Poiščite matematično pričakovanje vrednosti naključne spremenljivke. Povprečje in matematično pričakovanje v EXCEL

Pojavile se bodo tudi težave, ki jih boste morali rešiti sami, na katere si lahko ogledate odgovore.

Pričakovanje in varianca sta najpogosteje uporabljeni numerični karakteristiki naključne spremenljivke. Označujejo najpomembnejše značilnosti porazdelitve: njen položaj in stopnjo razpršenosti. Pričakovana vrednost se pogosto imenuje preprosto povprečje. naključna spremenljivka. Disperzija slučajne spremenljivke - značilnost disperzije, širjenje slučajne spremenljivke o svojem matematičnem pričakovanju.

V mnogih praktičnih problemih ni mogoče pridobiti popolne, izčrpne značilnosti naključne spremenljivke - distribucijskega zakona - ali pa je sploh ne potrebujemo. V teh primerih smo omejeni na približen opis naključne spremenljivke z uporabo numeričnih karakteristik.

Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Pojdimo k konceptu matematičnega pričakovanja. Naj bo masa neke snovi porazdeljena med točkami osi x x1 , x 2 , ..., x n. Poleg tega ima vsaka materialna točka ustrezno maso z verjetnostjo str1 , str 2 , ..., str n. Na osi abscise je treba izbrati eno točko, ki označuje položaj celotnega sistema materialnih točk ob upoštevanju njihovih mas. Za takšno točko je naravno vzeti središče mase sistema materialnih točk. To je tehtano povprečje naključne spremenljivke X, na katero je abscisa vsake točke xjaz vstopi s »težo«, ki je enaka ustrezni verjetnosti. Tako dobljena povprečna vrednost naključne spremenljivke X se imenuje njegovo matematično pričakovanje.

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov vseh možnih vrednosti in verjetnosti teh vrednosti:

Primer 1. Organizirana je zmagovalna loterija. Obstaja 1000 dobitkov, od tega 400 10 rubljev. 300 - 20 rubljev vsak. 200-100 rubljev vsak. in 100 - 200 rubljev vsak. Kolikšen je povprečni dobitek za nekoga, ki kupi en listek?

rešitev. Povprečni dobitek dobimo, če skupni znesek dobitkov, ki je 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubljev, delimo s 1000 (skupni znesek dobitkov). Potem dobimo 50000/1000 = 50 rubljev. Toda izraz za izračun povprečnih dobitkov je mogoče predstaviti v naslednji obliki:

Po drugi strani pa je v teh pogojih zmagovalna velikost naključna spremenljivka, ki lahko zavzame vrednosti 10, 20, 100 in 200 rubljev. z verjetnostjo, ki je enaka 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Zato je pričakovani povprečni dobitek enak vsoti zmnožkov velikosti dobitkov in verjetnosti njihovega prejema.

Primer 2. Založba se je odločila izdati novo knjigo. Knjigo namerava prodati za 280 rubljev, od tega bo sam prejel 200, 50 - knjigarna in 30 - avtor. V tabeli so podatki o stroških izdaje knjige in verjetnosti prodaje določenega števila izvodov knjige.

Poiščite pričakovani dobiček založnika.

rešitev. Naključna spremenljivka »dobiček« je enaka razliki med prihodki od prodaje in stroški stroškov. Na primer, če je prodanih 500 izvodov knjige, je dohodek od prodaje 200 * 500 = 100.000, stroški objave pa 225.000 rubljev. Tako se založnik sooča z izgubo v višini 125.000 rubljev. Naslednja tabela povzema pričakovane vrednosti naključne spremenljivke - dobiček:

Tako dobimo matematično pričakovanje dobička založnika:

.

Primer 3. Verjetnost zadetka z enim strelom str= 0,2. Določite porabo izstrelkov, ki zagotavljajo matematično pričakovanje števila zadetkov, ki je enako 5.

rešitev. Iz iste formule matematičnih pričakovanj, ki smo jo uporabljali do sedaj, izrazimo x- poraba školjke:

.

Primer 4. Določite matematično pričakovanje naključne spremenljivke xštevilo zadetkov s tremi streli, če je verjetnost zadetka z vsakim strelom str = 0,4 .

Namig: poiščite verjetnost vrednosti naključnih spremenljivk z Bernoullijeva formula .

Lastnosti matematičnega pričakovanja

Oglejmo si lastnosti matematičnega pričakovanja.

Lastnost 1. Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako tej konstanti:

Lastnost 2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz znaka matematičnega pričakovanja:

Nepremičnina 3. Matematično pričakovanje vsote (razlike) naključnih spremenljivk je enako vsoti (razliki) njihovih matematičnih pričakovanj:

Lastnina 4. Matematično pričakovanje produkta naključnih spremenljivk je enako produktu njihovih matematičnih pričakovanj:

Lastnina 5.Če so vse vrednosti naključne spremenljivke X zmanjšati (povečati) za isto število Z, potem se bo njegovo matematično pričakovanje zmanjšalo (povečalo) za isto število:

Ko se ne moreš omejiti le na matematično pričakovanje

V večini primerov le matematično pričakovanje ne more zadostno označiti naključne spremenljivke.

Naj naključne spremenljivke X in Y podani z naslednjimi distribucijskimi zakoni:

Matematična pričakovanja teh količin so enaka – enaka nič:

Vendar so njihovi vzorci porazdelitve različni. Naključna vrednost X lahko sprejme samo vrednosti, ki se malo razlikujejo od matematičnega pričakovanja, in naključne spremenljivke Y lahko sprejme vrednosti, ki bistveno odstopajo od matematičnega pričakovanja. Podoben primer: povprečna plača ne omogoča presoje deleža visoko in slabo plačanih delavcev. Povedano drugače, iz matematičnega pričakovanja ni mogoče presoditi, kakšna odstopanja od njega so vsaj v povprečju možna. Če želite to narediti, morate najti varianco naključne spremenljivke.

Varianca diskretne naključne spremenljivke

Varianca diskretna naključna spremenljivka X se imenuje matematično pričakovanje kvadrata njegovega odstopanja od matematičnega pričakovanja:

Standardni odklon naključne spremenljivke X aritmetična vrednost kvadratnega korena njegove variance se imenuje:

.

Primer 5. Izračunajte variance in standardne odklone naključnih spremenljivk X in Y, katerih distribucijski zakoni so podani v zgornjih tabelah.

rešitev. Matematična pričakovanja naključnih spremenljivk X in Y, kot je ugotovljeno zgoraj, enaka nič. Glede na disperzijsko formulo pri E(X)=E(l)=0 dobimo:

Nato standardne deviacije naključnih spremenljivk X in Y pobotati se

.

Tako je z enakimi matematičnimi pričakovanji varianca naključne spremenljivke X zelo majhna, a naključna spremenljivka Y- pomembno. To je posledica razlik v njihovi porazdelitvi.

Primer 6. Investitor ima 4 alternativne investicijske projekte. Tabela povzema pričakovani dobiček v teh projektih z ustrezno verjetnostjo.

Poiščite matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon za vsako alternativo.

rešitev. Pokažimo, kako so te vrednosti izračunane za 3. možnost:

Tabela povzema najdene vrednosti za vse alternative.

Vse alternative imajo enaka matematična pričakovanja. To pomeni, da imajo dolgoročno vsi enake prihodke. Standardni odklon si lahko razlagamo kot merilo tveganja – višje kot je, večje je tveganje naložbe. Investitor, ki ne želi veliko tveganja, bo izbral projekt 1, saj ima najmanjši standardni odklon (0). Če ima vlagatelj raje tveganje in visoke donose v kratkem času, bo izbral projekt z največjim standardnim odklonom - projekt 4.

