Pojem imaginarne enote in definicija kompleksnega števila. §1

§1. Kompleksna števila

1°. Opredelitev. Algebrski zapis.

Definicija 1. Kompleksna števila imenujemo urejene pare realnih števil in , če so zanje definirani koncept enakosti, operacije seštevanja in množenja, ki izpolnjujejo naslednje aksiome:

1) Dve številki
in
enako, če in samo če
,
, tj.

2) Vsota kompleksnih števil
in

in enaka
, tj.

3) Produkt kompleksnih števil
in
je številka, označena z
in enako, tj.

Množica kompleksnih števil je označena C.

Formule (2), (3) za števila obrazca
prevzame obrazec

od koder sledi, da operaciji seštevanja in množenja za števila oblike
sovpadajo s seštevanjem in množenjem za realna števila kompleksno število oblike
identificirati z realnim številom .

Kompleksno število
klical imaginarna enota in je določen , tj.
Nato iz (3)

Iz (2), (3)  kar pomeni

Izraz (4) se imenuje algebrski zapis kompleksno število.

V algebraičnem zapisu imata operaciji seštevanja in množenja obliko:

Kompleksno število je označeno z
,– realni del, – imaginarni del, je čisto namišljeno število. Oznaka:
,
.

Definicija 2. Kompleksno število
klical konjugat s kompleksnim številom
.

Lastnosti kompleksne konjugacije.

1)

2)
.

3) Če
, To
.

4)
.

5)
– realno število.

Dokaz se izvede z neposrednim izračunom.

Definicija 3. številka
klical modul kompleksno število
in je določen
.

To je očitno
, in


. Tudi formule so očitne:
in
.

2°. Lastnosti operacij seštevanja in množenja.

1) Komutativnost:
,
.

2) Asociativnost:,
.

3) Distributivnost: .

Dokaz 1) – 3) je izveden z neposrednimi izračuni na podlagi podobnih lastnosti za realna števila.

4)
,
.

5) , C ! , ki izpolnjuje enačbo
. to

6) ,C, 0, ! :
. to dobimo tako, da enačbo pomnožimo z



.

Primer. Predstavljajmo si kompleksno število
v algebraični obliki. Če želite to narediti, pomnožite števec in imenovalec ulomka s konjugiranim številom imenovalca. Imamo:

3°. Geometrijska interpretacija kompleksnih števil. Trigonometrična in eksponentna oblika zapisa kompleksnega števila.

Naj bo dano na letalu pravokotni sistem koordinate Potem
C lahko povežete točko na ravnini s koordinatami
.(glej sliko 1). Očitno je takšna korespondenca ena proti ena. V tem primeru ležijo realna števila na abscisni osi, čisto imaginarna števila pa na ordinatni osi. Zato se imenuje abscisna os prava os, in ordinatna os − imaginarna os. Imenuje se ravnina, na kateri ležijo kompleksna števila kompleksna ravnina.

Upoštevajte to in
so simetrični glede izvora in in simetrično glede na Ox.

Vsako kompleksno število (tj. vsako točko na ravnini) lahko povežemo z vektorjem z začetkom v točki O in koncem v točki
. Korespondenca med vektorji in kompleksnimi števili je ena proti ena. Zato je vektor, ki ustreza kompleksnemu številu , označena z isto črko

D vektorska linija
ki ustreza kompleksnemu številu
, je enako
, in
,
.

Z vektorsko interpretacijo lahko vidimo, da vektor
− vsota vektorjev in , A
− vsota vektorjev in
.(glej sliko 2). Zato veljajo naslednje neenakosti: ,

Skupaj z dolžino vektor predstavimo kot med vektorjem in os Ox, šteto od pozitivne smeri osi Ox: če je štetje v nasprotni smeri urinega kazalca, se šteje, da je predznak kota pozitiven, če je v smeri urinega kazalca, potem je negativen. Ta kot se imenuje argument kompleksnega števila in je določen
. Kotiček ni določeno nedvoumno, ampak natančno
… . Za
argument ni definiran.

