Pravilni mnogokotnik in njegovo središče. Pravilni mnogokotnik

Pravilni poligoni

V učbeniku "Geometrija 7-11" A.V. Pogorelova (18) se tema "Pravilni poligoni" preučuje v §13 "Mnogokotniki", odstavek 115.

definicija " pravilni mnogokotnik" je obravnavano na začetku odstavka: "Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse njegove stranice enake in vsi koti enaki." Nato sta podani definiciji "včrtanega" in "obrobljenega" mnogokotnika in upoštevan je izrek: "Pravilno konveksni poligon je vpisana v krog in okoli kroga opisana."

V učbeniku "Geometrija 7-9" L.S. Atanasyana (4) je tema "Pravilni mnogokotniki" obravnavana v odstavku 105 §1 "Pravilni mnogokotniki" 12. poglavja.

Definicija "pravilnega mnogokotnika" je podana na začetku odstavka:

"Pravi mnogokotnik je konveksen mnogokotnik, v katerem so vsi koti enaki in vse stranice enake." Nato izpeljite formulo za izračun kota b n pravilnega n-kotnika:

V učbeniku "Geometrija 7-9" I.M. Smirnova, V.A. Smirnova se "pravilni mnogokotnik" preučuje v odstavku 6 "Zlomljene črte in poligoni".

Na začetku odstavka je uvedena definicija "lomljene črte": "Lik, ki ga tvorijo segmenti, razporejeni tako, da je konec prvega začetek drugega, konec drugega začetek tretjega, itd., se imenuje lomljena črta ali preprosto lomljena črta.«

Nato so podane definicije enostavnega, zaprtega in mnogokotnika: "Mnogokotna črta se imenuje preprosta, če nima samopresečišč." "Če začetek prvega segmenta lomljene črte sovpada s koncem zadnjega, se lomljena črta imenuje zaprta." "Lik, ki ga sestavljata preprosta zaprta lomljena črta in ravnina, ki jo omejuje, se imenuje mnogokotnik."

Po tem se upošteva definicija "pravilnega mnogokotnika": "Mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse njegove strani in vsi koti enaki."

Razmislimo o metodologiji za preučevanje teme "Pravilni poligoni" na primeru učbenika geometrije A.V.

Na začetku odstavka je uvedena definicija "pravilnega mnogokotnika": "Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse njegove strani enake in vsi koti enaki," nato pa definiciji "včrtanih" in "obrobljenih" mnogokotnikov. Uvedeni so: "Mnogokotnik se imenuje vpisan v krog, če vsa njegova oglišča ležijo na določenem krogu"; "Rečeno je, da je mnogokotnik opisan okoli kroga, če se vse njegove stranice dotikajo določenega kroga."

Pred preučevanjem izreka 13.3 lahko študentom zastavite vprašanja za pregled, da razred pripravite na dokaz:

Katera premica se imenuje tangenta na krožnico?

Kakšna bi lahko bila relativni položaj premica in krog? Pri pouku poteka pogovor, ki je sestavljen iz dveh delov: prvega

govorimo o krogu, ki je opisan okoli mnogokotnika, nato pa o krogu, včrtanem mnogokotniku.

Odgovore učencev spremlja zaporedni prikaz niza risb.

Kateri trikotnik imenujemo krogu včrtan oziroma okrog trikotnika opisan krog (slika 1)?

Ali je možno približno poljuben trikotnik opišem krog?

Kako najti središče kroga, opisanega okoli trikotnika? (Slika 2) Kaj je polmer? (slika 3)

Ali je vedno mogoče opisati krog okoli mnogokotnika? (Št. Primer: romb, če ni kvadrat. Slika 4)

Ali je mogoče okoli pravilnega mnogokotnika opisati krog? (slika 5)

Prvi del izreka 13.3 je formuliran. Podana je predpostavka, da je krog mogoče opisati okoli pravilnega mnogokotnika. Omeniti velja, da bo to dejstvo kasneje dokazano.

Podobno delo se izvaja glede možnosti vpisa kroga v mnogokotnik. Razred ima enakih 5 vprašanj v zvezi s krogom, včrtanim v mnogokotnik. V tem primeru je po analogiji s prvim delom pogovora uporabljen niz risb, podobnih prejšnjim.

Učitelj učence opozori na možnost vpisa kroga v pravilni mnogokotnik. Formuliran in dokazan je izrek 13.3: "Pravilen konveksen mnogokotnik je včrtan v krog in okoli kroga obpisan."

