Kako narisati porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke. Porazdelitvene funkcije naključne spremenljivke

Distribucijska funkcija naključna spremenljivka X je funkcija F(x), ki izraža za vsak x verjetnost, da bo naključna spremenljivka X prevzela vrednost, manjši x

Primer 2.5. Podana serija porazdelitve naključne spremenljivke

Poiščite in grafično prikažite njegovo porazdelitveno funkcijo. rešitev. Po definiciji

F(jc) = 0 at X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 pri 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pri X > 5.

Torej (glej sliko 2.1):

Lastnosti porazdelitvene funkcije:

1. Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke je nenegativna funkcija med nič in ena:

2. Porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke je nepadajoča funkcija na celotni numerični osi, tj. pri X 2 >x

3. Pri minus neskončnosti je porazdelitvena funkcija enaka nič, pri plus neskončnosti pa ena, tj.

4. Verjetnost zadetka naključne spremenljivke X v intervalu enako določen integral od njegove gostote verjetnosti v razponu od A do b(glej sliko 2.2), tj.

riž. 2.2

3. Porazdelitveno funkcijo zvezne naključne spremenljivke (glej sliko 2.3) lahko izrazimo z gostoto verjetnosti po formuli:

F(x)= Jp(*)*. (2,10)

4. Napačen integral V neskončne meje gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke je enaka enoti:

Geometrične lastnosti / in 4 gostote verjetnosti pomenijo, da je njen graf porazdelitvena krivulja - ne leži pod osjo x, in skupna površina figure, omejena s porazdelitveno krivuljo in osjo x, enako ena.

Za zvezno naključno spremenljivko X matematično pričakovanje M(X) in varianco D(X) se določijo po formulah:

(če je integral absolutno konvergenten); oz

(če zgornji integrali konvergirajo).

Skupaj z zgoraj navedenimi numeričnimi značilnostmi se za opis naključne spremenljivke uporablja koncept kvantilov in odstotnih točk.

Kvantilna raven q(oz q-kvantil) je taka vrednostx qnaključna spremenljivka, pri kateri njena distribucijska funkcija dobi vrednost, enako q, tj.

• 100Točka q%-ou je kvantil X~ q.
• ? Primer 2.8.

Na podlagi podatkov v primeru 2.6 poiščite kvantil xqj in 30 % točka naključne spremenljivke X.

rešitev. Po definiciji (2.16) je F(xo t3)= 0,3, tj.

~Y~ = 0,3, od kod prihaja kvantil? x 0 3 = 0,6. 30 % točka naključne spremenljivke X, ali kvantil X)_o,z = xoj"podobno najdemo iz enačbe ^ = 0,7. kjer je * = 1,4. ?

Med numerične značilnosti naključna spremenljivka je izolirana začetnica v* in osrednji p* trenutki k-tega reda, določeno za diskretne in zvezne naključne spremenljivke po formulah:

Funkcija porazdelitve verjetnosti in njene lastnosti.

Funkcija porazdelitve verjetnosti F(x) naključne spremenljivke X v točki x je verjetnost, da bo zaradi poskusa naključna spremenljivka prevzela vrednost, manjšo od x, tj. F(x)=P(X< х}.
Oglejmo si lastnosti funkcije F(x).

1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Dejansko je po definiciji F(-∞)=P(X< -∞}. Событие (X < -∞) является nemogoč dogodek: F(-∞)=P(X< - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, saj je po definiciji F(∞)=P(X< ∞}. Событие Х < ∞ является zanesljiv dogodek. Zato je F(∞)=P(X< ∞}=p{U}=1.

3. Verjetnost, da bo naključna spremenljivka prevzela vrednost iz intervala [Α Β], je enaka prirastku funkcije porazdelitve verjetnosti na tem intervalu. P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x 2)≥ F(x 1), če je x 2, > x 1, tj. Funkcija porazdelitve verjetnosti je nepadajoča funkcija.

