Definicije modulov. Kaj je modul števila v matematiki

Navodila

Če je modul predstavljen kot zvezna funkcija, je vrednost njegovega argumenta lahko pozitivna ali negativna: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modul je nič, modul katerega koli pozitivnega števila pa je . Če je argument negativen, se po odprtju oklepaja njegov znak spremeni iz minusa v plus. Iz tega sledi sklep, da so moduli nasprotij enaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksnega števila najdemo po formuli: |a| = √b ² + c ² in |a + b| ≤ |a| + |b|. Če argument vsebuje pozitivno število kot množitelj, ga lahko vzamemo iz oklepaja, na primer: |4*b| = 4*|b|.

Če je argument predstavljen kot kompleksno število, je zaradi udobja izračunov dovoljen vrstni red členov izraza v pravokotnih oklepajih: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, ker je (2-3) manjše od nič.

Argument, dvignjen na potenco, je hkrati pod predznakom korena istega reda – rešuje se z: √a² = |a| = ±a.

Če imate nalogo, v kateri pogoj za razširitev oklepajev modulov ni naveden, se jih ni treba znebiti - to bo končni rezultat. In če jih morate odpreti, morate navesti znak ±. Na primer, morate najti vrednost izraza √(2 * (4-b))². Njegova rešitev je videti takole: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Ker predznak izraza 4-b ni znan, ga moramo pustiti v oklepaju. Če dodate dodaten pogoj, na primer |4-b| >

Modul ničle je enak nič, modul katerega koli pozitivnega števila pa je enak samemu sebi. Če je argument negativen, se po odprtju oklepaja njegov znak spremeni iz minusa v plus. Iz tega sledi sklep, da so moduli nasprotnih števil enaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksnega števila najdemo po formuli: |a| = √b ² + c ² in |a + b| ≤ |a| + |b|. Če argument vsebuje pozitivno celo število kot faktor, ga lahko vzamemo iz oklepaja, na primer: |4*b| = 4*|b|.

Modul ne more biti negativen, zato se vsako negativno število pretvori v pozitivno: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Če je argument predstavljen v obliki kompleksnega števila, potem je za udobje izračunov dovoljeno spremeniti vrstni red členov izraza v pravokotnih oklepajih: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, ker je (2-3) manjše od nič.

Modul števil to število samo imenujemo, če je nenegativno, ali isto število z nasprotnim predznakom, če je negativno.

Na primer, modul števila 5 je 5 in modul števila –5 je prav tako 5.

To pomeni, da modul števila razumemo kot absolutno vrednost, absolutno vrednost tega števila, ne da bi upoštevali njegov znak.

Označeno kot sledi: |5|, | X|, |A| itd.

Pravilo:

Pojasnilo:

|5| = 5
Takole se glasi: modul števila 5 je 5.

|–5| = –(–5) = 5
Glasi se takole: modul števila –5 je 5.

|0| = 0
Takole se glasi: modul nič je nič.

Lastnosti modula:

1) Modul števila je nenegativno število:

|A| ≥ 0

2) Modula nasprotnih števil sta enaka:

|A| = |–A|

3) Kvadrat modula števila je enak kvadratu tega števila:

|A| 2 = a 2

4) Modul produkta števil je enak produktu modulov teh števil:

|A · b| = |A| · | b|

6) Modul kvocientnega števila je enak razmerju modulov teh števil:

|A : b| = |A| : |b|

7) Modul vsote števil je manjši ali enak vsoti njihovih modulov:

|A + b| ≤ |A| + |b|

8) Modul razlike med števili je manjši ali enak vsoti njihovih modulov:

|A – b| ≤ |A| + |b|

9) Modul vsote/razlike števil je večji ali enak modulu razlike njihovih modulov:

|A ± b| ≥ ||A| – |b||

10) Konstanten pozitivni množitelj lahko vzamemo iz znaka modula:

|m · a| = m · | A|, m >0

11) Moč števila lahko vzamemo iz znaka modula:

|A k | = | A| k, če k obstaja

12) Če | A| = |b|, potem a = ± b

Geometrijski pomen modula.

Modul števila je razdalja od nič do tega števila.

Na primer, ponovno vzemimo razdaljo od 0 do 5 kot od 0 do –5 (slika 1). In ko je za nas pomembno, da poznamo samo dolžino segmenta, potem znak nima le pomena, ampak tudi pomen. Vendar to ne drži povsem: razdaljo merimo samo s pozitivnimi števili – ali nenegativnimi števili. Naj bo cena delitve naše lestvice 1 cm, potem je dolžina odseka od nič do 5 5 cm, od nič do –5 pa prav tako 5 cm.

V praksi se razdalja pogosto meri ne samo od nič - referenčna točka je lahko poljubna številka (slika 2). A to ne spremeni bistva. Zapis oblike |a – b| izraža razdaljo med točkami A in b na številski premici.

Primer 1. Reši enačbo | X – 1| = 3.

rešitev

Pomen enačbe je, da razdalja med točkama X in 1 je enako 3 (slika 2). Zato od točke 1 štejemo tri razdelke na levo in tri razdelke na desno - in jasno vidimo obe vrednosti X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Lahko ga izračunamo.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

odgovor: X 1 = –2; X 2 = 4.

