Konstrukcija odsekov s koordinatno metodo. Učenje gradnje odsekov

Pri tej metodi je prvo dejanje (po iskanju sekundarnih projekcij teh točk) izgradnja sledi rezalne ravnine na ravnini zgornje ali spodnje baze prizme oz. prisekana piramida ali na dnu piramide

Nazaj 2. Dana slika trikotna prizma ABCA 1 B 1 C 1 in tri točkeM, n, p, ki ležita vsakokrat na robu CC 1 in robovi ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Konstruirajte prerez prizme z ravnino, skozi M, n, p.

rešitev. Na zgornji podlagi prizme že imamo eno točko, zato bomo sled zgradili na zgornji podlagi. Konstruiranje sekundarnih projekcij točk n in p na zgornjo podlago, potem: 1 .npn 3 p 3 =X; 2 .MX=str- proga; 3 .strB 1 C 1 =D.

Nadaljnja dejanja so že prikazana zgoraj na risbi.

Nazaj 3. dec. Na spodnji podlagi prizme bomo zgradili sled sekalne ravnine.

Gradimo: 1. MnED=X, MpE.P. 3 =Y;

2. str=XY- sled; 3. strBC=G, strDC=H.

Najti moramo točko na robu BB 1 ali na robu A.A. 1 .

IN robovi ABB 1 A 1 eno točko že imamo p. Zato je spodnji rob tega obraza, tj. AB, nadaljujemo do križišča s potjo.

4. ABstr=Z.

5. pZA.A. 1 =F; pZBB 1 =K.Nadaljnja dejanja so že prikazana zgoraj.

Če se izkaže, da črta AB ne seka s sledjo, potem želeno FK bo tudi vzporedna s potjo. Nazaj 4. dec. 1. pnp o n o = X;

2. MnCN o = Y;3. str=XY– sled;

3. CBstr=Z;4. ZMSB=E;

5. EnSA=G 6. GEMF– razdelek za zahtevke.

17. Konstrukcija odseka valja.

Če je rezalna ravnina podana s tremi točkami, potem lahko vedno najdemo njeno sled na ravnini osnove valja ali stožca in točki ( p, O) na svoji osi. Zato menimo, da je rezalna ravnina določena s temi elementi.

Z začetek primera je, ko se ravnina le seka stransko površino valj. Potem bo prečni prerez valja elipsa (;¯ in njegova slika je prav tako elipsa. Poznamo način za sestavo elipse, če sta znana njena dva konjugirana premera. Zdaj bomo pokazali, kako lahko najdete sliko glavnih premerov elipse (;¯.

Naj bosta  in  1 elipsi, ki predstavljata spodnjo in zgornjo osnovo valja, O in O 1 – njihova središča. Narišimo premer A 3 B 3 spodnje baze, vzporedne s progo in njenim konjugiranim premerom C 3 D 3. Za gradnjo C 3 D 3 uporabljamo akord K 3 L 3, katerega en konec pripada konturni generatrisi. Naj vas spomnimo, da A 3 B 3 in C 3 D 3 prikazuje pravokotne premere. Nadaljujmo C 3 D 3 do križišča s potjo. Poiščimo natančno X. Naravnost. PX imenovano presečna os.

Dvignimo točke C 3 in D 3 do osi preseka. Dobimo C in D. Segment CD A 3 B je slika velikega premera prereza. Dvignimo segment 3 do višine OP AB, ki je slika majhnega premera prereza. Negativno AB in Segment – parjenje dia. elipsa .

n poiščite več točk, iz katerih poteka elipsa vidna stran valj v nevidnega, kar pomeni, da polna črta postane pikčasta črta. To so točke presečišča sekalne ravnine s konturnimi tvornicami. Naj Y 3 =K 3 L 3 C 3 D 3. Dvignimo Y 3 do osi preseka. Ugotovimo točko Y. Dvignimo akord K 3 L 3 do višine YY 3. Dobimo segment KL. Našli smo želeno točko K in zraven še ena dodatna točka L. Pika M, ki prikazuje presečišče sekantne ravnine z drugo konturno generatriko, je simetrična na točko K glede na točko p.Dodatno bomo izdelali natančen n, simetrično L točkovni relativni p