5. Funkcijo verjetnostne porazdelitve pustimo zvezno. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) za x→ x o

Razlike med funkcijami porazdelitve verjetnosti diskretnih in zveznih naključnih spremenljivk lahko dobro ponazorimo z grafi. Naj ima na primer diskretna naključna spremenljivka n možnih vrednosti, katerih verjetnosti so enake P(X=x k )=p k , k=1,2,..n. Če je x ≤ x 1, potem je F(X)=0, ker levo od x ni možnih vrednosti naključne spremenljivke. Če je x 1< x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 .

To pomeni F(x)=P(X=x 1 )=p 1 .At x 2< x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения stalna vrednost se nahajajo tesno na intervalu nastavitve te vrednosti, kar zagotavlja gladko povečanje funkcije porazdelitve F(x), tj. njeno kontinuiteto.

Upoštevajmo verjetnost, da naključna spremenljivka pade v interval , Δx>0: P(x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0:

lim (Δx→0) P(x≤ X< x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел enako verjetnosti da bo naključna spremenljivka prevzela vrednost enako x. Če je funkcija F(x) zvezna v točki x, potem je lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), tj. P(X=x)=0.

Če ima F(x) diskontinuiteto v točki x, potem bo verjetnost P(X=x) enaka skoku funkcije na tej točki. Tako je verjetnost, da se katera koli možna vrednost pojavi za neprekinjeno vrednost, enaka nič. Izraz P(X=x)=0 je treba razumeti kot mejo verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v infinitezimalno okolico točke x za P(Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина.

Za diskretne količine te verjetnosti niso enake v primeru, ko meje intervala Α in (ali) Β sovpadajo z možnimi vrednostmi naključne spremenljivke. Za diskretno naključno spremenljivko je treba strogo upoštevati vrsto neenakosti v formuli P(Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

Definicija funkcije naključnih spremenljivk. Funkcija diskretnega naključnega argumenta in njene numerične značilnosti. Funkcija zveznega naključnega argumenta in njene numerične značilnosti. Funkcije dveh naključnih argumentov. Določanje funkcije porazdelitve verjetnosti in gostote za funkcijo dveh naključnih argumentov.

Zakon verjetnostne porazdelitve funkcije ene naključne spremenljivke

Pri reševanju problemov, povezanih z ocenjevanjem natančnosti delovanja različnih avtomatskih sistemov, natančnosti izdelave posameznih elementov sistemov itd., je pogosto potrebno upoštevati funkcije ene ali več slučajnih spremenljivk. Takšne funkcije so tudi naključne spremenljivke. Zato je pri reševanju problemov potrebno poznati zakone porazdelitve naključnih spremenljivk, ki se pojavljajo v problemu. V tem primeru sta praviloma znana porazdelitveni zakon sistema naključnih argumentov in funkcionalna odvisnost.

Tako se pojavi problem, ki ga lahko formuliramo na naslednji način.

Podan je sistem naključnih spremenljivk (X_1,X_2,\lpike,X_n), katerega distribucijski zakon je znan. Neka naključna spremenljivka Y se obravnava kot funkcija teh naključnih spremenljivk:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Določiti je treba zakon porazdelitve naključne spremenljivke Y ob poznavanju oblike funkcij (6.1) in zakona skupne porazdelitve njenih argumentov.

Oglejmo si problem porazdelitvenega zakona funkcije enega naključnega argumenta

Y=\varphi(X).

\begin(matrika)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(matrika)

Potem je Y=\varphi(X) tudi diskretna naključna spremenljivka z možnimi vrednostmi. Če vse vrednosti y_1,y_2,\lpike,y_n so različni, potem so za vsak k=1,2,\ldots,n dogodki \(X=x_k\) in \(Y=y_k=\varphi(x_k)\) so enaki. torej

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(matrika)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(matrika)

Če med številkami y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) obstajajo enaki, potem je treba vsaki skupini enakih vrednosti y_k=\varphi(x_k) dodeliti en stolpec v tabeli in sešteti ustrezne verjetnosti.

