Krog je opisan okoli trikotnika, če. Včrtani in opisani krogi
V sodobnem strojništvu se uporablja veliko elementov in rezervnih delov, ki imajo v svoji zgradbi tako zunanje kot notranje kroge. Najbolj svetel primer lahko služijo kot ohišja ležajev, deli motorjev, sklopi pest in še veliko več. Pri njihovi izdelavi se ne uporabljajo samo visokotehnološke naprave, ampak tudi znanje iz geometrije, zlasti informacije o krogih trikotnika. Več podrobnosti od podobno znanje Spoznajmo se spodaj.
Katera krožnica je včrtana in katera opisana?
Najprej se spomnite, da je krog neskončen niz točk na enakih razdaljah od središča. Če je znotraj mnogokotnika mogoče sestaviti krog, ki ima z vsako stranjo samo eno skupno presečišče, se bo imenoval včrtani. Okrožen krog (ne krog, je različne pojme) je geometrijsko mesto točk, tako da je konstruirana figura z danim mnogokotnikom skupne točke bodo samo oglišča poligona. Spoznajmo se s tema dvema konceptoma podrobneje. jasen primer(Glej sliko 1.).
Slika 1. Včrtana in opisana krožnica trikotnika
Slika prikazuje dve figuri velikega in majhnega premera, katerih središči sta G in I. Krog večja vrednost imenujemo opisano sosesko Δ ABC, majhno pa imenujemo, nasprotno, vpisano v Δ ABC.
Da bi opisali okolico okoli trikotnika, je potrebno skozi sredino vsake stranice narišite pravokotno črto(tj. pod kotom 90°) je točka presečišča, igra ključna vloga. To bo središče opisanega kroga. Preden najdete krog, njegovo središče v trikotniku, morate zgraditi za vsak kot in nato izbrati točko presečišča črt. To pa bo središče vpisane soseske, njen polmer pa bo pod kakršnimi koli pogoji pravokoten na katero koli stran.
Na vprašanje: "Koliko včrtanih krogov lahko ima mnogokotnik s tremi?" Naj takoj odgovorimo, da je krog lahko vpisan v kateri koli trikotnik in samo v enega. Ker je samo eno presečišče vseh simetral in eno presečišče navpičnic, ki izhajajo iz razpolovišč stranic.
Lastnost kroga, ki mu pripadajo oglišča trikotnika
Opisani krog, ki je odvisen od dolžin stranic na dnu, ima svoje lastnosti. Označimo lastnosti opisanega kroga:
Da bi jasneje razumeli načelo opisanega kroga, rešujemo preprosta naloga. Predpostavimo, da imamo trikotnik Δ ABC, katerega stranice so enake 10, 15 in 8,5 cm območje trikotnika.
Slika 2. Iskanje polmera kroga z uporabo razmerja stranic in sinusov kotov
Rešitev: na podlagi prej navedenega sinusnega izreka poiščemo vrednost sinusa vsakega kota posebej. Po pogoju je znano, da je stranica AB 10 cm. Izračunajmo vrednost C:
Z uporabo vrednosti Bradisove tabele ugotovimo, da stopenjska mera kot C je 39°. Z isto metodo lahko poiščemo preostale mere kotov:
Kako vemo, da je CAB = 33° in ABC = 108°. Zdaj, ko poznamo vrednosti sinusov vsakega od kotov in polmera, poiščemo območje tako, da nadomestimo najdene vrednosti:
Odgovor: Ploščina trikotnika je 40,31 cm², koti pa so 33°, 108° in 39°.
Pomembno! Pri reševanju tovrstnih problemov bo koristno imeti vedno na pametnem telefonu Bradisove tabele ali ustrezno aplikacijo, saj lahko ročni postopek traja dolgo. dolgo časa. Da bi prihranili več časa, tudi ni treba zgraditi vseh treh razpolovišč navpičnice ali treh simetral. Kateri koli tretji izmed njih se bo vedno sekal na presečišču prvih dveh. In za pravoslavno konstrukcijo je običajno dokončana tretja. Morda je to napačno v smislu algoritma, vendar na Enotnem državnem izpitu ali drugih izpitih prihrani veliko časa.
Izračunavanje polmera včrtanega kroga
Vse točke kroga so enako oddaljene od njegovega središča na enaki razdalji. Dolžina tega segmenta (od in do) se imenuje polmer. Glede na to, kakšno okolje imamo, obstajata dve vrsti - notranje in zunanje. Vsak od njih se izračuna po svoji formuli in ima neposredno razmerje za izračun parametrov, kot so:
- kvadrat;
- stopinjska mera vsakega kota;
- dolžine stranic in oboda.
