Zvezna naključna spremenljivka je. Zvezna naključna spremenljivka

§ 3. NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE

3. Zvezne naključne spremenljivke.

Poleg diskretnih naključnih spremenljivk, katerih možne vrednosti tvorijo končno ali neskončno zaporedje števil, ki v celoti ne zapolnijo nobenega intervala, pogosto obstajajo naključne spremenljivke, katerih možne vrednosti tvorijo določen interval. Primer takšne naključne spremenljivke je odstopanje od nazivne vrednosti določene velikosti dela ob ustrezno prilagojenem tehnološkem procesu. Tovrstnih naključnih spremenljivk ni mogoče določiti z zakonom porazdelitve verjetnosti p(x). Vendar jih je mogoče določiti s funkcijo porazdelitve verjetnosti F(x). Ta funkcija je definirana na povsem enak način kot v primeru diskretne naključne spremenljivke:

Tako je tudi tukaj funkcija F(x) definirana na celotni številski premici, njena vrednost pa v točki X je enaka verjetnosti, da bo naključna spremenljivka zavzela vrednost manjšo od X.
Formula () ter lastnosti 1° in 2° veljajo za porazdelitveno funkcijo katere koli naključne spremenljivke. Dokaz izvedemo podobno kot v primeru diskretne količine.
Naključna spremenljivka se imenuje neprekinjeno, če zanj obstaja nenegativna delno zvezna funkcija*, ki izpolnjuje za poljubne vrednosti x enakost
Na podlagi geometrijskega pomena integrala kot ploščine lahko rečemo, da je verjetnost izpolnitve neenakosti enaka ploščini krivokotnega trapeza z osnovo , ki je zgoraj omejena s krivuljo (slika 6).
Ker in na podlagi formule ()
, To
Upoštevajte, da je za zvezno naključno spremenljivko porazdelitvena funkcija F(x) neprekinjeno na kateri koli točki X, kjer je funkcija zvezna. To izhaja iz dejstva, da F(x) se na teh točkah razlikuje.
Na podlagi formule () ob predpostavki x 1 =x, , imamo

Zaradi kontinuitete funkcije F(x) to razumemo

Zato

torej verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka lahko prevzame katero koli posamezno vrednost x, je enaka nič.
Iz tega sledi, da so dogodki, sestavljeni iz izpolnitve vsake od neenakosti
, , ,
Imajo enako verjetnost, tj.

Pravzaprav je npr.

Ker

Komentiraj. Kot vemo, če je dogodek nemogoč, potem je verjetnost njegovega pojava enaka nič. Pri klasični definiciji verjetnosti, ko je število izidov testa končno, velja tudi obratna trditev: če je verjetnost dogodka enaka nič, potem je dogodek nemogoč, saj mu v tem primeru noben izid testa ne daje prednosti. V primeru zvezne naključne spremenljivke je število njenih možnih vrednosti neskončno. Verjetnost, da bo ta količina prevzela določeno vrednost x 1 kot smo videli, je enako nič. Vendar iz tega ne sledi, da je ta dogodek nemogoč, saj lahko kot rezultat testa naključna spremenljivka prevzame zlasti vrednost x 1. Zato je v primeru zvezne naključne spremenljivke smiselno govoriti o verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v interval, in ne o verjetnosti, da bo zavzela neko določeno vrednost.
Tako nas na primer pri izdelavi valja ne zanima verjetnost, da bo njegov premer enak nazivni vrednosti. Pomembna nam je verjetnost, da je premer valja znotraj tolerančnega območja.

Gostota porazdelitve verjetnosti X pokličite funkcijo f(x)– prvi odvod porazdelitvene funkcije F(x):

Koncept verjetnostne gostote porazdelitve naključne spremenljivke X ne velja za diskretne količine.

Gostota porazdelitve verjetnosti f(x)– imenovana diferencialna porazdelitvena funkcija:

Lastnost 1. Gostota porazdelitve je nenegativna količina:

Lastnost 2. Nepravilni integral gostote porazdelitve v območju od do je enak enoti:

Primer 1.25. Dana porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke X:

f(x).

rešitev: Gostota porazdelitve je enaka prvemu odvodu funkcije porazdelitve:

1. Podana porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke X:

Poiščite gostoto porazdelitve.