Za zvezne naključne spremenljivke je problem zastavljen takole: ob poznavanju gostote porazdelitve f(x) naključne spremenljivke X poiščite gostoto porazdelitve g(y) naključne spremenljivke Y=\varphi(X). Pri reševanju problema upoštevamo dva primera.

Najprej predpostavimo, da je funkcija y=\varphi(x) monotono naraščajoča, zvezna in diferenciabilna na intervalu (a;b), na katerem ležijo vse možne vrednosti X. Potem obstaja inverzna funkcija x=\psi(y), ki je hkrati monotono naraščajoča, zvezna in diferenciacijska. V tem primeru dobimo

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Primer 1. Naključna spremenljivka X porazdeljena z gostoto

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke Y, povezane z vrednostjo X z odvisnostjo Y=X^3.

rešitev. Ker je funkcija y=x^3 monotona na intervalu (-\infty;+\infty), lahko uporabimo formulo (6.2). Inverzna funkcija glede na funkcijo \varphi(x)=x^3 je \psi(y)=\sqrt(y) , njen derivat \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). torej

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Oglejmo si primer nemonotone funkcije. Naj bo funkcija y=\varphi(x) taka, da je inverzna funkcija x=\psi(y) dvoumna, tj. ena vrednost količine y ustreza več vrednostim argumenta x, ki jih označujemo x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), kjer je n število odsekov, v katerih se funkcija y=\varphi(x) monotono spreminja. Potem

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Primer 2. Pod pogoji primera 1 poiščite porazdelitev naključne spremenljivke Y=X^2.

rešitev. Inverzna funkcija x=\psi(y) je dvoumna. Ena vrednost argumenta y ustreza dvema vrednostima funkcije x

\begin(gathered)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\desno)^2/2)\!\levo|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\desno|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\levo(\sqrt(y^2)\desno)^2/2 )\!\levo|\frac(1)(2\sqrt(y))\desno|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\konec(zbrano)

Porazdelitveni zakon funkcije dveh naključnih spremenljivk

Naj bo naključna spremenljivka Y funkcija dveh naključnih spremenljivk, ki tvorita sistem (X_1; X_2), tj. Y=\varphi(X_1;X_2). Naloga je najti porazdelitev naključne spremenljivke Y z uporabo znane porazdelitve sistema (X_1;X_2).

Naj bo f(x_1;x_2) gostota porazdelitve sistema naključnih spremenljivk (X_1;X_2). Uvedimo v obravnavo novo količino Y_1, ki je enaka X_1, in razmislimo o sistemu enačb

Predpostavili bomo, da je ta sistem enolično rešljiv glede na x_1,x_2

Gostota porazdelitve naključne spremenljivke Y

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\levo|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\delno(y))\desno|dx_1.

Upoštevajte, da se sklepanje ne spremeni, če je uvedena nova vrednost Y_1 nastavljena na X_2.

Matematično pričakovanje funkcije slučajnih spremenljivk

V praksi pogosto obstajajo primeri, ko ni posebne potrebe po popolni določitvi distribucijskega zakona funkcije naključnih spremenljivk, ampak je dovolj le navesti njene numerične značilnosti. Tako se pojavi problem določanja numeričnih značilnosti funkcij slučajnih spremenljivk poleg zakonov porazdelitve teh funkcij.

Naj bo naključna spremenljivka Y funkcija naključnega argumenta X z danim porazdelitvenim zakonom

Y=\varphi(X).

Brez iskanja zakona porazdelitve količine Y je potrebno določiti njeno matematično pričakovanje

M(Y)=M[\varphi(X)].