Pokažimo način, kako najti poljubno število točk na odseku brez uporabe teh premerov.

izberite katero koli točka V 3 na elipsi . Narišemo premer V 3 T 3 in nadaljujte, dokler se ne preseka s sledjo U. Dvigovanje točk V 3 in T 3 naravnost U.P.. Dobimo dve točki V in T na odseku. Izbira namesto tega V 3 drugo točko, dobimo še 2 točki na razdelek, če izberete točko K 3, ki leži na konturni generatrisi, bomo našli točke K in M, pri čemer naj se polna črta na odseku spremeni v pikčasto črto.

Kot veste, vsak izpit iz matematike vsebuje reševanje nalog kot glavni del. Sposobnost reševanja problemov je glavni pokazatelj stopnje matematičnega razvoja.

Precej pogosto na šolski izpiti, kot tudi na izpitih na univerzah in tehničnih šolah, obstajajo primeri, ko študenti kažejo dobre rezultate na področju teorije, vedoč vse potrebne definicije in izreke, se zmedejo pri reševanju zelo preprostih problemov.

V letih šolanja se vsak dijak odloči veliko število naloge, vendar so enake naloge ponujene vsem učencem. In če se nekateri učenci učijo splošna pravila in metode za reševanje problemov, potem drugi, ko naletijo na problem neznane vrste, niti ne vedo, kako se ga lotiti.

Eden od razlogov za to situacijo je, da če se nekateri učenci poglobijo v proces reševanja problema in poskušajo spoznati in razumeti splošne tehnike in metode za njihovo reševanje, potem drugi o tem ne razmišljajo, poskušajo čim hitreje rešiti predlagane probleme.

Mnogi učenci ne analizirajo problemov, ki jih rešujejo, in ne prepoznajo splošnih tehnik in metod za njihovo reševanje. V takšnih primerih se težave rešujejo samo zaradi pridobitve želenega odgovora.

Veliko študentov na primer niti ne ve, kaj je bistvo reševanja konstrukcijskih problemov. Ampak gradbena opravila so obvezne naloge pri predmetu stereometrija. Ti problemi niso le lepi in izvirni v svojih metodah reševanja, ampak imajo tudi veliko praktično vrednost.

Zahvaljujoč konstrukcijskim nalogam se razvije sposobnost miselnega predstavljanja enega ali drugega. geometrijski lik, razvija se prostorsko mišljenje, logično razmišljanje, kot tudi geometrijsko intuicijo. Konstrukcijski problemi razvijajo praktične sposobnosti reševanja problemov.

Gradbena opravila niso preprosta, saj enotno pravilo ali pa ni algoritma za njihovo reševanje. Vsak nova naloga je edinstven in zahteva individualni pristop do odločitve.

Postopek reševanja katerega koli konstrukcijskega problema je zaporedje nekaterih vmesnih konstrukcij, ki vodijo do cilja.

Konstrukcija odsekov poliedrov temelji na naslednjih aksiomih:

1) Če dve točki premice ležita v neki ravnini, potem v tej ravnini leži celotna premica;

2) Če imata dve letali skupna točka, potem se sekata vzdolž ravne črte, ki poteka skozi to točko.

Izrek:če dva vzporedne ravnine sekajo s tretjo ravnino, potem so ravni presečišča vzporedna.

Konstruirajte odsek poliedra z ravnino, ki poteka skozi točke A, B in C. Razmislite o naslednjih primerih.

Metoda sledenja

jaz Zgradite presek prizme ravnina, ki poteka skozi dano premico g (sled) na ravnini ene od osnov prizme in točke A.

Primer 1.

Točka A pripada drugi osnovi prizme (ali ploskvi, ki je vzporedna s premico g) - sekalna ravnina seka to osnovo (ploskev) vzdolž odseka BC, vzporednega s sledjo g .

Primer 2.

Točka A pripada stranski ploskvi prizme:

Odsek BC premice AD ​​je presečišče te ploskve s sečno ravnino.

Primer 3.

Gradnja odseka štirikotna prizma ravnina, ki poteka skozi premico g v ravnini spodnje osnove prizme in točko A na enem od stranskih robov.