Disperzijske lastnosti

Predstavimo lastnosti disperzije.

Lastnost 1. Varianca konstantne vrednosti je nič:

Lastnost 2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo:

.

Nepremičnina 3. Varianca naključne spremenljivke je enaka matematičnemu pričakovanju kvadrata te vrednosti, od katerega se odšteje kvadrat matematičnega pričakovanja same vrednosti:

,

Kje .

Lastnina 4. Varianca vsote (razlike) naključnih spremenljivk je enaka vsoti (razliki) njihovih varianc:

Primer 7. Znano je, da je diskretna naključna spremenljivka X ima samo dve vrednosti: −3 in 7. Poleg tega je znano matematično pričakovanje: E(X) = 4 . Poiščite varianco diskretne naključne spremenljivke.

rešitev. Označimo z str verjetnost, s katero naključna spremenljivka prevzame vrednost x1 = −3 . Nato verjetnost vrednosti x2 = 7 bo 1 − str. Izpeljimo enačbo za matematično pričakovanje:

E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,

kjer dobimo verjetnosti: str= 0,3 in 1 − str = 0,7 .

Zakon porazdelitve naključne spremenljivke:

Varianco te naključne spremenljivke izračunamo z uporabo formule iz lastnosti 3 disperzije:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Sami poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke in nato poglejte rešitev

Primer 8. Diskretna naključna spremenljivka X ima samo dve vrednosti. Sprejema večjo od vrednosti 3 z verjetnostjo 0,4. Poleg tega je znana varianca naključne spremenljivke D(X) = 6 . Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke.

Primer 9. V žari je 6 belih in 4 črne kroglice. Iz žare se izvlečejo 3 kroglice. Število belih kroglic med izžrebanimi kroglicami je diskretna naključna spremenljivka X. Poiščite matematično pričakovanje in varianco te naključne spremenljivke.

rešitev. Naključna vrednost X lahko sprejme vrednosti 0, 1, 2, 3. Ustrezne verjetnosti je mogoče izračunati iz pravilo množenja verjetnosti. Zakon porazdelitve naključne spremenljivke:

Od tod matematično pričakovanje te naključne spremenljivke:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varianca dane naključne spremenljivke je:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Pričakovanje in varianca zvezne naključne spremenljivke

Za zvezno naključno spremenljivko bo mehanska interpretacija matematičnega pričakovanja ohranila enak pomen: središče mase za enoto mase, ki je zvezno porazdeljeno na osi x z gostoto f(x). Za razliko od diskretne naključne spremenljivke, katere argument funkcije xjaz nenadoma spremeni; za zvezno naključno spremenljivko se argument nenehno spreminja. Toda matematično pričakovanje zvezne naključne spremenljivke je povezano tudi z njeno povprečno vrednostjo.

Če želite najti matematično pričakovanje in varianco zvezne naključne spremenljivke, morate najti določene integrale . Če je podana funkcija gostote zvezne naključne spremenljivke, potem ta neposredno vstopi v integrand. Če je podana funkcija porazdelitve verjetnosti, morate z njenim diferenciranjem najti funkcijo gostote.

Aritmetično povprečje vseh možnih vrednosti zvezne naključne spremenljivke se imenuje njeno matematično pričakovanje, označeno z ali .

Pričakovanje je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke

Matematično pričakovanje, definicija, matematično pričakovanje diskretnih in zveznih naključnih spremenljivk, vzorec, pogojno pričakovanje, izračun, lastnosti, problemi, ocena pričakovanja, disperzija, porazdelitvena funkcija, formule, primeri izračuna

Razširi vsebino

Strni vsebino

Definicija je matematično pričakovanje

Eden najpomembnejših konceptov v matematični statistiki in teoriji verjetnosti, ki opisuje porazdelitev vrednosti ali verjetnosti naključne spremenljivke. Običajno izraženo kot tehtano povprečje vseh možnih parametrov naključne spremenljivke. Pogosto se uporablja v tehnični analizi, preučevanju številskih nizov in preučevanju neprekinjenih in dolgotrajnih procesov. Pomemben je pri ocenjevanju tveganj, napovedovanju kazalnikov cen pri trgovanju na finančnih trgih in se uporablja pri razvoju strategij in metod igralne taktike v teoriji iger na srečo.

Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke obravnavana v teoriji verjetnosti.

Matematično pričakovanje je merilo povprečne vrednosti naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Pričakovanje naključne spremenljivke x označen z M(x).

Matematično pričakovanje je

Matematično pričakovanje je v teoriji verjetnosti tehtano povprečje vseh možnih vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka.

Matematično pričakovanje je vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.

Matematično pričakovanje je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je tako odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikega števila in velike razdalje.

Matematično pričakovanje je v teoriji iger na srečo znesek dobitkov, ki jih lahko igralec v povprečju zasluži ali izgubi za vsako stavo. V igralniškem jeziku se to včasih imenuje "igralčeva prednost" (če je pozitivna za igralca) ali "hišna prednost" (če je negativna za igralca).

Matematično pričakovanje je odstotek dobička na zmago, pomnožen s povprečnim dobičkom, minus verjetnost izgube, pomnožena s povprečno izgubo.

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke v matematični teoriji

Ena od pomembnih numeričnih značilnosti naključne spremenljivke je njeno matematično pričakovanje. Uvedimo koncept sistema naključnih spremenljivk. Oglejmo si nabor naključnih spremenljivk, ki so rezultati istega naključnega poskusa. Če je ena od možnih vrednosti sistema, potem dogodek ustreza določeni verjetnosti, ki zadovoljuje Kolmogorove aksiome. Funkcija, definirana za vse možne vrednosti naključnih spremenljivk, se imenuje zakon skupne porazdelitve. Ta funkcija vam omogoča izračun verjetnosti vseh dogodkov iz. Zlasti zakon skupne porazdelitve naključnih spremenljivk in , ki vzamejo vrednosti iz množice in , je podan z verjetnostmi.

Izraz »matematično pričakovanje« je uvedel Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) in izhaja iz koncepta »pričakovane vrednosti dobitkov«, ki se je prvič pojavil v 17. stoletju v teoriji iger na srečo v delih Blaisa Pascala in Christiana. Huygens. Vendar pa je prvo celovito teoretično razumevanje in oceno tega koncepta podal Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredi 19. stoletja).

Porazdelitveni zakon naključnih številskih spremenljivk (porazdelitvena funkcija in porazdelitveni niz ali gostota verjetnosti) popolnoma opiše obnašanje naključne spremenljivke. Toda v številnih težavah je dovolj poznati nekatere numerične značilnosti preučevane količine (na primer njeno povprečno vrednost in morebitno odstopanje od nje), da bi odgovorili na zastavljeno vprašanje. Glavne numerične značilnosti naključnih spremenljivk so matematično pričakovanje, varianca, način in mediana.

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti. Včasih se matematično pričakovanje imenuje tehtano povprečje, saj je približno enako aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke v velikem številu poskusov. Iz definicije matematičnega pričakovanja izhaja, da njegova vrednost ni manjša od najmanjše možne vrednosti naključne spremenljivke in ne večja od največje. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je nenaključna (konstantna) spremenljivka.

Matematično pričakovanje ima preprost fizikalni pomen: če enoto mase postavite na ravno črto, postavite določeno maso na nekaj točk (za diskretno porazdelitev) ali jo "razmažete" z določeno gostoto (za absolutno zvezno porazdelitev), , potem bo točka, ki ustreza matematičnim pričakovanjem, koordinata "težišče" ravna.