Formule (6) definirajo t.i trigonometrični zapis kompleksno število.

Iz (5) sledi, da če
in
to

Od (5)
kaj pa in kompleksno število je enolično določeno. Obratno ne drži: namreč nad kompleksnim številom njegov modul je enolično najden in argument , na podlagi (7), − z natančnostjo
. Iz (7) sledi tudi, da argument lahko najdemo kot rešitev enačbe

Vendar niso vse rešitve te enačbe rešitve (7).

Med vsemi vrednostmi argumenta kompleksnega števila je izbrana ena, ki se imenuje glavna vrednost argumenta in je označena
. Običajno je glavna vrednost argumenta izbrana bodisi v intervalu
, ali v intervalu

Primerno je izvajati operacije množenja in deljenja v trigonometrični obliki.

1. izrek. Modul produkta kompleksnih števil in je enak produktu modulov, argument pa je vsota argumentov, tj.

, A .

Prav tako

,

Dokaz. Naj ,. Nato z neposrednim množenjem dobimo:

Prav tako

.■

Posledica(Moivrejeva formula). Za
Moivrova formula velja

p primer. Poiščimo geometrijsko mesto točke
. Iz izreka 1 sledi, da .

Zato morate za njegovo konstrukcijo najprej zgraditi točko , kar je inverzija glede na enotski krog in nato poiščite točko, ki je nanj simetrična glede na os Ox.

Naj
, tiste.
Kompleksno število
označen z
, tj. R Eulerjeva formula velja

Ker
, To
,
. Iz izreka 1
kaj je s funkcijo
lahko delate kot z običajno eksponentno funkcijo, tj. enakosti veljajo

,
,
.

Od (8)
demonstrativna notacija kompleksno število

, Kje
,

Primer. .

4°. Korenine -ta potenca kompleksnega števila.

Razmislite o enačbi

Naj
, rešitev enačbe (9) pa iščemo v obliki
. Nato dobi (9) obliko
, od koder to najdemo
,
, tj.

,
,
.

Tako ima enačba (9) korene

Pokažimo, da je med (10) točno različne korenine. res,

se razlikujejo, saj njihovi argumenti so različni in se razlikujejo manj kot
. Naprej,
, ker
. Prav tako
.

Tako enačba (9) pri
ima točno korenine
, ki se nahajajo na vrhovih pravilnega - trikotnik, včrtan krogu polmera s središčem na t.O.

Tako je dokazano

2. izrek. Pridobivanje korenin -ta potenca kompleksnega števila
Vedno je možno. Vsi pomeni korena th stopnjo ki se nahajajo na ogliščih pravilnega -kotnik včrtan v krog s središčem na ničli in polmerom
. Ob istem času,

Posledica. Korenine -to potenco 1 so izražene s formulo

.

Produkt dveh korenov iz 1 je koren, 1 je koren - moč enotnosti, korenina
:
.

Pri preučevanju lastnosti kvadratne enačbe je bila postavljena omejitev - za diskriminanto, manjšo od nič, ni rešitve. Takoj je bilo navedeno, da govorimo o o množici realnih števil. Radovedni um matematika bo zanimalo, kakšna skrivnost je v klavzuli o resničnih vrednostih?

Sčasoma so matematiki uvedli koncept kompleksnih števil, kjer je ena vzeta kot pogojni pomen koren druge stopnje iz minus ena.

Zgodovinsko ozadje

Matematična teorija se razvija zaporedno, od enostavnega do zapletenega. Ugotovimo, kako je nastal koncept, imenovan "kompleksno število", in zakaj je potreben.

Že od nekdaj je osnova matematike navadno štetje. Raziskovalci so poznali samo naravni niz vrednot. Seštevanje in odštevanje je potekalo preprosto. Ko so ekonomski odnosi postajali bolj zapleteni, se je začelo uporabljati množenje namesto seštevanja enakih vrednosti. Pojavila se je obratna operacija množenju - deljenje.

