Srednje povprečje. Strukturna povprečja

Osrednjo težnjo podatkov je mogoče obravnavati ne le kot vrednost z ničelnim skupnim odstopanjem (aritmetična sredina) ali največjo frekvenco (način), temveč tudi kot določeno oznako (določena raven analiziranega indikatorja), ki deli razvrščene podatke ( razvrščeni v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu) na dva enaka dela. To pomeni, da je polovica izvirnih podatkov manjša od te oznake v vrednosti, polovica pa več. To je to mediana. Mode in mediana sta pomembna indikatorja; odražata strukturo podatkov in se včasih uporabljata namesto aritmetične sredine.

Torej, mediana je raven indikatorja, ki razdeli določen niz podatkov na dva enake polovice. Kot demonstracijski primer poglejmo še enkrat komplet naključna števila. Ta distribucija pri velike količine pomenov v literaturi opisujejo kot vsakdanji pojav. Tukaj so podatki v obliki slike.

Očitno bo s simetrično porazdelitvijo sredina, ki populacijo deli na polovico, v samem središču - na istem mestu kot aritmetična sredina (in način). To je tako rekoč idealna situacija, ko moda, mediana in aritmetična sredina sovpadajo in vse njihove lastnosti padejo na eno točko - največja frekvenca, razpolovitev, ničelna vsota odstopanj - vse na enem mestu. Vendar pa življenje ni tako simetrično kot običajna porazdelitev. Zato poglejmo asimetrično porazdelitev in kaj se tam zgodi z našimi osrednjimi težnjami.

Recimo, da imamo opravka s tehničnimi meritvami odstopanj od pričakovane vrednosti nečesa (vsebnost elementov, razdalja, nivo, masa itd. itd.). Če je vse v redu, bodo odstopanja najverjetneje porazdeljena po zakonu, ki je blizu normalnemu, približno tako kot na zgornji sliki (praksa zavrača takšno domnevo, a dobro). Če pa v analiziranem procesu obstaja pomemben in nenadzorovan dejavnik, se lahko v opazovanjih pojavijo nepravilne vrednosti, ki bodo pomembno vplivale na aritmetično sredino, vendar skoraj ne bodo vplivale na mediano, kar je jasno vidno v naslednjem histogramu.

Mediana je glavna alternativa aritmetični sredini, ker je odporen na nenormalna odstopanja (outliers). Ta članek govori o tem, kako se aritmetična sredina obnaša pri nenormalnih vrednostih in kako se s tem soočiti, to je, kako narediti manj odvisno od izstopajočih vrednosti. Glavni možnosti sta povečanje števila opazovanj in/ali odprava anomalij iz analitičnega vzorca. Torej je prehod od aritmetične sredine do mediane še en način za pridobitev stabilne (robustne) ocene matematičnega pričakovanja. Druga stvar je, da bodo lastnosti aritmetične sredine za vedno izgubljene, a tukaj je treba pogledati, kaj je bolj pomembno.

Zdaj primeri dejanske uporabe mediane v statistiki. Pri analizi povprečne plače za državo se lahko namesto aritmetične sredine uporabi mediana. Ljudje ne marajo, ko je njihova lastna plača nižja od povprečja (aritmetika) države. To povzroči vihar čustev in razkritja napačnih izračunov. Na primer, moja plača je 100 rubljev, direktorjeva pa 1000 rubljev, tako da se izkaže, da je v povprečju 550 rubljev. Kaj to je, nezadovoljni občani ne vedo in jih ne zanima. Če pa uporabite mediano, bo jasno, da polovica prebivalstva prejema manj dohodka od mediane, polovica pa več.

Ta indikator se uporablja tudi v demografske statistike, pri analizi različnih kvantitativnih in kakovostne lastnosti(trdnost materiala, vsebnost elementov, čas delovanja, število okvar itd.). Tudi forex trgovci uporabljajo mediano kot nekakšen skrivni signal za začetek akcije. Čeprav jih to večine ne reši.

matematične lastnost mediane je, da vsota absolutnih (modulo) odstopanj od mediane vrednosti daje najmanjšo možno vrednost v primerjavi z odstopanji od katere koli druge vrednosti. Celo manj od aritmetičnega povprečja, o kako! To dejstvo najde svojo uporabo na primer pri reševanju transportna opravila, ko morate izračunati gradbišče objekta v bližini ceste tako, da je skupna dolžina letov do njega od različni kraji je bilo minimalno (postajališča, bencinske črpalke, skladišča itd. itd.). Opomba za logiste.

(modul 111)

Mediana formula za diskretna podatkov nekoliko spominja na modno formulo. Namreč zato, ker formule kot take ni. Srednja vrednost se izbere iz razpoložljivih podatkov in le, če to ni mogoče, se izvede preprost izračun.

Najprej se podatki rangirajo (razvrstijo v padajočem vrstnem redu). Naprej sta dve možnosti. Če je število vrednosti liho, bo mediana ustrezala osrednji vrednosti serije, katere število je mogoče določiti s formulo:

Ne, jaz– število vrednosti, ki ustreza mediani,

n– število vrednosti v nizu podatkov.

Potem bo mediana označena kot

To je prva možnost, ko je v podatkih ena osrednja vrednost. Druga možnost se pojavi, ko je število podatkov sodo, to pomeni, da sta namesto ene dve osrednji vrednosti. Rešitev je preprosta: vzemite aritmetično sredino dveh osrednjih vrednosti:

Tako pride do iskanja ali izračuna v diskretnih podatkih. Lahko pa so tudi podatki interval, kjer ni možno izbrati določene vrednosti, saj posebnih vrednosti preprosto ni. Tako kot v modi se mediana v tem primeru izračuna po nekem splošno sprejetem pravilu, ki temelji na določeni predpostavki, torej na oko. In dobro se izkaže, vam povem!

Za začetek (po rangiranju podatkov) poiščite srednji interval. To je interval, skozi katerega gre želena mediana vrednost. Določeno z uporabo akumuliranega deleža rangiranih intervalov. Kjer je akumulirani delež prvič presegel 50 % vseh vrednosti, obstaja mediana intervala.

