Območje osenčene krogne figure. Na karirasti papir narisana dva kroga
Tako je 7. decembra potekal naslednji preizkus znanja iz matematike. Študentom je bilo tako kot zadnjič ponujenih 16 možnosti – vse bodo v kratkem objavljene na spletni strani.
Na splošno lahko o izpitu rečemo naslednje:
Izpit ostaja razdeljen na možnosti brez logaritmov (vendar z izpeljankami) in brez izpeljank (a z logaritmi). To je posledica dejstva, da v šolah potekata vzporedno dva programa: po enem od njiju se v 10. razredu učijo odvode, v 11. razredu pa logaritme, po drugem pa obratno. Vendar se moramo pripraviti na dejstvo, da bodo že januarja-februarja 2012 v vseh variantah tako logaritmi kot izpeljanke;
Nove možnosti so si med seboj zelo podobne, pogoji težav so skoraj enaki - razlikujejo se le številke in pravzaprav odgovori. Po eni strani je to dobro, saj so vsi učenci v približno enakih razmerah. Toda po drugi strani v tem ni nič dobrega, saj se bodo realne možnosti bistveno (zelo bistveno!) razlikovale med seboj;
Nenavadno so se pojavili novi problemi, ki prej sploh niso bili upoštevani - nikjer in nikoli. Najprej gre za teorijo verjetnosti, o kateri bom govoril v nadaljevanju. Takšne "inovacije" izničijo vse delo na poenotenju možnosti.
Sklepi: pomembne spremembe v novem možnosti usposabljanjašt. Same možnosti so si med seboj postale bolj podobne, nekatere pa imajo nove naloge, ki jim večina študentov zagotovo ni kos.
Zdaj pa si poglejmo posebne probleme, zlasti za »novince« v teoriji verjetnosti.
Problem B1: koliko stane liter bencina?
V skladu s specifikacijami enotnega državnega izpita iz matematike je B1 težava z praktične vsebine. V našem primeru stranka kupi bencin in prejme drobiž. Ugotoviti morate velikost te spremembe ali količino kupljenega bencina.
Za rešitev takega problema je pomembno vedeti le eno dejstvo – recimo temu zakon množenja. Če sta znana cena enega litra bencina p in število kupljenih litrov n, bodo skupni stroški p · n. Na primer, če 1 liter stane 28 rubljev in želimo kupiti 15 litrov, potem bomo morali plačati 28 · 15 = 420 rubljev.
Poleg tega bi se morali enkrat za vselej naučiti, kaj je predaja. Pomislite: ko greste v kiosk in kupite steklenico vodke za 350 rubljev, a imate v žepu le bankovec za 1000 rubljev, vam bo blagajničarka vrnila 1000 − 350 = 650 rubljev. To je drobiž - razlika med dejansko nakupno ceno in zneskom, ki ste ga plačali. Sprememba je vedno izražena kot pozitivno število.
Naloga. Na bencinski črpalki je stranka blagajničarki dala 1000 rubljev in v rezervoar natočila 22 litrov bencina po ceni 31 rubljev. 80 kop. na liter Kakšen drobiž naj stranka prejme od blagajne? Odgovor izrazite v rubljih.
Najprej izrazimo ceno bencina v rubljih (brez kopejk): 31 rubljev. 80 kop. - to je 31,8 rubljev.
Torej, en liter stane 31,8 rubljev. Potem 22 litrov stane 22 · 31,8 = 699,6 rubljev. Toda stranka je blagajni dala 1000 rubljev, zato bi moral prejeti drobiž v višini 1000 − 699,6 = 300,4 rubljev. To je odgovor - številke ni treba pretvoriti nazaj v kopejke.
Naloga. Na bencinski črpalki je stranka blagajničarki dala 1000 rubljev in prosila, naj natoči bencin, dokler rezervoar ni poln. Cena bencina je 30 rubljev. 30 kopejk na liter Stranka je prejela 303 rublje drobiža. 10 kopejk Koliko litrov bencina smo natočili v rezervoar?
Ponovno pretvorimo vse cene v rublje: 30 rubljev. 30 kopeck je 30,3 rublja; 303 rubljev. 10 kopejk - to je 303,1 rubljev.
Zdaj pa poglejmo izjavo problema. Če je stranka dala blagajni 1000 rubljev in prejela 303,1 rubljev drobiža, bodo dejanski stroški (nakupna cena) 1000 − 303,1 = 696,9 rubljev.
