Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov. Izrek o območju trikotnika, izreki sinusov in kosinusov Območje trikotnika s kosinusom in dvema stranicama

Najdete ga lahko tako, da poznate osnovo in višino. Celotna preprostost diagrama je v tem, da višina deli osnovo a na dva dela a 1 in a 2, sam trikotnik pa na dva pravokotna trikotnika, katerih površina je in. Potem bo površina celotnega trikotnika vsota obeh navedenih območij, in če vzamemo eno sekundo višine iz oklepaja, potem v vsoti dobimo nazaj osnovo:

Težja metoda za izračun je Heronova formula, za katero morate poznati vse tri strani. Za to formulo morate najprej izračunati polobod trikotnika: Sama Heronova formula implicira kvadratni koren polobodnega obsega, pomnoženega z njegovo razliko na vsaki strani.

Naslednja metoda, ki je pomembna tudi za kateri koli trikotnik, vam omogoča, da najdete površino trikotnika skozi dve strani in kot med njima. Dokaz za to izhaja iz formule z višino - na poljubno znano stran narišemo višino in skozi sinus kota α dobimo, da je h=a⋅sinα. Za izračun površine pomnožite polovico višine z drugo stranjo.

Drug način je najti območje trikotnika, če poznate 2 kota in stran med njima. Dokaz te formule je precej preprost in je jasno razviden iz diagrama.

Višino iz vrha tretjega kota spustimo na znano stranico in tako nastale odseke imenujemo x. Iz pravokotnih trikotnikov je razvidno, da je prvi segment x enak zmnožku

Preprosto povedano, to je zelenjava, kuhana v vodi po posebnem receptu. Upošteval bom dve začetni komponenti (zelenjavno solato in vodo) in končni rezultat - boršč. Geometrično si ga lahko predstavljamo kot pravokotnik, pri čemer ena stran predstavlja solato, druga pa vodo. Seštevek teh dveh strani bo pokazal boršč. Diagonala in površina takšnega pravokotnika "boršč" sta povsem matematični pojmi in se nikoli ne uporabljata v receptih za boršč.

V učbenikih za matematiko ne boste našli ničesar o linearnih kotnih funkcijah. A brez njih matematike ne more biti. Zakoni matematike, tako kot zakoni narave, delujejo ne glede na to, ali vemo za njihov obstoj ali ne.

Linearne kotne funkcije so adicijski zakoni. Oglejte si, kako se algebra spremeni v geometrijo in geometrija v trigonometrijo.

Ali je mogoče brez linearnih kotnih funkcij? Možno je, saj matematiki še vedno znajo brez njih. Trik matematikov je v tem, da nam vedno govorijo samo o tistih problemih, ki jih sami znajo rešiti, in nikoli ne govorijo o tistih problemih, ki jih ne morejo rešiti. Poglej. Če poznamo rezultat seštevanja in enega člena, uporabimo odštevanje, da poiščemo drugi člen. Vse. Drugih problemov ne poznamo in ne vemo, kako jih rešiti. Kaj storiti, če poznamo samo rezultat seštevanja in ne poznamo obeh členov? V tem primeru je treba rezultat seštevanja razstaviti na dva člena z uporabo linearnih kotnih funkcij. Nato sami izberemo, kakšen je lahko en člen, linearne kotne funkcije pa pokažejo, kakšen naj bo drugi člen, da bo rezultat seštevanja točno to, kar potrebujemo. Takšnih parov členov je lahko neskončno veliko. V vsakdanjem življenju se dobro znajdemo brez razčlenjevanja vsote; dovolj nam je odštevanje. Toda pri znanstvenih raziskavah naravnih zakonov je razstavljanje vsote na njene komponente lahko zelo koristno.

Še en zakon seštevanja, o katerem matematiki neradi govorijo (še en njihov trik), zahteva, da imajo izrazi enake merske enote. Za solato, vodo in boršč so to lahko enote teže, prostornine, vrednosti ali merske enote.