Slika 3. Lokacija včrtanega kroga znotraj trikotnika
Dolžino razdalje od središča do stične točke na obeh straneh lahko izračunate na naslednje načine: h skozi stranice, stranice in vogale(za enakokraki trikotnik).
Uporaba pol oboda
Polobod je polovica vsote dolžin vseh stranic. Ta metoda velja za najbolj priljubljeno in univerzalno, saj je ne glede na to, katera vrsta trikotnika je podana glede na stanje, primerna za vsakogar. Postopek izračuna je naslednji:
Če je podano "pravilno"
Ena od majhnih prednosti "idealnega" trikotnika je, da Včrtana in opisana krožnica imata središče v isti točki. To je priročno pri sestavljanju figur. Vendar je v 80% primerov odgovor "grd". Tukaj je mišljeno, da bo zelo redko polmer včrtane soseske cel, prej nasprotno. Za poenostavljen izračun uporabite formulo za polmer včrtanega kroga v trikotnik:
Če sta stranici enako dolgi
Ena od podvrst nalog za državo. izpiti bodo iskanje polmera včrtanega kroga trikotnika, katerega strani sta si enaki, tretja pa ni. V tem primeru priporočamo uporabo tega algoritma, ki bo bistveno prihranil čas pri iskanju premera včrtanega področja. Polmer včrtanega kroga v trikotniku z enakimi "stranicami" se izračuna po formuli:
Jasnejšo uporabo teh formul bomo prikazali v naslednji nalogi. Imejmo trikotnik (Δ HJI), v katerega je včrtana okolica v točki K. Dolžina stranice HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm in stranice HI je 19 cm (slika 4). Poiščite polmer včrtane soseske ob poznavanju stranic.
Slika 4. Iskanje vrednosti polmera včrtanega kroga
Rešitev: da bi našli polmer včrtanega okolja, najdemo polobod:
Od tu, ob poznavanju mehanizma izračuna, ugotovimo naslednjo vrednost. Če želite to narediti, boste potrebovali dolžine vsake strani (podane glede na stanje), pa tudi polovico oboda, se izkaže:
Iz tega sledi, da je zahtevani polmer 3,63 cm. Po pogoju so vse stranice enake, potem bo želeni polmer enak:
Če je mnogokotnik enakokrak (na primer i = h = 10 cm, j = 8 cm), bo premer notranjega kroga s središčem v točki K enak:
Problem lahko vsebuje trikotnik s kotom 90°, v tem primeru si formule ni treba zapomniti. Hipotenuza trikotnika bo enaka premeru. Bolj jasno je videti takole:
Pomembno!Če je dana iskalna naloga notranji radij, ne priporočamo izvajanja izračunov z uporabo vrednosti sinusov in kosinusov kotov, vrednost tabele ki niso točno znane. Če dolžine ni mogoče ugotoviti drugače, ne poskušajte "potegniti" vrednosti izpod korena. Pri 40% nalog bo dobljena vrednost transcendentalna (torej neskončna), komisija pa morda ne bo štela odgovora (četudi je pravilen) zaradi njegove netočnosti oz. nepravilne oblike predložitve. Posebna pozornost Bodite pozorni na to, kako lahko spremenite formulo za polmer kroga trikotnika glede na predlagane podatke. Takšne "praznine" vam omogočajo, da vnaprej "vidite" scenarij za rešitev problema in izberete najbolj ekonomično rešitev.
Polmer in površina notranjega kroga
Za izračun površine trikotnika, vpisanega v krog, uporabite samo polmer in dolžine stranic mnogokotnika:
Če navedba problema ne poda neposredno vrednosti polmera, ampak le površino, se navedena formula površine pretvori v naslednje:
Oglejmo si učinek zadnje formule na več konkreten primer. Recimo, da imamo trikotnik, v katerega je vpisana soseska. Ploščina soseske je 4π, stranice pa 4, 5 oziroma 6 cm. Izračunajmo površino danega mnogokotnika z izračunom poloboda.
Z zgornjim algoritmom izračunamo površino trikotnika skozi polmer včrtanega kroga:
Zaradi dejstva, da je krog mogoče vpisati v kateri koli trikotnik, se število variacij pri iskanju območja znatno poveča. Tisti. iskanje površine trikotnika vključuje obvezno znanje dolžino vsake stranice in vrednost polmera.