Koncept naravnega števila je omejil uporabo aritmetične operacije. Nemogoče je rešiti vse probleme deljenja na množici celih vrednosti. najprej pripeljal do koncepta racionalne vrednote, nato pa do iracionalnih vrednosti. Če je za racionalno mogoče navesti točno lokacijo točke na premici, potem je za iracionalno takšne točke nemogoče navesti. Lokacijski interval lahko navedete le približno. Kombinacija racionalnega in iracionalna števila tvorijo realno množico, ki jo lahko predstavimo kot določeno črto v danem merilu. Vsak korak po črti je naravno število, med njimi pa so racionalne in iracionalne vrednote.

Začelo se je obdobje teoretična matematika. Razvoj astronomije, mehanike in fizike je zahteval vedno več rešitev kompleksne enačbe. V splošni obliki so bile najdene korenine kvadratne enačbe. Pri reševanju kompleksnejšega kubičnega polinoma so znanstveniki naleteli na protislovje. Koncept kockasti koren iz negativnega je smiselno, vendar za kvadrat povzroči negotovost. V tem primeru je samo kvadratna enačba poseben primer kubični.

Leta 1545 je Italijan G. Cardano predlagal uvedbo koncepta imaginarnega števila.

To število je postalo drugi koren iz minus ena. Izraz kompleksno število se je dokončno izoblikoval šele tristo let pozneje, v delih slovitega matematika Gaussa. Predlagal je formalno razširitev vseh zakonov algebre na imaginarno število. Realna premica se je razširila na ravnino. Svet je postal večji.

Osnovni pojmi

Spomnimo se številnih funkcij, ki imajo omejitve glede realnega niza:

• y = arcsin(x), definiran v območju vrednosti med negativno in pozitivno enoto.
• y = ln(x), je smiselno za pozitivne argumente.
• kvadratni koren y = √x, izračunan samo za x ≥ 0.

Z oznako i = √(-1) uvedemo tak koncept kot imaginarno število, kar nam bo omogočilo, da odstranimo vse omejitve iz domene definicije zgornjih funkcij. Izrazi, kot je y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5), dobijo pomen v določenem prostoru kompleksnih števil.

Algebraično obliko lahko zapišemo kot z = x + i×y na množici realnih vrednosti x in y ter i 2 = -1.

Nov koncept odpravlja vse omejitve pri uporabi katere koli algebraične funkcije in njen videz spominja na graf premice v koordinatah realnih in imaginarnih vrednosti.

Kompleksno letalo

Geometrijska oblika kompleksnih števil omogoča vizualizacijo številnih njihovih lastnosti. Vzdolž osi Re(z) označimo prave vrednosti x glede na Im(z) so imaginarne količine y, potem bo točka z na ravnini prikazala zahtevano kompleksno vrednost.

Definicije:

• Re(z) - realna os.
• Im(z) - pomeni imaginarno os.
• z je pogojna točka kompleksnega števila.
• Številska vrednost dolžine vektorja od ničelna točka na z se imenuje modul.
• Realna in namišljena os delita ravnino na četrtine. S pozitivno koordinatno vrednostjo - I četrtina. Ko je argument realne osi manjši od 0 in imaginarne osi večja od 0 - druga četrtina. Ko so koordinate negativne - III četrtina. Zadnje četrtletje IV vsebuje veliko pozitivnih realnih vrednosti in negativnih imaginarnih vrednosti.

Tako lahko na ravnini s koordinatnimi vrednostmi x in y vedno vizualno prikažete točko kompleksnega števila. Simbol i je uveden, da loči realni del od imaginarnega.

Lastnosti

1. pri vrednost nič imaginarnega argumenta preprosto dobimo število (z = x), ki se nahaja na realni osi in pripada realni množici.
2. Poseben primer, ko vrednost realnega argumenta postane nič, izraz z = i×y ustreza lokaciji točke na imaginarni osi.
3. Splošna oblika z = x + i×y bo za neničelne vrednosti argumentov. Označuje lokacijo točke, ki označuje kompleksno število v eni od četrtin.

