Pretvarjanje izrazov s potenci. Pretvarjanje izrazov

Aritmetična operacija, ki se izvede zadnja pri izračunu vrednosti izraza, je »glavna« operacija.

Se pravi, če zamenjate nekaj (poljubnih) številk namesto črk in poskušate izračunati vrednost izraza, potem, če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je faktoriziran).

Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Da bi to podkrepili, sami rešite nekaj primerov:

Primeri:

rešitve:

1. Upam, da niste takoj pohiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj, da bi tako "zmanjšali" enote:

Prvi korak bi morala biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov je znana operacija: iščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in seštevamo/odštevamo števce.

Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalca in sta relativno praštevilna, to pomeni, da nimata skupnih faktorjev. Zato je LCM teh števil enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Tukaj najprej pretvorimo mešane ulomke v nepravilne, nato pa po običajni shemi:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo z nečim preprostim:

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

Tu je vse enako kot pri navadnih številskih ulomkih: poiščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in števce seštejemo/odštejemo:

Zdaj lahko v števcu navedete podobne, če obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

odgovori:

b) Imenovalci vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

· najprej določimo skupne faktorje;

· nato enega za drugim izpišemo vse skupne faktorje;

· in jih pomnožite z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Da določimo skupne faktorje imenovalcev, jih najprej faktoriziramo v prafaktorje:

Poudarimo skupne dejavnike:

Zdaj pa izpišimo skupne faktorje enega za drugim in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane):

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na povsem enak način:

· razčlenimo imenovalce;

· ugotavljanje skupnih (enakih) faktorjev;

· enkrat izpiši vse skupne faktorje;

· pomnožite jih z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Torej po vrsti:

1) faktoriziraj imenovalce:

2) določite skupne (enake) dejavnike:

3) enkrat izpiši vse skupne faktorje in jih pomnoži z vsemi drugimi (nepodčrtanimi) faktorji:

Tukaj je torej skupni imenovalec. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugi - z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo iste dejavnike, le da so vsi z različnimi kazalci. Skupni imenovalec bo:

do stopnje

do stopnje

do stopnje

do stopnje.

Zapletimo nalogo:

Kako doseči, da imajo ulomki enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ne piše, da je mogoče isto število odšteti (ali prišteti) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu prištejte neko število, na primer . Kaj si se naučil?

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko ulomke reducirate na skupni imenovalec, uporabite samo operacijo množenja!

Toda s čim morate pomnožiti, da dobite?

Torej pomnožite s. In pomnožite z:

Izraze, ki jih ni mogoče faktorizirati, bomo imenovali "elementarni faktorji".

Na primer, - to je osnovni dejavnik. - Enako. Ampak ne: lahko se faktorizira.

Kaj pa izraz? Ali je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi “”).

Torej so osnovni faktorji, na katere razčleniš izraz s črkami, analog preprostih faktorjev, na katere razčleniš števila. In z njimi bomo ravnali na enak način.

Vidimo, da imata oba imenovalca množitelja. Šlo bo na skupni imenovalec do stopnje (se spomnite, zakaj?).

Faktor je elementaren in nimata skupnega faktorja, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

Super! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvi imenovalec preprosto damo iz oklepaja; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da skupnih dejavnikov ni. A če dobro pogledaš, sta si podobna ... In res je:

Torej zapišimo:

Se pravi, izkazalo se je tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali početi pogosto.

Zdaj pa ga spravimo na skupni imenovalec:

Razumem? Preverimo zdaj.

Naloge za samostojno reševanje:

odgovori:

Tu se moramo spomniti še ene stvari - razlike med kockami:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole: .

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je produkt prvega in zadnjega in ne njun dvojni produkt. Delni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj storiti, če so že trije ulomki?

Ja, isto! Najprej se prepričajmo, da je največje število faktorjev v imenovalcih enako:

Upoštevajte: če spremenite znake znotraj enega oklepaja, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotnega. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se predznak pred ulomkom spet spremeni v nasprotnega. Zaradi tega se (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Celoten prvi imenovalec izpišemo na skupni imenovalec, nato pa mu prištejemo še nezapisane faktorje iz drugega, nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, izkaže se takole:

Hmm ... Jasno je, kaj storiti z ulomki. Kaj pa oba?

Preprosto je: veste, kako seštevati ulomke, kajne? Torej moramo narediti, da dva postane ulomek! Spomnimo se: ulomek je operacija deljenja (števec delimo z imenovalcem, če ste pozabili). In ni nič lažjega kot deliti število s. V tem primeru se sama številka ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Točno to, kar je potrebno!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, najtežjega dela je zdaj konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Z izračunom si zapomnite pomen tega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, naj vas spomnim.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je več množenj in deljenj hkrati, jih lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten izven reda!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej izračunamo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali delimo.

Kaj pa, če je znotraj oklepajev več oklepajev? No, pomislimo: v oklepaju je zapisan neki izraz. Kaj morate najprej narediti pri izračunu izraza? Tako je, izračunajte oklepaje. Pa smo ugotovili: najprej izračunamo notranje oklepaje, nato pa vse ostalo.

Torej, postopek za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetičnih operacij morate opraviti algebraične, to je dejanja, opisana v prejšnjem razdelku: prinašanje podobnih, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo dejanje faktoriziranja polinomov (to pogosto uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktoriziranje uporabiti I ali preprosto dati skupni faktor iz oklepaja.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov, naš cilj pa je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke spravimo na skupni imenovalec in dodamo:

Nemogoče je nadalje poenostaviti ta izraz; vsi dejavniki so elementarni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj je lahko preprostejšega.

