S šestilom sestavi opisan krog. Konstrukcije s šestilom in ravnilom

Cilji:

med študenti utrditi pojma "krog" in "krog"; izpeljite pojem "polmer kroga"; naučijo se konstruirati kroge danega radija; razvijati sposobnost sklepanja in analiziranja.

Osebni UUD:
razvijati pozitiven odnos do pouka matematike;
zanimanje za predmetno raziskovalno dejavnost;

Metapredmetne naloge

Regulativni UUD:
sprejme in shrani učno nalogo;
v sodelovanju z učiteljem in razredom najti več rešitev;

Kognitivni UUD:
oblikovanje in reševanje problemov:
samostojno prepoznati in oblikovati problem;
Splošna izobrazba:
poiščite potrebne informacije v učbeniku;
sestavi krog danega polmera s šestilom;
uganka:
oblikujejo koncept "polmera";
izvajati klasifikacijo, primerjavo;
samostojno oblikovati sklepe;

Komunikacijski UUD:
aktivno sodelovati pri timskem delu z besednimi sredstvi;
argumentirajte svoje stališče;

Predmetne spretnosti:
prepoznati bistvene značilnosti pojmov "polmer kroga";
graditi kroge z različnimi radiji;
prepoznati radije na risbi.

Med poukom

Motivacija za učne dejavnosti

- Preverimo, ali so vsi pripravljeni na lekcijo?

"Čustven vstop v lekcijo":

Nasmehni se kot sonce.

Namrščite se kot oblaki

Jokaj kot dež

Bodite presenečeni, kot da bi videli mavrico

Zdaj ponavljaj za menoj

Igra "Prijateljski odmev"

2.Posodobitev znanja

Verbalno štetje

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Razpletite vzorec. Nadaljujte z vrsto.

Odgovor: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Rešite nalogo:

1. Prvi dan so v trgovini prodali 42 kg sadja, drugi dan pa 2 kg več. Koliko kilogramov je bilo prodanih drugi dan?

Kaj je treba spremeniti, da se problem reši v 2 korakih.

Kroglice - 16 kosov.

Skakalne vrvi – 28 kosov.

Poiščite rešitev za ta problem.

28-16 28+16

Spremenite vprašanje tako, da bo problem rešen z odštevanjem.

3. Postavitev učne naloge

1. Poimenuj geometrijske like

Obod kroga ovalna krogla

Katera številka je nenavadna?

Kaj imajo figure skupnega? (Krog, krog, krogla imajo enako obliko)

Kakšna je razlika?

2. B

Katere točke pripadajo krožnici? Katere točke so zunaj kroga?

Kaj pomeni točka O? (središče kroga)

Kako se imenuje segment OB?

Koliko polmerov lahko narišemo v krog?

Kateri segment ni polmer? Zakaj?

Kaj je mogoče sklepati?

Sklep: vsi polmeri imajo enako dolžino .

3. Koliko krogov je na sliki?

Kako se krogi razlikujejo? (velikost)

Kaj določa velikost kroga?

Kaj je mogoče sklepati?

Zaključek: večji kot je krog, večji je njegov polmer.

Določite temo lekcije.

Zadeva: Konstruiranje kroga danega polmera s šestilom.

Katere naloge si lahko zastavimo za to lekcijo?

4. Delo na temo

a) Sestavljanje kroga.

Kaj morate vedeti, da narišete krog določene velikosti?

Nariši krog s polmerom 3 cm.

b) Priprava na projektne aktivnosti

1) Poglejte sliko

Iz katerih oblik je sestavljen metulj? Krogi z enakim polmerom?

2) Delajte v parih.

Obnovite vrstni red stopenj projekta.

Predstavitev ali demonstracija projekta

Koncept (naredi skico)

Zgradite številke za izvedbo načrta

Razmislite, kakšen polmer naj imajo oblike

c) Delo na projektu.

Delo v skupinah po sestavljenem algoritmu

Ta lekcija je namenjena študiju obsega in kroga. Učitelj vas bo tudi naučil razlikovati med zaprtimi in odprtimi črtami. Spoznali boste osnovne lastnosti kroga: središče, polmer in premer. Naučite se njihovih definicij. Naučite se določiti polmer, če je premer znan, in obratno.

Če zapolnite prostor znotraj kroga, na primer s šestilom na papir ali karton narišete krog in ga izrežete, dobite krog (slika 10).

riž. 10. Krog

Krog- to je del ravnine, omejen s krogom.