Trigonometrični zapis

Spomnimo se polarnega koordinatnega sistema in definicija greha in cos. Očitno lahko s temi funkcijami opišete lokacijo katere koli točke na ravnini. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate dolžino polarnega žarka in kot naklona na realno os.

Opredelitev. Zapis oblike ∣z ∣, pomnožen z vsoto trigonometrije funkcije cos(ϴ) in imaginarni del i × sin(ϴ), imenujemo trigonometrično kompleksno število. Tu uporabljamo zapis kot nagiba na realno os

ϴ = arg(z) in r = ∣z∣, dolžina žarka.

Iz definicije in lastnosti trigonometričnih funkcij izhaja zelo pomembna formula Moivre:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Z uporabo te formule je priročno rešiti številne sisteme enačb, ki vsebujejo trigonometrične funkcije. Še posebej, ko se pojavi problem potenciranja.

Modul in faza

Za dokončanje opisa kompleksnega sklopa predlagamo dva pomembne definicije.

Poznavanje Pitagorejskega izreka je enostavno izračunati dolžino žarka v polarnem koordinatnem sistemu.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), se tak zapis v kompleksnem prostoru imenuje "modul" in označuje razdaljo od 0 do točke na ravnini.

Naklonski kot kompleksnega žarka na realno premico ϴ običajno imenujemo faza.

Iz definicije je razvidno, da sta realni in imaginarni del opisana s cikličnimi funkcijami. namreč:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Nasprotno pa je faza povezana z algebraičnimi vrednostmi prek formule:

ϴ = arctan(x / y) + µ, je uveden popravek µ, da se upošteva periodičnost geometrijske funkcije.

Eulerjeva formula

Matematiki pogosto uporabljajo eksponentno obliko. Številke kompleksna ravnina napisano kot izraz

z = r × e i × ϴ, kar izhaja iz Eulerjeve formule.

Prejel sem ta vnos razširjena za praktični izračun fizikalne količine. Oblika predstavitve v obliki eksponentnih kompleksnih števil je še posebej primerna za inženirski izračuni, kjer je treba izračunati tokokroge s sinusnimi tokovi in ​​je treba poznati vrednost integralov funkcij z dano periodo. Sami izračuni služijo kot orodje pri načrtovanju različnih strojev in mehanizmov.

Definiranje operacij

Kot smo že omenili, vsi algebraični zakoni dela z osnovnimi matematičnimi funkcijami veljajo za kompleksna števila.

Operacija vsote

Pri seštevanju kompleksnih vrednosti se seštevata tudi njihov realni in imaginarni del.

z = z 1 + z 2, kjer sta z 1 in z 2 kompleksni števili splošni pogled. S transformacijo izraza, po odprtju oklepajev in poenostavitvi zapisa, dobimo realni argument x = (x 1 + x 2), imaginarni argument y = (y 1 + y 2).

Na grafu je videti kot seštevek dveh vektorjev, po znanem pravilu paralelograma.

Operacija odštevanja

Šteje se, da je poseben primer seštevanja, ko je ena številka pozitivna, druga pa negativna, to je, da se nahaja v zrcalni četrtini. Algebraični zapis je videti kot razlika med realnim in imaginarnim delom.

z = z 1 - z 2 , ali ob upoštevanju vrednosti argumentov, podobno kot operacija seštevanja, dobimo za realne vrednosti x = (x 1 - x 2) in namišljene vrednosti y = (y 1 - y 2).

Množenje v kompleksni ravnini

S pomočjo pravil za delo s polinomi bomo izpeljali formulo za reševanje kompleksnih števil.

Po generalu algebrska pravila z=z 1 ×z 2 , opišemo vsak argument in podamo podobne. Realne in imaginarne dele lahko zapišemo takole:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Videti je lepše, če uporabimo eksponentna kompleksna števila.

