Negotovo, dokončno in kompleksni integral. Osnovne aplikacije integralov. Geometrični pomen določenih in nedoločenih integralov.

predstavitev, dodana 15.01.2014


Izračun površine figure je omejen dane vrstice, z uporabo dvojnega integrala. Izračun dvojnega integrala, premik na polarne koordinate. Metoda določanja krivočrtni integral druge vrste vzdolž dane premice in toka vektorskega polja.

test, dodan 14.12.2012


Pojem določenega integrala, izračun ploščine, prostornine telesa in dolžine loka, statičnega momenta in težišča krivulje. Izračun površine v primeru pravokotne ukrivljene površine. Uporaba krivuljnih, površinskih in trojnih integralov.