Trikotnik vpisan v krog geometrija 7. razred
Pravokotni trikotniki vpisani v krog
Zaključek
Iz teh formul ste lahko prepričani, da je zapletenost katerega koli problema z uporabo včrtanih in opisanih krogov le v dodatna dejanja najti zahtevane vrednosti. Težave te vrste zahtevajo le temeljito razumevanje bistva formul, pa tudi racionalnost njihove uporabe. Iz prakse reševanja ugotavljamo, da se bo v prihodnje središče opisanega kroga pojavilo v nadaljnjih temah geometrije, zato ga ne smemo uporabljati. IN drugače rešitev se lahko zavleče z nepotrebnimi potezami in logičnimi sklepi.
Cilji lekcije:
- Poglobite svoje znanje o temi "Krog v trikotniku"
Cilji lekcije:
- Sistematizirajte znanje o tej temi
- Pripravite se na reševanje zahtevnejših problemov.
Načrt lekcije:
- Uvod.
- Teoretični del.
- Za trikotnik.
- Praktični del.
Uvod.
Tema "Včrtani in opisani krogi v trikotnike" je ena najtežjih v tečaju geometrije. Pri pouku preživi zelo malo časa.
Geometrijski problemi te teme so vključeni v drugi del izpitna naloga Enotni državni izpit na tečaj srednja šola.
Za uspešno izvedbo Te naloge zahtevajo dobro poznavanje osnovnih geometrijskih dejstev in nekaj izkušenj pri reševanju geometrijske težave.
Teoretični del.
Obseg mnogokotnika- krog, ki vsebuje vsa oglišča mnogokotnika. Središče je točka (običajno označena z O) presečišča pravokotne simetrale na stranice mnogokotnika.
Lastnosti.
Središče kroga konveksnega n-kotnika leži na presečišču simetral pravokotnic na njegove stranice. Posledično: če je krog opisan poleg n-kotnika, potem se vse pravokotnice na njegove stranice sekajo v eni točki (središču kroga).
Okoli katerega koli pravilnega mnogokotnika lahko narišemo krog.
Za trikotnik.
Krog se imenuje obkrožen okoli trikotnika, če poteka skozi vsa njegova oglišča.
Okoli katerega koli trikotnika lahko opišemo krog in samo ena. Njegovo središče bo točka presečišča simetralnih navpičnic.
U ostrokotni trikotnik središče opisanega kroga leži znotraj, za tupo kotno - zunaj trikotnika, za pravokotnega - na sredini hipotenuze.
Polmer opisanega kroga je mogoče najti s formulami:
kje:
a,b,c- stranice trikotnika,
α
- kot nasprotne stranice a,
S- območje trikotnika.
Dokaži:
t.O - točka presečišča simetral pravokotnic na stranice ΔABC
Dokaz:
- ΔAOC - enakokraki, ker OA=OS (kot polmeri)
- ΔAOC - enakokraki, pravokotni OD - mediana in višina, tj. torej O leži na simetrali navpičnici na stranico AC
- Podobno je dokazano, da t.O leži na simetralah na stranicah AB in BC
Q.E.D.
Komentiraj.
Premica, ki poteka skozi sredino odseka pravokotno nanj, se pogosto imenuje pravokotna simetrala. V zvezi s tem se včasih reče, da leži središče kroga, opisanega okoli trikotnika, v presečišču pravokotnih simetral na stranice trikotnika.
Obseg – geometrijski lik, s katerim se seznanite nazaj v predšolska starost. Kasneje boste spoznali njegove lastnosti in značilne lastnosti. Če oglišča poljubnega mnogokotnika ležijo na krogu in se sama figura nahaja znotraj njega, potem imate v krogu vpisano geometrijsko figuro.
Koncept polmera označuje razdaljo od katere koli točke na krogu do njegovega središča. Slednji se nahaja na presečišču pravokotnic na vsako stran poligona. Ko smo se odločili za terminologijo, razmislimo o izrazih, ki bodo pomagali najti polmer za katero koli vrsto poligona.
Kako najti polmer opisanega kroga - pravilni mnogokotnik
Ta figura ima lahko poljubno število oglišč, vendar so vse njene stranice enake. Da bi našli polmer kroga, v katerem je postavljen pravilen mnogokotnik, je dovolj, da poznate število strani figure in njihovo dolžino.