Povprečna vrednost naključne spremenljivke je določeno število, ki je tako rekoč njen »predstavnik« in jo nadomešča v približno približnih izračunih. Ko rečemo: »povprečni čas delovanja svetilke je 100 ur« ali »povprečna točka udarca je premaknjena glede na tarčo za 2 m v desno«, nakazujemo določeno numerično karakteristiko naključne spremenljivke, ki opisuje njeno lokacijo. na numerični osi, tj. "pozicijske značilnosti".

Od značilnosti položaja v teoriji verjetnosti ima najpomembnejšo vlogo matematično pričakovanje naključne spremenljivke, ki se včasih imenuje preprosto povprečna vrednost naključne spremenljivke.

Upoštevajte naključno spremenljivko X, ki ima možne vrednosti x1, x2, …, xn z verjetnostmi p1, p2, …, pn. Z določeno številko moramo označiti položaj vrednosti naključne spremenljivke na osi x, pri čemer upoštevamo dejstvo, da imajo te vrednosti različne verjetnosti. V ta namen je naravno uporabiti tako imenovano "uteženo povprečje" vrednosti xi, in vsako vrednost xi med povprečenjem je treba upoštevati z "utežjo", sorazmerno z verjetnostjo te vrednosti. Tako bomo izračunali povprečje naključne spremenljivke X, ki ga označujemo M |X|:

To tehtano povprečje se imenuje matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Tako smo v obravnavo uvedli enega najpomembnejših konceptov teorije verjetnosti - koncept matematičnega pričakovanja. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.

Naj se proizvaja n neodvisni poskusi, v vsakem od katerih vrednost X prevzame določeno vrednost. Predpostavimo, da vrednost x1 pojavil m1 krat, vrednost x2 pojavil m2časi, splošni pomen xi se je pojavilo mikrat. Izračunajmo aritmetično sredino opazovanih vrednosti vrednosti X, ki v nasprotju z matematičnim pričakovanjem M|X| označujemo M*|X|:

Z naraščajočim številom poskusov n frekvence pi se bo približala (konvergirala v verjetnosti) ustreznim verjetnostim. Posledično je aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke M|X| s povečanjem števila poskusov se bo približala (konvergirala v verjetnosti) svojemu matematičnemu pričakovanju. Zgoraj oblikovana povezava med aritmetično sredino in matematičnim pričakovanjem je vsebina ene od oblik zakona velikih števil.

Vemo že, da vse oblike zakona velikih števil navajajo dejstvo, da so nekatera povprečja stabilna v velikem številu poskusov. Tu govorimo o stabilnosti aritmetične sredine iz niza opazovanj iste količine. Pri majhnem številu poskusov je aritmetična sredina njihovih rezultatov naključna; z zadostnim povečanjem števila poskusov postane "skoraj nenaključno" in se s stabilizacijo približa konstantni vrednosti - matematičnemu pričakovanju.

Stabilnost povprečij v velikem številu poskusov je mogoče enostavno eksperimentalno preveriti. Na primer, pri tehtanju telesa v laboratoriju na natančnih tehtnicah dobimo kot rezultat tehtanja vsakič novo vrednost; Da zmanjšamo napako opazovanja, telo večkrat stehtamo in uporabimo aritmetično sredino dobljenih vrednosti. Lahko vidimo, da se z nadaljnjim povečevanjem števila poskusov (tehtanj) aritmetična sredina vedno manj odziva na to povečanje in se pri dovolj velikem številu poskusov praktično ne spreminja več.

Opozoriti je treba, da najpomembnejša značilnost položaja naključne spremenljivke - matematično pričakovanje - ne obstaja za vse naključne spremenljivke. Možno je sestaviti primere takih naključnih spremenljivk, za katere matematično pričakovanje ne obstaja, saj ustrezna vsota ali integral divergira. Vendar takšni primeri za prakso niso pomembnejši. Običajno imajo naključne spremenljivke, s katerimi imamo opravka, omejen obseg možnih vrednosti in imajo seveda matematično pričakovanje.

Poleg najpomembnejših značilnosti položaja naključne spremenljivke - matematičnega pričakovanja - se v praksi včasih uporabljajo tudi druge značilnosti položaja, zlasti način in mediana naključne spremenljivke.

Modus naključne spremenljivke je njena najverjetnejša vrednost. Izraz "najverjetnejša vrednost" strogo gledano velja samo za diskontinuirane količine; za zvezno količino je način vrednost, pri kateri je gostota verjetnosti največja. Slike prikazujejo način za diskontinuirane oziroma zvezne naključne spremenljivke.

Če ima poligon porazdelitve (krivulja porazdelitve) več kot en maksimum, se porazdelitev imenuje "multimodalna".

Včasih obstajajo distribucije, ki imajo minimum na sredini in ne maksimum. Takšne porazdelitve imenujemo "antimodalne".

V splošnem primeru način in matematično pričakovanje naključne spremenljivke ne sovpadata. V posebnem primeru, ko je porazdelitev simetrična in modalna (tj. ima način) in obstaja matematično pričakovanje, potem sovpada z načinom in središčem simetrije porazdelitve.

Pogosto se uporablja še ena karakteristika položaja - tako imenovana mediana naključne spremenljivke. Ta lastnost se običajno uporablja samo za zvezne naključne spremenljivke, čeprav jo je mogoče formalno definirati za diskontinuirano spremenljivko. Geometrično je mediana abscisa točke, v kateri je območje, ki ga oklepa porazdelitvena krivulja, razdeljeno na pol.

V primeru simetrične modalne porazdelitve mediana sovpada z matematičnim pričakovanjem in modusom.

Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke - numerična značilnost verjetnostne porazdelitve naključne spremenljivke. Na najbolj splošen način, matematično pričakovanje naključne spremenljivke X(w) je definiran kot Lebesgueov integral glede na verjetnostno mero R v prvotnem verjetnostnem prostoru:

Matematično pričakovanje je mogoče izračunati tudi kot Lebesgueov integral X z verjetnostno porazdelitvijo px količine X:

Koncept naključne spremenljivke z neskončnim matematičnim pričakovanjem je mogoče definirati na naraven način. Tipičen primer so povratni časi nekaterih naključnih sprehodov.

Z uporabo matematičnega pričakovanja se določijo številne numerične in funkcionalne značilnosti porazdelitve (kot matematično pričakovanje ustreznih funkcij naključne spremenljivke), na primer tvorna funkcija, značilna funkcija, trenutki katerega koli reda, zlasti disperzija, kovarianca. .

Matematično pričakovanje je značilnost lokacije vrednosti naključne spremenljivke (povprečna vrednost njene porazdelitve). V tej vlogi služi matematično pričakovanje kot nek "tipični" porazdelitveni parameter in njegova vloga je podobna vlogi statičnega momenta - koordinate težišča porazdelitve mase - v mehaniki. Od drugih značilnosti lokacije, s pomočjo katerih je porazdelitev opisana na splošno - mediane, modusi, se matematično pričakovanje razlikuje po večji vrednosti, ki jo imata in pripadajoča karakteristika sipanja - disperzija - v mejnih izrekih teorije verjetnosti. Pomen matematičnega pričakovanja najpopolneje razkrivata zakon velikih števil (neenakost Čebiševa) in okrepljeni zakon velikih števil.

Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Naj obstaja neka naključna spremenljivka, ki lahko sprejme eno od več številskih vrednosti (na primer, število točk pri metanju kocke je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ali 6). Pogosto se v praksi za tako vrednost pojavi vprašanje: kakšno vrednost ima "v povprečju" z velikim številom testov? Kakšen bo naš povprečni dohodek (ali izguba) iz vsake od tveganih transakcij?