Primer 2. Najdi izrazni modul:

rešitev

Najprej ugotovimo, ali je izraz pozitiven ali negativen. Da bi to naredili, transformiramo izraz tako, da je sestavljen iz homogenih števil. Ne iščimo korena iz 5 - to je precej težko. Naredimo preprosteje: dvignimo 3 in 10 na koren. Nato primerjajmo velikost števil, ki sestavljajo razliko:

3 = √9. Zato je 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Vidimo, da je prvo število manjše od drugega. To pomeni, da je izraz negativen, kar pomeni, da je njegov odgovor manjši od nič:

3√5 – 10 < 0.

Toda po pravilu je modul negativnega števila enako število z nasprotnim predznakom. Imamo negativen izraz. Zato je treba njegov znak spremeniti v nasprotni. Nasprotni izraz za 3√5 – 10 je –(3√5 – 10). Odprimo oklepaje v njem in dobimo odgovor:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

odgovor

Modul je ena tistih stvari, za katere se zdi, da so že vsi slišali, a jih v resnici nihče zares ne razume. Zato bo danes velika lekcija, namenjena reševanju enačb z moduli.

Takoj bom rekel: lekcija ne bo težka. In na splošno so moduli razmeroma preprosta tema. »Ja, seveda, ni zapleteno! To mi gre na živce!« - bo rekel marsikateri študent, a vsi ti možganski zlomi nastanejo zaradi dejstva, da večina ljudi nima znanja v glavi, ampak nekakšno sranje. In cilj te lekcije je spremeniti sranje v znanje :).

Malo teorije

Torej, gremo. Začnimo z najpomembnejšim: kaj je modul? Naj vas spomnim, da je modul števila preprosto isto število, vendar brez znaka minus. To je na primer $\left| -5 \desno|=5$. Ali $\levo| -129,5 \desno|=129,5 $.

Je tako preprosto? Da, preprosto. Kolikšna je potem absolutna vrednost pozitivnega števila? Tu je še preprosteje: modul pozitivnega števila je enak samemu številu: $\left| 5 \desno|=5$; $\levo| 129,5 \right|=129,5 $ itd.

\[\levo| -a \desno|=\levo| a\desno|\]

Še eno pomembno dejstvo: modul ni nikoli negativen. Ne glede na število, ki ga vzamemo - naj bo pozitivno ali negativno - se njegov modul vedno izkaže za pozitiven (ali v skrajnem primeru nič). Zato se modul pogosto imenuje absolutna vrednost števila.

Poleg tega, če združimo definicijo modula za pozitivno in negativno število, dobimo globalno definicijo modula za vsa števila. Namreč: modul števila je enak številu samemu, če je število pozitivno (ali nič), oziroma enak nasprotnemu številu, če je število negativno. To lahko zapišete kot formulo:

Obstaja tudi modul nič, vendar je vedno enak nič. Poleg tega je ničla edina številka, ki nima nasprotja.

Torej, če upoštevamo funkcijo $y=\left| x \right|$ in poskusite narisati njegov graf, dobili boste nekaj takega:

Graf modula in primer reševanja enačbe

Iz te slike je takoj jasno, da $\left| -m \desno|=\levo| m \right|$ in graf modula nikoli ne pade pod os x. Vendar to še ni vse: rdeča črta označuje premico $y=a$, ki nam pri pozitivnem $a$ daje dva korena hkrati: $((x)_(1))$ in $((x) _(2)) $, a o tem bomo govorili kasneje :)

Poleg čisto algebraične definicije obstaja še geometrijska. Recimo, da sta na številski premici dve točki: $((x)_(1))$ in $((x)_(2))$. V tem primeru je izraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je preprosto razdalja med podanimi točkami. Ali, če želite, dolžina odseka, ki povezuje te točke:

Modul je razdalja med točkama na številski premici

Ta definicija tudi pomeni, da je modul vedno nenegativen. Ampak dovolj definicij in teorije - pojdimo k pravim enačbam :)

Osnovna formula

V redu, uredili smo definicijo. Vendar to ni olajšalo stvari. Kako rešiti enačbe, ki vsebujejo prav ta modul?

Mirno, samo mirno. Začnimo z najpreprostejšimi stvarmi. Razmislite o nečem takem:

\[\levo| x\desno|=3\]

Torej je modul $x$ 3. Čemu bi lahko bil enak $x$? No, sodeč po definiciji smo kar zadovoljni z $x=3$. res:

\[\levo| 3\desno|=3\]

Ali obstajajo druge številke? Zdi se, da Cap namiguje, da obstaja. Na primer, $x=-3$ je tudi $\left| -3 \desno|=3$, tj. je zahtevana enakost izpolnjena.

Morda bomo torej, če iščemo in razmišljamo, našli več številk? A priznajmo si: številk ni več. Enačba $\levo| x \right|=3$ ima samo dva korena: $x=3$ in $x=-3$.

