Inverzna sorazmernost med y in x. Izobraževalno in metodološko gradivo v algebri (8. razred) na temo: Funkcija obratne sorazmernosti in njen graf

Danes si bomo pogledali, katere količine imenujemo obratno sorazmerne, kako izgleda graf obratne sorazmernosti in kako vam vse to lahko koristi ne le pri pouku matematike, ampak tudi izven šole.

Tako drugačna razmerja

Sorazmernost poimenuj dve količini, ki sta med seboj odvisni.

Odvisnost je lahko neposredna in obratna. Posledično so razmerja med količinami opisana z neposredno in obratno sorazmernostjo.

Neposredna sorazmernost– to je takšno razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ali zmanjšanje ene od njiju povzroči povečanje ali zmanjšanje druge. Tisti. njihov odnos se ne spremeni.

Na primer, več truda ko vložite v učenje za izpite, višje so vaše ocene. Ali pa več stvari kot boste vzeli s seboj na pohod, težji bo vaš nahrbtnik. Tisti. Količina truda, vloženega v priprave na izpite, je premosorazmerna z doseženimi ocenami. In število stvari, spakiranih v nahrbtniku, je neposredno sorazmerno z njegovo težo.

Obratna sorazmernost - To funkcionalna odvisnost, pri čemer zmanjšanje ali povečanje za nekajkrat ne odvisna količina(imenuje se argument) povzroči sorazmerno (tj. enako število krat) povečanje ali zmanjšanje odvisne količine (imenuje se funkcija).

Naj ponazorimo preprost primer. Na tržnici želite kupiti jabolka. Jabolka na pultu in količina denarja v vaši denarnici sta v obratnem sorazmerju. Tisti. več jabolk kot kupite, tem manj denarja nekaj ti bo ostalo.

Funkcija in njen graf

Funkcijo obratne sorazmernosti lahko opišemo kot y = k/x. V katerem x≠ 0 in k≠ 0.

Ta funkcija ima naslednje lastnosti:

1. Njegova domena definicije je množica vsega realna števila, razen x = 0. D(l): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Obseg so vsa realna števila razen l= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nima najvišjih ali najmanjših vrednosti.
4. Je nenavaden in njegov graf je simetričen glede na izvor.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne seka koordinatnih osi.
7. Nima ničel.
8. če k> 0 (tj. argument narašča), funkcija sorazmerno pada na vsakem svojem intervalu. če k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ko se argument poveča ( k> 0) negativne vrednosti funkcije so v intervalu (-∞; 0), pozitivne pa (0; +∞). Ko se argument zmanjša ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf inverzne sorazmernostne funkcije imenujemo hiperbola. Prikazano na naslednji način:

Problemi obratne sorazmernosti

Da bo bolj jasno, si poglejmo več nalog. Niso preveč zapleteni, njihovo reševanje pa vam bo pomagalo vizualizirati, kaj je obratna sorazmernost in kako vam lahko to znanje koristi v vsakdanjem življenju.

Naloga št. 1. Avto se giblje s hitrostjo 60 km/h. Potreboval je 6 ur, da je prišel do cilja. V kolikšnem času bo pretekel enako razdaljo, če se giblje dvakrat hitreje?

Začnemo lahko tako, da zapišemo formulo, ki opisuje razmerje med časom, razdaljo in hitrostjo: t = S/V. Strinjam se, da nas zelo spominja na funkcijo obratne sorazmernosti. In kaže, da sta čas, ki ga avto preživi na cesti, in hitrost, s katero se premika, v obratnem sorazmerju.

Da to preverimo, poiščimo V 2, ki je glede na pogoj 2-krat večji: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Nato izračunamo razdaljo po formuli S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Zdaj ni težko ugotoviti časa t 2, ki se od nas zahteva glede na pogoje problema: t 2 = 360/120 = 3 ure.

Kot lahko vidite, sta čas potovanja in hitrost res obratno sorazmerna: pri hitrosti, ki je 2-krat višja od prvotne hitrosti, bo avto na cesti porabil 2-krat manj časa.