II. Zgradite prečni prerez piramide ravnina, ki poteka skozi dano premico g (sled) na ravnini osnove piramide in točki A.

Če želite zgraditi odsek piramide z ravnino, je dovolj, da zgradite presečišča njenih stranskih ploskev z rezalno ravnino.

Primer 1.

Če točka A pripada ploskvi, ki je vzporedna s premico g, potem seka rezalna ravnina to ploskev vzdolž odseka BC, ki je vzporeden s sledjo g.

Primer 2.

Če se točka A, ki pripada odseku, nahaja na ploskvi, ki ni vzporedna s ploskvijo sledi g, potem:

1) konstruirana je točka D, v kateri ravnina obraza seka dano sled g;

2) skozi točki A in D narišite premico.

Odsek BC premice AD ​​je presečišče te ploskve s sečno ravnino.

Konci segmenta BC pripadajo tudi sosednjim ploskev. Zato je z opisano metodo mogoče konstruirati presečišče teh ploskev z rezalno ravnino. itd.

Primer 3.

Gradnja odseka štirikotna piramida ravnina, ki poteka skozi stranico osnove in točko A na enem od stranskih robov.

Problemi, ki vključujejo konstruiranje odsekov skozi točko na ploskvi

1. Naredite prerez tetraedra ABCD z ravnino, ki poteka skozi oglišče C in točki M in N na ploskvah ACD oziroma ABC.

Točki C in M ​​ležita na ploskvi ACD, kar pomeni, da premica CM leži v ravnini te ploskve. (slika 1).

Naj bo P točka presečišča premic CM in AD. Podobno ležita točki C in N v ploskvi ACB, kar pomeni, da premica CN leži v ravnini te ploskve. Naj bo Q presečišče premic CN in AB. Točki P in Q pripadata tako prečni ravnini kot ploskvi ABD. Zato je segment PQ stranica odseka. Torej je zahtevani odsek trikotnik CPQ.

2. Konstruirajte odsek tetraedra ABCD z ravnino MPN, pri čemer točke M, N, P ležijo na robu AD, v ploskvi BCD in v ploskvi ABC, MN pa ni vzporedna z ravnino ploskve ABC. (slika 2).

Imate še vprašanja? Ne veste, kako sestaviti prerez poliedra?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Gradnja odsekov

Odsek - slika figure, pridobljena z miselnim seciranjem predmeta z ravnino. Odsek prikazuje samo tisto, kar je neposredno v rezalni ravnini.

Odseke, ki niso del odseka, delimo na: razširjene (slika 27) in prekrivajoče (slika 28).

Podaljšani deli so prednostni in jih je mogoče namestiti v režo med deli istega tipa (slika 29).

Obris razširjenega odseka, kot tudi odsek, vključen v odsek, je prikazan s polnimi glavnimi črtami, obris prekritega odseka pa s trdnimi tankimi črtami, obris slike na mestu prekrivanja odsek ni prekinjen (slika 28).

Os simetrije razširjenega ali prekritega odseka (slika 28) je označena s tanko črtkano črto brez črk ali puščic.

in črta preseka ni narisana.

IN primeri, podobni tistemu, prikazanemu na sl. 29, pri simetričnem prerezu črta prereza ni narisana.

V vseh drugih primerih se za črto odseka uporablja odprta črta, ki označuje smer pogleda s puščicami in je označena z istimi velikimi črkami ruske abecede. Odsek spremlja napis, kot je "A - A" (slika 27).

Za asimetrične odseke, ki se nahajajo v vrzeli ali prekrivajo (slika 30), je linija odseka narisana s puščicami, vendar ni označena s črkami. Če sekantna ravnina poteka skozi os vrtilne površine, ki omejuje luknjo ali vdolbino, potem je obris luknje ali vdolbine v prerezu prikazan v celoti (slika 31).

Elementi podrobnosti

Element podrobnosti- dodatna ločena slika (običajno povečana) katerega koli dela predmeta, ki zahteva grafične in druge razlage glede oblike, velikosti in drugih podatkov.