Izraz izgleda takole: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Delitev

Če obravnavamo operacijo deljenja kot obratno operacijo množenja, v eksponentnem zapisu dobimo preprost izraz. Delitev vrednosti z 1 z z 2 je rezultat delitve njihovih modulov in fazne razlike. Formalno je pri uporabi eksponentne oblike kompleksnih števil videti takole:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

V obliki algebraičnega zapisa je operacija deljenja števil v kompleksni ravnini zapisana nekoliko bolj zapleteno:

Z opisovanjem argumentov in izvajanjem transformacij polinomov je enostavno dobiti vrednosti x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 oziroma y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2, vendar , je v okviru opisanega prostora ta izraz smiseln, če je z 2 ≠ 0.

Pridobivanje korenine

Vse našteto lahko uporabimo za definiranje kompleksnejših algebrskih funkcij - dvigovanje na poljubno potenco in njen inverz - ekstrakcijo korena.

Izkoriščanje splošni koncept dvignemo na potenco n, dobimo definicijo:

z n = (r × e i ϴ) n.

Z uporabo splošnih lastnosti ga prepišemo v obliki:

z n = r n × e i ϴ n.

Prejeto preprosta formula dvigovanje kompleksnega števila na potenco.

Iz definicije stopnje dobimo zelo pomembno posledico. Soda potenca imaginarne enote je vedno 1. Poljubna neparna stopnja Imaginarna enota je vedno enaka -1.

Zdaj pa se učimo inverzna funkcija- ekstrakcija korenin.

Za lažji zapis vzemimo n = 2. Kvadratni koren w kompleksna vrednost z na kompleksni ravnini C običajno štejemo za izraz z = ±, ki velja za vsak realni argument večji oz enako nič. Za w ≤ 0 rešitve ni.

Oglejmo si najenostavnejšo kvadratno enačbo z 2 = 1. Z uporabo formul za kompleksna števila prepišemo r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Iz zapisa je razvidno, da je r 2 = 1 in ϴ = 0, torej imamo edina rešitev, enako 1. Toda to je v nasprotju s konceptom, da je z = -1, kar je tudi skladno z definicijo kvadratnega korena.

Ugotovimo, česa ne upoštevamo. Če se spomnimo trigonometričnega zapisa, bomo obnovili izjavo - s periodično spremembo faze ϴ se kompleksno število ne spremeni. Označimo vrednost periode s simbolom p, potem velja: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), od koder je 2ϴ = 0 + p ali ϴ = p / 2. Zato je e i 0 = 1 in e i p /2 = -1. Dobili smo drugo rešitev, ki ustreza splošnemu razumevanju kvadratnega korena.

Torej, da bi našli poljuben koren kompleksnega števila, bomo sledili postopku.

• Zapišimo eksponentno obliko w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k je poljubno celo število.
• Zahtevano število lahko predstavimo tudi z Eulerjevo obliko z = r × e i ϴ.
• Izkoristimo splošna definicija funkcije ekstrakcije korena r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Od splošne lastnosti enakosti modulov in argumentov zapišemo r n = ∣w∣ in nϴ = arg (w) + p×k.
• Končni zapis za koren kompleksnega števila je opisan s formulo z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Komentiraj. Vrednost ∣w∣ je po definiciji pozitivno realno število, kar pomeni, da je koren katere koli potence smiseln.

Polje in kolega

Za zaključek podajamo dve pomembni definiciji, ki za rešitev nimata velikega pomena uporabni problemi s kompleksnimi števili, vendar so pomembni za nadaljnji razvoj matematična teorija.

Za izraze za seštevanje in množenje pravimo, da tvorijo polje, če izpolnjujejo aksiome za kateri koli element kompleksne ravnine z:

1. Zamenjava mest kompleksnih členov ne spremeni kompleksne vsote.
2. Trditev drži – v kompleksen izraz poljubno vsoto dveh števil lahko nadomestimo z njuno vrednostjo.
3. obstaja nevtralen pomen 0, za katero velja z + 0 = 0 + z = z.
4. Za vsak z obstaja nasprotje - z, katerega seštevek da nič.
5. Pri zamenjavi mest kompleksnih faktorjev se kompleksni produkt ne spremeni.
6. Množenje poljubnih dveh števil lahko nadomestimo z njuno vrednostjo.
7. Obstaja nevtralna vrednost 1, množenje s katero ne spremeni kompleksnega števila.
8. Za vsak z ≠ 0 obstaja vzajemna vrednost z -1, pomnožitev s tem daje 1.
9. Množenje vsote dveh števil s tretjino je enakovredno operaciji množenja vsakega od njiju s tem številom in seštevanju rezultatov.
10. 0 ≠ 1.