Rešitev tega problema lahko zapišemo tudi kot delež. Torej, najprej ustvarimo ta diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Puščice označujejo obratno sorazmerno razmerje. Prav tako predlagajo, da pri risanju razmerij desna stran zapise je treba obrniti: 60/120 = x/6. Kje dobimo x = 60 * 6/120 = 3 ure.

Naloga št. 2. V delavnici je zaposlenih 6 delavcev, ki lahko zadano količino dela opravijo v 4 urah. Če se število delavcev prepolovi, koliko časa bodo preostali delavci potrebovali, da opravijo enako količino dela?

Zapišimo pogoje problema v obliki vizualnega diagrama:

↓ 6 delavcev – 4 ure

↓ 3 delavci – x h

Zapišimo to kot razmerje: 6/3 = x/4. In dobimo x = 6 * 4/3 = 8 ur. Če je delavcev 2-krat manj, bodo preostali porabili 2-krat več časa za vse delo.

Naloga št. 3. V bazen vodita dve cevi. Skozi eno cev teče voda s hitrostjo 2 l/s in napolni bazen v 45 minutah. Skozi drugo cev se bo bazen napolnil v 75 minutah. S kakšno hitrostjo teče voda skozi to cev v bazen?

Za začetek nam predstavimo vse podatke o pogojih problematike količin enake enote meritve. Za to izrazimo hitrost polnjenja bazena v litrih na minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Ker pogoj pomeni, da se bazen skozi drugo cev polni počasneje, to pomeni, da je pretok vode manjši. Sorazmernost je obratna. Izrazimo neznano hitrost skozi x in sestavimo naslednji diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

In potem sestavimo razmerje: 120/x = 75/45, od koder je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V nalogi je stopnja polnjenja bazena izražena v litrih na sekundo, odgovor, ki smo ga prejeli, zreducirajmo na enako obliko: 72/60 = 1,2 l/s.

Naloga št. 4. Mala zasebna tiskarna tiska vizitke. Zaposleni v tiskarni dela s hitrostjo 42 vizitk na uro in dela cel dan - 8 ur. Če bi delal hitreje in v eni uri natisnil 48 vizitk, koliko prej bi lahko šel domov?

Sledimo preverjeni poti in sestavimo diagram glede na pogoje problema, pri čemer želeno vrednost označimo kot x:

↓ 42 vizitk/uro – 8 ur

↓ 48 vizitk/h – x h

Imamo obratno sorazmerno razmerje: kolikorkrat več vizitk zaposleni v tiskarni natisne na uro, tolikokrat manj časa bo potreboval za isto delo. Če vemo to, ustvarimo razmerje:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ur.

Tako je lahko uslužbenec tiskarne, ko je delo opravil v 7 urah, odšel domov eno uro prej.

Zaključek

Zdi se nam, da so ti problemi obratne sorazmernosti res preprosti. Upamo, da zdaj tudi vi razmišljate o njih tako. In glavna stvar je to znanje o obratni smeri proporcionalna odvisnost količine se vam lahko res večkrat izkažejo za koristne.

Ne samo pri pouku in izpitih matematike. A tudi takrat, ko se pripravljate na izlet, nakupovanje, se odločite za kakšen dodaten zaslužek med počitnicami ipd.

V komentarjih nam povejte, katere primere obratnega in premosorazmernega razmerja opazite okoli sebe. Naj bo takšna igra. Videli boste, kako razburljivo je. Ne pozabite deliti tega članka na v socialnih omrežjih tako da se lahko igrajo tudi vaši prijatelji in sošolci.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do izvirnega vira.

Prva stopnja

Inverzno razmerje. Prva stopnja.

Zdaj bomo govorili o obratni odvisnosti ali z drugimi besedami - o obratni sorazmernosti, kot funkciji. Ali se spomnite, da je funkcija določena vrsta odvisnosti? Če še niste prebrali teme, toplo priporočam, da vse odložite in preberete, ker ne morete študirati nobenega specifično funkcijo, ne razumejo, kaj je to - funkcija.

Prav tako je zelo koristno, preden začnete s to temo, obvladati še dve enostavne funkcije: In . Tam boste utrdili koncept funkcije in se naučili delati s koeficienti in grafi.