Ne vem, kdo se je domislil formule mediane, vendar so očitno izhajali iz predpostavke, da je porazdelitev podatkov znotraj intervala mediane enakomerna (tj. 30 % širine intervala je 30 % vrednosti, 80 % širina je 80 % vrednosti itd.). Od tu naprej, poznavanje števila vrednosti od začetka medianega intervala do 50% vseh vrednosti v populaciji (razlika med polovico števila vseh vrednosti in akumulirano frekvenco predmedianega intervala ), lahko ugotovite, kakšen delež zavzemajo v celotnem medianem intervalu. Ta delež se natančno prenese na širino medianega intervala, ki označuje določeno vrednost, kasneje imenovano mediana.

Brez odlašanja je bolje, da se obrnete na vizualni diagram - jasnejši bo.

Izkazalo se je nekoliko okorno, a zdaj, upam, je vse jasno in razumljivo. Da se izognete risanju takšnega grafa vsakič pri izračunu, lahko uporabite že pripravljeno formulo. Formula mediane je naslednja:

kje x Jaz- spodnja meja medianega intervala;

jaz jaz- širina medianega intervala;

∑f/2- število vseh vrednosti, deljeno z 2 (dve);

S(Me-1)- skupno število opazovanj, ki so bila zbrana pred začetkom medianega intervala, tj. akumulirana frekvenca predmedianskega intervala;

f jaz- število opazovanj v medianem intervalu.

Kot lahko vidite, je formula mediane sestavljena iz dveh členov: 1 – vrednost začetka intervala mediane in 2 – sam del, ki je sorazmeren z manjkajočim akumuliranim deležem do 50 %. Na nek način izgleda celo kot modna formula. Razlika je v iskanju točke znotraj intervala.

Na primer, izračunajmo mediano z naslednjimi podatki.

Najti morate srednjo ceno, to je ceno, ki je cenejša in dražja od polovice količine blaga. Za začetek bomo naredili pomožne izračune akumulirane frekvence, akumuliranega deleža, skupno število blaga. Zdaj pa poglejmo še enkrat, kaj imamo.

Z zadnjim stolpcem "Akumulirani delež" določimo mediani interval - 300-400 rubljev (akumulirani delež je prvič večji od 50%). Širina intervala - 100 rub. Zdaj ostane le še, da podatke nadomestimo z zgornjo formulo in izračunamo mediano.

To pomeni, da ima ena polovica blaga ceno nižjo od 350 rubljev, druga polovica pa višjo. Enostavno je. Aritmetično povprečje, izračunano na podlagi istih podatkov, je enako 355 rubljev. Razlika ni bistvena, a je.

Izračunajte mediano v Excelu

Statistika brez samodejnih izračunov – prejšnje stoletje. Mediano števil je mogoče zlahka najti z uporabo Excel funkcija, ki se imenuje MEDIAN. Je izjemno enostaven za uporabo. Aktivira se celica za izračun, pokliče se funkcija, izbere obseg podatkov in “OK”. Ni kaj več razpravljati. Primerno za sode in lihe količine podatkov.

Intervalni podatki so druga stvar. V Excelu ni ustrezne funkcije. Zato morate uporabiti zgornjo formulo. Kaj lahko narediš? Vendar to ni zelo tragično, saj je izračun mediane iz intervalnih podatkov redek primer. Enkrat lahko izračunaš na kalkulatorju.

Mimogrede, dejstvo, da mediana deli podatke na dva enaka dela, spominja na nekatere metode združevanja. Dejansko po iskanju mediane dobimo tudi dve skupini z enakim številom vrednosti. Če razvijemo to idejo, je razdelitev v skupine možna ne le po načelu 50/50, temveč tudi po drugih deležih. Na primer, 20% največjih vrednosti ni nič drugega kot skupina A v analizi ABC. O ostalih delnicah pa kdaj v drugem članku. Vidite, kako se na videz nepovezane metode prekrivajo?

Moja zgodba o mediani statističnega indikatorja se bliža koncu. Upam, da ni bilo naporno. Za konec predlagam problem v stilu televizijskega kviza Kdo želi biti milijonar? Obstaja niz podatkov. 15, 5, 20, 5, 10. Kakšno je povprečje? Štiri možnosti:

Predlagam tudi ogled videoposnetka na temo izračuna mediane v Excelu.

Plača v različne industrije gospodarnost, temperatura in količina padavin na istem ozemlju v primerljivih obdobjih, pridelek poljščin, pridelanih v različnih geografskih regijah, itd. Vendar pa povprečje nikakor ni edini splošni kazalnik - v nekaterih primerih je vrednost, kot je mediana . V statistiki se pogosto uporablja kot pomožna deskriptivna značilnost porazdelitve lastnosti v določeni populaciji. Ugotovimo, kako se razlikuje od povprečnega in zakaj ga je potrebno uporabljati.

Mediana v statistiki: definicija in lastnosti

Predstavljajte si naslednjo situacijo: v podjetju skupaj z direktorjem dela 10 ljudi. Navadni delavci prejmejo 1000 UAH, njihov vodja, ki je tudi lastnik, pa 10.000 UAH. Če izračunamo aritmetično povprečje, se izkaže, da je povprečna plača v tem podjetju 1900 UAH. Bo ta izjava resnična? Ali vzemite ta primer, v istem bolniški oddelek Devet oseb ima temperaturo 36,6 °C, ena oseba pa 41 °C. Aritmetična sredina je v tem primeru enaka: (36,6*9+41)/10 = 37,04 °C. A to ne pomeni, da so vsi prisotni bolni. Vse to nakazuje, da samo povprečje pogosto ni dovolj, zato se poleg njega uporablja še mediana. V statistiki se ta indikator imenuje varianta, ki se nahaja točno na sredini urejenega niza variacij. Če ga izračunamo za naše primere, dobimo 1000 UAH oz. in 36,6 °C. Z drugimi besedami, mediana v statistiki je vrednost, ki deli niz na pol tako, da se na obeh straneh (navzdol ali navzgor) nahaja enako število enote dane populacije. Zaradi te lastnosti ima ta indikator več drugih imen: 50. percentil ali 0,5 kvantil.