Števili z 1 = x + i×y in z 2 = x - i×y imenujemo konjugirana.

Izrek. Za seznanjanje velja naslednja izjava:

• Konjugat vsote je enak vsoti konjugiranih elementov.
• Konjugat produkta je enak produktu konjugatov.
• enako samemu številu.

V splošni algebri se takšne lastnosti običajno imenujejo poljski avtomorfizmi.

Primeri

Ob upoštevanju danih pravil in formul za kompleksna števila lahko z njimi enostavno upravljate.

Poglejmo si najpreprostejše primere.

Naloga 1. S pomočjo enačbe 3y +5 x i= 15 - 7i določite x in y.

rešitev. Spomnimo se definicije kompleksnih enačb, potem je 3y = 15, 5x = -7. Zato je x = -7/5, y = 5.

Naloga 2. Izračunajte vrednosti 2 + i 28 in 1 + i 135.

rešitev. Očitno 28 - sodo število, iz posledice definicije kompleksnega števila na potenco imamo i 28 = 1, kar pomeni, da je izraz 2 + i 28 = 3. Druga vrednost, i 135 = -1, nato 1 + i 135 = 0 .

Naloga 3. Izračunajte zmnožek vrednosti 2 + 5i in 4 + 3i.

rešitev. Iz splošnih lastnosti množenja kompleksnih števil dobimo (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nova vrednost bo -7 + 26i.

Naloga 4. Izračunajte korene enačbe z 3 = -i.

rešitev. Obstaja lahko več možnosti za iskanje kompleksnega števila. Razmislimo o enem od možnih. Po definiciji je ∣ - i∣ = 1, faza za -i je -p / 4. Izvirna enačba lahko ga prepišemo v obliki r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, od koder je z = e - p / 12 + pk/3, za poljubno celo število k.

Množica rešitev ima obliko (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Zakaj so potrebna kompleksna števila?

Zgodovina pozna veliko primerov, ko znanstveniki, ki delajo na teoriji, sploh ne razmišljajo o praktični uporabi svojih rezultatov. Matematika je najprej igra uma, dosledno upoštevanje vzročno-posledičnih odnosov. Skoraj vse matematične konstrukcije se zmanjšajo na reševanje integrala in diferencialne enačbe, te pa se z nekaj približki rešijo z iskanjem korenin polinomov. Tu najprej naletimo na paradoks namišljena števila.

Znanstveniki, naravoslovci, odločajo popolnoma praktični problemi, zatekanje k rešitvam različne enačbe, odkrivajo matematične paradokse. Interpretacija teh paradoksov vodi v popolnoma neverjetna odkritja. Dvojna narava elektromagnetni valovi en tak primer. Kompleksna števila odločilno vlogo pri razumevanju njihovih lastnosti.

To pa je ugotovilo praktična uporaba v optiki, radioelektroniki, energetiki in številnih drugih tehnoloških področjih. Še en primer, veliko težje razumljiv fizikalni pojavi. Antimaterija je bila napovedana na konici peresa. In šele mnogo let kasneje se začnejo poskusi fizične sinteze.

Ne smemo misliti, da takšne situacije obstajajo samo v fiziki. Nič manj zanimiva odkritja pojavljajo v živi naravi, med sintezo makromolekul, med študijem umetne inteligence. In vse to zaradi širjenja naše zavesti, ki se odmika od preprostega seštevanja in odštevanja naravnih količin.

Tema "Kompleksna števila" učencem pogosto povzroča težave, vendar v njih pravzaprav ni nič strašnega, kot se morda zdi na prvi pogled.