Pogoj: Vitya Verkhoglyadkin je v svoj krog narisal 11 premerov (slika 11). In ko je preračunal polmere, jih je dobil 21. Je prav štel?

riž. 11. Ilustracija k nalogi

rešitev: Radijev mora biti dvakrat toliko kot premerov, torej:

Vitya je napačno štel.

Bibliografija

1. Matematika. 3. razred. Učbenik za splošno izobraževanje ustanove s prid. na elektron nosilec. Ob 2 urah 1. del / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova in drugi] - 2. izd. - M .: Izobraževanje, 2012. - 112 str .: ilustr. - (Ruska šola).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematika, 3. razred. - M.: VENTANA-GROF.
3. Peterson L.G. Matematika, 3. razred. - M .: Yuventa.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Domača naloga

1. Matematika. 3. razred. Učbenik za splošno izobraževanje ustanove s prid. na elektron nosilec. Ob 2 urah 1. del / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova in drugi] - 2. izd. - M .: Izobraževanje, 2012., Art. 94 št. 1, čl. 95 št. 3.

2. Reši uganko.

Z bratom živiva skupaj,

Skupaj se zelo zabavava

Na rjuho bomo postavili skodelico (slika 12),

Obrisimo ga s svinčnikom.

Dobili smo, kar smo potrebovali -

To se imenuje...

3. Določiti je treba premer kroga, če vemo, da je polmer 5 m.

4. * S šestilom nariši dva kroga s polmeroma: a) 2 cm in 5 cm; b) 10 mm in 15 mm.

V konstrukcijskih problemih šestilo in ravnilo veljata za idealno orodje, zlasti ravnilo je brez razdelkov in ima le eno stranico neskončne dolžine, šestilo pa ima lahko poljubno veliko ali poljubno majhno odprtino.

Sprejemljive konstrukcije. Pri gradbenih opravilih so dovoljene naslednje operacije:

1. Označite točko:

• poljubna točka ravnine;
• poljubna točka na dani premici;
• poljubna točka na danem krogu;
• presečišče dveh danih premic;
• presečišča/dotikanja dane premice in dane krožnice;
• presečišča/dotikanja dveh danih krogov.

2. Z ravnilom lahko narišete ravno črto:

• poljubna premica na ravnini;
• poljubna ravna črta, ki poteka skozi dano točko;
• premica, ki poteka skozi dve dani točki.

3. S kompasom lahko sestavite krog:

• poljuben krog na ravnini;
• poljuben krog s središčem v dani točki;
• poljuben krog s polmerom, ki je enak razdalji med dvema danima točkama;
• krog s središčem v dani točki in polmerom, ki je enak razdalji med dvema danima točkama.

Reševanje gradbenih težav. Rešitev konstrukcijskega problema vsebuje tri bistvene dele:

1. Opis metode za konstrukcijo zahtevanega objekta.
2. Dokaz, da je na opisan način zgrajen objekt res želen.
3. Analiza opisane konstrukcijske metode za njeno uporabnost pri različnih različicah začetnih pogojev, kot tudi za edinstvenost ali needinstvenost rešitve, pridobljene z opisano metodo.

Konstruiranje odseka, ki je enak danemu. Naj sta podana žarek z začetkom v točki $O$ in odsek $AB$. Če želite na žarku sestaviti odsek $OP = AB$, morate sestaviti krog s središčem v točki $O$ s polmerom $AB$. Točka presečišča žarka s krožnico bo iskana točka $P$.

Konstruiranje kota, ki je enak danemu. Podan naj bo žarek z izhodiščem v točki $O$ in kotom $ABC$. S središčem v točki $B$ sestavimo krožnico s poljubnim polmerom $r$. Označimo presečišče krožnice z žarkoma $BA$ in $BC$ kot $A"$ oziroma $C"$.

Konstruirajmo krožnico s središčem v točki $O$ s polmerom $r$. Označimo presečišče krožnice z žarkom kot $P$. Konstruirajmo krog s središčem v točki $P$ s polmerom $A"B"$. Presečišče krogov označimo z $Q$. Narišimo žarek $OQ$.

Dobimo kot $POQ$ enak kotu $ABC$, saj sta trikotnika $POQ$ in $ABC$ enaka na treh stranicah.