Dokaz izreka poteka po učbeniku. Koristno je poudariti, da središči včrtanega in opisanega kroga v pravilnem mnogokotniku sovpadata in dano točko se imenuje središče mnogokotnika.

Po dokazu izreka so predlagani naslednji problemi:

1. Stranica pravilnega trikotnika, včrtanega v krog, je enaka a. Poiščite stranico kvadrata, včrtanega v ta krog.

Podano: krog (0; R),

DAVS - pravilno, vpisano,

KMRE - včrtan kvadrat.

DAVS - navaden, včrtan: R = KMPE - včrtan kvadrat v krog (0;R).

Naj bo torej x = KM stranica kvadrata

Odgovor: KM = .

2. V krog s polmerom 4 dm je vpisan pravilni trikotnik, na katerega stranici je zgrajen kvadrat. Poiščite polmer kroga, ki ga oklepa kvadrat.

Podano: krog (0;R),

DAVS - pravilno, vpisano,

Okr. 1 (O;R 1),

ABDE - vpisan kvadrat v okr. 1

Najdi: R 1.

1. DAVS - pravilno, vpisano:

ABDE - vpisan kvadrat v okr. 1:

Odgovor: dm.

3. Stranica pravilnega mnogokotnika je a, polmer včrtanega kroga pa R. Poišči polmer včrtanega kroga. Podano: Env.(0;R),

A 1 A 2 ...A n - pravilno, vpisano,

A 1 A 2 =a , polmer=R,

OS je polmer včrtanega kroga.

OS 2 = OB 2 - BC 2

Odgovor: OS=.

4. Stranica pravilnega mnogokotnika je a, polmer včrtane krožnice pa je r.

Podano: obseg (0; g),

A 1 A 2 ...A n - pravilno, opisano,

A 1 A 2 = a, polmer = r,

Krog (0; R).

rešitev. OB je polmer opisanega kroga.

DOSV - pravokoten (ZC = 90°)

OB 2 = OS 2 + SV 2

Odgovor: R = .

Nato lahko študentom ponudimo sistem nalog:

1. V pravilnem šesterokotniku A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 je stranica enaka 8. Odsek BC povezuje razpolovišči stranic A 3 A 4 in A 5 A b. Poiščite dolžino odseka, ki povezuje razpolovišče stranice A 1 A 2 z razpoloviščem odseka BC.

2. Stranica pravilnega šestkotnika ABCDEF je enaka 32. Poišči polmer krožnice, včrtane v trikotnik MRK, če so M, P in K razpolovišča stranic AB, CD. EF ustrezno.

Izrazi stran b pravilnega včrtanega mnogokotnika s polmerom R kroga in stranico a pravilnega včrtanega mnogokotnika z enakim številom stranic.

Obseg dveh pravilnih n-kotnikov je v razmerju a:b. Kakšno je razmerje med polmeri njihovih včrtanih in opisanih krogov?

Koliko stranic ima pravilni mnogokotnik, katerega vsak notranji kot je enak: 1) 135; 2) 150?

Opredelitev pravilni mnogokotnik je lahko odvisna od definicije poligona: če je definiran kot ravna sklenjena poličnija, se prikaže definicija pravilni zvezdasti mnogokotnik kako nekonveksna mnogokotnik, v katerem so vse stranice enake in vsi koti enaki.

Lastnosti

Koordinate

Naj x C (\displaystyle x_(C)) in y C (\displaystyle y_(C))- koordinate središča in R (\displaystyle R)- polmer kroga, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0)) je kotna koordinata prvega oglišča, torej Kartezične koordinate Oglišča pravilnega n-kotnika so določena s formulami:

kje i = 0 … n ​​​​− 1 (\displaystyle i=0\pike n-1)

Dimenzije

Naj R (\displaystyle R)- polmer kroga, opisanega okoli pravilnega mnogokotnika, potem je polmer včrtanega kroga enak

stranska dolžina mnogokotnika pa je

kvadrat

N (\displaystyle n) in stransko dolžino a (\displaystyle a) je:

Območje pravilnega mnogokotnika s številom stranic n (\displaystyle n), vpisan v krog s polmerom R (\displaystyle R), je:

Območje pravilnega mnogokotnika s številom stranic n (\displaystyle n), okoli kroga s polmerom r (\displaystyle r), je:

Območje pravilnega mnogokotnika s številom stranic n (\displaystyle n) enako

kje r (\displaystyle r)- razdalja od sredine stranice do sredine, a (\displaystyle a)- stranska dolžina.