Torej, zdaj bomo analizirali in pogledali preprosti primeri, kaj je kompleksno število, kako ga označujemo in iz česa je sestavljeno. Izraz z = a + bi imenujemo kompleksno število. To je ena sama številka, ne dodatek.

Primer 1 : z = 6 + 4i

Iz česa je sestavljeno kompleksno število?

Kompleksno število ima realni in imaginarni del.

Število a imenujemo pravi del kompleksno število in je označeno a = Re(z). In tukaj je tisto, kar gre s pismom i- tj. število b imenujemo koeficient imaginarnega dela kompleksnega števila in ga označujemo b = Im(z). Skupaj bi tvorijo imaginarni del kompleksnega števila.

Ni težko uganiti in enostavno si je zapomniti, da je kratica "Re" izhaja iz slov "Pravi"- pravi, veljavni del. Oziroma "sem" je okrajšava besede "Namišljeno"- imaginarij, domišljijski del.

Primer 2 : z = 0,5 + 9i. Tukaj je pravi del a = Re (z) = 0,5, in imaginarni del b = Im (z) = 9i

Primer 3 : z = -5 + 19i. Tukaj je pravi del a = Re (z) = -5, in imaginarni del b = Im (z) = 19.

Čisto namišljeno kompleksno število

Kompleksno število, ki nima realnega dela, tj. Re(z) = 0, se imenuje čisto imaginaren.

Primer 4 : z = 2i. Pravi del manjka a = Re (z) = 0, in imaginarni del b = Im (z) = 2.

Primer 5 . z = -8i. Tukaj je namišljeni del b = Im(z) = -8, pravi del a = Re (z) = 0.

Konjugirana kompleksna števila

Označeno je kompleksno konjugirano število "zet" s prečko in se uporablja na primer za iskanje kvocienta dveh kompleksnih števil, z drugimi besedami, za izvedbo deljenja števil. Tisti, ki zdaj razmišljate, je tukaj pravo mesto za branje o deljenju kompleksnih števil.

Števila imenujemo kompleksno konjugirana; imajo enake realne dele in se razlikujejo le po predznaku imaginarnih delov. Poglejmo primer:

Primer 6 . Kompleksno konjugirano na število z = 7 + 13i je številka.

Imaginarna enota kompleksnega števila

In končno, pogovorimo se o pismu i. Ista črka, ki tvori namišljeno komponento v kompleksnem številu. Tudi če imamo izraz z = 5, to preprosto pomeni, da imaginarni del dano številko je nič in realna ena je pet.

Magnituda i klical imaginarna enota.

Namišljena enota bo uporabna pri reševanju kvadratne enačbe v primeru, ko je diskriminant manjši od nič. Navajeni smo misliti, da če je negativen, ni rešitve, ni korenin. To ni povsem pravilno. Korenine obstajajo, le kompleksne so. A več o tem kasneje. Zdaj pa pojdimo na naslednji članek o preučevanju kompleksnih števil, ugotovimo, kako izračunati

PredmetKompleksna števila in polinomi

Predavanje 22

§1. Kompleksna števila: osnovne definicije

Simbol uvaja razmerje
in se imenuje imaginarna enota. Z drugimi besedami,
.

Opredelitev. Izražanje oblike
, Kje
, imenujemo kompleksno število in število klical pravi del kompleksno število in označujejo
, številka – imaginarni del in označujejo
.

Iz te definicije sledi, da so realna števila tista kompleksna števila, katerih imaginarni del je enak nič.

Kompleksna števila je priročno predstaviti s točkami ravnine, na kateri je podan kartezični pravokotni koordinatni sistem, in sicer: kompleksno število
ustreza točki
in obratno. Na osi
upodobljena so realna števila in se imenuje realna os. Kompleksna števila oblike

se imenujejo povsem imaginarni. Predstavljeni so s točkami na osi
, ki se imenuje imaginarna os. Ta ravnina, ki služi za predstavitev kompleksnih števil, se imenuje kompleksna ravnina. Kompleksno število, ki ni realno, tj. tako da
, včasih imenovano namišljeno.