Ker 1 liter bencina stane 30,3 rubljev, potem lahko za 696,9 rubljev kupite 696,9: 30,3 = 23 litrov. To je odgovor.
Naloga B3: učenje rezanja pice. Brez celic
Kot sem pričakoval, so nekatere težave v B3 od nas zahtevale, da najdemo ploščino poligona, podana s koordinatami njihovi vrhovi. V tem primeru na risbi ni bilo koordinatne mreže. Druge težave so zahtevale iskanje območij sektorjev.
Težave s poligoni je mogoče rešiti na elementaren način - samo sestavite opisani pravokotnik (glejte lekcijo "Površine poligonov na koordinatni mreži"). Vemo tudi, kako delati s sektorji (glejte lekcijo "Območje kroga"), vendar so tokrat pisci problemov predlagali bolj sofisticirane modele.
Naloga. Vklopljeno karirast papir narisan je krog, katerega ploščina je 16. Poiščite ploščino osenčene figure.
Krog razrežemo na 8 enakih delov, kot pico. Območje vsakega sektorja bo 16: 8 = 2 (glej risbo).
Očitno je osenčeni del sestavljen iz 6 takih sektorjev, zato je njegova površina 6 2 = 12.
Naloga. Poiščite površino štirikotnika, katerega oglišča imajo koordinate (1; 1), (10; 1), (7; 9), (2; 9)
Očitno je to trapez, zato ga lahko izračunamo s formulo za ploščino trapeza. Toda sledili bomo tradicionalni poti: zgradili bomo opisani pravokotnik in označili dolžine vseh rezov. Dobimo naslednjo sliko:
Vse kar ostane je najti skupna površina pravokotnik S, kot tudi območje trikotnikov S 1 in S 2, ki jih je treba izrezati:
S = 9 8 = 72;
S 1 = 0,5 1 8 = 4;
S 2 = 0,5 3 8 = 12;
S izhod = S − (S 1 + S 2) = 72 − (4 + 12) = 56.
Problem B7: Trigonometrija
Vsekakor standardna naloga izračunati trigonometrične funkcije in delo z koordinatni krog. Največ napak se je pojavilo pri variantah, v katerih je bilo treba najti tangens ali kotangens, saj se večnivojski ulomki pojavijo na samem koncu reševanja takih problemov.
Na žalost večina učencev 11. razreda še vedno ne zna delati z večnadstropne frakcije. Vendar je za to kriv le učitelj. Presenetljivo, večina učitelji šole matematiki sami ne znajo izračunati takih ulomkov (glej lekcijo “Kompleksni izrazi z ulomki. Postopek”).
Osebno menim, da taki ljudje ne bi smeli delati v šolah. Učitelja matematike, ki ne zna delati z večnadstropnimi ulomki, je treba takoj diskvalificirati in ga poslati v rudnike kopat uran.
Če imate tudi vi težave z večnadstropnimi ulomki, preprosto preučite zgornjo lekcijo in nato opravite priložene teste. Verjemite mi, v teh ulomkih ni nič zapletenega.
Problem B10: Petya s svojimi kovanci
Težave v teoriji verjetnosti so bile vedno različne, a zdi se, da so tokrat prevajalci prekosili sami sebe. Na primer, v nekaterih možnostih je bilo treba prejeti odgovor zaokrožiti na stotinke. IN drugače izkazalo se je, da je neskončno decimalno. Toda večina učencev bo ta ulomek lahko našla le s pomočjo kalkulatorja, ki ga je na Enotnem državnem izpitu iz matematike prepovedano uporabljati.
A zaokroževanje ni tako slabo. Težave s kovanci, ki so se prvič pojavile v različicah za usposabljanje, so videti veliko bolj zanimive. Za reševanje takšnih problemov morate vedeti, kaj so binomski koeficienti - in to temo bomo zagotovo preučili v bližnji prihodnosti. Za zdaj se omejimo na analizo dveh specifičnih problemov iz možnosti 1 in 4 (brez logaritmov):
Naloga. Petya je imel v žepu 4 rublje in 2 rublja. Petya je, ne da bi pogledal, prenesel tri kovance v drug žep. Poiščite verjetnost, da sta oba kovanca za dva rublja v istem žepu.
Ker sta oba kovanca za dva rublja končala v istem žepu, sta možni dve možnosti: ali ju Petya sploh ni prenesel ali pa je prenesel oba naenkrat.