Torej, se spomnite, kaj je funkcija?
Naj ponovimo: funkcija je pravilo, po katerem je vsakemu elementu ene množice (argumentu) pridružen določen ( edini!) element druge množice (množica funkcijskih vrednosti). Se pravi, če imate funkcijo, to pomeni, da vsi sprejemljiva vrednost spremenljivka (imenovana "argument") ustreza eni vrednosti spremenljivke (imenovana "funkcija"). Kaj pomeni "sprejemljivo"? Če ne morete odgovoriti na to vprašanje, se znova vrnite na temo »«! Vse je v konceptu "domena": Za nekatere funkcije niso vsi argumenti enako uporabni in jih je mogoče nadomestiti v odvisnosti. Na primer, za funkcijo negativne vrednosti argumentov niso dovoljene.

Funkcija, ki opisuje obratno odvisnost

To je funkcija oblike where.

Na drug način se imenuje obratna sorazmernost: povečanje argumenta povzroči sorazmerno zmanjšanje funkcije.
Določimo domeno definicije. Čemu je lahko enako? Ali z drugimi besedami, čemu ne more biti enako?

Edino število, s katerim se torej ne da deliti, je:

ali, kar je isto,

(ta zapis pomeni, da je lahko poljubno število, razen: znak “ ” označuje množico realnih števil, torej vseh možne številke; znak " " označuje izključitev nečesa iz tega niza (analogno znaku "minus"), številka v oklepaju pa preprosto pomeni številko; se izkaže, da iz vseh možnih števil izključimo).

Izkazalo se je, da je niz funkcijskih vrednosti popolnoma enak: navsezadnje, če, potem ne glede na to, na kaj ga delimo, ne bo delovalo:

Možne so tudi nekatere različice formule. Na primer, to je tudi funkcija, ki opisuje inverzno razmerje.
Sami določite domeno definicije in obseg vrednosti te funkcije. Videti bi moralo takole:

Poglejmo to funkcijo: . Ali je obratno sorazmerno?

Na prvi pogled je težko reči: navsezadnje se s povečanjem povečata tako imenovalec ulomka kot števec, zato ni jasno, ali se bo funkcija zmanjšala, in če se bo, ali se bo sorazmerno zmanjšala? Da bi to razumeli, moramo izraz transformirati tako, da v števcu ni spremenljivke:

Dejansko smo prejeli obratno razmerje, vendar z opozorilom: .

Tu je še en primer: .

Tukaj je bolj zapleteno: navsezadnje se števec in imenovalec zdaj zagotovo ne prekličeta. Ampak vseeno lahko poskusimo:

Ali razumeš, kaj sem naredil? V števcu sem sešteval in odšteval isto število (), tako da nisem nič spremenil, zdaj pa je v števcu del, ki je enak imenovalcu. Sedaj bom razdelil člen za členom, kar pomeni, da bom ta ulomek razdelil na vsoto dveh ulomkov:

(in res je, če prineseš to, kar sem dobil skupni imenovalec, dobimo le naš začetni ulomek):

Vau! Spet deluje inverzno razmerje, le da je zdaj dodana številka.
Ta metoda nam bo kasneje zelo uporabna pri gradnji grafov.

Sedaj sami preoblikujte izraze v inverzno razmerje:

odgovori:

2. Tukaj se morate spomniti, kako kvadratni trinom je faktoriziran (to je podrobno opisano v temi “”). Naj vas spomnim, da morate za to najti korenine ustreznega kvadratna enačba: . Poiskal jih bom ustno z uporabo Vietovega izreka: , . Kako se to naredi? To se lahko naučite tako, da preberete temo.
Torej dobimo: , torej:

3. Ste ga že poskusili rešiti sami? V čem je fora? Zagotovo je dejstvo, da imamo v števcu in v imenovalcu - preprosto je. Ni problem. Zmanjšati bomo morali za, zato ga v števcu dajmo iz oklepaja (da v oklepaju dobimo brez koeficienta):

Graf obratnega razmerja

Kot vedno, začnimo od samega začetka preprost primer: .
Naredimo tabelo:

Narišimo točke na koordinatni ravnini:

Zdaj jih je treba gladko povezati, ampak kako? Vidimo lahko, da točke na desni in levi strani tvorijo navidez nepovezane ukrivljene črte. Tako kot je. Graf bo videti takole:

Ta graf se imenuje "hiperbola"(v tem imenu je nekaj podobnega kot "parabola", kajne?). Tako kot parabola ima tudi hiperbola dve veji, le da med seboj nista povezani. Vsak od njih se s svojimi konci trudi približati osi in jih nikoli ne doseže. Če isto hiperbolo pogledate od daleč, dobite naslednjo sliko:

To je razumljivo: saj graf ne more prečkati osi. Poleg tega se graf ne bo nikoli dotaknil osi.

No, zdaj pa poglejmo, na kaj vplivajo koeficienti. Oglejmo si te funkcije:
:

Vau, kakšna lepotica!
Vsi grafi so zgrajeni različne barve da jih lažje ločimo med seboj.

Torej, na kaj moramo biti najprej pozorni? Na primer, če ima funkcija minus pred ulomkom, je graf obrnjen, kar pomeni, da je prikazan simetrično glede na os.

Drugič: kot večje število v imenovalcu, bolj graf »beži« od izhodišča.

Kaj pa, če je funkcija videti bolj zapletena, na primer?

V tem primeru bo hiperbola popolnoma enaka običajni, le da se bo nekoliko premaknila. Pomislimo, kje?

Čemu zdaj ne more biti enako? Prav, . To pomeni, da graf nikoli ne doseže ravne črte. Čemu ne more biti enako? zdaj. To pomeni, da se bo zdaj graf nagibal k ravni črti, vendar je ne bo nikoli prečkal. Tako sta zdaj čista in opravljata isto vlogo kot koordinatne osi za funkcijo. Takšne linije se imenujejo asimptote(črte, h katerim teži graf, a jih ne doseže):

Več o tem, kako so takšni grafi zgrajeni, bomo izvedeli v temi.

Zdaj poskusite rešiti nekaj primerov za utrjevanje:

1. Slika prikazuje graf funkcije. Določite.

2. Slika prikazuje graf funkcije. Določite

3. Slika prikazuje graf funkcije. Določite.

4. Slika prikazuje graf funkcije. Določite.

5. Slika prikazuje grafe funkcij in.

Izberite pravilno razmerje:

odgovori:

Inverzna odvisnost v življenju

Kje najdemo takšno funkcijo v praksi? Primerov je veliko. Najpogostejše je gibanje: kot večja hitrost, s katerim se premikamo, manj časa nam bo vzelo, da premagamo enako razdaljo. Res, spomnimo se formule za hitrost: , kjer je hitrost, je čas potovanja, je razdalja (pot).

Od tu lahko izrazimo čas:

primer:

Moški gre v službo s Povprečna hitrost km/h in pride tja v eni uri. Koliko minut bo preživel na isti cesti, če bo vozil s hitrostjo km/h?

rešitev:

Na splošno ste takšne naloge reševali že v 5. in 6. razredu. Sestavili ste razmerje:

To pomeni, da vam je koncept obratne sorazmernosti že znan. Pa smo se spomnili. In zdaj isto, samo na odrasel način: skozi funkcijo.

Funkcija (to je odvisnost) časa v minutah od hitrosti:

Znano je, da torej:

Najti je treba:

Zdaj pa si omislite nekaj primerov iz življenja, v katerih je prisotna obratna sorazmernost.
Izumili? Bravo, če si. Vso srečo!

OBRNJENA ODVISNOST. NA KRATKO O GLAVNEM

1. Opredelitev

Funkcija, ki opisuje obratno odvisnost je funkcija oblike kjer.

Na drug način se ta funkcija imenuje obratna sorazmernost, saj povečanje argumenta povzroči sorazmerno zmanjšanje funkcije.

ali, kar je isto,

Inverzni graf je hiperbola.