Dve kompleksni števili naj bi bili enaki, če in samo če sta njun realni in imaginarni del enaka.

Seštevanje, odštevanje in množenje kompleksnih števil se izvaja po običajnih pravilih polinomske algebre, pri čemer je treba upoštevati dejstvo, da

. Operacijo deljenja lahko definiramo kot obratno operacijo množenja in lahko dokažemo edinstvenost rezultata (če je delitelj različen od nič). Vendar se v praksi uporablja drugačen pristop.

Kompleksna števila
in
se imenujejo konjugirane; predstavljene so s točkami, ki so simetrične glede na realno os. Očitno je, da:

1)

;

2)
;

3)
.

Zdaj se razdeli na lahko storite na naslednji način:

.

Tega ni težko pokazati

,

kje je simbol pomeni katero koli aritmetično operacijo.

Naj
neko namišljeno število in – realna spremenljivka. Produkt dveh binomov

je kvadratni trinom z realnimi koeficienti.

Zdaj, ko imamo na voljo kompleksna števila, lahko rešimo katero koli kvadratno enačbo
.Če , potem

in enačba ima dva kompleksna konjugirana korena

.

če
, potem ima enačba dva različna realna korena. če
, potem ima enačba dva enaka korena.

§2. Trigonometrična oblika kompleksnega števila

Kot je navedeno zgoraj, kompleksno število
priročno za prikaz kot piko
. To število je mogoče identificirati tudi s polmernim vektorjem te točke
. S to interpretacijo se seštevanje in odštevanje kompleksnih števil izvaja po pravilih za seštevanje in odštevanje vektorjev. Za množenje in deljenje kompleksnih števil je primernejša druga oblika.

Predstavimo se na kompleksni ravnini
polarni koordinatni sistem. Kam pa potem
,
in kompleksno število
lahko zapišemo kot:

Ta oblika zapisa se imenuje trigonometrična (v nasprotju z algebraično obliko
). V tej obliki številka se imenuje modul in – argument kompleksnega števila . Določeni so:
,

. Za modul imamo formulo

Argument števila ni enolično definiran, ampak do izraza
,
. Vrednost argumenta, ki izpolnjuje neenakosti
, imenujemo glavni in ga označimo
. potem,
. Za glavno vrednost argumenta lahko dobite naslednje izraze:

,

številski argument
velja za negotovo.

Pogoj za enakost dveh kompleksnih števil v trigonometrični obliki ima obliko: moduli števil so enaki, argumenti pa se razlikujejo za večkratnik
.

Poiščimo produkt dveh kompleksnih števil v trigonometrični obliki:

Torej, ko so števila pomnožena, se njihovi moduli pomnožijo in njihovi argumenti dodajo.

Na podoben način lahko ugotovimo, da se pri deljenju moduli števil delijo in argumenti odštejejo.

Če potenciranje razumemo kot ponavljajoče se množenje, lahko dobimo formulo za dvig kompleksnega števila na potenco:

Izpeljimo formulo za
– korenina -ta potenca kompleksnega števila (ne zamenjujte ga z aritmetičnim korenom realnega števila!). Operacija pridobivanja korena je inverzna operaciji potenciranja. zato
je kompleksno število tako da
.

Naj
je znano, vendar
potrebno najti. Potem

Iz enakosti dveh kompleksnih števil v trigonometrični obliki sledi, da

,
,
.

Od tukaj
(to je aritmetični koren!),

,
.

To je enostavno preveriti lahko le sprejme bistveno drugačne vrednosti, denimo, ko
. Končno imamo formulo:

,
.

Torej korenina th potenco kompleksnega števila ima različne pomene. Na kompleksni ravnini so te vrednosti pravilno nameščene na ogliščih - trikotnik, včrtan krogu polmera
s središčem na začetku. "Prvi" koren ima argument
, se argumenti dveh "sosednjih" korenov razlikujejo za
.

Primer. Vzemimo kubni koren namišljene enote:
,
,
. Nato:

,