Območje pravilnega mnogokotnika skozi obod ( P (\displaystyle P)) in polmer včrtanega kroga ( r (\displaystyle r)) je:

Obod

Če morate izračunati stransko dolžino pravilnega n-kotnika, včrtanega v krog, ob poznavanju obsega L (\displaystyle L) Izračunate lahko dolžino ene stranice mnogokotnika:

Obod P n (\displaystyle P_(n)) enako

kje n (\displaystyle n)- število stranic mnogokotnika.

Aplikacija

Pravilni mnogokotniki so po definiciji ploskve pravilnih poliedrov.

Starogrški matematiki(Antifon, Brison iz Herakleje, Arhimed itd.) so za izračun števila uporabili pravilne mnogokotnike. Izračunali so ploščine mnogokotnikov, včrtanih in okoli njega opisanih, pri čemer so postopoma povečevali število njihovih stranic in tako dobili oceno ploščine kroga.

Zgodba

Konstruiranje pravilnega mnogokotnika z n strani so ostale problem za matematike vse do 19. stoletja. Ta konstrukcija je enaka razdelitvi kroga na n enake dele, saj s povezovanjem točk, ki delijo krog na dele, lahko dobite želeni poligon.

Od takrat velja, da je problem popolnoma rešen.

1. izrek. Okrog katerega koli pravilnega mnogokotnika lahko opišemo krog.

Naj bo ABCDEF (slika 419) pravilen mnogokotnik; treba je dokazati, da je okoli njega mogoče opisati krog.

Vemo, da je vedno mogoče narisati krog skozi tri točke, ki ne ležijo na isti premici; To pomeni, da je vedno mogoče narisati krog, ki bo potekal skozi poljubna tri oglišča pravilnega mnogokotnika, na primer skozi oglišča E, D in C. Naj bo točka O središče tega kroga.

Dokažimo, da bo ta krog potekal tudi skozi četrto oglišče mnogokotnika, na primer skozi oglišče B.

Segmenti OE, OD in OS so med seboj enaki in vsak enaka polmeru krogih. Izvedimo še en segment OB; o tem segmentu ni mogoče takoj reči, da je enak tudi polmeru kroga, to je treba dokazati. Razmislite o trikotniku OED in ODC, ki sta enakokraka in enaka, torej ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

če notranji kotiček danega mnogokotnika je enako α, potem je ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; če pa je ∠4= α / 2, potem je ∠5 = α / 2, tj. ∠4 = ∠5.

Od tod sklepamo, da je (Delta)OSD = (Delta)OSV in torej OB = OS, tj. odsek OB je enak polmeru narisane krožnice. Iz tega sledi, da bo krog potekal tudi skozi oglišče B pravilnega mnogokotnika.

Z isto tehniko bomo dokazali, da bo konstruirana krožnica potekala skozi vsa ostala oglišča mnogokotnika. To pomeni, da bo ta krog opisan okoli tega pravilnega mnogokotnika. Izrek je dokazan.

2. izrek. Vsakemu pravilnemu mnogokotniku lahko vpišemo krog.

Naj bo ABCDEF pravilen mnogokotnik (slika 420), dokazati moramo, da je vanj mogoče včrtati krog.

Iz prejšnjega izreka je znano, da lahko okoli pravilnega mnogokotnika opišemo krog. Naj bo točka O središče tega kroga.

Povežimo točko Oc z oglišči mnogokotnika. Nastali trikotniki OED, ODC itd. so med seboj enaki, kar pomeni, da so enake tudi njihove višine, narisane iz točke O, to je OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Torej krog, ki je iz točke O obkrožen kot iz središča s polmerom enako segmentu V redu, šel bo skozi točke K, L, M, N, P in Q, višine trikotnikov pa bodo polmeri kroga. Stranice mnogokotnika so v teh točkah pravokotne na polmere, torej se dotikajo tega kroga. To pomeni, da je zgrajena krožnica včrtana v ta pravilni mnogokotnik.

Enako konstrukcijo lahko izvedemo za kateri koli pravilni mnogokotnik, zato lahko krog vpišemo v katerikoli pravilni mnogokotnik.

Posledica. Krožnica, ki je okrog pravilnega mnogokotnika in vanj vpisana, ima skupno središče.

Definicije.

1. Središče pravilnega mnogokotnika je skupno središče okrog tega mnogokotnika opisanih in vanj včrtanih krožnic.

2. Navpičnica, ki poteka iz središča pravilnega mnogokotnika na njegovo stranico, se imenuje apotem pravilnega mnogokotnika.

Izražanje stranic pravilnih mnogokotnikov s polmerom kroga

Z uporabo trigonometrične funkcije Stranico katerega koli pravilnega mnogokotnika lahko izrazite s polmerom kroga, ki je okoli njega opisan.

Naj bo AB desna stran n-kotnik, včrtan v krog s polmerom OA = R (sl.).

Narišimo apotem OD pravilnega mnogokotnika in razmislimo o pravokotnem trikotniku AOD. V tem trikotniku

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

toda AB = 2AD in zato AB = 2R sin 180° / n .

Pravilna stranska dolžina n-gon, vpisan v krog, je običajno označen a n, tako da lahko dobljeno formulo zapišemo takole:

a n= 2R sin 180° / n .

Posledice:

1. Stranska dolžina pravilnega šesterokotnika, včrtanega krogu polmera R , je izražen s formulo A 6 = R, ker

A 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. Stranska dolžina pravilni štirikotnik(kvadrat), vpisan v krog polmera R , je izražen s formulo A 4 = R√2 , ker

A 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Stranska dolžina navaden trikotnik, vpisan v krog s polmerom R , je izražen s formulo A 3 = R√3 , ker.

A 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Območje pravilnega mnogokotnika

Naj bo dana pravilna n-gon (figa). Potrebno je določiti njegovo območje. Stranico mnogokotnika označimo z A središče pa skozi O. Središče z odseki povežemo s koncema poljubne stranice mnogokotnika, dobimo trikotnik, v katerega vrišemo apotemo mnogokotnika.

Območje tega trikotnika je ah / 2. Če želite določiti površino celotnega poligona, morate površino enega trikotnika pomnožiti s številom trikotnikov, tj. n. Dobimo: S = ah / 2 n = ahn / 2 ampak an je enak obsegu mnogokotnika. Označimo ga z R.

Končno dobimo: S = P h / 2. kjer je S površina pravilnega mnogokotnika, P je njegov obseg, h- apotem.

Površina pravilnega mnogokotnika je enaka polovici produkta njegovega oboda in apoteme.

Trikotnik, kvadrat, šesterokotnik - te številke poznajo skoraj vsi. Toda vsi ne vedo, kaj je navaden mnogokotnik. Toda ti so vsi enaki Pravilni mnogokotnik je tisti, ki ima enake kote in stranice. Takšnih številk je veliko, a vse imajo enake lastnosti in zanje veljajo iste formule.

Lastnosti pravilnih mnogokotnikov

Vsak pravilni mnogokotnik, pa naj bo to kvadrat ali osmerokotnik, lahko vpišemo v krog. Ta osnovna lastnost se pogosto uporablja pri konstruiranju figure. Poleg tega lahko v mnogokotnik vpišemo krog. V tem primeru bo število stičnih točk enako številu njegovih strani. Pomembno je, da bo krog, včrtan v pravilni mnogokotnik, imel z njim skupno središče. te geometrijske oblike zanje veljajo isti izreki. Katera koli stranica pravilnega n-kotnika je povezana s polmerom kroga R, ki ga obdaja. Zato ga lahko izračunamo po naslednji formuli: a = 2R ∙ sin180°. Skozi lahko najdete ne samo stranice, ampak tudi obseg poligona.

Kako najti število strani pravilnega mnogokotnika

Vsak je sestavljen iz določenega števila enakih segmentov, ki, ko so povezani, tvorijo zaprto črto. V tem primeru imajo vsi koti nastale figure enako vrednost. Poligone delimo na preproste in zapletene. V prvo skupino spadata trikotnik in kvadrat. Kompleksni poligoni imajo večje število straneh Sem sodijo tudi zvezdaste figure. Pri zapletenih pravilnih mnogokotnikih stranice najdemo tako, da jih vpišemo v krog. Dajmo dokaz. Nariši pravilni mnogokotnik s poljubnim številom stranic n. Okoli njega narišite krog. Nastavite polmer R. Zdaj pa si predstavljajte, da imate n-kotnik. Če točke njegovih kotov ležijo na krogu in so med seboj enake, potem lahko stranice najdete po formuli: a = 2R ∙ sinα: 2.

Iskanje števila stranic včrtanega pravilnega trikotnika

Enakostranični trikotnik je pravilen mnogokotnik. Zanj veljajo iste formule kot za kvadrat in n-kotnik. Trikotnik se šteje za pravilnega, če so njegove stranice enake dolžine. V tem primeru sta kota 60⁰. Sestavimo trikotnik z dano dolžino stranice a. Če poznate njegovo mediano in višino, lahko ugotovite vrednost njegovih strani. Za to bomo uporabili metodo iskanja s formulo a = x: cosα, kjer je x mediana ali višina. Ker so vse stranice trikotnika enake, dobimo a = b = c. Potem bo veljala naslednja trditev: a = b = c = x: cosα. Podobno lahko najdete vrednost stranic v enakokrakem trikotniku, vendar bo x podana višina. V tem primeru ga je treba projicirati strogo na dno figure. Če torej poznamo višino x, najdemo stran a enakokraki trikotnik po formuli a = b = x: cosα. Ko najdete vrednost a, lahko izračunate dolžino osnove c. Uporabimo Pitagorov izrek. Iskali bomo vrednost polovice osnove c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Potem je c = 2xtanα. Na ta preprost način lahko ugotovite število stranic katerega koli včrtanega mnogokotnika.

Izračunavanje stranic kvadrata, včrtanega v krog

Kot vsak drugi včrtan pravilni mnogokotnik ima tudi kvadrat enake stranice in kote. Zanj veljajo iste formule kot za trikotnik. Stranice kvadrata lahko izračunate z diagonalno vrednostjo. Razmislimo o tej metodi podrobneje. Znano je, da diagonala deli kot na pol. Sprva je bila njegova vrednost 90 stopinj. Tako bosta po delitvi oblikovana kota pri dnu enaka 45 stopinj. V skladu s tem bo vsaka stranica kvadrata enaka, to je: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, kjer je e diagonala kvadrata ali osnova pravokotnega trikotnika, ki nastane po delitev. To ni edini način iskanje stranic kvadrata. Vpišimo ta lik v krog. Če poznamo polmer tega kroga R, najdemo stranico kvadrata. Izračunali ga bomo takole: a4 = R√2. Polmeri pravilnih mnogokotnikov se izračunajo po formuli R = a: 2tg (360 o: 2n), kjer je a dolžina stranice.

Kako izračunati obseg n-kotnika

Obseg n-kotnika je vsota vseh njegovih stranic. Preprosto je izračunati. Če želite to narediti, morate poznati pomene vseh strani. Za nekatere vrste poligonov obstajajo posebne formule. Omogočajo vam, da veliko hitreje najdete obod. Znano je, da ima vsak pravilen mnogokotnik enake stranice. Zato je za izračun njegovega oboda dovolj poznati vsaj enega od njih. Formula bo odvisna od števila strani figure. Na splošno je videti takole: P = an, kjer je a vrednost strani in n število kotov. Na primer, da bi našli obseg pravilnega osmerokotnika s stranico 3 cm, ga morate pomnožiti z 8, to je P = 3 ∙ 8 = 24 cm za šesterokotnik s stranico 5 cm, izračunamo kot sledi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm In tako za vsak mnogokotnik.

Iskanje obsega paralelograma, kvadrata in romba

Glede na to, koliko stranic ima pravilni mnogokotnik, se izračuna njegov obseg. To zelo olajša nalogo. Dejansko vam v tem primeru za razliko od drugih figur ni treba iskati vseh strani, ena je dovolj. Po enakem principu najdemo obseg štirikotnikov, torej kvadrata in romba. Kljub temu, da ta različne figure, je formula zanje ena P = 4a, kjer je a stranica. Dajmo primer. Če je stranica romba ali kvadrata 6 cm, potem dobimo obseg takole: P = 4 ∙ 6 = 24 cm, samo za paralelogram nasprotnih straneh. Zato se njen obseg najde z drugo metodo. Torej moramo poznati dolžino a in širino b figure. Nato uporabimo formulo P = (a + b) ∙ 2. Paralelogram, v katerem so vse stranice in koti med njimi enaki, se imenuje romb.

