Pretvarjanje ulomkov, ki vsebujejo kvadratne korene. Uporaba lastnosti korenov pri preoblikovanju iracionalnih izrazov, primerov, rešitev
dober dan
Vse goste pozdravi učiteljica prve kategorije
Girina Irina Valerievna
in učenci 8. razreda
OU "Šola Lugovskaya"!
Filozofija Talesa iz Mileta
Kaj je enostavno?
Kaj je težko?
Kdo je srečen?
Dajanje nasvetov drugim
Spoznajte sebe
Kdor je telesno zdrav, je obdarjen z duševnim mirom in razvija svoje talente
Poenostavite izraze:
Primerjaj izraze:
15. 2. 17. Kul delo
Identične transformacije izrazov, ki vsebujejo
kvadratni koreni.
Cilj: študij...
načine transformacije identitete izrazi, ki vsebujejo kvadratne korene
1. Določite metode;
2. Oblikujte pravila;
3. Ustvarite algoritem;
4. Naučite se uporabljati algoritem za pretvorbo izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene
Identične transformacije izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene
Odstranjevanje množitelja izpod znaka korena
Vnos množitelja pod znak korena
Odstranjevanje množitelja izpod znaka korena
Vnos množitelja pod znak korena
Če želite faktor odstraniti izpod znaka korena, morate radikalni izraz faktorizirati na faktorje, tako da je eden od njih popoln kvadrat
Če želite faktor vpisati pod znak korena, ga morate kvadrirati; zmnožek kvadrata množitelja in radikalnega izraza zapišite pod znak za koren
3. Uporabite to metodo za dokončanje naloge.
Zaključki: študirali smo ...
metode identičnih transformacij izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene
Da bi to naredili, smo rešili naslednje težave:
1. Določene metode;
2. Oblikoval pravilo;
3. Ustvaril algoritem;
4. Naučil se uporabiti algoritem za identične transformacije izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene
Odsev
Rezultat naše lekcije
bo to, kar bomo
pravila za vnos množitelja pod koren in odstranitev množitelja izpod korena
UPORABITE pravila za vnos množitelja pod koren in odstranitev množitelja izpod korena
Izvedite test
"Diagnostika ravni matematične sposobnosti»
Povzetek lekcije in domača naloga
Utrjujte znanje o pravilih.
Naredite test po št. 524 - št. 528
10 vprašanj s 4 možnostmi odgovora.
Pouk algebre v 8. razredu
Predmet: Splošni pouk.
Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene
Učiteljica matematike: Baiturova A.R. šola kola-gimnazija št. 31, Astana
2012-2013 študijsko leto
Cilj: ponavljanje pojma kvadratni koren, njegove lastnosti; razvijanje sposobnosti poenostavljanja izrazov in računanja kvadratnih korenov.
Naloge:
utrditi predhodno pridobljeno znanje, spretnosti in sposobnosti študentov o temi, ki se preučuje;
utrditi spretnosti pretvarjanja izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene;
spodbujanje oblikovanja neodvisne izbire metode rešitve.
Vrsta lekcije: Izboljšanje znanja učencev o učenju
Metode dela:
Aktiven (proces spoznavanja prihaja od študentov),
Vizualno - demonstrativno,
Delno - iskanje (otroke učimo opazovati, analizirati, primerjati, sklepati in posploševati na podlagi učiteljevo vodenje),
Praktično
Oblike dela: cel razred, posameznik..
Oprema: interaktivno tablo, PowerPoint diapozitivi., ocenjevalni listi, testne kartice, kartice za domače naloge.
Dejavnostni pristop k poučevanju (znanje prihaja od študenta),
Verbalno – produktivno (at faza refleksije),
osebno – usmerjeno učenje(vsak otrok bo znal odgovoriti).
Napredek lekcije.
- Pozdravljeni, sedite (Pozdravljeni, sedite). Oglejte si temo naše lekcije in povejte, kaj bi to pomenilo ( Oglejte si našo lekcijo in mi povejte, kaj to pomeni).
