Katere segmente je mogoče narisati za rezanje. Olimpijada, logične in zabavne naloge iz matematike

, Natečaj "Predstavitev za lekcijo"

Predstavitev za lekcijo

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Izkušnje kažejo, da je pri uporabi praktičnih učnih metod mogoče pri učencih oblikovati številne miselne tehnike, potrebne za pravilno prepoznavanje bistvenih in nebistvenih lastnosti pri seznanjanju z geometrijskimi figurami. razvija se matematična intuicija, logično in abstraktno mišljenje, oblikuje se kultura matematičnega govora, razvijajo se matematične in oblikovalske sposobnosti, povečuje se kognitivna aktivnost, razvija se intelektualni in ustvarjalni potencial. Članek ponuja številne praktične naloge o rezanju geometrije oblike na koščke, da sestavijo te dele in ustvarijo novo figuro. Učenci delajo naloge v skupinah. Nato vsaka skupina zagovarja svoj projekt.

Dve figuri se imenujeta enako sestavljeni, če je z rezanjem enega od njiju na določen način na končno število delov mogoče (z različno razporeditvijo teh delov) iz njiju oblikovati drugo figuro. Torej metoda razdelitve temelji na dejstvu, da sta katera koli dva enako sestavljena poligona enaka po velikosti. Naravno je postaviti nasprotno vprašanje: ali imata katera koli dva mnogokotnika enako površino? Na to vprašanje sta (skoraj sočasno) odgovorila madžarski matematik Farkas Bolyai (1832) in nemški častnik in matematični navdušenec Gerwin (1833): dva mnogokotnika z enakimi ploščinami sta enako sorazmerna.

Bolyai-Gerwinov izrek pravi, da je mogoče vsak mnogokotnik razrezati na kose, tako da se iz kosov lahko oblikuje kvadrat.

1. vaja.

Izrežite pravokotnik a X 2a na koščke, tako da jih je mogoče sestaviti v kvadrat.

Pravokotnik ABCD razrežemo na tri dele po premicah MD in MC (M je sredina AB)

Slika 1

Trikotnik AMD premaknemo tako, da oglišče M sovpada z ogliščem C, krak AM se premakne na odsek DC. Trikotnik MVS premaknemo v levo in navzdol tako, da krak MV prekriva polovico odseka DC. (Slika 1)

Naloga 2.

Enakostranični trikotnik razrežemo na kose, da jih lahko zložimo v kvadrat.

Označimo ta pravilni trikotnik ABC. Trikotnik ABC je treba razrezati na mnogokotnike, da jih lahko zložimo v kvadrat. Potem morajo imeti ti mnogokotniki vsaj en pravi kot.

Naj bo K razpolovišče CB, T razpolovišče AB, izberite točki M in E na strani AC tako, da bo ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Slika 2

Narišimo odsek MK ter nanj pravokotno odseke EP in TN. Trikotnik razrežemo na kose vzdolž sestavljenih linij. Štirikotnik KRES zavrtimo v smeri urinega kazalca glede na oglišče K, tako da se SC poravna z odsekom KV. Štirikotnik AMNT zavrtimo v smeri urinega kazalca glede na oglišče T, tako da se AT poravna s TV. Premaknimo trikotnik MEP tako, da bo rezultat kvadrat. (slika 2)

Naloga 3.

Kvadrat razrežemo na kose, tako da lahko iz njih zložimo dva kvadrata.

Označimo prvotni kvadrat ABCD. Označimo razpolovišča stranic kvadrata - točke M, N, K, H. Narišimo odseke MT, HE, KF in NP - dele odsekov MC, HB, KA in ND.

S prerezom kvadrata ABCD po narisanih premicah dobimo kvadrat PTEF in štiri štirikotnike MDHT, HCKE, KBNF in NAMP.

Slika 3

PTEF je že pripravljen kvadrat. Iz preostalih štirikotnikov bomo oblikovali drugi kvadrat. Oglišča A, B, C in D so združljiva v eni točki, odseki AM in BC, MD in KS, BN in CH, DH in AN so združljivi. Točke P, T, E in F bodo postale oglišča novega kvadrata. (slika 3)

Naloga 4.

Enakostranični trikotnik in kvadrat sta izrezana iz debelega papirja. Te figure razrežite na poligone, tako da jih je mogoče zložiti v en kvadrat, deli pa ga morajo popolnoma zapolniti in se ne smejo sekati.

Trikotnik razrežite na kose in iz njih sestavite kvadrat, kot je prikazano v nalogi 2. Dolžina stranice trikotnika – 2a. Zdaj morate kvadrat razdeliti na mnogokotnike, tako da iz teh delov in kvadrata, ki je izšel iz trikotnika, sestavite nov kvadrat. Vzemite kvadrat s stranico 2 A, označimo z LRSD. Narišimo medsebojno pravokotni odsek UG in VF tako, da je DU=SF=RG=LV. Kvadrat razrežemo na štirikotnike.

Slika 4

Vzemimo kvadrat, sestavljen iz delov trikotnika. Postavimo štirikotnike - dele kvadrata, kot je prikazano na sliki 4.

Naloga 5.

Križ je sestavljen iz petih kvadratov: enega kvadrata v sredini in drugih štirih ob njegovih straneh. Narežemo ga na kose, da iz njih sestavimo kvadrat.

Povežimo oglišča kvadratov, kot je prikazano na sliki 5. Odrežemo »zunanje« trikotnike in jih premaknemo na prosta mesta znotraj kvadrata ABC.

Slika 5

Naloga 6.

Dva poljubna kvadrata prerišite v enega.

Slika 6 prikazuje, kako rezati in premikati kvadratne kose.

