Korenine kvadratne enačbe, če je diskriminanta 0. Vrednost diskriminante kaže količino kvadratne enačbe: - če je \(D\) pozitiven, bo enačba imela dva korena; - če je \(D\) enako nič – obstaja samo en koren; - če je \(D\) negativno

Kvadratne enačbe. Diskriminator. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi Nujno mora biti x na kvadrat. Poleg tega enačba lahko (ali pa tudi ne!) vsebuje samo X (na prvo potenco) in samo število (brezplačni član). In ne sme biti X-ov na potenco, večjo od dve.

Govorjenje matematični jezik, je kvadratna enačba enačba oblike:

Tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- absolutno vse, ampak A– karkoli drugega kot nič. Na primer:

Tukaj A =1; b = 3; c = -4

Tukaj A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tukaj A =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš ...

V teh kvadratnih enačbah na levi je polni setčlani. X na kvadrat s koeficientom A, x na prvo potenco s koeficientom b in brezplačni član s.

Take kvadratne enačbe imenujemo poln.

In če b= 0, kaj dobimo? Imamo X bo izgubljen na prvo potenco. To se zgodi, ko se pomnoži z nič.) Izkaže se, na primer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

In tako naprej. In če oba koeficienta b in c so enake nič, potem je še preprosteje:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Take enačbe, kjer nekaj manjka, imenujemo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede, zakaj A ne more biti enako nič? In namesto tega zamenjate A nič.) Naš X na kvadrat bo izginil! Enačba bo postala linearna. In rešitev je popolnoma drugačna ...

To so vse glavne vrste kvadratne enačbe. Popolna in nepopolna.

Reševanje kvadratnih enačb.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasno preprosta pravila. Na prvi stopnji je potrebno podana enačba Voditi do standardni pogled, tj. na obrazec:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba opraviti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, A, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod znakom korena se imenuje diskriminator. A več o njem spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje X uporabljamo samo a, b in c. Tisti. koeficientov iz kvadratne enačbe. Samo previdno zamenjajte vrednosti a, b in c Računamo po tej formuli. Zamenjajmo s svojimi znaki! Na primer v enačbi:

A =1; b = 3; c= -4. Tukaj zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je odgovor.

Vse je zelo preprosto. In kaj, mislite, da je nemogoče narediti napako? No, ja, kako ...

Najpogostejše napake so zamenjave z vrednostmi znakov a, b in c. Oziroma ne z njihovimi znaki (kje se zmedejo?), Ampak z zamenjavo negativne vrednosti v formulo za izračun korenov. Pri tem pomaga podroben zapis formule z določenimi številkami. Če pride do težav z izračuni, naredi to!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da le redko dobite odgovore prvič.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice in števila napak bo potrebnih približno 30 sekund se bo močno zmanjšalo. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je neverjetno težko zapisati tako skrbno. Ampak tako se le zdi. Poskusi. No, ali izberite. Kaj je bolje, hitro ali pravilno? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo več treba vsega tako natančno zapisovati. Samo od sebe se bo izkazalo prav. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. Ta zlobni primer s kupom minusov je mogoče enostavno in brez napak rešiti!

Toda pogosto kvadratne enačbe izgledajo nekoliko drugače. Na primer takole:

Ste ga prepoznali?) Da! to nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Lahko jih rešimo tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate razumeti, čemu so tukaj enaki. a, b in c.

Ste ugotovili? V prvem primeru a = 1; b = -4; A c? Sploh ga ni! No ja, tako je. V matematiki to pomeni c = 0 ! To je vse. Namesto tega v formulo nadomestite ničlo c, in uspelo nam bo. Enako z drugim primerom. Samo tukaj nimamo ničle z, A b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko preprosteje. Brez kakršnih koli formul. Razmislimo o prvem nepopolna enačba. Kaj lahko narediš na levi strani? X lahko vzamete iz oklepaja! Vzemimo ga ven.