R = b/2sin(180°/n),
b – stranska dolžina,
n je število oglišč (ali stranic) figure.
Podana relacija za primer šesterokotnika bo imela naslednjo obliko:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.
Kako najti polmer kroga pravokotnika
Ko se štirikotnik nahaja v krogu, ki ima 2 para vzporednih stranic in notranji koti 90° bo točka presečišča diagonal mnogokotnika njegovo središče. Z uporabo pitagorejske relacije in lastnosti pravokotnika dobimo izraze, potrebne za iskanje polmera:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – stranice pravokotnika,
d je njegova diagonala.
Kako najti polmer okroglega kroga - kvadrata
V krog postavite kvadrat. Slednji je pravilni mnogokotnik ki ima 4 strani. Ker Ker je kvadrat poseben primer pravokotnika, so tudi njegove diagonale v presečišču razdeljene na pol.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – stranica kvadrata,
d je njegova diagonala.
Kako najti polmer opisanega kroga - enakokrakega trapeza
Če je trapez postavljen v krog, morate za določitev polmera poznati dolžine njegovih stranic in diagonalo.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – stranice trapeza,
d je njegova diagonala.
Kako najti polmer opisanega kroga - trikotnika
Prosti trikotnik
- Za določitev polmera kroga, ki opisuje trikotnik, je dovolj, da poznate velikost njegovih strani.
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
p = (m + l + k)/2,
m, l, k – stranice trikotnika. - Če sta znani dolžina stranice in stopinjska mera nasprotnega kota, se polmer določi na naslednji način:
Za trikotnik MLK
R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
M, L, K – njeni koti (oglišča). - Glede na površino figure lahko izračunate tudi polmer kroga, v katerem je postavljena:
R = m*l*k/4S,
m, l, k – stranice trikotnika,
S je njegovo območje.
Enakokraki trikotnik
Če je trikotnik enakokrak, sta njegovi strani enaki. Pri opisovanju takšne figure je polmer mogoče najti z naslednjim razmerjem:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), vendar je m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – stranice trikotnika.
Pravokotni trikotnik
Če je eden od kotov trikotnika raven in je okrog figure obkrožen krog, potem je za določitev dolžine polmera slednjega potrebna prisotnost znane stranke trikotnik.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – noge,
k – hipotenuza.
Definicija 2
Mnogokotnik, ki izpolnjuje pogoj definicije 1, se imenuje okoli kroga opisan.
Slika 1. Včrtan krog
Izrek 1 (o krogu, včrtanem v trikotnik)
1. izrek
Krog lahko vpišete v kateri koli trikotnik in samo v enega.
Dokaz.
Razmislite o trikotniku $ABC$. Vanj narišimo simetrali, ki se sekata v točki $O$ in iz nje narišimo navpičnici na stranice trikotnika (slika 2)
Slika 2. Ponazoritev izreka 1
Obstoj: Narišimo krožnico s središčem v točki $O$ in polmerom $OK.\ $Ker točka $O$ leži na treh simetralah, je enako oddaljena od stranic trikotnika $ABC$. To je $OM=OK=OL$. Konstruirana krožnica torej poteka tudi skozi točki $M\ in\ L$. Ker so $OM,OK\ in\ OL$ pravokotnice na stranice trikotnika, se po izreku o tangenti kroga sestavljeni krog dotika vseh treh strani trikotnika. Zato lahko zaradi poljubnosti trikotnika vsakemu trikotniku vpišemo krog.
Edinstvenost: Recimo, da lahko v trikotnik $ABC$ vpišemo drug krog s središčem v točki $O"$. Njegovo središče je enako oddaljeno od stranic trikotnika, zato sovpada s točko $O$ in ima polmer enaka dolžini$V redu$. Toda potem bo ta krog sovpadal s prvim.
Izrek je dokazan.
Posledica 1: Središče kroga, včrtanega v trikotnik, leži na presečišču njegovih simetral.
Tu je še nekaj dejstev, povezanih s konceptom včrtanega kroga:
Vsak štirikotnik ne more ustrezati krogu.
V poljubnem opisanem štirikotniku je vsota nasprotnih straneh so enaki.
Če vsoti nasprotnih strani konveksni štirikotnik sta enaka, potem lahko vanj vpišemo krog.
Definicija 3
Če vsa oglišča mnogokotnika ležijo na krogu, potem se krog imenuje opisan okoli mnogokotnika (slika 3).