2. Podana je porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke X:

Poiščite gostoto porazdelitve f(x).

1.3. Numerične značilnosti zveznega naključja

količine

Pričakovana vrednost zvezna naključna spremenljivka X, katerih možne vrednosti pripadajo celotni osi Oh, je določena z enakostjo:

Predpostavimo, da integral konvergira absolutno.

a,b), tole:

f(x)– gostota porazdelitve naključne spremenljivke.

Razpršenost zvezna naključna spremenljivka X, katere možne vrednosti pripadajo celotni osi, je določena z enakostjo:

Poseben primer. Če vrednosti naključne spremenljivke pripadajo intervalu ( a,b), tole:

Verjetnost, da X bo prevzel vrednosti, ki pripadajo intervalu ( a,b), je določena z enakostjo:

Primer 1.26. Zvezna naključna spremenljivka X

Poiščite matematično pričakovanje, varianco in verjetnost zadetka naključne spremenljivke X v intervalu (0;0,7).

rešitev: Naključna spremenljivka je porazdeljena po intervalu (0,1). Določimo gostoto porazdelitve zvezne naključne spremenljivke X:

a) Matematično pričakovanje :

b) Varianca

Naloge za samostojno delo:

1. Naključna spremenljivka X podana z distribucijsko funkcijo:

M(x);

b) varianca D(x);

X v interval (2,3).

2. Naključna spremenljivka X

Ugotovite: a) matematično pričakovanje M(x);

b) varianca D(x);

c) določite verjetnost zadetka naključne spremenljivke X v interval (1;1,5).

3. Naključna spremenljivka X je podana s kumulativno porazdelitveno funkcijo:

Ugotovite: a) matematično pričakovanje M(x);

b) varianca D(x);

c) določite verjetnost zadetka naključne spremenljivke X v intervalu

1.4. Zakoni porazdelitve zvezne naključne spremenljivke

1.4.1. Enakomerna porazdelitev

Zvezna naključna spremenljivka X ima enakomerno porazdelitev na segmentu [ a,b], če je na tem segmentu gostota porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke konstantna, zunaj njega pa enaka nič, tj.

riž. 4.

; ; .

Primer 1.27. Avtobus na določeni progi vozi enakomerno v intervalih po 5 minut. Poiščite verjetnost, da enakomerno porazdeljena naključna spremenljivka X– čakalna doba avtobusa bo krajša od 3 minut.

rešitev: Naključna vrednost X– enakomerno porazdeljena po intervalu .

Gostota verjetnosti: .

Da čakalna doba ne bo daljša od 3 minut, se mora potnik na postajališču zglasiti v 2 do 5 minutah po odhodu prejšnjega avtobusa, t.j. naključna vrednost X mora spadati v interval (2;5). to. zahtevana verjetnost:

Naloge za samostojno delo:

1. a) poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X enakomerno porazdeljena v intervalu (2;8);

b) poiščite varianco in standardni odklon naključne spremenljivke X, enakomerno porazdeljena v intervalu (2;8).

2. Minutni kazalec električne ure se na koncu vsake minute naglo premakne. Poiščite verjetnost, da bo ura v določenem trenutku kazala čas, ki se od pravega razlikuje za največ 20 sekund.

1.4.2. Eksponentna porazdelitev

Zvezna naključna spremenljivka X je porazdeljena po eksponentnem zakonu, če ima njena gostota verjetnosti obliko:

kjer je parameter eksponentne porazdelitve.

torej

riž. 5.

Številčne značilnosti:

Primer 1.28. Naključna vrednost X– čas delovanja žarnice – ima eksponentno porazdelitev. Določite verjetnost, da bo žarnica delovala najmanj 600 ur, če je povprečni čas delovanja 400 ur.

rešitev: Glede na pogoje problema matematično pričakovanje naključne spremenljivke X je enako 400 ur, torej:

;

Zahtevana verjetnost, kjer

Končno:

Naloge za samostojno delo:

1. Zapišite funkcijo gostote in porazdelitve eksponentnega zakona, če je parameter .

2. Naključna spremenljivka X

Poiščite matematično pričakovanje in varianco količine X.