3) Zdaj lahko skrajšate:

OK, zdaj je vsega konec. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

rešitev:

Najprej določimo vrstni red dejanj.

Najprej seštejmo ulomke v oklepajih, da namesto dveh ulomkov dobimo enega.

Nato bomo delili ulomke. No, seštejmo rezultat z zadnjim ulomkom.

Korake bom shematično oštevilčil:

Zdaj vam bom pokazal postopek in trenutno dejanje obarval rdeče:

1. Če obstajajo podobni, jih je treba takoj prinesti. Kjerkoli že se pri nas pojavijo podobni, jih je priporočljivo nemudoma izpostaviti.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjševanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjševanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In kar je bilo obljubljeno na samem začetku:

odgovori:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, potem ste temo obvladali.

Zdaj pa na učenje!

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije poenostavljanja:

• Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne člene, morate sešteti njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
• Faktorizacija: dajanje skupnega faktorja iz oklepaja, njegova uporaba itd.
• Zmanjšanje ulomka: Števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, kar ne spremeni vrednosti ulomka.
  1) števec in imenovalec faktorizirati
  2) če imata števec in imenovalec skupne faktorje, ju lahko prečrtamo.

  POMEMBNO: zmanjšati je mogoče le množitelje!

• Seštevanje in odštevanje ulomkov:
  ;
• Množenje in deljenje ulomkov:
  ;

Izrazi, pretvorba izrazov

Potencialni izrazi (izrazi s potencami) in njihova transformacija

V tem članku bomo govorili o pretvarjanju izrazov s potencami. Najprej se bomo osredotočili na transformacije, ki se izvajajo z izrazi katere koli vrste, vključno s potenčnimi izrazi, kot je odpiranje oklepajev in prinašanje podobnih izrazov. Nato bomo analizirali transformacije, ki so značilne posebej za izraze s stopnjami: delo z osnovo in eksponentom, uporaba lastnosti stopinj itd.

Navigacija po straneh.

Kaj so izrazi moči?

Izraz "izrazi moči" se v šolskih učbenikih matematike praktično ne pojavlja, vendar se pogosto pojavlja v zbirkah nalog, zlasti tistih, ki so namenjene pripravi na enotni državni izpit in na primer enotni državni izpit. Po analizi nalog, pri katerih je potrebno izvesti kakršna koli dejanja s potenčnimi izrazi, postane jasno, da se potenčni izrazi razumejo kot izrazi, ki v svojih vnosih vsebujejo potence. Zato lahko zase sprejmete naslednjo definicijo:

Opredelitev.

Izrazi moči so izrazi, ki vsebujejo stopnje.

Dajmo primeri izrazov moči. Še več, predstavili jih bomo glede na to, kako poteka razvoj pogledov na stopnjo z naravnim eksponentom na stopnjo z realnim eksponentom.

Kot je znano, se na tej stopnji najprej seznanimo s potenco števila z naravnim eksponentom, prvimi najenostavnejšimi potenčnimi izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 se pojavi −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Malo kasneje se preučuje potenca števila s celim eksponentom, kar privede do pojava potenčnih izrazov z negativnimi celimi potencami, kot so: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

V srednji šoli se vrnejo k diplomam. Tam je uvedena stopnja z racionalnim eksponentom, ki povzroči pojav ustreznih izrazov moči: , , in tako naprej. Končno so upoštevane stopnje z iracionalnimi eksponenti in izrazi, ki jih vsebujejo: , .

Zadeva ni omejena na naštete potenčne izraze: naprej spremenljivka prodre v eksponent in nastanejo npr. naslednji izrazi: 2 x 2 +1 oz. . In po seznanitvi z , se začnejo pojavljati izrazi s potencami in logaritmi, na primer x 2·lgx −5·x lgx.

Ukvarjali smo se torej z vprašanjem, kaj predstavljajo izrazi moči. Nato se jih bomo naučili preoblikovati.

Glavne vrste transformacij potenčnih izrazov

S potenčnimi izrazi lahko izvedete katero koli od osnovnih identitetnih transformacij izrazov. Na primer, lahko odprete oklepaje, zamenjate številske izraze z njihovimi vrednostmi, dodate podobne izraze itd. Seveda je v tem primeru treba upoštevati sprejeti postopek za izvajanje dejanj. Navedimo primere.

Primer.

Izračunajte vrednost potenčnega izraza 2 3 ·(4 2 −12) .

rešitev.

Glede na vrstni red izvajanja dejanj najprej izvedite dejanja v oklepaju. Tam najprej zamenjamo potenco 4 2 z njeno vrednostjo 16 (če je treba, glej), in drugič izračunamo razliko 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

V dobljenem izrazu potenco 2 3 nadomestimo z njeno vrednostjo 8, nakar izračunamo produkt 8·4=32. To je želena vrednost.

Torej, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

odgovor:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Primer.

Poenostavite izraze s potencami 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

rešitev.

Očitno ta izraz vsebuje podobna člena 3·a 4 ·b −7 in 2·a 4 ·b −7 , ki ju lahko predstavimo: .

odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primer.

Izrazi izraz s potencami kot produkt.

rešitev.