Element podrobnosti lahko vsebuje podrobnosti, ki niso navedene na ustrezni sliki, in se od nje lahko razlikuje po vsebini (na primer, slika je lahko pogled, element podrobnosti pa je lahko odsek).

Pri uporabi podaljška je ustrezno mesto označeno na pogledu, prerezu ali prerezu z zaprto trdno tanko črto - krog, oval itd. z oznako razširitve velika začetnica Ruska abeceda na vodilni polici. Nad sliko elementa oblačka navedite oznako in merilo, v katerem je izdelan

Oddaljeni element je na risbi postavljen čim bližje ustreznemu mestu na sliki predmeta.

Izdelava aksonometrične projekcije

V aksonometriji se običajno naredi izrez ¼ dela, pri čemer izrez ne ponavlja vedno izreza na ortogonalni sliki. Kot, ki ga sestavljajo rezalne ravnine, mora biti odprt.

Na sl. 34 – 37 prikazujejo postopno izometrijo dela z

izrežite ¼ kosa. Za udobje konstrukcije predpostavimo, da spodnja ravnina dela sovpada z vodoravno ravnino projekcij, os z pa sovpada z osjo stožčaste in cilindrične površine.

riž. 34 sl. 35

riž. 36 sl. 37

Nalogo začnemo s konstruiranjem aksonometričnih osi in obrisov ploščate figure, ki ga dobimo z rezanjem dela z navpičnimi ravninami, narisanimi vzdolž simetrijskih osi dela (slika 34).

Označimo središča krogov prisekanega stožca in valjev - točke O1, O2, O3, O4 in zgradimo izometrične projekcije tisti deli krogov, ki so ostali po izrezu (slika 35). Končamo konstruiranje pravokotnih obrisov dela (slika 36). Po senčenju ravnih figur, ki nastanejo pri rezanju dela z navpičnimi ravninami (risanje šrafurov, vzporednih s smermi, prikazanimi na sliki), sledimo obrisu dela (slika 37).

Izdelava nagnjenega odseka

Nagnjen odsek dobimo iz presečišča predmeta z ravnino, ki z vodoravno ravnino projekcij tvori kot, ki ni pravi kot.

Na risbi so nagnjeni odseki izdelani glede na vrsto razširjenih odsekov in v skladu s smerjo, ki jo označujejo puščice na liniji odseka. Pri konstruiranju preseka ni treba strogo upoštevati projekcijskega razmerja med sliko, kjer je določena sled rezalne ravnine, in sliko preseka. Slika prereza se lahko postavi na katero koli priročno mesto v polju za risanje, sl. 38, b, c. Poleg tega, če orientacija preseka na risbi ne ustreza smeri gledanja, ki jo označujejo puščice na potezah črte preseka, mora oznako preseka spremljati zasukan znak, sl. 38, v.

Sama naloga ponavadi zveni takole: "zgraditi naraven videzštevilke odsekov". Seveda smo se odločili, da tega vprašanja ne bomo pustili ob strani in poskušali, če je mogoče, pojasniti, kako je zgrajen nagnjeni odsek.

Za razlago, kako graditi nagnjen odsek, dal bom nekaj primerov. Začel bom seveda z osnovnimi, postopoma pa povečeval kompleksnost primerov. Upam, da boste po analizi teh primerov risb prerezov razumeli, kako se to naredi, in boste lahko sami dokončali svojo študijsko nalogo.

Razmislimo o "opeki" z dimenzijami 40x60x80 mm katere koli velikosti nagnjena ravnina. Rezalna ravnina ga prereže v točkah 1-2-3-4. Mislim, da je tukaj vse jasno.