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Pod znakom modula namesto spremenljivke $x$ naj visi funkcija $f\left(x \right)$, namesto trojčka na desni pa postavimo poljubno število $a$. Dobimo enačbo:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=a\]

Torej, kako lahko to rešimo? Naj vas spomnim: $f\left(x \right)$ je poljubna funkcija, $a$ je poljubno število. Tisti. Karkoli! Na primer:

\[\levo| 2x+1 \desno|=5\]

\[\levo| 10x-5 \desno|=-65\]

Bodimo pozorni na drugo enačbo. O njem lahko takoj rečete: nima korenin. Zakaj? Vse je pravilno: ker zahteva, da je modul enak negativnemu številu, kar se nikoli ne zgodi, saj že vemo, da je modul vedno pozitivno število ali v skrajnem primeru nič.

Toda s prvo enačbo je vse bolj zabavno. Obstajata dve možnosti: ali je pod znakom modula pozitiven izraz in nato $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ ali je ta izraz še vedno negativen in nato $\left| 2x+1 \desno|=-\levo(2x+1 \desno)=-2x-1$. V prvem primeru bo naša enačba prepisana na naslednji način:

\[\levo| 2x+1 \desno|=5\Desna puščica 2x+1=5\]

In nenadoma se izkaže, da je submodularni izraz $2x+1$ res pozitiven - enak je številu 5. To je lahko varno rešimo to enačbo - dobljeni koren bo del odgovora:

Tisti posebej nezaupljivi lahko poskusite najdeni koren nadomestiti v prvotno enačbo in se prepričati, da je pod modulom res pozitivno število.

Zdaj pa poglejmo primer negativnega submodularnega izraza:

\[\levo\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Desna puščica 2x+1=-5\]

Ups! Spet je vse jasno: predpostavili smo, da je $2x+1 \lt 0$, in kot rezultat smo dobili, da je $2x+1=-5$ - res, ta izraz je manjši od nič. Rešimo nastalo enačbo, medtem ko že zagotovo vemo, da nam bo najdeni koren ustrezal:

Skupno smo spet prejeli dva odgovora: $x=2$ in $x=3$. Da, količina izračunov se je izkazala za nekoliko večjo kot v zelo preprosti enačbi $\left| x \right|=3$, vendar se ni bistveno spremenilo nič. Torej morda obstaja kakšen univerzalni algoritem?

Da, takšen algoritem obstaja. In zdaj ga bomo analizirali.

Znebiti se znaka modula

Naj nam bo dana enačba $\left| f\left(x \right) \right|=a$ in $a\ge 0$ (sicer, kot že vemo, ni korenin). Nato se lahko znebite znaka modula z naslednjim pravilom:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=a\Desna puščica f\levo(x \desno)=\pm a\]

Tako se naša enačba z modulom razdeli na dve, vendar brez modula. To je vsa tehnologija! Poskusimo rešiti nekaj enačb. Začnimo s tem

\[\levo| 5x+4 \desno|=10\Desna puščica 5x+4=\pm 10\]

Upoštevajmo ločeno, kdaj je na desni deset plus, posebej pa, kdaj je minus. Imamo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\desna puščica 5x=-14\desna puščica x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Dobili smo dva korena: $x=1,2$ in $x=-2,8$. Celotna rešitev je zajela dobesedno dve vrstici.

Ok, brez dvoma, poglejmo nekaj bolj resnega:

\[\levo| 7-5x\desno|=13\]

Spet odpremo modul s plusom in minusom:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Desna puščica -5x=-20\Desna puščica x=4. \\\konec(poravnaj)\]

Še enkrat nekaj vrstic - in odgovor je pripravljen! Kot sem rekel, pri modulih ni nič zapletenega. Zapomniti si morate le nekaj pravil. Zato gremo naprej in začnemo z resnično bolj kompleksnimi nalogami.

Primer spremenljivke na desni strani

Zdaj razmislite o tej enačbi:

\[\levo| 3x-2 \desno|=2x\]

Ta enačba se bistveno razlikuje od vseh prejšnjih. kako In dejstvo, da je desno od enačaja izraz $2x$ - in ne moremo vnaprej vedeti, ali je pozitiven ali negativen.

Kaj storiti v tem primeru? Najprej moramo to razumeti enkrat za vselej če se desna stran enačbe izkaže za negativno, potem enačba ne bo imela korenin- že vemo, da modul ne more biti enak negativnemu številu.

In drugič, če je desni del še vedno pozitiven (ali enak nič), potem lahko ravnate popolnoma enako kot prej: preprosto odprite modul ločeno z znakom plus in ločeno z znakom minus.

Tako oblikujemo pravilo za poljubni funkciji $f\left(x \right)$ in $g\left(x \right)$ :

\[\levo| f\left(x \desno) \right|=g\left(x \desno)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \desno)=\pm g\left(x \desno) ), \\& g\levo(x \desno)\ge 0. \\\konec(poravnaj) \desno.\]

V povezavi z našo enačbo dobimo:

\[\levo| 3x-2 \right|=2x\desna puščica \levo\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

No, bomo že nekako kos zahtevi $2x\ge 0$. Na koncu lahko neumno zamenjamo korene, ki jih dobimo iz prve enačbe in preverimo, ali neenakost drži ali ne.

