Ppt proporcionalni odseki v krogu. Matematika

Trikotnik ABC– pravokotnik (sl. 11), C = 90°, CD je pravokotna na AB, ВD in DA sta projekciji krakov BC in AC na hipotenuzo AB. Izreki: 1) višina, potegnjena iz oglišča pravega kota na hipotenuzo, je povprečna proporcionalna vrednost med projekcijama krakov na hipotenuzo, tj. ; 2) vsak krak je povprečna sorazmerna vrednost med hipotenuzo in projekcijo tega kraka na hipotenuzo, tj.

Pitagorov izrek. Kvadrat hipotenuze enaka vsoti kvadrati nog.

Izrek. Če skozi točko, vzeto v notranjost

krog, narisan sta premer in poljubna tetiva,

potem je produkt dolžin segmentov premera enak

temveč na zmnožek dolžin tetiv, tj. (Slika 12).

Posledica. Zmnožki dolžin odsekov sekajočih se tetiv so enaki, tj.

Izrek. Če iz točke zunaj kroga potegnemo tangento in sekanto, potem je produkt celotne sekante in njenega zunanjega dela enak kvadratu tangente, tj. (Slika 13).

Definicije. Sinus oster kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med krakom, ki je nasproti tega kota, in hipotenuzo, kosinus je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo, tangens je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim, kotangens je razmerje med sosednjim krakom v nasprotje.

Iz točke A zunaj kroga narišemo tangento in sekanto. Razdalja od A do točke dotika je 16 cm, od A do ene od presečišč sekante s krožnico pa 32 cm. Poiščite polmer krožnice, če je sekanta oddaljena od njenega središča.

Na sl. 14 AB – tangenta na krožnico s središčem O, AD – sekanta. OK je pravokotna na DC, AB = 32 cm, OK = 5 cm Po izreku o tangentah in sekantah glej izrek o tetivah, ki se sekajo znotraj krožnice , tako da je EP premer, pravokoten na tetivo DC. Bomo dobili. V tej enakosti EK zamenjamo z , KR z , DK z 12, dobimo: OE = 13 cm – zahtevani polmer.

104. Stranici pravokotnika sta 30 in 40 cm

iz oglišča pravokotnika na diagonalo, ki ne poteka skozi to oglišče.

105. Obseg romba je 1 m daljši od druge

1 dm. Izračunaj diagonale romba.

V krogu različne strani Iz središča so potegnjeni vzporedni tetivi dolžine 36 in 48 mm, razdalja med njima je 42 mm. Izračunaj polmer kroga.

Katete pravokotnega trikotnika so v razmerju 5:6, hipotenuza je 122 cm. Poiščite odseke hipotenuze, odrezane z višino.

Tangenta in sekanta, ki potekata iz ene točke na krožnico, sta medsebojno pravokotni. Tangenta je 12, notranjost sekante je 10. Poiščite polmer kroga.

Dve tangenti sta narisani na krožnico s polmerom 7 cm iz ene točke, ki je od središča oddaljena 25 cm. Poiščite razdaljo med dotičnima točkama.

Širina obroča, ki ga sestavljata dva koncentrična kroga, je 8 dm, tetiva večjega kroga, ki se dotika manjšega, je 4 m. Poiščite polmera krožnic.

Polmer kroga je 7 cm od središča oddaljenega za

9 cm je narisana sekanta, tako da jo krog razdeli na enake dele. Poiščite dolžino te sekante.

Tangenta na krožnico je 20 cm, najdaljša sekansa, potegnjena iz iste točke, pa 50 cm.

Iz ene točke na krožnico narišemo tangento in sekanto, katere dolžina je a, njen notranji odsek pa je za dolžino tangente večji od zunanjega. Poiščite dolžino tangente.

Krogu s polmerom R je včrtan enakokraki trikotnik, pri čemer je vsota njegove višine in osnove enaka premeru kroga. Poiščite višino trikotnika.

IN enakokraki trikotnik temelj in strani enaka 48 oziroma 30 dm. Izračunaj polmere opisanih in včrtanih krogov ter razdaljo med njunima središčema.

§ 11. Proporcionalni segmenti v krogu.

1. Nosilec mostu je omejen z lokom kroga (slika 38); višina nosilca MK= h= 3 m; polmer loka razpona AMB R = 8,5 m Izračunajte dolžino razpona AB mostu.

2. V obokani kleti v obliki polcilindra je treba postaviti dva stebra, vsaka na enaki razdalji od najbližje stene. Določite višino regalov, če je širina kleti na dnu 4 m in razdalja med regali 2 m.