3. Naključna spremenljivka X je podana s funkcijo porazdelitve verjetnosti:

Poiščite matematično pričakovanje in standardni odklon naključne spremenljivke.

1.4.3. Normalna porazdelitev

normalno se imenuje verjetnostna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke X, katere gostota ima obliko:

Kje A– matematično pričakovanje, – standardni odklon X.

Verjetnost, da X bo prevzel vrednost, ki pripada intervalu:

, Kje

– Laplaceova funkcija.

Distribucija, za katero ; , tj. z gostoto verjetnosti imenovan standard.

riž. 6.

Verjetnost, da je absolutna vrednost zavrnjena manjša od pozitivnega števila:

Še posebej, ko a= 0 enakost velja:

Primer 1.29. Naključna vrednost X normalno porazdeljena. Standardni odklon. Poiščite verjetnost, da bo odstopanje naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja v absolutni vrednosti manjše od 0,3.

rešitev: .

Naloge za samostojno delo:

1. Zapišite verjetnostno gostoto normalne porazdelitve naključne spremenljivke X, vedoč to M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Pričakovanje in standardni odklon normalno porazdeljene naključne spremenljivke X enako 20 in 5. Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa X bo prevzel vrednost v intervalu (15;20).

3. Za naključne merilne napake velja normalni zakon s standardnim odklonom mm in matematičnim pričakovanjem a= 0. Poiščite verjetnost, da od 3 neodvisnih meritev napaka vsaj ene absolutne vrednosti ne bo večja od 4 mm.

4. Določena snov se stehta brez sistematičnih napak. Za naključne napake tehtanja velja normalni zakon s standardnim odklonom r. Poiščite verjetnost, da bo tehtanje izvedeno z napako, ki v absolutni vrednosti ne presega 10 g.

Porazdelitvena funkcija bo v tem primeru glede na (5.7) imela obliko:

kjer je: m – matematično pričakovanje, s – standardni odklon.

Normalna porazdelitev se imenuje tudi Gaussova po nemškem matematiku Gaussu. Dejstvo, da ima naključna spremenljivka normalno porazdelitev s parametri: m, je označeno kot sledi: N (m,s), kjer je: m =a =M ;

V formulah je matematično pričakovanje pogosto označeno z A . Če je naključna spremenljivka porazdeljena po zakonu N(0,1), jo imenujemo normalizirana ali standardizirana normalna spremenljivka. Porazdelitvena funkcija zanj ima obliko:

Graf gostote normalne porazdelitve, ki se imenuje normalna krivulja ali Gaussova krivulja, je prikazan na sliki 5.4.

riž. 5.4. Normalna gostota porazdelitve

Na primeru je obravnavana določitev numeričnih značilnosti naključne spremenljivke z njeno gostoto.

Primer 6.

Zvezna naključna spremenljivka je določena z gostoto porazdelitve: .

Določite vrsto porazdelitve, poiščite matematično pričakovanje M(X) in varianco D(X).

Če primerjamo dano gostoto porazdelitve z (5.16), lahko sklepamo, da je podan normalni zakon porazdelitve z m = 4. Zato je matematično pričakovanje M(X)=4, varianca D(X)=9.

Standardni odklon s=3.

Laplaceova funkcija, ki ima obliko:

je povezana z normalno porazdelitveno funkcijo (5.17), razmerje:

F 0 (x) = Ф(x) + 0,5.

Laplaceova funkcija je čudna.

Ф(-x)=-Ф(x).

Vrednosti Laplaceove funkcije Ф(х) so tabelirane in vzete iz tabele glede na vrednost x (glej Dodatek 1).