V prvem primeru, ko kovanci za dva rublja niso bili premaknjeni, boste morali premakniti kovance za 3 rublje. Ker so skupaj 4 takšni kovanci, je število načinov za to enako številu kombinacij 4 krat 3: C 4 3.
V drugem primeru, ko sta bila prenesena oba kovanca za dva rublja, bo treba prenesti še en kovanec rublja. Izbrati ga je treba med 4 obstoječimi, število načinov za to pa je enako številu kombinacij od 4 do 1: C 4 1.
Zdaj pa poiščimo število načinov za prerazporeditev kovancev. Ker je skupaj 4 + 2 = 6 kovancev in morate izbrati le 3 izmed njih, skupno število možnosti je enako številu kombinacij od 6 do 3: C 6 3.
Še vedno je treba najti verjetnost:
V tem primeru se število kombinacij od b do a izračuna po formuli, ki jo morate poznati na pamet:
Naloga. Petya je imel v žepu 2 kovance po 5 rubljev in 4 kovance po 10 rubljev. Petya je, ne da bi pogledal, prenesel približno 3 kovance v drug žep. Poiščite verjetnost, da so kovanci za pet rubljev zdaj v različnih žepih.
Če želite hraniti kovance za pet rubljev v različnih žepih, morate premakniti samo enega od njih. Število načinov za to je enako številu kombinacij 2 krat 1: C 2 1.
Ker je Petya skupaj premaknil 3 kovance, bo moral premakniti še 2 kovanca po 10 rubljev. Petya ima 4 takšne kovance, zato je število načinov enako številu kombinacij 4 x 2: C 4 2.
Treba je ugotoviti, koliko možnosti je na voljo za prenos 3 kovancev od 6 razpoložljivih. Ta količina je enaka kot v prejšnja naloga, je enako številu kombinacij od 6 do 3: C 6 3.
Najdemo verjetnost:
V zadnjem koraku smo pomnožili število načinov izbire kovancev za dva rublja in število načinov izbire kovancev za deset rubljev, saj so ti dogodki neodvisni.
Opažam, da se je vsota verjetnosti izkazala za enako 0,4 + 0,6 = 1. Dejansko je število kovancev v obeh težavah enako in dva kovanca sta lahko v istem žepu ali v različnih - obstaja tretje možnosti ni.
To dejstvo potrjuje pravilnost odgovorov, vendar se je izkazalo, da rešitev še zdaleč ni trivialna in zahteva zelo dobro znanje teorija verjetnosti. Večina šolarjev tega znanja nima.
Opombe k delu C
Problem C1, v katerem je predlagano reševanje kompleksa trigonometrična enačba, nekoliko preoblikovan in zdaj sestavljen iz dveh točk:
- Pravzaprav rešite trigonometrično enačbo;
- Poiščite korenine, ki pripadajo danemu segmentu.
Preostale naloge so bile prenesene iz prejšnjega poskusni enotni državni izpit praktično nespremenjena. Problem C6 ostaja enako lahek in ga ni mogoče primerjati s pravimi C6, ki jih najdemo na Enotnem državnem izpitu iz matematike.
Krogi zahtevajo bolj previden pristop in so veliko manj pogosti pri nalogah B5. Ob istem času, splošna shema rešitve so še enostavnejše kot v primeru mnogokotnikov (glej lekcijo “Površine mnogokotnikov na koordinatni mreži”).
Vse, kar je potrebno pri takih nalogah, je najti polmer kroga R. Nato lahko izračunate površino kroga s formulo S = πR 2. Iz te formule sledi tudi, da je za njeno rešitev dovolj najti R 2.
Za iskanje navedenih vrednosti je dovolj, da označite točko na krogu, ki leži na presečišču mrežnih črt. In nato uporabite Pitagorov izrek. Razmislimo konkretni primeri izračun radija:
Naloga. Poiščite polmere treh krogov, prikazanih na sliki:
Izvedimo dodatne konstrukcije v vsakem krogu:
V vsakem primeru je točka B izbrana na krogu, ki leži na presečišču mrežnih črt. Točka C v krogih 1 in 3 dopolni sliko pravokotni trikotnik. Še vedno je treba najti polmere:
Razmislite o trikotniku ABC v prvem krogu. Po Pitagorovem izreku: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Za drugi krog je vse očitno: R = AB = 2.
Tretji primer je podoben prvemu. Od trikotnik ABC po Pitagorovem izreku: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Zdaj vemo, kako najti polmer kroga (ali vsaj njegovega kvadrata). Zato lahko najdemo območje. Obstajajo težave, kjer morate najti območje sektorja in ne celotnega kroga. V takih primerih je enostavno ugotoviti, kateri del kroga je ta sektor, in tako najti območje.