Nalogi se lahko spopadete tako, da število 9 predstavite kot potenco števila 3 2 in nato uporabite formulo za skrajšano množenje - razlika kvadratov:

odgovor:

Obstajajo tudi številne enake transformacije, ki so lastne posebej izrazom moči. Analizirali jih bomo še naprej.

Delo z osnovo in eksponentom

Obstajajo stopnje, katerih osnova in/ali eksponent niso le števila ali spremenljivke, ampak nekateri izrazi. Kot primer podajamo vnose (2+0,3·7) 5−3,7 in (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Pri delu s takšnimi izrazi lahko nadomestite tako izraz v osnovi stopnje kot izraz v eksponentu z identično enakim izrazom v ODZ njegovih spremenljivk. Z drugimi besedami, po nam znanih pravilih lahko ločeno transformiramo osnovo stopnje in ločeno eksponent. Jasno je, da bo kot rezultat te transformacije pridobljen izraz, ki je identično enak prvotnemu.

Takšne transformacije nam omogočajo poenostavitev izrazov s pooblastili ali doseganje drugih ciljev, ki jih potrebujemo. Na primer, v zgoraj omenjenem potenčnem izrazu (2+0,3 7) 5−3,7 lahko izvajate operacije s števili v osnovi in ​​eksponentu, kar vam bo omogočilo premik na potenco 4,1 1,3. In ko odpremo oklepaje in pripeljemo podobne člene na osnovo stopnje (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobimo potenčni izraz enostavnejše oblike a 2·(x+ 1) .

Uporaba lastnosti stopnje

Eno od glavnih orodij za preoblikovanje izrazov s potencami so enakosti, ki odražajo . Spomnimo se glavnih. Za poljubna pozitivna števila a in b ter poljubni realni števili r in s veljajo naslednje lastnosti potence:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Upoštevajte, da za naravne, cele in pozitivne eksponente omejitve števila a in b morda niso tako stroge. Na primer, za naravni števili m in n enakost a m ·a n =a m+n ne velja le za pozitivni a, ampak tudi za negativni a in za a=0.

V šoli je glavni poudarek pri transformaciji izrazov moči na sposobnosti izbire ustrezne lastnosti in njene pravilne uporabe. V tem primeru so baze stopinj običajno pozitivne, kar omogoča uporabo lastnosti stopinj brez omejitev. Enako velja za transformacijo izrazov, ki vsebujejo spremenljivke v bazah potenc - obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk je običajno tak, da baze na njem zavzamejo samo pozitivne vrednosti, kar vam omogoča prosto uporabo lastnosti potenc . Na splošno se morate nenehno spraševati, ali je v tem primeru mogoče uporabiti katero koli lastnost diplom, saj lahko nepravilna uporaba lastnosti povzroči zoženje izobraževalne vrednosti in druge težave. Te točke so podrobno in s primeri obravnavane v članku transformacija izrazov z uporabo lastnosti stopinj. Tu se bomo omejili na nekaj preprostih primerov.

Primer.

Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izrazi kot potenco z osnovo a.

rešitev.

Najprej transformiramo drugi faktor (a 2) −3 z uporabo lastnosti dviga potence na potenco: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Prvotni izraz moči bo imel obliko a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očitno ostaja uporaba lastnosti množenja in deljenja potenc z isto bazo, ki jo imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

odgovor:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Lastnosti potence pri preoblikovanju potencialnih izrazov se uporabljajo tako od leve proti desni kot od desne proti levi.

Primer.

Poiščite vrednost potenčnega izraza.

rešitev.

Enakost (a·b) r =a r ·b r, uporabljena od desne proti levi, nam omogoča prehod od prvotnega izraza k produktu oblike in naprej. In pri množenju potenc z enakimi osnovami se eksponenti seštejejo: .

Prvotni izraz je bilo mogoče preoblikovati na drug način:

odgovor:

.

Primer.

Glede na potenčni izraz a 1,5 −a 0,5 −6 vnesite novo spremenljivko t=a 0,5.

rešitev.

Stopnjo a 1,5 lahko predstavimo kot 0,5 3 in jo nato na podlagi lastnosti stopnje na stopnjo (a r) s =a r s, uporabljeno od desne proti levi, pretvorimo v obliko (a 0,5) 3. torej a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Zdaj je enostavno uvesti novo spremenljivko t=a 0,5, dobimo t 3 −t−6.

odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvarjanje ulomkov s potenci

Izrazi moči lahko vsebujejo ali predstavljajo ulomke s potenci. Vse osnovne transformacije ulomkov, ki so del ulomkov katere koli vrste, so v celoti uporabne za takšne ulomke. To pomeni, da je ulomke, ki vsebujejo potence, mogoče zmanjšati, zmanjšati na nov imenovalec, delati ločeno z njihovim števcem in ločeno z imenovalcem itd. Za ponazoritev teh besed razmislite o rešitvah več primerov.

Primer.

Poenostavite izražanje moči .

rešitev.

Ta izraz moči je ulomek. Delajmo z njegovim števcem in imenovalcem. V števcu odpremo oklepaje in dobljeni izraz poenostavimo z uporabo lastnosti potenc, v imenovalcu pa predstavimo podobne izraze:

In spremenimo tudi predznak imenovalca tako, da pred ulomek postavimo minus: .

odgovor:

.