Normalna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke ima pomembno vlogo v teoriji verjetnosti in pri opisovanju realnosti, zelo razširjena je v naključnih naravnih pojavih. V praksi se zelo pogosto srečujemo z naključnimi spremenljivkami, ki nastanejo ravno kot rezultat seštevanja številnih naključnih členov. Predvsem analiza merskih napak pokaže, da gre za seštevek različnih vrst napak. Praksa kaže, da je verjetnostna porazdelitev merilnih napak blizu normalnemu zakonu.

Z uporabo Laplaceove funkcije lahko rešite problem izračuna verjetnosti padca v dani interval in danega odstopanja normalne naključne spremenljivke.

NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE

Primer 2.1. Naključna vrednost X podana z distribucijsko funkcijo

Poiščite verjetnost, da bo rezultat testa X bo prevzel vrednosti v intervalu (2,5; 3,6).

rešitev: X v intervalu (2,5; 3,6) lahko določimo na dva načina:

Primer 2.2. Pri katerih vrednostih parametrov A in IN funkcijo F(x) = A + Be - x je lahko porazdelitvena funkcija za nenegativne vrednosti naključne spremenljivke X.

rešitev: Ker so vse možne vrednosti naključne spremenljivke X pripadajo intervalu , potem da bi bila funkcija distribucijska funkcija za X, lastnina mora biti izpolnjena:

odgovor: .

Primer 2.3. Naključna spremenljivka X je podana s funkcijo porazdelitve

Poiščite verjetnost, da bo vrednost na podlagi štirih neodvisnih testov X natanko 3-krat bo dobilo vrednost, ki pripada intervalu (0,25;0,75).

rešitev: Verjetnost doseganja vrednosti X v intervalu (0,25;0,75) najdemo po formuli:

Primer 2.4. Verjetnost, da žoga z enim strelom zadene koš, je 0,3. Sestavite zakon porazdelitve števila zadetkov s tremi meti.

rešitev: Naključna vrednost X– število zadetkov v koš s tremi meti – lahko zavzame naslednje vrednosti: 0, 1, 2, 3. Verjetnosti, da X

Primer 2.5. Dva strelca izstrelita vsak en strel v tarčo. Verjetnost, da ga prvi strelec zadene, je 0,5, drugi pa 0,4. Sestavite porazdelitveni zakon za število zadetkov na tarčo.

rešitev: Poiščimo zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke X– število zadetkov v tarčo. Naj bo dogodek prvi strelec, ki je zadel tarčo, in naj drugi strelec zadene tarčo, oziroma njihovi zgrešitve.

Sestavimo zakon porazdelitve verjetnosti SV X:

Primer 2.6. Preizkušeni so trije elementi, ki delujejo neodvisno drug od drugega. Trajanje časa (v urah) brezhibnega delovanja elementov ima funkcijo gostote porazdelitve: za prvo: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugo: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za tretjega: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Poiščite verjetnost, da bo v časovnem intervalu od 0 do 5 ur: odpovedal samo en element; samo dva elementa bosta odpovedala; vsi trije elementi ne bodo uspeli.

rešitev: Uporabimo definicijo funkcije generiranja verjetnosti:

Verjetnost, da v neodvisnih poskusih, v prvem izmed njih je verjetnost, da se zgodi dogodek A enako , v drugem itd. dogodku A se pojavi natanko enkrat, kar je enako koeficientu v razširitvi generatorske funkcije v potencah . Poiščimo verjetnosti odpovedi oziroma neodpovedi prvega, drugega in tretjega elementa v časovnem intervalu od 0 do 5 ur:

Ustvarimo funkcijo generiranja:

Koeficient pri je enak verjetnosti, da dogodek A se bo pojavilo natanko trikrat, to je verjetnost okvare vseh treh elementov; koeficient pri je enak verjetnosti, da bosta odpovedala točno dva elementa; koeficient pri je enak verjetnosti, da bo odpovedal samo en element.