Kako najti mediano v statistiki

Metoda za izračun te vrednosti je v veliki meri odvisna od vrste variacijske serije, ki jo imamo: diskretne ali intervalne. V prvem primeru se mediana precej preprosto najde v statistiki. Vse kar morate storiti je, da poiščete vsoto frekvenc, jo delite z 2 in nato rezultatu dodate ½. Načelo izračuna bi bilo najbolje razložiti na naslednjem primeru. Recimo, da smo združili podatke o plodnosti in želimo ugotoviti, kakšna je mediana.

Po nekaj preprostih izračunih ugotovimo, da je zahtevani indikator: 195/2 + ½ = možnost. Da bi ugotovili, kaj to pomeni, morate zaporedno kopičiti frekvence, začenši z najmanjšimi možnostmi. Torej, vsota prvih dveh vrstic nam da 30. Jasno je, da tukaj ni 98 možnosti. Če pa rezultatu dodamo frekvenco tretje možnosti (70), dobimo vsoto, ki je enaka 100. Vsebuje točno 98. možnost, kar pomeni, da bo mediana družina z dvema otrokoma.

Kar zadeva intervalne serije, potem se tukaj običajno uporablja naslednja formula:

M e = X Me + i Me * (∑f/2 - S Me-1)/f Me, pri čemer:

• X Me - prva vrednost medianega intervala;
• ∑f - število serij (vsota njenih frekvenc);
• i Ме - vrednost mediane;
• f Me - frekvenca mediane;
• S Ме-1 je vsota kumulativnih frekvenc v razponih pred mediano.

Še enkrat, to je zelo težko razumeti brez primera. Recimo, da obstajajo podatki o vrednosti

Za uporabo zgornje formule moramo najprej določiti srednji interval. Kot tak obseg izberite tistega, katerega akumulirana frekvenca presega polovico skupne vsote frekvenc ali ji je enaka. Torej, če 510 delimo z 2, ugotovimo, da to merilo ustreza intervalu z vrednostjo plače 250.000 rubljev. do 300.000 rubljev. Zdaj lahko vse podatke nadomestite s formulo:

M e = X Me + i Me * (∑f/2 - S Me-1)/f Me = 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 = 286,96 tisoč rubljev.

Upamo, da je bil naš članek koristen in da zdaj jasno razumete, kaj je mediana v statistiki in kako jo je treba izračunati.

Poleg povprečnih vrednosti se izračunajo tudi strukturna povprečja kot statistične značilnosti variacijskih nizov porazdelitev - moda in mediana.
Moda(Mo) predstavlja vrednost lastnosti, ki se proučuje, ponavljajočo se z največjo frekvenco, tj. način – vrednost lastnosti, ki se najpogosteje pojavlja.
Mediana(Me) je vrednost atributa, ki spada v sredino rangirane (urejene) populacije, tj. mediana je osrednja vrednost variacijske serije.
Glavna lastnost mediane je, da je vsota absolutnih odstopanj vrednosti atributa od mediane manjša kot od katere koli druge vrednosti ∑|x i - Me|=min.

Določanje načina in mediane iz nezdruženih podatkov

Izračun mode in mediane za diskretne serije

Izračun mode in mediane za intervalne serije

Izračun mode in mediane za variacijsko serijo

Določitev načina iz diskretne variacijske serije

Izračun mode in mediane v intervalnih serijah

Določitev mode in mediane z grafično metodo

Kvartili, decili, percentili

4. Moda. Mediana. Splošno in vzorčno povprečje

Način je na zaslonu, mediana je v trikotniku, povprečje pa je temperatura v bolnišnici in na oddelku. Nadaljujemo naše praktični tečaj zanimiva statistika (1. lekcija)študij osrednje značilnosti statistična populacija , katerih imena vidite v naslovu. In začeli bomo od njegovega konca, ker oh povprečne vrednosti pogovor se je začel skoraj od prvih odstavkov teme. Za napredne bralce kazalo vsebine:

• Splošno in vzorčno povprečje– izračun na podlagi primarnih podatkov in za generirane diskretne variacijske serije;
• Moda– definicija in določitev za diskretni primer;
• Mediana – splošna definicija kako najti mediano;
• Srednja vrednost, način in mediana serije intervalnih variacij– izračun na podlagi primarnih podatkov in na podlagi končane serije. Module in mediane formule,
• Kvartili, decili, percentili - na kratko o glavnem.

No, za "telekane" je bolje, da se z gradivom seznanite po vrstnem redu:

Raziščimo torej nekaj prebivalstvo obseg, namreč njen numerična značilnost, ni važno, diskretna oz neprekinjeno (Lekcije 2, 3).

Splošna srednja klical aritmetična sredina vse vrednosti tega niza:

Če so med številkami enake (kar je značilno za diskretne serije) , potem lahko formulo zapišemo v bolj kompaktni obliki:
, Kje
možnost enkrat ponovi;
možnost - enkrat;
možnost - enkrat;
…
možnost - enkrat.

Primer izračuna v živo splošna srednja srečal v Primer 2, a da ne bom dolgočasen, se njegove vsebine niti ne bom spominjal.

Naprej. Kot se spomnimo, obdelava vseh prebivalstvo pogosto težko ali nemogoče, zato je organizirano predstavnik vzorec glasnost, na podlagi študije tega vzorca pa se sklepa o celotni populaciji.

Vzorčno povprečje klical aritmetična sredina vse vzorčne vrednosti:

in če obstajajo enake možnosti, bo formula zapisana bolj kompaktno:
– kot vsota zmnožkov opcije z ustreznim frekvence .

Vzorčno povprečje omogoča dokaj natančno oceno prave vrednosti, kar za marsikatero študijo povsem zadostuje. Poleg tega, večji kot je vzorec, natančnejša bo ta ocena.