Naloga. Poiščite območje S osenčenega sektorja. V odgovoru navedite S/π.
Očitno je sektor ena četrtina kroga. Zato je S = 0,25 S krog.
Še vedno je treba najti S kroga - območje kroga. Da bi to naredili, izvedemo dodatno konstrukcijo:
Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik. Po Pitagorovem izreku velja: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Zdaj najdemo območje kroga in sektorja: S krog = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S krog = 2π.
Končno je želena vrednost S /π = 2.
Območje sektorja z neznanim polmerom
To je absolutno nov tip nalog, v letih 2010-2011 ni bilo nič takega. Glede na pogoj dobimo krog določeno območje(in sicer območje, ne polmer!). Nato je znotraj tega kroga izbran sektor, katerega območje je treba najti.
Dobra novica je, da so takšne težave najlažje od vseh področnih težav, ki se pojavljajo na Enotnem državnem izpitu iz matematike. Poleg tega sta krog in sektor vedno postavljena na koordinatno mrežo. Če želite izvedeti, kako rešiti takšne težave, si oglejte sliko:
Naj ima prvotni krog površino S = 80. Nato ga lahko razdelimo na dva sektorja s površino S = 40 (glejte 2. korak). Podobno lahko vsako od teh "polovičnih" sektorjev ponovno razdelimo na polovico - dobimo štiri sektorje s površino S = 20 vsak (glej 3. korak). Končno lahko vsakega od teh sektorjev razdelimo še na dva - dobimo 8 sektorjev "ostankov". Območje vsakega od teh "ostankov" bo S = 10.
Upoštevajte: v nobeni ni manjše particije Naloga enotnega državnega izpita ne pri matematiki! Tako je algoritem za rešitev problema B-3 naslednji:
- Prvotni krog razrežite na 8 sektorjev "ostankov". Površina vsakega od njih je natančno 1/8 površine celotnega kroga. Na primer, če ima krog v skladu s pogojem površino S kroga = 240, potem imajo "ostanki" površino S = 240: 8 = 30;
- Ugotovite, koliko "ostankov" se prilega prvotnemu sektorju, katerega območje je treba najti. Na primer, če naš sektor vsebuje 3 "ostanke" s površino 30, potem je površina zahtevanega sektorja S = 3 · 30 = 90. To bo odgovor.
To je to! Problem se rešuje praktično ustno. Če vam še kaj ni jasno, kupite pico in jo razrežite na 8 kosov. Vsak tak kos bo isti sektor - "ostanki", ki jih je mogoče združiti v večje kose.
Zdaj pa si poglejmo primere iz poskusnega enotnega državnega izpita:
Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 40. Poiščite površino zasenčene figure.
Torej, območje kroga je 40. Razdelite ga na 8 sektorjev - vsak s površino S = 40: 5 = 8. Dobimo:
Očitno je osenčen sektor sestavljen iz točno dveh sektorjev »ostankov«. Zato je njegova ploščina 2 · 5 = 10. To je celotna rešitev!
Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 64. Poiščite površino zasenčene figure.
Ponovno razdelite celoten krog na 8 enakih sektorjev. Očitno je območje enega od njih točno tisto, kar je treba najti. Zato je njegova površina S = 64: 8 = 8.
Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 48. Poiščite površino zasenčene figure.
Ponovno razdelite krog na 8 enakih sektorjev. Območje vsakega od njih je enako S = 48: 8 = 6. Zahtevani sektor vsebuje natanko tri sektorje - "ostanke" (glej sliko). Zato je površina zahtevanega sektorja 3 6 = 18.
Pozdravljeni prijatelji!Vključeno v enotni državni izpit iz matematikevključuje naloge, povezane z iskanjem območja kroga ali njegovih delov (sektorji, elementi obroča). Figura je postavljena na list papirja v karirastem vzorcu. V nekaterih težavah je merilo celice podano kot 1 × 1 centimeter, v drugih pa ni določeno - podana je površina elementa kroga ali sam krog.
Naloge so plitke, zapomniti si morate formulo za površino kroga, biti sposoben vizualno (po celicah) določiti polmer kroga, kolikšen delež kroga je izbrani sektor. Mimogrede, na blogu o področju sektorja. Njegova vsebina nima nobene zveze z reševanjem spodaj predstavljenih problemov, toda za tiste, ki si želijo zapomniti formulo za območje kroga in območje sektorja, bo zelo koristno. Razmislite o nalogah (vzetih iz odprte banke nalog):
Poiščite (v cm 2) površino S figure, upodobljene na karirastem papirju z velikostjo celice 1 cm x 1 cm. V svoj odgovor vpišite S/l.