Primer 2.7. Glede na gostoto verjetnosti f(x)naključna spremenljivka X:

Poiščite porazdelitveno funkcijo F(x).

rešitev: Uporabljamo formulo:

Tako distribucijska funkcija izgleda takole:

Primer 2.8. Napravo sestavljajo trije neodvisno delujoči elementi. Verjetnost okvare vsakega elementa v enem poskusu je 0,1. Sestavite porazdelitveni zakon za število neuspelih elementov v enem poskusu.

rešitev: Naključna vrednost X– število elementov, ki niso uspeli v enem poskusu – lahko zavzame naslednje vrednosti: 0, 1, 2, 3. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, najdemo z uporabo Bernoullijeve formule:

Tako dobimo naslednji zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X:

Primer 2.9. V seriji 6 delov so 4 standardni. 3 deli so bili izbrani naključno. Sestavite porazdelitveni zakon za število standardnih delov med izbranimi.

rešitev: Naključna vrednost X– število standardnih delov med izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 1, 2, 3 in ima hipergeometrično porazdelitev. Verjetnosti, da X

Kje -- število delov v seriji;

-- število standardnih delov v seriji;

– število izbranih delov;

-- število standardnih delov med izbranimi.

Primer 2.10. Naključna spremenljivka ima gostoto porazdelitve

in niso znani, ampak , a in . Najdi in.

rešitev: V tem primeru naključna spremenljivka X ima trikotno porazdelitev (Simpsonovo porazdelitev) na intervalu [ a, b]. Numerične značilnosti X:

torej . Z reševanjem tega sistema dobimo dva para vrednosti: . Ker glede na pogoje problema končno imamo: .

odgovor: .

Primer 2.11. V povprečju pod 10 % pogodb zavarovalnica izplača zavarovalne zneske v zvezi z nastankom zavarovalnega primera. Izračunajte matematično pričakovanje in disperzijo števila takih pogodb med štirimi naključno izbranimi.

rešitev: Matematično pričakovanje in varianco je mogoče najti z uporabo formul:

Možne vrednosti SV (število pogodb (od štirih) z nastankom zavarovalnega dogodka): 0, 1, 2, 3, 4.

Za izračun verjetnosti različnih števil pogodb (od štirih), za katere so bile plačane zavarovalne vsote, uporabimo Bernoullijevo formulo:

Distribucijska serija IC (število pogodb z nastankom zavarovalnega dogodka) ima obliko:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odgovor: , .

Primer 2.12. Od petih vrtnic sta dve beli. Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke, ki izraža število belih vrtnic med dvema sočasno vzetima vrtnicama.

rešitev: V izboru dveh vrtnic lahko ni bele vrtnice ali pa sta ena ali dve beli vrtnici. Zato je naključna spremenljivka X lahko zavzame vrednosti: 0, 1, 2. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

Kje -- število vrtnic;

-- število belih vrtnic;

– število vrtnic, vzetih hkrati;

-- število belih vrtnic med odvzetimi.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.13. Med 15 sestavljenimi enotami jih 6 potrebuje dodatno mazanje. Sestavite porazdelitveni zakon za število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje med petimi naključno izbranimi izmed skupnega števila.

rešitev: Naključna vrednost X– število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje med petimi izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 in ima hipergeometrično porazdelitev. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

Kje -- število sestavljenih enot;

-- število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje;

– število izbranih enot;

-- število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje med izbranimi.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.14. Od 10 ur, prejetih v popravilo, jih 7 potrebuje generalno čiščenje mehanizma. Ure niso razvrščene po vrsti popravila. Mojster, ki želi najti ure, ki jih je treba očistiti, jih pregleda eno za drugo in, ko najde takšne ure, preneha z nadaljnjim ogledom. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila gledanih ur.

rešitev: Naključna vrednost X– število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje med petimi izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 1, 2, 3, 4. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Zdaj pa izračunajmo numerične značilnosti količine:

Odgovor: , .

Primer 2.15. Naročnik je pozabil zadnjo številko telefonske številke, ki jo potrebuje, vendar se spomni, da je liha. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila klicev telefonske številke, preden doseže želeno številko, če naključno pokliče zadnjo številko in pozneje ne pokliče klicane številke.

rešitev: Naključna spremenljivka ima lahko naslednje vrednosti: . Ker naročnik v prihodnje ne pokliče klicane številke, sta verjetnosti teh vrednosti enaki.