Recimo, da obstaja nekakšna loterija. Želimo razumeti, ali je donosno ali ne sodelovati pri tem (ali celo sodelovati večkrat, redno). Recimo, da je zmagovalna vsaka četrta vstopnica, nagrada bo 300 rubljev, cena katere koli vstopnice pa 100 rubljev. Pri neskončno velikem številu udeležb se to zgodi. V treh četrtinah primerov bomo izgubili, vsake tri izgube bodo stale 300 rubljev. V vsakem četrtem primeru bomo dobili 200 rubljev. (nagrada minus stroški), to pomeni, da za štiri udeležbe izgubimo v povprečju 100 rubljev, za eno - v povprečju 25 rubljev. Skupaj bo povprečna stopnja naše ruševine 25 rubljev na vozovnico.

Vržemo kocke. Če ne gre za goljufanje (brez premikanja težišča ipd.), koliko točk bomo imeli v povprečju naenkrat? Ker je vsaka možnost enako verjetna, preprosto vzamemo aritmetično sredino in dobimo 3,5. Ker je to POVPREČJE, ni treba biti ogorčen, da noben določen met ne bo dal 3,5 točke - no, ta kocka nima obraza s tako številko!

Zdaj pa povzemimo naše primere:

Poglejmo pravkar prikazano sliko. Na levi je tabela porazdelitve naključne spremenljivke. Vrednost X lahko sprejme eno od n možnih vrednosti (prikazano v zgornji vrstici). Drugih pomenov ne more biti. Pod vsako možno vrednostjo je spodaj zapisana njena verjetnost. Na desni je formula, kjer se M(X) imenuje matematično pričakovanje. Pomen te vrednosti je, da se bo pri velikem številu testov (z velikim vzorcem) povprečna vrednost nagibala k temu istemu matematičnemu pričakovanju.

Vrnimo se spet k isti igralni kocki. Matematično pričakovanje števila točk pri metu je 3,5 (če ne verjamete, izračunajte sami po formuli). Recimo, da si ga nekajkrat vrgel. Rezultata sta bila 4 in 6. Povprečje je bilo 5, kar je daleč od 3,5. Vrgli so ga še enkrat, dobili so 3, torej v povprečju (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333 ... Nekako daleč od matematičnega pričakovanja. Sedaj pa naredite nor eksperiment - kocko zavrtite 1000-krat! In tudi če povprečje ne bo ravno 3,5, bo blizu tega.

Izračunajmo matematično pričakovanje za zgoraj opisano loterijo. Plošča bo izgledala takole:

Potem bo matematično pričakovanje, kot smo ugotovili zgoraj:

Druga stvar je, da bi bilo to narediti "na prste", brez formule, težko, če bi bilo več možnosti. No, recimo, da bi bilo 75 % izgubljenih listkov, 20 % zmagovalnih listkov in 5 % posebej zmagovalnih.

Zdaj pa nekaj lastnosti matematičnega pričakovanja.

To je enostavno dokazati:

Konstantni faktor lahko vzamemo kot znak matematičnega pričakovanja, to je:

To je poseben primer lastnosti linearnosti matematičnega pričakovanja.

Druga posledica linearnosti matematičnega pričakovanja:

to pomeni, da je matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk enako vsoti matematičnih pričakovanj naključnih spremenljivk.

Naj sta X, Y neodvisni naključni spremenljivki, potem:

To je tudi enostavno dokazati) Delo XY sama je naključna spremenljivka in če bi začetne vrednosti lahko sprejele n in m vrednosti v skladu s tem XY lahko sprejme vrednosti nm. Verjetnost posamezne vrednosti se izračuna na podlagi dejstva, da se verjetnosti neodvisnih dogodkov pomnožijo. Kot rezultat dobimo tole:

Pričakovanje zvezne naključne spremenljivke

Neprekinjene naključne spremenljivke imajo tako značilnost, kot je gostota porazdelitve (gostota verjetnosti). V bistvu označuje situacijo, da naključna spremenljivka vzame nekatere vrednosti iz niza realnih števil pogosteje, nekatere pa redkeje. Na primer, razmislite o tem grafu:

Tukaj X- dejanska naključna spremenljivka, f(x)- gostota porazdelitve. Sodeč po tem grafu je med poskusi vrednost X bo pogosto številka blizu ničle. Možnosti so presežene 3 ali biti manjši -3 bolj čisto teoretično.

Naj obstaja na primer enotna porazdelitev:

To je povsem skladno z intuitivnim razumevanjem. Recimo, če prejmemo veliko naključnih realnih števil z enakomerno porazdelitvijo, vsak segment |0; 1| , potem bi morala biti aritmetična sredina približno 0,5.

Lastnosti matematičnega pričakovanja - linearnost itd., ki veljajo za diskretne naključne spremenljivke, veljajo tudi tukaj.

Povezava med matematičnim pričakovanjem in drugimi statističnimi indikatorji

V statistični analizi poleg matematičnega pričakovanja obstaja sistem medsebojno odvisnih kazalnikov, ki odražajo homogenost pojavov in stabilnost procesov. Indikatorji variacije pogosto nimajo samostojnega pomena in se uporabljajo za nadaljnjo analizo podatkov. Izjema je koeficient variacije, ki označuje homogenost podatkov, kar je dragocena statistična značilnost.

Stopnjo variabilnosti oziroma stabilnosti procesov v statistični znanosti lahko merimo z več indikatorji.

Najpomembnejši indikator, ki označuje variabilnost naključne spremenljivke, je Razpršenost, ki je najtesneje in neposredno povezana z matematičnim pričakovanjem. Ta parameter se aktivno uporablja v drugih vrstah statistične analize (testiranje hipotez, analiza vzročno-posledičnih razmerij itd.). Tako kot povprečno linearno odstopanje tudi varianca odraža obseg širjenja podatkov okoli srednje vrednosti.

Jezik znakov je koristno prevesti v jezik besed. Izkazalo se je, da je disperzija povprečni kvadrat odstopanj. To pomeni, da se najprej izračuna povprečna vrednost, nato se razlika med vsako prvotno in povprečno vrednostjo vzame, kvadrira, doda in nato deli s številom vrednosti v populaciji. Razlika med posamezno vrednostjo in povprečjem odraža mero odstopanja. Kvadrira se tako, da postanejo vsa odstopanja izključno pozitivna števila in da se izognemo medsebojnemu uničenju pozitivnih in negativnih odstopanj pri njihovem seštevanju. Nato glede na kvadrat odstopanja preprosto izračunamo aritmetično sredino. Povprečje - kvadrat - odstopanja. Odstopanja se kvadrirajo in izračuna se povprečje. Odgovor na čarobno besedo »razpršenost« se skriva v samo treh besedah.

Vendar pa se disperzija v svoji čisti obliki, kot je aritmetična sredina ali indeks, ne uporablja. Je bolj pomožni in vmesni indikator, ki se uporablja za druge vrste statističnih analiz. Niti običajne merske enote nima. Sodeč po formuli je to kvadrat merske enote izvirnih podatkov.

Izmerimo naključno spremenljivko n krat, na primer desetkrat izmerimo hitrost vetra in želimo najti povprečno vrednost. Kako je povprečna vrednost povezana s porazdelitveno funkcijo?

Ali pa bomo kocko metali velikokrat. Število točk, ki se bo pojavilo na kocki ob vsakem metu, je naključna spremenljivka in ima lahko poljubno naravno vrednost od 1 do 6. Aritmetična sredina izpadlih točk, izračunana za vse mete kocke, je prav tako naključna spremenljivka, vendar za velike n nagiba se k zelo specifičnemu številu – matematičnim pričakovanjem Mx. V tem primeru je Mx = 3,5.

Kako ste dobili to vrednost? Spustiti noter n testi n1 ko dobiš 1 točko, n2 enkrat - 2 točki in tako naprej. Nato število izidov, pri katerih je padla ena točka:

Podobno velja za rezultate, ko se vržejo 2, 3, 4, 5 in 6 točk.

Predpostavimo zdaj, da poznamo zakon porazdelitve naključne spremenljivke x, to pomeni, da vemo, da lahko naključna spremenljivka x zavzame vrednosti x1, x2, ..., xk z verjetnostmi p1, p2, ..., pak.

Matematično pričakovanje Mx naključne spremenljivke x je enako:

Matematično pričakovanje ni vedno razumna ocena neke naključne spremenljivke. Zato je za oceno povprečne plače bolj smiselno uporabiti koncept mediane, to je takšne vrednosti, da število ljudi, ki prejemajo plačo, nižjo od mediane, in večjo sovpada.

Verjetnost p1, da bo naključna spremenljivka x manjša od x1/2, in verjetnost p2, da bo naključna spremenljivka x večja od x1/2, sta enaki in enaki 1/2. Mediana ni določena enolično za vse porazdelitve.

Standardno ali standardno odstopanje v statistiki se imenuje stopnja odstopanja opazovalnih podatkov ali nizov od POVPREČNE vrednosti. Označeno s črkama s ali s. Majhna standardna deviacija kaže, da se podatki združujejo okoli povprečja, medtem ko velika standardna deviacija kaže, da so začetni podatki daleč od nje. Standardni odklon je enak kvadratnemu korenu količine, imenovane varianca. Je povprečje vsote kvadratov razlik začetnih podatkov, ki odstopajo od povprečne vrednosti. Standardni odklon naključne spremenljivke je kvadratni koren variance:

Primer. V preskusnih pogojih pri streljanju na tarčo izračunajte disperzijo in standardni odklon naključne spremenljivke:

Različica- nihanje, spremenljivost vrednosti lastnosti med enotami populacije. Posamezne številčne vrednosti značilnosti, ki jih najdemo v proučevani populaciji, se imenujejo različice vrednosti. Nezadostnost povprečne vrednosti za popolno karakterizacijo populacije nas prisili, da povprečne vrednosti dopolnimo s kazalniki, ki nam omogočajo, da ocenimo tipičnost teh povprečij z merjenjem variabilnosti (variabilnosti) značilnosti, ki se preučuje. Koeficient variacije se izračuna po formuli:

Razpon variacije(R) predstavlja razliko med najvišjo in najmanjšo vrednostjo atributa v proučevani populaciji. Ta indikator daje najbolj splošno predstavo o spremenljivosti lastnosti, ki se preučuje, saj prikazuje razliko le med največjimi vrednostmi možnosti. Odvisnost od skrajnih vrednosti značilnosti daje obsegu variacije nestabilen, naključen značaj.

Povprečno linearno odstopanje predstavlja aritmetično sredino absolutnih (modulo) odstopanj vseh vrednosti analizirane populacije od njihove povprečne vrednosti:

Matematično pričakovanje v teoriji iger na srečo

Matematično pričakovanje je Povprečni znesek denarja, ki ga igralec lahko dobi ali izgubi pri dani stavi. To je zelo pomemben koncept za igralca, ker je temeljnega pomena za oceno večine igralnih situacij. Matematično pričakovanje je tudi optimalno orodje za analizo osnovnih postavitev kart in igralnih situacij.

Recimo, da s prijateljem igrate igro na kovance in vsakič stavite enako 1 $, ne glede na to, kaj se pojavi. Repi pomenijo zmago, glave pomenijo poraze. Kvote so ena proti ena, da bo prišlo do dvoboja, zato stavite 1 dolar proti 1 dolarju. Tako je vaše matematično pričakovanje nič, ker Z matematičnega vidika ne morete vedeti, ali boste vodili ali izgubili po dveh metih ali po 200.

Vaš urni dobiček je nič. Urni dobitek je znesek denarja, za katerega pričakujete, da ga boste osvojili v eni uri. V eni uri lahko vržete kovanec 500-krat, vendar ne boste zmagali ali izgubili, ker... vaše možnosti niso niti pozitivne niti negativne. Če pogledate, z vidika resnega igralca ta sistem stav ni slab. Ampak to je preprosto izguba časa.

Toda recimo, da želi nekdo staviti 2 USD proti vašim 1 USD na isto igro. Potem imate takoj pozitivno pričakovanje 50 centov od vsake stave. Zakaj 50 centov? V povprečju eno stavo dobite in drugo izgubite. Stavite prvi dolar in izgubili boste 1 $, stavite drugega in dobili boste 2 $. Dvakrat stavite 1 $ in vodite za 1 $. Torej vam je vsaka vaša stava za en dolar prinesla 50 centov.

Če se kovanec pojavi 500-krat v eni uri, bo vaš urni dobitek že 250 $, ker... V povprečju ste 250-krat izgubili en dolar in 250-krat dobili dva dolarja. 500 $ minus 250 $ je enako 250 $, kar je skupni dobitek. Upoštevajte, da je pričakovana vrednost, ki je povprečni znesek, ki ga dobite na stavo, 50 centov. Z 500-kratno stavo enega dolarja ste osvojili 250 $, kar je enako 50 centom na stavo.

Matematično pričakovanje nima nobene zveze s kratkoročnimi rezultati. Vaš nasprotnik, ki se je odločil staviti 2 $ proti vam, bi vas lahko premagal pri prvih desetih metih zapored, vendar boste vi, če imate stavno prednost 2 proti 1, ob drugih enakih pogojih, zaslužili 50 centov za vsako stavo 1 $ v katerem koli okoliščine. Ni pomembno, ali dobite ali izgubite eno stavo ali več stav, če imate dovolj denarja za udobno pokritje stroškov. Če nadaljujete s stavami na enak način, se bodo vaši dobitki v daljšem časovnem obdobju približali vsoti pričakovanj v posameznih metih.

Vsakič, ko sklenete najboljšo stavo (stavo, ki se lahko dolgoročno izkaže za donosno), ko so kvote v vašo korist, boste zagotovo nekaj dobili, ne glede na to, ali ste izgubili ali ne v dana roka. Nasprotno, če sklenete stavo underdog (stavo, ki je dolgoročno nedonosna), ko so kvote proti vam, nekaj izgubite ne glede na to, ali zmagate ali izgubite kombinacijo.

Stavo z najboljšim izidom položite, če je vaše pričakovanje pozitivno, in je pozitivno, če so kvote na vaši strani. Ko stavite na najslabši izid, imate negativno pričakovanje, kar se zgodi, ko so kvote proti vam. Resni igralci stavijo le na najboljši izid; če se zgodi najslabši, odstopijo. Kaj pomenijo kvote v vašo korist? Morda boste na koncu zmagali več, kot prinašajo realne kvote. Dejanske možnosti za pristanek na glave so 1 proti 1, vendar dobite 2 proti 1 zaradi razmerja verjetnosti. V tem primeru so možnosti v vašo korist. Zagotovo dobite najboljši izid s pozitivnim pričakovanjem 50 centov na stavo.

Tukaj je bolj zapleten primer matematičnega pričakovanja. Prijatelj si zapiše številke od ena do pet in stavi 5 $ proti tvojemu 1 $, da ne boš uganil številke. Bi se morali strinjati s tako stavo? Kakšno je pričakovanje tukaj?