Konstruiranje simetrale pravokotnice na odsek. Konstruirajmo dva sekajoča se kroga poljubnega polmera s središči na koncih segmenta. Če povežemo dve točki njunega presečišča, dobimo simetralo pravokotnice.

Konstruiranje simetrale kota. Narišimo krog poljubnega polmera s središčem na vrhu vogala. Konstruirajmo dva sekajoča se kroga poljubnega radija s središči v točkah presečišča prvega kroga s stranicami kota. Če povežemo oglišče kota s katerokoli od presečišč teh dveh krožnic, dobimo simetralo kota.

Sestavljanje vsote dveh segmentov.Če želite na danem žarku zgraditi segment, ki je enak vsoti dveh danih segmentov, morate dvakrat uporabiti metodo konstruiranja segmenta, ki je enak danemu.

Konstruiranje vsote dveh kotov. Da bi iz danega žarka narisali kot, ki je enak vsoti dveh danih kotov, morate dvakrat uporabiti metodo konstruiranja kota, ki je enak danemu.

Iskanje sredine odseka.Če želite označiti sredino danega odseka, morate na odsek sestaviti pravokotno simetralo in označiti presečišče navpičnice s samim odsekom.

Konstruiranje pravokotnice skozi dano točko. Naj bo potrebno zgraditi premico, ki je pravokotna na dano točko in poteka skozi dano točko. Narišemo krožnico poljubnega polmera s središčem v dani točki (ne glede na to, ali leži na premici ali ne), ki premico seka v dveh točkah. Konstruiramo pravokotno simetralo na segment s konci v točkah presečišča kroga in premice. To bo želena pravokotna črta.

Konstruiranje vzporednice skozi dano točko. Naj bo treba zgraditi premico, ki je vzporedna z dano točko in poteka skozi dano točko zunaj premice. Konstruiramo premico, ki poteka skozi dano točko in je pravokotna na dano premico. Nato zgradimo premico, ki poteka skozi to točko, pravokotno na sestavljeno navpično. Nastala ravna črta bo zahtevana.

Pri izdelavi ali obdelavi lesenih delov je v nekaterih primerih potrebno določiti, kje se nahaja njihovo geometrijsko središče. Če ima del kvadratno ali pravokotno obliko, potem to ni težko narediti. Dovolj je, da nasprotne vogale povežemo z diagonalami, ki se bodo sekale točno v središču naše figure.
Za izdelke, ki imajo obliko kroga, ta rešitev ne bo delovala, saj nimajo vogalov in s tem diagonal. V tem primeru je potreben nek drug pristop, ki temelji na drugačnih načelih.

In obstajajo in v številnih različicah. Nekateri od njih so precej zapleteni in zahtevajo več orodij, drugi so enostavni za izvedbo in ne zahtevajo celega nabora naprav.
Zdaj si bomo ogledali enega najpreprostejših načinov, kako najti središče kroga samo z navadnim ravnilom in svinčnikom.

Zaporedje iskanja središča kroga:

Stavek, ki pojasnjuje pomen določenega izraza ali imena, se imenuje definicija. Z definicijami smo se že srečali, na primer z definicijo kota, sosednjih kotov, enakokrakega trikotnika itd. Dajmo definicijo še ene geometrijske figure - kroga.

Opredelitev

Ta točka se imenuje središče kroga, in segment, ki povezuje središče s katero koli točko na krogu, je polmer kroga(Slika 77). Iz definicije kroga sledi, da so vsi polmeri enako dolgi.

riž. 77

Odsek, ki povezuje dve točki na krogu, se imenuje njegova tetiva. Tetiva, ki poteka skozi središče kroga, se imenuje njegova premer.

Na sliki 78 sta odseka AB in EF tetivi kroga, odsek CD je premer kroga. Očitno je, da je premer kroga dvakrat večji od njegovega polmera. Središče kroga je središče poljubnega premera.

riž. 78

Katerikoli dve točki na krogu ga delita na dva dela. Vsak od teh delov se imenuje krožni lok. Na sliki 79 sta ALB in AMB loka, omejena s točkama A in B.

riž. 79

Če želite na risbi prikazati krog, uporabite kompas(Slika 80).

riž. 80

Za risanje kroga na tleh lahko uporabite vrv (slika 81).

riž. 81

Del ravnine, ki ga omejuje krožnica, imenujemo krožnica (slika 82).

riž. 82

Konstrukcije s šestilom in ravnilom

Ukvarjali smo se že z geometrijskimi konstrukcijami: risali smo ravne črte, izrisovali odseke, enake podatkom, risali kote, trikotnike in druge like. Ob tem smo uporabljali merilo, šestilo, kotomer in risalni kotnik.

