Katera števila ustrezajo neskončnim neperiodičnim decimalnim ulomkom. Periodični in neperiodični ulomki

Spomnite se, kako v prvi lekciji o decimalke Ali sem omenil, da obstajajo številski ulomki, ki jih ni mogoče predstaviti kot decimalne številke (glejte lekcijo »Decimalne številke«)? Naučili smo se tudi, kako faktorizirati imenovalce ulomkov, da bi ugotovili, ali obstaja še kakšno število, razen 2 in 5.

Torej: lagal sem. In danes se bomo naučili prevajati popolnoma vse številčni ulomek na decimalno. Hkrati se bomo seznanili s celim razredom ulomkov z neskončnim pomembnim delom.

Periodična decimalka je katera koli decimalka, ki:

1. Pomembni del je sestavljen iz neskončnega števila števk;
2. V določenih intervalih se številke v pomembnem delu ponavljajo.

Niz ponavljajočih se števil, ki sestavljajo pomemben del, imenujemo periodični del ulomka, število števk v tem nizu pa periodo ulomka. Preostali del pomembnega dela, ki se ne ponavlja, imenujemo neperiodični del.

Ker obstaja veliko definicij, je vredno podrobneje razmisliti o nekaterih od teh frakcij:

Ta frakcija se najpogosteje pojavlja pri težavah. Neperiodični del: 0; periodični del: 3; dolžina obdobja: 1.

Neperiodični del: 0,58; periodični del: 3; dolžina obdobja: ponovno 1.

Neperiodični del: 1; periodični del: 54; dolžina obdobja: 2.

Neperiodični del: 0; periodični del: 641025; dolžina obdobja: 6. Zaradi udobja so ponavljajoči se deli med seboj ločeni s presledkom – to v tej rešitvi ni potrebno.

Neperiodični del: 3066; periodični del: 6; dolžina obdobja: 1.

Kot lahko vidite, definicija periodičnega ulomka temelji na konceptu pomemben del števila. Zato, če ste pozabili, kaj je, priporočam, da ga ponovite - glejte lekcijo "".

Prehod na periodični decimalni ulomek

Razmislite o navadnem ulomku oblike a /b. Razširimo njegov imenovalec v glavni dejavniki. Obstajata dve možnosti:

1. Razširitev vsebuje samo faktorja 2 in 5. Ti ulomki se zlahka pretvorijo v decimalke - glejte lekcijo “Decimalke”. Taki ljudje nas ne zanimajo;
2. V razširitvi je še nekaj drugega kot 2 in 5. V tem primeru ulomka ni mogoče predstaviti kot decimalno število, lahko pa ga pretvorimo v periodično decimalno število.

Če želite nastaviti periodični decimalni ulomek, morate najti njegovo periodično in neperiodično periodični del. kako Pretvorite ulomek v nepravilni ulomek in nato števec delite z imenovalcem z vogalom.

Zgodilo se bo naslednje:

1. Najprej se bo razdelil cel del, če obstaja;
2. Za decimalno vejico je lahko več številk;
3. Čez nekaj časa se bodo začele številke ponovite.

To je to! Številke, ki se ponavljajo za decimalno vejico, so označene s periodičnim delom, tiste pred njimi pa z neperiodičnim delom.

Naloga. Pretvori navadne ulomke v periodične decimalke:

Vsi ulomki brez celega dela, zato preprosto delimo števec z imenovalcem z "votilom":

Kot lahko vidite, se ostanki ponavljajo. Zapišimo ulomek v »pravilni« obliki: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultat je ulomek: 0,5833 ... = 0,58(3).

Pišite normalna oblika: 4,0909 ... = 4,(09).

Dobimo ulomek: 0,4141 ... = 0.(41).