Nadaljujmo s konstruiranjem naravnega pogleda preseka.
1. Najprej narišimo os preseka. Os mora biti narisana vzporedno s presečno ravnino - vzporedno s črto, v katero je ravnina projicirana v glavnem pogledu - običajno je v glavnem pogledu naloga za izdelava nagnjenega odseka(V nadaljevanju bom vedno omenil glavni pogled, ob upoštevanju, da se to skoraj vedno zgodi v izobraževalnih risbah).
2. Na osi narišemo dolžino odseka. Na moji risbi je označena kot L. Velikost L je določena v glavnem pogledu in enako razdalji od točke vstopa odseka v del do točke izstopa iz njega.
3. Iz dobljenih dveh točk na osi, pravokotno nanjo, na teh točkah narišemo širino odseka. Širina prereza na vstopni točki v del in na izstopni točki iz dela se lahko določi v pogledu od zgoraj. V tem primeru sta oba segmenta 1-4 in 2-3 enaka 60 mm. Kot lahko vidite na zgornji sliki, so robovi odseka ravni, zato preprosto povežemo naša dva nastala segmenta in dobimo pravokotnik 1-2-3-4. To je naravni videz prereza naše opeke z nagnjeno ravnino.

Zdaj pa zakomplicirajmo naš del. Na podlago 120x80x20 mm postavimo opeko in sliki dodamo rebra za ojačitev. Narišimo rezalno ravnino tako, da gre skozi vse štiri elemente figure (skozi podnožje, opeko in dve ojačitvi). Na spodnji sliki lahko vidite tri poglede in realno sliko tega dela.

Poskusimo zgraditi naraven pogled na ta nagnjen odsek. Začnimo znova z osjo preseka: narišite jo vzporedno z ravnino preseka, navedeno v glavnem pogledu. Nanjo narišimo dolžino odseka enako A-E. Točka A je vstopna točka prereza v del, v posameznem primeru pa vstopna točka prereza v bazo. Izhod iz baze je točka B. Točko B označimo na osi prereza. Na podoben način označimo vstopne in izstopne točke do roba, do »opeke« in do drugega roba. Od točk A in B, pravokotno na os, bomo položili segmente, ki so enaki širini osnove (40 v vsako smer od osi, skupaj 80 mm). Povežimo se skrajne točke- dobimo pravokotnik, ki je naravni prerez osnove dela.

Zdaj je čas, da sestavimo kos odseka, ki je del roba dela. Iz točk B in C bomo postavili pravokotnice 5 mm v vsako smer - dobili bomo segmente 10 mm. Povežimo skrajne točke in dobimo odsek rebra.

Iz točk C in D položimo pravokotne segmente, ki so enaki širini "opeke" - popolnoma podobno prvemu primeru te lekcije.

Če odmaknemo navpičnice iz točk D in E, ki so enake širini drugega roba, in povežemo skrajne točke, dobimo naraven pogled na njegov odsek.

Ostaja le brisanje skakalcev med posameznimi elementi nastalega odseka in nanos senčenja. Videti bi moralo nekako takole:

Če sliko razdelimo vzdolž določenega dela, bomo videli naslednji pogled:

Upam, da se ne ustrašite dolgočasnih odstavkov, ki opisujejo algoritem. Če ste prebrali vse zgoraj in še vedno ne razumete popolnoma, kako narisati nagnjen odsek, vam močno svetujem, da vzamete v roke kos papirja in svinčnik ter poskusite ponoviti vse korake za mano – to vam bo skoraj 100 % pomagalo pri učenju snovi.

Enkrat sem obljubil nadaljevanje tega članka. Nazadnje sem vam pripravljen predstaviti postopno konstrukcijo nagnjenega dela dela, ki je bližje ravni domače naloge. Poleg tega je nagnjeni odsek definiran v tretjem pogledu (nagnjeni odsek je definiran v levem pogledu)

oz zapišite našo telefonsko številko in povejte svojim prijateljem o nas - verjetno kdo išče način za dokončanje risb

oz Ustvarite opombo o naših lekcijah na svoji strani ali blogu - in nekdo drug bo lahko obvladal risanje.

Ja, vse je v redu, vendar bi rad videl, kako narediti isto stvar na bolj kompleksnem delu, s posnetimi robovi in ​​stožčasto luknjo, na primer.

Hvala. Ali niso ojačitvena rebra šrafirana na odsekih?
Točno tako. Oni so tisti, ki se ne izležejo. Ker so to splošna pravila za izdelavo rezov. Vendar se običajno izležejo pri zarezovanju aksonometrične projekcije- izometrija, dimetrija itd. Pri izdelavi nagnjenih odsekov je osenčeno tudi območje, povezano z ojačitvijo.