Torej rešimo samo enačbo:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Desna puščica 3x=0\Desna puščica x=0. \\\konec(poravnaj)\]

No, kateri od teh dveh korenov izpolnjuje zahtevo $2x\ge 0$? Da oboje! Zato bosta odgovor dve števili: $x=(4)/(3)\;$ in $x=0$. To je rešitev :)

Sumim, da se nekateri študenti že dolgočasijo? No, poglejmo še bolj zapleteno enačbo:

\[\levo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\]

Čeprav je videti zlobno, je v resnici še vedno ista enačba oblike "modul je enako funkciji":

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=g\levo(x \desno)\]

In rešuje se na povsem enak način:

\[\levo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \levo(x-((x)^(3)) \desno), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Z neenakostjo se bomo ukvarjali kasneje - nekako je preveč zlobna (pravzaprav je preprosta, a je ne bomo rešili). Zaenkrat se je bolje ukvarjati z nastalimi enačbami. Razmislimo o prvem primeru - to je, ko je modul razširjen z znakom plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

No, ni pametno, da morate zbrati vse z leve, prinesti podobne in videti, kaj se zgodi. In to se zgodi:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\konec(poravnaj)\]

Skupni faktor $((x)^(2))$ vzamemo iz oklepajev in dobimo zelo preprosto enačbo:

\[((x)^(2))\levo(2x-3 \desno)=0\desna puščica \levo[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\konec(poravnaj) \desno.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Pri tem smo izkoristili pomembno lastnost zmnožka, zaradi katere smo faktorizirali prvotni polinom: zmnožek je enak nič, kadar je vsaj eden od faktorjev enak nič.

Sedaj pa na popolnoma enak način obravnavajmo drugo enačbo, ki jo dobimo z razširitvijo modula z znakom minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\levo(x-((x)^(3)) \desno); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\levo(-3x+2 \desno)=0. \\\konec(poravnaj)\]

Spet ista stvar: produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič. Imamo:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \desno.\]

No, dobili smo tri korene: $x=0$, $x=1,5$ in $x=(2)/(3)\;$. No, kaj od tega niza bo šlo v končni odgovor? Če želite to narediti, ne pozabite, da imamo dodatno omejitev v obliki neenakosti:

Kako upoštevati to zahtevo? Samo nadomestimo najdene korene in preverimo, ali neenakost velja za te $x$ ali ne. Imamo:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\desna puščica x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\desna puščica x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\konec(poravnaj)\]

Tako nam koren $x=1,5$ ne ustreza. In kot odgovor bosta samo dve korenini:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kot vidite, tudi v tem primeru ni bilo nič zapletenega - enačbe z moduli se vedno rešujejo z algoritmom. Samo dobro morate razumeti polinome in neenakosti. Zato prehajamo na bolj zapletene naloge - ne bo že en, ampak dva modula.

Enačbe z dvema moduloma

Do sedaj smo študirali samo najpreprostejše enačbe - bil je en modul in nekaj drugega. To »še nekaj« smo poslali v drug del neenačbe, stran od modula, da bi se na koncu vse zreduciralo na enačbo oblike $\left| f\left(x \desno) \right|=g\left(x \desno)$ ali še bolj preprosto $\left| f\levo(x \desno) \desno|=a$.

Ampak vrtca je konec - čas je, da razmislimo o čem resnejšem. Začnimo z enačbami, kot je ta:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|\]

To je enačba oblike "modul je enak modulu". Bistveno pomembna točka je odsotnost drugih izrazov in dejavnikov: le en modul na levi, še en modul na desni - in nič več.

Nekdo bo zdaj mislil, da so takšne enačbe težje rešljive kot to, kar smo preučevali do sedaj. Ampak ne: te enačbe je še lažje rešiti. Tukaj je formula:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|\Desna puščica f\levo(x \desno)=\pm g\levo(x \desno)\]

Vse! Submodularne izraze enostavno enačimo tako, da pred enega od njih postavimo znak plus ali minus. In potem rešimo nastali dve enačbi - in korenine so pripravljene! Brez dodatnih omejitev, brez neenakosti itd. Vse je zelo preprosto.

Poskusimo rešiti ta problem:

\[\levo| 2x+3 \desno|=\levo| 2x-7 \desno|\]

Osnovno Watson! Razširitev modulov:

\[\levo| 2x+3 \desno|=\levo| 2x-7 \desno|\Desna puščica 2x+3=\pm \levo(2x-7 \desno)\]

Razmislimo o vsakem primeru posebej:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\levo(2x-7 \desno)\Desna puščica 2x+3=-2x+7. \\\konec(poravnaj)\]

Prva enačba nima korenin. Ker kdaj je $3=-7$? Pri katerih vrednostih $x$? »Kaj za vraga je $x$? Ste nakamnjeni? Tam sploh ni $x$,« pravite. In imeli boste prav. Dobili smo enakost, ki ni odvisna od spremenljivke $x$, hkrati pa sama enakost ni pravilna. Zato ni korenin. :)

Pri drugi enačbi je vse malo bolj zanimivo, a tudi zelo, zelo preprosto:

Kot lahko vidite, je bilo vse rešeno dobesedno v nekaj vrsticah - od linearne enačbe nismo pričakovali ničesar drugega :).