Prehod iz periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek

Razmislite o periodičnem decimalnem ulomku X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je predelati v klasično "dvonadstropno". Če želite to narediti, sledite štirim preprostim korakom:

1. Poiščite periodo ulomka, tj. preštejte, koliko števk je v periodičnem delu. Naj bo to število k;
2. Poiščite vrednost izraza X · 10 k. To je enakovredno premikanju decimalne vejice v desno za celotno piko - glejte lekcijo "Množenje in deljenje decimalnih mest";
3. Prvotni izraz je treba odšteti od nastalega števila. V tem primeru se periodični del "zažge" in ostane navadni ulomek;
4. Poiščite X v nastali enačbi. Vse decimalne ulomke pretvorimo v navadne ulomke.

Naloga. Število pretvorite v navaden nepravilni ulomek:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Delamo s prvim ulomkom: X = 9,(6) = 9,666 ...

Oklepaj vsebuje samo eno števko, zato je obdobje k = 1. Nato ta ulomek pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10. Imamo:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Zdaj pa poglejmo drugi ulomek. Torej X = 32,(39) = 32,393939...

Obdobje k = 2, torej vse pomnožite z 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Ponovno odštejte prvotni ulomek in rešite enačbo:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Preidimo na tretji ulomek: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Diagram je enak, zato bom podal le izračune:

Perioda k = 1 ⇒ vse pomnožimo z 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Na koncu še zadnji ulomek: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Ponovno, zaradi priročnosti so periodični deli med seboj ločeni s presledki. Imamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.

Že v osnovni šoli so učenci izpostavljeni ulomkom. In potem se pojavijo v vsaki temi. S temi številkami ne morete pozabiti dejanj. Zato morate poznati vse informacije o navadnih in decimalnih ulomkih. Ti koncepti niso zapleteni, glavna stvar je razumeti vse v redu.

Zakaj so potrebni ulomki?

Svet okoli nas je sestavljen iz celih predmetov. Zato delnice niso potrebne. Ampak vsakodnevno življenje nenehno sili ljudi k delu z deli predmetov in stvari.

Na primer, čokolada je sestavljena iz več kosov. Razmislite o situaciji, ko je njegova ploščica sestavljena iz dvanajstih pravokotnikov. Če ga razdelite na dvoje, dobite 6 delov. Brez težav ga lahko razdelimo na tri. Ne bo pa mogoče petim ljudem dati celega števila čokoladnih rezin.

Mimogrede, te rezine so že ulomki. In njihova nadaljnja delitev vodi do pojava bolj zapletenih števil.

Kaj je "ulomek"?

To je število, sestavljeno iz delov enote. Navzven je videti kot dve številki, ločeni z vodoravno ali poševnico. Ta funkcija se imenuje frakcijska. Zgoraj (levo) zapisano število imenujemo števec. Kar je spodaj (desno), je imenovalec.

V bistvu se poševnica izkaže kot znak delitve. To pomeni, da števec lahko imenujemo dividenda, imenovalec pa delitelj.

Kateri ulomki so tam?

V matematiki obstajata le dve vrsti: navadni in decimalni ulomki. Šolarji se najprej srečajo v osnovna šola, ki jih preprosto imenujejo "frakcije". Slednje se bomo učili v 5. razredu. Takrat se pojavijo ta imena.

Navadni ulomki so vsi tisti, ki so zapisani kot dve števili, ločeni s črto. Na primer 4/7. Decimalka je število, pri katerem ima ulomek položajni zapis in je od celega števila ločen z vejico. Na primer, 4.7. Učenci morajo jasno razumeti, da sta podana primera popolnoma različni številki.

vsak enostavni ulomek lahko zapišemo v decimalni obliki. Ta izjava skoraj vedno drži v obratna smer. Obstajajo pravila, ki vam omogočajo, da decimalni ulomek zapišete kot navadni ulomek.

Katere podvrste imajo te vrste ulomkov?

Bolje je začeti kronološki vrstni red, saj se preučujejo. Navadni ulomki so na prvem mestu. Med njimi je mogoče razlikovati 5 podvrst.

Pravilno. Njegov števec je vedno manjši od imenovalca.

Narobe. Njegov števec je večji ali enak imenovalcu.

Zmanjšljiv/nezmanjšljiv. Lahko se izkaže za pravilno ali napačno. Druga pomembna stvar je, ali imata števec in imenovalec skupne faktorje. Če obstajajo, je treba oba dela ulomka razdeliti nanje, to je zmanjšati.

Mešano. Njegovemu običajnemu pravilnemu (nepravilnemu) ulomku je pripisano celo število. Poleg tega je vedno na levi strani.

Sestavljeno. Sestavljen je iz dveh frakcij, ki sta med seboj razdeljeni. To pomeni, da vsebuje tri ulomke naenkrat.

Decimalni ulomki imajo samo dve podvrsti:

končen, to je tisti, katerega delni del je omejen (ima konec);

neskončno - število, katerega števke za decimalno vejico se ne končajo (lahko jih pišemo neskončno).

Kako pretvoriti decimalni ulomek v navadni ulomek?

Če to končna številka, potem se uporabi asociacija na podlagi pravila - kakor slišim, tako pišem. To pomeni, da ga morate pravilno prebrati in zapisati, vendar brez vejice, vendar z ulomkom.

Kot namig o zahtevanem imenovalcu se morate spomniti, da je vedno ena in več ničel. Slednjih morate napisati toliko, kolikor je števk v ulomku zadevnega števila.

Kako pretvoriti decimalne ulomke v navadne ulomke, če njihov celoštevilski del manjka, torej je enak nič? Na primer 0,9 ali 0,05. Po uporabi navedenega pravila se izkaže, da morate napisati nič celih števil. Vendar ni navedeno. Ostane le še zapisati ulomke. Prvo število bo imelo imenovalec 10, drugo 100. To je dani primeri odgovori bodo številke: 9/10, 5/100. Poleg tega se izkaže, da je slednje mogoče zmanjšati za 5. Zato je treba rezultat zanj zapisati kot 1/20.

Kako pretvorite decimalni ulomek v navaden ulomek, če je njegov celi del različen od nič? Na primer 5,23 ali 13,00108. V obeh primerih se prebere cel del in zapiše njegova vrednost. V prvem primeru je 5, v drugem pa 13. Nato se morate premakniti na delni del. Enako operacijo naj bi izvedli tudi z njimi. Prva številka se pojavi 23/100, druga - 108/100000. Drugo vrednost je treba ponovno zmanjšati. Odgovor izgleda takole mešane frakcije: 5 23/100 in 13 27/25000.

Kako pretvoriti neskončni decimalni ulomek v navaden ulomek?

Če je neperiodična, potem takšna operacija ne bo mogoča. To dejstvo je posledica dejstva, da se vsak decimalni ulomek vedno pretvori v končni ali periodični ulomek.

Edino, kar lahko storite s takšnim ulomkom, je, da ga zaokrožite. Ampak potem bo decimalka približno enaka tej neskončnosti. Lahko se že spremeni v navadnega. Ampak obraten proces: pretvorba v decimalko nikoli ne bo dala začetne vrednosti. To pomeni, da se neskončni neperiodični ulomki ne pretvorijo v navadne ulomke. To si je treba zapomniti.

Kako zapisati neskončni periodični ulomek kot navaden ulomek?

V teh številkah je za decimalno vejico vedno ena ali več števk, ki se ponavljajo. Imenujejo se obdobje. Na primer 0,3(3). Tukaj je "3" v obdobju. Uvrščamo jih med racionalne, ker jih je mogoče pretvoriti v navadne ulomke.

Tisti, ki so se srečali s periodičnimi ulomki, vedo, da so lahko čisti ali mešani. V prvem primeru se pika začne takoj od vejice. V drugem se ulomek začne z nekaj številkami, nato pa se začne ponavljanje.

Pravilo, ki ga je treba zapisati v obrazec navadni ulomek neskončno decimalno, bo različno za dve navedeni vrsti števil. Čiste periodične ulomke je precej enostavno zapisati kot navadne ulomke. Kot pri končnih jih je treba pretvoriti: piko zapišite v števec in imenovalec bo število 9, ki se ponovi tolikokrat, kolikor števk vsebuje pika.

Na primer 0,(5). Število nima celega dela, zato morate takoj začeti z delnim delom. Zapišite 5 kot števec in 9 kot imenovalec. To pomeni, da bo odgovor ulomek 5/9.

Pravilo, kako zapisati navaden decimalni periodični ulomek, ki je mešan.

Poglejte dolžino obdobja. Toliko 9 bo imel imenovalec.

Zapišite imenovalec: najprej devetice, nato ničle.

Če želite določiti števec, morate zapisati razliko dveh števil. Vse številke za decimalno vejico bodo zmanjšane skupaj s piko. Odbitna franšiza - je brez obdobja.

Na primer 0,5(8) - periodični decimalni ulomek zapišite kot navadni ulomek. Ulomek pred piko vsebuje eno števko. Torej bo ena ničla. V obdobju je tudi samo eno število - 8. Se pravi, samo ena devetka. To pomeni, da morate v imenovalec napisati 90.

Če želite določiti števec, morate od 58 odšteti 5. Izkaže se 53. Na primer, odgovor bi morali zapisati kot 53/90.

Kako se ulomki pretvorijo v decimalke?

Najenostavnejša možnost je število, katerega imenovalec je število 10, 100 itd. Nato se imenovalec preprosto zavrže in med ulomkom in celota po delih dodana je vejica.

Obstajajo situacije, ko se imenovalec zlahka spremeni v 10, 100 itd. Na primer številke 5, 20, 25. Dovolj je, da jih pomnožite z 2, 5 oziroma 4. Morate samo pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec z istim številom.

Za vse druge primere je uporabno preprosto pravilo: števec delite z imenovalcem. V tem primeru lahko dobite dva možna odgovora: končni ali periodični decimalni ulomek.

Operacije z navadnimi ulomki

Seštevanje in odštevanje

Učenci se z njimi seznanijo prej kot drugi. In najprej za ulomke enaki imenovalci, nato pa drugače. Splošna pravila se lahko skrči na tak načrt.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev.

Zapišite dodatne faktorje za vse navadne ulomke.

Pomnožite števce in imenovalce s faktorji, določenimi zanje.

Seštejte (odštejte) števce ulomkov in pustite skupni imenovalec nespremenjen.

Če je števec minuenda manjši od subtrahenda, potem moramo ugotoviti pred nami mešano število ali pravi ulomek.

V prvem primeru si morate enega izposoditi iz celotnega dela. Števcu ulomka dodajte imenovalec. In nato naredite odštevanje.

V drugem je treba uporabiti pravilo odštevanja večjega števila od manjšega števila. To pomeni, da od modula subtrahenda odštejemo modul minuenda in kot odgovor postavimo znak "-".

Pozorno si oglejte rezultat seštevanja (odštevanja). Če dobite nepravilen ulomek, morate izbrati cel del. To pomeni, da števec delite z imenovalcem.

Množenje in deljenje

Za njihovo izvedbo ulomkov ni treba reducirati na skupni imenovalec. To olajša izvajanje dejanj. Vendar še vedno zahtevajo, da upoštevate pravila.

Ko množite ulomke, morate pogledati številke v števcih in imenovalcih. Če imata kateri koli števec in imenovalec skupni faktor, ju je mogoče zmanjšati.

Pomnoži števce.

Pomnožite imenovalce.

Če je rezultat zmanjšljiv ulomek, ga je treba znova poenostaviti.

Pri deljenju je treba deljenje najprej zamenjati z množenjem, delitelj (drugi ulomek) pa z recipročnim ulomkom (števec in imenovalec zamenjati).

Nato nadaljujte kot pri množenju (začenši od točke 1).

Pri nalogah, kjer je treba množiti (deliti) s celim številom, naj bo slednje zapisano kot nepravi ulomek. To je z imenovalcem 1. Nato ravnajte, kot je opisano zgoraj.



Operacije z decimalkami

Seštevanje in odštevanje

Seveda lahko decimalko vedno pretvorite v ulomek. In ukrepajte po že opisanem načrtu. Toda včasih je bolj priročno delovati brez tega prevoda. Potem bodo pravila za njihovo seštevanje in odštevanje popolnoma enaka.

Izenačite število števk v ulomku števila, to je za decimalno vejico. Dodajte mu manjkajoče število ničel.

Ulomke zapiši tako, da bo vejica pod vejico.

Seštevamo (odštevamo) kot naravna števila.

Odstranite vejico.

Množenje in deljenje

Pomembno je, da vam tukaj ni treba dodajati ničel. Ulomke pustite tako, kot so podani v primeru. In potem pojdite po načrtu.

Za množenje morate ulomke pisati enega pod drugim, ne da bi upoštevali vejice.

Množite kot naravna števila.

Odgovor postavite z vejico in od desnega konca odgovora odštejte toliko števk, kot jih je v delni deli oba množitelja.

Če želite deliti, morate najprej transformirati delitelj: naj bo naravno število. To pomeni, da ga pomnožite z 10, 100 itd., odvisno od tega, koliko števk je v delčku delitelja.

Pomnožite dividendo z istim številom.

Decimalni ulomek delite z naravnim številom.

V odgovor postavite vejico v trenutku, ko se konča deljenje celega dela.



Kaj pa, če en primer vsebuje obe vrsti ulomkov?

Da, v matematiki pogosto obstajajo primeri, v katerih morate izvajati operacije na navadnih in decimalnih ulomkih. Pri takih nalogah sta možni dve rešitvi. Številke morate objektivno pretehtati in izbrati optimalno.

Prvi način: predstavlja navadne decimalke

Primerno je, če deljenje ali prevajanje povzroči končne ulomke. Če vsaj ena številka daje periodični del, potem je ta tehnika prepovedana. Torej, tudi če vam ni všeč delo z navadnimi ulomki, jih boste morali prešteti.

Drugi način: decimalne ulomke zapišite kot navadne

Ta tehnika se izkaže za priročno, če del za decimalno vejico vsebuje 1-2 števki. Če jih je več, lahko dobite zelo velik navaden ulomek in decimalni zapisi vam bo omogočil hitrejši in lažji izračun naloge. Zato morate vedno trezno oceniti nalogo in izbrati najpreprostejši način rešitve.

Kot je znano, množica racionalnih števil (Q) vključuje množico celih števil (Z), ta pa množico naravnih števil (N). Racionalna števila poleg celih števil vključujejo tudi ulomke.

Zakaj potem celotno množico racionalnih števil včasih obravnavamo kot neskončne periodične decimalne ulomke? Dejansko poleg ulomkov vključujejo tudi cela števila, pa tudi neperiodične ulomke.

Dejstvo je, da lahko vsa cela števila, pa tudi vsak ulomek, predstavimo kot neskončni periodični decimalni ulomek. To pomeni, da lahko za vsa racionalna števila uporabite isto metodo snemanja.

Kako je predstavljena neskončna periodična decimalka? V njem je ponavljajoča se skupina števil za decimalno vejico v oklepaju. Na primer 1,56(12) je ulomek, v katerem se ponavlja skupina števk 12, torej ima ulomek vrednost 1,561212121212 ... in tako v nedogled. Ponavljajočo se skupino števil imenujemo pika.

V tej obliki pa lahko predstavimo poljubno število, če za njegovo periodo štejemo število 0, ki se prav tako neskončno ponavlja. Število 2 je na primer enako 2,00000.... Zato ga lahko zapišemo kot neskončni periodični ulomek, to je 2,(0).

Enako lahko storimo s katerim koli končnim ulomkom. Na primer:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Vendar v praksi ne uporabljajo transformacije končnega ulomka v neskončno periodičnega. Zato ločijo končne ulomke in neskončne periodične. Tako je bolj pravilno reči racionalna števila pripadajo

• vsa cela števila
• končne frakcije,
• neskončni periodični ulomki.

Obenem si preprosto zapomnite, da so cela števila in končni ulomki v teoriji predstavljeni v obliki neskončnih periodičnih ulomkov.

Po drugi strani pa sta koncepta končnih in neskončnih ulomkov uporabna za decimalne ulomke. Ko gre za ulomke, je mogoče tako končne kot neskončne decimalke enolično predstaviti kot ulomek. To pomeni, da sta z vidika navadnih ulomkov periodični in končni ulomek ista stvar. Poleg tega lahko cela števila predstavimo tudi kot ulomek, če si predstavljamo, da število delimo z 1.

Kako predstaviti decimalni neskončni periodični ulomek kot navaden ulomek? Najpogosteje uporabljen algoritem je nekaj takega:

1. Zmanjšajte ulomek tako, da bo za decimalno vejico le pika.
2. Pomnožite neskončni periodični ulomek z 10 ali 100 ali ... tako, da se decimalna vejica premakne v desno za eno periodo (tj. ena doba se konča v celem delu).
3. Izenačite prvotni ulomek (a) s spremenljivko x in ulomek (b), dobljen z množenjem s številom N na Nx.
4. Odštejte x od Nx. Od b odštejem a. To pomeni, da sestavljajo enačbo Nx – x = b – a.
5. Pri reševanju enačbe je rezultat navaden ulomek.

Primer pretvorbe neskončnega periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek:
x = 1,13333 ...
10x = 11,3333 ...
10x * 10 = 11,33333 ... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =

Dejstvo, da mnogi kvadratni koreni so iracionalna števila, sploh ne zmanjša njihovega pomena; zlasti se število $\sqrt2$ zelo pogosto uporablja v različnih inženirskih in znanstvenih izračunih. To število je mogoče izračunati z natančnostjo, ki je potrebna v vsakem posameznem primeru. To število lahko navedete na toliko decimalnih mest, kolikor imate potrpljenja.

Na primer, število $\sqrt2$ je mogoče določiti z natančnostjo šestih decimalnih mest: $\sqrt2=1,414214$. Ta vrednost se ne razlikuje zelo od prave vrednosti, saj je $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Ta odgovor se od 2 razlikuje komaj za več kot milijoninko. Zato je vrednost $\sqrt2$ enaka $1,414214$ povsem sprejemljiva za večinsko rešitev praktični problemi. V primerih, ko je potrebna večja natančnost, ni težko dobiti toliko pomembnih števk za decimalno vejico, kot je v tem primeru potrebno.

Vendar, če pokažete redko trmo in poskusite izvleči kvadratni koren od števila $\sqrt2$, dokler ne dosežete točnega rezultata, ne boste nikoli dokončali svojega dela. To je proces brez konca. Ne glede na to, koliko decimalnih mest dobite, jih bo vedno ostalo nekaj več.

To dejstvo vas lahko preseneti prav tako kot spreminjanje $\frac13$ v neskončno decimalno $0,333333333…$ in tako naprej v nedogled ali spreminjanje $\frac17$ v $0,142857142857142857…$ in tako naprej v nedogled. Na prvi pogled se morda zdi, da so ti neskončni in iracionalni kvadratni koreni pojavi istega reda, vendar temu sploh ni tako. Navsezadnje te neskončni ulomki ima delni ekvivalent, medtem ko $\sqrt2$ nima. Zakaj točno? Dejstvo je, da so decimalni ekvivalent $\frac13$ in $\frac17$, pa tudi neskončno število drugih ulomkov, periodični neskončni ulomki.

Hkrati je decimalni ekvivalent $\sqrt2$ neperiodični ulomek. Ta trditev velja tudi za vsako iracionalno število.

Težava je v tem, da je vsaka decimalka, ki je približek kvadratnega korena iz 2 neperiodični ulomek. Ne glede na to, kako daleč gremo v naših izračunih, bo vsak ulomek, ki ga dobimo, neperiodičen.

Predstavljajte si ulomek z ogromno količino neperiodična decimalna mesta. Če se nenadoma po milijonti številki ponovi celotno zaporedje decimalnih mest, to pomeni decimalno- periodično in zanj obstaja ekvivalent v obliki razmerja celih števil. Če ima ulomek z ogromnim številom (milijarde ali milijone) neponavljajočih se decimalnih mest na neki točki neskončen niz ponavljajočih se številk, kot je $...55555555555...$, to tudi pomeni, da dani ulomek- periodično in zanj obstaja ekvivalent v obliki razmerja celih števil.

Vendar pa so njihovi decimalni ekvivalenti popolnoma neperiodični in ne morejo postati periodični.

Seveda lahko vprašate naslednje vprašanje: »Kdo lahko ve in z gotovostjo trdi, kaj se zgodi z ulomkom, recimo, za znakom bilijona? Kdo lahko jamči, da ulomek ne bo postal periodičen?« Obstajajo načini, kako dokončno dokazati, da so iracionalna števila neperiodična, vendar takšni dokazi zahtevajo zapleteno matematiko. Če pa se je nenadoma izkazalo, da iracionalno število postane periodični ulomek, bi to pomenilo popoln propad temeljev matematične vede. In v resnici je to komaj mogoče. Ni vam lahko metati na členke z ene strani na drugo, tukaj je zapletena matematična teorija.

Če poznajo teorijo nizov, potem brez nje ni mogoče uvesti metamatskih konceptov. Poleg tega ti ljudje verjamejo, da je vsakdo, ki ga ne uporablja široko, neveden. Pustimo stališča teh ljudi njihovi vesti. Bolje razumejmo, kaj je neskončno periodični ulomek in kako naj se tega lotimo mi, neizobraženi ljudje, ki ne poznamo meja.

Delimo 237 s 5. Ne, ni vam treba zagnati kalkulatorja. Raje se spomnimo srednje (ali kar osnovne?) šole in jo preprosto razdelimo v stolpec:

No, si se spomnil? Potem se lahko lotite posla.

Koncept "frakcije" v matematiki ima dva pomena:

1. Necelo število.
2. Necela oblika.

1. Enostavno (oz navpično) ulomki, na primer 1/2 ali 237/5.
2. Decimalni ulomki, na primer 0,5 ali 47,4.

V matematiki je bilo na splošno desetiško štetje vedno sprejeto, zato so decimalni ulomki bolj priročni kot preprosti, to je ulomek z decimalnim imenovalcem (Vladimir Dal. Slovarživi velikoruski jezik. "Deset").

Tudi popolnoma nepoučena oseba bo opazila: ne glede na to, kako dolgo traja, se ne bo ločilo: trojčki se bodo pojavljali ad infinitum. Zapišimo torej: 0,33 ... Mislimo na »število, ki ga dobimo, ko 1 delimo s 3« ali na kratko »ena tretjina«. Tretjina je seveda ulomek v prvem pomenu besede, »1/3« in »0,33 ...« pa sta ulomka v drugem pomenu besede, tj. vpisniceštevilo, ki se nahaja na številski premici tako daleč od nič, da če ga trikrat odložite, dobite ena.

Zdaj pa poskusimo deliti 5 s 6:

Zapišimo še enkrat: 0,833... Mislimo na »število, ki ga dobiš, ko 5 deliš s 6« ali na kratko »pet šestin«. Vendar tukaj nastane zmeda: ali to pomeni 0,83333 (in potem se trojčki ponovijo) ali 0,833833 (in potem se ponovi 833). Zato nam zapis z elipso ne ustreza: ni jasno, kje se začne ponavljajoči se del (imenuje se "pika"). Zato bomo piko dali v oklepaj, takole: 0,(3); 0,8 (3).

0,(3) ni enostavno enako ena tretjina, to je Obstaja ena tretjina, ker smo posebej izumili ta zapis, da to število predstavimo kot decimalni ulomek.

Ta vnos se imenuje neskončni periodični ulomek, ali preprosto periodični ulomek.

Kadarkoli eno število delimo z drugim, če ne dobimo končnega ulomka, dobimo neskončni periodični ulomek, se pravi, nekoč se bodo zaporedja števil zagotovo začela ponavljati. Zakaj je tako, lahko razumemo povsem špekulativno, če natančno pogledamo algoritem delitve stolpcev:

Na mestih, ki so označena s kljukicami, ni mogoče vedno dobiti različnih parov števil (ker je takih parov načeloma končno število). In takoj, ko se tam pojavi tak par, ki je že obstajal, bo tudi razlika enaka - in takrat se bo celoten proces začel ponavljati. Tega ni treba preverjati, saj je povsem očitno, da bodo rezultati enaki, če ponavljate ista dejanja.

