Zakaj ne morejo dokazati Fermatovega izreka? Izpostavimo! Ali je Fermatov zadnji izrek dokazan? Delo Shimure in Taniyame

Ker malokdo premore matematično razmišljanje, bom o največjem znanstvenem odkritju – elementarnem dokazu zadnjega Fermatovega izreka – govoril v najbolj razumljivem, šolskem jeziku.

Dokaz je bil najden za poseben primer (za preprosto stopnjo n>2), na katerega (in na primer n=4) je mogoče enostavno reducirati vse primere s sestavljenim n.

Torej moramo dokazati, da enačba A^n=C^n-B^n nima rešitve v celih številih. (Tukaj znak ^ pomeni stopnjo.)

Dokaz je izveden v številskem sistemu s preprosto osnovo n. V tem primeru se zadnje številke v vsaki tabeli množenja ne ponavljajo. V običajnem decimalnem sistemu je situacija drugačna. Na primer, ko število 2 pomnožimo z 1 in 6, se oba zmnožka – 2 in 12 – končata z istimi števkami (2). In na primer v sedmernem sistemu za številko 2 so vse zadnje števke drugačne: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, z nizom zadnjih števk 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Zahvaljujoč tej lastnosti za katero koli število A, ki se ne konča na nič (in v Fermatovi enakosti zadnja cifra števil A ali B, potem ko enakost delimo s skupnim deliteljem števil A, B, C, ni enako nič), je možno izbrati faktor g tako, da bo imelo število Ag poljubno dolg konec oblike 000...001. S tem številom g pomnožimo vsa osnovna števila A, B, C v Fermatovi enačbi. V tem primeru bomo naredili končnico enote precej dolgo, in sicer dve števki daljšo od števila (k) ničel na koncu števila U=A+B-C.

Število U ni enako nič - sicer je C=A+B in A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

To je pravzaprav vsa priprava Fermatove enakosti za kratko in končno študijo. Edina stvar, ki jo bomo naredili, je, da bomo ponovno zapisali desno stran Fermatove enakosti – C^n-B^n – z uporabo šolske dekompozicijske formule: C^n-B^n=(C-B)P ali aP. In ker bomo v nadaljevanju delovali (množili in seštevali) samo s števkami (k+2)-mestnih končnic števil A, B, C, potem ne moremo upoštevati njihovih vodilnih delov in jih preprosto zavreči (pustimo samo eno dejstvo v spominu: leva stran Fermatove enakosti je POTENCA).

Edina stvar, ki je vredna omembe, so zadnje števke števil a in P. V Fermatovi izvirni enakosti se število P konča s številko 1. To izhaja iz formule malega Fermatovega izreka, ki ga lahko najdete v referenčnih knjigah. In po množenju Fermatove enakosti s številom g^n se število P pomnoži s številom g na potenco n-1, ki se po Fermatovem majhnem izreku prav tako konča na številko 1. Torej v novi enakovredni Fermatovi enačbi , se število P konča na 1. In če se A konča na 1, potem se tudi A^n konča na 1 in se torej tudi število a konča na 1.

Imamo torej izhodiščno situacijo: zadnje števke A, a, P števil A, a, P se končajo s številko 1.

No, potem pa se začne prisrčna in fascinantna operacija, imenovana prednostno "mlin": z uvedbo naslednjih števil a"", a""" in tako naprej, števil a, izjemno "lahko" izračunamo, da so vsa tudi enako nič! Besedo "lahko" sem dal v narekovaje, ker človeštvo 350 let ni moglo najti ključa do tega "lahko"! ^(k+2). Ni vredno pozornosti na drugi člen v tem seštevku - navsezadnje smo v nadaljnjem dokazu zavrgli vse števke za (k+2)-to v številih (in to radikalno poenostavi analizo)! Torej, ko zavržemo številke delov glave, ima Fermatova enakost obliko: ...1 =aq^(n-1), kjer a in q nista števili, ampak samo končnici števil a in q! (Ne uvajam novih zapisov, ker je to težko brati.)

Ostaja še zadnje filozofsko vprašanje: zakaj je mogoče število P predstaviti kot P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Odgovor je preprost: ker je vsako celo število P z 1 na koncu mogoče predstaviti v tej obliki in to ENAKO. (Lahko ga predstavimo na številne druge načine, vendar tega ne potrebujemo.) Dejansko je za P=1 odgovor očiten: P=1^(n-1). Za Р=hn+1 je število q=(n-h)n+1, kar je enostavno preveriti z reševanjem enačbe [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 z dvomestno končnice. In tako naprej (vendar ne potrebujemo nadaljnjih izračunov, saj moramo predstaviti samo števila v obliki P=1+Qn^t).

Fuj! No, filozofije je konec, lahko preidete na računanje v drugem razredu, morda se samo še enkrat spomnite Newtonove binomske formule.

Torej, predstavimo število a"" (v številu a=a""n+1) in ga uporabimo za izračun števila q"" (v številu q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1) ali...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], od koder je q""=a"".

In zdaj lahko desno stran Fermatove enakosti prepišemo kot:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), pri čemer nas vrednost števila D ne zanima.

Zdaj smo prišli do odločilnega zaključka. Število a""n+1 je dvomestna končnica števila A in ZATO po preprosti lemi EDINSTVENO določa TRETJO števko stopnje A^n. In še več, iz razširitve Newtonovega binoma
(a""n+1)^n, ob upoštevanju, da je vsakemu členu razširitve (razen prvemu, ki ne more spremeniti vremena!) dodan PREPROSTI faktor n (številska osnova!), je jasno da je ta tretja številka enaka"" . Toda z množenjem Fermatove enakosti z g^n smo k+1 števk pred zadnjo 1 v številu A spremenili v 0. In zato je a""=0!!!

Tako smo zaključili cikel: po vnosu a"", smo ugotovili, da je q""=a"", in končno a""=0!