Točka je abstrakten objekt, ki nima merskih lastnosti: ne višine, ne dolžine, ne polmera. V okviru naloge je pomembna le njegova lokacija

Točka je označena s številko ali veliko (veliko) latinično črko. Več pik - z različnimi številkami ali različnimi črkami, da jih je mogoče razlikovati

točka A, točka B, točka C

1. točka, 2. točka, 3. točka

Na list papirja lahko narišete tri pike »A« in povabite otroka, naj nariše črto skozi dve piki »A«. Toda kako razumeti, skozi katere? A A A

Črta je množica točk. Meri se le dolžina. Nima širine ali debeline

Označeno z malimi (majhnimi) latiničnimi črkami

vrstica a, vrstica b, vrstica c

Vrstica je lahko

1. zaprta, če sta njen začetek in konec na isti točki,
2. odprta, če njen začetek in konec nista povezana

zaprte linije

odprte linije

1. samosekanje
2. brez samopresečišč

premice, ki se sekajo same s seboj

črte brez samopresečišč

1. naravnost
2. pokvarjen
3. ukrivljen

ravne črte

lomljene črte

ukrivljene črte

Ravna črta je črta, ki ni kriva, nima ne začetka ne konca, lahko jo nadaljujemo v nedogled v obe smeri.

Tudi ko je viden majhen odsek ravne črte, se domneva, da se ta nadaljuje v obe smeri za nedoločen čas.

Označeno z malo (majhno) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinični črki - točki, ki ležita na ravni črti

ravna črta a

ravna črta AB

Neposredno lahko

1. sekajo, če imajo skupno točko. Dve črti se lahko sekata samo v eni točki.
   • pravokotno, če se sekata pravokotno (90°).
2. Vzporedni, če se ne sekata, nimata skupne točke.

vzporedne črte

sekajoče se črte

pravokotne črte

Žarek je del premice, ki ima začetek, nima pa konca, lahko se nadaljuje v nedogled le v eno smer

Svetlobni žarek na sliki ima izhodišče kot sonce.

sonce

Točka deli premico na dva dela - dva žarka A A

Žarek je označen z malo (malo) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinski črki, kjer je prva točka, iz katere se začne žarek, druga pa točka, ki leži na žarku.

žarek a

žarek AB

Žarki sovpadajo, če

1. ki se nahajajo na isti ravni črti
2. začeti na eni točki
3. usmerjen v eno smer

žarka AB in AC sovpadata

žarka CB in CA sovpadata

Odsek je del črte, ki je omejen z dvema točkama, torej ima začetek in konec, kar pomeni, da je njegovo dolžino mogoče izmeriti. Dolžina odseka je razdalja med njegovo začetno in končno točko

Skozi eno točko lahko narišete poljubno število črt, vključno z ravnimi črtami

Skozi dve točki - neomejeno število krivulj, vendar samo ena ravna črta

ukrivljene črte, ki potekajo skozi dve točki

ravna črta AB

Kos je bil "odrezan" od ravne črte in ostal je segment. Iz zgornjega primera lahko vidite, da je njegova dolžina najkrajša razdalja med dvema točkama. ✂ B A ✂

Odsek označujemo z dvema velikima latinskima črkama, pri čemer je prva točka, v kateri se odsek začne, druga pa točka, v kateri se odsek konča.

segment AB

Problem: kje je premica, žarek, odsek, krivulja?

Lomljena črta je črta, sestavljena iz zaporedno povezanih odsekov, ki niso pod kotom 180°.

Dolg segment je bil "zlomljen" na več kratkih

Členi lomljene črte (podobno kot členi verige) so segmenti, ki tvorijo lomljeno črto. Sosednje povezave so povezave, pri katerih je konec ene povezave začetek druge. Sosednje povezave ne smejo ležati na isti ravni črti.

Oglišča lomljene črte (podobno kot pri vrhovih gora) so točka, v kateri se lomljena začne, točke, v katerih se povezujejo odseki, ki tvorijo lomljeno, in točka, v kateri se lomljena konča.

Lomljeno črto označimo tako, da naštejemo vsa njena oglišča.

lomljena črta ABCDE

oglišče poličrte A, oglišče poličrte B, oglišče poličrte C, oglišče poličrte D, oglišče poličrte E

prekinjena povezava AB, prekinjena povezava BC, prekinjena povezava CD, prekinjena povezava DE

člen AB in člen BC sosednji

povezava BC in povezava CD sta sosednji

povezava CD in povezava DE sta sosednji

Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Naloga: katera lomljena črta je daljša, A ki ima več oglišč? V prvi liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 13 cm. V drugi vrstici so vsi členi enake dolžine in sicer 49 cm. V tretji liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 41 cm.

Poligon je sklenjena poličrta

Stranice mnogokotnika (izrazi, ki si jih boste lažje zapomnili: »pojdi v vse štiri smeri«, »teci proti hiši«, »na kateri strani mize boš sedel?«) so členi lomljene črte. Sosednji stranici mnogokotnika sta sosednji členi lomljene črte.

Oglišča mnogokotnika so oglišča lomljene črte. Sosednja oglišča so končne točke ene stranice mnogokotnika.

Poligon označujemo tako, da naštejemo vsa njegova oglišča.

zaprt poličrt brez samopresečišča, ABCDEF

mnogokotnik ABCDEF

oglišče poligona A, oglišče poligona B, oglišče poligona C, oglišče poligona D, oglišče poligona E, oglišče poligona F

oglišče A in oglišče B sta sosednji

oglišče B in oglišče C sta sosednji

oglišče C in oglišče D sta sosednji

oglišče D in oglišče E sta sosednji

oglišče E in oglišče F sta sosednji

oglišče F in oglišče A sta sosednji

stran poligona AB, stranica mnogokotnika BC, stranica mnogokotnika CD, stranica mnogokotnika DE, stranica mnogokotnika EF

stranica AB in stranica BC sta sosednji

stranica BC in stran CD sta sosednji

CD stran in DE stran sta sosednji

stran DE in stranica EF sta sosednji

stranica EF in stranica FA sta sosednji

Obseg mnogokotnika je dolžina lomljene črte: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Mnogokotnik s tremi oglišči se imenuje trikotnik, s štirimi - štirikotnik, s petimi - peterokotnik itd.

Niz izbirnih ur na temo "Reševanje problemov rezanja"

Pojasnilo

Osnovno cilji ki jih uvrščamo v izbirne predmete so:

Predstavite gradivo o vrstah rezalnih poligonov;

Spodbujati oblikovanje veščin pri učencih za duševno izvajanje takšnih transformacij, kot so:

• vzporedni prenos,

  obrat,

  centralna simetrija in različne kompozicije teh transformacij.

IN glavni cilj vseh razredov: doseči pozitivno spremembo sposobnosti prostorskega razmišljanja.