Slika prikazuje dve ravni razlike za matematično. Prva raven so razlike v polju številk, ki so označene a, b, c. To delajo matematiki. Druga raven so razlike na področju merskih enot, ki so prikazane v oglatih oklepajih in označene s črko U. To delajo fiziki. Razumemo tretjo raven - razlike v površini opisanih predmetov. Različni predmeti imajo lahko enako število enakih merskih enot. Kako pomembno je to, vidimo na primeru borške trigonometrije. Če isti oznaki enote za različne predmete dodamo indekse, lahko natančno povemo, katera matematična količina opisuje določen predmet in kako se spreminja skozi čas ali zaradi naših dejanj. Pismo W Vodo bom označil s črko S Solato bom označil s črko B- boršč. Tako bodo izgledale linearne kotne funkcije za boršč.

Če vzamemo del vode in del solate, se skupaj spremenita v eno porcijo boršča. Tukaj predlagam, da si vzamete malo odmora od boršča in se spomnite svojega daljnega otroštva. Se spomnite, kako so nas učili sestavljati zajčke in račke? Treba je bilo ugotoviti, koliko živali bo. Kaj so nas takrat učili? Učili so nas ločiti merske enote od števil in seštevati števila. Da, katera koli številka se lahko doda kateri koli drugi številki. To je neposredna pot v avtizem sodobne matematike - delamo nerazumljivo kaj, nerazumljivo zakaj in zelo slabo razumemo, kako je to povezano z realnostjo, saj od treh razlik matematiki operirajo samo z eno. Bolj pravilno bi bilo naučiti se premikati iz ene merske enote v drugo.

Zajčke, račke in male živali lahko štejemo po kosih. Ena skupna merska enota za različne predmete nam omogoča, da jih seštejemo. To je otroška različica problema. Poglejmo podoben problem pri odraslih. Kaj dobite, če dodate zajčke in denar? Tu sta možni dve rešitvi.

Prva možnost. Zajčkom določimo tržno vrednost in jo prištejemo razpoložljivemu denarnemu znesku. Dobili smo skupno vrednost našega premoženja v denarju.

Druga možnost. Število zajčkov lahko dodate številu bankovcev, ki jih imamo. Prejeli bomo količino premičnin v kosih.

Kot lahko vidite, vam isti zakon dodajanja omogoča, da dobite različne rezultate. Vse je odvisno od tega, kaj točno želimo vedeti.

A vrnimo se k našemu boršču. Zdaj lahko vidimo, kaj se bo zgodilo za različne vrednosti kotov linearnih kotnih funkcij.

Kot je enak nič. Imamo solato, vode pa nimamo. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je tudi nič. To sploh ne pomeni, da je nič boršča enako nič vode. Lahko je nič boršča z nič solate (pravi kot).

Zame osebno je to glavni matematični dokaz dejstva, da . Ničla pri dodajanju ne spremeni števila. To se zgodi zato, ker je seštevanje samo po sebi nemogoče, če obstaja samo en člen, drugi člen pa manjka. O tem se lahko počutite, kakor želite, vendar ne pozabite - vse matematične operacije z ničlo so izumili matematiki sami, zato zavrzite svojo logiko in neumno natlačite definicije, ki so jih izumili matematiki: "deljenje z ničlo je nemogoče", "katero koli število, pomnoženo z nič je enako nič« , »onkraj točke nič« in druge neumnosti. Dovolj je, da se enkrat spomnite, da nič ni število, in nikoli več ne boste imeli vprašanja, ali je nič naravno število ali ne, saj tako vprašanje izgubi vsak pomen: kako je mogoče nekaj, kar ni število, šteti za število. ? To je tako, kot če bi se spraševali, v katero barvo je treba razvrstiti nevidno barvo. Številu dodati ničlo je enako kot slikati z barvo, ki je ni. Pomahali smo s suhim čopičem in vsem povedali, da "smo slikali." Sem pa malo zašel.