No, ostane nam reči, da po izvedbi popolnoma podobnih izračunov in naslednjih k števk dobimo končno enakost: (k + 2)-mestna končnica števila a ali C-B, tako kot število A, je enaka na 1. Ampak potem je (k+2)-ta cifra števila C-A-B ENAKA nič, medtem ko NI ENAKA nič!!!

To je pravzaprav ves dokaz. Da bi ga razumeli, sploh ni potrebno imeti visokošolske izobrazbe in predvsem poklicnega matematika. Strokovnjaki pa molčijo ...

Berljivo besedilo celotnega dokaza se nahaja tukaj:

Ocene

Živjo, Victor. Všeč mi je bil tvoj življenjepis. "Ne dovolite umreti pred smrtjo" seveda zveni odlično. Če sem iskren, me je moje srečanje s Fermatovim izrekom v Prozi osupnilo! Ali spada sem? Obstajajo znanstvena, poljudnoznanstvena in čajna mesta. Sicer pa hvala za vaše literarno delo.
Lep pozdrav, Anya.

Draga Anya, kljub precej strogi cenzuri ti Proza omogoča pisanje O VSEMU. Situacija s Fermatovim izrekom je naslednja: veliki matematični forumi obravnavajo fermatike postrani, nesramno in jih na splošno obravnavajo po najboljših močeh. Vendar sem najnovejšo različico dokaza predstavil na majhnih ruskih, angleških in francoskih forumih. Nihče še ni podal nobenih protiargumentov in jih, prepričan sem, tudi ne bo (dokazi so bili zelo natančno preverjeni). V soboto bom objavil filozofski zapis o teoremu.
V prozi skorajda ni nesramnosti in če se z njimi ne družiš, bodo kmalu odpadle.
Skoraj vsa moja dela so predstavljena na prozi, zato sem tukaj vključil tudi dokaz.
Se vidimo kasneje,

Na svetu ni veliko ljudi, ki še nikoli niso slišali za Fermatov zadnji izrek - morda je to edini matematični problem, ki je postal tako splošno znan in postal prava legenda. Omenjen je v številnih knjigah in filmih, glavni kontekst skoraj vseh omemb pa je nezmožnost dokaza izreka.

Da, ta izrek je zelo znan in je v nekem smislu postal "idol", ki ga častijo amaterski in profesionalni matematiki, vendar le malo ljudi ve, da je bil njegov dokaz najden, in to se je zgodilo leta 1995. Ampak najprej.

Torej, Fermatov zadnji izrek (pogosto imenovan Fermatov zadnji izrek), ki ga je leta 1637 oblikoval briljantni francoski matematik Pierre Fermat, je v bistvu zelo preprost in razumljiv vsakomur s srednješolsko izobrazbo. Pravi, da formula a na potenco n + b na potenco n = c na potenco n nima naravnih (torej ne frakcijskih) rešitev za n > 2. Vse se zdi preprosto in jasno, toda najboljši matematiki in navadni amaterji so se z iskanjem rešitve borili več kot tri stoletja in pol.

Zakaj je tako znana? Zdaj bomo izvedeli ...

Ali obstaja veliko dokazanih, nedokazanih in še nedokazanih izrekov? Gre za to, da Fermatov zadnji izrek predstavlja največji kontrast med preprostostjo formulacije in kompleksnostjo dokaza. Fermatov zadnji izrek je neverjetno težak problem, vendar njegovo formulacijo lahko razume vsakdo s 5. razredom srednje šole, dokaza pa ne more razumeti niti vsak poklicni matematik. Niti v fiziki, niti v kemiji, niti v biologiji, niti v matematiki ni niti enega problema, ki bi ga bilo mogoče formulirati tako preprosto, a je tako dolgo ostal nerešen. 2. Kaj je sestavljeno?

Začnimo s pitagorejskimi hlačami Besedilo je res preprosto – na prvi pogled. Kot vemo iz otroštva, so "Pitagorejske hlače enake na vseh straneh." Težava je videti tako preprosta, ker je temeljila na matematični trditvi, ki jo vsi poznajo - Pitagorovem izreku: v katerem koli pravokotnem trikotniku je kvadrat, zgrajen na hipotenuzi, enak vsoti kvadratov, zgrajenih na katetah.

V 5. stoletju pr. Pitagora je ustanovil Pitagorejsko bratovščino. Pitagorejci so med drugim preučevali cele trojčke, ki so ustrezali enakosti x²+y²=z². Dokazali so, da je Pitagorejskih trojk neskončno veliko in dobili splošne formule za njihovo iskanje. Verjetno so poskušali iskati C in višje stopnje. Prepričani, da to ne deluje, so pitagorejci opustili svoje nekoristne poskuse. Člani bratovščine so bili bolj filozofi in esteti kot matematiki.

To pomeni, da je enostavno izbrati niz števil, ki popolnoma izpolnjujejo enakost x²+y²=z²

Začenši s 3, 4, 5 - mlajši študent dejansko razume, da je 9 + 16 = 25.

Ali 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.

Torej se izkaže, da NISO. Tukaj se začne trik. Enostavnost je navidezna, saj je težko dokazati ne prisotnost nečesa, ampak, nasprotno, njegovo odsotnost. Ko morate dokazati, da rešitev obstaja, lahko in morate to rešitev preprosto predstaviti.

Težje je dokazati odsotnost: nekdo na primer reče: taka in taka enačba nima rešitev. Dati ga v lužo? enostavno: bam - in tukaj je, rešitev! (daj rešitev). In to je to, nasprotnik je poražen. Kako dokazati odsotnost?

Recite: "Nisem našel takih rešitev"? Ali pa morda niste bili videti dobro? Kaj pa če obstajajo, samo zelo veliki, zelo veliki, takšni, da tudi super zmogljiv računalnik še vedno nima dovolj moči? To je tisto, kar je težko.