Sestavimo porazdelitveni niz naključne spremenljivke:


	0,2

Izračunajmo matematično pričakovanje in varianco števila poskusov klicanja:

Odgovor: , .

Primer 2.16. Verjetnost okvare med testiranjem zanesljivosti za vsako napravo v seriji je enaka str. Določite matematično pričakovanje števila naprav, ki niso uspele, če so bile testirane n naprave.

rešitev: Diskretna naključna spremenljivka X je število okvarjenih naprav v n neodvisni testi, pri vsakem od katerih je verjetnost neuspeha enaka p, porazdeljena po binomskem zakonu. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako številu poskusov, pomnoženemu z verjetnostjo, da se dogodek zgodi v enem poskusu:

Primer 2.17. Diskretna naključna spremenljivka X ima 3 možne vrednosti: z verjetnostjo ; z verjetnostjo in z verjetnostjo. Poiščite in , vedoč, da M( X) = 8.

rešitev: Uporabljamo definiciji matematičnega pričakovanja in porazdelitvenega zakona diskretne naključne spremenljivke:

Najdemo: .

Primer 2.18. Oddelek za tehnični nadzor preverja standardnost izdelkov. Verjetnost, da je izdelek standarden, je 0,9. Vsaka serija vsebuje 5 izdelkov. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X– število serij, od katerih vsaka vsebuje točno 4 standardne izdelke, če je predmet pregleda 50 serij.

rešitev: V tem primeru so vsi izvedeni poskusi neodvisni in verjetnosti, da vsaka serija vsebuje natanko 4 standardne izdelke, so enake, zato lahko matematično pričakovanje določimo s formulo:

kje je število strank;

Verjetnost, da serija vsebuje točno 4 standardne izdelke.

Verjetnost najdemo z uporabo Bernoullijeve formule:

odgovor: .

Primer 2.19. Poiščite varianco naključne spremenljivke X– število ponovitev dogodka A v dveh neodvisnih poskusih, če sta verjetnosti pojava dogodka v teh poskusih enaki in je znano, da M(X) = 0,9.

rešitev: Problem je mogoče rešiti na dva načina.

1) Možne vrednosti SV X: 0, 1, 2. Z Bernoullijevo formulo določimo verjetnosti teh dogodkov:

, , .

Potem zakon o distribuciji X ima obliko:

Iz definicije matematičnega pričakovanja določimo verjetnost:

Poiščimo disperzijo SV X:

2) Lahko uporabite formulo:

odgovor: .

Primer 2.20. Pričakovanje in standardni odklon normalno porazdeljene naključne spremenljivke X enako 20 in 5. Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa X bo prevzel vrednost v intervalu (15; 25).

rešitev: Verjetnost zadetka normalne naključne spremenljivke X na odseku od do je izražena z Laplaceovo funkcijo:

Primer 2.21. Dana funkcija:

Pri kateri vrednosti parametra C ta funkcija je gostota porazdelitve neke zvezne naključne spremenljivke X? Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke X.

rešitev: Da bi bila funkcija porazdelitvena gostota neke naključne spremenljivke, mora biti nenegativna in mora izpolnjevati lastnost:

Zato:

Izračunajmo matematično pričakovanje po formuli:

Izračunajmo varianco po formuli:

T je enako str. Najti je treba matematično pričakovanje in varianco te naključne spremenljivke.

rešitev: Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke X - število pojavitev dogodka v neodvisnih poskusih, pri vsakem od katerih je verjetnost, da se dogodek zgodi enaka , se imenuje binom. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava dogodka A v enem poskusu:

Primer 2.25. V tarčo se izstrelijo trije neodvisni streli. Verjetnost zadetka vsakega strela je 0,25. Določite standardni odklon števila zadetkov s tremi streli.

rešitev: Ker so izvedeni trije neodvisni poskusi in je verjetnost pojava dogodka A (zadetek) v vsakem poskusu enaka, bomo predpostavili, da je diskretna naključna spremenljivka X - število zadetkov na tarči - porazdeljena glede na binomski zakon.