Definicija 4
Mnogokotnik, ki izpolnjuje pogoj definicije 2, pravimo, da je vpisan v krog.
Slika 3. Opisani krog
Izrek 2 (o opisanem krogu trikotnika)
2. izrek
Okrog katerega koli trikotnika lahko opišete krog in samo enega.
Dokaz.
Razmislite o trikotniku $ABC$. Narišimo vanj pravokotni simetrali, ki se sekata v točki $O$, in jo poveži z oglišči trikotnika (slika 4)
Slika 4. Ponazoritev izreka 2
Obstoj: Konstruirajmo krožnico s središčem v točki $O$ in polmerom $OC$. Točka $O$ je enako oddaljena od oglišč trikotnika, to je $OA=OB=OC$. Zato gre zgrajena krožnica skozi vsa oglišča dani trikotnik, kar pomeni, da je okoli tega trikotnika opisan.
Edinstvenost: Predpostavimo, da je okoli trikotnika $ABC$ mogoče opisati še en krog s središčem v točki $O"$. Njegovo središče je enako oddaljeno od oglišč trikotnika in zato sovpada s točko $O$ in ima polmer enak dolžini $OC $ Toda potem bo ta krog sovpadal s prvim.
Izrek je dokazan.
Posledica 1: Središče kroga, ki je opisan okoli trikotnika, sovpada s presečiščem njegovih bisektoralnih navpičnic.
Tukaj je še nekaj dejstev, povezanih s konceptom cirkumkroga:
Okoli štirikotnika ni vedno mogoče opisati kroga.
V katerem koli cikličnem štirikotniku je vsota nasprotni koti je enako $(180)^0$.
Če je vsota nasprotnih kotov štirikotnika $(180)^0$, potem lahko okoli njega narišemo krog.
Primer naloge o pojmih včrtane in opisane krožnice
Primer 1
V enakokrakem trikotniku je osnova 8 cm, strani je enak 5 cm. Poiščite polmer včrtane krožnice.
rešitev.
Razmislite o trikotniku $ABC$. Iz posledice 1 vemo, da leži središče vpisane krožnice v presečišču simetral. Narišimo simetrali $AK$ in $BM$, ki se sekata v točki $O$. Narišimo pravokotnico $OH$ iz točke $O$ na stranico $BC$. Narišimo sliko:
Slika 5.
Ker je trikotnik enakokrak, je $BM$ hkrati mediana in višina. Po Pitagorovem izreku $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- zahtevani polmer včrtanega kroga. Ker sta $MC$ in $CH$ odseka sekajočih se tangent, potem po izreku o sekajočih se tangentah velja $CH=MC=4\cm$. Zato je $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Iz trikotnika $OHB$ dobimo po Pitagorovem izreku:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
odgovor:$\frac(4)(3)$.
Tema "Včrtani in opisani krogi v trikotnike" je ena najtežjih v tečaju geometrije. Pri pouku preživi zelo malo časa.
Geometrijske naloge te teme so vključene v drugi del izpita Delo enotnega državnega izpita za srednješolski tečaj. Za uspešno opravljanje teh nalog je potrebno dobro poznavanje osnovnih geometrijskih dejstev in nekaj izkušenj pri reševanju geometrijskih problemov.
Za vsak trikotnik je samo en opisan krog. To je krog, na katerem ležijo vsa tri oglišča trikotnika z danimi parametri. Iskanje njegovega polmera bo morda potrebno ne le pri lekciji geometrije. S tem se morajo nenehno ukvarjati oblikovalci, rezkarji, mehaniki in predstavniki mnogih drugih poklicev. Da bi našli njegov polmer, morate poznati parametre trikotnika in njegove lastnosti. Središče opisanega kroga je v presečišču simetral pravokotnic trikotnika.
Predstavljam vam vse formule za iskanje polmera opisanega kroga in ne samo trikotnika. Formule za včrtani krog si lahko ogledate.
a, b. z - stranice trikotnika
α -
nasprotni kota,
S-območje trikotnika,
p- polobod
Nato najdemo polmer ( R) opisanega kroga z uporabo formul:
Po drugi strani pa se lahko površina trikotnika izračuna z eno od naslednjih formul:
Tukaj je še nekaj formul.
1. Polmer opisanega kroga je približno navaden trikotnik. če a stran trikotnika torej
2. Polmer opisanega kroga je približno enakokraki trikotnik. Naj a, b- stranice trikotnika, torej