To lahko vizualno prikažemo takole: če vzamete dva kvadrata ustreznih velikosti in ju razstavite na enotske kvadrate, potem iz tega šopa enotskih kvadratov dobite tretji kvadrat (slika 2):


Toda naredimo enako s tretjo dimenzijo (slika 3) - ne deluje. Ni dovolj kock ali pa so ostale dodatne:

Toda matematik iz 17. stoletja, Francoz Pierre de Fermat, je navdušeno preučeval splošno enačbo x n + y n = z n. In končno sem ugotovil: za n>2 ni celoštevilskih rešitev. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rokopisi gorijo! Ostala je le njegova pripomba v Diofantovi aritmetiki: "Našel sem res neverjeten dokaz te trditve, vendar so robovi tukaj preozki, da bi ga vsebovali."

Pravzaprav se izrek brez dokaza imenuje hipoteza. Toda Fermat slovi po tem, da nikoli ne dela napak. Tudi če ni pustil dokaza o izjavi, je bila naknadno potrjena. Poleg tega je Fermat dokazal svojo tezo za n=4. Tako se je hipoteza francoskega matematika zapisala v zgodovino kot Fermatov zadnji izrek.

Po Fermatu so se z iskanjem dokaza ukvarjali tako veliki umi, kot je Leonhard Euler (leta 1770 je predlagal rešitev za n = 3),

Adrien Legendre in Johann Dirichlet (ta znanstvenika sta leta 1825 skupaj našla dokaz za n = 5), Gabriel Lamé (ki je našel dokaz za n = 7) in mnogi drugi. Sredi 80. let prejšnjega stoletja je postalo jasno, da je znanstveni svet na poti do končne rešitve Fermatovega zadnjega izreka, a šele leta 1993 so matematiki uvideli in verjeli, da je tristoletna epopeja iskanja dokaza Fermatov zadnji izrek je bil tako rekoč končan.

Enostavno se pokaže, da je Fermatov izrek dovolj dokazati samo za enostavne n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za sestavljene n dokaz ostane veljaven. A praštevil je neskončno veliko...

Leta 1825 sta matematiki Dirichlet in Legendre z uporabo metode Sophie Germain neodvisno dokazali izrek za n=5. Leta 1839 je z isto metodo Francoz Gabriel Lame pokazal resničnost izreka za n=7. Postopoma je bil izrek dokazan za skoraj vse n, manjše od sto.

Končno je nemški matematik Ernst Kummer v briljantni študiji pokazal, da izreka na splošno ni mogoče dokazati z metodami matematike 19. stoletja. Nagrada Francoske akademije znanosti, ustanovljena leta 1847 za dokaz Fermatovega izreka, je ostala nepodeljena.

Leta 1907 se je bogati nemški industrialec Paul Wolfskehl odločil, da si bo zaradi nesrečne ljubezni vzel življenje. Kot pravi Nemec je določil datum in uro samomora: točno ob polnoči. Zadnji dan je naredil oporoko in pisal pisma prijateljem in sorodnikom. Stvari so se končale pred polnočjo. Povedati je treba, da se je Paul zanimal za matematiko. Ker ni imel kaj drugega početi, je šel v knjižnico in začel brati znameniti Kummerjev članek. Nenadoma se mu je zdelo, da se je Kummer zmotil v svojem sklepanju. Wolfskel je s svinčnikom v rokah začel analizirati ta del članka. Polnoč je minila, jutro je prišlo. Vrzel v dokazu je bila zapolnjena. In sam razlog za samomor je bil zdaj videti popolnoma smešen. Pavel je raztrgal svoja poslovilna pisma in na novo napisal oporoko.

Kmalu je umrl naravne smrti. Dediči so bili nemalo presenečeni: 100.000 mark (več kot 1.000.000 sedanjih funtov) je bilo nakazanih na račun Kraljeve znanstvene družbe iz Göttingena, ki je istega leta objavila natečaj za nagrado Wolfskehl. 100.000 mark je prejel tisti, ki je dokazal Fermatov izrek. Za ovržbo izreka niso dobili niti pfeniga ...

Večina profesionalnih matematikov je menila, da je iskanje dokaza Fermatovega zadnjega izreka brezupna naloga in so odločno zavračali izgubljanje časa s tako nekoristno vajo. Toda amaterji so se zabavali. Nekaj ​​tednov po objavi se je na univerzo v Göttingenu usul plaz "dokazov". Profesor E. M. Landau, čigar odgovornost je bila analiza poslanih dokazov, je svojim študentom razdelil kartice:

Dragi. . . . . . . .

Hvala, ker ste mi poslali rokopis z dokazom Fermatovega zadnjega izreka. Prva napaka je na strani ... v vrstici ... . Zaradi tega celoten dokaz izgubi veljavo.
Profesor E. M. Landau

Leta 1963 je Paul Cohen, opirajoč se na Gödelova dognanja, dokazal nerešljivost enega izmed triindvajsetih Hilbertovih problemov – hipotezo o kontinuumu. Kaj pa, če je tudi Fermatov zadnji izrek neodločljiv?! Toda pravi fanatiki Great Theorem niso bili prav nič razočarani. Pojav računalnikov je matematikom nenadoma dal novo metodo dokazovanja. Po drugi svetovni vojni so ekipe programerjev in matematikov dokazale zadnji Fermatov izrek za vse vrednosti n do 500, nato do 1000 in pozneje do 10.000.

V 1980-ih je Samuel Wagstaff dvignil mejo na 25.000, v 1990-ih pa so matematiki razglasili, da Fermatov zadnji izrek drži za vse vrednosti n do 4 milijone. A če od neskončnosti odštejete celo bilijon bilijonov, ne bo manjša. Matematikov statistika ne prepriča. Dokazati Veliki izrek je pomenilo dokazati ga za VSE n, ki gredo v neskončnost.