Izkazalo se je, da je veliko konstrukcij mogoče izvesti samo s kompasom in ravnilom brez delitve lestvice. Zato v geometriji posebej ločimo tiste konstrukcijske naloge, ki jih je mogoče rešiti samo s tema dvema orodjema.

Kaj lahko storite z njimi? Jasno je, da vam ravnilo omogoča risanje poljubne ravne črte, pa tudi konstruiranje ravne črte, ki poteka skozi dve dani točki. S šestilom lahko narišete krog poljubnega polmera, pa tudi krog s središčem v dani točki in polmerom, ki je enak danemu segmentu. Z izvajanjem teh preprostih operacij lahko rešimo številne zanimive konstrukcijske probleme:

zgradi kot, ki je enak danemu;
skozi dano točko narišite premico pravokotno na dano premico;
ta segment razdelite na pol in druge naloge.

Začnimo s preprosto nalogo.

Naloga

Na danem žarku od njegovega začetka narišite odsek, ki je enak danemu.

rešitev

Upodabljamo figure, podane v izjavi problema: žarek OS in segment AB (slika 83, a). Nato s šestilom sestavimo krog s polmerom AB s središčem O (slika 83, b). Ta krog bo sekal žarek OS v neki točki D. Odsek OD je potreben.

riž. 83

Primeri konstrukcijskih problemov

Konstruiranje kota, ki je enak danemu

Naloga

Od danega žarka odštej kot, ki je enak danemu.

rešitev

Ta kot z ogliščem A in žarek OM sta prikazana na sliki 84. Treba je sestaviti kot, ki je enak kotu A, tako da ena od njegovih stranic sovpada z žarkom OM.

riž. 84

Narišimo krožnico poljubnega polmera s središčem v točki A danega kota. Ta krog seka stranice kota v točkah B in C (slika 85, a). Nato narišemo krog enakega polmera s središčem v izhodišču tega žarka OM. Seka žarek v točki D (slika 85, b). Po tem bomo zgradili krog s središčem D, katerega polmer je enak BC. Krožnici s središčema O in D se sekata v dveh točkah. Eno od teh točk označimo s črko E. Dokažimo, da je kot MOE iskani.

riž. 85

Razmislite o trikotnikih ABC in ODE. Segmenta AB in AC sta polmera kroga s središčem A, segmenta OD in OE pa sta polmera kroga s središčem O (glej sliko 85, b). Ker imata kroga po konstrukciji enaka polmera, potem je AB = OD, AC = OE. Tudi po konstrukciji BC = DE.

Zato je Δ ABC = Δ ODE na treh straneh. Zato je ∠DOE = ∠BAC, tj. konstruirani kot MOE je enak podanemu kotu A.

Enako konstrukcijo lahko naredite na tleh, če namesto kompasa uporabite vrv.

Konstruiranje simetrale kota

Naloga

Sestavi simetralo danega kota.

rešitev

Ta kot BAC je prikazan na sliki 86. Narišimo krog poljubnega polmera s središčem v oglišču A. Sekal bo stranice kota v točkah B in C.

riž. 86

Nato narišemo dva kroga enakega polmera BC s središčema v točkah B in C (na sliki so prikazani le deli teh krogov). Sekali se bodo v dveh točkah, od katerih vsaj ena leži znotraj vogala. Označimo ga s črko E. Dokažimo, da je žarek AE simetrala danega kota BAC.

Razmislite o trikotnikih ACE in ABE. Na treh straneh so enaki. Dejansko je AE splošna stran; AC in AB sta enaka kot polmera istega kroga; CE = BE po konstrukciji.

Iz enakosti trikotnikov ACE in ABE sledi ∠CAE = ∠BAE, tj. žarek AE je simetrala danega kota BAC.

Komentiraj

Ali je mogoče dani kot razdeliti na dva enaka kota s šestilom in ravnilom? Jasno je, da je to mogoče - za to morate narisati simetralo tega kota.

Ta kot lahko razdelimo tudi na štiri enake kote. Če želite to narediti, ga morate razdeliti na pol in nato vsako polovico ponovno razdeliti na pol.