Kot je večji od nič, vendar manjši od petinštirideset stopinj. Imamo veliko solate, a premalo vode. Kot rezultat bomo dobili debel boršč.

Kot je petinštirideset stopinj. Vodo in solato imamo v enakih količinah. To je popoln boršč (oprostite mi, kuharji, to je samo matematika).

Kot je večji od petinštirideset stopinj, vendar manjši od devetdeset stopinj. Imamo veliko vode in malo solate. Dobili boste tekoči boršč.

Pravi kot. Imamo vodo. Od solate so ostali le spomini, saj še naprej merimo kot od črte, ki je nekoč označevala solato. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je nič. V tem primeru počakajte in pijte vodo, dokler jo imate)))

Tukaj. Nekaj ​​podobnega. Tukaj lahko povem druge zgodbe, ki bi bile tukaj več kot primerne.

Dva prijatelja sta imela svoj delež v skupnem poslu. Po umoru enega od njiju je vse šlo k drugemu.

Pojav matematike na našem planetu.

Vse te zgodbe so povedane v jeziku matematike z uporabo linearnih kotnih funkcij. Kdaj drugič vam bom pokazal pravo mesto teh funkcij v strukturi matematike. Medtem pa se vrnimo k trigonometriji boršta in razmislimo o projekcijah.

Sobota, 26. oktober 2019

Ogledal sem si zanimiv video o Grundy serija Ena minus ena plus ena minus ena - Numberphile. Matematiki lažejo. Med svojim utemeljevanjem niso opravili preverjanja enakosti.

To odmeva moje misli o.

Oglejmo si pobližje znake, da nas matematiki zavajajo. Na samem začetku argumenta matematiki pravijo, da je vsota zaporedja ODVISNA od tega, ali ima sodo število elementov ali ne. To je OBJEKTIVNO UGOTAVLJENO DEJSTVO. Kaj se zgodi potem?

Nato matematiki zaporedje odštejejo od enote. Kaj to vodi? To vodi do spremembe števila elementov zaporedja - sodo število se spremeni v liho število, liho število se spremeni v sodo. Konec koncev smo v zaporedje dodali en element enak ena. Kljub vsej zunanji podobnosti zaporedje pred transformacijo ni enako zaporedju po transformaciji. Tudi če govorimo o neskončnem zaporedju, se moramo zavedati, da neskončno zaporedje z lihim številom elementov ni enako neskončnemu zaporedju s sodim številom elementov.

Matematiki z enakim znakom med dvema zaporedjema z različnim številom elementov trdijo, da vsota zaporedja NI ODVISNA od števila elementov v zaporedju, kar je v nasprotju z OBJEKTIVNO UGOTAVLJENIM DEJSTVOM. Nadaljnje sklepanje o vsoti neskončnega zaporedja je napačno, saj temelji na napačni enakosti.

Če vidite, da matematiki med dokazovanjem postavljajo oklepaje, preurejajo elemente matematičnega izraza, dodajajo ali odstranjujejo nekaj, bodite zelo previdni, najverjetneje vas poskušajo zavajati. Tako kot čarovniki s kartami tudi matematiki uporabljajo različne manipulacije izražanja, da bi odvrnili vašo pozornost, da bi vam na koncu dali napačen rezultat. Če ne morete ponoviti trika s kartami, ne da bi poznali skrivnost prevare, potem je v matematiki vse veliko preprostejše: o prevari sploh ne sumite ničesar, toda ponavljanje vseh manipulacij z matematičnim izrazom vam omogoča, da druge prepričate o pravilnosti dobljeni rezultat, tako kot takrat, ko so vas prepričali.

Vprašanje iz publike: Je neskončnost (kot število elementov v zaporedju S) soda ali liha? Kako lahko spremenite pariteto nečesa, kar nima paritete?