Leta 1954 sta dva mlada japonska prijatelja matematika začela raziskovati modularne oblike. Ti obrazci ustvarjajo serije števil, od katerih ima vsaka svojo serijo. Po naključju je Taniyama te serije primerjal z vrstami, ki jih ustvarijo eliptične enačbe. Ujemala sta se! Toda modularne oblike so geometrijski objekti, eliptične enačbe pa so algebraične. Še nikoli ni bila najdena povezava med tako različnimi predmeti.

Vendar pa so prijatelji po skrbnem testiranju postavili hipotezo: vsaka eliptična enačba ima dvojčka - modularno obliko in obratno. Prav ta hipoteza je postala temelj celotne smeri v matematiki, a dokler hipoteza Taniyama-Shimura ni bila dokazana, bi se lahko celotna zgradba vsak trenutek zrušila.

Leta 1984 je Gerhard Frey pokazal, da je rešitev Fermatove enačbe, če obstaja, mogoče vključiti v neko eliptično enačbo. Dve leti pozneje je profesor Ken Ribet dokazal, da ta hipotetična enačba ne more imeti protipostavke v modularnem svetu. Odslej je bil zadnji Fermatov izrek neločljivo povezan s domnevo Taniyama-Shimura. Ko smo dokazali, da je vsaka eliptična krivulja modularna, sklepamo, da ne obstaja nobena eliptična enačba z rešitvijo Fermatove enačbe, Fermatov zadnji izrek pa bi bil takoj dokazan. Toda trideset let ni bilo mogoče dokazati hipoteze Taniyama-Shimura in upanja na uspeh je bilo vse manj.

Leta 1963, ko je bil star komaj deset let, je bil Andrew Wiles že navdušen nad matematiko. Ko je izvedel za Veliki teorem, je ugotovil, da se mu ne more odreči. Kot šolar, študent in absolvent se je pripravljal na to nalogo.

Ko je izvedel za ugotovitve Kena Ribeta, se je Wiles brezglavo poglobil v dokazovanje hipoteze Taniyama-Shimura. Odločil se je za delo v popolni izolaciji in tajnosti. "Spoznal sem, da vse, kar je bilo povezano s Fermatovim zadnjim izrekom, vzbuja preveč zanimanja ... Preveč gledalcev očitno ovira dosego cilja." Sedem let trdega dela se je izplačalo, Wiles je končno dokončal dokaz domneve Taniyama-Shimura.

Leta 1993 je angleški matematik Andrew Wiles svetu predstavil svoj dokaz Fermatovega zadnjega izreka (Wiles je svoj senzacionalni prispevek prebral na konferenci na Inštitutu Sir Isaac Newton v Cambridgeu.), delo na katerem je trajalo več kot sedem let.

Medtem ko se je pomp v tisku nadaljeval, se je začelo resno delo za preverjanje dokazov. Vsak dokaz je treba natančno preučiti, preden se lahko šteje za strogega in točnega. Wiles je preživel nemirno poletje v čakanju na povratne informacije recenzentov in upal, da mu bo uspelo pridobiti njihovo odobritev. Konec avgusta so izvedenci ugotovili, da je sodba premalo utemeljena.

Izkazalo se je, da ta odločitev vsebuje hudo napako, čeprav je na splošno pravilna. Wiles se ni vdal, na pomoč je poklical slovitega strokovnjaka za teorijo števil Richarda Taylorja in že leta 1994 so objavili popravljen in razširjen dokaz izreka. Najbolj neverjetno je, da je to delo zavzelo kar 130 (!) strani v matematični reviji "Annals of Mathematics". A tudi tu se zgodba ni končala – končna točka je bila dosežena šele naslednje leto, 1995, ko je bila objavljena končna in z matematičnega vidika »idealna« različica dokaza.

»...pol minute po začetku svečane večerje ob njenem rojstnem dnevu sem Nadyi izročil rokopis celotnega dokaza« (Andrew Wales). Ali še nisem rekel, da so matematiki čudni ljudje?

Tokrat ni bilo dvoma o dokazih. Dva članka sta bila podvržena najbolj skrbni analizi in maja 1995 objavljena v Annals of Mathematics.

Od tega trenutka je minilo veliko časa, vendar v družbi še vedno obstaja mnenje, da je zadnji Fermatov izrek nerešljiv. A tudi tisti, ki vedo za najdeni dokaz, še naprej delajo v tej smeri – le redki so zadovoljni, da Veliki izrek zahteva rešitev na 130 straneh!

Zato so zdaj prizadevanja mnogih matematikov (večinoma amaterjev, ne profesionalnih znanstvenikov) vržena v iskanje preprostega in jedrnatega dokaza, vendar ta pot najverjetneje ne bo vodila nikamor ...

vir

Fermatov zadnji izrek (pogosto imenovan Fermatov zadnji izrek), ki ga je leta 1637 oblikoval briljantni francoski matematik Pierre Fermat, je po naravi zelo preprost in razumljiv vsakomur s srednješolsko izobrazbo. Pravi, da formula a na potenco n + b na potenco n = c na potenco n nima naravnih (torej ne frakcijskih) rešitev za n > 2. Vse se zdi preprosto in jasno, toda najboljši matematiki in navadni amaterji so se z iskanjem rešitve borili več kot tri stoletja in pol.

NOVICE IZ ZNANOSTI IN TEHNOLOGIJE

UDK 51:37;517.958

A.V. Konovko, dr.

Akademija državne gasilske službe Ministrstva za izredne razmere Rusije FERMIN VELIK TEOREM JE DOKAZAN. ALI NE?

Več stoletij ni bilo mogoče dokazati, da je enačba xn+yn=zn za n>2 nerešljiva v racionalnih številih in torej v celih številih. Ta problem se je rodil pod avtorstvom francoskega pravnika Pierra Fermata, ki se je hkrati poklicno ukvarjal z matematiko. Za njeno odločitev je zaslužen ameriški učitelj matematike Andrew Wiles. To priznanje je trajalo od leta 1993 do 1995.

VELIKI FERMAJOV TEOREM JE DOKAZAN. ALI NE?