Zmanjševanje ulomkov s potencami na nov imenovalec se izvede podobno kot zmanjševanje racionalnih ulomkov na nov imenovalec. V tem primeru najdemo tudi dodatni faktor in z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka. Pri izvajanju tega dejanja je vredno zapomniti, da lahko zmanjšanje na nov imenovalec povzroči zoženje VA. Da se to ne bi zgodilo, je potrebno, da dodatni faktor ne gre na nič za nobeno vrednost spremenljivk iz spremenljivk ODZ za prvotni izraz.

Primer.

Zmanjšaj ulomke na nov imenovalec: a) na imenovalec a, b) na imenovalec.

rešitev.

a) V tem primeru je precej enostavno ugotoviti, kateri dodatni množitelj pomaga doseči želeni rezultat. To je množitelj a 0,3, saj je a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Upoštevajte, da v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke a (to je niz vseh pozitivnih realnih števil) moč a 0,3 ne izgine, zato imamo pravico pomnožiti števec in imenovalec danega ulomek s tem dodatnim faktorjem:

b) Če natančneje pogledate imenovalec, boste ugotovili, da

in množenje tega izraza z bo dalo vsoto kock in , to je . In to je novi imenovalec, na katerega moramo zmanjšati prvotni ulomek.

Tako smo našli dodaten dejavnik. V območju dovoljenih vrednosti spremenljivk x in y izraz ne izgine, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka:

odgovor:

A) , b) .

Prav tako ni nič novega pri zmanjševanju ulomkov s potencami: števec in imenovalec sta predstavljena kot več faktorjev, enaka faktorja števca in imenovalca pa sta zmanjšana.

Primer.

Zmanjšaj ulomek: a) , b) .

rešitev.

a) Prvič, števec in imenovalec lahko zmanjšamo s številoma 30 in 45, kar je enako 15. Očitno je tudi mogoče izvesti zmanjšanje za x 0,5 +1 in za . Tukaj je tisto, kar imamo:

b) V tem primeru enaki faktorji v števcu in imenovalcu niso takoj vidni. Če jih želite pridobiti, boste morali izvesti predhodne transformacije. V tem primeru so sestavljeni iz faktoriziranja imenovalca z uporabo formule razlike kvadratov:

odgovor:

A)

b) .

Pretvarjanje ulomkov na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov se večinoma uporabljata za izvajanje stvari z ulomki. Dejanja se izvajajo po znanih pravilih. Pri seštevanju (odštevanju) se ulomki zreducirajo na skupni imenovalec, nakar se števci seštejejo (odštejejo), imenovalec pa ostane enak. Rezultat je ulomek, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev. Deljenje z ulomkom je množenje z njegovim inverzom.

Primer.

Sledite korakom .

rešitev.

Najprej odštejemo ulomke v oklepajih. Da bi to naredili, jih spravimo na skupni imenovalec, ki je , nato pa odštejemo števce:

Zdaj pomnožimo ulomke:

Očitno je možno reducirati za potenco x 1/2, po kateri imamo .

Izraz moči v imenovalcu lahko tudi poenostavite z uporabo formule razlike kvadratov: .

odgovor:

Primer.

Poenostavite Power Expression .

rešitev.

Očitno lahko ta ulomek zmanjšamo za (x 2,7 +1) 2, kar daje ulomek . Jasno je, da je treba s pooblastili X narediti nekaj drugega. Da bi to naredili, dobljeni ulomek pretvorimo v produkt. To nam daje možnost, da izkoristimo lastnost delitve potenc z enakimi osnovami: . In na koncu procesa se premaknemo od zadnjega produkta do ulomka.

odgovor:

.

In dodajmo še, da je možno in v mnogih primerih zaželeno faktorje z negativnimi eksponenti prenesti s števca na imenovalec ali z imenovalca na števec, pri čemer eksponentu spremenimo predznak. Takšne transformacije pogosto poenostavijo nadaljnja dejanja. Izraz moči lahko na primer nadomestite z .

Pretvarjanje izrazov s koreni in potenci

Pogosto so v izrazih, v katerih so potrebne nekatere transformacije, poleg potenc prisotni tudi koreni z ulomki. Za preoblikovanje takega izraza v želeno obliko je v večini primerov dovolj, da gremo samo na korene ali samo na potence. Ker pa je bolj priročno delati s pooblastili, se običajno premikajo od korenin do pooblastil. Vendar je priporočljivo izvesti takšen prehod, ko vam ODZ spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenov s potencami, ne da bi se morali sklicevati na modul ali razdeliti ODZ na več intervalov (o tem smo podrobno razpravljali v člen prehod s korenov na potence in nazaj Po seznanitvi s stopnjo z racionalnim eksponentom se uvede stopnja z iracionalnim eksponentom, ki nam omogoča, da govorimo o stopnji s poljubnim realnim eksponentom Na tej stopnji se začne šola študija eksponentna funkcija, ki je analitično podana s potenco, katere osnova je število, eksponent pa spremenljivka. Tako se soočamo s potenčnimi izrazi, ki vsebujejo števila v osnovi potence, v eksponentu pa izraze s spremenljivkami, in seveda se pojavi potreba po izvedbi transformacij takih izrazov.

