Poiščite odvod korena x. Poiščite odvod: algoritem in primeri rešitev

Navodila

Preden poiščete izpeljanko korena, bodite pozorni na druge funkcije, ki so prisotne v primeru, ki ga rešujete. Če ima problem veliko radikalnih izrazov, uporabite naslednje pravilo za iskanje odvoda kvadratnega korena:

(√x)" = 1 / 2√x.

Če želite najti izpeljanko kubičnega korena, uporabite formulo:

(³√х)" = 1 / 3(³√х)²,

kjer ³√x označuje kubični koren iz x.

Če je spremenljivka, namenjena diferenciaciji, v ulomku, pretvorite koren v potenčno funkcijo z ustreznim eksponentom. Za kvadratni koren bo to potenca ½, za kubični koren pa 3:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

kjer ^ pomeni potenciranje.

Če želite najti odvod potenčne funkcije na splošno in zlasti x^1, x^⅓, uporabite naslednje pravilo:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Za izpeljanko korena ta relacija pomeni:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) in
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Ko vse razločite, si pozorno oglejte preostali primer. Če imate v odgovoru zelo okoren izraz, ga verjetno lahko poenostavite. Večina šolskih primerov je strukturiranih tako, da je končni rezultat majhno število ali strnjen izraz.

V mnogih težavah z izpeljavo se koreni (kvadratni in kubni) uporabljajo skupaj z drugimi funkcijami. Če želite v tem primeru najti izpeljanko korena, uporabite naslednja pravila:
odvod konstante (konstantno število, C) je enak nič: C" = 0;
konstantni faktor je vzet iz predznaka za izpeljavo: (k*f)" = k * (f)" (f je poljubna funkcija);
odvod vsote več funkcij je enak vsoti odvodov: (f + g)" = (f)" + (g)";
odvod produkta dveh funkcij je enak... ne, ne produkt odvodov, ampak naslednji izraz: (fg)" = (f)"g + f (g)";
odvod količnika prav tako ni enak kvocientu odvodov, temveč ga najdemo po naslednjem pravilu: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

Opomba

Na tej strani lahko na spletu izračunate odvod funkcije in dobite podrobno rešitev problema. Rešitev odvodov funkcije je izdelana z uporabo pravil diferenciacije, ki jih študentje preučujejo pri predmetu matematične analize na inštitutu. Za iskanje odvoda funkcije morate v polje "Funkcija" vnesti funkcijo za razlikovanje po pravilih za vnos podatkov.

Koristen nasvet

Odvod funkcije je meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k nič: matematičnega pomena te definicije ni lahko razumeti, saj v šoli pri predmetu algebra se koncept limita funkcije sploh ne preučuje ali pa se preučuje zelo površno. Toda da bi se naučili najti derivate različnih funkcij, to ni potrebno.

Viri:

• izpeljanka korena x

1. Splošni primer formule za odvod korena poljubne stopnje- ulomek, v števcu katerega je ena, v imenovalcu pa število, ki je enako potenci korena, za katerega je bil izračunan odvod, pomnoženo s korenom iste potence, katerega radikalni izraz je spremenljivka v moč korena, za katerega je bil izračunan odvod, zmanjšana za ena
2. Izpeljava kvadratnega korena- je poseben primer prejšnje formule. Odvod kvadratnega korena iz x je ulomek, katerega števec je ena in imenovalec dvakrat kvadratni koren iz x
3. Izpeljanka kubičnega korena, tudi poseben primer splošne formule. Izpeljanka kubičnega korena je ena, deljena s tremi kubičnimi koreni iz x na kvadrat.

Spodaj so transformacije, ki pojasnjujejo, zakaj so formule za iskanje odvodov kvadratnih in kubičnih korenov popolnoma enake, kot je prikazano na sliki.

Seveda si teh formul sploh ni treba zapomniti, če upoštevamo, da je izločanje korena izpeljane potence enako kot dvigovanje ulomka, katerega imenovalec je enak isti potenci. Nato se iskanje odvoda korena zmanjša na uporabo formule za iskanje odvoda moči ustreznega ulomka.