Neskončnost je za matematike, kot je nebeško kraljestvo za duhovnike - tam še nihče ni bil, a vsi točno vedo, kako vse tam deluje))) Se strinjam, po smrti vam bo popolnoma vseeno, ali ste živeli sodo ali liho število dni, toda ... Če dodamo samo en dan na začetek vašega življenja, bomo dobili popolnoma drugo osebo: njen priimek, ime in patronim je popolnoma enak, le datum rojstva je popolnoma drugačen - bil je rojen en dan pred vami.

Zdaj pa preidimo k bistvu))) Recimo, da končno zaporedje, ki ima pariteto, izgubi to pariteto, ko gre v neskončnost. Potem mora vsak končni segment neskončnega zaporedja izgubiti parnost. Tega ne vidimo. Dejstvo, da ne moremo z gotovostjo trditi, ali ima neskončno zaporedje sodo ali liho število elementov, še ne pomeni, da je pariteta izginila. Pariteta, če obstaja, ne more brez sledu izginiti v neskončnost, kot v rokavu oštarije. Za ta primer obstaja zelo dobra analogija.

Ste kdaj vprašali kukavico, ki sedi na uri, v katero smer se vrti urni kazalec? Pri njej se puščica vrti v nasprotni smeri od tistega, kar imenujemo "v smeri urinega kazalca". Naj se sliši še tako paradoksalno, smer vrtenja je odvisna izključno od tega, s katere strani opazujemo vrtenje. In tako imamo eno kolo, ki se vrti. Ne moremo reči, v katero smer poteka vrtenje, saj ga lahko opazujemo tako z ene kot z druge strani vrtilne ravnine. Lahko samo pričamo o tem, da obstaja rotacija. Popolna analogija s pariteto neskončnega zaporedja S.

Sedaj dodajmo drugo vrtljivo kolo, katerega rotacijska ravnina je vzporedna z rotacijsko ravnino prvega rotacijskega kolesa. Še vedno ne moremo z gotovostjo trditi, v katero smer se ta kolesa vrtijo, lahko pa absolutno povemo, ali se obe kolesi vrtita v isto smer ali v nasprotno smer. Primerjava dveh neskončnih zaporedij S in 1-S, sem s pomočjo matematike pokazal, da imajo ta zaporedja različne paritete in da je enačenje med njimi napaka. Osebno zaupam matematiki, ne zaupam matematikom))) Mimogrede, da bi popolnoma razumeli geometrijo transformacij neskončnih zaporedij, je treba uvesti koncept "simultanost". To bo treba narisati.

Sreda, 7. avgust 2019

Če zaključimo pogovor o tem, moramo upoštevati neskončno množico. Bistvo je, da koncept "neskončnosti" vpliva na matematike, kot udav vpliva na zajca. Drhteča groza neskončnosti jemlje matematikom zdrav razum. Tukaj je primer:

Prvotni vir se nahaja. Alfa pomeni realno število. Enako v zgornjih izrazih pomeni, da če neskončnosti dodate število ali neskončnost, se nič ne spremeni, rezultat bo ista neskončnost. Če vzamemo za primer neskončno množico naravnih števil, potem lahko obravnavane primere predstavimo v naslednji obliki:

Da bi jasno dokazali, da so imeli prav, so se matematiki domislili številnih različnih metod. Osebno na vse te metode gledam kot na šamane, ki plešejo s tamburami. V bistvu se vsi spuščajo v to, da so bodisi nekatere sobe nezasedene in se vselijo novi gostje ali pa nekatere obiskovalce vržejo ven na hodnik, da naredijo prostor za goste (zelo človeško). Svoj pogled na takšne odločitve sem predstavila v obliki domišljijske zgodbe o Blondinki. Na čem temelji moje sklepanje? Selitev neskončnega števila obiskovalcev traja neskončno veliko časa. Potem ko smo sprostili prvo sobo za gosta, bo eden od obiskovalcev vedno hodil po hodniku iz svoje sobe v naslednjo do konca časa. Seveda lahko faktor časa neumno prezremo, vendar bo to v kategoriji "noben zakon ni napisan za bedake." Vse je odvisno od tega, kaj počnemo: prilagajamo realnost matematičnim teorijam ali obratno.