Tako je, danes bomo v lekciji ponovili pravila za preoblikovanje izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene, preoblikovanje korenov zmnožka, ulomka in stopnje, množenje in deljenje korenov, postavljanje množitelja za predznak za koren, dodajanje množitelja pod predznak za koren, prinašanje podobni pogoji in osvoboditev od iracionalnosti v imenovalcu ulomka. Ocenjena stran bo pomagala povzeti današnjo lekcijo ( Ocenjevalni list vam bo pomagal pri povzetku današnje lekcije.)
Podpišite liste papirja in odgovorite na prvo vprašanje "Razpoloženje na začetku lekcije", tako da izberete enega od smeškov.( Podpišite svoje besede in odgovorite na prvo vprašanje "Razpoloženje na začetku lekcije" z izbiro enega od emotikonov).
II. Sporočilo o temi lekcije
Tema naše lekcije: "Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo aritmetične kvadratne korenine." (Slide št. 1)
Nekaj je v matematiki
povzročajo človeško veselje. F. Hausdorff(Slide št. 2)
III. Ustno delo ( Ustno delo)
1) Frontalna anketa ( Frontalna anketa). (Slide št. 3)
1. Podajte definicijo aritmetičnega kvadratnega korena. (Aritmetični kvadratni koren iz a je nenegativno število, katerega kvadrat je enak a).
2. Naštej lastnosti aritmetičnega kvadratnega korena. (Aritmetični kvadratni koren produkta nenegativnih faktorjev enako zmnožku korenine teh dejavnikov. Aritmetični kvadratni koren ulomka, katerega števec je nenegativen in imenovalec pozitiven, enak korenu od števca deljeno s korenom imenovalca).
3. Kakšna je vrednost aritmetičnega kvadratnega korena iz x 2? (|x|).
4. Kakšna je vrednost aritmetičnega kvadratnega korena iz x 2, če je x≥0? X<0? (х. –х).
2) Ustni obračun ( Oralno preverite) (Slide št. 4)
Daj no, odloži svinčnike!
Brez domin. Brez pisal. Brez krede.
"Ustno štetje!" Delamo to stvar
Samo z močjo uma in duše.
Številke se stekajo nekje v temi,
In oči začnejo žareti,
In okoli so samo pametni obrazi.
Ker štejemo v glavi!
(Slide št. 5-8)
1. Odstranite faktor izpod znaka korena: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) 
2. Pod znak korena vpiši množitelj: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)
3. Kvadrat (Kvadratura) : 2, 6, 7, 9, 11, 13,15, 18, 22, 25
4. Navedite podobne izraze:
IV. Delajte na temo lekcije
1) Samostojno delo (Samostojno delo) (Slide št. 9)
Zelena ustreza nalogam osnovne ravni, rumena - nalogam višje stopnje, rdeča - nalogam visoke ravni.(Zelena ustreza nalogam na osnovni ravni, rumena nalogam na višji ravni, rdeča nalogam na višji ravni). Učenci si nalogo izberejo po lastni presoji. Trije učenci, ki so prejeli nalogo, jo rešijo v svojih zvezkih
ravni
Odstranite množitelj izpod znaka korena:
1)
2)
3)
Vnesite množitelj pod znak korena:
1)
; 2)
; 3)
;
Primerjaj številke:
1)
in; 2)
in;
ravni
Poenostavite izraz:
1) ; 2) ; 3) 
Poiščite znesek:
1)
2) 
1) 
; 2) 
3. stopnja
Poenostavite izraz:
1) 
; 2) 
.
