Kako izračunati formulo aritmetične progresije. Aritmetična progresija: kaj je to? Razlika v napredovanju: definicija

Ali pa je aritmetika vrsta urejenega številskega zaporedja, katerega lastnosti se preučujejo v šolskem tečaju algebre. Ta članek podrobno obravnava vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja.

Kakšno napredovanje je to?

Preden preidemo na vprašanje (kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja), je vredno razumeti, o čem govorimo.

Vsako zaporedje realnih števil, ki ga dobimo tako, da vsakemu prejšnjemu številu prištejemo (odštejemo) neko vrednost, imenujemo algebraična (aritmetična) progresija. Ta definicija, če jo prevedemo v matematični jezik, ima obliko:

Tukaj je i serijska številka elementa vrstice a i. Tako lahko, če poznate samo eno startno številko, enostavno obnovite celotno serijo. Parameter d v formuli se imenuje progresijska razlika.

Preprosto je mogoče pokazati, da za obravnavano vrsto števil velja naslednja enakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To pomeni, da bi našli vrednost n-tega elementa po vrstnem redu, bi morali dodati razliko d prvemu elementu a 1 n-1-krat.

Kaj je vsota aritmetične progresije: formula

Preden navedete formulo za navedeni znesek, je vredno razmisliti o preprostem posebnem primeru. Glede na napredovanje naravnih števil od 1 do 10 morate najti njihovo vsoto. Ker je v progresiji malo členov (10), je možno problem rešiti neposredno, torej sešteti vse elemente po vrsti.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vredno je razmisliti o eni zanimivi stvari: ker se vsak člen razlikuje od naslednjega za isto vrednost d = 1, bo parno seštevanje prvega z desetim, drugega z devetim in tako naprej dalo enak rezultat. res:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kot lahko vidite, je teh vsot le 5, to je natanko dvakrat manj od števila elementov niza. Če nato število vsot (5) pomnožite z rezultatom vsake vsote (11), boste prišli do rezultata, dobljenega v prvem primeru.

Če posplošimo te argumente, lahko zapišemo naslednji izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Iz tega izraza je razvidno, da sploh ni potrebno sešteti vseh elementov po vrsti, dovolj je poznati vrednost prvega a 1 in zadnjega a n ter skupno število členov n.

Domneva se, da je Gauss prvič pomislil na to enakost, ko je iskal rešitev problema, ki ga je zastavil njegov učitelj: seštejte prvih 100 celih števil.

Vsota elementov od m do n: formula

Formula, podana v prejšnjem odstavku, odgovarja na vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja (prvi elementi), vendar je pogosto v nalogah treba sešteti vrsto števil sredi napredovanja. Kako narediti?

Na to vprašanje najlažje odgovorimo tako, da upoštevamo naslednji primer: naj bo treba najti vsoto členov od m-tega do n-tega. Za rešitev problema morate dani segment od m do n progresije predstaviti v obliki nove številske serije. V tej predstavitvi bo m-ti člen a m prvi, a n pa bo oštevilčen z n-(m-1). V tem primeru z uporabo standardne formule za vsoto dobimo naslednji izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primer uporabe formul

Če veste, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja, je vredno razmisliti o preprostem primeru uporabe zgornjih formul.

Spodaj je številčno zaporedje, morali bi najti vsoto njegovih členov, začenši s 5. in konča z 12.:

Dane številke kažejo, da je razlika d enaka 3. Z izrazom za n-ti element lahko najdete vrednosti 5. in 12. člena napredovanja. Izkazalo se je:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Če poznate vrednosti števil na koncih obravnavanega algebraičnega napredovanja, pa tudi veste, katera števila v nizu zasedajo, lahko uporabite formulo za vsoto, dobljeno v prejšnjem odstavku. Izkazalo se bo:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Omeniti velja, da bi to vrednost lahko dobili drugače: najprej poiščite vsoto prvih 12 elementov s standardno formulo, nato izračunajte vsoto prvih 4 elementov z isto formulo, nato pa odštejte drugega od prve vsote.

Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.
Število s številom se imenuje th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Recimo, da imamo številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.
Na primer:

itd.
To številsko zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz »progresija« je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in ga je razumel v širšem smislu kot neskončno številčno zaporedje. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije zveznih razmerij, ki so jo preučevali stari Grki.

To je številsko zaporedje, katerega vsak člen je enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu. To število imenujemo razlika aritmetične progresije in je označeno.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera ne:

a)
b)
c)
d)

Razumem? Primerjajmo naše odgovore:
je aritmetična progresija - b, c.
Ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se k dani progresiji () in poskusimo najti vrednost njenega th člena. obstaja dva način, kako ga najti.

1. Metoda

Število napredovanja lahko dodajamo prejšnji vrednosti, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Še dobro, da nimamo veliko za povzemati - samo tri vrednosti:

Torej je th člen opisane aritmetične progresije enak.

2. Metoda

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so se matematiki domislili načina, da prejšnji vrednosti ni treba dodajati razlike aritmetične progresije. Pobližje si oglejte narisano sličico ... Zagotovo ste že opazili določen vzorec in sicer:

Na primer, poglejmo, iz česa je sestavljena vrednost th člena te aritmetične progresije:

Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način sami poiskati vrednost člana dane aritmetične progresije.

Ste izračunali? Primerjajte svoje zapiske z odgovorom:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodali člene aritmetičnega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - postavimo jo v splošno obliko in dobimo:

Aritmetična progresijska enačba.

Aritmetične progresije so lahko naraščajoče ali padajoče.

Povečanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov večja od prejšnje.
Na primer:

Sestopanje- napredovanja, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu členov v naraščajočih in padajočih členih aritmetične progresije.
Preverimo to v praksi.
Dobili smo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih števil: Preverite, kakšno bo th število te aritmetične progresije, če za izračun uporabimo našo formulo:

Od takrat:

Tako smo prepričani, da formula deluje tako v padajoči kot v naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati th in th člen te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zakomplicirajmo problem - izpeljali bomo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Enostavno, rečete in začnete šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, ah, potem pa:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je progresija predstavljena z majhnimi vrednostmi, potem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napake pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda da, in to je tisto, kar bomo zdaj poskušali razkriti.

Zahtevani člen aritmetične progresije označimo tako, da nam je formula za iskanje znana - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

prejšnji izraz napredovanja je:
naslednji člen napredovanja je:

Povzemimo prejšnje in nadaljnje pogoje napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih členov napredovanja dvojna vrednost člena napredovanja, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, da bi našli vrednost napredovalnega izraza z znanimi prejšnjimi in zaporednimi vrednostmi, jih morate sešteti in deliti z.

Tako je, dobili smo isto številko. Zavarujmo material. Sami izračunajte vrednost napredovanja, sploh ni težko.

Dobro opravljeno! O napredovanju veš skoraj vse! Najti je treba samo eno formulo, ki jo je po legendi zlahka izvedel eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učitelj, zaposlen s preverjanjem dela učencev v drugih razredih, v razredu dodelil naslednjo nalogo: "Izračunajte vsoto vseh naravnih števil od do (po drugih virih do) vključno." Predstavljajte si učiteljevo presenečenje, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) minuto pozneje dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina pogumnih sošolcev po dolgih izračunih dobila napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil določen vzorec, ki ga zlahka opazite tudi vi.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -th členov: Najti moramo vsoto teh členov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če naloga zahteva iskanje vsote njegovih členov, kot je iskal Gauss?

Upodabljajmo napredovanje, ki nam je dano. Pozorno si oglejte označena števila in poskusite z njimi izvajati različne matematične operacije.

Ste poskusili? Kaj ste opazili? Prav! Njuni vsoti sta enaki

Zdaj pa mi povejte, koliko je takih parov skupaj v napredovanju, ki nam je dano? Seveda natanko polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh členov aritmetične progresije enaka, podobni pari pa so enaki, dobimo, da je skupna vsota enaka:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th člena, poznamo pa razliko napredovanja. Poskusite zamenjati formulo th člena v formulo vsote.
Kaj si dobil?

Dobro opravljeno! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki je bil zastavljen Carlu Gaussu: sami izračunajte, čemu je enaka vsota števil, ki se začnejo s th, in vsota števil, ki se začnejo s th.

Koliko si dobil?
Gauss je ugotovil, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto členov aritmetične progresije dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje v celoti izkoristili lastnosti aritmetične progresije.
Predstavljajte si na primer Stari Egipt in največji gradbeni podvig tistega časa - gradnjo piramide... Slika prikazuje njeno eno stran.

Kje je tu napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.

Zakaj ne aritmetična progresija? Izračunajte, koliko blokov je potrebnih za gradnjo ene stene, če so bloki opeke postavljeni na dno. Upam, da ne boste šteli med premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo povedali o aritmetični progresiji?

V tem primeru je napredovanje videti takole: .
Razlika aritmetične progresije.
Število členov aritmetične progresije.
Nadomestimo naše podatke v zadnje formule (izračunajte število blokov na 2 načina).

1. metoda.

Metoda 2.

In zdaj lahko izračunate na monitorju: primerjajte dobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Razumem? Bravo, obvladali ste vsoto n-tih členov aritmetičnega napredovanja.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor je bloki:

Usposabljanje

Naloge:

Maša se pripravlja na poletje. Vsak dan poveča število počepov za. Kolikokrat bo Maša naredila počepe v enem tednu, če je počepe naredila na prvem treningu?
Kakšna je vsota vseh lihih števil v.
Drvarji pri skladiščenju polen zlagajo tako, da je v vsaki zgornji plasti en polen manj kot v prejšnji. Koliko brun je v enem zidu, če je temelj zidu bruna?

odgovori:

Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
(tedni = dnevi).
odgovor:Čez dva tedna naj bi Maša delala počepe enkrat na dan.
Prva liha številka, zadnja številka.
Razlika aritmetične progresije.
Število lihih števil je polovica, vendar preverimo to dejstvo s formulo za iskanje th člena aritmetičnega napredovanja:
Številke vsebujejo liha števila.
Zamenjajmo razpoložljive podatke v formulo:
odgovor: Vsota vseh lihih števil v je enaka.
Spomnimo se problema o piramidah. Za naš primer je a , ker je vsaka zgornja plast zmanjšana za en dnevnik, potem je skupaj kup plasti, tj.
Zamenjajmo podatke v formulo:
odgovor: V zidu so hlodi.

Naj povzamemo

- številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Lahko se povečuje ali zmanjšuje.
Iskanje formule 3. člen aritmetičnega napredovanja zapišemo s formulo - , kjer je število števil v napredovanju.
Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer je število števil v napredovanju.
Vsota členov aritmetične progresije lahko najdete na dva načina:

, kjer je število vrednosti.

ARITMETIČNA PROGRESIJA. POVPREČNA STOPNJA

Zaporedje številk

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in lahko jih je poljubno veliko. Vedno pa lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako naprej, se pravi, da jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je mogoče povezati z določenim naravnim številom in edinstvenim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko imenujemo th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

Zelo priročno je, če lahko th člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je enak, razlika pa je). Ali (, razlika).

n-ti člen formula

Formulo imenujemo ponavljajoča se, v kateri morate, da bi ugotovili th člen, poznati prejšnjega ali več prejšnjih:

Da bi našli na primer th člen napredovanja s to formulo, bomo morali izračunati prejšnjih devet. Na primer, pustite. Nato:

No, je zdaj jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo, pomnožimo z določeno številko. Kateri? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj priročno, kajne? Preverjamo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

rešitev:

Prvi člen je enak. Kakšna je razlika? Evo kaj:

(Zato se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih členov napredovanja).

Torej, formula:

Potem je stoti člen enak:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi je veliki matematik Carl Gauss kot 9-letni deček v nekaj minutah izračunal to količino. Opazil je, da sta vsota prvega in zadnjega števila enaka, vsota drugega in predzadnjega je enaka, vsota tretjega in 3. od konca je enaka itd. Koliko je teh parov skupaj? Tako je, točno polovica števila vseh števil, torej. Torej,

Splošna formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja bo:

primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestnih večkratnikov.

rešitev:

Prva takšna številka je ta. Vsako naslednje število dobimo s seštevanjem prejšnjega števila. Tako števila, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula th člena za to napredovanje:

Koliko členov je v napredovanju, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj se odločite sami:

Vsak dan športnik preteče več metrov kot prejšnji dan. Koliko skupno kilometrov bo pretekel v enem tednu, če je prvi dan pretekel km m?
Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji dan. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora potovati, da premaga kilometer? Koliko kilometrov bo prevozil v zadnjem dnevu svojega potovanja?
Vsako leto se za toliko zniža cena hladilnika v trgovini. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če je bil dan v prodajo za rublje šest let pozneje prodan za rublje.

odgovori:

Pri tem je najpomembnejše prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
.
odgovor:
Tukaj je podano: , je treba najti.
Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnjem problemu:
.
Zamenjajte vrednosti:
Koren očitno ne ustreza, zato je odgovor.
Izračunajmo pot, prevoženo v zadnjem dnevu, z uporabo formule th člena:
(km).
odgovor:
Podano: . Najti: .
Ne more biti bolj preprosto:
(drgniti).
odgovor:

ARITMETIČNA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

To je številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.

Aritmetična progresija je lahko naraščajoča () in padajoča ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člena aritmetičnega napredovanja

se zapiše s formulo, kjer je število števil v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča vam enostavno iskanje člena progresije, če so njegovi sosednji členi znani - kje je število števil v progresiji.

Vsota členov aritmetične progresije

Znesek lahko najdete na dva načina:

Kje je število vrednosti.

PREOSTALI 2/3 IZDELKOV STA NA VOLJO SAMO ŠTUDENTOM YOUCLEVER!

Postanite študent YouClever,

Pripravite se na enotni državni izpit ali enotni državni izpit iz matematike za ceno "skodelice kave na mesec",

Prav tako pridobite neomejen dostop do učbenika "YouClever", pripravljalnega programa "100gia" (delovni zvezek), neomejenega poskusnega enotnega državnega izpita in enotnega državnega izpita, 6000 težav z analizo rešitev in drugih storitev YouClever in 100gia.

V matematiki se vsaka zbirka števil, ki si sledijo in so na nek način organizirana, imenuje zaporedje. Med vsemi obstoječimi zaporedji števil ločimo dva zanimiva primera: algebraično in geometrijsko progresijo.

Kaj je aritmetična progresija?

Takoj je treba povedati, da se algebraično napredovanje pogosto imenuje aritmetika, saj njene lastnosti preučuje veja matematike - aritmetika.

Ta progresija je zaporedje števil, v katerem se vsak naslednji člen razlikuje od prejšnjega za določeno konstantno število. Imenuje se razlika algebraične progresije. Zaradi določnosti ga označujemo z latinsko črko d.

Primer takšnega zaporedja je lahko naslednji: 3, 5, 7, 9, 11 ..., tukaj lahko vidite, da je število 5 večje od števila 3 za 2, 7 je večje od števila 5 za 2 in tako naprej Tako je v predstavljenem primeru d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Katere so vrste aritmetičnih napredovanj?

Naravo teh urejenih zaporedij števil v veliki meri določa predznak števila d. Razlikujemo naslednje vrste algebrskih napredovanj:

narašča, ko je d pozitiven (d>0);
konstantna, ko je d = 0;
pada, ko je d negativen (d<0).

Primer iz prejšnjega odstavka kaže naraščajoče napredovanje. Primer padajočega zaporedja je naslednje zaporedje števil: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Konstantna progresija je, kot izhaja iz njene definicije, zbirka enakih števil.

n-ti člen napredovanja

Ker se vsako naslednje število v obravnavani progresiji razlikuje za konstanto d od prejšnjega, je njen n-ti člen mogoče enostavno določiti. Če želite to narediti, morate poznati ne samo d, ampak tudi 1 - prvi člen napredovanja. Z uporabo rekurzivnega pristopa lahko dobimo algebraično progresivno formulo za iskanje n-tega člena. Videti je takole: a n = a 1 + (n-1)*d. Ta formula je precej preprosta in jo je mogoče intuitivno razumeti.

Prav tako ni težko uporabljati. Na primer, v zgoraj navedenem napredovanju (d=2, a 1 =3) definiramo njegov 35. člen. Po formuli bo enako: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Formula za znesek

Ko je dana aritmetična progresija, je vsota njegovih prvih n členov pogosta težava, skupaj z določanjem vrednosti n-tega člena. Formula za vsoto algebraične progresije je zapisana v naslednji obliki: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, tukaj simbol ∑ n 1 označuje, da se seštevajo členi od 1. do n.

Zgornji izraz je mogoče dobiti z uporabo lastnosti iste rekurzije, vendar obstaja lažji način za dokazovanje njegove veljavnosti. Zapišimo prva 2 in zadnja 2 člena te vsote, izrazimo jih s števili a 1, a n in d, in dobimo: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Upoštevajte, da če prvemu členu prištejemo zadnjega, bo natanko enak vsoti drugega in predzadnjega člena, to je a 1 +a n. Na podoben način lahko pokažemo, da lahko isto vsoto dobimo, če seštejemo tretji in predzadnji člen itd. V primeru para števil v zaporedju dobimo n/2 vsot, od katerih je vsaka enaka a 1 +a n. To pomeni, da dobimo zgornjo formulo za algebraično progresijo za vsoto: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Za neparno število členov n dobimo podobno formulo, če sledimo opisanemu razmišljanju. Samo ne pozabite dodati preostalega izraza, ki je v središču napredovanja.

Pokažimo, kako uporabiti zgornjo formulo na primeru preproste progresije, ki je bila predstavljena zgoraj (3, 5, 7, 9, 11 ...). Na primer, treba je določiti vsoto njegovih prvih 15 členov. Najprej definirajmo 15. Z uporabo formule za n-ti člen (glej prejšnji odstavek) dobimo: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Zdaj lahko uporabimo formulo za vsota algebraične progresije: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Zanimivo je navesti zanimivo zgodovinsko dejstvo. Formulo za vsoto aritmetične progresije je prvi dobil Carl Gauss (slavni nemški matematik iz 18. stoletja). Ko je bil star komaj 10 let, ga je učiteljica prosila, naj poišče vsoto števil od 1 do 100. Pravijo, da je mali Gauss to nalogo rešil v nekaj sekundah, ko je opazil, da s seštevanjem števil z začetka in konca zaporedja, v parih lahko vedno dobiš 101 in ker je takšnih vsot 50, je hitro dal odgovor: 50*101 = 5050.

Primer rešitve problema

Za zaključek teme algebraične progresije bomo navedli primer reševanja še enega zanimivega problema in s tem okrepili razumevanje obravnavane teme. Naj bo podana določena progresija, za katero je znana razlika d = -3 in njen 35. člen a 35 = -114. Najti je treba 7. člen progresije a 7 .

Kot je razvidno iz pogojev problema, vrednost 1 ni znana, zato formule za n-ti člen ne bo mogoče neposredno uporabiti. Neprimerna je tudi rekurzivna metoda, ki jo je ročno težko implementirati in obstaja velika verjetnost napake. Nadaljujmo takole: izpišite formuli za a 7 in a 35, imamo: a 7 = a 1 + 6*d in a 35 = a 1 + 34*d. Od prvega izraza odštejemo drugega, dobimo: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Sledi: a 7 = a 35 - 28*d. Ostaja, da nadomestimo znane podatke iz izjave o problemu in zapišemo odgovor: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Geometrijsko napredovanje

Da bi podrobneje razkrili temo članka, nudimo kratek opis druge vrste napredovanja - geometrijskega. V matematiki to ime razumemo kot zaporedje števil, v katerem se vsak naslednji člen razlikuje od prejšnjega za določen faktor. Označimo ta faktor s črko r. Imenuje se imenovalec obravnavane vrste napredovanja. Primer tega številskega zaporedja bi bil: 1, 5, 25, 125, ...

Kot je razvidno iz zgornje definicije, sta si algebraična in geometrijska progresija podobna. Razlika med njima je v tem, da se prvi spreminja počasneje kot drugi.

Geometrijska progresija je lahko tudi naraščajoča, konstantna ali padajoča. Njegova vrsta je odvisna od vrednosti imenovalca r: če je r>1, potem gre za naraščajočo progresijo, če je r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Formule geometrijske progresije

Tako kot v primeru algebre se formule geometrijske progresije zmanjšajo na določitev njenega n-tega člena in vsote n členov. Spodaj so ti izrazi:

a n = a 1 *r (n-1) - ta formula izhaja iz definicije geometrijske progresije.
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Pomembno je upoštevati, da če je r = 1, zgornja formula daje negotovost, zato je ni mogoče uporabiti. V tem primeru bo vsota n členov enaka enostavnemu produktu a 1 *n.

Na primer, poiščimo vsoto samo 10 členov zaporedja 1, 5, 25, 125, ... Če vemo, da je a 1 = 1 in r = 5, dobimo: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Dobljena vrednost je jasen primer, kako hitro raste geometrijska progresija.

Morda je prva omemba tega napredovanja v zgodovini legenda o šahovnici, ko je prijatelj nekega sultana, ki ga je naučil igrati šah, prosil za žito za svojo službo. Poleg tega bi morala biti količina zrn naslednja: na prvo polje šahovnice mora biti postavljeno eno zrno, na drugo dvakrat več kot na prvo, na tretje dvakrat več kot na drugo in tako naprej. . Sultan je rade volje izpolnil to prošnjo, vendar ni vedel, da bo moral izprazniti vse zabojnike svoje države, da bo držal svojo besedo.