Začnimo s prakso, oziroma nadaljujmo z diskretne variacijske serije in znano stanje:

Primer 8

Na podlagi rezultatov vzorčne študije delavcev v delavnici so bile določene njihove kvalifikacijske kategorije: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

kako odločiti se naloga? Če nam je dano primarni podatki(prvotne neobdelane vrednosti), jih je mogoče preprosto sešteti in rezultat deliti z velikostjo vzorca:
– povprečna statistična kvalifikacijska kategorija delavcev v delavnici.

Toda pri mnogih problemih je treba sestaviti variacijsko serijo (cm. Primer 4) :

– ali pa je bila ta serija predlagana na začetku (kar se zgodi pogosteje). In potem seveda uporabimo "civilizirano" formulo:

Moda . Način diskretne variacijske serije je možnost z največjo frekvenco. V tem primeru. Modo je enostavno najti v tabeli in še lažje frekvenčno območje je abscisa najvišje točke:


Včasih obstaja več takih vrednosti (z isto največjo frekvenco), nato pa se vsaka od njih šteje za način.

Če vse ali skoraj vse možnosti drugače (kar je značilno za intervalne serije), potem modalno vrednost določimo na nekoliko drugačen način, o čemer govorimo v 2. delu lekcije.

Mediana . Mediana variacijske serije * – to je vrednost, ki jo deli na dva enaka dela (glede na število možnosti).

Zdaj pa moramo najti povprečje, način in mediano.

rešitev: najti povprečje Glede na primarne podatke je najbolje sešteti vse možnosti in rezultat razdeliti na obseg prebivalstva:
brlog enote

Ti izračuni, mimogrede, ne bodo vzeli toliko časa pri uporabi kalkulatorja brez povezave. Če pa imate Excel, potem seveda zabijte v katero koli prosto celico =SUM(, izberite vse številke z miško, zaprite oklepaj ) , postavite znak delitve / , vnesite številko 30 in pritisnite Vnesite. pripravljena

Kar zadeva modo, postane njena ocena na podlagi začetnih podatkov neuporabna. Čeprav med številkami vidimo enake številke, je med njimi lahko pet, šest ali sedem različic z enako največjo frekvenco, na primer frekvenca 2. Poleg tega so cene lahko zaokrožene. Zato se modalna vrednost izračuna z uporabo generirane intervalne serije (več o tem malo kasneje).

Česa ne moremo reči o mediani: vnesite v Excel =MEDIAN(, izberite vse številke z miško, zaprite oklepaj ) in pritisnite Vnesite: . Poleg tega vam tukaj sploh ni treba ničesar razvrščati.

Ampak v Primer 6 razvrščeni v naraščajočem vrstnem redu (zapomni si in razvrsti – povezava zgoraj), in to dobra priložnost ponovite formalni algoritem za iskanje mediane. Velikost vzorca razdelite na polovico:

In ker je sestavljena iz sodega števila možnosti, je mediana enaka aritmetični sredini 15. in 16. možnosti urejeno(!) variacijske serije:

brlog enote

Druga situacija. Ko je podana že pripravljena intervalna serija (tipična izobraževalna naloga).

Nadaljujemo z analizo istega primera s škornji, kjer po začetnih podatkih IVR je bil sestavljen. Za izračun povprečje zahtevane bodo sredine intervalov:

– za uporabo znane formule za diskretne primere:

– odličen rezultat! Odstopanje od natančnejše vrednosti (), izračunane iz primarnih podatkov, je le 0,04.

V bistvu smo tukaj aproksimirali intervalno vrsto kot diskretno in ta aproksimacija se je izkazala za zelo učinkovito. Vendar tu ni posebne koristi, saj... s sodobno programsko opremo ni težko izračunati natančna vrednost celo za zelo velik niz primarnih podatkov. Ampak to pod pogojem, da jih poznamo :)

Z drugimi osrednjimi indikatorji je vse bolj zanimivo.

Če želite najti modo, morate najti modalni interval (z največjo frekvenco)– v tem problemu je to interval s frekvenco 11 in uporabite naslednjo strašljivo formulo:
, kjer:

– spodnja meja modalnega intervala;
– dolžina modalnega intervala;
– pogostost modalnega intervala;
– frekvenca prejšnjega intervala;
– frekvenca naslednjega intervala.

Torej:
brlog enote – kot vidite, se »modna« cena škornjev opazno razlikuje od aritmetičnega povprečja.

Ne da bi se spuščal v geometrijo formule, bom samo dal histogram relativne frekvence in pripomnil bom:


iz katerega je jasno razvidno, da je način premaknjen glede na središče modalnega intervala proti levemu intervalu z višjo frekvenco. Logično.

Naj pogledam nekaj redkih primerov:

– če je modalni interval skrajni, potem bodisi ;

– če najdemo 2 modalna intervala, ki sta v bližini, na primer in , potem upoštevamo modalni interval, in če je možno, tudi bližnja intervala (levo in desno) povečamo za 2-krat.

– če obstaja razdalja med modalnimi intervali, potem uporabimo formulo za vsak interval, s čimer dobimo 2 oz več Maud.

To je tak način pošiljanja :)

In mediana. Če je podana že pripravljena serija intervalov, se mediana izračuna z nekoliko manj strašljivo formulo, vendar jo je najprej dolgočasno (Freudova tipkarska napaka :)) najti srednji interval – to je interval, ki vsebuje opcijo (ali 2 opciji), ki deli variacijsko serijo na dva enaka dela.

Zgoraj sem vam povedal, kako določiti mediano, s poudarkom na relativne akumulirane frekvence, tukaj je bolj priročno izračunati "navadne" akumulirane frekvence. Algoritem računanja je popolnoma enak - prvo vrednost premaknemo v levo (rdeča puščica), vsak naslednji pa dobimo kot vsoto prejšnjega s trenutno frekvenco iz levega stolpca (zeleni simboli kot primer):

Ali vsi razumejo pomen številk v desnem stolpcu? – to je število možnosti, ki so se uspele "nabrati" v vseh "preteklih" intervalih, vključno s trenutnim.