Zdaj, ko dobro razumemo bistvo periodični ulomek, poskusimo eno tretjino pomnožiti s tri. Ja, seveda ga boš dobil, a zapišimo ta ulomek v decimalni obliki in ga pomnožimo v stolpcu (zaradi elipse tu ne nastane dvoumnost, saj so vse številke za decimalno vejico enake):

In spet opazimo, da se bodo za decimalno vejico ves čas pojavljale devetice, devetice in devetice. To pomeni, da z uporabo zapisa z oklepajem dobimo 0,(9). Ker vemo, da je zmnožek ene tretjine in treh ena, potem je 0.(9) tako eleganten način zapisa ena. Vendar je uporaba takega zapisa neprimerna, saj lahko enoto brez pike zapišemo popolnoma takole: 1.

Kot lahko vidite, je 0,(9) eden tistih primerov, ko je celo število zapisano v obliki ulomka, na primer 3/3 ali 7,0. To pomeni, da je 0,(9) ulomek le v drugem pomenu besede, ne pa tudi v prvem.

Tako smo brez kakršnih koli omejitev ali serij ugotovili, kaj je 0.(9) in kako z njim ravnati.

A vseeno ne pozabimo, da smo pravzaprav pametni in študiramo analizo. Dejansko je težko zanikati, da:

Toda morda nihče ne bo oporekal dejstvu, da:

Vse to je seveda res. Dejansko je 0,(9) tako vsota reducirane serije kot dvojni sinus navedenega kota in naravni logaritem Eulerjeva števila.

A ne eno, ne drugo, ne tretje ni definicija.

Reči, da je 0,(9) vsota neskončnega niza 9/(10 n), pri čemer je n enak ena, je enako, kot če bi rekli, da je sinus vsota neskončnega Taylorjevega niza:

to popolnoma prav, in to je najpomembnejše dejstvo za računalniško matematiko, vendar to ni definicija in, kar je najpomembneje, človeka ne približa razumevanju v bistvu sinusov Bistvo sinusa določenega kota je, da ga prav vse odnos nasprotni kot krak na hipotenuzo.

Torej, periodični ulomek je prav vse decimalni ulomek, ki ga dobimo, ko pri delitvi s stolpcem isti niz številk se bo ponovil. Tukaj ni sledi analize.

In tu se pojavi vprašanje: od kod prihaja? sploh smo vzeli število 0,(9)? Na kaj delimo s stolpcem, da ga dobimo? Dejansko ni takih števil, da bi ob razdelitvi v stolpec imeli neskončno pojavljajoče se devetice. Toda to številko nam je uspelo dobiti z množenjem 0,(3) s 3 s stolpcem? res ne. Navsezadnje morate množiti od desne proti levi, da pravilno upoštevate prenose števk, in to smo storili od leve proti desni, pri čemer smo zvito izkoristili dejstvo, da do prenosov tako ali tako ne pride nikjer. Zato je zakonitost zapisa 0,(9) odvisna od tega, ali priznavamo zakonitost takega množenja s stolpcem ali ne.

Zato lahko na splošno rečemo, da je zapis 0,(9) nepravilen - in v do določene mere imej prav. Ker pa je zapis a ,(b ) sprejet, ga je preprosto grdo opustiti, ko je b = 9; Bolje je, da se odločite, kaj tak vnos pomeni. Torej, če na splošno sprejmemo zapis 0,(9), potem ta zapis seveda pomeni številko ena.

Ostaja samo dodati, da če bi uporabili, recimo, ternarni številski sistem, bi pri deljenju s stolpcem ena (1 3) s tri (10 3) dobili 0,1 3 (beri "nič pika ena tretjina"), in pri deljenju ena z dve bi bilo 0,(1) 3.

Torej periodičnost ulomkov ni neka objektivna značilnost ulomkov, ampak samo stranski učinek uporabo enega ali drugega številskega sistema.