Preoblikujte izraz:
1) 
; 2) 
;
Odprite oklepaje in poenostavite izraz:
1) ;
2) 
; 3) 
;
2) Delo z interaktivno tablo. (Slide št. 10-13)
Ostali učenci rešujejo naslednje naloge:
1. Poiščite pomen izraza:
1) 
2) 
3)
2. Preoblikujte izraz:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
3. Poenostavite izraz:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
4. Znebite se iracionalnosti v imenovalcu:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
VI. Zgodovinski podatki( Zgodovinsko ozadje) (Slide 14-26)
Radix ima dva pomena: stran in koren. Grški matematiki so namesto »izvleči koren« rekli »poišči stranico kvadrata iz dane vrednosti (površine)«.
Začetek 13. stoletja so italijanski in drugi evropski matematiki koren označevali z latinsko besedo Radix ali na kratko R (od tod izraz "radikal").
Nemški matematiki 15. stoletja. za označevanje kvadratnega korena smo uporabili piko ·5
Kasneje so namesto pike začeli postavljati diamant 5
Potem Ú 5. Nato sta se znak Ú in črta začela povezovati.
VI. Test ( Test)
Angleški filozof Herbert Spencer je rekel: "Ceste niso znanje, ki se nalaga v možganih kot maščoba, ceste so tiste, ki se spremenijo v mentalne mišice."(Slide št. 27)
Na tej stopnji pouka je potrebno znanje uporabiti pri reševanju vaj med izvajanjem testa.(Na tej stopnji lekcije morate svoje znanje uporabiti pri reševanju vaj med testom).
VII. Medsebojno testiranje ( Strokovni pregled) (Slide št. 28)
Koda pravilnih odgovorov: I. možnost – 3124111, možnost II - 2131222
VIII. domača naloga.(Slide št. 29)
Katero število je manjše 
oz 
?
B 2. Poenostavite izraz: 
,
pri 
.
B 3. Sledite tem korakom: 
.
Podrobne in utemeljene rešitve nalog v tem delu natančno in čitljivo napišite na list papirja.
C 1. Zmanjšaj ulomek: 
.
C 2. Izvlecite kvadratni koren izraza: 
.
VIII. Povzetek lekcije
V celoti izpolnite ocenjevalni list. Oznake za lekcijo.
Lekcijo želim končati s pesmijo velike matematike Sofije Kovalevske. (Slide št. 30)
Če v življenju te tudi za trenutek
V srcu sem čutil resnico,
Če je žarek svetlobe skozi temo in dvom
Tvoja pot je bila osvetljena s svetlim sijajem:
Ne glede na vašo nespremenljivo odločitev
Usoda vam ni vnaprej namenjena,
Spomin na ta sveti trenutek
Naj bo za vedno kot svetinja v tvoji skrinji.
Oblaki se bodo zbrali v neskladno gmoto,
Nebo bo prekrito s črno meglico,
Z jasno odločnostjo, z umirjeno vero
Srečaš nevihto in se soočiš z nevihto.
Ta pesem izraža željo po znanju, sposobnost premagovanja vseh ovir, ki pridejo na pot.
Lekcije je konec. Hvala za lekcijo! ( Lekcije je konec. Hvala za lekcijo!) (Slide št. 31)
Aplikacija
VPRAŠALNIK
F.I. študent__________________________
1. Razpoloženje na začetku lekcije: a) c)
2. Moje dojemanje teme lekcije:
a) naučili vse; b) se naučili skoraj vsega; c) delno razumem, potrebujem pomoč.
3. Število nepravilnih odgovorov na testu: _________
4. V razredu sem delal:
a) odlično; b) dobro; c) zadovoljivo; d) nezadovoljivo.
5. Svoje delo ocenjujem z ______ (podajte oceno)
6. Lekcijo ocenim _____ (podajte oceno)
7. Razpoloženje ob koncu lekcije:
A)b) V)
Test 1 možnost
A 1. Izračunaj 
.
1) 7; 2) 
; 3) 5; 4) 
.
A 2. Izračunaj 
.
1) 7; 2) ; 3) ; 4) 4.
Gradivo v tem članku je treba obravnavati kot del teme transformacija iracionalnih izrazov. Tukaj bomo s primeri analizirali vse tankosti in nianse (ki jih je veliko), ki se pojavijo pri izvajanju transformacij na podlagi lastnosti korenin.