Ker imamo sodo število opcij (30 kosov), bo mediana interval, ki vsebuje 30/2 = 15. in 16. opcijo. In na podlagi zbranih frekvenc je enostavno priti do zaključka, da so te možnosti vsebovane v intervalu.

Formula mediane:
, kjer:
– obseg statistične populacije;
– spodnja meja medianega intervala;
– dolžina medianega intervala;
– pogostost srednji interval;
– akumulirana frekvenca prejšnji interval.

Torej:
brlog enote – upoštevajte, da se je srednja vrednost, nasprotno, izkazala za pomaknjena v desno, ker Avtor: desna roka Obstaja precejšnje število možnosti:


In za referenco posebni primeri.

Ker raziskovalec nima podatkov o obsegu prodaje na posamezni menjalnici, je treba izračunati aritmetično povprečje za določitev povprečna cena za dolar ni praktično.

Mediana niza števil

Vendar pa je mogoče določiti vrednost atributa, ki se imenuje mediana (Me). Mediana

v našem primeru

Srednje število: NoMe = ;

Moda

Tabela 3.6.

f— vsota frekvenc serije;

S kumulativne frekvence

12_

_

S—kumulirane frekvence.

Na sl. 3.2. Prikazan je histogram porazdelitve bank po stopnji dobička (v skladu s tabelo 3.6.).

x - znesek dobička, milijon rubljev,

f je število bank.

"MEDIANA UREJENE NIZE"

Besedilna HTML različica publikacije

Beležke pri učnih urah algebre v 7. razredu

Tema lekcije: "MEDIANA UREJENE NIZE."

učiteljica šole Ozyornaya, podružnica srednje šole MCOU Burkovskaya Eremenko Tatyana Alekseevna
Cilji:
koncept mediane kot statistične značilnosti urejene serije; razvijajo sposobnost iskanja mediane za urejene nize s sodim in lihim številom členov; razviti sposobnost razlage medianih vrednosti glede na praktično situacijo, utrjevanje pojma aritmetična sredina množice števil. Razvijte spretnosti samostojno delo. Razviti zanimanje za matematiko.
Napredek lekcije

Ustno delo.
Vrstice so podane: 1) 4; 1; 8; 5; 1; 2) ; 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0,2; ; 4; 6; 7,3; 6. Poišči: a) največji in najmanjša vrednost vsaka vrstica; b) obseg vsake vrstice; c) način vsake vrstice.
II. Razlaga nove snovi.
Delo po učbeniku. 1. Razmislimo o nalogi iz 10. odstavka učbenika. Kaj pomeni naročena serija? Rad bi poudaril, da morate pred iskanjem mediane vedno urediti niz podatkov. 2. Na tabli se seznanimo s pravili za iskanje mediane za serije s sodim in lihim številom členov:
Mediana

urejeno

vrstica
številke
z

liho

število

člani
je številka, napisana na sredini, in
mediana

naročene serije
številke
s sodim številom članov
imenujemo aritmetična sredina dveh na sredini zapisanih števil.
Mediana

poljubno

vrstica
se imenuje mediana 1 3 1 7 5 4 ustrezne urejene serije.
ugotavljam, da kazalniki - povprečje aritmetika, način in mediana po

drugače

označiti

podatki,

prejeli

rezultat

opazovanja.

III. Oblikovanje spretnosti in spretnosti.
1. skupina. Vaje za uporabo formul za iskanje mediane urejenega in neurejenega niza. 1.
№ 186.
rešitev: a) Število članov serije n= 9; mediana Mah= 41; b) n= 7, vrstica je urejena, Mah= 207; V) n= 6, vrstica je urejena, Mah= = 21; G) n= 8, vrstica je urejena, Mah= = 2,9. Odgovor: a) 41; b) 207; c) 21; d) 2.9. Učenci komentirajo, kako najti mediano. 2. Poišči aritmetično sredino in mediano zaporedja števil: a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; V) ; 1. b) 56, 58, 64, 66, 62, 74. rešitev: Da bi našli mediano, je treba vsako vrstico razvrstiti v naslednji red: a) 21, 23, 27, 29, 31, 34. n = 6; X = = 27,5; Mah= = 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + b) 56, 58, 62, 64, 66, 74.

Kako najti mediano v statistiki

n = 6; X = 63,3; Mah= = 63; V) ; 1. n = 5; X = : 5 = 3: 5 = 0,6; Mah = . 3.
№ 188
(ustno). Odgovor: da; b) ne; c) ne; d) da. 4. Vedeti, da urejena serija vsebuje Tštevilke, kjer T– liho število, navedite številko člana, ki je mediana, če T je enako: a) 5; b) 17; c) 47; d) 201. Odgovor: a) 3; b) 9; c) 24; d) 101. 2. skupina. Praktični problemi najti mediano ustrezne serije in interpretirati dobljeni rezultat. 1.
№ 189.
rešitev:Število članov serije n= 12. Če želite najti mediano, mora biti serija urejena: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Mediana serije Mah= = 176. Mesečna proizvodnja je bila večja od mediane za naslednje člane artela: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125 ; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 22 xx+ + = 1) Kvitko; 4) Bobkov; 2) Baranov; 5) Rilov; 3) Antonov; 6) Astafjev. Odgovor: 176. 2.
№ 192.
rešitev: Razvrstimo podatkovne serije: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; število članov serije n= 20. Zamah A = x max – x min = 42 – 30 = 12. Moda Mo= 32 (ta vrednost se pojavi 6-krat - pogosteje kot druge). Mediana Mah= = 35. V tem primeru obseg kaže največjo variacijo v času obdelave dela; način prikazuje najbolj značilno vrednost časa obdelave; mediana – čas obdelave, ki ga ni presegla polovica obračalcev. Odgovor: 12; 32; 35.
IV. Povzetek lekcije.
– Kako se imenuje mediana niza števil? – Ali lahko mediana niza števil ne sovpada z nobenim številom v nizu? – Katero število je mediana urejenega niza, ki vsebuje 2 nštevilke? 2 n– 1 številke? – Kako najti mediano neurejene serije?
domača naloga:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

V razdelek osnovna splošna izobrazba

Način in mediana

Povprečne vrednosti vključujejo tudi način in mediano.