Obravnavana je dramatična zgodovina Fermatovega zadnjega dokazovanja izreka. Trajalo je skoraj štiristo let. Pierre Fermat je pisal malo. Pisal je stisnjeno. Poleg tega ni objavil svojih raziskav. Izjava, da je enačba xn+yn=zn nerešljiva o množicah racionalnih števil in celih števil, če je n>2, je spremljal Fermatov komentar, da je našel resnično izjemen dokaz te izjave. Potomcev to dokazovanje ni doseglo. Kasneje so to izjavo poimenovali Fermatov zadnji izrek. Najboljši svetovni matematiki so se o tem izreku brezuspešno prepirali. V sedemdesetih letih je francoski matematik, član Pariške akademije znanosti Andre Veil postavil nove pristope k rešitvi. 23. junija leta 1993 je na konferenci o teoriji števil v Cambridgeu matematik z univerze Princeton Andrew Whiles oznanil, da je Fermatov zadnji dokaz izreka končan. Vendar je bilo za zmago še zgodaj.

Leta 1621 je francoski pisatelj in ljubitelj matematike Claude Gaspard Bachet de Meziriak izdal Diofantovo grško razpravo »Aritmetika« z latinskim prevodom in komentarjem. Razkošna »Aritmetika« z nenavadno širokimi robovi je prišla v roke dvajsetletnemu Fermatu in za dolga leta postala njegova referenčna knjiga. Na njenem robu je pustil 48 opomb z dejstvi, ki jih je odkril o lastnostih števil. Tu, na robu »Aritmetike«, je bil formuliran veliki Fermatov izrek: »Nemogoče je razstaviti kocko na dve kocki ali bikvadrat na dva bikvadrata ali na splošno potenco, večjo od dvojke, na dve potenci z istim eksponentom; Za to sem našel res čudovit dokaz, ki zaradi pomanjkanja prostora ne more soditi na ta polja.« Mimogrede, v latinščini je videti takole: »Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

Veliki francoski matematik Pierre Fermat (1601-1665) je razvil metodo za določanje površin in volumnov ter ustvaril novo metodo tangent in ekstremov. Ob Descartesu je postal tvorec analitične geometrije, skupaj s Pascalom je stal pri izhodiščih teorije verjetnosti, na področju infinitezimalne metode je podal splošno pravilo diferenciacije in v splošni obliki dokazal pravilo integracije potenčna funkcija ... Toda, kar je najpomembnejše, ena najpomembnejših skrivnostnih in dramatičnih zgodb, ki so kdaj šokirale matematiko - zgodba o dokazu zadnjega Fermatovega izreka. Zdaj je ta izrek izražen v obliki preproste izjave: enačba xn + yn = zn za n>2 je nerešljiva v racionalnih številih in torej v celih številih. Mimogrede, za primer n = 3 je srednjeazijski matematik Al-Khojandi poskušal dokazati ta izrek v 10. stoletju, vendar njegov dokaz ni preživel.

Pierre Fermat, rojen v južni Franciji, je prejel pravno izobrazbo in od leta 1631 služil kot svetovalec parlamenta mesta Toulouse (tj. Najvišje sodišče). Po delovnem dnevu med zidovi parlamenta se je lotil matematike in se takoj potopil v povsem drug svet. Denar, prestiž, javno priznanje - nič od tega mu ni bilo pomembno. Znanost zanj nikoli ni postala sredstvo za preživetje, ni se spremenila v obrt, vedno je ostala le vznemirljiva igra uma, razumljiva le redkim. Nadaljeval je dopisovanje z njimi.

Fermat ni nikoli pisal znanstvenih člankov v našem običajnem smislu. In v njegovem dopisovanju s prijatelji je vedno prisoten kakšen izziv, tudi nekakšna provokacija, nikakor pa ne akademska predstavitev problema in njegove rešitve. Zato so mnoga njegova pisma pozneje poimenovali izziv.

Morda prav zato ni nikoli uresničil svoje namere, da bi napisal poseben esej o teoriji števil. Medtem je bilo to njegovo najljubše področje matematike. Prav njej je Fermat posvetil najbolj navdihujoče vrstice svojih pisem. "Aritmetika," je zapisal, "ima svoje lastno področje, teorijo celih števil. Te teorije se je Evklid le malo dotaknil, njegovi privrženci pa je niso dovolj razvili (razen če je bila vsebovana v tistih Diofantovih delih, ki jih je opustošil čas nam je prikrajšal). Aritmetiki jo morajo zato razvijati in obnavljati."

Zakaj se sam Fermat ni bal uničujočih učinkov časa? Pisal je malo in vedno zelo jedrnato. Najpomembneje pa je, da svojega dela ni objavil. V času njegovega življenja so krožili le v rokopisih. Zato ni presenetljivo, da so Fermatovi rezultati o teoriji števil prišli do nas v razpršeni obliki. Toda Bulgakov je imel verjetno prav: veliki rokopisi ne gorijo! Fermatovo delo ostaja. Ostali so v njegovih pismih prijateljem: lyonskemu učitelju matematike Jacquesu de Billyju, uslužbencu kovnice Bernardu Freniquelu de Bessyju, Marcennyju, Descartesu, Blaiseu Pascalu ... Ostala je Diofantova »Aritmetika« z njegovimi komentarji ob robu, ki po. Fermatova smrt je bila skupaj z Bachetovimi komentarji vključena v novo izdajo Diofantovega dela, ki ga je leta 1670 izdal njegov najstarejši sin Samuel. Samo dokazi sami niso ohranjeni.

Dve leti pred smrtjo je Fermat prijatelju Carcaviju poslal oporočno pismo, ki se je v zgodovino matematike zapisalo pod naslovom »Povzetek novih rezultatov v znanosti o številih«. V tem pismu je Fermat dokazal svojo znamenito trditev za primer n = 4. A takrat ga najverjetneje ni zanimala sama trditev, temveč dokazna metoda, ki jo je odkril in ki jo je sam Fermat poimenoval neskončni ali nedoločen spust.