Iskanje obsega enakostraničnega in pravokotnega trikotnika

Obseg pravilne je mogoče najti s formulo P = 3a, kjer je a dolžina stranice. Če je neznana, jo je mogoče najti prek mediane. IN pravokotni trikotnik enaka vrednost imajo samo dve strani. Osnovo lahko najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka. Ko so znane vrednosti vseh treh strani, izračunamo obseg. Najdemo ga lahko s formulo P = a + b + c, kjer sta a in b enaki stranici, c pa je osnova. Spomnimo se, da je v enakokrakem trikotniku a = b = a, kar pomeni a + b = 2a, potem je P = 2a + c. Na primer, stranica enakokrakega trikotnika je 4 cm, poiščimo njegovo osnovo in obseg. Vrednost hipotenuze izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka z = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Sedaj izračunaj obseg P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kako najti kote pravilnega mnogokotnika

Pravilni mnogokotnik se v našem življenju pojavlja vsak dan, na primer pravilen kvadrat, trikotnik, osmerokotnik. Zdi se, da ni nič lažjega kot zgraditi to figuro sami. Toda to je preprosto le na prvi pogled. Če želite sestaviti kateri koli n-kotnik, morate poznati vrednost njegovih kotov. Toda kako jih najti? več starodavni znanstveniki poskušal sestaviti pravilne mnogokotnike. Ugotovili so, kako jih postaviti v kroge. Nato so bile na njem označene potrebne točke in povezane z ravnimi črtami. Za preproste figure gradbeni problem je bil rešen. Dobili smo formule in izreke. Na primer, Evklid se je v svojem znamenitem delu "Začetek" ukvarjal z reševanjem problemov za 3-, 4-, 5-, 6- in 15-kotnike. Našel je načine, kako jih sestaviti in najti kote. Poglejmo, kako to narediti za 15-gon. Najprej morate izračunati vsoto njegovih notranjih kotov. Uporabiti je treba formulo S = 180⁰(n-2). Torej, dan nam je 15-kotnik, kar pomeni, da je število n 15. Podatke, ki jih poznamo, nadomestimo v formulo in dobimo S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli smo vsoto vseh notranjih kotov 15-kotnika. Zdaj morate ugotoviti vrednost vsakega od njih. Skupaj je 15 kotov. Izračunamo 2340⁰: 15 = 156⁰. To pomeni, da je vsak notranji kot enak 156⁰, zdaj lahko s pomočjo ravnila in šestila sestavite pravilni 15-kotnik. Kaj pa bolj zapleteni n-kotniki? Več stoletij so se znanstveniki trudili rešiti ta problem. Našel ga je šele v 18. stoletju Carl Friedrich Gauss. Bil je sposoben zgraditi 65537-gon. Od takrat je problem uradno veljal za popolnoma rešen.

Izračun kotov n-kotnikov v radianih

Seveda obstaja več načinov za iskanje kotov mnogokotnikov. Najpogosteje se izračunajo v stopinjah. Lahko pa jih izrazimo tudi v radianih. Kako to narediti? Nadaljevati morate na naslednji način. Najprej ugotovimo število stranic pravilnega mnogokotnika, nato od njega odštejemo 2. To pomeni, da dobimo vrednost: n - 2. Ugotovljeno razliko pomnožimo s številom n ("pi" = 3,14). Zdaj ostane le še, da dobljeni produkt delimo s številom kotov v n-kotniku. Oglejmo si te izračune na primeru istega desetkotnika. Torej je število n 15. Uporabimo formulo S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13 : 15 = 2,72. To seveda ni edini način za izračun kota v radianih. Kot v stopinjah lahko preprosto delite s 57,3. Navsezadnje je to število stopinj enakovrednih enemu radianu.

Izračun kotov v stopinjah

Poleg stopinj in radianov lahko poskusite najti kote pravilnega mnogokotnika v stopinjah. To se naredi na naslednji način. Od skupno število kotov, odštejemo 2, dobljeno razliko delimo s številom stranic pravilnega mnogokotnika. Ugotovljeni rezultat pomnožimo z 200. Mimogrede, takšna merska enota kotov kot stopinje se praktično ne uporablja.

Izračun zunanjih kotov n-kotnikov

Za vsak pravilni mnogokotnik lahko poleg notranjega izračunamo tudi zunanji kot. Njegovo vrednost najdemo na enak način kot pri drugih številkah. Torej, če želite najti zunanji kot pravilnega mnogokotnika, morate poznati vrednost notranjega. Poleg tega vemo, da je vsota teh dveh kotov vedno enaka 180 stopinj. Zato naredimo izračune na naslednji način: 180⁰ minus vrednost notranjega kota. Najdemo razliko. Enak bo vrednosti kota, ki meji nanj. Na primer, notranji kot kvadrata je 90 stopinj, kar pomeni, da bo zunanji kot 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kot vidimo, ga ni težko najti. Zunanji kot lahko sprejme vrednost od +180⁰ do -180⁰.