3. 1) Iz točke na krožnici je potegnjena pravokotnica na premer. Določite njegovo dolžino z naslednjimi dolžinami premerov: 1) 12 cm in 3 cm; 2) 16 cm in 9 cm, 3) 2 m in 5 dm.

2) Iz točke premera na presečišče s krožnico je potegnjena pravokotnica. Določi dolžino te navpičnice, če je premer 40 cm, narisana navpičnica pa je od enega od koncev premera oddaljena 8 cm.

4. Premer razdelimo na odseka: AC = 8 dm in CB = 5 m, iz točke C pa nanj narišemo pravokotno CD te dolžine. Označi lego točke D glede na krožnico, ko je CD enaka: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-polkrog; CD je pravokotna na premer AB. Zahtevano:

1) določi DB, če je AD = 25 in CD =10;

2) določi AB, če je AD: DB= 4 : 9 in CD=30;

3) določite AD, če je CD=3AD in je polmer enak r;

4) določite AD, če je AB = 50 in CD = 15.

6. 1) Navpičnica, spuščena iz točke na krogu za polmer, enak 34 cm, ga deli v razmerju 8:9 (izhajajoč iz središča). Določi dolžino navpičnice.

2) Tetiva BDC je pravokotna na polmer ODA. Določi BC, če je OA = 25 cm in AD = 10 cm.

3) Širina obroča, ki ga tvorita dva koncentrična kroga, je 8 dm; tetiva večjega kroga, ki se dotika manjšega, je 4 m. Določi polmere krožnic.

7. S primerjavo odsekov dokaži, da je aritmetična sredina dveh neenakih števil večja od njune geometrične sredine.

8. Sestavi odsek, ki je povprečno sorazmeren med odsekoma 3 cm in 5 cm.

9. Sestavite odsek, ki je enak: √15 ; √10 ; √6 ; √3.

10.ADB premer; AC akord; CD je pravokotna na premer. Določite tetivo AC: 1) če je AB = 2 m in AD = 0,5 m; 2) če je AD = 4 cm in DB = 5 cm; 3) če je AB=20 m in DB= 15 m.

11. premer AB; AC akord; AD je njegova projekcija na premer AB. Zahtevano:

1) določite AD, če je AB = 18 cm in AC = 12 cm;

2) določi radij, če je AC=12 m in AD=4 m;

3) določi DB, če je AC = 24 cm in DB = 7/9 AD.

12. premer AB; AC akord; AD je njegova projekcija na premer AB. Zahtevano:

1) določi AC, če je AB = 35 cm in AC = 5AD;

2) določi AC, če je polmer r in AC=DB.

13. Dve tetivi se sekata znotraj kroga. Odseka ene tetive sta 24 cm in 14 cm; eden od odsekov druge tetive je enak 28 cm. Določite njegov drugi odsek.

14. Nosilec mostu je omejen z lokom kroga (slika 38); dolžina mostu AB = 6 m, višina A = 1,2 m. Določite polmer loka (OM = R).

15. Dolžici AB in CD se sekata v točki M tako, da je MA = 7 cm, MB = 21 cm,
MC = 3 cm in MD = 16 cm Ali ležijo točke A, B, C in D na isti krožnici?

16. Dolžina nihala MA = l= 1 m (slika 39), njegova dvižna višina, ko je odklonjena za kot α, CA = h= 10 cm. Poiščite razdaljo BC točke B od MA (BC = X).

17. Za prevod železniški tirširina b= 1,524 m na mestu AB (slika 40) je bila izvedena zaokrožitev; izkazalo se je, da ; da je BC= A= 42,4 m. Določite polmer krivine OA = R.

18. Tetiva AMB je zavrtena okoli točke M, tako da se je odsek MA povečal za 2 1/2-krat. Kako se je spremenil segment MB?

19. 1) Od dveh sekajočih se tetiv smo eno razdelili na dele po 48 cm in 3 cm, drugo pa na pol. Določite dolžino drugega akorda.

2) Od dveh sekajočih se tetiv je bila ena razdeljena na dele po 12 m in 18 m, druga pa v razmerju 3:8. Določite dolžino drugega akorda.

20. Od dveh sekajočih se tetiv je prva dolga 32 cm, odseki druge tetive pa so enaki
12 cm in 16 cm. Določite odseke prve tetive.

21. Sekanto ABC zavrtimo okoli zunanje točke A tako, da se njen zunanji segment AB trikrat zmanjša. Kako se je spremenila dolžina sekante?