Rokopisi ne gorijo. Toda, če ne bi bilo predanosti Samuela, ki je po očetovi smrti zbral vse njegove matematične skice in majhne razprave ter jih leta 1679 objavil pod naslovom »Razna matematična dela«, bi morali učeni matematiki marsikaj odkriti in na novo odkriti. . Toda tudi po njihovi objavi so problemi, ki jih je postavil veliki matematik, več kot sedemdeset let ležali negibni. In to ni presenetljivo. V obliki, v kateri so se pojavili v tisku, so se teoretični rezultati P. Fermata pojavili pred strokovnjaki v obliki resnih problemov, ki niso bili vedno jasni sodobnikom, skoraj brez dokazov in navedb notranjih logičnih povezav med njimi. Morda se ravno v odsotnosti koherentne, premišljene teorije skriva odgovor na vprašanje, zakaj se sam Fermat nikoli ni odločil izdati knjige o teoriji števil. Sedemdeset let kasneje se je L. Euler začel zanimati za ta dela in to je bilo resnično njihovo drugo rojstvo ...

Matematika je drago plačala Fermatov nenavaden način predstavitve svojih rezultatov, kot da bi namerno izpustil njihove dokaze. Ampak, če je Fermat trdil, da je dokazal ta ali oni izrek, potem je bil ta izrek naknadno dokazan. Vendar je prišlo do zapleta z velikim izrekom.

Skrivnost vedno buri domišljijo. Cele celine je osvojil skrivnostni Giocondin nasmeh; Teorija relativnosti kot ključ do skrivnosti prostorsko-časovnih povezav je postala najbolj priljubljena fizikalna teorija stoletja. In mirno lahko rečemo, da ni bilo nobene druge matematične težave, ki bi bila tako priljubljena kot ___93

Znanstveni in izobraževalni problemi civilne zaščite

Kaj je Fermatov izrek? Poskusi, da bi ga dokazali, so privedli do oblikovanja obsežne veje matematike - teorije algebrskih števil, vendar (žal!) je sam izrek ostal nedokazan. Leta 1908 je nemški matematik Wolfskehl zapustil 100.000 mark vsakomur, ki bi lahko dokazal Fermatov izrek. To je bil za tiste čase ogromen znesek! V enem trenutku bi lahko postali ne le slavni, ampak tudi pravljično obogateli! Zato ni presenetljivo, da so srednješolci celo v Rusiji, daleč od Nemčije, tekmovalno med seboj hiteli dokazovati veliki izrek. Kaj lahko rečemo o profesionalnih matematikih! Ampak ... zaman! Po prvi svetovni vojni je denar postal ničvreden, tok pisem s psevdo-dokazi je začel usihati, čeprav se seveda nikoli ni ustavil. Pravijo, da je slavni nemški matematik Edmund Landau pripravil tiskane obrazce za pošiljanje avtorjem dokazov Fermatovega izreka: »Na strani ... je napaka, v vrstici ....« (Napako je odkril docent.) Nenavadnosti in anekdot, povezanih z dokazom tega izreka, je bilo toliko, da bi iz njih lahko sestavili knjigo. Najnovejša anekdota je detektivska zgodba A. Marinina "Naključje okoliščin", posneta in prikazana na televizijskih zaslonih države januarja 2000. V njej naš rojak dokazuje izrek, ki ga niso dokazali vsi njegovi veliki predhodniki, in zanj zahteva Nobelovo nagrado. Kot veste, je izumitelj dinamita v svoji oporoki prezrl matematike, zato je avtor dokaza lahko zahteval le Fieldsovo zlato medaljo, najvišjo mednarodno nagrado, ki so jo leta 1936 odobrili matematiki sami.

V klasičnem delu izjemnega ruskega matematika A.Ya. Khinchin, posvečen velikemu Fermatovemu izreku, podaja informacije o zgodovini tega problema in posveča pozornost metodi, ki bi jo Fermat lahko uporabil za dokaz svojega izreka. Podan je dokaz za primer n = 4 in kratek pregled drugih pomembnih rezultatov.

Toda v času, ko je bila detektivka napisana, še bolj pa v času, ko je bila posneta, je bil splošni dokaz teorema že najden. 23. junija 1993 je na konferenci o teoriji števil v Cambridgeu matematik s Princetona Andrew Wiles objavil, da je Fermatov zadnji izrek dokazan. A sploh ne tako, kot je "obljubil" sam Fermat. Pot, ki jo je ubral Andrew Wiles, ni temeljila na metodah elementarne matematike. Študiral je tako imenovano teorijo eliptičnih krivulj.

Da bi dobili predstavo o eliptičnih krivuljah, morate upoštevati ravninsko krivuljo, ki jo definira enačba tretje stopnje

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

Vse takšne krivulje so razdeljene v dva razreda. Prvi razred vključuje tiste krivulje, ki imajo točke ostrenja (kot je polkubična parabola y2 = a2-X s točko ostrenja (0; 0)), samopresečišča (kot je kartezična plošča x3+y3-3axy = 0). , v točki (0; 0)), kot tudi krivulje, za katere je polinom Dx,y) predstavljen v obliki

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

kjer sta ^(x,y) in ^(x,y) polinoma nižjih stopenj. Krivulje tega razreda imenujemo degenerirane krivulje tretje stopnje. Drugi razred krivulj tvorijo nedegenerirane krivulje; imenovali jih bomo eliptične. Ti lahko vključujejo na primer Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Če so koeficienti polinoma (1) racionalna števila, potem lahko eliptično krivuljo pretvorimo v tako imenovano kanonično obliko

y2= x3 + sekira + b. (2)

Leta 1955 je japonski matematik Y. Taniyama (1927-1958) v okviru teorije eliptičnih krivulj uspel oblikovati hipotezo, ki je odprla pot dokazu Fermatovega izreka. A niti sam Taniyama niti njegovi kolegi tega takrat niso posumili. Skoraj dvajset let ta hipoteza ni pritegnila resne pozornosti in je postala priljubljena šele sredi sedemdesetih let. Po domnevi Taniyame je vsak eliptik

krivulja z racionalnimi koeficienti je modularna. Vendar zaenkrat formulacija hipoteze natančnemu bralcu pove le malo. Zato je potrebnih nekaj definicij.