Da bi dobili površino figure (obroč), je potrebno odšteti površino kroga s polmerom 1 od površine kroga s polmerom 2. Formula za površino krog je:
pomeni,
Rezultat delite s pi in zapišite odgovor.
Odgovor: 3
Na karirasti papir sta narisana dva kroga. Ploščina notranjega kroga je 51. Poiščite ploščino zasenčene figure.
Površino zasenčene figure lahko najdete tako, da izračunate razliko med površino večjega kroga in površino manjšega kroga. Ugotovimo, kolikokrat se ploščina večjega razlikuje od ploščine manjšega. Naj bo polmer manjšega enak R, potem je njegova ploščina enaka:
Polmer večjega kroga je dvakrat večji (vidno iz celic). Torej je njegova površina enaka:
Ugotovili smo, da je njegova površina 4-krat večja.
Zato je enako 51∙4 = 204 cm 2
Tako je površina zasenčene figure 204 – 51 = 153 cm 2.
*Druga metoda. Možno je bilo izračunati polmer majhnega kroga, nato pa določiti polmer večjega. Nato poiščite površino večjega in izračunajte površino želene figure.
Na karirasti papir sta narisana dva kroga. Ploščina notranjega kroga je 1. Poiščite ploščino zasenčene figure.
Ta problem se v svoji rešitvi praktično ne razlikuje od prejšnjega; razlika je le v tem, da imajo krogi različna središča.
Kljub dejstvu, da je jasno, da je polmer večjega kroga 2-krat večji od polmera manjšega, vam svetujem, da velikost celice določite s spremenljivko x (x).
Tako kot v prejšnjem problemu, ugotovimo, kolikokrat se površina večjega razlikuje od površine manjšega. Izrazimo površino manjšega kroga, saj je njegov polmer 3x:
Izrazimo površino večjega kroga, saj je njegov polmer 6x:
Kot lahko vidite, je površina večjega kroga 4-krat večja.
Zato je enako 1∙4 = 4 cm 2
Tako je površina zasenčene figure 4 – 1 = 3 cm 2.
Odgovor: 3
Na karirasti papir sta narisana dva kroga. Ploščina notranjega kroga je 9. Poiščite ploščino zasenčene figure.
Velikost celice označimo s spremenljivko x (x).
Ugotovimo, kolikokrat se ploščina večjega kroga razlikuje od ploščine manjšega. Izrazimo površino manjšega kroga. Ker je njegov polmer 3∙ x, torej
Izrazimo površino večjega kroga. Ker je njegov polmer 4∙ x, torej
Razdelite površino večjega s površino manjšega:
To pomeni, da je površina večjega kroga 16/9-krat več območja manj, torej je enako:
Tako je površina zasenčene figure 16 – 9 = 7 cm 2.
*Druga metoda.
Izračunajmo polmer manjšega kroga. Njegova površina je 9, kar pomeni
Poiščimo velikost celice in nato lahko določimo polmer večjega kroga. Velikost celice je:
Ker polmer večjega kroga ustreza 4 celicam, bo njegov polmer enak:
Določite površino večjega kroga:
Poišči razliko: 16 – 9 = 7 cm 2
Odgovor: 7
Na karirastem papirju je narisan krog s površino 48. Poiščite območje osenčenega sektorja.
V tem problemu je očitno, da je osenčeni del polovica površine celotnega kroga, to je enako 24.
Odgovor: 24
Kratek povzetek.
Pri težavah, povezanih s površino sektorja kroga, morate biti sposobni določiti, kakšen delež sestavlja območje kroga. To ni težko storiti, saj podobne naloge sredinski kot sektor je večkratnik 30 ali 45.
Pri težavah, povezanih z iskanjem območij obročnih elementov, obstajajo različne načine za rešitev sta obe prikazani v rešenih nalogah. Metoda, pri kateri je velikost celice označena s spremenljivko x, nato pa se določijo polmeri, je bolj univerzalna.
Najpomembneje pa je, da si teh metod ne zapomnite. Najdete lahko tretjo in četrto rešitev. Glavna stvar je poznati formulo za območje kroga in biti sposoben logično sklepati.
To je vse. Vso srečo!
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