22. Naj sta ADB in AEC dve premici, ki sekata krog: prva v točkah D in B, druga v točkah E in C. Zahtevano:

1) določi AE, če je AD = 5 cm, DB = 15 cm in AC = 25 cm;

2) določi BD, če je AB = 24 m, AC = 16 m in EC = 10 m;

3) določi AB in AC, če je AB+AC = 50 m in AD: AE = 3:7.

23. Polmer kroga je 7 cm. Iz točke, ki je od središča oddaljena 9 cm, narišemo sekanto tako, da deli krožnico na pol. Določite dolžino te sekante.

24. MAB in MCD sta sekanti istega kroga. Zahtevano:

1) določi CD, če je MV = 1 m, MD = 15 dm in CD = MA;

2) določi MD, če je MA = 18 cm, AB = 12 cm in MC: CD = 5:7;

3) določi AB, če je AB = MS, MA = 20 in CD = 11.

25. Dve tetivi se podaljšata, dokler se ne sekata. Določi dolžino nastalih podaljškov, če sta tetivi enaki A in b, njihova nadaljevanja pa so povezana kot t:p.

26. Iz ene točke na krožnico potekata sekanta in tangenta. Določite dolžino tangente, če sta izražena zunanji in notranji segment sekante naslednje številke: 1) 4 in 5; 2) 2,25 in 1,75; 3) 1 in 2.

27. Tangenta je 20 cm, najdaljša sekansa, ki poteka iz iste točke, pa 50 cm. Določi polmer krožnice.

28. Sekanta je 2 1/4-krat večja od zunanjega segmenta. Kolikokrat je večja od tangente, ki poteka iz iste točke?

29. Skupna tetiva dveh sekajočih se krogov se podaljša in tangente se jima potegnejo iz točke, vzete na nadaljevanju. Dokaži, da sta enaka.

30. Na eni strani kota A so drug za drugim položeni odseki: AB = 6 cm in BC = 8 cm; na drugi strani pa je skozi točke B, C in D narisan odsek AD = 10 cm. Ugotovite, ali se premica AD dotika te krožnice, in če ne, ali bo točka D prva (šteto od A) ali druga točka presečišča.

31. Naj obstajata: AB-tangenta in ACD-sekant istega kroga. Zahtevano:

1) določi CD, če je AB = 2 cm in AD = 4 cm;

2) določi AD, če je AC:CD = 4:5 in AB = 12 cm;

3) določi AB, če je AB = CD in AC = A.

32. 1) Kako daleč lahko vidite balon na vroč zrak(slika 41), ki se dviga do višine 4 km nad zemljo (polmer zemlje je = 6370 km)?

2) Gora Elbrus (na Kavkazu) se dviga 5600 m nad morsko gladino. Kako daleč lahko vidite z vrha te gore?

3) M - opazovalna točka z višino A metrov nad tlemi (slika 42); zemeljski polmer R, MT= d je največja navidezna razdalja. Dokaži to d= √2R h+ h 2

Komentiraj. Ker h 2 zaradi svoje majhnosti v primerjavi z 2R h skoraj ne vpliva na rezultat, potem lahko uporabite približno formulo d≈ √2R h .

33. 1) Tangenta in sekansa, ki prihajata iz ene točke, sta enaki 20 cm oziroma 40 cm; sekanta je od središča oddaljena 8 cm. Določi polmer kroga.

2) Določite razdaljo od središča do točke, iz katere izhajata tangenta in sekans, če sta enaki 4 cm oziroma 8 cm in je sekans odmaknjen od središča za
12 cm.

34. 1) Od skupna točka Na krožnico sta narisani tangenta in sekansa. Določi dolžino tangente, če je za 5 cm večja od zunanjega odseka sekante in za toliko manjša od notranjega odseka.

2) Iz ene točke na krožnico narišemo sekanto in tangento. Sekans je enak A, njegov notranji odsek pa je večji od zunanjega za dolžino tangente. Določite tangento.

36. Iz ene točke v eno krožnico potekata tangenta in sekanta. Tangenta je večja od notranjega in zunanjega odseka sekante za 2 cm oziroma 4 cm. Določite dolžino sekante.

36. Iz ene točke na krožnico potekata tangenta in sekanta. Določi njihovo dolžino, če je tangenta 20 cm manjša od notranjega odseka sekante in 8 cm večja od zunanjega odseka.

37. 1) Iz ene točke na krožnico potekata sekanta in tangenta. Njuna vsota je 30 cm, notranji odsek sekante pa je za 2 cm manjši od tangente. Določite sekans in tangento.

2) Iz ene točke na krožnico narišemo sekanto in tangento. Njuna vsota je 15 cm, zunanji odsek sekante pa je za 2 cm manjši od tangente. Določite sekans in tangento.

38. Odsek AB podaljšamo na daljico BC. Na AB in AC so zgrajeni krogi kot na premerih. Na odsek AC v točki B narišemo pravokotno BD, dokler se ne preseka z večjim krogom. Iz točke C je na manjši krog narisana tangenta CK. Dokaži, da je CD = SC.

39. Na dano krožnico sta narisani dve vzporedni tangenti in tretja tangenta, ki ju seka. Polmer je povprečni proporcionalni segment med segmenti tretje tangente. Dokaži.

40. Dani dve vzporedni premici na razdalji 15 dm druga od druge; med njima je podana točka M, ki je od ene od njiju oddaljena 3 dm. Skozi točko M je narisana krožnica, ki se dotika obeh vzporednic. Določite razdaljo med projekcijama središča in točke M na enega od teh vzporednikov.

41. V krogu polmera r vpisan je enakokraki trikotnik, katerega vsota višine in osnove je enaka premeru kroga. Določite višino.

42. Določite polmer krožnice, ki je opisana okoli enakokrakega trikotnika: 1) če je osnovica 16 cm in višina 4 cm; 2) če je stranica 12 dm in višina 9 dm; 3) če je stranica 15 m in osnova 18 m.

43. V enakokrakem trikotniku je osnova 48 dm, stranica pa 30 dm. Določite polmere opisanih in včrtanih krogov ter razdaljo med njihovimi središči.

44. Polmer je r, je tetiva tega loka enaka A. Določite tetivo dvojnega loka.

45. Polmer kroga je 8 dm; tetiva AB je 12 dm. Skozi točko A je narisana tangenta, iz točke B pa je tetiva BC vzporedna s tangento. Določite razdaljo med tangento in tetivo letala.

46. ​​​​Točka A je oddaljena od črte MN za razdaljo z. Podan radij r krožnica je opisana tako, da poteka skozi točko A in se dotika premice MN. Določite razdaljo med dobljeno dotično točko in dano točko A.

Matematika. Algebra. Geometrija. Trigonometrija

GEOMETRIJA: Planimetrija

10. Izreki o proporcionalnih premicah

Dokaz. Dokazati je treba naslednja tri razmerja: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Trikotnika ABD in ADC sta podobna, saj

Avtorske pravice © 2005-2013 Xenoid v2.0

Uporaba gradiva spletnega mesta je možna ob aktivni povezavi.

Izrek 111. 1) Navpičnica, potegnjena iz katere koli točke kroga na premer, je povprečno sorazmerna med deli premera. To pravokotnico včasih imenujemo ordinata.

2) Tetiva, ki povezuje konec premera s točko na krogu, je povprečno sorazmerna med premerom in odsekom, ki meji na tetivo.

dano. Spustimo pravokotnico CD iz neke točke C kroga na premer AB (slika 169).

Dokazati morate, da je 1) AD/CD = CD/DB in tudi 2) AD/AC = AC/AB.

Dokaz. Povežimo točko C s koncema premera AB, nato pa v točki C nastane pravi kot ACB, v katerem je odsek CD navpičnica, spuščena iz oglišča pravega kota na hipotenuzo.

Na podlagi izreka 100 velja naslednje razmerje:

na podlagi izreka 101 delež:

AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)

Posledica. Kvadrati tetiv so povezani kot ustrezne segmente premer

Dokaz. Iz razmerja (1) sledijo enakosti:

AC 2 = AB AD, CB 2 = AB BD

od koder z delitvijo najdemo:

AC 2 /CB 2 = AD/DB.

Izrek 112. Deli sekajočih se tetiv so med seboj obratno sorazmerni.

Dana sta dve sekajoči se tetivi AB in CD (slika 170).

To je potrebno dokazati

tj. večina prvi akord je na večji del drugega, tako kot je manjši del drugega akorda na manjši del prvega.

Dokaz. Povežimo točko A s C in B z D, potem nastaneta dve podoben trikotniku ACE in DBE, ker sta kota v točki E enaka kot navpičnica, ∠CAB = ∠CDB kot sloneča na koncih loka CB, ∠ACD = ∠ABD kot sloneča na koncih loka AD.

Iz podobnosti trikotnikov ACE in DBE sledi razmerje:

BE/DE = CE/AE (a)

Iz razmerja (a) sledi enakost:

BE · AE = DE · CE

ki kaže, da je zmnožek odsekov ene tetive enak zmnožku odsekov druge tetive.