Kot se pogosto uporabljata mediana in način povprečna značilnost v tistih populacijah, kjer je izračun povprečja (aritmetičnega, harmoničnega itd.) nemogoč ali neizvedljiv.

Na primer, vzorčna raziskava 12 komercialnih menjalnic v Omsku je omogočila beleženje različnih cen dolarja pri prodaji (podatki od 10. oktobra 1995 po tečaju dolarja -4493 rubljev).

Ker raziskovalec nima podatkov o obsegu prodaje na vsaki menjalnici, je izračun aritmetičnega povprečja za določitev povprečne cene za dolar nepraktičen. Vendar pa je mogoče določiti vrednost atributa, ki se imenuje mediana (Me). Mediana leži na sredini uvrščene vrstice in jo deli na pol.

Izračun mediane za nezdružene podatke je naslednji:

a) uredite posamezne vrednosti značilnosti v naraščajočem vrstnem redu:

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570

b) opredeliti serijsko številko mediane z uporabo formule:

v našem primeru to pomeni, da se mediana v tem primeru nahaja med šesto in sedmo vrednostjo atributa v rangirani seriji, saj ima serija sodo število posamezne vrednote. Tako je Me enako aritmetični sredini sosednjih vrednosti: 4550, 4560.

c) razmislite o postopku izračuna mediane v primeru lihega števila posameznih vrednosti.

Recimo, da ne opazimo 12, ampak 11 menjalnih točk, potem bo razvrščena serija videti tako (zavrzite 12. točko):

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570

Srednje število: NoMe = ;

na šestem mestu je = 4560, kar je mediana: Me = 4560. Na obeh straneh je enako število točk.

Moda— to je najpogostejša vrednost značilnosti med enotami dane populacije. Ustreza določeni vrednosti atributa.

V našem primeru lahko modalno ceno na dolar imenujemo 4560 rubljev: ta vrednost se ponovi 4-krat, pogosteje kot vse druge.

V praksi se način in mediana običajno najdeta z uporabo združenih podatkov. Kot rezultat združevanja je bila pridobljena serija razdelitev bank glede na višino prejetega dobička leta (tabela 3.6.).

Tabela 3.6.

Razvrščanje bank v skupine po višini dobička, prejetega za leto

Če želite določiti mediano, morate izračunati vsoto kumulativnih frekvenc. Skupno povečevanje se nadaljuje, dokler kumulativna vsota frekvenc ne preseže polovice vsote frekvenc. V našem primeru vsota akumuliranih frekvenc (12) presega polovico vseh vrednosti (20:2). Ta vrednost ustreza medianemu intervalu, ki vsebuje mediano (5,5 - 6,4). Določimo njegovo vrednost po formuli:

kjer je začetna vrednost intervala, ki vsebuje mediano;

— vrednost medianega intervala;

f— vsota frekvenc serije;

— vsota kumulativnih frekvenc pred srednjim intervalom;

— pogostost medianega intervala.

Tako ima 50% bank dobiček v višini 6,1 milijona rubljev, 50% bank pa dobiček nad 6,1 milijona rubljev.

Najvišja frekvenca ustreza tudi intervalu 5,5 - 6,4, tj. način mora biti v tem intervalu. Njegovo vrednost določimo po formuli:

kjer je začetna vrednost intervala, ki vsebuje način;

— vrednost modalnega intervala;

— pogostost modalnega intervala;

— frekvenca intervala pred modalnim;

— frekvenca intervala, ki sledi modalnemu.

Dano modno formulo je mogoče uporabiti v variacijskih serijah z enakimi intervali.

Tako je v tej populaciji najpogostejša velikost dobička 6,10 milijona rubljev.

Mediano in modus lahko določimo grafično. Mediana je določena s kumulato (slika 3.1.). Za njegovo konstrukcijo je potrebno izračunati kumulativne frekvence in frekvence. Kumulativne frekvence kažejo, koliko populacijskih enot ima vrednosti atributov, ki niso večje od obravnavane vrednosti, in so določene z zaporednim seštevanjem intervalnih frekvenc. Pri konstruiranju serije kumulativne intervalne porazdelitve spodnja meja prvega intervala ustreza frekvenci enako nič, zgornja meja pa je celotna frekvenca danega intervala. Zgornja meja drugega intervala ustreza kumulativni frekvenci, enaka vsoti frekvence prvih dveh intervalov itd.

Sestavimo kumulativno krivuljo glede na podatke v tabeli. 6 o razdelitvi bank po stopnji dobička.

S kumulativne frekvence

12_

_

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 X dobiček

riž. 3.1. Kumulacije vrste porazdelitve bank po velikosti dobička:

x - znesek dobička, milijon rubljev,

S—kumulirane frekvence.

Za določitev mediane je višina najvišje ordinate, ki ustreza skupno število agregat, razdeljen na pol. Skozi nastalo točko narišemo premico, vzporedno z abscisno osjo, dokler se ne preseka s kumulato. Abscisa presečišča je mediana.

Način je določen s histogramom porazdelitve. Histogram je zgrajen takole:

so narisane na abscisni osi enake segmente, ki na sprejeti lestvici ustrezajo velikosti intervalov variacijske serije. Na segmentih so zgrajeni pravokotniki, katerih površine so sorazmerne s frekvencami (ali frekvencami) intervala.

Mediana v statistiki

3.2. Prikazan je histogram porazdelitve bank po stopnji dobička (v skladu s tabelo 3.6.).

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 X

riž. 3.2. Porazdelitev poslovnih bank po stopnji dobička:

x - znesek dobička, milijon rubljev,

f je število bank.