Kaj je "neskončni hotel"? Neskončni hotel je hotel, ki ima vedno poljubno število prostih postelj, ne glede na to, koliko sob je zasedenih. Če so vse sobe v neskončnem hodniku za "obiskovalce" zasedene, pride še en neskončni hodnik s sobami za "goste". Takih koridorjev bo neskončno veliko. Poleg tega ima »neskončni hotel« neskončno število nadstropij v neskončnem številu zgradb na neskončnem številu planetov v neskončnem številu vesolj, ki jih je ustvarilo neskončno število bogov. Matematiki se ne morejo distancirati od banalnih vsakdanjih problemov: vedno je samo en Bog-Alah-Buda, samo en hotel, en sam hodnik. Matematiki torej poskušajo žonglirati s serijskimi številkami hotelskih sob in nas prepričati, da je mogoče »vtakniti nemogoče«.

Logiko svojega razmišljanja vam bom predstavil na primeru neskončne množice naravnih števil. Najprej morate odgovoriti na zelo preprosto vprašanje: koliko nizov naravnih števil obstaja - enega ali več? Na to vprašanje ni pravilnega odgovora, saj smo si številke izmislili sami; številke v naravi ne obstajajo. Da, narava je odlična pri štetju, vendar za to uporablja druga matematična orodja, ki jih ne poznamo. Kaj si misli Narava, vam povem drugič. Ker smo si izmislili števila, se bomo sami odločili, koliko nizov naravnih števil obstaja. Razmislimo o obeh možnostih, kot se za prave znanstvenike spodobi.

Prva možnost. »Nam bo dan« en sam niz naravnih števil, ki spokojno leži na polici. Ta komplet vzamemo s police. To je to, drugih naravnih števil ni več na polici in jih ni kam vzeti. Temu nizu ga ne moremo dodati, ker ga že imamo. Kaj pa, če res želite? Brez težav. Lahko vzamemo enega iz že vzetega kompleta in ga vrnemo na polico. Nato lahko enega vzamemo s police in ga dodamo tistemu, kar nam je ostalo. Posledično bomo spet dobili neskončno množico naravnih števil. Vse naše manipulacije lahko zapišete takole:

Dejanja sem zapisal v algebraičnem zapisu in v zapisu teorije množic s podrobnim seznamom elementov množice. Indeks pomeni, da imamo eno in edino množico naravnih števil. Izkaže se, da bo množica naravnih števil ostala nespremenjena le, če ji odštejemo eno in dodamo isto enoto.

Druga možnost. Na naši polici imamo veliko različnih neskončnih množic naravnih števil. Poudarjam - RAZLIČNI, kljub temu, da se praktično ne razlikujejo. Vzemimo enega od teh sklopov. Nato vzamemo eno iz druge množice naravnih števil in ga dodamo že vzeti množici. Seštejemo lahko celo dva niza naravnih števil. Tole dobimo:

Indeks "ena" in "dva" pomenita, da ti elementi pripadajo različnim nizom. Da, če neskončnemu nizu dodate enega, bo rezultat prav tako neskončen niz, vendar ne bo enak izvirnemu nizu. Če eni neskončni množici dodate še eno neskončno množico, je rezultat nova neskončna množica, sestavljena iz elementov prvih dveh množic.

Množica naravnih števil se uporablja za štetje na enak način kot ravnilo za merjenje. Zdaj pa si predstavljajte, da ste ravnilu dodali en centimeter. To bo druga linija, ki ne bo enaka prvotni.