Navigacija po straneh.
Spomnimo se lastnosti korenin
Ker se bomo ukvarjali s preoblikovanjem izrazov z uporabo lastnosti korenov, ne bo škodilo, če si zapomnimo glavne, ali še bolje, da jih zapišemo na papir in postavimo predse.
Najprej preučujemo kvadratne korene in njihove naslednje lastnosti (a, b, a 1, a 2, ..., a k so realna števila):
Kasneje je ideja korena razširjena, uvedena je definicija korena n-te stopnje in upoštevane so naslednje lastnosti (a, b, a 1, a 2, ..., a k so realna števila, m, n, n 1, n 2, ... , n k - naravna števila):
Pretvarjanje izrazov s števili pod radikalnimi znaki
Kot običajno se najprej naučijo dela s številskimi izrazi, šele nato preidejo na izraze s spremenljivkami. Enako bomo storili tudi mi, najprej se bomo ukvarjali s transformacijo iracionalnih izrazov, ki vsebujejo samo številske izraze pod znaki korenov, nato pa bomo v naslednjem odstavku uvedli spremenljivke pod znaki korenov.
Kako se lahko to uporabi za transformacijo izrazov? Zelo preprosto: na primer, iracionalni izraz lahko zamenjamo z izrazom ali obratno. To pomeni, da če izraz, ki se pretvarja, vsebuje izraz, ki se po videzu ujema z izrazom iz levega (desnega) dela katere koli od navedenih lastnosti korenov, potem ga je mogoče nadomestiti z ustreznim izrazom iz desnega (levega) dela. To je transformacija izrazov z uporabo lastnosti korenov.
Navedimo še nekaj primerov.
Poenostavimo izraz 
. Številke 3, 5 in 7 so pozitivne, zato lahko varno uporabimo lastnosti korenin. Tukaj lahko delujete na različne načine. Na primer, koren, ki temelji na lastnosti, je mogoče predstaviti kot , in koren, ki uporablja lastnost s k=3 - kot , s tem pristopom bo rešitev videti takole: 
To bi lahko storili drugače, če bi zamenjali z in nato z , v tem primeru bi rešitev izgledala takole: 
Možne so tudi druge rešitve, npr. 
Poglejmo rešitev drugega primera. Preoblikujemo izraz. Če pogledamo seznam lastnosti korenov, iz njega izberemo lastnosti, ki jih potrebujemo za rešitev primera; jasno je, da sta tukaj uporabni dve in , ki veljata za katerikoli a . Imamo: 
Druga možnost je, da bi radikalne izraze najprej preoblikovali z uporabo 
in nato uporabite lastnosti korenin 
Do te točke smo pretvorili izraze, ki vsebujejo samo kvadratne korene. Čas je za delo s koreninami, ki imajo različne indikatorje.
Primer.
Pretvori iracionalni izraz 
.
rešitev.
Po lastnini 
prvi faktor danega produkta lahko nadomestimo s številom −2: 
Gremo dalje. Drugi dejavnik zaradi lastnine 
lahko predstavimo kot , in ne bi škodilo, če bi 81 zamenjali s štirikratno potenco tri, saj se število 3 pojavlja pod znaki korenin v preostalih faktorjih: 
Priporočljivo je, da koren ulomka nadomestimo z razmerjem korenov oblike , ki ga je mogoče nadalje transformirati: 
. Imamo 
Nastali izraz po izvedbi dejanj z dvema bo prevzel obliko 
, in ostane preoblikovanje produkta korenin.
Za pretvorbo produktov korenin se običajno zmanjšajo na en indikator, za katerega je priporočljivo vzeti indikatorje vseh korenin. V našem primeru je LCM(12, 6, 12) = 12 in samo koren bo treba zmanjšati na ta indikator, saj druga dva korena že imata tak indikator. Enakost, ki se uporablja od desne proti levi, nam omogoča, da se spopademo s to nalogo. torej 
. Ob upoštevanju tega rezultata imamo 
Zdaj lahko produkt korenin zamenjamo s korenom produkta in izvedemo preostale, že očitne transformacije: 
Napišimo kratko različico rešitve: 
odgovor:
.