Izpeljanka spremenljivke pod kvadratnim korenom

Pojasnilo:
(√x)" = (x 1/2)"

Kvadratni koren je popolnoma enaka operacija kot dvigovanje na potenco 1/2,To pomeni, da lahko za iskanje odvoda korena uporabite formulo iz pravila za iskanje odvoda spremenljivke do poljubne stopnje:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Izpeljanka kubičnega korena (izpeljanka tretjega korena)

Predstavljajmo si kubični koren kot potenco 1/3 in poiščimo odvod z uporabo splošnih pravil diferenciacije. Kratko formulo lahko vidite na zgornji sliki, spodaj pa je razlaga, zakaj je temu tako.

Potenco -2/3 dobimo tako, da od 1/3 odštejemo ena

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije (x na potenco a). Upoštevani so izpeljanke iz korenin x. Formula za odvod potenčne funkcije višjega reda. Primeri računanja derivatov.

Poglej tudi: Potenčna funkcija in koreni, formule in graf
Grafi funkcij moči

Osnovne formule

Odvod x na potenco a je enak a krat x na potenco minus ena:
(1) .

Odvod n-tega korena iz x na m-to potenco je:
(2) .

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije

Primer x > 0

Razmislite o potenčni funkciji spremenljivke x z eksponentom a:
(3) .
Tu je a poljubno realno število. Najprej razmislimo o primeru.

Za iskanje odvoda funkcije (3) uporabimo lastnosti potenčne funkcije in jo pretvorimo v naslednjo obliko:
.

Zdaj najdemo izpeljanko z:
;
.
Tukaj.

Formula (1) je dokazana.

Izpeljava formule za odvod korena stopnje n iz x na stopnjo m

Zdaj razmislite o funkciji, ki je koren naslednje oblike:
(4) .

Da bi našli izpeljanko, transformiramo koren v potenčno funkcijo:
.
Če primerjamo s formulo (3), vidimo, da
.
Potem
.

S formulo (1) najdemo odvod:
(1) ;
;
(2) .

V praksi formule (2) ni treba zapomniti. Veliko bolj priročno je najprej transformirati korene v potenčne funkcije in nato poiskati njihove odvode s formulo (1) (glej primere na koncu strani).

Primer x = 0

Če je , potem je potenčna funkcija definirana za vrednost spremenljivke x = 0 . Poiščimo odvod funkcije (3) pri x = 0 . Za to uporabimo definicijo derivata:
.

Zamenjajmo x = 0 :
.
V tem primeru z odvodom mislimo na desno mejo, za katero .

Tako smo ugotovili:
.
Iz tega je jasno, da za , .
Ob , .
Ob , .
Ta rezultat dobimo tudi iz formule (1):
(1) .
Zato velja formula (1) tudi za x = 0 .

Primer x< 0

Ponovno razmislite o funkciji (3):
(3) .
Za določene vrednosti konstante a je definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x. Naj bo namreč a racionalno število. Potem ga lahko predstavimo kot nezmanjšani ulomek:
,
kjer sta m in n celi števili, ki nimata skupnega delitelja.

Če je n liho, potem je funkcija moči definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x. Na primer, ko je n = 3 in m = 1 imamo kubični koren iz x:
.
Definiran je tudi za negativne vrednosti spremenljivke x.

Poiščimo odvod potenčne funkcije (3) za in za racionalne vrednosti konstante a, za katero je definirana. Če želite to narediti, si predstavljajte x v naslednji obliki:
.
potem,
.
Odvod najdemo tako, da postavimo konstanto izven predznaka odvoda in uporabimo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije:

.
Tukaj.
.
Ampak
.
Potem
.
Od takrat
(1) .

To pomeni, da formula (1) velja tudi za:

Izpeljanke višjega reda
(3) .
Zdaj pa poiščimo odvode višjega reda potenčne funkcije
.

Izpeljanko prvega reda smo že našli:
.
Če vzamemo konstanto a zunaj predznaka odvoda, najdemo odvod drugega reda:
;

.