Posledično je končni odgovor: $x=1$.

Torej, kako? Težko? Seveda ne. Poskusimo nekaj drugega:

\[\levo| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\]

Spet imamo enačbo v obliki $\left| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|$. Zato ga takoj prepišemo in razkrijemo znak modula:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \levo(x-1 \desno)\]

Morda bo zdaj kdo vprašal: »Hej, kakšne neumnosti? Zakaj se »plus-minus« pojavi na desnem izrazu in ne na levem?« Pomiri se, zdaj bom vse razložil. Pravzaprav bi morali našo enačbo prepisati na naslednji način:

Nato morate odpreti oklepaje, premakniti vse člene na eno stran znaka enakovrednosti (ker bo enačba v obeh primerih očitno kvadratna) in nato poiskati korenine. Vendar morate priznati: ko se "plus-minus" pojavi pred tremi členi (še posebej, če je eden od teh izrazov kvadratni izraz), izgleda nekako bolj zapleteno kot situacija, ko se "plus-minus" pojavi pred samo dvema izrazoma.

Toda nič nam ne preprečuje, da prvotno enačbo prepišemo takole:

Kaj se je zgodilo? Nič posebnega: le levo in desno stran so zamenjali. Malenkost, ki nam bo navsezadnje nekoliko olajšala življenje.

Na splošno rešimo to enačbo, pri čemer upoštevamo možnosti s plusom in minusom:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\levo(x-1 \desno)\Desna puščica ((x)^(2))-2x+1=0. \\\konec(poravnaj)\]

Prva enačba ima korena $x=3$ in $x=1$. Drugi je na splošno natančen kvadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\levo(x-1 \desno))^(2))\]

Zato ima samo en koren: $x=1$. Toda to korenino smo pridobili že prej. Tako bosta v končni odgovor vključeni samo dve številki:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misija končana! Lahko vzameš pito s police in jo poješ. Dva sta, tvoja je srednja :)

Pomembna opomba. Prisotnost enakih korenin za različne različice razširitve modula pomeni, da so prvotni polinomi faktorizirani in med temi faktorji bo zagotovo skupen. res:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|; \\& \levo| x-1 \desno|=\levo| \levo(x-1 \desno)\levo(x-2 \desno) \desno|. \\\konec(poravnaj)\]

Ena od lastnosti modula: $\left| a\cdot b \desno|=\levo| a \desno|\cdot \levo| b \right|$ (tj. modul produkta je enak produktu modulov), zato lahko prvotno enačbo prepišemo takole:

\[\levo| x-1 \desno|=\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|\]

Kot lahko vidite, imamo res skupni faktor. Zdaj, če zberete vse module na eni strani, lahko ta dejavnik odstranite iz oklepaja:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|; \\& \levo| x-1 \desno|-\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|=0; \\& \levo| x-1 \desno|\cdot \levo(1-\levo| x-2 \desno| \desno)=0. \\\konec(poravnaj)\]

No, zdaj pa si zapomnite, da je produkt enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič:

\[\levo[ \begin(align)& \left| x-1 \desno|=0, \\& \levo| x-2 \desno|=1. \\\end(align) \desno.\]

Tako se je prvotna enačba z dvema moduloma zreducirala na dve najpreprostejši enačbi, o katerih smo govorili na samem začetku lekcije. Take enačbe je mogoče rešiti dobesedno v nekaj vrsticah :)

Ta pripomba se morda zdi po nepotrebnem zapletena in v praksi neuporabna. Toda v resnici lahko naletite na veliko bolj zapletene težave od tistih, ki jih obravnavamo danes. V njih lahko module kombiniramo s polinomi, aritmetičnimi koreni, logaritmi itd. In v takšnih situacijah je zmožnost znižanja splošne stopnje enačbe tako, da nekaj vzamemo iz oklepajev, lahko zelo, zelo koristna.

Zdaj pa bi rad pogledal še eno enačbo, ki se na prvi pogled morda zdi nora. Veliko študentov se ob tem zatakne, tudi tisti, ki mislijo, da dobro razumejo module.

Vendar je to enačbo še lažje rešiti kot to, kar smo si ogledali prej. In če razumete zakaj, boste dobili še en trik za hitro reševanje enačb z moduli.

Enačba je torej:

\[\levo| x-((x)^(3)) \desno|+\levo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0\]

Ne, to ni tipkarska napaka: to je plus med moduli. In ugotoviti moramo, pri katerem $x$ je vsota dveh modulov enaka nič :).