Povedati je treba, da je treba transformacijo izrazov navedenega tipa običajno izvesti pri reševanju eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti, in te pretvorbe so precej preproste. V veliki večini primerov temeljijo na lastnostih diplome in so večinoma usmerjeni v uvedbo nove spremenljivke v prihodnosti. Enačba nam jih bo omogočila, da jih pokažemo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Prvič, potence, v eksponentih katerih je vsota določene spremenljivke (ali izraza s spremenljivkami) in števila, zamenjamo z produkti. To velja za prvi in ​​zadnji člen izraza na levi strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Nato obe strani enakosti delimo z izrazom 7 2 x, ki na ODZ spremenljivke x za izvirno enačbo zavzame samo pozitivne vrednosti (to je standardna tehnika za reševanje enačb te vrste, nismo zdaj govorimo o tem, zato se osredotočite na nadaljnje transformacije izrazov s potencami ):

Zdaj lahko prekličemo ulomke s potencami, kar daje .

Končno se razmerje potenc z enakimi eksponenti nadomesti s potencami relacij, kar ima za posledico enačbo , kar je enakovredno . Izvedene transformacije nam omogočajo uvedbo nove spremenljivke, ki reducira rešitev prvotne eksponentne enačbe na rešitev kvadratne enačbe

Mestna državna izobraževalna ustanova

osnovna srednja šola št.25

Lekcija algebre

Zadeva:

« Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo potence, z ulomki

Razvil:

,

učiteljica matematike

višje dokvalifikacijska kategorija

Vozlišče

2013

Tema lekcije: Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo eksponente, z delnimi eksponenti

Namen lekcije:

1. Nadaljnji razvoj spretnosti, znanja in veščin pretvarjanja izrazov, ki vsebujejo stopnje z ulomkimi eksponenti

2. Razvoj sposobnosti iskanja napak, razvoj mišljenja, ustvarjalnosti, govora, računalniških sposobnosti

3. Spodbujanje neodvisnosti, zanimanja za predmet, pozornosti, natančnosti.

TCO: magnetna tabla, testne karte, tabele, individualne karte, šolarji imajo na mizi prazne podpisane liste za samostojno delo, križanko, tabele za matematično ogrevanje, multimedijski projektor.

Vrsta lekcije: zavarovanje ZUN.

Načrt lekcije skozi čas

1. Organizacijski vidiki (2 min)

2. Preverjanje domače naloge (5 min)

3. Križanka (3 min)

4. Matematično ogrevanje (5 min)

5. Reševanje frontalnih krepilnih vaj (7 min)

6. Individualno delo (10 min)

7. Rešitev ponovitvenih vaj (5 min)

8. Povzetek lekcije (2 min)

9. Domača naloga (1 min)

Med poukom

1) Preverjanje domače naloge v obliki medsebojnega preverjanja . Dobri učenci preverjajo zvezke šibkih otrok. In šibki fantje preverjajo z močnimi z uporabo vzorčne kontrolne kartice. Domača naloga je podana v dveh različicah.

jaz možnost naloga ni težka

II možnost je naloga težka

Kot rezultat preverjanja fantje poudarijo napake s preprostim svinčnikom in dajo oceno. Nazadnje delo preverim potem, ko otroci po pouku oddajo zvezke. Fante povprašam po rezultatih njihovega testa in v svojo zbirno tabelo vpišem ocene za to vrsto dela.

2) Za preverjanje teoretičnega gradiva je na voljo križanka.

Navpično:

1. Lastnost množenja, ki se uporablja pri množenju monoma s polinomom?

2. Učinek eksponentov pri dvigovanju potence na potenco?

3. Diploma z nič indeksom?

4. Izdelek, sestavljen iz enakih faktorjev?

Vodoravno:

5. Koren n – o stopnja nenegativnega števila?

6. Delovanje eksponentov pri množenju potenc?

7. Učinek eksponentov pri deljenju potence?

8. Število vseh enakih faktorjev?

3) Matematično ogrevanje

a) izvedite izračun in s šifro preberite besedo, ki je skrita v problemu.

Na tabli je pred vami tabela. Tabela v stolpcu 1 vsebuje primere, ki jih je treba izračunati.

Ključ do mize

In odgovor zapišite v stolpec II, v stolpcu III postavite črko, ki ustreza temu odgovoru.

Učitelj: Torej, šifrirana beseda je "stopnja". V naslednji nalogi delamo z 2. in 3. stopnjo

b) Igra "Pazi, da se ne zmotiš"

Namesto pik vnesite številko

a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Poiščimo napako:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Torej, fantje, kaj je bilo potrebno uporabiti za dokončanje te naloge:

Lastnost stopenj: pri dvigovanju stopnje na potenco se eksponenti pomnožijo;

4) Zdaj pa začnimo s pisnim delom na sprednji strani. , z uporabo rezultatov prejšnjega dela. Odprite zvezke in zapišite datum in temo učne ure.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

št. 000 (a, c, d, e)

A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

št. 000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

e) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Ocena

5) Delajte na posameznih karticah s štirimi možnostmi na ločenih listih

Naloge z različnimi težavnostnimi stopnjami se izvajajo brez učiteljevega poziva.

Takoj preverim delo in vpišem ocene v svojo tabelo in na liste fantov.

št. 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3 + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Delo na posameznih kartah različnih stopenj zahtevnosti. Nekatere vaje imajo učiteljeva priporočila, saj je snov zapletena in se slabotni otroci težko spopadejo z delom

Na voljo so tudi štiri možnosti. Ocenjevanje poteka takoj. Vse ocene sem dal v preglednico.