Podobno najdemo izpeljanke tretjega in četrtega reda: Iz tega je razvidno, da derivat poljubnega n-tega reda
.

ima naslednjo obliko: obvestilo, toče je a naravno število
.
, potem je n-ti derivat konstanten:
,
Potem so vsi naslednji derivati ​​enaki nič:

ob .

Primeri računanja derivatov

Primer
.

Poiščite odvod funkcije:
;
.
Pretvorimo korene v potence:
.

Potem ima izvirna funkcija obliko:
;
.
Iskanje derivatov potenc:
.

Odvod konstante je nič:

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.

Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov najenostavnejših (in ne zelo preprostih) funkcij z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja prirastka in prirastka argumenta se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacije. . Prva, ki sta delala na področju iskanja derivatov, sta bila Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Zato vam v našem času za iskanje odvoda katere koli funkcije ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak morate uporabiti samo tabelo derivati ​​in pravila diferenciacije. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem. Da bi našli izpeljanko , potrebujete izraz pod praznakom razdeli preproste funkcije na komponente in določite, katera dejanja(zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nato najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika pa v pravilih diferenciacije.

Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih. Primer 1.

Poiščite odvod funkcije

Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod "x" enak ena, odvod sinusa pa kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoto derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:

Primer 2. Primer 1.

rešitev. Diferenciramo kot odvod vsote, pri katerem ima drugi člen konstanten faktor, ki ga lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Če se vseeno porajajo vprašanja o tem, od kod kaj izvira, jih običajno razčistimo po seznanitvi s tabelo izpeljank in najpreprostejšimi pravili razlikovanja. Prav zdaj se premikamo k njim.

Tabela odvodov enostavnih funkcij

1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno enako nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto
2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "X". Vedno enako ena. To je tudi pomembno, da si zapomnite za dolgo časa
3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potence.
4. Odvod spremenljivke na potenco -1
5. Izpeljava kvadratnega korena
6. Odvod sinusa
7. Odvod kosinusa
8. Odvod tangente
9. Odvod kotangensa
10. Odvod arkusina
11. Izpeljanka arkosinusa
12. Odvod arktangensa
13. Odvod ark kotangensa
14. Odvod naravnega logaritma
15. Odvod logaritemske funkcije
16. Izpeljanka eksponenta
17. Odvod eksponentne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Izpeljava vsote ali razlike
2. Izpeljanka izdelka
2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem
3. Izpeljava količnika
4. Odvod kompleksne funkcije

1. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilne, potem so funkcije diferencibilne na isti točki

in

tiste. odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij.

Posledica. Če se dve diferenciabilni funkciji razlikujeta za konstanten člen, sta njuna odvoda enaka, tj.

2. pravilo.Če funkcije

so na neki točki diferencibilni, potem je njihov produkt diferencibilen na isti točki

in

tiste. Odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.

Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega faktorja in vseh ostalih.

Na primer za tri množitelje:

3. praviloČe funkcije

na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov kvocient tudi diferenciabilenu/v in

tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnji števnik.

Kje iskati stvari na drugih straneh

Pri iskanju odvoda zmnožka in količnika v realnih problemih je vedno treba uporabiti več diferencialnih pravil hkrati, zato je v članku več primerov o teh odvodih."Odvod produkta in kvocienta funkcij".

Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot člena v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri konstantnem faktorju pa je vzeta iz predznaka izpeljank. To je tipična napaka, ki se pojavi na začetni stopnji učenja izpeljank, a ko povprečen učenec reši več enodelnih in dvodelnih primerov, te napake ne dela več.

In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, v katerem u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo derivat tega števila enak nič, zato bo celoten izraz enak nič (ta primer je obravnavan v primeru 10).

Druga pogosta napaka je mehansko reševanje odvoda kompleksne funkcije kot odvoda preproste funkcije. Zato odvod kompleksne funkcije je posvečen poseben članek. A najprej se bomo naučili poiskati izpeljanke enostavnih funkcij.

Na poti ne morete brez preoblikovanja izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnik v novih oknih. Dejanja z močmi in koreninami in Operacije z ulomki .