V čem je sploh problem? Toda težava je v tem, da je vsak modul pozitivno število ali v skrajnem primeru nič. Kaj se zgodi, če seštejete dve pozitivni števili? Očitno spet pozitivna številka:

\[\začetek(poravnaj)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Zadnja vrstica vam lahko da idejo: edini čas, ko je vsota modulov nič, je, če je vsak modul enak nič:

In kdaj je modul enak nič? Samo v enem primeru - ko je submodularni izraz enak nič:

\[((x)^(2))+x-2=0\Desna puščica \levo(x+2 \desno)\levo(x-1 \desno)=0\Desna puščica \levo[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \desno.\]

Tako imamo tri točke, na katerih se prvi modul ponastavi na nič: 0, 1 in −1; kot tudi dve točki, kjer se drugi modul ponastavi na nič: −2 in 1. Vendar pa moramo oba modula ponastaviti na nič hkrati, zato moramo med najdenimi številkami izbrati tista, ki so vključena v oba sklopa. Očitno obstaja samo eno takšno število: $x=1$ - to bo končni odgovor.

Metoda cepitve

Pa smo že obdelali kup problemov in se naučili veliko tehnik. Misliš, da je to vse? Vendar ne! Zdaj si bomo ogledali končno tehniko - in hkrati najpomembnejšo. Govorili bomo o enačbah cepitve z modulom. O čem se bomo sploh pogovarjali? Vrnimo se malo nazaj in poglejmo eno preprosto enačbo. Na primer to:

\[\levo| 3x-5 \desno|=5-3x\]

Takšno enačbo načeloma že znamo rešiti, saj gre za standardno konstrukcijo oblike $\left| f\levo(x \desno) \desno|=g\levo(x \desno)$. Toda poskusimo pogledati to enačbo z nekoliko drugačnega zornega kota. Natančneje, upoštevajte izraz pod znakom modula. Naj vas spomnim, da je modul katerega koli števila lahko enak samemu številu ali pa je nasproten temu številu:

\[\levo| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Pravzaprav je v tej dvoumnosti ves problem: ker se število pod modulom spreminja (odvisno je od spremenljivke), nam ni jasno, ali je pozitivno ali negativno.

Kaj pa, če na začetku zahtevate, da je to število pozitivno? Na primer, zahtevamo, da je $3x-5 \gt 0$ - v tem primeru bomo zagotovo dobili pozitivno število pod znakom modula in tega prav tega modula se lahko popolnoma znebimo:

Tako se bo naša enačba spremenila v linearno, ki jo je mogoče zlahka rešiti:

Res je, vse te misli so smiselne samo pod pogojem $3x-5 \gt 0$ - to zahtevo smo uvedli sami, da bi nedvoumno razkrili modul. Zato najdeno $x=\frac(5)(3)$ nadomestimo s tem pogojem in preverimo:

Izkazalo se je, da za navedeno vrednost $x$ naša zahteva ni izpolnjena, ker izkazalo se je, da je izraz enak nič in potrebujemo, da je strogo večji od nič. žalostno :(

Ampak je v redu! Navsezadnje obstaja še ena možnost $3x-5 \lt 0$. Še več: obstaja tudi primer $3x-5=0$ - tudi to je treba upoštevati, sicer bo rešitev nepopolna. Torej, razmislite o primeru $3x-5 \lt 0$:

Očitno se bo modul odprl z znakom minus. Toda potem se pojavi nenavadna situacija: tako na levi kot na desni v prvotni enačbi bo štrlel isti izraz:

Zanima me, pri kolikšnih $x$ bo izraz $5-3x$ enak izrazu $5-3x$? Tudi kapitan Očitnost bi se ob takih enačbah zadušil v slini, a vemo: ta enačba je identiteta, tj. velja za katero koli vrednost spremenljivke!

To pomeni, da nam bo vsak $x$ ustrezal. Vendar imamo omejitev:

Z drugimi besedami, odgovor ne bo ena sama številka, ampak cel interval:

Končno je treba upoštevati še en primer: $3x-5=0$. Tukaj je vse preprosto: pod modulom bo nič, modul nič pa je tudi enak nič (to izhaja neposredno iz definicije):

Toda potem izvirna enačba $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bo prepisano na naslednji način:

Ta koren smo pridobili že zgoraj, ko smo obravnavali primer $3x-5 \gt 0$. Poleg tega je ta koren rešitev enačbe $3x-5=0$ - to je omejitev, ki smo jo sami uvedli za ponastavitev modula :).

Tako se bomo poleg intervala zadovoljili tudi s številom, ki leži čisto na koncu tega intervala:

Združevanje korenov v modulo enačbah

Skupni končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Ni prav pogosto videti takšnega sranja v odgovoru na precej preprosto (v bistvu linearno) enačbo z modulom, res? No, navadite se: težava modula je v tem, da se lahko odgovori v takih enačbah izkažejo za popolnoma nepredvidljive.

Nekaj drugega je veliko bolj pomembno: pravkar smo analizirali univerzalni algoritem za reševanje enačbe z modulom! In ta algoritem je sestavljen iz naslednjih korakov:

Vsak modul v enačbi izenačite z nič. Dobimo več enačb;
Rešite vse te enačbe in označite korenine na številski premici. Posledično bo ravna črta razdeljena na več intervalov, v vsakem od katerih so vsi moduli edinstveno razkriti;
Rešite prvotno enačbo za vsak interval in združite svoje odgovore.

To je vse! Ostaja samo eno vprašanje: kaj storiti s koreninami, pridobljenimi v koraku 1? Recimo, da imamo dva korena: $x=1$ in $x=5$. Številsko premico bodo razdelili na 3 dele:

Razdelitev številske premice na intervale s pomočjo točk

Kakšni so torej intervali? Jasno je, da so trije:

Skrajno levo: $x \lt 1$ — sama enota ni vključena v interval;
Središče: $1\le x \lt 5$ - tukaj je ena vključena v interval, pet pa ni vključenih;
Skrajno desno: $x\ge 5$ - pet je vključenih samo tukaj!

Mislim, da že razumete vzorec. Vsak interval vključuje levi konec in ne vključuje desnega.

Na prvi pogled se lahko tak vnos zdi neprijeten, nelogičen in na splošno nekakšen nor. Toda verjemite mi: po malo vaje boste ugotovili, da je ta pristop najbolj zanesljiv in ne moti nedvoumnega odpiranja modulov. Bolje je uporabiti takšno shemo, kot da vsakič razmišljate: dajte levi / desni konec trenutnemu intervalu ali ga "vrzite" v naslednjega.

S tem se lekcija zaključi. Prenesite naloge za samostojno reševanje, vadite, primerjajte z odgovori - in se vidimo na naslednji lekciji, ki bo posvečena neenačbam z moduli :).

Pod znakom modula najprej določimo znak izraza, nato pa modul razširimo:

če je vrednost izraza večja od nič, jo preprosto odstranimo izpod znaka modula,
če je izraz manjši od nič, ga odstranimo izpod znaka modula in spremenimo znak, kot smo storili prej v primerih.

No, bomo poskusili? Ocenimo:

(Pozabil, ponovi.)

Če da, kakšen znak ima? No, seveda!

In zato razširimo znak modula tako, da spremenimo znak izraza:

Razumem? Potem poskusite sami:

odgovori:

Katere druge lastnosti ima modul?

Če moramo pomnožiti števila znotraj znaka modula, lahko enostavno pomnožimo module teh števil!!!

V matematičnem smislu, Modul zmnožka števil je enak zmnožku modulov teh števil.

Na primer:

Kaj pa, če moramo dve števili (izraza) razdeliti pod znak modula?

Ja, enako kot pri množenju! Razčlenimo ga na dve ločeni števili (izraza) pod znakom modula:

pod pogojem, da (ker ne morete deliti z nič).

Vredno si je zapomniti še eno lastnost modula:

Modul vsote števil je vedno manjši ali enak vsoti modulov teh števil:

Zakaj? Vse je zelo preprosto!

Kot se spomnimo, je modul vedno pozitiven. Toda pod znakom modula je lahko poljubno število: tako pozitivno kot negativno. Predpostavimo, da sta številki in obe pozitivni. Potem bo levi izraz enak desnemu izrazu.

Poglejmo primer:

Če je pod znakom modula eno število negativno, drugo pa pozitivno, levi izraz bo vedno manjši od desnega:

S to lastnostjo se zdi vse jasno, poglejmo še nekaj uporabnih lastnosti modula.

Kaj pa, če imamo ta izraz:

Kaj lahko naredimo s tem izrazom? Vrednost x nam ni znana, vendar že vemo, kaj, kar pomeni.

Število je večje od nič, kar pomeni, da lahko preprosto napišete:

Tako pridemo do druge lastnosti, ki jo na splošno lahko predstavimo na naslednji način:

Čemu je enak ta izraz:

Torej moramo definirati znak pod modulom. Ali je tukaj treba definirati znak?

Seveda ne, če se spomnite, da je vsako število na kvadrat vedno večje od nič! Če se ne spomniš si oglej temo. Torej, kaj se zgodi? Evo kaj:

Super, kajne? Zelo priročno. In zdaj konkreten primer za okrepitev:

No, zakaj dvomi? Ukrepajmo pogumno!

Ste vse ugotovili? Potem nadaljujte in vadite s primeri!

1. Poišči vrednost izraza if.

2. Katera števila imajo enak modul?

3. Poiščite pomen izrazov:

Če še ni vse jasno in obstajajo težave pri rešitvah, potem ugotovimo:

1. rešitev:

Torej, zamenjajmo vrednosti in v izraz

Rešitev 2:

Kot se spomnimo, so nasprotna števila enaka po modulu. To pomeni, da je vrednost modula enaka dvema številkama: in.

Rešitev 3:

A)
b)
V)
G)

Ste vse ujeli? Potem je čas, da se premaknete na nekaj bolj zapletenega!

Poskusimo poenostaviti izraz

rešitev:

Torej, spomnimo se, da vrednost modula ne more biti manjša od nič. Če ima znak modula pozitivno število, potem lahko znak preprosto zavržemo: modul števila bo enak temu številu.

Če pa je pod znakom modula negativno število, potem je vrednost modula enaka nasprotni številki (to je številki, vzeti z znakom "-").

Da bi našli modul katerega koli izraza, morate najprej ugotoviti, ali ima pozitivno ali negativno vrednost.

Izkazalo se je, da je vrednost prvega izraza pod modulom.

Zato je izraz pod znakom modula negativen. Drugi izraz pod znakom modula je vedno pozitiven, saj seštevamo dve pozitivni števili.