Naloga št iz zbirke

Učitelj postavlja vprašanja:

1. Kaj je treba najti v problemu?

2. Kaj morate vedeti za to?

3. Kako izraziti čas 1 pešca in 2 pešcev?

4. Primerjaj časa pešcev 1 in 2 glede na pogoje problema in sestavi enačbo.

Rešitev problema:

Naj bo x (km/h) hitrost 1 pešca

X +1 (km/h) – hitrost 2 pešcev

4/х (h) – čas pešca

4/(x +1) (h) – čas drugega pešca

Glede na pogoje problema 4/x >4/ (x +1) 12 minut

12 min = 12/60 h = 1/5 h

Sestavimo enačbo

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – hitrost 1 pešca

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – ne ustreza pomenu problema, saj je x>0

Odgovor: 5 km/h – hitrost 2 pešcev

9) Povzetek lekcije: Torej, fantje, danes smo pri lekciji utrjevali znanje, spretnosti in spretnosti preoblikovanja izrazov, ki vsebujejo stopnje, uporabljali skrajšane formule za množenje, premikali skupni faktor iz oklepaja in ponavljali obravnavano snov. Izpostavljam prednosti in slabosti.

Povzetek lekcije v tabeli.

10) Razglasim ocene. Domača naloga

Posamezne karte K – 1 in K – 2

zamenjam B – 1 in B – 2; B – 3 in B – 4, saj sta enakovredna

Prijave k lekciji.

1) Kartice za domačo nalogo

1. poenostaviti

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. prisoten kot vsota

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. izločite skupni množitelj

c) 151/3 +201/3

1. poenostaviti

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. prisoten kot vsota

a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Skupni faktor vzemite iz oklepaja

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) kontrolni karton za B – 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Kartice za prvo samostojno delo

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – in a ≥ 0

1. Faktoriziraj kot razliko kvadratov

a) a1/2 – b1/2

2. Faktoriziraj kot razlika ali vsota kubov

a) c1/3 + d1/3

1. Faktoriziraj kot razliko kvadratov

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Faktoriziraj kot razlika ali vsota kubov

4) kartice za drugo samostojno delo

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Navodilo: x1/2, odstranite števce iz oklepajev

b) (a - c)/(a1/2 - b1/2)

Opomba: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Zmanjšajte delež

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Navodilo: odstranite 21/4 iz oklepajev

b) (a – c)/(5а1/2 – 5в1/2)

Opomba: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Možnost 3

1. Zmanjšajte ulomek

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Navodilo: postavite x1/4 iz oklepaja

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Možnost 4

Zmanjšajte delež

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Zadeva: " Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo potence z ulomkim eksponentom"

"Naj nekdo poskuša odstraniti diplome iz matematike, pa bo videl, da brez njih ne boste prišli daleč." (M. V. Lomonosov)

Cilji lekcije:

izobraževalni: povzemati in sistematizirati znanje študentov na temo "Stopnja z racionalnim kazalnikom"; spremljati stopnjo obvladovanja snovi;

razvoj: razviti sposobnosti samokontrole učencev; ustvariti vzdušje zanimanja za vsakega učenca pri njihovem delu, razviti kognitivno aktivnost učencev;

izobraževalni: gojiti zanimanje za predmet, za zgodovino matematike.

Vrsta lekcije: lekcija posploševanja in sistematizacije znanja

Oprema: ocenjevalni listi, kartice z nalogami, dekoderji, križanke za vsakega učenca.

Predhodna priprava: razred je razdeljen v skupine, v vsaki skupini je vodja svetovalec.

MED POUKOM

I. Organizacijski trenutek.

Učiteljica: Končali smo preučevanje teme "Potenca z racionalnim eksponentom in njegove lastnosti." Vaša naloga v tej lekciji je pokazati, kako ste obvladali snov, ki ste jo preučevali, in kako lahko pridobljeno znanje uporabite pri reševanju specifičnih problemov. Vsak od vas ima na mizi list s točkami. Vanj boste vnesli svojo oceno za vsako stopnjo učne ure. Na koncu lekcije boste dali povprečno oceno lekcije.

Ocenjevalni list

II. Preverjanje domače naloge.

Medsebojno preverjanje s svinčnikom v roki, odgovore preberejo učenci.

III. Posodabljanje znanja učencev.

Učiteljica: Slavni francoski pisatelj Anatole France je nekoč rekel: »Učenje mora biti zabavno ... Če želite absorbirati znanje, ga morate absorbirati z apetitom.«

Ponovimo potrebne teoretične informacije ob reševanju križanke.

Vodoravno:

1. Dejanje, s katerim se izračuna vrednost stopnje (Gradnja).

2. Produkt, sestavljen iz enakih faktorjev (stopnja).

3. Delovanje eksponentov pri potenci (delo).

4. Delovanje stopinj, pri katerem se odštejejo eksponenti stopinj (delitev).

Navpično:

5. Število vseh enakih faktorjev (indeks).

6. Stopnja z ničelnim indeksom (enota).

7. Ponavljajoči množitelj (osnova).

8. Vrednost 10 5: (2 3 5 5) (štiri).

9. Eksponent, ki se običajno ne piše (enota).

IV. Matematično ogrevanje.

učiteljica. Ponovimo definicijo stopnje z racionalnim eksponentom in njene lastnosti ter rešimo naslednje naloge.