Če iščete rešitve za odvode ulomkov s potencami in koreni, ko je funkcija videti kot , nato sledite lekciji "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni."

Če imate nalogo, kot je , potem boste vzeli lekcijo “Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij”.

Primeri po korakih - kako najti izpeljanko

Primer 3. Primer 1.

rešitev. Določimo dele funkcijskega izraza: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije zmnožkov: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij z odvodom druge:

Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru ima v vsaki vsoti drugi člen predznak minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "X" spremeni v ena, minus 5 pa v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje vrednosti derivatov:

Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:

Rešitev problema z izpeljavo lahko preverite na.

Primer 4. Primer 1.

rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalec, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:

Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je zmnožek, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:

Če iščete rešitve za naloge, v katerih morate najti odvod funkcije, kjer je zvezen kup korenov in potenc, kot je npr. , potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .

Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometričnih funkcij, to je, ko je funkcija videti kot , potem lekcija za vas "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5. Primer 1.

rešitev. V tej funkciji vidimo produkt, katerega eden izmed faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, katere odvod smo spoznali v tabeli odvodov. Z uporabo pravila za razlikovanje produkta in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:

Rešitev izpeljanke lahko preverite na spletni kalkulator izvedenih finančnih instrumentov .

Primer 6. Primer 1.

rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. S pomočjo pravila diferenciacije količnikov, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:

Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.

Funkcije kompleksnega tipa ne ustrezajo vedno definiciji kompleksne funkcije. Če obstaja funkcija v obliki y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, potem je ni mogoče šteti za kompleksno, za razliko od y = sin 2 x.

Ta članek bo prikazal koncept kompleksne funkcije in njeno identifikacijo. Delajmo s formulami za iskanje odvoda s primeri rešitev v zaključku. Uporaba tabele odvodov in diferenciacijskih pravil bistveno skrajša čas iskanja odvoda.

Osnovne definicije

Kompleksna funkcija je tista, katere argument je tudi funkcija.

To je označeno na naslednji način: f (g (x)). Imamo, da se funkcija g (x) šteje za argument f (g (x)).

Definicija 2

Če obstaja funkcija f in je kotangensna funkcija, potem je g(x) = ln x funkcija naravnega logaritma. Ugotovimo, da bo kompleksna funkcija f (g (x)) zapisana kot arctg(lnx). Ali funkcija f, ki je funkcija, dvignjena na 4. potenco, kjer g (x) = x 2 + 2 x - 3 velja za celotno racionalno funkcijo, dobimo, da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očitno je g(x) lahko kompleksen. Iz primera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 je razvidno, da ima vrednost g kubični koren ulomka. Ta izraz lahko označimo kot y = f (f 1 (f 2 (x))). Od koder imamo, da je f sinusna funkcija in f 1 funkcija, ki se nahaja pod kvadratnim korenom, je f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 ulomljena racionalna funkcija.

Definicija 3

Stopnja ugnezdenosti je določena s poljubnim naravnim številom in je zapisana kot y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicija 4

Koncept sestave funkcij se nanaša na število ugnezdenih funkcij glede na pogoje problema. Za rešitev uporabite formulo za iskanje odvoda kompleksne funkcije oblike

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Primeri

Poiščite odvod kompleksne funkcije oblike y = (2 x + 1) 2.

rešitev

Pogoj kaže, da je f funkcija kvadriranja, g(x) = 2 x + 1 pa velja za linearno funkcijo.

Uporabimo izpeljano formulo za kompleksno funkcijo in zapišimo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Poiskati je treba odvod s poenostavljeno izvirno obliko funkcije. Dobimo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Od tu imamo to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati so bili enaki.

Pri reševanju tovrstnih problemov je pomembno razumeti, kje se bo nahajala funkcija oblike f in g (x).