Lahko sprejmete ali ne sprejmete moje sklepanje - to je vaša stvar. Toda če se kdaj srečate z matematičnimi težavami, pomislite, ali sledite poti napačnega razmišljanja, ki so ga utirale generacije matematikov. Navsezadnje študij matematike v nas najprej oblikuje stabilen stereotip razmišljanja in šele nato povečuje naše miselne sposobnosti (ali, nasprotno, odvzema svobodomiselnost).

pozg.ru

Nedelja, 4. avgust 2019

Končeval sem postscript k članku o in videl to čudovito besedilo na Wikipediji:

Beremo: "... bogata teoretična osnova babilonske matematike ni imela celostnega značaja in je bila zmanjšana na niz različnih tehnik, brez skupnega sistema in baze dokazov."

Vau! Kako pametni smo in kako dobro znamo videti pomanjkljivosti drugih. Ali težko gledamo na sodobno matematiko v istem kontekstu? Če rahlo parafraziram zgornji tekst, sem osebno dobil naslednje:

Bogata teoretična osnova sodobne matematike ni celovite narave in je reducirana na niz različnih razdelkov, brez skupnega sistema in baze dokazov.

Ne bom šel daleč, da bi potrdil svoje besede - ima jezik in konvencije, ki se razlikujejo od jezika in konvencij mnogih drugih vej matematike. Ista imena v različnih vejah matematike imajo lahko različne pomene. Celo vrsto publikacij želim posvetiti najbolj očitnim napakam sodobne matematike. Se vidiva kmalu.

Sobota, 3. avgust 2019

Kako razdeliti množico na podmnožice? Če želite to narediti, morate vnesti novo mersko enoto, ki je prisotna v nekaterih elementih izbranega niza. Poglejmo si primer.

Naj imamo veliko A ki ga sestavljajo štiri osebe. Ta množica je oblikovana na podlagi "ljudi". Elemente te množice označimo s črko A, bo indeks s številko označeval zaporedno številko vsake osebe v tem nizu. Uvedimo novo mersko enoto "spol" in jo označimo s črko b. Ker so spolne značilnosti lastne vsem ljudem, vsak element nabora pomnožimo A glede na spol b. Upoštevajte, da je naš nabor »ljudi« zdaj postal nabor »ljudi s spolnimi značilnostmi«. Po tem lahko spolne značilnosti razdelimo na moške bm in ženske bw spolne značilnosti. Zdaj lahko uporabimo matematični filter: izberemo eno od teh spolnih značilnosti, ne glede na to, katero - moškega ali ženskega. Če ga ima oseba, ga pomnožimo z ena, če tega znaka ni, ga pomnožimo z nič. In potem uporabljamo redno šolsko matematiko. Poglej kaj se je zgodilo.

Po množenju, redukciji in preurejanju smo na koncu dobili dve podmnožici: podmnožico moških Bm in podmnožica žensk Bw. Matematiki razmišljajo na približno enak način, ko uporabljajo teorijo množic v praksi. Vendar nam ne povedo podrobnosti, ampak nam dajo končni rezultat - "veliko ljudi sestavlja podskupina moških in podskupina žensk." Seveda se lahko vprašate: kako pravilno je bila matematika uporabljena v zgoraj opisanih transformacijah? Upam si zagotoviti, da je bilo v bistvu vse narejeno pravilno; dovolj je poznavanje matematičnih osnov aritmetike, Boolove algebre in drugih vej matematike. Kaj je to? O tem vam bom povedal kdaj drugič.

Kar zadeva nadnabore, lahko združite dva nabora v en nadnabor tako, da izberete mersko enoto, ki je prisotna v elementih teh dveh naborov.

Kot lahko vidite, je zaradi merskih enot in običajne matematike teorija množic ostanek preteklosti. Znak, da s teorijo množic ni vse v redu, je, da so si matematiki izmislili svoj jezik in zapis za teorijo množic. Matematiki so se obnašali kot nekoč šamani. Samo šamani vedo, kako »pravilno« uporabiti svoje »znanje«. Učijo nas tega »znanja«.

Na koncu vam želim pokazati, kako matematiki manipulirajo
Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes; znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.
Postopek vam bom pokazal na primeru. Izberemo "rdečo trdno snov v mozolju" - to je naša "celota". Hkrati vidimo, da so te stvari z lokom in so brez loka. Nato izberemo del "celote" in oblikujemo komplet "s pentljo". Tako se šamani prehranjujejo s povezovanjem svoje teorije nizov z realnostjo.