In kaj iz tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli od faktorjev enak nič! ne verjameš? V redu, potem si omisli dva. neničelna števila, ki bo pomnoženo dalo nič!
Ne deluje? to je to...
Zato lahko z gotovostjo zapišemo: x 1 = 0, x 2 = 4.

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Pri zamenjavi katerega koli od njih v izvirna enačba, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot lahko vidite, je rešitev veliko enostavnejša od uporabe splošne formule. Naj mimogrede pripomnim, kateri X bo prvi in ​​kateri drugi - čisto vseeno. Primerno je pisati po vrstnem redu, x 1- kaj je manjše in x 2- tisto, kar je večje.

Tudi drugo enačbo lahko preprosto rešimo. Premakni 9 na desna stran. Dobimo:

Vse kar ostane je, da izvlečemo koren iz 9, in to je to. Izkazalo se bo:

Tudi dve korenini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rešijo vse nepopolne kvadratne enačbe. Bodisi tako, da postavite X izven oklepaja ali preprosto premaknete številko v desno in nato izvlečete koren.
Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boš v prvem primeru moral izluščiti koren X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni kaj vzeti iz oklepaja ...

Diskriminator. Diskriminantna formula.

Čarobna beseda diskriminator ! Redko kateri srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "rešujemo z diskriminantom" vzbuja zaupanje in pomiritev. Ker od diskriminanta ni treba pričakovati trikov! Uporaba je enostavna in brez težav.) Največ vas spomnim splošna formula za rešitve kaj kvadratne enačbe:

Izraz pod korenom se imenuje diskriminant. Običajno je diskriminant označen s črko D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

In kaj je tako izjemnega pri tem izrazu? Zakaj si je zaslužil posebno ime? Kaj pomen diskriminatorja? Konec koncev -b, oz 2a v tej formuli nič posebej ne imenujejo ... Črke in črke.

Tukaj je stvar. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče le trije primeri.

1. Diskriminanta je pozitivna. To pomeni, da je iz njega mogoče izvleči korenino. Ali je koren izvlečen dobro ali slabo, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma izloči. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dva različne rešitve.

2. Diskriminator enako nič. Potem boste imeli eno rešitev. Ker dodajanje ali odštevanje ničle v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni ena korenina, ampak dva enaka. Ampak, v poenostavljena različica, je običajno govoriti o ena rešitev.

3. Diskriminanta je negativna. Od negativno število kvadratni koren se ne vzame. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.

Iskreno povedano, kdaj preprosta rešitev kvadratnih enačb koncept diskriminante ni posebej potreben. Vrednosti koeficientov nadomestimo v formulo in preštejemo. Tam se vse zgodi samo od sebe, dve korenini, ena in nobena. Vendar pa pri reševanju več težke naloge, brez znanja pomen in formula diskriminanta ne dovolj. Še posebej v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika za državni izpit in enotni državni izpit!)

Torej, kako rešiti kvadratne enačbe prek diskriminatorja, ki ste se ga spomnili. Ali pa ste se naučili, kar tudi ni slabo.) Znate pravilno določiti a, b in c. Veš kako? pozorno jih nadomestite v korensko formulo in pozorno preštejte rezultat. Ste razumeli to ključna beseda tukaj - pozorno?

Sedaj pa upoštevajte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Tisti isti, ki so zaradi nepazljivosti... Za katere postane kasneje boleče in žaljivo...

Prvi termin . Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo in jo pripeljete v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po vseh transformacijah dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo se vam bodo pomešale možnosti a, b in c. Pravilno sestavite primer. Najprej X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti člen. Všečkaj to:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred X na kvadrat vas lahko pošteno razburi. Lahko se pozabi ... Znebite se minusa. kako Da, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

Zdaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanco in dokončate reševanje primera. Odločite se sami. Zdaj bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite korenine! Po Vietovem izreku. Ne bojte se, vse vam bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačba. Tisti. tisti, ki smo ga uporabili za zapis korenske formule. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, je preverjanje korenin enostavno. Dovolj je, da jih pomnožimo. Rezultat bi moral biti brezplačen član, tj. v našem primeru -2. Upoštevajte, ne 2, ampak -2! Brezplačni član s svojim znakom . Če ne gre, pomeni, da so že nekje zafrknili. Poiščite napako.

Če deluje, morate dodati korenine. Zadnji in zadnji pregled. Koeficient naj bo b z nasprotje znano. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient b, ki je pred X, je enako -1. Torej, vse je pravilno!
Škoda, da je to tako preprosto samo za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Ampak vsaj preverite takšne enačbe! Napak bo vse manj.

Sprejem tretji . Če ima vaša enačba delne koeficiente, se jih znebite! Enačbo pomnožite z skupni imenovalec, kot je opisano v lekciji "Kako rešiti enačbe? Identične transformacije." Pri delu z ulomki se iz nekega razloga vedno prikradejo napake ...

Mimogrede, obljubil sem, da bom zlobni primer poenostavil s kupom minusov. prosim! Tukaj je.

Da se ne bi zmešali z minusi, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Reševanje je užitek!

Torej, povzamemo temo.

Praktični nasveti:

1. Kvadratno enačbo pred reševanjem spravimo v standardno obliko in jo sestavimo Prav.

2. Če je pred X na kvadrat negativen koeficient, ga izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, njegov koeficient enako ena, lahko rešitev enostavno preverimo z uporabo Vietovega izreka. Naredi!

Zdaj se lahko odločimo.)

Reši enačbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (v neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - poljubno število

x 1 = -3
x 2 = 3

brez rešitev

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se vse ujema? Super! Kvadratne enačbe niso vaš glavobol. Prvi trije so delovali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Problem je v identičnih transformacijah enačb. Poglejte povezavo, je v pomoč.

Ne gre ravno? Ali pa sploh ne gre? Potem vam bo v pomoč razdelek 555. Vsi ti primeri so tam razčlenjeni. Prikazano glavni napake v rešitvi. Seveda govori tudi o uporabi transformacije identitete v odločbi različne enačbe. Zelo pomaga!

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Na primer, za trinom \(3x^2+2x-7\) bo diskriminanta enaka \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). In za trinom \(x^2-5x+11\) bo enako \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminanta je označena z \(D\) in se pogosto uporablja pri reševanju. Tudi glede na vrednost diskriminanta lahko razumete, kako približno izgleda graf (glejte spodaj).

Diskriminanta in korenine enačbe

Diskriminantna vrednost prikazuje število kvadratnih enačb:
- če je \(D\) pozitiven, bo enačba imela dva korena;
- če je \(D\) enako nič – obstaja samo en koren;
- če je \(D\) negativno, ni korenin.

Tega ni treba poučevati, do takšnega zaključka ni težko priti, preprosto vemo, da je iz diskriminante (to je \(\sqrt(D)\) vključena v formulo za izračun korenin enačbe : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) in \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Oglejmo si vsak primer podrobneje.

Če je diskriminant pozitiven

V tem primeru je koren tega nekaj pozitivno število, kar pomeni, da bosta imela \(x_(1)\) in \(x_(2)\) različen pomen, ker se v prvi formuli \(\sqrt(D)\) sešteje, v drugi pa odšteje. In imamo dve različni korenini.

Primer : Poiščite korenine enačbe \(x^2+2x-3=0\)
rešitev :

Odgovori : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Če je diskriminant nič

Koliko korenin bo, če je diskriminanta nič? Utemeljimo.

Korenske formule so videti takole: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) in \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . In če je diskriminanta nič, potem je tudi njen koren enak nič. Potem se izkaže:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

To pomeni, da bodo vrednosti korenin enačbe enake, ker dodajanje ali odštevanje nič ne spremeni ničesar.

Primer : Poiščite korenine enačbe \(x^2-4x+4=0\)
rešitev :

Odgovori : \(x=2\)

Kvadratne enačbe se pogosto pojavljajo pri reševanju različnih problemov v fiziki in matematiki. V tem članku si bomo ogledali, kako rešiti te enačbe na univerzalen način"preko diskriminatorja". V članku so podani tudi primeri uporabe pridobljenega znanja.

O katerih enačbah bomo govorili?

Spodnja slika prikazuje formulo, v kateri je x neznana spremenljivka, latinski simboli a, b, c pa predstavljajo nekatera znana števila.

Vsak od teh simbolov se imenuje koeficient. Kot lahko vidite, se število "a" pojavi pred spremenljivko x na kvadrat. To je največja moč predstavljenega izraza, zato se imenuje kvadratna enačba. Pogosto se uporablja njeno drugo ime: enačba drugega reda. Vrednost samega a je kvadratni koeficient(stoji pri spremenljivki na kvadrat), b je linearni koeficient(nahaja se poleg spremenljivke, dvignjene na prvo potenco), končno je število c prosti člen.

Upoštevajte, da je oblika enačbe, prikazana na zgornji sliki, splošna klasična kvadratni izraz. Poleg nje obstajajo še druge enačbe drugega reda, v katerih sta koeficienta b in c lahko enaka nič.

Ko je naloga zastavljena za rešitev zadevne enakosti, to pomeni, da je treba najti takšne vrednosti spremenljivke x, ki bi ji zadostile. Prva stvar, ki si jo morate zapomniti, je naslednja stvar: ker je največja stopnja X 2, potem ta tip izrazi ne smejo imeti več kot 2 rešitev. To pomeni, da če sta bili pri reševanju enačbe najdeni 2 vrednosti x, ki ji ustrezata, potem ste lahko prepričani, da ni tretje številke, ki jo nadomestite z x, enakost bi bila tudi resnična. Rešitve enačbe v matematiki se imenujejo njeni koreni.

Metode reševanja enačb drugega reda

Reševanje tovrstnih enačb zahteva poznavanje določene teorije o njih. IN šolski tečaj algebre upoštevajo 4 različne metode rešitve. Naj jih naštejemo:

• uporaba faktorizacije;
• uporaba formule za popoln kvadrat;
• z uporabo grafa ustrezne kvadratne funkcije;
• z uporabo diskriminantne enačbe.

Prednost prve metode je njena preprostost, vendar je ni mogoče uporabiti za vse enačbe. Druga metoda je univerzalna, vendar nekoliko okorna. Tretja metoda se odlikuje po svoji jasnosti, vendar ni vedno priročna in uporabna. In končno, uporaba diskriminantne enačbe je univerzalen in dokaj preprost način za iskanje korenin katere koli enačbe drugega reda. Zato bomo v tem članku obravnavali le to.

Formula za pridobivanje korenov enačbe

Obrnimo se na Splošni videz kvadratna enačba. Zapišimo: a*x²+ b*x + c =0. Preden uporabite metodo reševanja "skozi diskriminanto", morate enakost vedno prenesti v njeno pisno obliko. To pomeni, da mora biti sestavljen iz treh členov (ali manj, če je b ali c 0).

Na primer, če obstaja izraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², potem morate najprej premakniti vse njegove člene na eno stran enakosti in dodati člene, ki vsebujejo spremenljivko x v enaka pooblastila.

V tem primeru bo ta operacija vodila do naslednjega izraza: -6*x²-4*x+8=0, kar je enakovredno enačbi 6*x²+4*x-8=0 (tukaj smo pomnožili levo in desne strani enakosti za -1) .

V zgornjem primeru je a = 6, b=4, c=-8. Upoštevajte, da se vsi členi obravnavane enakosti vedno seštejejo, tako da če se pojavi znak »-«, to pomeni, da je ustrezni koeficient negativen, kot je v tem primeru število c.

Ko smo preučili to točko, pojdimo zdaj na samo formulo, ki omogoča pridobivanje korenin kvadratne enačbe. Videti je kot na spodnji fotografiji.

Kot je razvidno iz tega izraza, vam omogoča, da dobite dva korena (bodite pozorni na znak "±"). Če želite to narediti, je dovolj, da vanj nadomestite koeficiente b, c in a.

Koncept diskriminatorja

V prejšnjem odstavku je bila podana formula, ki vam omogoča hitro reševanje katere koli enačbe drugega reda. V njem se radikalni izraz imenuje diskriminanta, to je D = b²-4*a*c.

Zakaj je ta del formule poudarjen in sploh je pravilno ime? Dejstvo je, da diskriminant povezuje vse tri koeficiente enačbe v en izraz. Zadnje dejstvo pomeni, da v celoti nosi informacije o koreninah, ki jih je mogoče izraziti na naslednjem seznamu:

1. D>0: Enačba ima 2 različni rešitvi, obe pa sta realni števili.
2. D=0: Enačba ima samo en koren in je realno število.

Naloga določanja diskriminacije

Dajmo preprost primer, kako najti diskriminant. Naj bo dana naslednja enakost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Pripeljemo ga v standardno obliko, dobimo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iz česar pridemo do enakosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Tukaj je a=-2, b=2, c=-11.

Zdaj lahko uporabite zgornjo formulo za diskriminanco: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Dobljeno število je odgovor na nalogo. Ker je v primeru diskriminanta manjša od nič, lahko rečemo, da ta kvadratna enačba nima prave korenine. Njena rešitev bodo le števila kompleksnega tipa.

Primer neenakosti skozi diskriminanto

Rešimo probleme nekoliko drugačnega tipa: glede na enakost -3*x²-6*x+c = 0. Treba je najti vrednosti c, za katere je D>0.

V tem primeru sta znana le 2 od 3 koeficientov, zato ni mogoče izračunati točne vrednosti diskriminante, ve pa se, da je pozitivna. Zadnje dejstvo uporabimo pri sestavljanju neenačbe: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Reševanje nastale neenačbe vodi do rezultata: c>-3.

Preverimo dobljeno številko. Da bi to naredili, izračunamo D za 2 primera: c=-2 in c=-4. Število -2 zadošča dobljenemu rezultatu (-2>-3), ustrezna diskriminanta bo imela vrednost: D = 12>0. Po drugi strani pa število -4 ne izpolnjuje neenakosti (-4. Tako bodo vsa števila c, ki so večja od -3, izpolnila pogoj.

Primer reševanja enačbe

Predstavimo problem, ki ne vključuje le iskanja diskriminante, ampak tudi rešitev enačbe. Poiskati je treba korenine za enakost -2*x²+7-9*x = 0.

V tem primeru je diskriminanta enaka naslednji vrednosti: D = 81-4*(-2)*7= 137. Potem so koreni enačbe določeni na naslednji način: x = (9±√137)/(- 4). to natančne vrednosti korenine, če približno izračunate koren, potem dobite številki: x = -5,176 in x = 0,676.

Geometrijski problem

Rešili bomo problem, ki bo zahteval ne le sposobnost izračuna diskriminante, ampak tudi uporabo spretnosti abstraktno mišljenje in znanje o pisanju kvadratnih enačb.

Bob je imel odejo 5 x 4 metre. Fant je želel nanj prišiti neprekinjen trak čudovitega blaga po celotnem obodu. Kako debel bo ta trak, če vemo, da ima Bob 10 m² blaga.

Naj ima trak debelino x m, potem bo površina blaga vzdolž dolge stranice odeje (5+2*x)*x, in ker sta dolgi stranici 2, imamo: 2*x *(5+2*x). Na krajši strani bo površina šivanega blaga 4*x, ker sta ti strani 2, dobimo vrednost 8*x. Upoštevajte, da je bila vrednost 2*x dodana dolgi strani, ker se je dolžina odeje povečala za to številko. Skupna površina tkanine, prišite na odejo, je 10 m². Zato dobimo enakost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Za ta primer je diskriminant enak: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Njegov koren je 22. S formulo najdemo zahtevane korene: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Očitno je od obeh korenin le številka 0,5 primerna glede na pogoje problema.

Tako bo trak blaga, ki ga Bob prišije na svojo odejo, širok 50 cm.

Diskriminant se, tako kot kvadratne enačbe, začne preučevati v tečaju algebre v 8. razredu. Kvadratno enačbo lahko rešite z diskriminanto in uporabo Vietovega izreka. Metoda preučevanja kvadratnih enačb, pa tudi diskriminantnih formul, se šolarje, tako kot marsikaj v pravem izobraževanju, precej neuspešno poučuje. Zato minejo šolska leta, izobraževanje v 9.-11. razredu nadomešča " višja izobrazba"in vsi spet iščejo - "Kako rešiti kvadratno enačbo?", "Kako najti korenine enačbe?", "Kako najti diskriminanco?" in...

Diskriminantna formula

Diskriminanta D kvadratne enačbe a*x^2+bx+c=0 je enaka D=b^2–4*a*c.
Koreni (rešitve) kvadratne enačbe so odvisni od predznaka diskriminante (D):
D>0 – enačba ima 2 različna realna korena;
D=0 - enačba ima 1 koren (2 ujemajoča se korena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminante je precej preprosta, zato številna spletna mesta ponujajo spletni kalkulator diskriminacije. Tovrstnih skript še nismo pogruntali, zato, če kdo ve, kako to implementirati, naj nam piše na mail Ta e-poštni naslov je zaščiten proti smetenju. Za ogled morate imeti omogočen JavaScript. .

Splošna formula za iskanje korenin kvadratne enačbe:

Korene enačbe poiščemo s formulo
Če je koeficient kvadratne spremenljivke seznanjen, je priporočljivo izračunati ne diskriminanco, temveč njen četrti del
V takšnih primerih se koreni enačbe najdejo s formulo

Drugi način za iskanje korenin je Vietov izrek.

Izrek ni formuliran le za kvadratne enačbe, ampak tudi za polinome. To lahko preberete na Wikipediji ali drugih elektronskih virih. Vendar za poenostavitev razmislimo o delu, ki zadeva zgornje kvadratne enačbe, to je enačbe oblike (a=1)
Bistvo Vietovih formul je, da je vsota korenin enačbe enaka koeficientu spremenljivke, vzete iz nasprotno znamenje. Produkt korenin enačbe je enak prostemu členu. Vietov izrek lahko zapišemo v formulah.
Izpeljava Vietove formule je precej preprosta. Zapišimo kvadratno enačbo s preprostimi faktorji
Kot lahko vidite, je vse genialno hkrati preprosto. Vietovo formulo je učinkovito uporabiti, kadar je razlika v modulih korenin ali razlika v modulih korenin 1, 2. Naslednje enačbe imajo na primer v skladu z Vietovim izrekom korenine




Do enačbe 4 bi morala analiza izgledati takole. Produkt korenin enačbe je 6, zato so lahko korenine vrednosti (1, 6) in (2, 3) ali pari z nasprotnim predznakom. Vsota korenov je 7 (koeficient spremenljivke z nasprotnim predznakom). Od tod sklepamo, da so rešitve kvadratne enačbe x=2; x=3.
Lažje je izbrati korenine enačbe med delitelji prostega člena, prilagoditi njihov predznak, da bi izpolnili formule Vieta. Sprva se zdi, da je to težko izvedljivo, a z vajo na številnih kvadratnih enačbah se bo ta tehnika izkazala za učinkovitejšo od izračuna diskriminante in iskanja korenin kvadratne enačbe na klasičen način.
Kot lahko vidite, je šolska teorija preučevanja diskriminant in metod iskanja rešitev enačbe brez praktičnega pomena - "Zakaj šolarji potrebujejo kvadratno enačbo?", "Kakšen je fizični pomen diskriminante?"

Poskusimo ugotoviti Kaj opisuje diskriminant?

Pri predmetu algebra preučujejo funkcije, sheme za preučevanje funkcij in sestavljanje grafov funkcij. Med vsemi funkcijami pomembno mesto zavzema parabola, katere enačbo lahko zapišemo v obliki
Fizični pomen kvadratne enačbe so torej ničle parabole, to je točke presečišča grafa funkcije z osjo abscise Ox
Prosim vas, da si zapomnite lastnosti parabol, ki so opisane spodaj. Prišel bo čas opravljanja izpitov, testov ali sprejemnih izpitov in hvaležni boste za referenčno gradivo. Predznak spremenljivke na kvadrat ustreza temu, ali bodo veje parabole na grafu šle navzgor (a>0),

ali parabolo z vejami navzdol (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini med koreninama

Fizični pomen diskriminanta:

Če je diskriminanta večja od nič (D>0), ima parabola dve presečni točki z osjo Ox.
Če je diskriminanta nič (D=0), se parabola na oglišču dotika osi x.
In zadnji primer, ko je diskriminanta manjša od nič (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepopolne kvadratne enačbe

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič zapletenega. Sposobnost njihovega reševanja je nujno potrebna.

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna števila, a ≠ 0.

Preden preučite posebne metode reševanja, upoštevajte, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

1. Nimajo korenin;
2. Imeti natanko en koren;
3. Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminator

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminanta preprosto število D = b 2 − 4ac.

To formulo morate znati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Še ena stvar je pomembna: s predznakom diskriminante lahko določite, koliko korenin ima kvadratna enačba. namreč:

1. Če D< 0, корней нет;
2. Če je D = 0, obstaja natanko en koren;
3. Če je D > 0, bosta dva korena.

Upoštevajte: diskriminator označuje število korenin in ne sploh njihovih znakov, kot iz neznanega razloga mnogi verjamejo. Oglejte si primere in vse vam bo jasno:

Naloga. Koliko korenin ima kvadratna enačba:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišimo koeficiente prve enačbe in poiščimo diskriminanco:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Torej je diskriminanta pozitivna, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na podoben način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanta je negativna, korenin ni. Zadnja enačba, ki ostane, je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so koeficienti zapisani za vsako enačbo. Da, dolgo je, da, dolgočasno je, vendar ne boste mešali možnosti in delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če se tega naučite, vam čez nekaj časa ne bo več treba zapisovati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v svoji glavi. Večina ljudi začne to delati nekje po 50-70 rešenih enačbah - na splošno ne tako veliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na samo rešitev. Če je diskriminant D > 0, je mogoče korene najti po formulah:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobili boste isto številko, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ enačba ima spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \levo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabi se lahko katera koli formula. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate računati, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak pri zamenjavi negativnih koeficientov v formulo. Tudi tukaj vam bo pomagala zgoraj opisana tehnika: poglejte formulo dobesedno, zapišite vsak korak - in zelo kmalu se boste znebili napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je navedena v definiciji. Na primer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Zlahka opazimo, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: ne zahtevajo niti izračuna diskriminante. Torej, predstavimo nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je povsem mogoče Težek primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b = c = 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 = 0. Očitno ima takšna enačba en koren: x = 0.

Razmislimo o preostalih primerih. Naj bo b = 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c = 0. Malo jo preoblikujemo:

Od aritmetike Kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnega števila, zadnja enakost je smiselna samo za (−c /a) ≥ 0. Sklep:

1. Če je v nepopolni kvadratni enačbi oblike ax 2 + c = 0 izpolnjena neenakost (−c /a) ≥ 0, bosta korena dva. Formula je navedena zgoraj;
2. Če (−c /a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminant ni bil potreben - v nepopolnih kvadratnih enačbah ni zapleteni izračuni. Pravzaprav si sploh ni treba zapomniti neenakosti (−c /a) ≥ 0. Dovolj je izraziti vrednost x 2 in videti, kaj je na drugi strani enačaja. Če obstaja pozitivno število, bosta korena dva. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Zdaj pa poglejmo enačbe oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je faktorizirati polinom:

Produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Za zaključek si poglejmo nekaj teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Ni korenin, saj kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.