Za določitev načina povežite desno oglišče modalnega pravokotnika z zgornjim desnim kotom prejšnjega pravokotnika in levo oglišče modalnega pravokotnika z zgornjim levim kotom naslednjega pravokotnika. Abscisa presečišča teh črt bo način porazdelitve.

Mediana (statistika)

Mediana (statistika), V matematična statistika— številka, ki označuje vzorec (na primer niz številk). Če so vsi vzorčni elementi različni, je mediana številka vzorca, tako da je točno polovica vzorčnih elementov večja od nje, druga polovica pa manjša od nje. Na splošno lahko mediano ugotovimo tako, da elemente vzorca razporedimo v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu in vzamemo srednji element. Na primer, vzorec (11, 9, 3, 5, 5) se po razvrščanju spremeni v (3, 5, 5, 9, 11), njegova mediana pa je številka 5. Če ima vzorec sodo število elementov, je mediana morda ni enolično določena: za numerične podatke se najpogosteje uporablja polovična vsota dveh sosednjih vrednosti (to pomeni, da je mediana niza (1, 3, 5, 7) enaka 4).

Z drugimi besedami, mediana v statistiki je vrednost, ki serijo deli na pol tako, da je na obeh straneh (navzdol ali navzgor) enako število enot v dani populaciji.

Naloga št. 1. Izračun aritmetične sredine, modalnih in medianskih vrednosti

Zaradi te lastnosti ima ta indikator več drugih imen: 50. percentil ali 0,5 kvantil.

• Povprečna vrednost
  
• Mediana
  
• Moda
  

Mediana (statistika)

Mediana (statistika), v matematični statistiki število, ki označuje vzorec (na primer niz števil). Če so vsi vzorčni elementi različni, je mediana številka vzorca, tako da je točno polovica vzorčnih elementov večja od nje, druga polovica pa manjša od nje. Na splošno lahko mediano ugotovimo tako, da elemente vzorca razporedimo v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu in vzamemo srednji element. Na primer, vzorec (11, 9, 3, 5, 5) se po naročilu spremeni v (3, 5, 5, 9, 11), njegova mediana pa je številka 5.

5.5 Način in mediana. Njihov izračun v diskretnih in intervalnih variacijskih vrstah

Če je v vzorcu sodo število elementov, mediana morda ni enolično določena: za numerične podatke se najpogosteje uporablja polovična vsota dveh sosednjih vrednosti (to je mediana niza (1, 3, 5, 7) je enako 4).

Z drugimi besedami, mediana v statistiki je vrednost, ki serijo deli na pol tako, da je na obeh straneh (navzdol ali navzgor) enako število enot v dani populaciji. Zaradi te lastnosti ima ta indikator več drugih imen: 50. percentil ali 0,5 kvantil.

Mediana se uporablja namesto aritmetične sredine, kadar se skrajni možnosti rangirane serije (najmanjša in največja) v primerjavi z ostalimi izkažeta za prevelike ali pretirano majhne.

Funkcija MEDIAN meri osrednjo tendenco, ki je središče niza števil v statistična porazdelitev. Obstajajo trije najpogostejši načini za določitev osrednje tendence:

• Povprečna vrednost- aritmetična sredina, ki se izračuna tako, da seštejemo niz števil in nato dobljeno vsoto delimo z njihovim številom.
  Na primer, povprečje števil 2, 3, 3, 5, 7 in 10 je 5, kar je rezultat deljenja njihove vsote 30 z njihovo vsoto 6.
• Mediana- število, ki je sredina niza števil: polovica števil ima vrednosti, večje od mediane, polovica števil pa manjše vrednosti.
  Na primer, mediana za številke 2, 3, 3, 5, 7 in 10 bi bila 4.
• Moda- številka, ki jo najpogosteje najdemo v dani nizštevilke.
  Na primer, način za številke 2, 3, 3, 5, 7 in 10 bi bil 3.

Pouk algebre v 7. razredu.

Tema: “Mediana kot statistična značilnost.”

Učiteljica Egorova N.I.

Namen lekcije: pri učencih oblikovati predstavo o mediani niza števil in sposobnost njegovega izračuna za preproste številske nize, utrditi koncept aritmetičnega povprečja niza števil.

Vrsta lekcije: razlaga novega gradiva.

Napredek lekcije

1. Organizacijski trenutek.

Obvestite temo lekcije in oblikujte njene cilje.

2. Posodabljanje predznanja.

Vprašanja za študente:

Kaj je aritmetična sredina množice števil?

Kje se nahaja aritmetična sredina znotraj niza števil?

Kaj označuje povprečje aritmetično klicanještevilke?

Kje se pogosto uporablja aritmetična sredina niza števil?

Ustne naloge:

Poiščite aritmetično sredino niza števil:

Preverjanje domače naloge.

Učbenik: št. 169, št. 172.

3. Študij novega gradiva.

V prejšnji lekciji smo se seznanili s tako statistično značilnostjo, kot je aritmetična sredina niza števil. Danes bomo lekcijo posvetili še enemu statistične značilnosti– mediana.

Ne le aritmetična sredina kaže, kje na številski premici se nahajajo števila katere koli množice in kje je njihovo središče. Drug indikator je mediana.

Mediana množice števil je število, ki množico deli na dva enaka dela. Namesto »mediana« bi lahko rekli »sredina«.

Najprej si bomo na primerih ogledali, kako najti mediano, nato pa bomo podali strogo definicijo.

Razmislite o naslednjem ustni primer z uporabo projektorja

Na koncu študijsko leto Normo za tek na 100 metrov je opravilo 11 učencev 7. razreda. Zabeleženi so bili naslednji rezultati:

Ko so fantje pretekli razdaljo, je Petja pristopil k učitelju in vprašal, kakšen je njegov rezultat.

"Večina povprečen rezultat: 16,9 sekunde,« je odgovoril učitelj

"Zakaj?" – je bila presenečena Petya. – Konec koncev je aritmetično povprečje vseh rezultatov približno 18,3 sekunde, jaz pa sem tekel več kot sekundo bolje. In na splošno je Katjin rezultat (18,4) veliko bližje povprečju kot moj.”