Zdaj pa naredimo majhen trik. Vzemimo "trdno z mozoljem z lokom" in združimo te "celine" glede na barvo, izberemo rdeče elemente. Dobili smo veliko "rdečega". Sedaj pa še zadnje vprašanje: ali sta nastala niza "s pentljo" in "rdeč" isti niz ali dva različna sklopa? Samo šamani poznajo odgovor. Natančneje, sami ne vedo ničesar, a kot pravijo, tako bo.

Ta preprost primer kaže, da je teorija množic popolnoma neuporabna, ko gre za realnost. Kaj je skrivnost? Oblikovali smo komplet "rdeča trdna z mozoljem in pentljo." Oblikovanje je potekalo v štirih različnih merskih enotah: barva (rdeča), trdnost (polna), hrapavost (mozoljasto), okras (z lokom). Samo nabor merskih enot nam omogoča, da realne objekte ustrezno opišemo v matematičnem jeziku. Takole izgleda.

Črka "a" z različnimi indeksi označuje različne merske enote. V oklepaju so označene merske enote, po katerih se v predhodni fazi loči "celota". Iz oklepaja je vzeta merska enota, s katero je nabor oblikovan. Zadnja vrstica prikazuje končni rezultat - element niza. Kot lahko vidite, če uporabljamo merske enote za oblikovanje niza, potem rezultat ni odvisen od vrstnega reda naših dejanj. In to je matematika in ne ples šamanov s tamburini. Šamani lahko "intuitivno" pridejo do enakega rezultata, pri čemer trdijo, da je "očiten", ker merske enote niso del njihovega "znanstvenega" arzenala.

Z uporabo merskih enot je zelo enostavno razdeliti en niz ali združiti več nizov v en nadnabor. Oglejmo si podrobneje algebro tega procesa.

Izrek o ploščini trikotnika

1. izrek

Površina trikotnika je enaka polovici produkta obeh stranic in sinusa kota med tema stranicama.

Dokaz.

Naj nam bo dan poljuben trikotnik $ABC$. Označimo dolžine strani tega trikotnika kot $BC=a$, $AC=b$. Vstavimo kartezični koordinatni sistem, tako da točka $C=(0,0)$, točka $B$ leži na desni polosi $Ox$, točka $A$ pa leži v prvem koordinatnem kvadrantu. Iz točke $A$ narišimo višino $h$ (slika 1).

Slika 1. Ponazoritev izreka 1

Višina $h$ je torej enaka ordinati točke $A$

Sinusni izrek

2. izrek

Stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov.

Dokaz.

Naj nam bo dan poljuben trikotnik $ABC$. Označimo dolžine strani tega trikotnika kot $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (slika 2).

Slika 2.

Dokažimo to

Po izreku 1 imamo

Če jih enačimo v parih, dobimo to

Kosinusni izrek

Izrek 3

Kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic trikotnika brez dvojnega zmnožka teh stranic s kosinusom kota med tema stranicama.

Dokaz.

Naj nam bo dan poljuben trikotnik $ABC$. Označimo dolžine njegovih stranic kot $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Vstavimo kartezični koordinatni sistem, tako da točka $A=(0,0)$, točka $B$ leži na pozitivni polosi $Ox$, točka $C$ pa leži v prvem koordinatnem kvadrantu (sl. 3).

Slika 3.

Dokažimo to

V tem koordinatnem sistemu dobimo to

Poiščite dolžino stranice $BC$ z uporabo formule za razdaljo med točkama

Primer problema z uporabo teh izrekov

Primer 1

Dokaži, da je premer kroga poljubnega trikotnika enak razmerju med katero koli stranjo trikotnika in sinusom kota, ki je nasproti tej strani.

rešitev.