Izrek 113. Dve sekanti, narisani iz iste točke zunaj kroga, sta obratno sorazmerni s svojima zunanjima deloma.

Iz točke A sta podani sekanti AB in AC (slika 171).

To je potrebno dokazati

prvi sekant je povezan z drugim, kot zunanji del drugi se nanaša na zunanji del prvega sekanta.

Dokaz. Povežimo točki D s C, B z E.

Trikotnika ∠ABE in ∠ADC sta si podobna, ker je kot A skupen, B = C, ki ga podpirata konca istega loka DE, zato je ∠ADC = ∠AEB.

Iz podobnosti trikotnikov ADC in ABE sledi razmerje:

AC/AB = AD/AE (CHD).

Iz tega istega razmerja sledi enakost

AC · AE = AB · AD

ki prikazuje to produkt sekante in njegovega zunanjega segmenta je enak produktu drugega sekanta in njegovega segmenta(če sekante zapuščajo isto točko).

Izrek 114. Tangenta je povprečno sorazmerna med celotno sekanto in njenim zunanjim delom.

Podani sta tangenta AB in sekanta BC (slika 172).

To je potrebno dokazati

Dokaz. Povežimo točko A s točkama C in D.

Trikotnika ABC in ABD sta si podobna, ker je kot B skupen, ∠BAD = ∠ACD, torej ∠CAB = ∠ADB.

BC/AB = AB/BD (CHD).

Iz tega deleža sledi enakost:

AB 2 = BC BD

ki prikazuje to tangentni kvadrat enako zmnožku sekanta na njen zunanji del.

Lastnost stranic cikličnega štirikotnika

Izrek 115. V vsakem štirikotniku, včrtanem krogu, je zmnožek diagonal enak vsoti zmnožkov nasprotnih stranic.

Ta predpostavka, znana kot Ptolemajev izrek, se prvič pojavi v Ptolemajevem delu "Alageste" v 2. stoletju našega štetja.

Dano vpisano štirikotnik ABCD(slika 173) in narisani diagonali AC in BD.

Dokazati moramo, da je AC · BD = AB · CD + BC · AD.

Dokaz. Narišimo premico BE tako, da bo kot EBC enak kotu ABD. Dva trikotnika ABD in BEC sta si podobna, ker je ∠ABD = ∠CBE po konstrukciji, ∠ADB = ∠BCE, ki leži na istem loku AB, torej,

Iz podobnosti teh trikotnikov sledi razmerje:

BC/BD = ES/AD (a)

Trikotnika ABE in BCD sta si podobna, ker je ∠ABE = ∠DBC po konstrukciji, ∠BAE = ∠BDC kot nosi lok BC, torej,

∠BEA = ∠BCD.

Iz podobnosti teh trikotnikov sledi razmerje:

AB/BD = AE/CD (b)

Iz razmerij (a) in (b) sledijo enakosti:

BC AD = BD EC
AB · CD = BD · AE

Če dodamo te enakosti, imamo:

B.C. AD + AB CD = BD EC + BD AE = BD (EC + AE)

Ker je EC + AE = AC, potem

BD · AC = BC · AD + AB · CD (CHT).

Izrek 116. V katerem koli cikličnem štirikotniku so diagonale vsota produktov stranic, ki temeljijo na koncih diagonal.

Dana je ciklični štirikotnik ABCD (slika 174) in narisani diagonali AC in BD.

To je potrebno dokazati

BD/AC = (AD DC + AB BC) / (BC CD + AD AB)

Dokaz. a) Iz točke B narišemo lok BE enak DC in povežemo točko E s točkami A, B, D.

Za ciklični štirikotnik ABED velja enakost:

AE · BD = AD · BE + AB · DE.

Ker je BE = CD po konstrukciji, je DE = BC, ker je ◡DE = ◡DC + ◡CE in ◡BC = ◡BE + ◡CE.

Če zamenjamo BE in DE z njunima vrednostma, dobimo enakost:

AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)

b) Zamik loka AF od točke A enaka loku BC in povezuje točko F s točkami A, D, C, velja enakost za štirikotnik AFCD:

AC DF = AF CD + AD CF

V tej enakosti je AF = BC po konstrukciji, CF = AB (za ◡CF = ◡BC + ◡BF in ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)

Če zamenjamo vrednosti AF in CF z njihovimi vrednostmi, najdemo enakost:

AC DF = BC CD + AD AB (b)

V enačbah (a) in (b) sta segmenta AE in DF enaka, ker

◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF

Če ločimo enakosti (a) in (b), ugotovimo:

BC/AD = (AD C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)(CHTD).