2. Koeficienti in.

Odgovoren za “ploskost” in smer grafa: večji kot je ta koeficient, dlje se hiperbola nahaja od izhodišča in zato manj strmo "obrne" (glej sliko). Predznak koeficienta vpliva na to, v katerih četrtinah se nahaja graf:

• če, potem se veje hiperbole nahajajo v in četrtinah;
• če, potem v in.

x=a je navpična asimptota, to je vertikala, h kateri teži graf.

Število je odgovorno za premik funkcijskega grafa navzgor za količino, če je , in za premik navzdol, če .

Zato je to horizontalna asimptota.

Ponovimo teorijo o funkcijah. Funkcija je pravilo, po katerem je vsak element enega niza (argument) povezan z določenim ( edini!) element druge množice (množica funkcijskih vrednosti). Se pravi, če obstaja funkcija \(y = f(x)\), to pomeni, da za vsako veljavno vrednost spremenljivke \(x\)(ki se imenuje "argument") ustreza eni vrednosti spremenljivke \(y\)(imenovano "funkcija").

Funkcija, ki opisuje obratno odvisnost

To je funkcija obrazca \(y = \frac(k)(x)\), kje \(k\ne 0.\)

Na drug način se imenuje obratna sorazmernost: povečanje argumenta povzroči sorazmerno zmanjšanje funkcije.
Določimo domeno definicije. Čemu je lahko \(x\) enako? Ali z drugimi besedami, čemu ne more biti enako?

Edino število, s katerim se ne da deliti, je 0, torej \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \skodelica (0; + \infty)\)

ali kar je isto:

\(D(y) = R\poševnica nazaj \( 0\).\)

Ta zapis pomeni, da je \(x\) lahko poljubno število razen 0: znak »R« označuje množico realnih števil, torej vsa možna števila; znak "\" označuje izključitev nečesa iz tega niza (analogno znaku "minus"), številka 0 v zavitih oklepajih pa preprosto pomeni številko 0; Izkazalo se je, da iz vseh možnih števil izločimo 0.

Izkazalo se je, da je niz funkcijskih vrednosti popolnoma enak: navsezadnje, če \(k \ne 0.\) , potem ne glede na to, s čim ga delimo, 0 ne bo delovalo:

\(E(y) = (- \infty ;0) \skodelica (0; + \infty)\)

oz \(E(y) = R\poševnica nazaj \( 0\).\)

Možne so tudi nekatere različice formule \(y = \frac(k)(x)\)​​. na primer \(y = \frac(k)((x + a))\) je tudi funkcija, ki opisuje inverzno razmerje. Obseg in obseg vrednosti te funkcije sta naslednja:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \skodelica (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \skodelica (0; + \infty).\)

Razmislimo primer, zmanjšajmo izraz na obliko obratnega razmerja:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

V števec smo umetno vnesli vrednost 3, zdaj pa števec delimo z imenovalcem člen za členom, dobimo:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Dobili smo inverzno razmerje plus število 1.

Graf obratnega razmerja

Začnimo s preprostim primerom \(y = \frac(1)(x).\)

Ustvarimo tabelo vrednosti:

Narišimo točke na koordinatni ravnini:

Povežite pike in graf bo videti takole:

Ta graf se imenuje "hiperbola". Tako kot parabola ima tudi hiperbola dve veji, le da med seboj nista povezani. Vsak od njih teži premakniti svoje konce bližje osi Ox in Oj, vendar jih nikoli ne doseže.

Omenimo nekaj funkcij funkcije:

1. Če ima funkcija minus pred ulomkom, je graf obrnjen, kar pomeni, da je prikazan simetrično glede na os Ox.
2. Večje kot je število v imenovalcu, bolj graf »beži« od izhodišča.

Inverzna odvisnost v življenju

Kje najdemo takšno funkcijo v praksi? Primerov je veliko. Najpogostejši je gibanje: večja kot je hitrost, s katero se premikamo, manj časa bomo potrebovali, da premagamo enako razdaljo. Spomnimo se formule hitrosti:

\(v = \frac(S)(t),\)

kjer je v hitrost, t čas potovanja, S razdalja (pot).

Od tu lahko izrazimo čas: \(t = \frac(S)(v).\)