Vsako eliptično krivuljo lahko povežemo s pomembno numerično karakteristiko - njeno diskriminanto. Za krivuljo, podano v kanonični obliki (2), je diskriminanta A določena s formulo

A = -(4a + 27b2).

Naj bo E neka eliptična krivulja, podana z enačbo (2), kjer sta a in b celi števili.

Za praštevilo p razmislite o primerjavi

y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)

kjer sta a in b ostanka deljenja celih števil a in b s p, z np pa označimo število rešitev te primerjave. Števila pr so zelo uporabna pri proučevanju vprašanja rešljivosti enačb oblike (2) v celih številih: če je nekaj pr enako nič, potem enačba (2) nima celih rešitev. Številke pa je mogoče izračunati le v najredkejših primerih. (Hkrati je znano, da r-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Oglejmo si tista praštevila p, ki delijo diskriminanto A eliptične krivulje (2). Dokažemo lahko, da je za tak p polinom x3 + ax + b mogoče zapisati na enega od dveh načinov:

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),

kjer so a, ß, y nekateri ostanki deljenja s p. Če je za vsa praštevila p, ki delijo diskriminanto krivulje, realizirana prva od dveh navedenih možnosti, potem eliptično krivuljo imenujemo polstabilna.

Praštevila, ki delijo diskriminanto, se lahko združijo v tako imenovano eliptično krivuljo. Če je E polstabilna krivulja, potem je njen prevodnik N podan s formulo

kjer je za vsa praštevila p > 5, ki delijo A, eksponent eP enak 1. Eksponenta 82 in 83 izračunamo s posebnim algoritmom.

V bistvu je to vse, kar je potrebno za razumevanje bistva dokaza. Vendar pa Taniyamina hipoteza vsebuje kompleksen in v našem primeru ključni koncept modularnosti. Zato za trenutek pozabimo na eliptične krivulje in razmislimo o analitični funkciji f (to je funkciji, ki jo lahko predstavimo s potenčno vrsto) kompleksnega argumenta z, podanega v zgornji polravnini.

S H označimo zgornjo kompleksno polravnino. Naj bo N naravno število in k celo število. Modularna parabolična oblika uteži k ravni N je analitična funkcija f(z), ki je definirana v zgornji polravnini in izpolnjuje razmerje

f = (cz + d)kf (z) (5)

za poljubna cela števila a, b, c, d, tako da je ae - bc = 1 in je c deljiv z N. Poleg tega se predpostavlja, da

lim f (r + it) = 0,

kjer je r racionalno število in to

Prostor modularnih paraboličnih oblik teže k ravni N označimo s Sk(N). Lahko se pokaže, da ima končno dimenzijo.

V nadaljevanju nas bodo zanimale predvsem modularne parabolične oblike uteži 2. Za majhne N je dimenzija prostora S2(N) predstavljena v tabeli. 1. Zlasti

Dimenzije prostora S2(N)

Tabela 1

n<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Iz pogoja (5) sledi % + 1) = za vsako obliko f e S2(N). Zato je f periodična funkcija. Takšno funkcijo lahko predstavimo kot

Imenujmo modularno parabolično obliko A^) v S2(N) lastno, če so njeni koeficienti cela števila, ki izpolnjujejo razmerja:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 za preprost p, ki ne deli števila N; (8)

(ap) za praštevilo p, ki deli število N;

atn = at an, če je (t,n) = 1.

Zdaj pa oblikujmo definicijo, ki ima ključno vlogo pri dokazu Fermatovega izreka. Eliptična krivulja z racionalnimi koeficienti in vodnikom N se imenuje modularna, če obstaja takšna lastna oblika

f (z) = ^anq" g S2(N),

da je ap = p - pr za skoraj vsa praštevila p. Tu je n število primerjalnih rešitev (3).

Težko je verjeti v obstoj vsaj ene takšne krivulje. Precej težko si je predstavljati, da bi obstajala funkcija A(r), ki bi zadostila naštetim strogim omejitvam (5) in (8), ki bi bila razširjena v serije (7), katerih koeficienti bi bili povezani s praktično neizračunljivimi številke Pr. Toda Taniyamina drzna hipoteza sploh ni vzbujala dvoma o dejstvu njihovega obstoja in empirično gradivo, ki se je sčasoma nabralo, je briljantno potrdilo njeno veljavnost. Po dveh desetletjih skoraj popolne pozabe je Taniyamina hipoteza dobila svojevrsten drugi veter v delih francoskega matematika, člana pariške akademije znanosti Andrea Weila.

Leta 1906 rojeni A. Weil je sčasoma postal eden od ustanoviteljev skupine matematikov, ki je delovala pod psevdonimom N. Bourbaki. Od leta 1958 je A. Weil postal profesor na Princeton Institute for Advanced Study. In pojav njegovega zanimanja za abstraktno algebraično geometrijo sega v isto obdobje. V sedemdesetih letih se je posvetil eliptičnim funkcijam in Taniyaminim domnevam. Monografija o eliptičnih funkcijah je bila prevedena pri nas v Rusiji. V svojem hobiju ni osamljen. Leta 1985 je nemški matematik Gerhard Frey predlagal, da če je Fermatov izrek napačen, to je, če obstaja trojka celih števil a, b, c, taka da je a" + bn = c" (n > 3), potem je eliptična krivulja

y2 = x (x - a")-(x - cn)

ne more biti modularen, kar je v nasprotju s Taniyamovo domnevo. Sam Frey te izjave ni uspel dokazati, kmalu pa je dokaz dobil ameriški matematik Kenneth Ribet. Z drugimi besedami, Ribet je pokazal, da je Fermatov izrek posledica Taniyamine domneve.