Hvala, zelo dostopno. Povejte mi, ali je mogoče narediti nagnjeni del v pogledu od zgoraj ali v levem pogledu? Če je tako, bi rad videl preprost primer.

Možno je izdelati takšne odseke. A na žalost trenutno nimam primera pri roki. In še ena je zanimiva točka: po eni strani tam ni nič novega, po drugi strani pa je v praksi takšne prereze dejansko težje izrisati. Iz nekega razloga se začne vse mešati v glavi in ​​večina študentov ima težave. Ampak ne obupajte!

Ja, vse je v redu, vendar bi rad videl, kako se naredi ista stvar, vendar z luknjami (skozi in ne skozi), sicer se nikoli ne spremenijo v elipso v glavi

pomagaj mi pri kompleksnem problemu

Škoda, da ste tukaj pisali. Če bi nam lahko pisal po e-pošti, bi morda imeli čas, da se pogovorimo o vsem.

Dobro razložiš. Kaj pa, če je ena od stranic dela polkrožna? V delu so tudi luknje.

Ilya, uporabi lekcijo iz razdelka naprej opisna geometrija"Presek valja z nagnjeno ravnino." Z njegovo pomočjo lahko ugotovite, kaj storiti z luknjami (tudi te so v bistvu valji) in s polkrožno stranjo.

Zahvaljujem se avtorju za članek! Je kratek in razumljiv. Pred približno 20 leti sem glodal granit znanosti, zdaj pa pomagam svojemu sinu. Veliko sem pozabil, a vaš članek me je pripeljal nazaj temeljno razumevanje teme bom šel ugotoviti nagnjeni del valja)

Dodajte svoj komentar.

Danes bomo ponovno pogledali, kako zgradimo presek tetraedra z ravnino.
Razmislimo o najpreprostejšem primeru ( obvezna stopnja), ko 2 točki sekalne ravnine pripadata eni ploskvi, tretja točka pa pripada drugi ploskvi.

Naj vas spomnimo algoritem za izdelavo odsekov tega tipa (primer: 2 točki pripadata isti ploskvi).

1. Iščemo ploskev, ki vsebuje 2 točki prerezne ravnine. Skozi dve točki, ki ležita na isti ploskvi, nariši ravno črto. Najdemo točke njegovega presečišča z robovi tetraedra. Del ravne črte, ki se konča v obrazu, je stranica odseka.

2. Če je poligon mogoče zapreti, je odsek zgrajen. Če je nemogoče zapreti, potem poiščemo presečišče konstruirane črte in ravnine, ki vsebuje tretjo točko.

1. Vidimo, da ležita točki E in F na isti ploskvi (BCD), v ravnino (BCD) narišemo premico EF.
2. Poiščite presečišče premice EF z robom tetraedra BD, to je točka H.
3. Zdaj morate najti presečišče premice EF in ravnine, ki vsebuje tretjo točko G, tj. letalo (ADC).
Premica CD leži v ravninah (ADC) in (BDC), kar pomeni, da seka premico EF, točka K pa je presečišče premice EF in ravnine (ADC).
4. Nato najdemo še dve točki, ki ležita v isti ravnini. To sta točki G in K, obe ležita v ravnini leve stranske ploskve. Narišemo premico GK in označimo točke, v katerih ta premica seka robove tetraedra. To sta točki M in L.
4. Ostaja še "zapreti" odsek, tj. povezati točke, ki ležijo na isti strani. To sta točki M in H ter tudi L in F. Oba segmenta sta nevidna, narišemo ju s pikčasto črto.

Izkazalo se je, da je presek štirikotnik MHFL. Vsa njegova oglišča ležijo na robovih tetraedra. Izberimo nastali odsek.

Zdaj pa oblikujmo "lastnosti" pravilno sestavljenega odseka:

1. Vsa oglišča mnogokotnika, ki je odsek, ležijo na robovih tetraedra (paralelepipeda, mnogokotnika).

2. Vse stranice odseka ležijo na ploskvah poliedra.
3. Vsaka ploskev mnogokotnika lahko vsebuje največ eno (eno ali nobeno!) stran odseka