Varianca binomske porazdelitve je enaka zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava in nepojavitve dogodka v enem poskusu:

Primer 2.26. Povprečno število strank, ki obiščejo zavarovalnico v 10 minutah, je tri. Poiščite verjetnost, da bo vsaj ena stranka prispela v naslednjih 5 minutah.

Povprečno število strank, ki pridejo v 5 minutah: . .

Primer 2.29.Čakalni čas za aplikacijo v čakalni vrsti procesorja je podrejen eksponentnemu zakonu porazdelitve s povprečno vrednostjo 20 sekund. Poiščite verjetnost, da bo naslednja (naključna) zahteva čakala na procesorju več kot 35 sekund.

rešitev: V tem primeru matematično pričakovanje , stopnja napak pa je enaka .

Potem je želena verjetnost:

Primer 2.30. Skupina 15 študentov ima srečanje v dvorani z 20 vrstami po 10 sedežev. Vsak učenec si mesto v dvorani zavzame naključno. Kakšna je verjetnost, da na sedmem mestu v vrsti ne bodo več kot tri osebe?

rešitev:

Primer 2.31.

Potem, po klasični definiciji verjetnosti:

Kje -- število delov v seriji;

-- število nestandardnih delov v seriji;

– število izbranih delov;

-- število nestandardnih delov med izbranimi.

Potem bo porazdelitveni zakon naključne spremenljivke naslednji.

Zvezne naključne spremenljivke imajo neskončno število možnih vrednosti. Zato je zanje nemogoče uvesti distribucijsko serijo.

Namesto verjetnosti, da bo naključna spremenljivka X zavzela vrednost enako x, tj. p(X = x), upoštevajte verjetnost, da bo X prevzel vrednost, manjšo od x, tj. P(X< х).

Uvedimo novo značilnost naključnih spremenljivk - porazdelitveno funkcijo in razmislimo o njenih lastnostih.

Porazdelitvena funkcija je najbolj univerzalna značilnost naključne spremenljivke. Lahko se definira tako za diskretne kot za zvezne naključne spremenljivke:

F(x) = p(X< x).

Lastnosti porazdelitvene funkcije.

Porazdelitvena funkcija je nepadajoča funkcija svojega argumenta, tj. če:

Pri minus neskončnosti je porazdelitvena funkcija nič:

Pri plus neskončnosti je porazdelitvena funkcija enaka ena:

Verjetnost, da naključna spremenljivka pade znotraj danega intervala, je določena s formulo:

Funkcijo f(x), ki je enaka odvodu porazdelitvene funkcije, imenujemo gostota verjetnosti naključne spremenljivke X ali gostota porazdelitve:

Izrazimo verjetnost, da pridemo do odseka b do c skozi f(x). Enak je vsoti verjetnostnih elementov v tem razdelku, tj. integral:

Od tu lahko porazdelitveno funkcijo izrazimo v smislu gostote verjetnosti:

Lastnosti gostote verjetnosti.

Gostota verjetnosti je nenegativna funkcija (ker je porazdelitvena funkcija nepadajoča funkcija):

Gostota verjetno

nost je zvezna funkcija.

Neskončni integral gostote verjetnosti je enak 1:

Gostota verjetnosti ima dimenzijo naključne spremenljivke.

Pričakovanje in varianca zvezne naključne spremenljivke

Pomen matematičnega pričakovanja in variance ostaja enak kot v primeru diskretnih naključnih spremenljivk. Vrsta formul za njihovo iskanje se spremeni z zamenjavo:

Nato dobimo formule za izračun matematičnega pričakovanja in variance zvezne naključne spremenljivke:

Primer. Porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke je podana z izrazom:

Poiščite vrednost a, gostoto verjetnosti, verjetnost zadetka mesta (0,25-0,5), matematično pričakovanje in disperzijo.

Ker je porazdelitvena funkcija F(x) zvezna, potem je pri x = 1 ax2 = 1, torej a = 1.