V povprečju se boste zmotili štirikrat. Na podlagi tega je verjetnost, da boste uganili številko, 4 proti 1. Verjetnost, da boste izgubili dolar v enem poskusu. Vendar zmagate 5 proti 1, z možnostjo izgube 4 proti 1. Kvote so vam torej naklonjene, lahko sprejmete stavo in upate na najboljši izid. Če to stavo sklenete petkrat, boste v povprečju štirikrat izgubili 1 $ in enkrat dobili 5 $. Na podlagi tega boste za vseh pet poskusov zaslužili 1 $ s pozitivnim matematičnim pričakovanjem 20 centov na stavo.

Igralec, ki bo dobil več, kot je stavil, kot v zgornjem primeru, tvega. Nasprotno, uniči svoje možnosti, ko pričakuje, da bo dobil manj, kot je stavil. Stavnik ima lahko pozitivno ali negativno pričakovanje, odvisno od tega, ali zmaga ali uniči kvote.

Če stavite 50 $, da dobite 10 $ z možnostjo zmage 4 proti 1, boste prejeli negativno pričakovanje 2 $, ker V povprečju boste štirikrat zadeli 10 $ in enkrat izgubili 50 $, kar kaže, da bo izguba na stavo 10 $. Toda če stavite 30 $, da dobite 10 $, z enakimi kvotami za zmago 4 proti 1, potem imate v tem primeru pozitivno pričakovanje 2 $, ker spet štirikrat osvojite 10 $ in enkrat izgubite 30 $, za dobiček 10 $. Ti primeri kažejo, da je prva stava slaba, druga pa dobra.

Matematično pričakovanje je središče vsake igralne situacije. Ko stavnica spodbuja ljubitelje nogometa, naj stavijo 11 $ za dobitek 10 $, ima pozitivno pričakovanje 50 centov na vsakih 10 $. Če igralnica izplača enakomeren denar iz kartice za craps, bo pozitivno pričakovanje igralnice približno 1,40 USD na vsakih 100 USD, ker Ta igra je strukturirana tako, da vsak, ki stavi na to linijo, v povprečju izgubi 50,7 % in dobi 49,3 % skupnega časa. Nedvomno prav to na videz minimalno pozitivno pričakovanje lastnikom igralnic po vsem svetu prinaša enormne dobičke. Kot je zapisal lastnik igralnice Vegas World Bob Stupak, bo "ena tisočinka enega odstotka negativne verjetnosti na dovolj veliki razdalji uničila najbogatejšega človeka na svetu."

Pričakovanja pri igranju pokra

Igra Poker je najbolj ilustrativen in nazoren primer z vidika uporabe teorije in lastnosti matematičnega pričakovanja.

Pričakovana vrednost v pokru je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je takšno odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikih številk in velike razdalje. Uspešna igra pokra je vedno sprejeti poteze s pozitivno pričakovano vrednostjo.

Matematični pomen matematičnega pričakovanja pri igranju pokra je v tem, da se pri odločanju pogosto srečujemo z naključnimi spremenljivkami (ne vemo, katere karte ima nasprotnik v rokah, katere karte bodo prišle v naslednjih krogih stav). Vsako od rešitev moramo obravnavati z vidika teorije velikih števil, ki trdi, da bo pri dovolj velikem vzorcu povprečna vrednost naključne spremenljivke težila k svojemu matematičnemu pričakovanju.

Med posebnimi formulami za izračun matematičnega pričakovanja je v pokru najbolj uporabna naslednja:

Pri igranju pokra je mogoče izračunati pričakovano vrednost tako za stave kot za klice. V prvem primeru je treba upoštevati lastniški kapital, v drugem pa kvote banke. Ko ocenjujete matematično pričakovanje določene poteze, se morate spomniti, da ima odstop vedno ničelno pričakovanje. Tako bo odlaganje kart vedno bolj donosna odločitev kot katera koli negativna poteza.

Pričakovanje vam pove, kaj lahko pričakujete (dobiček ali izgubo) za vsak dolar, ki ga tvegate. Igralnice služijo denar, ker je matematično pričakovanje vseh iger, ki se igrajo v njih, v korist igralnice. Pri dovolj dolgem nizu iger lahko pričakujete, da bo stranka izgubila svoj denar, saj so "kvote" v prid igralnici. Vendar profesionalni igralci v igralnicah omejujejo svoje igre na kratka časovna obdobja, s čimer povečajo kvote v svojo korist. Enako velja za naložbe. Če so vaša pričakovanja pozitivna, lahko zaslužite več denarja s sklenitvijo številnih poslov v kratkem času. Pričakovanje je vaš odstotek dobička na zmago, pomnožen z vašim povprečnim dobičkom, minus vaša verjetnost izgube, pomnožena z vašo povprečno izgubo.

Poker lahko obravnavamo tudi s stališča matematičnega pričakovanja. Lahko domnevate, da je določena poteza donosna, vendar v nekaterih primerih morda ni najboljša, ker je druga poteza bolj donosna. Recimo, da ste dosegli full house v pokru s petimi kartami. Vaš nasprotnik sklene stavo. Veste, da če zvišate stavo, se bo odzval. Zato se zdi povišanje najboljša taktika. Toda če zvišate stavo, bosta preostala dva igralca zagotovo odstopila. Toda če izenačite, ste popolnoma prepričani, da bosta druga dva igralca za vami storila enako. Ko zvišate stavo, prejmete eno enoto, ko samo izenačite, pa dve. Tako vam klicanje daje višjo pozitivno pričakovano vrednost in bo najboljša taktika.

Matematično pričakovanje lahko tudi poda idejo o tem, katere taktike pokra so manj donosne in katere bolj donosne. Na primer, če igrate določeno kombinacijo in mislite, da bo vaša izguba v povprečju znašala 75 centov, vključno z antejem, potem morate igrati to kombinacijo, ker to je bolje kot odstop, ko je ante $1.

Drug pomemben razlog za razumevanje koncepta pričakovane vrednosti je ta, da vam daje občutek brezskrbnosti, ne glede na to, ali ste stavo dobili ali ne: če ste dobro stavili ali odstopili ob pravem času, boste vedeli, da ste zaslužili oz. prihranil določeno vsoto denarja, ki je šibkejši igralec ni mogel prihraniti. Veliko težje je odstopiti, če ste razburjeni, ker je vaš nasprotnik potegnil močnejšo kombinacijo. Z vsem tem se denar, ki ga prihranite, če ne igrate namesto s stavami, doda vašim dobitkom za noč ali mesec.

Ne pozabite le, da bi vas nasprotnik izenačil, če bi zamenjali igralca, in kot boste videli v članku Fundamental Theorem of Poker, je to le ena od vaših prednosti. Moral bi biti vesel, ko se to zgodi. Lahko se celo naučiš uživati ​​ob izgubi kombinacije, ker veš, da bi drugi igralci na tvojem mestu izgubili veliko več.

Kot je bilo omenjeno v primeru igre s kovanci na začetku, je urna postavka dobička medsebojno povezana z matematičnim pričakovanjem in ta koncept je še posebej pomemben za profesionalne igralce. Ko greste igrati poker, morate v mislih oceniti, koliko lahko dobite v eni uri igre. V večini primerov se boste morali zanesti na svojo intuicijo in izkušnje, lahko pa uporabite tudi nekaj matematike. Na primer, igrate draw lowball in vidite tri igralce, ki stavijo 10 $ in nato zamenjajo dve karti, kar je zelo slaba taktika, lahko ugotovite, da vsakič, ko stavijo 10 $, izgubijo približno 2 $. Vsak od njih to počne osemkrat na uro, kar pomeni, da vsi trije izgubijo približno 48 dolarjev na uro. Ste eden od preostalih štirih igralcev, ki so približno enakovredni, zato si morajo ti štirje igralci (in vi med njimi) razdeliti 48 $, pri čemer vsak zasluži 12 $ na uro. Vaše urne kvote so v tem primeru preprosto enake vašemu deležu zneska denarja, ki so ga v eni uri izgubili trije slabi igralci.

V daljšem časovnem obdobju so igralčevi skupni dobitki vsota njegovih matematičnih pričakovanj v posameznih kombinacijah. Več rok kot igrate s pozitivnim pričakovanjem, več zmagate, in obratno, več rok igrate z negativnim pričakovanjem, več izgubite. Zato bi morali izbrati igro, ki lahko poveča vaše pozitivno predvidevanje ali izniči vaša negativna predvidevanja, tako da lahko povečate svoje urne dobitke.

Pozitivno matematično pričakovanje v strategiji iger

Če znaš šteti karte, si lahko v prednosti pred igralnico, če le te ne opazijo in vržejo ven. Igralnice imajo rade pijane igralce in ne tolerirajo igralcev, ki štejejo karte. Prednost vam bo omogočila, da večkrat zmagate kot izgubite skozi čas. Dobro upravljanje denarja z uporabo izračunov pričakovane vrednosti vam lahko pomaga pridobiti več dobička iz vaše prednosti in zmanjšati izgube. Brez prednosti je bolje, da daste denar v dobrodelne namene. V igri na borzi daje prednost sistem igre, ki ustvarja večje dobičke kot izgube, razlike v ceni in provizije. Nobeno upravljanje denarja ne more rešiti slabega igralnega sistema.

Pozitivno pričakovanje je opredeljeno kot vrednost, večja od nič. Večje kot je to število, močnejše je statistično pričakovanje. Če je vrednost manjša od nič, bo tudi matematično pričakovanje negativno. Večji kot je modul negativne vrednosti, slabše je stanje. Če je rezultat nič, potem je čakanje prelomno. Zmagate lahko le, če imate pozitivno matematično pričakovanje in razumen sistem igranja. Igranje po intuiciji vodi v katastrofo.

Matematično pričakovanje in borzno trgovanje

Matematično pričakovanje je dokaj pogosto uporabljen in priljubljen statistični indikator pri izvajanju borznega trgovanja na finančnih trgih. Prvič, ta parameter se uporablja za analizo uspešnosti trgovanja. Ni težko uganiti, da višja kot je ta vrednost, več je razlogov, da menimo, da je preučevana trgovina uspešna. Seveda analize dela trgovca ni mogoče izvesti samo s tem parametrom. Vendar lahko izračunana vrednost v kombinaciji z drugimi metodami ocenjevanja kakovosti dela bistveno poveča natančnost analize.

Matematično pričakovanje se pogosto izračuna v storitvah za spremljanje trgovalnih računov, kar vam omogoča hitro oceno dela, opravljenega na depozitu. Izjeme vključujejo strategije, ki uporabljajo "sedenje" nedonosnih poslov. Trgovec ima lahko nekaj časa srečo in zato pri njegovem delu morda sploh ne bo nobenih izgub. V tem primeru se ne bo mogoče osredotočiti samo na matematično pričakovanje, ker tveganja, uporabljena pri delu, ne bodo upoštevana.

Pri tržnem trgovanju se matematično pričakovanje najpogosteje uporablja pri napovedovanju donosnosti katere koli trgovalne strategije ali pri napovedovanju dohodka trgovca na podlagi statističnih podatkov iz njegovega prejšnjega trgovanja.

V zvezi z upravljanjem denarja je zelo pomembno razumeti, da pri sklepanju poslov z negativnimi pričakovanji ni sheme upravljanja denarja, ki bi lahko zagotovo prinesla visoke dobičke. Če boste še naprej igrali na borzi pod temi pogoji, boste ne glede na to, kako upravljate s svojim denarjem, izgubili celoten račun, ne glede na to, kako velik je bil na začetku.

Ta aksiom ne velja le za igre ali posle z negativnim pričakovanjem, velja tudi za igre z enakimi možnostmi. Zato imate dolgoročno priložnost za dobiček le, če sklepate posle s pozitivno pričakovano vrednostjo.

Razlika med negativnim in pozitivnim pričakovanjem je razlika med življenjem in smrtjo. Ni pomembno, kako pozitivno ali kako negativno je pričakovanje; Pomembno je le, ali je pozitiven ali negativen. Zato morate, preden razmislite o upravljanju denarja, najti igro s pozitivnimi pričakovanji.

Če te igre nimate, vas vse upravljanje denarja na svetu ne bo rešilo. Po drugi strani pa, če imate pozitivna pričakovanja, jih lahko s pravilnim upravljanjem denarja spremenite v funkcijo eksponentne rasti. Ni pomembno, kako majhna so pozitivna pričakovanja! Z drugimi besedami, ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem trgovanja, ki temelji na eni pogodbi. Če imate sistem, ki dobi 10 USD na pogodbo na posel (po provizijah in zdrsu), lahko uporabite tehnike upravljanja denarja, da bo bolj donosen kot sistem, ki v povprečju znaša 1000 USD na posel (po odbitku provizij in zdrsa).

Ni pomembno, kako dobičkonosen je bil sistem, ampak kako zanesljivo lahko rečemo, da bo sistem v prihodnosti pokazal vsaj minimalen dobiček. Zato je najpomembnejša priprava, ki jo lahko opravi trgovec, zagotoviti, da bo sistem v prihodnosti pokazal pozitivno pričakovano vrednost.

Da bi imeli v prihodnosti pozitivno pričakovano vrednost, je zelo pomembno, da ne omejite stopenj svobode svojega sistema. To se doseže ne le z odpravo ali zmanjšanjem števila parametrov, ki jih je treba optimizirati, ampak tudi z zmanjšanjem čim več sistemskih pravil. Vsak parameter, ki ga dodate, vsako pravilo, ki ga naredite, vsaka majhna sprememba, ki jo naredite v sistemu, zmanjša število stopenj svobode. V idealnem primeru morate zgraditi dokaj primitiven in preprost sistem, ki bo dosledno ustvarjal majhne dobičke na skoraj vseh trgih. Spet je pomembno, da razumete, da ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem, dokler je dobičkonosen. Denar, ki ga zaslužite pri trgovanju, bo zaslužen z učinkovitim upravljanjem denarja.

Trgovalni sistem je preprosto orodje, ki vam daje pozitivno pričakovano vrednost, tako da lahko uporabljate upravljanje denarja. Sistemi, ki delujejo (izkazujejo vsaj minimalne dobičke) samo na enem ali nekaj trgih ali imajo različna pravila ali parametre za različne trge, najverjetneje ne bodo delovali v realnem času dovolj dolgo. Težava večine tehnično usmerjenih trgovcev je, da porabijo preveč časa in truda za optimizacijo različnih pravil in vrednosti parametrov trgovalnega sistema. To daje popolnoma nasprotne rezultate. Namesto da zapravljate energijo in računalniški čas za povečanje dobička trgovalnega sistema, svojo energijo usmerite v povečanje stopnje zanesljivosti doseganja minimalnega dobička.

Ker ve, da je upravljanje denarja le igra številk, ki zahteva uporabo pozitivnih pričakovanj, lahko trgovec preneha iskati »sveti gral« borznega trgovanja. Namesto tega lahko začne testirati svojo metodo trgovanja, ugotovi, kako logična je ta metoda in ali daje pozitivna pričakovanja. Ustrezne metode upravljanja denarja, uporabljene pri vseh, tudi zelo povprečnih metodah trgovanja, bodo ostalo delo opravile same.

Da bi vsak trgovec uspel pri svojem delu, mora rešiti tri najpomembnejše naloge: . Zagotoviti, da število uspešnih transakcij presega neizogibne napake in napačne izračune; Nastavite svoj trgovalni sistem tako, da boste čim pogosteje lahko zaslužili denar; Dosezite stabilne pozitivne rezultate svojega delovanja.

In tukaj je za nas zaposlene trgovce lahko matematično pričakovanje v veliko pomoč. Ta izraz je eden ključnih v teoriji verjetnosti. Z njegovo pomočjo lahko podate povprečno oceno neke naključne vrednosti. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je podobno težišču, če si vse možne verjetnosti predstavljamo kot točke z različnimi masami.

V zvezi s strategijo trgovanja se za oceno njene učinkovitosti najpogosteje uporablja matematično pričakovanje dobička (ali izgube). Ta parameter je opredeljen kot vsota zmnožkov danih ravni dobička in izgube ter verjetnosti njihovega pojava. Na primer, razvita strategija trgovanja predvideva, da bo 37% vseh transakcij prineslo dobiček, preostali del - 63% - pa bo nedonosnih. Hkrati bo povprečni dohodek od uspešne transakcije 7 $, povprečna izguba pa 1,4 $. Izračunajmo matematično pričakovanje trgovanja s tem sistemom:

Kaj pomeni ta številka? Pravi, da bomo po pravilih tega sistema v povprečju prejeli 1.708 $ od vsake zaključene transakcije. Ker je dobljena ocena učinkovitosti večja od nič, se tak sistem lahko uporablja za resnično delo. Če se kot rezultat izračuna izkaže, da je matematično pričakovanje negativno, potem to že pomeni povprečno izgubo in takšno trgovanje vodi v propad.

Znesek dobička na transakcijo je lahko izražen tudi kot relativna vrednost v obliki %. Na primer:

– odstotek dohodka na 1 transakcijo - 5%;

– odstotek uspešnih trgovalnih operacij - 62%;

– odstotek izgube na 1 transakcijo - 3%;

– odstotek neuspešnih transakcij - 38%;

To pomeni, da bo povprečna trgovina prinesla 1,96%.

Možno je razviti sistem, ki bo kljub prevladi nedonosnih poslov dal pozitiven rezultat, saj je njegov MO>0.

Vendar samo čakanje ni dovolj. Težko je zaslužiti, če sistem daje zelo malo trgovalnih signalov. V tem primeru bo njegova donosnost primerljiva z bančnimi obrestmi. Naj vsaka operacija proizvede v povprečju le 0,5 dolarja, a kaj, če sistem vključuje 1000 operacij na leto? To bo zelo pomemben znesek v razmeroma kratkem času. Iz tega logično izhaja, da je še ena značilnost dobrega trgovalnega sistema kratko obdobje zadrževanja pozicij.

Viri in povezave

dic.academic.ru – akademski spletni slovar

mathematics.ru – izobraževalna spletna stran za matematiko

nsu.ru – izobraževalna spletna stran Novosibirske državne univerze

webmath.ru je izobraževalni portal za študente, kandidate in šolarje.

exponenta.ru izobraževalna matematična spletna stran

ru.tradimo.com – brezplačna spletna šola trgovanja

crypto.hut2.ru – multidisciplinarni informacijski vir

poker-wiki.ru – brezplačna enciklopedija pokra

sernam.ru – Znanstvena knjižnica izbranih naravoslovnih publikacij

reshim.su – spletna stran REŠOVALI BOMO testne naloge

unfx.ru – Forex na UNFX: usposabljanje, trgovalni signali, upravljanje zaupanja

slovopedia.com – Veliki enciklopedični slovar Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Vaš vodnik v svetu pokra

statanaliz.info – informativni blog “Statistična analiza podatkov”

forex-trader.rf – portal Forex-Trader

megafx.ru – trenutna analitika Forex

fx-by.com – vse za trgovca

V teoriji verjetnosti in v mnogih njenih aplikacijah so različne numerične značilnosti naključnih spremenljivk velikega pomena. Glavna sta matematično pričakovanje in varianca.

1. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke in njene lastnosti.

Najprej razmislimo o naslednjem primeru. Naj rastlina prejme serijo, sestavljeno iz n ležaji. pri čemer:

m 1 x 1,
m 2- število ležajev z zunanjim premerom x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- število ležajev z zunanjim premerom x n,

Tukaj m 1 +m 2 +...+m n =N. Poiščimo aritmetično sredino x povpr zunanji premer ležaja. očitno,
Zunanji premer naključno vzetega ležaja lahko obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki sprejema vrednosti x 1, x 2, ..., x n, z ustreznimi verjetnostmi p 1 =m 1 /N, p 2 =m 2 /N, ..., p n = m n /N, saj je verjetnost p i videz ležaja z zunanjim premerom x i enako m i /N. Torej, aritmetična sredina x povpr Zunanji premer ležaja lahko določite z relacijo
Naj bo diskretna naključna spremenljivka z danim zakonom porazdelitve verjetnosti

Matematično pričakovanje diskretna naključna spremenljivka je vsota parnih produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke z njihovimi ustreznimi verjetnostmi, tj. *
V tem primeru se predpostavi, da nepravi integral na desni strani enačbe (40) obstaja.

Oglejmo si lastnosti matematičnega pričakovanja. V tem primeru se bomo omejili le na dokaz prvih dveh lastnosti, ki ju bomo izvedli za diskretne naključne spremenljivke.

1°. Matematično pričakovanje konstante C je enako tej konstanti.
Dokaz. Konstanta C si lahko predstavljamo kot naključno spremenljivko, ki ima lahko samo eno vrednost C z verjetnostjo enako ena. Zato

2°. Konstantni faktor lahko vzamemo onkraj predznaka matematičnega pričakovanja, tj.
Dokaz. Z uporabo relacije (39) imamo

3°. Matematično pričakovanje vsote več naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj teh spremenljivk.:

Razpršenost zvezna naključna spremenljivka X, katere možne vrednosti pripadajo celotni osi Ox, je določena z enakostjo:

Namen storitve. Spletni kalkulator je zasnovan za reševanje težav, pri katerih bodisi gostota porazdelitve f(x) ali porazdelitveno funkcijo F(x) (glej primer). Običajno morate pri takih nalogah najti matematično pričakovanje, standardni odklon, graf funkcij f(x) in F(x).

Navodila. Izberite vrsto izvornih podatkov: gostota porazdelitve f(x) ali funkcija porazdelitve F(x).

Gostota porazdelitve f(x) je podana:

Porazdelitvena funkcija F(x) je podana:

Zvezna naključna spremenljivka je določena z gostoto verjetnosti
(Rayleijev zakon porazdelitve - uporablja se v radijski tehniki). Poiščite M(x) , D(x) .

Pokliče se naključna spremenljivka X neprekinjeno , če je njegova porazdelitvena funkcija F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke se uporablja za izračun verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v dani interval:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Poleg tega za zvezno naključno spremenljivko ni pomembno, ali so njene meje vključene v ta interval ali ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gostota porazdelitve zvezna naključna spremenljivka se imenuje funkcija
f(x)=F’(x) , odvod porazdelitvene funkcije.

Lastnosti porazdelitvene gostote