Naloge, ki jih ponujamo pri izbirnem pouku, so ustvarjalne narave, njihovo reševanje od dijakov zahteva: veščine:

zmožnost miselnih transformacij, ki spreminjajo lokacijo podob, ki jih imajo učenci v svojih mislih, njihovo strukturo, strukturo;

sposobnost hkratnega spreminjanja slike tako po lokaciji kot po strukturi ter večkratnega izvajanja kompozicij posameznih operacij.

Tematsko načrtovanje:

1. Vprašalnik št. 1 – 1 ura.

2. Težave z rezanjem. Rezanje tipa R – 1 ura.

3. Rezanje tipa P – 1 ura.

4. Rezanje tipa Q – 1 ura.

5. Rezanje tipa S – 1 ura.

6. Rezanje v obliki črke T – 1 ura.

7. Vprašalnik št. 2 – 1 ura.

Pri sestavljanju niza izbirnih predmetov so bili uporabljeni problemi iz revij "Kvant", "Matematika v šoli" in knjige G. Lindgren.

Smernice: Pri uvajanju učencev v probleme priporočamo, da te probleme upoštevate natančno glede na vrste rezanja, ki jih je predlagal G. Lindgren, kar na eni strani omogoča razvrščanje teh problemov, na drugi strani pa v učilnici za reševanje problemov, ki vključujejo prostorske transformacije različnih stopenj kompleksnosti (druga in tretja vrsta, ki delujejo s slikami, po I.S. Yakimanskaya). Pri delu z učenci 7.–9. razreda priporočamo uporabo nalog izbirnega pouka.

Lekcija št. 1

Tema: Težave pri rezanju. Tip rezanja R (racionalni rez).

Cilj: Učence seznaniti s konceptom rezalnega problema, razložiti bistvo rezalne vrste R, analizirati rešitev problemov za to vrsto rezanja, v procesu reševanja problemov spodbujati oblikovanje veščin za mentalno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, prerezovanje, obračanje, vzporedni prenos), s čimer se spodbuja razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema: papir, barvne paste, škarje, plakat.

metoda: razlagalno – ilustrativno.

Učiteljica: plakat na tabli:

Shema: Rezanje težav

Težave z rezanjem

1) Figuro razrežite na več figur

3) Preoblikujte eno ali več oblik v drugo obliko

2) Iz danih likov zložite figuro

Med vsemi rezalnimi problemi je večina racionalnih rezalnih problemov. To je posledica dejstva, da je takšne reze enostavno izmisliti in uganke, ki temeljijo na njih, niso preveč preproste in ne preveč zapletene.

Težave pri R - rezanju

1) Figuro razrežite na več (večinoma enakih) figur

3) Preoblikujte eno ali več oblik v dano obliko

2) Seštej figuro iz danih (večinoma enakih) figur

3.1. Uporaba stopenjskega rezanja

3.2. Brez uporabe stopenjskega rezanja

Spoznajmo rešitev problemov za vsako vrsto rezanja R.

Faza II: Faza reševanja problema

Metode: delno iskanje

Naloga št. 1(AII) : Kvadrat s stranico štirih kvadratov razrežite na dva enaka dela. Poiščite čim več načinov rezanja.

Opomba: režete lahko samo ob straneh celic.

rešitev:

Takšne reze učenci poiščejo v svojih zvezkih, nato pa učitelj povzame vse načine rezanja, ki so jih učenci našli.

Problem št. 2(AII) : Te oblike razrežite na dva enaka dela.

Opomba: režete lahko ne samo ob straneh celic, ampak tudi diagonalno.

Takšne izreze učenci s pomočjo učitelja poiščejo v svojih zvezkih.

Kvadrat ima veliko čudovitih lastnosti. Pravi koti, enake stranice, simetrija mu dajejo preprostost in popolnost oblike. Na zložljivih kvadratih iz delov enakih in različnih oblik je veliko ugank.

TO primer naloga št. 3(BII) : Dobiš štiri enake dele. Iz njih v mislih sestavite kvadrat, pri čemer vsakič uporabite vse štiri dele. Vse teste naredite na papirju. Rezultate svoje rešitve predstavite v obliki ročno narisane risbe.

rešitev:

Šahovnica, razrezana na kose, ki jih je treba pravilno zložiti, je ena izmed priljubljenih in znanih ugank. Zahtevnost montaže je odvisna od tega, na koliko delov je plošča razdeljena.

Predlagam naslednjo nalogo:

Problem št. 4(BII) : Sestavite šahovnico iz delov, prikazanih na sliki.

rešitev:

Problem #5(VII) : Razrežite "čoln" na dva dela, tako da ju lahko zložite v kvadrat.

rešitev:

1) razrežite na dva dela, kot je na sliki

obrniti enega od delov (tj. zavrteti)

Problem št. 6(VII): Katero koli od treh figur lahko razrežemo na dva dela, iz katerih zlahka zložimo kvadrat. Poiščite takšne reze.

A) b)

V)

rešitev:

vzporedni prenos dela 1 glede na del 2

vrtenje dela 1 glede na del 2

) b) V)

Problem št. 7(VII): Pravokotnik s stranicama 4 in 9 enot je razrezan na dva enaka dela, ki ju lahko pravilno prepognete kot kvadrat.

rez je narejen v obliki stopnic, katerih višina in širina sta enaki;

lik je razdeljen na dele in en del premakne za eno (ali več) stopnic navzgor in ga postavi na drug del.

rešitev:

vzporedni prenos 1. dela

Problem št. 9(VII): Ko figuro, prikazano na sliki, razrežete na dva dela, ju zložite v kvadrat, tako da sta obarvana kvadrata simetrična glede na vse simetrične osi kvadrata.

rešitev:

vzporedni prenos 1. dela

Problem št. 9(ВIII): Kako je treba izrezati dva kvadrata 3 x 3 in 4 x 4, da bo mogoče nastale dele zložiti v en kvadrat? Izmislite si več načinov. Poskusite preživeti s čim manj deli.

rešitev:

vzporedni prenos delov

način:

način:

vzporedno prevajanje in rotacija

4 način:

vzporedni prenos in vrtenje delov

Učenci ob pomoči učitelja iščejo reze.

Problem št. 10(AIII): Figuro, prikazano na sliki, je treba razdeliti na 6 enakih delov, pri čemer naredite reze samo vzdolž mrežnih črt. Na koliko načinov lahko to storite?

rešitev: Dve možni rešitvi.

Problem št. 11(BII): Iz danih figur sestavi šahovnico.

rešitev:

Problem št. 12(BIII): Pretvorite pravokotnik 3 x 5 v pravokotnik 5 x 3, ne da bi vrteli ustrezne dele.

Opomba: Uporabite stopničasto rezanje.

rešitev:(vzporedni prenos)

Problem št. 13(BIII): Obliko razrežite na 2 kosa z enim rezom, da oblikujete kvadrat 8 x 8.

rešitev:

vrtenje dela 2 glede na del 1

Smernice: Težave z rezanjem tipa R so nekatere od najlažjih in najbolj zanimivih. Številni problemi za to vrsto rezanja vključujejo več načinov reševanja, samostojna rešitev teh problemov s strani učencev pa lahko pomaga prepoznati vse načine reševanja. Naloge 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 vključujejo delo učencev s podobo figur z miselnimi transformacijami (»rezanje«, seštevanje, vrtenje, vzporedni prenos). Težave 4, 5, 9, 11 vključujejo delo študentov z modeli (narejenimi iz papirja), z neposrednim rezanjem figure s škarjami in izvajanjem matematičnih transformacij (rotacija, vzporedni prevod) za iskanje rešitev problemov. Naloge 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - za drugo vrsto operiranja s slikami, naloge 9, 10, 12 - za tretjo vrsto operiranja s slikami.

Lekcija št. 2

Tema: Tip rezanja P (P paralelogramski premik).

Cilj: Razložite bistvo vrste rezanja P, v procesu analize rešitve problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujajte oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, ponovno rezanje, vzporedni prenos), s čimer spodbujate razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema:

Stopnja I: Stopnja orientacije

metoda: problematična predstavitev.

učiteljica postavi problem (reši problem št. 1) in pokaže njegovo rešitev.

Naloga št. 1(BIII): Paralelogram s stranicami 3 in 5 cm pretvorite v nov paralelogram z enakimi koti kot prvotni paralelogram, katerega ena stranica je 4 cm.

rešitev: 1)

4)

ABC D – paralelogram

AB = 3, A D=5

naredimo rez AO VO = D K = 4;

premaknite del 1 navzgor (vzporedno prevajanje) v desno vzdolž linije reza, dokler točka O ne pade na nadaljevanje stranice DC;

naredite rez KA' tako, da KA' || DC ;

in Δ AA'K vstavimo v vdolbino, ki se nahaja pod točko O (vzporedni prenos Δ AA'K vzdolž ravne črte AO).

KVO D je želeni paralelogram (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  SLABO =  1 +  4,

1 =  2 in  4 =  3 – navzkrižno leži na vzporednicah.

Zato je  SLABO =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  BAD =  BKD itd.

U

Težave s prestavo P

Preoblikujte eno ali več oblik v drugo obliko

Bistvo vrste rezanja P:

naredimo del te figure, ki ustreza zahtevam naloge;

izvedemo vzporedni prenos izrezanega dela vzdolž črte reza, dokler vrh izrezanega dela ne sovpada z nadaljevanjem druge strani prvotne figure (paralelograma);

naredimo drugi rez vzporedno s stranico paralelograma, dobimo še en del;

Izvedemo vzporedni prenos na novo odrezanega dela vzdolž črte prvega reza, dokler oglišča ne sovpadajo (del vstavimo v vdolbino).

Faza II: Faza reševanja problema

Metode: pojasnjevalno – ilustrativno

Problem št. 2(BII): Pretvorite kvadrat 5 x 5 v pravokotnik s širino 3.

rešitev:

1) 2) – 3) 4)

odsek AO / VO = D T = 3

vzporedni prenos ΔABO vzdolž ravne črte AO ​​do točke O  (DC)

rez TA’ / TA’ || CD

Δ AA ’T vzporedni prenos vzdolž premice AO.

TBOD je želeni pravokotnik (TB = 3).

Problem št. 3(ВIII): Zložite tri enake kvadrate v en velik kvadrat.

Opomba: zložite tri kvadrate v pravokotnik in nato uporabite P zamik.

rešitev:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problem št. 4(BIII): pravokotnik 5 x 1 razrežite v kvadrat

Opomba: naredite zarez AB (A W =
), uporabite premik P za pravokotnik XYWA.

rešitev:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problem št. 5(VIII): Pretvorite rusko N v kvadrat.

Opomba: naredite rez, kot je prikazano na sliki, zložite nastale dele v pravokotnik.

rešitev:

Problem št. 6(BIII): Pretvori trikotnik v trapez.

Opomba: naredite rez, kot je prikazano na sliki.

rešitev:

zavrti del 1;

AB odsek;

ΔАВС vzporedni prenos vzdolž AB do točke B  (FM)

cut ALI / ALI || FM;

ΔAOR z vzporednim transportom vzdolž AB. Točka P sovpada s točko B;

OFBC je želeni trapez.

Problem št. 7(VIII): Iz treh enakih grških križev naredite en kvadrat.

rešitev:

Problem št. 8(BIII): Pretvori črko T v kvadrat.

Opomba: Najprej iz črke t izrežite pravokotnik.

rešitev: S t = 6 (enota 2), Skv = (
) 2

obrat

sestava vzporednih vezajev

MV = KS =

Problem št. 9(ВIII): Prerišite zastavo, prikazano na sliki, v kvadrat.

Opomba: Najprej pretvorite zastavo v pravokotnik

rešitev:

obrat

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

vzporedni prenos

Smernice: Pri seznanjanju z rezalnimi problemi tipa P priporočamo, da pri reševanju konkretnega problema predstavijo bistvo te vrste rezanja. Priporočamo reševanje nalog najprej na modelih (papirnatih), z neposrednim rezanjem figur s škarjami in vzporednim prenosom, nato pa v procesu reševanja nalog z modelov figur preidemo na delo s slikami geometrijskih likov, z izvajanjem miselnih transformacij (rezanje, vzporedni prenos).

Lekcija št. 3

Tema: Način rezanja Q (Q je premik štirikotnika).

Cilj: Naj orišemo bistvo vrste rezanja Q v procesu reševanja problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujamo oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, centralna simetrija, rotacija, vzporedni prenos), s čimer spodbujamo razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema: papir, barvne paste, škarje.

Stopnja I: Stopnja orientacije

metoda: problematična predstavitev.

Učitelj učencem postavi problem (reši nalogo št. 1) in pokaže rešitev.

Naloga št. 1(BIII): Pretvorite ta štirikotnik v nov štirikotnik.

rešitev:

Rez HP naredimo tako, da je VN = MN, PF = DF;

narediti rez ME / ME || sonce;

izvedemo RT / RT rez || AD ;

Δ 3 in Δ 1 sta zasukana v smeri urinega kazalca glede na del 2;

1. del z vzporednim prenosom po premici HF do točke T  AR;

AMCP je zahtevani štirikotnik (s stranicama CP in AM (lahko se določi v pogoju)).

Problem št. 2(BIII): Pretvori štirikotnik v nov štirikotnik (dolg štirikotnik).

rešitev:

(zavrtite del 1 glede na točko O, dokler OU ne sovpada z AO);

(zavrtite del (1 – 2) glede na točko T, dokler VT ne sovpada z WT);

XAZW je zahtevani štirikotnik.

Pri težavah z uporabo rezov Q se naredijo rezi, odrezani kosi pa so podvrženi rotacijski transformaciji.

Naloge za Q rezanje

preoblikovanje dane oblike (štirikotnik) v drugo obliko (štirikotnik)

V mnogih problemih se elementi Q premika uporabljajo za pretvorbo trikotnika v nekakšen štirikotnik ali obratno (trikotnik kot "štirikotnik" z eno od njegovih stranic, ki ima ničelno dolžino).

Faza II: Faza reševanja problema

Problem št. 3(VII): Iz trikotnika je izrezan majhen trikotnik, kot je prikazano na sliki. Preuredite majhen trikotnik tako, da tvori paralelogram.

Zavrtite del 1 glede na točko P, dokler KR ne sovpada z MR.

AOO'M je zahtevani paralelogram.

Problem št. 4(BII, BIII): Kateri od teh trikotnikov lahko spremenite v pravokotnike tako, da naredite en (dva) reza in preuredite nastale dele?

1) 2) 3) 4)

5)

rešitev:

1)

5)

1), 5) en rez (rez – srednja črta trikotnika)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dva reza (1. rez – srednjica, 2. rez – višina od vrha trikotnika).

Problem št. 5(VII): Pregradite trapez v trikotnik.

rešitev:

razdelek KS (AK = KB)

vrtenje ΔKVS okoli točke K, tako da sta segmenta KV in KA poravnana.

Δ FCD želeni trikotnik.

Problem št. 6(ВIII): Kako trapez razdeliti na oblike, iz katerih lahko sestavimo pravokotnik?

rešitev:

1) ALI razdelek (AO = OB, OR┴AD)

2) rez TF (CT = TD, TF ┴AD)

rotacija dela 1 glede na točko O, tako da sta AO in BO poravnana.

Zasukajte del 2 glede na točko T, tako da sta DT in CT poravnana.

PLMF – pravokotnik.

Faza III: postavljanje domače naloge.

Problem št. 7(VIII) : pretvori kateri koli trikotnik v pravokotni trikotnik.

komentar:

1) najprej pretvorite poljuben trikotnik v pravokotnik.

2) pravokotnik v pravokotni trikotnik.

rešitev:

obrat

Problem št. 8(VII): Poljubni paralelogram pretvorite v trikotnik tako, da naredite samo en rez.

rešitev:

obrat

Zasukaj 2. del okoli točke O za 180º (središče simetrije)

Smernice: Povzetek bistva rezanja Q, ki ga priporočamo

izvajati v procesu reševanja konkretnih problemov. Glavne matematične transformacije, ki se uporabljajo pri reševanju problemov za to vrsto rezanja, so: rotacija (zlasti centralna simetrija, vzporedno prevajanje). Naloge 1, 2, 7 - za praktična dejanja z modeli geometrijskih oblik; naloge 3, 4, 5, 6, 8 vključujejo delo s slikami geometrijskih oblik. Naloge 3, 4, 5, 8 – za drugo vrsto operiranja s slikami, naloge 1, 2, 4, 6, 7 – za tretjo vrsto operiranja s slikami.

Lekcija št. 4.

Tema: Rezanje tipa S.

Cilj: Pojasnite bistvo rezalne vrste S, v procesu reševanja problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujajte oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, prekrivanje, obračanje, vzporedni prenos, centralna simetrija), s čimer spodbujate razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema: papir, barvne paste, škarje, kodni pozitivi.

jaz stopnja: Usmerjeni oder.

metoda: pojasnjevalno in ilustrativno.

Naloga št. 1(VII): kako paralelogram s stranicama 3,5 cm in 5 cm razrezati na paralelogram s stranicama 3,5 cm in 5,5 cm in tako narediti le en »rez«?

rešitev:

1) narišite segment (rez) CO = 5,5 cm, razdelite paralelogram na dva dela.

2) trikotnik COM nanesemo na nasprotno stranico paralelograma AK. (tj. vzporedni prenos ∆ COM na segment SA v smeri SA).

3) CAOO` je želeni paralelogram (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Naloga št. 1(ВIII): pokažite, kako lahko kvadrat razrežete na 3 dele, tako da lahko iz njih sestavite pravokotnik, katerega ena stranica je dvakrat večja od druge.

rešitev:

Sestavi kvadrat ABCD

narišimo diagonalo AC

Narišimo polovico diagonale BD odsek OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Iz dobljenih 3 delov sestavite pravokotnik (dolžina AC, širina AD

Za to:

izvedemo vzporedni prenos delov 1 in 2. dela 1 (∆1) v smeri D A, ∆2 v smeri AB na segment AB.

АОО`С je zahtevani pravokotnik (s stranicami AC, OA = ½ AC).

Učiteljica: Razmislili smo o rešitvi dveh problemov; vrsta rezanja, ki se uporablja pri reševanju teh problemov, se figurativno imenuje S-rezanje.

S - rezanje je v bistvu transformacija enega paralelograma v drugega paralelograma.

Bistvo tega reza V nadaljevanju:

naredimo rez, ki je enak dolžini strani zahtevanega paralelograma;

izvajamo vzporedni prenos odrezanega dela, dokler enaki nasprotni stranici paralelograma ne sovpadata (tj. odrezani del prilepimo na nasprotno stran paralelograma)

Glede na zahteve naloge bo odvisno število rezov.

Razmislimo o naslednjih nalogah:

Naloga št. 3(BII): paralelogram razdelite na dva dela, iz katerih lahko sestavite pravokotnik.

Narišimo poljuben paralelogram.

rešitev:

od točke B znižajte višino VN (VN┴AD)

Izvedimo vzporedni prenos ∆ AVN na odsek BC v smeri BC.

Narišite risbo nastalega pravokotnika.

VNRS – pravokotnik.

Naloga št. 4(BIII): Stranici paralelograma sta 3 in 4 cm. Z dvema rezoma ga spremenite v paralelogram s stranicami 3,5 cm.

rešitev:

1)

2)

Želeni paralelogram.

Na splošno S-rezanje temelji na metodi prekrivanja trakov, ki omogočajo reševanje problema preoblikovanja poljubnih poligonov.

Pri zgornjih težavah smo se zaradi enostavnosti odpovedali metodi nanašanja trakov, čeprav je vse te rešitve mogoče dobiti tudi s to metodo. Toda pri bolj zapletenih nalogah ne morete brez črt.

Na kratko črtasta metoda se skrči na tole:

1) Vsak mnogokotnik (poligon, ki ga preoblikujemo, in poligon, v katerega je treba preoblikovati prvotni mnogokotnik) razrežite (če je potrebno) na dele, iz katerih lahko zložite dva trakova.

2) Trakove postavite drug na drugega pod primernim kotom, pri čemer morajo biti robovi enega od njih vedno enakomerno postavljeni glede na elemente drugega traku.

3) V tem primeru bodo vse črte, ki se nahajajo v skupnem delu obeh trakov, pokazale mesta potrebnih rezov.

Pismo S, ki se uporablja v izrazu "S-cut", prihaja iz angleškega Strip - trak.

Faza II: Faza reševanja problema

Na primeru problema 3 preverimo, ali metoda nanašanja črt daje želeno rešitev.

Problem št. 3(VII): Paralelogram razdeli na dva dela, iz katerih lahko sestaviš pravokotnik.

rešitev:

1)

2)

3)

1) iz paralelograma dobimo trak

2) črte pravokotnikov

3) nanesite trak 2 na trak 1, kot je prikazano na sliki 3

4) pridobimo zahtevano nalogo.

Problem št. 5(BIII): V enakokrakem trikotniku so označene razpolovišča stranskih stranic in njihove projekcije na osnovo. Skozi označene točke narišemo dve ravni črti. Pokažite, da lahko iz nastalih kosov sestavite romb.

rešitev:

del 2, 3 – rotacija okoli točke

4. del – vzporedni prenos

V tem problemu je bilo že nakazano rezanje trikotnikov;

Problem št. 6(BIII): Pretvorite tri grške križe v kvadrat (z uporabo črt).

rešitev:

1)

Na trak križcev položimo trak kvadratov tako, da točka A in točka C pripadata roboma traku križcev.

∆АВН = ∆СD B, zato je kvadrat sestavljen iz ∆АВС in ∆АВМ.

Faza III: Določanje domače naloge

Problem št. 7(BIII): Pretvorite ta pravokotnik v drug pravokotnik, katerega stranice se razlikujejo od stranic prvotnega pravokotnika.

Opomba: Oglejte si rešitev 4. težave.

rešitev:

odsek AO (AO – širina zahtevanega pravokotnika);

rez DP / DP  AO (DP – dolžina zahtevanega pravokotnika);

vzporedni prenos ∆AVO v smeri letala na segment letala;

vzporedni prenos ∆АPD na segment AO v smeri AO;

Zahtevan pravokotnik PFED.

Problem št. 8(BIII): Pravilni trikotnik je razdeljen na dele s temi deli, zložite kvadrat.

Opomba: S prekrivanjem trakov lahko preverite, da je to S rez.

rotacija dela 2 okoli točke O;

rotacija dela 3 okoli točke C;

vzporedni prenos 4. dela

Dodatna naloga št. 9(BII): Prerežite paralelogram vzdolž ravne črte, ki poteka skozi njegovo središče, tako da lahko nastala dva kosa zložite v romb.

rešitev:

O  QT

QT rez;

del 1 z vzporednim prenosom na odsek BC v smeri BC (CD in AB sta združena).

Smernice: S – rezanje – ena najtežjih vrst rezanja. Priporočamo, da se bistvo tega rezanja oriše v konkretnih nalogah. Pri pouku reševanja problemov na S - rezanju priporočamo uporabo problemov, v katerih so podane rezalne figure in je potrebno dodati zahtevano figuro iz nastalih delov, kar je razloženo s težavo učencev pri samostojnem izvajanju metode nanašanja trakov, kar je bistvo S – rezanja. Hkrati lahko učitelj pri nalogah, ki so učencem bolj dostopne (na primer pri nalogah 3, 5, 8), pokaže, kako metoda nanašanja trakov omogoča doseganje rezov, ki so podani v pogojih naloge. Naloge 4, 5, 6, 8, 9 - za praktična dejanja z modeli geometrijskih oblik, naloge 1, 2, 3, 7 - za delo s slikami geometrijskih oblik. Naloge 1, 3, 9 – za drugo vrsto operiranja s slikami, naloge 2, 4, 5, 6, 7, 8 – za tretjo vrsto operiranja s slikami.

Lekcija št. 5

Tema: Rezanje v obliki črke T.

Cilj: Razložite bistvo vrste rezanja S, v procesu analize rešitve problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujajte oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, obračanje, vzporedni prenos), s čimer spodbujate razvoj prostorsko razmišljanje.

Oprema: papir, barvne paste, škarje, barvne paste, kodni pozitivi.

Stopnja I: Stopnja orientacije

metoda: pojasnjevalno in ilustrativno

Učiteljica: Uporaba T-reza za reševanje problemov vključuje risanje mozaika in njegovo naknadno prekrivanje. Trakove, ki se uporabljajo pri S-rezanju, lahko dobite iz mozaikov. Zato metoda polaganja ploščic posplošuje metodo trakov.

Poglejmo si bistvo T-reza na primeru reševanja problemov.

Naloga št. 1(BIII): Grški križ pretvorite v kvadrat.

1) prvi korak je pretvorba izvirnega poligona v mozaični element (in to je potrebno);

2) iz teh elementov naredimo mozaik št. 1 (izdelujemo mozaik iz grških križev);

5) vse črte, ki se nahajajo v skupnem delu obeh mozaikov, bodo pokazale mesta potrebnih rezov.

Faza II: Faza reševanja problema

metoda: delno - iskanje

Problem št. 2(BIII): Grški križ je razrezan na tri dele, te dele zložite v pravokotnik.

Opomba: lahko preverimo, ali je ta rez T-tip reza.

rešitev:

rotacija dela 1 okoli točke O;

zavrtite del 2 okoli točke A.

Problem št. 3(BIII): Konveksni štirikotnik prerežite vzdolž dveh ravnih črt, ki povezujeta središči nasprotnih stranic. Dokaži, da je iz nastalih štirih kosov vedno mogoče sešteti paralelogram.

2. del rotacija okoli točke O (ali središča simetrije) za 180;

3. del rotacija okoli točke C (ali središča simetrije) za 180;

1. del – vzporedni prenos.

Pokažimo mozaik, iz katerega je nastal ta rez.

Problem št. 4(BIII): Trije enaki trikotniki so bili izrezani vzdolž različnih median. Šest nastalih kosov zložite v en trikotnik.

rešitev:

1) iz teh trikotnikov naredimo trikotnike kot na sliki 1 (centralna simetrija);

2) iz treh novih trikotnikov sestavimo še en trikotnik (enake stranice sovpadajo).

Pokažimo, kako so bili ti odseki izdelani z uporabo mozaikov.

Problem št. 5(BIII): Grški križ je bil razrezan na kose in iz teh kosov je bil sestavljen pravokotni enakokraki trikotnik.

rešitev:

1. del centralna simetrija;

3. del centralna simetrija;

3. in 4. del – obrat.

Problem št. 6(BIII): Izrežite to figuro v kvadrat.

rešitev:

1. del rotacija okoli točke O;

del 3 zavijte za 90 okoli točke A.

Problem št. 7(BIII): Grški križ izrežite v paralelogram (razrezi so podani).

rešitev:

del 2 – vzporedni prenos glede na del 1;

del 3 vzporedni prenos vzdolž linije reza.

Faza III: Določanje domače naloge.

Problem št. 8(BIII): Dva enaka papirnata konveksna štirikotnika z rezoma: prvi po eni od diagonal, drugi pa po drugi diagonali. Dokaži, da lahko iz nastalih delov sestaviš paralelogram.

rešitev: sestava zavojev.

Problem št. 9(BIII): Sestavite kvadrat iz dveh enakih grških križev.

rešitev:

Smernice: T - rezanje - najbolj zapletena vrsta rezanja, ki tvori reze tipa S. Priporočamo, da razložite bistvo T-reza v procesu reševanja problemov. Zaradi zahtevnosti izvajanja mozaične metode za učence, ki je bistvo T-reza, pri pouku priporočamo uporabo nalog, v katerih je določeno rezanje in je treba iz nastalih delov figure dobiti želeni lik z uporabo matematične transformacije (rotacija, vzporedna translacija). Hkrati lahko učitelj pri nalogah, ki so učencem bolj dostopne, pokaže, kako z mozaično metodo pridobiti rezalne podatke. Naloge, predlagane v lekciji št. 5, so namenjene tretji vrsti delovanja s slikami in vključujejo študente, ki delajo z modeli geometrijskih likov z vrtenjem in vzporednim prevajanjem.

Uvod učitelja:

Malo zgodovinskega ozadja: Številni znanstveniki se že od antičnih časov zanimajo za probleme rezanja. Rešitve številnih preprostih problemov rezanja so našli že stari Grki in Kitajci, vendar je prvo sistematično razpravo o tej temi napisal Abul-Vef. Geometri so se resno lotili reševanja problemov rezanja figur na najmanjše dele in nato konstruiranja druge figure v začetku 20. stoletja. Eden od ustanoviteljev tega oddelka je bil slavni ustanovitelj uganke Henry E. Dudeney.

Dandanes se ljubitelji ugank navdušujejo nad reševanjem rezalnih problemov, saj ni univerzalne metode za reševanje takih problemov in vsak, ki se jih loti, lahko v celoti izkaže svojo iznajdljivost, intuicijo in sposobnost kreativnega razmišljanja. (Pri pouku bomo navedli le enega od možnih primerov rezanja. Predvidevamo lahko, da bodo učenci na koncu dobili še kakšno pravilno kombinacijo – tega se ni treba bati).

Ta pouk naj bi potekal v obliki praktičnega pouka. Udeležence kroga razdelite v skupine po 2-3 ljudi. Vsaki skupini dajte številke, ki jih vnaprej pripravi učitelj. Učenci imajo ravnilo (z razdelki), svinčnik in škarje. S škarjami je dovoljeno narediti le ravne reze. Ko ste figuro razrezali na koščke, morate iz istih delov narediti še eno figuro.

Rezalne naloge:

1). Poskusite razrezati figuro, prikazano na sliki, na 3 enake dele:

Namig: majhne oblike so zelo podobne črki T.

2). Zdaj razrežite to figuro na 4 enake dele:

Namig: Lahko je uganiti, da bodo majhne figure sestavljene iz 3 celic, vendar ni veliko figur s tremi celicami. Obstajata samo dve vrsti: kot in pravokotnik.

3). Figuro razdelite na dva enaka dela in iz dobljenih delov oblikujte šahovnico.

Namig: Predlagajte, da nalogo začnete od drugega dela, kot da dobite šahovnico. Spomni se, kakšno obliko ima šahovnica (kvadrat). Preštejte razpoložljivo število celic po dolžini in širini. (Ne pozabite, da mora biti 8 celic).

4). Poskusite sir s tremi gibi noža razrezati na osem enakih kosov.

Nasvet: poskusite sir prerezati po dolžini.

Naloge za samostojno reševanje:

1). Izrežite kvadrat papirja in naredite naslednje:

· razrežemo na 4 kose, iz katerih lahko naredimo dva enaka manjša kvadrata.

· razrežemo na pet delov - štiri enakokrake trikotnike in en kvadrat - in jih prepognemo tako, da dobimo tri kvadrate.

Mentorjem matematike in učiteljem različnih izbirnih predmetov ter krožkov je na voljo izbor zabavnih in poučnih geometrijskih rezalnih nalog. Cilj mentorja, ki pri pouku uporablja takšne probleme, ni le zanimati učenca za zanimive in učinkovite kombinacije celic in likov, temveč tudi razviti njegov občutek za linije, kote in oblike. Sklop problemov je namenjen predvsem otrokom od 4. do 6. razreda, čeprav ga je možno uporabljati tudi pri srednješolcih. Vaje od učencev zahtevajo visoko in stabilno koncentracijo pozornosti in so odlične za razvijanje in urjenje vidnega spomina. Priporočljivo za mentorje matematike, ki pripravljajo dijake na sprejemne izpite v matematične šole in razrede, ki postavljajo posebne zahteve glede stopnje samostojnega razmišljanja in ustvarjalnih sposobnosti otroka. Raven nalog ustreza ravni vstopnih olimpijad v "drugo šolo" liceja (druga matematična šola), Malo fakulteto za mehaniko in matematiko Moskovske državne univerze, Kurčatovsko šolo itd.

Opomba mentorja matematike:
Pri nekaterih rešitvah nalog, ki si jih lahko ogledate s klikom na ustrezen kazalec, je naveden le eden od možnih primerov rezanja. Popolnoma priznam, da lahko na koncu dobite kakšno drugo pravilno kombinacijo - tega se vam ni treba bati. Previdno preverite rešitev vašega malčka in če izpolnjuje pogoje, se pogumno lotite naslednje naloge.

1) Figuro, prikazano na sliki, poskusite razrezati na 3 enake dele:

: Majhne oblike so zelo podobne črki T

2) Zdaj razrežite to figuro na 4 enake dele:

Nasvet inštruktorja matematike: Lahko je uganiti, da bodo majhne figure sestavljene iz 3 celic, vendar ni veliko figur s tremi celicami. Obstajata samo dve vrsti: kot in pravokotnik 1×3.

3) To figuro razrežite na 5 enakih kosov:

Poiščite število celic, ki sestavljajo vsako takšno figuro. Te številke izgledajo kot črka G.

4) Zdaj morate figuro desetih celic razrezati na 4 neenakopravni pravokotnik (ali kvadrat) drug proti drugemu.

Navodila inštruktorja matematike: Izberite pravokotnik in poskusite v preostale celice vstaviti še tri. Če ne deluje, spremenite prvi pravokotnik in poskusite znova.

5) Naloga postane bolj zapletena: figuro morate razrezati na 4 drugačne oblike figure (ne nujno pravokotniki).

Nasvet inštruktorja matematike: najprej posebej nariši vse vrste likov različnih oblik (več kot štirje bodo) in ponovi metodo naštevanja možnosti kot v prejšnji nalogi.
:

6) To figuro razrežite na 5 figur iz štirih celic različnih oblik, tako da je v vsaki pobarvana samo ena zelena celica.

Nasvet inštruktorja matematike: Poskusite začeti rezati od zgornjega roba te figure in takoj boste razumeli, kako naprej.
:

7) Na podlagi prejšnje naloge. Ugotovite, koliko je figur različnih oblik, sestavljenih iz točno štirih celic? Številke je mogoče zvijati in obračati, vendar mize (s površine), na kateri leži, ne morete dvigniti. To pomeni, da se dve dani figuri ne bosta šteli za enaki, saj ju ni mogoče dobiti drug od drugega z vrtenjem.

Nasvet inštruktorja matematike: Preučite rešitev prejšnjega problema in si poskusite predstavljati različne položaje teh figur pri obračanju. Ni težko uganiti, da bo odgovor na naš problem številka 5 ali več. (Pravzaprav celo več kot šest). Opisanih je 7 vrst figur.

8) Kvadrat s 16 celicami razrežite na 4 kose enake oblike, tako da vsak od štirih kosov vsebuje natanko eno zeleno celico.

Nasvet inštruktorja matematike: Videz majhnih figur ni kvadrat ali pravokotnik ali celo vogal štirih celic. V kakšne oblike bi torej morali poskusiti izrezati?

9) Upodobljeno figuro razrežite na dva dela, tako da lahko nastale dele zložite v kvadrat.

Namig učitelja matematike: Skupaj je 16 celic, kar pomeni, da bo kvadrat velik 4x4. In nekako morate zapolniti okno na sredini. Kako narediti? Bi lahko prišlo do kakšnega premika? Potem, ker je dolžina pravokotnika enaka lihemu številu celic, je treba rezanje opraviti ne z navpičnim rezom, temveč vzdolž lomljene črte. Tako, da je na eni strani srednje celice odrezan zgornji del, na drugi pa spodnji.

10) Pravokotnik 4x9 razrežite na dva dela, tako da ju je mogoče prepogniti v kvadrat.

Nasvet inštruktorja matematike: V pravokotniku je skupaj 36 celic. Zato bo kvadrat velik 6x6. Ker je dolga stran sestavljena iz devetih celic, jih je treba tri odrezati. Kako bo potekalo to zmanjšanje?

11) Križ petih celic, ki je prikazan na sliki, je treba razrezati (lahko tudi same celice) na kose, iz katerih se lahko zloži kvadrat.

Nasvet inštruktorja matematike: Jasno je, da ne glede na to, kako režemo po črtah celic, ne bomo dobili kvadrata, saj je to edina naloga, pri kateri je dovoljeno rezanje ne po celicah. Vendar bi jih bilo vseeno dobro pustiti kot vodilo. na primer, treba je omeniti, da moramo nekako odstraniti vdolbine, ki jih imamo - namreč v notranjih kotih našega križa. Kako to narediti? Na primer, odrezanje nekaj štrlečih trikotnikov iz zunanjih kotov križa ...