Formuliral in dokazal je naslednji izrek:

Izrek 1 (Ribet). Naj bo E eliptična krivulja z racionalnimi koeficienti in diskriminanto

in dirigent

Predpostavimo, da je E modularen in pustite

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

je ustrezna pravilna oblika ravni N. Fiksiramo praštevilo £ in

р:еР =1;- " 8 р

Potem obstaja taka parabolična oblika

/(g) = 2 dnqn e N)

s celimi koeficienti, tako da so razlike an - dn deljive z I za vse 1< п<ад.

Jasno je, da če je ta izrek dokazan za določen eksponent, je s tem dokazan za vse eksponente, deljive z n. Ker je vsako celo število n > 2 deljivo s 4 ali z lihim praštevilom, se lahko omejimo na primer, ko je eksponent 4 ali liho praštevilo. Za n = 4 je elementarni dokaz Fermatovega izreka dobil najprej sam Fermat, nato pa še Euler. Tako je dovolj, da preučimo enačbo

a1 + b1 = c1, (12)

v katerem je eksponent I liho praštevilo.

Zdaj lahko Fermatov izrek dobimo s preprostimi izračuni (2).

Izrek 2. Fermatov zadnji izrek izhaja iz Taniyamine domneve za polstabilne eliptične krivulje.

Dokaz. Predpostavimo, da je Fermatov izrek napačen, in naj obstaja ustrezen protiprimer (kot zgoraj, tukaj je I liho praštevilo). Uporabimo teorem 1 za eliptično krivuljo

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Preprosti izračuni kažejo, da je vodnik te krivulje podan s formulo

Če primerjamo formuli (11) in (13), vidimo, da je N = 2. Zato po izreku 1 obstaja parabolična oblika

ki leži v prostoru 82(2). Toda na podlagi relacije (6) je ta prostor enak nič. Zato je za vse n dn = 0. Hkrati je a^ = 1. Zato razlika ag - dl = 1 ni deljiva z I in pridemo do protislovja. Tako je izrek dokazan.

Ta izrek je bil ključ do dokaza Fermatovega zadnjega izreka. In vendar je hipoteza sama še vedno ostala nedokazana.

Ko je 23. junija 1993 objavil dokaz Taniyamine domneve za polstabilne eliptične krivulje, ki vključujejo krivulje oblike (8), se je Andrewu Wilesu mudilo. Za zmago matematikov je bilo prezgodaj slaviti.

Toplo poletje se je hitro končalo, deževna jesen je ostala za nami in prišla je zima. Wiles je napisal in prepisal končno različico svojega dokaza, vendar so natančni kolegi v njegovem delu odkrili vedno več netočnosti. In tako so v začetku decembra 1993, nekaj dni preden naj bi šel Wilesov rokopis v tisk, ponovno odkrili resne vrzeli v njegovih dokazih. In potem je Wiles spoznal, da ne more ničesar popraviti v dnevu ali dveh. To je zahtevalo resne izboljšave. Objavo dela so morali preložiti. Wiles se je za pomoč obrnil na Taylorja. »Odpravljanje napak« je trajalo več kot eno leto. Končna različica dokaza domneve Taniyame, ki jo je napisal Wiles v sodelovanju s Taylorjem, je bila objavljena šele poleti 1995.

Za razliko od junaka A. Marinina se Wiles ni prijavil za Nobelovo nagrado, a vseeno ... moral bi dobiti kakšno nagrado. Toda katerega? Wiles je bil takrat že v svojih petdesetih in Fieldsove zlate medalje podeljujejo strogo do štiridesetega leta, ko vrhunec ustvarjalne dejavnosti še ni mimo. In potem so se odločili ustanoviti posebno nagrado za Wilesa - srebrno značko Fieldsovega odbora. To značko so mu podelili na naslednjem matematičnem kongresu v Berlinu.

Od vseh problemov, ki lahko z večjo ali manjšo verjetnostjo nadomestijo zadnji Fermatov izrek, ima največ možnosti problem najbližjega pakiranja kroglic. Problem najgostejšega pakiranja kroglic lahko formuliramo kot problem, kako najbolj ekonomično zložiti pomaranče v piramido. Mladi matematiki so to nalogo podedovali od Johannesa Keplerja. Težava je nastala leta 1611, ko je Kepler napisal kratek esej »O šesterokotnih snežinkah«. Keplerjevo zanimanje za razporeditev in samoorganizacijo delcev snovi ga je pripeljalo do razprave o drugem vprašanju - o najgostejšem pakiranju delcev, v katerem zasedajo najmanjšo prostornino. Če predpostavimo, da imajo delci obliko kroglice, potem je jasno, da ne glede na to, kako se nahajajo v prostoru, bodo med njimi neizogibno ostale vrzeli, vprašanje pa je, da se obseg vrzeli zmanjša na minimum. V delu je na primer navedeno (vendar ni dokazano), da je taka oblika tetraeder, koordinatne osi znotraj katerega določajo osnovni ortogonalni kot 109°28", in ne 90°. Ta problem je zelo pomemben za fiziko delcev, kristalografijo in druge veje naravoslovja.

Literatura

1. Weil A. Eliptične funkcije po Eisensteinu in Kroneckerju. - M., 1978.

2. Soloviev Yu.P. Taniyamina domneva in Fermatov zadnji izrek // Soroseducation journal. - Št. 2. - 1998. - Str. 78-95.

3. Singh S. Fermatov zadnji izrek. Zgodba o skrivnosti, ki že 358 let zaposluje najboljše ume sveta / Trans. iz angleščine Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 str.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Kvaternionska algebra in tridimenzionalne rotacije // Ta revija št. 1(1), 2008. - Str. 75-80.