Torej je vrednost prvega izraza pod znakom modula negativna, drugi pa pozitiven:

To pomeni, da moramo pri razširitvi znaka modula prvega izraza ta izraz vzeti z znakom "-". Všečkaj to:

V drugem primeru znak modula preprosto zavržemo:

Poenostavimo ta izraz v celoti:

Modul števila in njegove lastnosti (stroge definicije in dokazi)

definicija:

Modul (absolutna vrednost) števila je samo število, če, in število, če:

Na primer:

primer:

Poenostavite izraz.

rešitev:

Osnovne lastnosti modula

Za vse:

primer:

Dokažite lastnost št. 5.

Dokaz:

Predpostavimo, da obstajajo takšni

Kvadrirajmo levo in desno stran neenakosti (to lahko naredimo, saj sta obe strani neenakosti vedno nenegativni):

in to je v nasprotju z definicijo modula.

Posledično taki ljudje ne obstajajo, kar pomeni, da neenakost velja za vse

Primeri neodvisnih rešitev:

1) Dokaži lastnost št. 6.

2) Poenostavite izraz.

odgovori:

1) Uporabimo lastnost št. 3: , in ker, potem

Za poenostavitev morate module razširiti. In če želite razširiti module, morate ugotoviti, ali so izrazi pod modulom pozitivni ali negativni?

a. Primerjajmo številki in in:

b. Zdaj pa primerjajmo:

Seštejemo vrednosti modulov:

Absolutna vrednost števila. Na kratko o glavnem.

Modul (absolutna vrednost) števila je samo število, če, in število, če:

Lastnosti modula:

Modul števila je nenegativno število: ;
Moduli nasprotnih števil so enaki: ;
Modul produkta dveh (ali več) števil je enak produktu njihovih modulov: ;
Modul količnika dveh števil je enak količniku njunih modulov: ;
Modul vsote števil je vedno manjši ali enak vsoti modulov teh števil: ;
Konstanten pozitivni množitelj lahko vzamemo iz znaka modula: at;

Modul števila je nov koncept v matematiki. Oglejmo si podrobneje, kaj je številski modul in kako delati z njim?

Poglejmo primer:

Od hiše smo šli v trgovino. Prehodili smo 300 m, matematično lahko ta izraz zapišemo kot +300, pomen števila 300 iz znaka "+" se ne bo spremenil. Razdalja ali modul števila v matematiki je ista stvar in jo lahko zapišemo takole: |300|=300. Predznak modula števila je označen z dvema navpičnima črtama.

In potem sva hodila 200m v nasprotno smer. Matematično lahko povratno pot zapišemo kot -200. Ne rečemo pa, da smo šli minus dvesto metrov, čeprav smo se vrnili, ker razdalja kot količina ostaja pozitivna. V ta namen je bil v matematiko uveden koncept modula. Razdaljo ali modul števila -200 lahko zapišete takole: |-200|=200.

Lastnosti modula.

definicija:
Modul števila ali absolutna vrednost števila je razdalja od začetne do ciljne točke.

Modul celega števila, ki ni enak nič, je vedno pozitivno število.

Modul je napisan takole:

1. Modul pozitivnega števila je enak številu samemu.
| a|=a

2. Modul negativnega števila je enak nasprotnemu številu.
|- a|=a

3. Modul nič je enak nič.
|0|=0

4. Modula nasprotnih števil sta enaka.
| a|=|-a|=a

Povezana vprašanja:
Kaj je modul števila?
Odgovor: Modul je razdalja od začetne do ciljne točke.

Če postavite znak "+" pred celo število, kaj se zgodi?
Odgovor: številka ne bo spremenila pomena, na primer 4=+4.

Če postavite znak "-" pred celo število, kaj se zgodi?
Odgovor: številka se bo spremenila na primer v 4 in -4.

Katera števila imajo enak modul?
Odgovor: pozitivna števila in ničla bodo imela enak modul. Na primer, 15=|15|.

Katera števila imajo modul nasprotnega števila?
Odgovor: za negativna števila bo modul enak nasprotnemu številu. Na primer |-6|=6.

Primer #1:
Poiščite modul števil: a) 0 b) 5 c) -7?

rešitev:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Primer #2:
Ali obstajata dve različni števili, katerih moduli so enaki?

rešitev:
|10|=10
|-10|=10

Modula nasprotnih števil sta enaka.

Primer #3:
Kateri dve nasprotni števili imata modul 9?

rešitev:
|9|=9
|-9|=9

Odgovor: 9 in -9.

Primer #4:
Sledite tem korakom: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

rešitev:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Primer #5:
Poišči: a) modul števila 2 b) modul števila 6 c) modul števila 8 d) modul števila 1 e) modul števila 0.
rešitev:

a) modul števila 2 označimo z |2| ali |+2| Enako je.
|2|=2

b) modul števila 6 označimo kot |6| ali |+6| Enako je.
|6|=6

c) modul števila 8 označimo z |8| ali |+8| Enako je.
|8|=8

d) modul števila 1 označimo kot |1| ali |+1| Enako je.
|1|=1

e) modul števila 0 označimo kot |0|, |+0| ali |-0| Enako je.
|0|=0