Ali je mogoče dani kot razdeliti na tri enake kote s šestilom in ravnilom? Ta naloga, imenovana težave s trisekcijo kota, že več stoletij pritegne pozornost matematikov. Šele v 19. stoletju je bilo dokazano, da je taka konstrukcija nemogoča za poljuben kot.

Konstrukcija pravokotnih črt

Naloga

Dana ravna črta in točka na njej. Konstruiraj premico, ki poteka skozi dano točko in je pravokotna na dano premico.

rešitev

Dana premica a in dana točka M, ki pripada tej premici, sta prikazani na sliki 87.

riž. 87

Na žarke ravne črte a, ki izhajajo iz točke M, narišemo enaka segmenta MA in MB. Nato sestavimo dva kroga s središčema A in B s polmerom AB. Sekata se v dveh točkah: P in Q.

Narišimo premico skozi točko M in eno od teh točk, na primer premico MR (glej sliko 87), in dokažimo, da je ta premica želena, tj. da je pravokotna na dano premico a .

Dejansko, ker je mediana PM enakokrakega trikotnika RAB tudi višina, potem je PM ⊥ a.

Konstruiranje razpolovišča odseka

Naloga

Konstruirajte sredino tega segmenta.

rešitev

Naj bo AB dani segment. Konstruirajmo dva kroga s središčema A in B s polmerom AB. Sekata se v točkah P in Q. Narišimo premico PQ. Točka O presečišča te premice z odsekom AB je želeno razpolovišče odseka AB.

Pravzaprav sta trikotnika APQ in BPQ na treh stranicah enaka, zato je ∠1 =∠2 (slika 89).

riž. 89

Posledično je odsek PO simetrala enakokrakega trikotnika ARB, zato je mediana, tj. točka O sredina odseka AB.

Naloge

143. Kateri od odsekov, prikazanih na sliki 90, so: a) tetive krožnice; b) premeri kroga; c) polmeri krožnice?

riž. 90

144. Dolžici AB in CD sta premera kroga. Dokaži, da: a) sta tetivi BD in AC enaki; b) tetivi AD in BC sta enaki; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Odsek MK je premer kroga s središčem O, MR in RK pa sta enaki tetivi tega kroga. Poišči ∠POM.

146. Dolžici AB in CD sta premera kroga s središčem O. Poišči obseg trikotnika AOD, če je znano, da je CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Na krožnici s središčem O sta označeni točki A in B tako, da je kot AOB pravi kot. Odsek BC je premer kroga. Dokaži, da sta tetivi AB in AC enaki.

148. Na premici sta dani točki A in B. Na nadaljevanju žarka BA A odložimo odsek BC tako, da je BC = 2AB.

149. Dana je premica a, točka B, ki ne leži na njej, in odsek PQ. Konstruiraj točko M na premici a tako, da je BM = PQ. Ima problem vedno rešitev?

150. Dana je krožnica, točka A, ki ne leži na njej, in odsek PQ. Konstruiraj točko M na krožnici tako, da je AM = PQ. Ima problem vedno rešitev?

151. Dana sta ostri kot BAC in žarek XY. Sestavi kot YXZ tako, da je ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Podan je top kot AOB. Konstruiraj žarek OX tako, da bosta kota HOA in HOB enaka topima kotoma.

153. Dana je premica a in točka M, ki ne leži na njej. Konstruirajte premico, ki poteka skozi točko M in je pravokotna na premico a.

rešitev

Konstruirajmo krožnico s središčem v dani točki M, ki seka dano premico a v dveh točkah, ki ju označimo s črkama A in B (slika 91). Nato bomo zgradili dve krožnici s središčema A in B, ki potekata skozi točko M. Ti krožnici se sekata v točki M in v drugi točki, ki jo bomo označili s črko N. Narišimo premico MN in dokažimo, da je ta premica želena ena, tj. je pravokotna na premico a.

riž. 91

Pravzaprav sta trikotnika AMN in BMN enaka na treh stranicah, torej ∠1 = ∠2. Iz tega sledi, da je odsek MC (C je presečišče premic a in MN) simetrala enakokrakega trikotnika AMB in s tem njegova višina. Torej MN ⊥ AB, tj. MN ⊥ a.

154. Dan je trikotnik ABC. Sestavi: a) simetralo AK; b) mediana VM; c) višina CH trikotnika. 155. S šestilom in ravnilom sestavi kot, ki je enak: a) 45°; b) 22°30".

Odgovori na težave

152. Navodilo. Najprej sestavi simetralo kota AOB.