Naj nam bo dan poljuben trikotnik $ABC$. $R$ je polmer opisanega kroga. Narišimo premer $BD$ (slika 4).

Površina trikotnika je enaka polovici produkta njegovih stranic in sinusa kota med njima.

Dokaz:

Vzemimo poljuben trikotnik ABC. Naj bo stranica BC = a, stranica CA = b in S ploščina tega trikotnika. To je treba dokazati S = (1/2)*a*b*sin(C).

Za začetek predstavimo pravokotni koordinatni sistem in postavimo izhodišče koordinat v točko C. Postavimo naš koordinatni sistem tako, da točka B leži na pozitivni smeri osi Cx, točka A pa ima pozitivno ordinato.

Če je vse opravljeno pravilno, bi morali dobiti naslednjo risbo.

Ploščino danega trikotnika lahko izračunate z naslednjo formulo: S = (1/2)*a*h, kjer je h višina trikotnika. V našem primeru je višina trikotnika h enaka ordinati točke A, to je h = b*sin(C).

Ob upoštevanju dobljenih rezultatov lahko formulo za površino trikotnika prepišemo na naslednji način: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Reševanje problema

Naloga 1. Poiščite ploščino trikotnika ABC, če a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, kot A = 60 stopinj b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, kot B = 45 stopinj c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, kot C = 48 stopinj.

Po zgoraj dokazanem izreku je ploščina S trikotnika ABC enaka:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Naredimo izračune:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Vrednost sinusa kota izračunamo na kalkulatorju ali uporabimo vrednosti iz tabele vrednosti trigonometričnih kotov. odgovor:

a) 12*√6 cm^2.

c) približno 36,41 cm^2.

Problem 2. Ploščina trikotnika ABC je 60 cm^2. Poiščite stranico AB, če je AC = 15 cm, kot A = 30˚.

Naj bo S ploščina trikotnika ABC. Po izreku o površini trikotnika imamo:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Nadomestimo vrednosti, ki jih imamo:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Od tu izrazimo dolžino stranice AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Če problem poda dolžini dveh strani trikotnika in kota med njima, potem lahko uporabite formulo za površino trikotnika skozi sinus.

Primer izračuna površine trikotnika s sinusom. Dane stranice so a = 3, b = 4 in kot γ = 30°. Sinus kota 30° je 0,5

Površina trikotnika bo 3 kvadratne metre. cm.

Površina bo enaka polovici kvadrata stranice, pomnoženi z ulomkom. Njegov števec je produkt sinusov sosednjih kotov, imenovalec pa sinus nasprotnega kota. Zdaj izračunamo površino z naslednjimi formulami:

Na primer, podan je trikotnik s stranico a=3 in kotoma γ=60°, β=60°. Izračunajte tretji kot:
Zamenjava podatkov v formulo
Ugotovimo, da je površina trikotnika 3,87 kvadratnih metrov. cm.

II. Območje trikotnika skozi kosinus

Če želite najti površino trikotnika, morate poznati dolžine vseh strani. Z uporabo kosinusnega izreka lahko najdete neznane strani in jih šele nato uporabite.
Po kosinusnem izreku je kvadrat neznane stranice trikotnika enak vsoti kvadratov preostalih strani minus dvakratni produkt teh stranic in kosinus kota med njima.

Iz izreka izpeljemo formule za iskanje dolžine neznane stranice:

Če veste, kako najti manjkajočo stran, z dvema stranicama in kotom med njima, lahko preprosto izračunate površino. Formula za površino trikotnika skozi kosinus pomaga hitro in enostavno najti rešitve za različne probleme.

Primer izračuna formule za površino trikotnika z uporabo kosinusa
Podan je trikotnik z znanimi stranicami a = 3, b = 4 in kotom γ = 45°. Najprej poiščimo manjkajočo stran z. Kosinus 45°=0,7. Da bi to naredili, nadomestimo podatke v enačbo, ki izhaja iz kosinusnega izreka.
Zdaj z uporabo formule najdemo