1. Predstavi izraz x 22 kot produkt dveh potenc z osnovo x, če je eden od faktorjev enak: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Poenostavite:

b) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

c) od 1,4 od -0,3 od 2,9

3. Izračunaj in sestavi besedo s pomočjo dekodirnika.

Ko boste opravili to nalogo, boste izvedeli ime nemškega matematika, ki je uvedel izraz "eksponent".

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Beseda: 1234567 (Stifel)

V. Pisno delo v zvezkih (odgovori se odpirajo na tabli) .

Naloge:

1. Poenostavite izraz:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Poiščite vrednost izraza:

(x 3\8 x 1\4 :) 4 pri x=81

VI. Delo v skupinah.

telovadba. Rešite enačbe in sestavite besede s pomočjo dekoderja.

Kartica št. 1

Beseda: 1234567 (Diofant)

Kartica št. 2

Kartica št. 3

Beseda: 123451 (Newton)

Dekoder

učiteljica. Vsi ti znanstveniki so prispevali k razvoju pojma "diploma".

VII. Zgodovinski podatki o razvoju pojma diploma (študentsko sporočilo).

Koncept diplome z naravnim indikatorjem se je oblikoval med starimi ljudstvi. Za izračun površin in prostornin smo uporabili kvadratna in kockasta števila. Potence nekaterih števil so pri reševanju določenih problemov uporabljali znanstveniki starega Egipta in Babilona.

V 3. stoletju je izšla knjiga grškega znanstvenika Diofanta "Aritmetika", ki je postavila temelje za uvedbo črkovnih simbolov. Diofant uvaja simbole za prvih šest potenc neznanega in njihove recipročne vrednosti. V tej knjigi je kvadrat označen z znakom z indeksom r; kocka – znak k z indeksom r itd.

Iz prakse reševanja zahtevnejših algebrskih problemov in operiranja s stopnjami je nastala potreba po posplošitvi pojma stopnje in njegovi razširitvi z uvedbo nič, negativnih in ulomkov kot eksponenta. Matematiki so postopoma prišli do ideje, da bi koncept stopnje posplošili na stopnjo z nenaravnim eksponentom.

Delne eksponente in najpreprostejša pravila za delovanje potenc z delnimi eksponenti najdemo pri francoskem matematiku Nicholasu Oresmeju (1323–1382) v njegovem delu »Algoritem razmerij«.

Enakost, a 0 =1 (za in ni enako 0) je v svojih delih na začetku 15. stoletja uporabil Samarkandski znanstvenik Giyasaddin Kashi Dzhemshid. Neodvisno je ničelni indikator uvedel Nikolai Schuke v 15. stoletju. Znano je, da je Nicholas Shuquet (1445–1500) obravnaval stopnje z negativnimi in ničelnimi eksponenti.

Pozneje ulomke in negativne eksponente najdemo v »Popolni aritmetiki« (1544) nemškega matematika M. Stiefela in Simona Stevina. Simon Stevin je predlagal, da je 1/n mišljen kot koren.

Nemški matematik M. Stiefel (1487–1567) je podal definicijo a 0 = 1 at in uvedel ime eksponent (to je dobesedni prevod iz nemščine eksponent). Nemško potenzieren pomeni dvig na moč.

Konec 16. stoletja je François Viète uvedel črke za označevanje ne le spremenljivk, ampak tudi njihovih koeficientov. Uporabil je okrajšave: N, Q, C – za prvo, drugo in tretjo stopnjo. Toda sodobne zapise (kot sta 4, 5) je v 17. stoletju uvedel Rene Descartes.

Sodobne definicije in zapisi za potence z ničelnimi, negativnimi in delnimi eksponenti izvirajo iz del angleških matematikov Johna Wallisa (1616–1703) in Isaaca Newtona (1643–1727).

O smiselnosti uvedbe ničelnih, negativnih in ulomkov eksponentov ter sodobnih simbolov je leta 1665 prvi podrobneje pisal angleški matematik John Wallis. Njegovo delo je zaključil Isaac Newton, ki je začel sistematično uporabljati nove simbole, nakar so ti prešli v splošno uporabo.

Uvedba stopnje z racionalnim eksponentom je eden od mnogih primerov posploševanja konceptov matematičnega delovanja. Stopnja z ničelnim, negativnim in delnim eksponentom je definirana tako, da zanjo veljajo enaka pravila delovanja kot za stopnjo z naravnim eksponentom, tj. tako da se ohranijo osnovne lastnosti prvotno definiranega koncepta stopnje.

Nova definicija stopnje z racionalnim eksponentom ni v nasprotju s staro definicijo stopnje z naravnim eksponentom, kar pomeni, da pomen nove definicije stopnje z racionalnim eksponentom ostaja enak za posebne primere stopnje z naravnim eksponentom. To načelo, ki ga upoštevamo pri posploševanju matematičnih pojmov, imenujemo načelo trajnosti (ohranjanje konstantnosti). V nepopolni obliki jo je leta 1830 izrazil angleški matematik J. Peacock, v celoti in jasno pa jo je leta 1867 uveljavil nemški matematik G. Hankel.

VIII. Preverite sami.

Samostojno delo s kartami (odgovori so razkriti na tabli) .

Možnost 1

1. Izračunaj: (1 točka)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

Možnost 2

1. Izračunaj: (1 točka)

2. Poenostavite izraz: vsak po 1 točko

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3\8) -5\6

3. Reši enačbo: (2 točki)

4. Poenostavite izraz: (2 točki)

5. Poiščite pomen izraza: (3 točke)

IX. Povzetek lekcije.

Katere formule in pravila ste se spomnili v razredu?