Primer 2

Poiskati bi morali odvode kompleksnih funkcij oblike y = sin 2 x in y = sin x 2.

rešitev

Prvi zapis funkcije pravi, da je f funkcija kvadriranja in g(x) funkcija sinusa. Potem to razumemo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi vnos kaže, da je f sinusna funkcija, g(x) = x 2 pa potenčno funkcijo. Iz tega sledi, da produkt kompleksne funkcije zapišemo kot

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za izpeljanko y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) bo zapisana kot y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))) · f 1 " (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (. . . (f n (x) ))) )) · . . . fn "(x)

Primer 3

Poiščite odvod funkcije y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

rešitev

Ta primer prikazuje težave pri pisanju in določanju lokacije funkcij. Potem je y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kjer je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) funkcija sinusa, funkcija dviga do 3 stopnje, funkcija z logaritmom in osnovo e, arktangens in linearna funkcija.

Iz formule za definiranje kompleksne funkcije imamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dobimo, kar moramo najti

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kot odvod sinusa po tabeli odvodov, nato f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kot odvod potenčne funkcije, potem f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kot logaritemski odvod, potem f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kot odvod arktangensa, potem je f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Pri iskanju odvoda f 4 (x) = 2 x odstranite 2 iz znaka odvoda z uporabo formule za odvod potenčne funkcije z eksponentom, ki je enak 1, nato pa f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Združimo vmesne rezultate in dobimo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takšnih funkcij spominja na lutke. Pravil diferenciacije ni mogoče vedno eksplicitno uporabiti z uporabo izpeljane tabele. Pogosto morate uporabiti formulo za iskanje derivatov kompleksnih funkcij.

Obstaja nekaj razlik med kompleksnim videzom in kompleksnimi funkcijami. Z jasno sposobnostjo razlikovanja tega bo iskanje derivatov še posebej enostavno.

Primer 4

Treba je razmisliti o podaji takega primera. Če obstaja funkcija oblike y = t g 2 x + 3 t g x + 1, jo lahko obravnavamo kot kompleksno funkcijo oblike g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Očitno je treba uporabiti formulo za kompleksen derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblike y = t g x 2 + 3 t g x + 1 se ne šteje za kompleksno, saj ima vsoto t g x 2, 3 t g x in 1. Vendar t g x 2 velja za kompleksno funkcijo, potem dobimo potenčno funkcijo v obliki g (x) = x 2 in f, ki je tangentna funkcija. Če želite to narediti, ločite po količini. To razumemo

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Pojdimo k iskanju odvoda kompleksne funkcije (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dobimo, da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije kompleksnega tipa lahko vključimo v kompleksne funkcije, same kompleksne funkcije pa so lahko komponente funkcij kompleksnega tipa.

Primer 5

Na primer, razmislite o kompleksni funkciji oblike y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

To funkcijo lahko predstavimo kot y = f (g (x)), kjer je vrednost f funkcija logaritma z osnovo 3, g (x) pa velja za vsoto dveh funkcij v obliki h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 in k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Očitno je y = f (h (x) + k (x)).

Razmislite o funkciji h(x). To je razmerje l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 proti m (x) = e x 2 + 3 3

Imamo, da je l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) vsota dveh funkcij n (x) = x 2 + 7 in p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , kjer je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je kompleksna funkcija z numeričnim koeficientom 3 in p 1 je kubna funkcija, p 2 s kosinusno funkcijo, p 3 (x) = 2 x + 1 z linearno funkcijo.

Ugotovili smo, da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) vsota dveh funkcij q (x) = e x 2 in r (x) = 3 3, kjer je q (x) = q 1 (q 2 (x)) je kompleksna funkcija, q 1 je funkcija z eksponento, q 2 (x) = x 2 je potenčna funkcija.

To kaže, da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prehodu na izraz v obliki k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) je jasno, da je funkcija predstavljena v obliki kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) z racionalnim celim številom t (x) = x 2 + 1, kjer je s 1 kvadriranje funkcije in s 2 (x) = ln x logaritemsko z osnova e.

Iz tega sledi, da bo izraz v obliki k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Potem to razumemo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na podlagi struktur funkcije je postalo jasno, kako in katere formule je treba uporabiti za poenostavitev izraza pri njegovem razlikovanju. Za seznanitev s tovrstnimi problemi in za koncept njihove rešitve se je treba obrniti na diferenciacijo funkcije, to je na iskanje njenega odvoda.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter