Kako najlažje razložimo, kaj je diedrski kot? Diedrski kot

Priprava študentov na enotni državni izpit iz matematike se praviloma začne s ponavljanjem osnovnih formul, vključno s tistimi, ki vam omogočajo, da določite kot med ravninami. Kljub dejstvu, da je ta del geometrije v njem dovolj podrobno obravnavan šolski kurikulum, mora veliko maturantov ponavljati osnovno snov. Razumevanje, kako najti kot med ravninami, bodo srednješolci lahko hitro izračunali pravilen odgovor pri reševanju težave in računali na dostojne ocene na rezultatih opravljenega enotnega državnega izpita.

Glavne nianse

Da zagotovite, da vprašanje, kako najti diedrični kot, ne povzroča težav, priporočamo, da sledite algoritmu rešitve, ki vam bo pomagal pri soočanju z nalogami enotnega državnega izpita.

Najprej morate določiti ravno črto, vzdolž katere se ravnine sekata.

Nato morate na tej črti izbrati točko in nanjo narisati dve pravokotnici.

Naslednji korak je iskanje trigonometrična funkcija diedrski kot, ki ga tvorita navpičnici. Najprimernejši način za to je s pomočjo nastalega trikotnika, katerega del je kot.

Odgovor bo vrednost kota ali njegova trigonometrična funkcija.

Priprava na izpitni test s Shkolkovo je ključ do vašega uspeha

Med poukom dan prej opravljanje enotnega državnega izpita Mnogi šolarji se soočajo s problemom iskanja definicij in formul, ki jim omogočajo izračun kota med dvema ravninama. Šolski učbenik Ni vedno pri roki točno takrat, ko ga potrebujete. In najti potrebne formule in njihove primere pravilna uporaba, vključno z iskanjem kota med ravninami na internetu na spletu, včasih morate porabiti veliko časa.

Matematični portal "Shkolkovo" ponuja nov pristop za pripravo na državni izpit. Razredi na našem spletnem mestu bodo študentom pomagali sami prepoznati najtežje dele in zapolniti vrzeli v znanju.

Pripravili smo in pregledno predstavili vse potrebno gradivo. Osnovne definicije in formule so predstavljene v razdelku »Teoretične informacije«.

Za boljše razumevanje snovi predlagamo tudi izvajanje ustreznih vaj. Velik izbor nalog različne stopnje kompleksnost je na primer predstavljena v razdelku »Katalog«. Vse naloge vsebujejo podroben algoritem za iskanje pravilnega odgovora. Seznam vadb na spletni strani se nenehno dopolnjuje in posodablja.

Med vadbo reševanja nalog, ki zahtevajo iskanje kota med dvema ravninama, imajo učenci možnost shraniti katero koli nalogo na spletu kot »Priljubljene«. Zahvaljujoč temu se bodo lahko vrnili k njemu zahtevana količinačas in se z njim pogovorite o poteku svoje odločitve šolski učitelj ali učiteljica.

Cilj lekcije: uvajanje pojma diedrski kot in njegov linearni kot.

Naloge:

Izobraževalni: razmislite o nalogah o uporabi teh konceptov, razvijete konstruktivno spretnost iskanja kota med ravninami;

Razvojni: razvoj kreativno razmišljanještudentje, osebni samorazvoj učenci, govorni razvoj učencev;

Izobraževalni: negovanje kulture umskega dela, komunikativna kultura, refleksivna kultura.

Vrsta lekcije: pouk učenja novega znanja

Učne metode: pojasnjevalno in ilustrativno

Oprema: računalnik, interaktivna tabla.

Literatura:

Geometrija. 10.-11. razred: učbenik. za 10-11 razrede. splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. stopnje / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomcev itd.] - 18. izd. – M.: Izobraževanje, 2009. – 255 str.

Načrt lekcije:

Organizacijski trenutek(2 min)

Posodabljanje znanja (5 min)

Učenje nove snovi (12 min)

Utrjevanje naučene snovi (21 min)

Domača naloga (2 min)

Povzetek (3 min)

Napredek lekcije:

1. Organizacijski trenutek.

Vključuje učiteljevo pozdravljanje razreda, pripravo prostora za pouk in preverjanje odsotnih.

2. Posodabljanje temeljnega znanja.

Učiteljica: V zadnji lekciji, ki ste jo napisali samostojno delo. Na splošno je delo dobro napisano. Zdaj pa malo ponovimo. Kako se imenuje kot v ravnini?

Študent: Kot na ravnini je lik, ki ga tvorita dva žarka, ki izhajata iz ene točke.

Učiteljica: Kako se imenuje kot med premicami v prostoru?

Študent: Kot med dvema sekajočima se premicama v prostoru je najmanjši od kotov, ki jih tvorita žarka teh premic z vrhom v njunem presečišču.

Študent: Kot med sekajočimi se premicami je kot med sekajočimi se premicami, ki so vzporedne s podatki.

Učiteljica: Kako se imenuje kot med premico in ravnino?

Študent: Kot med premico in ravninoVsak kot med ravno črto in njeno projekcijo na to ravnino se imenuje.

3. Študij novega gradiva.

Učiteljica: V stereometriji se poleg takšnih kotov upošteva še ena vrsta kotov - diedrski koti. Verjetno ste že uganili, kaj je tema današnje učne ure, zato odprite zvezke, zapišite današnji datum in temo učne ure.

Na tablo in v zvezke zapišite:

10.12.14.

Diedrski kot.

učiteljica : Za uvedbo koncepta diedričnega kota si je treba zapomniti, da vsaka premica, narisana v določeni ravnini, to ravnino deli na dve polravnini(slika 1, a)

učiteljica : Predstavljajmo si, da smo ravnino upognili vzdolž premice tako, da dve polravnini z mejo ne ležita več v isti ravnini (slika 1, b). Dobljena številka je diedrski kot. Diedrski kot je lik, ki ga tvorita premica in dve polravnini s skupno mejo, ki ne pripadata isti ravnini. Polravnine, ki tvorijo diedrski kot, imenujemo njegove ploskve. Dvostranski kot ima dve stranici, od tod tudi ime diedrski kot. Premica - skupna meja polravnin - se imenuje rob diedričnega kota. Zapiši definicijo v zvezek.

Diedrski kot je lik, ki ga tvorita premica in dve polravnini s skupno mejo, ki ne pripadata isti ravnini.

učiteljica : V vsakdanjem življenju se pogosto srečujemo s predmeti, ki imajo obliko diedričnega kota. Navedite primere.

študent : Na pol odprta mapa.

študent : Stena sobe je skupaj s tlemi.

študent : Dvokapne strehe stavb.

učiteljica : Prav. In takih primerov je ogromno.

učiteljica : Kot veste, se koti v ravnini merijo v stopinjah. Verjetno imate vprašanje, kako se merijo diedrski koti? To se naredi na naslednji način.Označimo neko točko na robu diedričnega kota in iz te točke na vsaki ploskvi narišimo žarek, pravokoten na rob. Kot, ki ga tvorijo ti žarki, imenujemo linearni kot diedričnega kota. Narišite v zvezke.

Zapiši na tablo in v zvezke.

O ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ a, SABD– diedrski kot,∠ AOB– linearni kot diedričnega kota.

učiteljica : Vsi linearni koti diedrskega kota so enaki. Naredite si še eno takšno risbo.

učiteljica : Dokažimo to. Razmislite o dveh linearnih kotih AOB inPQR. Žarki OA inQPležijo na istem obrazu in so pravokotneOQ, kar pomeni, da so sorežirani. Podobno žarki OB inQRsorežiral. pomeni,∠ AOB= ∠ PQR(kot koti z poravnanimi stranicami).

učiteljica : No, zdaj je odgovor na naše vprašanje, kako se meri diedrski kot.Stopinjska mera diedrskega kota je stopinjska mera njegovega linearnega kota. Prerišite slike ostrega, pravega in topega diedrskega kota iz učbenika na strani 48.

4. Utrjevanje preučenega materiala.

učiteljica : Izdelaj risbe za naloge.

№ 1 . Podano: ΔABC, AC = BC, AB leži v ravniniα, CD ⊥ α, C∉ α. Konstruirajte linearni kot diedrskega kotaCABD.

študent : Rešitev:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - iskan.

№ 2. Podano: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leži na ravniniα, JSC⊥ α, A∈ α.

Konstruirajte linearni kot diedrskega kotaABCO.

študent : Rešitev:AB ⊥ B.C., JSC⊥ BC pomeni OS⊥ sonce∠ ACO - iskan.

№ 3 . Podano: ΔABC, ∠ C = 90°, AB leži v ravniniα, CD⊥ α, C∉ α. Zgraditelinearni diedrski kotDABC.

študent : Rešitev: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB pomeni∠ DKC - iskan.

№ 4 . podano:DABC- tetraeder,NAREDI⊥ ABC.Konstruiraj linearni kot diedrskega kotaABCD.

študent : Rešitev:DM ⊥ sonce,NAREDI ⊥ VS pomeni OM⊥ sonce;∠ OMD - iskan.

5. Povzemanje.

Učiteljica: Kaj novega ste se danes naučili pri pouku?

Študenti : Kaj imenujemo diedrski kot, linearni kot, kako se meri diedrski kot.

učiteljica : Kaj so ponovili?

Študenti : Kaj imenujemo kot na ravnini; kot med ravnimi črtami.

6.Domača naloga.

Zapišite na tablo in v svoje dnevnike: odstavek 22, št. 167, št. 170.

Pojem diedričnega kota

Za uvedbo koncepta diedričnega kota se najprej spomnimo enega od aksiomov stereometrije.

Vsako ravnino lahko razdelimo na dve polravnini premice $a$, ki ležita v tej ravnini. V tem primeru so točke, ki ležijo v isti polravnini, na isti strani premice $a$, točke, ki ležijo v različnih polravninah, pa na isti strani. različne strani od premice $a$ (slika 1).

Slika 1.

Na tem aksiomu temelji načelo konstruiranja diedričnega kota.

Definicija 1

Številka se imenuje diedrski kot, če je sestavljena iz premice in dveh polravnin te premice, ki ne pripadata isti ravnini.

V tem primeru se imenujejo polravnine diedričnega kota robovi, in premica, ki ločuje polravnini, je dvostranski rob(slika 1).

Slika 2. Diedrski kot

Stopinjska mera diedričnega kota

Definicija 2

Izberimo poljubno točko $A$ na robu. Kot med dvema premicama, ki ležita v različnih polravninah in sta pravokotni na rob ter se sekata v točki $A$, se imenuje linearni diedrski kot(slika 3).

Slika 3.

Očitno ima vsak diedrski kot neskončno število linearni koti.

1. izrek

Vsi linearni koti enega diedrskega kota so med seboj enaki.

Dokaz.

Oglejmo si dva linearna kota $AOB$ in $A_1(OB)_1$ (slika 4).

Slika 4.

Ker ležita žarka $OA$ in $(OA)_1$ v isti polravnini $\alpha $ in sta pravokotna na isto premico, sta sosmerna. Ker ležita žarka $OB$ in $(OB)_1$ v isti polravnini $\beta $ in sta pravokotna na isto premico, sta sosmerna. Zato

\[\kot AOB=\kot A_1(OB)_1\]

Zaradi poljubnosti izbire linearnih kotov. Vsi linearni koti enega diedrskega kota so med seboj enaki.

Izrek je dokazan.

Definicija 3

Stopinjska mera diedrskega kota je stopinjska mera linearnega kota diedrskega kota.

Vzorčne težave

Primer 1

Naj imamo dve nepravokotni ravnini $\alpha $ in $\beta $, ki se sekata vzdolž premice $m$. Točka $A$ pripada ravnini $\beta$. $AB$ je pravokotna na premico $m$. $AC$ je pravokoten na ravnino $\alpha $ (točka $C$ pripada $\alpha $). Dokaži, da je kot $ABC$ linearni kot diedrskega kota.

Dokaz.

Narišimo sliko glede na pogoje problema (slika 5).

Slika 5.

Da bi to dokazali, se spomnite naslednjega izreka

Izrek 2: Ravna črta, ki poteka skozi osnovo nagnjene, je pravokotna nanjo, pravokotna na njeno projekcijo.

Ker je $AC$ pravokotna na ravnino $\alpha $, je točka $C$ projekcija točke $A$ na ravnino $\alpha $. Zato je $BC$ projekcija poševnice $AB$. Po izreku 2 je $BC$ pravokoten na rob diedrskega kota.

Nato kot $ABC$ izpolnjuje vse zahteve za določitev linearnega diedrskega kota.

Primer 2

Diedrski kot je $30^\circ$. Na eni od ploskev leži točka $A$, ki je od druge ploskve oddaljena $4$ cm. Poiščite razdaljo od točke $A$ do roba dvostranskega kota.

rešitev.

Poglejmo sliko 5.

Po pogoju velja $AC=4\cm$.

Po definiciji stopenjska mera diedrski kot, imamo, da je kot $ABC$ enak $30^\circ$.

Trikotnik $ABC$ je pravokoten trikotnik. Po definiciji sinusa ostrega kota

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Diedrski kot. Linearni diedrski kot. Diedrski kot je lik, ki ga tvorita dve polravnini, ki ne pripadata isti ravnini in imata skupno mejo – premico a. Polravnine, ki tvorijo diedrski kot, imenujemo njegove ploskve, skupno mejo teh polravnin pa rob diedrskega kota. Linearni kot diedrskega kota je tisti kot, katerega stranice so žarki, po katerih ploskve diedrskega kota sekajo ravnino, pravokotno na rob diedrski kot. Vsak diedrski kot ima poljubno število linearnih kotov: skozi vsako točko roba lahko narišemo ravnino, pravokotno na ta rob; Žarki, po katerih ta ravnina seka ploskve diedričnega kota, tvorijo linearne kote.

Vsi linearni koti diedrskega kota so med seboj enaki. Dokažimo, da če so diedrski koti, ki jih tvorita ravnina osnove piramide KABC in ravnine njenih stranskih ploskev enaki, potem je osnovica navpičnice, narisane iz oglišča K, središče včrtanega kroga v trikotniku ABC.

Dokaz. Najprej sestavimo linearne kote enakih diedrskih kotov. Po definiciji mora biti ravnina linearnega kota pravokotna na rob diedričnega kota. Zato mora biti rob dvostranskega kota pravokoten na stranice linearnega kota. Če je KO pravokotna na osnovno ravnino, potem lahko narišemo OR pravokotno AC, ALI pravokotno SV, OQ pravokotno AB in nato povežemo točke P, Q, R S točko K. Tako bomo zgradili projekcijo nagnjenih RK, QK , RK tako, da so robovi AC, NE, AB pravokotni na te projekcije. Posledično so ti robovi pravokotni na same nagnjene. In zato so ravnine trikotnikov ROK, QOK, ROK pravokotne na ustrezne robove diedričnega kota in tvorijo tiste enake linearne kote, ki so omenjeni v pogoju. Pravokotni trikotniki ROK, QOK, ROK so skladni (ker imajo skupen krak OK in sta nasprotna kota temu kraku enaka). Zato je OR = OR = OQ. Če narišemo krog s središčem O in polmerom ALI, potem stranice trikotnik ABC so pravokotne na polmere OR, OR in OQ in se torej dotikajo tega kroga.

Pravokotnost ravnin. Ravnini alfa in beta pravimo pravokotni, če je linearni kot enega od diedrskih kotov, ki nastane v njunem presečišču, enak 90." Znaki pravokotnosti dveh ravnin Če ena od obeh ravnin poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, potem sta ti ravnini pravokotni.

Slika prikazuje pravokotni paralelopiped. Njegovi osnovi sta pravokotnika ABCD in A1B1C1D1. In stranska rebra AA1 BB1, CC1, DD1 so pravokotna na osnove. Iz tega sledi, da je AA1 pravokotna na AB, tj. stranski rob- pravokotnik. Tako je mogoče utemeljiti lastnosti pravokotni paralelopiped: V pravokotnem paralelopipedu je vseh šest ploskev pravokotnikov. V pravokotnem paralelepipedu je vseh šest ploskev pravokotnikov. Vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda so pravi koti. Vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda so pravi koti.

Izrek Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda enaka vsoti kvadratov svojih treh dimenzij. Ponovno se obrnemo na sliko in dokažimo, da je AC12 = AB2 + AD2 + AA12. Ker je rob CC1 pravokoten na osnovo ABCD, je kot ACC1 pravi. Od pravokotni trikotnik ACC1 s pomočjo Pitagorovega izreka dobimo AC12=AC2+CC12. Toda AC je diagonala pravokotnika ABCD, torej AC2 = AB2 + AD2. Poleg tega je CC1 = AA1. Zato je AC12= AB2+AD2+AA12 Izrek je dokazan.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-pošta itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Zbrano pri nas osebni podatki omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajoči dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.