Analizirajte svoje delo v razredu.

Ocenjuje se delo učencev pri pouku.

X. Domača naloga. K: R IV (ponovitev) čl. 156-157 št. 4 (a-c), št. 7 (a-c),

Dodatno: št. 16

Aplikacija

Ocenjevalni list

Ime/ime/učenec____________________________________________________

Kartica št. 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kartica št. 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kartica št. 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) in 1\2 = 2\3

Dekoder

Kartica št. 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kartica št. 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kartica št. 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) in 1\2 = 2\3

Dekoder

Kartica št. 1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kartica št. 2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekoder

Kartica št. 3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) in 1\2 = 2\3

Dekoder

Oddelki: Matematika

Razred: 9

CILJ: utrditi in izboljšati veščine uporabe lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom; razvijati spretnosti izvajanja preprostih transformacij izrazov, ki vsebujejo potence z ulomkim eksponentom.

VRSTA LEKCIJE: lekcija utrjevanja in uporabe znanja o tej temi.

UČBENIK: Algebra 9 izd. S.A. Teljakovski.

MED POUKOM

Učiteljev uvodni govor

"Ljudje, ki niso seznanjeni z algebro, si ne morejo predstavljati neverjetnih stvari, ki jih je mogoče doseči ... s pomočjo te znanosti." G.V. Leibniz

Algebra nam odpira vrata laboratorijskega kompleksa "Diploma z racionalnim eksponentom."

1. Frontalna anketa

1) Podajte definicijo stopnje z delnim eksponentom.

2) Za kateri delni eksponent je definirana stopnja z osnovo enako nič?

3) Ali bo stopnja določena z delnim eksponentom za negativno osnovo?

Naloga: Predstavljajte si število 64 kot potenco z osnovo - 2; 2; 8.

Kocka katerega števila je 64?

Ali obstaja kakšen drug način za predstavitev števila 64 kot potence z racionalnim eksponentom?

2. Delo v skupinah

1 skupina. Dokaži, da so izrazi (-2) 3/4 ; 0-2 nima smisla.

2. skupina. Predstavljajte si potenco z delnim eksponentom v obliki korena: 2 2/3; 3 -1|3 ; -v 1,5; 5a 1/2; (x-y) 2/3.

3. skupina. Predstavljen kot potenci z ulomkom: v3; 8 va 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3; vvv.

3. Preidimo k laboratoriju "Dejanje na pooblastilih"

Pogosti gostje laboratorija so astronomi. Prinesejo svoja »astronomska števila«, jih podvržejo algebrski obdelavi in ​​dobijo uporabne rezultate

Na primer, razdalja od Zemlje do Andromedine meglice je izražena s številko

9500000000000000000 = 95 10 18 km;

to se imenuje kvintiljon.

Masa sonca v gramih je izražena s številom 1983 10 30 g - nonnalion.

Poleg tega laboratorij čakajo še druge resne naloge. Na primer, problem računanja izrazov, kot je:

A) ; b) ; V) .

Laboratorijsko osebje izvaja takšne izračune na najprimernejši način.

Lahko se povežete z delom. Da bi to naredili, ponovimo lastnosti potenc z racionalnimi eksponenti:

Zdaj izračunajte ali poenostavite izraz z uporabo lastnosti potenc z racionalnimi eksponenti:

1. skupina:

2. skupina:

Skupina 3:

Preverjanje: ena oseba iz skupine pri tabli.

4. Primerjalna naloga

Kako lahko primerjamo izraza 2 100 in 10 30 z uporabo lastnosti potenc?

odgovor:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. In zdaj vas vabim v laboratorij "Raziskave stopenj".

Kakšne transformacije lahko izvajamo na potencah?

1) Predstavljajte si število 3 kot potenco z eksponentom 2; 3; -1.

2) Kako lahko izraze a-c faktoriziramo? noter+noter 1/2; a-2a 1/2; 2 je 2?

3) Zmanjšajte ulomek, ki mu sledi medsebojno preverjanje:

4) Razložite izvedene transformacije in poiščite pomen izraza:

6. Delo z učbenikom.št. 611 (g, d, f).

1. skupina: (d).

2. skupina: (e).

Skupina 3: (f).

št. 629 (a, b).

Strokovni pregled.

7. Izvajamo delavnico (samostojno delo).

Podani izrazi:

Pri zmanjševanju katerih ulomkov so skrajšane formule množenja in dajanje skupnega faktorja iz oklepaja?

1. skupina: št. 1, 2, 3.

2. skupina: št. 4, 5, 6.

3. skupina: št. 7, 8, 9.

Pri izpolnjevanju naloge lahko uporabite priporočila.

1. Če primer zapisa vsebuje tako potence z racionalnim eksponentom kot korenine n-te stopnje, potem zapiši korene n-te stopnje v obliki potenc z racionalnim eksponentom.
2. Poskusite poenostaviti izraz, na katerem se izvajajo dejanja: odpiranje oklepajev, uporaba skrajšane formule za množenje, prehod s potence z negativnim eksponentom na izraz, ki vsebuje potence s pozitivnim eksponentom.
3. Določite vrstni red, v katerem je treba izvesti dejanja.
4. Dokončajte korake v vrstnem redu, v katerem so izvedeni.

Učitelj ocenjuje po zbranih zvezkih.

8. Domača naloga: št. 624, 623.