»Vaš rezultat je povprečen, saj je pet ljudi teklo bolje od vas, pet pa slabše. Se pravi, da ste ravno v sredini,« je rekel učitelj.

Zapišite algoritem za iskanje mediane niza števil:

Uredite številski niz (naredite rangirano serijo).

Hkrati prečrtajte »največjo« in »najmanjšo« številko ta kompletštevilk, dokler ne ostaneta ena ali dve številki.

Če ostane ena številka, je to mediana.

Če ostaneta dve števili, bo mediana aritmetična sredina preostalih dveh števil.

Učence povabimo, da samostojno oblikujejo definicijo mediane množice števil, nato preberejo definicijo mediane v učbeniku (str. 40), nato rešijo št. 186 (a, b), št. 187 (a) od učbenik (str. 41).

komentar:

Učence opozorite na pomembno dejstvo: mediana je praktično neobčutljiva na pomembna odstopanja posameznika ekstremne vrednosti nizi števil. V statistiki se ta lastnost imenuje stabilnost. Stabilnost statističnega kazalnika je zelo pomembna lastnina, nas zavaruje pred naključnimi napakami in posameznimi nezanesljivimi podatki.

4. Utrjevanje preučenega materiala.

Reševanje problemov.

Označimo x-aritmetično sredino, Me-mediano.

Niz številk: 1,3,5,7,9.

x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,

Niz številk: 1,3,5,7,14.

x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.

a) Niz števil: 3,4,11,17,21

b) Niz števil: 17,18,19,25,28

c) Niz številk: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Sklep: mediana niza števil, sestavljenega iz lihega števila članov, je enaka številu v sredini.

a) Niz števil: 2, 4, 8, 9.

Jaz = (4+8):2=12:2=6

b) Niz števil: 1,3,5,7,8,9.

Jaz = (5+7):2=12:2=6

Mediana niza števil, ki vsebuje sodo število členov, je enaka polovici vsote dveh števil na sredini.

Učenec je v četrtletju prejel naslednje ocene iz algebre:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Najdi GPA in mediano tega niza.

Poiščemo povprečno oceno, to je aritmetično sredino:

x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4,4

Poiščimo mediano tega niza števil:

Naročimo niz številk: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Obstaja samo 10 števil, da bi našli mediano, morate vzeti dve srednji števili in poiskati njuno polovično vsoto.

Jaz = (5+5):2 = 5

Vprašanje za učence: Če bi bili učitelj, kakšno oceno bi dali temu učencu za četrtino? Svoj odgovor utemelji.

Predsednik družbe prejme plačo v višini 300.000 rubljev. trije njegovi namestniki prejmejo po 150.000 rubljev, štirideset zaposlenih - po 50.000 rubljev. in plača čistilke je 10.000 rubljev. Poiščite aritmetično sredino in mediano plač v podjetju. Katero od teh lastnosti je za predsednika bolj koristno uporabiti v reklamne namene?

x = (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45=61333,33 (rub.)

št. 6. Ustno.

A) Koliko števil je v nizu, če je njegov deveti člen njegova mediana?

B) Koliko števil je v nizu, če je njegova mediana aritmetična sredina 7. in 8. člena?

B) V nizu sedmih številk največje število povečalo za 14. Ali bo to spremenilo aritmetično sredino in mediano?

D) Vsako število v nizu se poveča za 3. Kaj se zgodi z aritmetično sredino in mediano?

Sladkarije v trgovini se prodajajo po teži. Da bi ugotovila, koliko bonbonov vsebuje en kilogram, se je Maša odločila poiskati težo ene bonbone. Stehtala je več bonbonov in dobila naslednje rezultate:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Obe značilnosti sta primerni za oceno teže ene sladkarije, ker med seboj se ne razlikujejo zelo.

Torej, za karakterizacijo statističnih informacij se uporabljata aritmetična sredina in mediana. V mnogih primerih ena od značilnosti morda nima pomembnega pomena (na primer, če imamo informacije o času prometnih nesreč, je komaj smiselno govoriti o aritmetičnem povprečju teh podatkov).

Domača naloga: 10. odstavek, št. 186 (c, d), št. 190.

5. Povzetek lekcije. Odsev.

1. "Statistično raziskovanje: zbiranje in združevanje statističnih podatkov"

   Lekcija

   … teme, predlagana za sedmo razred. TEMATSKO NAČRTOVANJE. § 1. Statističniznačilnosti. P 1. Aritmetična sredina, obseg in način 1h. P 2. Medianakakostatističniznačilnost …

2. Delovni program učnega načrta algebra v 7. razredu (osnovna raven) pojasnilo

   Program dela

   ... člen 10 Medianakakostatističniznačilnost 23 str.9 Aritmetična sredina, obseg in način 24 Testšt. 2 avtor tema …

3. Program dela. Matematika. 5. razred str. Kanashi. 2011

   Program dela

   ... enačbe. Aritmetična sredina, obseg in način. Medianakakostatističniznačilnost. Cilj je sistematizirati in povzeti informacije o ... in spretnostih, pridobljenih na lekcije glede na teme(no algebra 10 razred). 11 Razred(4 ure na teden...

4. Odredba št. 51 z dne “30” 8. 2012 Delovni program za algebro 7. razred

   Program dela

   … izobraževalno gradivo Medianakakostatističniznačilnost Poznati definicijo aritmetične sredine, obsega, načina in medianekakostatističniznačilnosti Frontalni in individualni...

5. Program dela pri matematiki 7. razred ii stopnja osnovna raven (1)

   Program dela

   Kako najti mediano serije

   enako, kako ob 6 razred. Študij teme konča tako, da se učenci seznanijo z najpreprostejšimi statističniznačilnosti:povprečno... M.: Založba“Genzher”, 2009. 3. Zhokhov, V.I. Lekcijealgebra ob 7 razred: knjiga za učitelja / V. I. Zhokhov ...

Drugi podobni dokumenti...