Ločeno poudarjamo, da je za uporabo lastnosti korenin treba upoštevati omejitve, ki veljajo za številke pod znaki korenin (a≥0 itd.). Če jih ne upoštevate, lahko pride do napačnih rezultatov. Na primer, vemo, da lastnost velja za nenegativno a. Na podlagi nje se enostavno premikamo na primer od do, saj je 8 pozitivno število. Če pa na primer vzamemo smiseln koren negativnega števila in ga na podlagi zgoraj navedene lastnosti nadomestimo z , potem −2 dejansko zamenjamo z 2. Res, ah. To pomeni, da je za negativno a lahko enakost napačna, tako kot so lahko napačne druge lastnosti korenov, ne da bi upoštevali zanje določene pogoje.
Toda to, kar je bilo povedano v prejšnjem odstavku, sploh ne pomeni, da izrazov z negativnimi števili pod znaki korenin ni mogoče preoblikovati z uporabo lastnosti korenin. Le najprej jih je treba »pripraviti« z uporabo pravil delovanja s števili ali z uporabo definicije lihega korena negativnega števila, ki ustreza enakosti 
, kjer je −a negativno število (in a pozitivno). Na primer, ni ga mogoče takoj nadomestiti z , ker sta −2 in −3 negativni števili, vendar nam omogoča, da se premaknemo od korena do , nato pa nadalje uporabimo lastnost korena produkta: 
. In v enem od prejšnjih primerov ni bilo treba premikati od korena do korena osemnajste moči 
, in tako 
.
Torej, če želite preoblikovati izraze z uporabo lastnosti korenov, potrebujete
- s seznama izberite ustrezno lastnost,
- preverite, ali številke pod korenom izpolnjujejo pogoje za izbrano lastnost (v nasprotnem primeru morate izvesti predhodne transformacije),
- in izvede načrtovano preobrazbo.
Pretvarjanje izrazov s spremenljivkami pod radikalnimi predznaki
Za transformacijo iracionalnih izrazov, ki ne vsebujejo samo števil, temveč tudi spremenljivke pod predznakom korena, je treba lastnosti korenov, naštetih v prvem odstavku tega člena, uporabiti previdno. To je predvsem posledica pogojev, ki jih morajo izpolnjevati števila, vključena v formule. Na primer, na podlagi formule je mogoče izraz nadomestiti z izrazom samo za tiste vrednosti x, ki izpolnjujejo pogoje x≥0 in x+1≥0, saj je podana formula določena za a≥0 in b ≥0.
Kakšne so nevarnosti ignoriranja teh pogojev? Odgovor na to vprašanje nazorno prikazuje naslednji primer. Recimo, da moramo izračunati vrednost izraza pri x=−2. Če namesto spremenljivke x takoj nadomestimo število −2, bomo dobili vrednost, ki jo potrebujemo 
. Zdaj pa si predstavljajmo, da smo na podlagi nekaterih premislekov dani izraz pretvorili v obliko , in šele nato smo se odločili za izračun vrednosti. Zamenjamo x s številom −2 in pridemo do izraza 
, kar nima smisla.
Poglejmo, kaj se zgodi z obsegom dovoljenih vrednosti (APV) spremenljivke x pri prehodu iz izraza v izraz. Nismo naključno omenili ODZ, saj je to resno orodje za nadzor dopustnosti izvedenih preoblikovanj in bi morala sprememba ODZ po preoblikovanju izraza zbujati najmanj opozorila. Iskanje ODZ za te izraze ni težko. Ker je izraz ODZ določen iz neenačbe x·(x+1)≥0, njegova rešitev daje numerični niz (−∞, −1]∪∪)