Gostoto verjetnosti dobimo kot odvod porazdelitvene funkcije:

Izračun verjetnosti zadetka na določenem območju se lahko izvede na dva načina: z uporabo porazdelitvene funkcije in z uporabo gostote verjetnosti.

1. metoda. Uporabimo formulo za iskanje verjetnosti preko porazdelitvene funkcije:
2. metoda. Uporabimo formulo za iskanje verjetnosti preko gostote verjetnosti:

Najdemo matematično pričakovanje:

Iskanje variance:

Enakomerna porazdelitev

Razmislimo o zvezni naključni spremenljivki X, katere možne vrednosti ležijo v določenem intervalu in so enako verjetne.

Gostota verjetnosti takšne naključne spremenljivke bo imela obliko:

kjer je c neka konstanta.

Graf gostote verjetnosti bo videti takole:

Izrazimo parameter c z b in c. Za to uporabimo dejstvo, da mora biti integral gostote verjetnosti po celotnem območju enak 1:

Gostota porazdelitve enakomerno porazdeljene naključne spremenljivke

Poiščimo distribucijsko funkcijo:

Porazdelitvena funkcija enakomerno porazdeljene naključne spremenljivke

Narišimo distribucijsko funkcijo:

Izračunajmo matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke, ki je predmet enakomerne porazdelitve.

Potem bo standardna deviacija videti takole:

Normalna (Gaussova) porazdelitev

Zvezna naključna spremenljivka X se imenuje normalno porazdeljena s parametri a, y > 0, če ima gostoto verjetnosti:

Porazdelitvena krivulja naključne spremenljivke ima obliko:

Test 2

Naloga 1. Sestavite porazdelitveni zakon za diskretno naključno spremenljivko X, izračunajte matematično pričakovanje, disperzijo in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 1

Oddelek za nadzor kakovosti preverja standardnost izdelkov. Verjetnost, da je izdelek standarden, je 0,7. 20 testiranih izdelkov. Poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke X - števila standardnih izdelkov med testiranimi. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 2

V žari so 4 krogle, ki označujejo točke 2; 4; 5; 5. Žogica je naključno izžrebana. Poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke X - število točk na njej. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 3

Lovec strelja na divjad, dokler ne zadene, vendar ne sme izstreliti več kot tri strele. Verjetnost zadetka vsakega strela je 0,6. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število strelov, ki jih je strelec izstrelil. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 4

Verjetnost prekoračitve navedene natančnosti med merjenjem je 0,4. Sestavite zakon porazdelitve za naključno spremenljivko X - število napak v 10 meritvah. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 5

Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,45. 20 izstreljenih strelov. Sestavite distribucijski zakon za naključno spremenljivko X - število zadetkov. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 6

Izdelki nekaterih rastlin vsebujejo 5% napak. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število izdelkov z napako med petimi vzetimi za srečo. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 7

Deli, ki jih sestavljavec potrebuje, so v treh od petih škatel. Sestavljalec odpira škatle, dokler ne najde delov, ki jih potrebuje. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število odprtih škatel. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 8

V žari so 3 črne in 2 beli krogli. Kroglice se odstranjujejo zaporedno, ne da bi se vrnile, dokler se ne pojavi črna. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X – število izžrebanih kroglic. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 9

Učenec pozna 15 vprašanj od 20. Na listku so 3 vprašanja. Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke X - števila vprašanj, ki jih študent pozna na vstopnici. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Možnost 10

Obstajajo 3 žarnice, od katerih ima vsaka napako z verjetnostjo 0,4. Ob vklopu pokvarjena žarnica pregori in jo zamenja druga. Sestavite zakon porazdelitve za naključno spremenljivko X - število testiranih svetilk. Izračunajte matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke.

Naloga 2. Slučajna spremenljivka X je podana s porazdelitveno funkcijo F(X). Poiščite gostoto porazdelitve, matematično pričakovanje, disperzijo in tudi verjetnost, da naključna spremenljivka pade v interval (b, c). Nariši grafa funkcij F(X) in f(X).

Možnost 1