Naj bo X diskretna naključna spremenljivka s porazdelitvenim nizom

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Naredimo tabelo vrednosti vrednosti Y in verjetnosti teh vrednosti:

\begin(matrika)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(matrika)

Ta tabela ni serija porazdelitve naključne spremenljivke Y, saj lahko v splošnem primeru nekatere vrednosti sovpadajo med seboj in vrednosti v zgornji vrstici niso nujno v naraščajočem vrstnem redu. Vendar pa je matematično pričakovanje naključne spremenljivke Y mogoče določiti s formulo

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

Formula (6.4) ne vsebuje eksplicitno porazdelitvenega zakona same funkcije \varphi(X), ampak vsebuje le porazdelitveni zakon argumenta X. Tako za določitev matematičnega pričakovanja funkcije Y=\varphi(X) sploh ni potrebno poznati porazdelitveni zakon funkcije \varphi(X), temveč poznati porazdelitveni zakon argumenta X.

Za zvezno naključno spremenljivko se matematično pričakovanje izračuna po formuli

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

Razmislimo o primerih, ko za iskanje matematičnega pričakovanja funkcije naključnih argumentov ni potrebno poznavanje niti zakonov porazdelitve argumentov, ampak je dovolj poznati le nekatere njihove numerične značilnosti. Te primere oblikujmo v obliki izrekov.

Izrek 6.1. Matematično pričakovanje vsote obeh odvisnih in neodvisnih dveh naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj teh spremenljivk:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Izrek 6.2. Matematično pričakovanje produkta dveh naključnih spremenljivk je enako produktu njunih matematičnih pričakovanj plus korelacijski moment:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Posledica 6.1. Matematično pričakovanje produkta dveh nekoreliranih naključnih spremenljivk je enako produktu njunih matematičnih pričakovanj.

Posledica 6.2. Matematično pričakovanje produkta dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enako produktu njunih matematičnih pričakovanj.

Varianca funkcije naključnih spremenljivk

Po definiciji disperzije imamo D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. torej

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Kje .

Formule za izračun predstavljamo le za primer zveznih naključnih argumentov. Za funkcijo enega naključnega argumenta Y=\varphi(X) je varianca izražena s formulo

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

kje M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- matematično pričakovanje funkcije \varphi(X) ;

f(x) - gostota porazdelitve vrednosti X.

Formulo (6.5) lahko nadomestimo z naslednjim:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X) Razmislimo disperzijski izreki

, ki igrajo pomembno vlogo v teoriji verjetnosti in njenih aplikacijah.

Izrek 6.3.

Varianca vsote naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc teh količin plus podvojena vsota korelacijskih momentov vsakega od seštevkov z vsemi naslednjimi:

D\!\levo[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\desno]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i Posledica 6.3.

Varianca vsote nekoreliranih naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc členov:

\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2). \mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X))..

Lastnost 1. Dodajanje konstant slučajnim spremenljivkam ne spremeni korelacijskega momenta in korelacijskega koeficienta.

Lastnost 2. Za katero koli naključno spremenljivko X in Y absolutna vrednost korelacijskega momenta ne presega geometrične sredine varianc teh vrednosti:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Funkcija porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke in njene lastnosti.

Upoštevajte funkcijo F(x), definirana na celotni številski premici na naslednji način: za vsako X pomen F(x) je enaka verjetnosti, da bo diskretna naključna spremenljivka zavzela vrednost manjšo od X, tj.

(18)

Ta funkcija se imenuje funkcija porazdelitve verjetnosti ali na kratko, distribucijska funkcija.

Primer 1. Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke iz primera 1, točka 1.

rešitev: Jasno je, da če , potem F(x)=0, saj ne sprejema vrednosti, manjših od ena. Če, potem; če, potem. Ampak dogodek<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Torej imamo F(x)=1/3. Vrednosti funkcije v intervalih , in se izračunajo podobno. Končno, če x>6 to F(x)=1, saj je v tem primeru katera koli možna vrednost (1, 2, 3, 4, 5, 6) manj kot x. Graf funkcije F(x) prikazano na sl. 4.

Primer 2. Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke iz primera 2, točka 1.

rešitev: To je očitno

Urnik F(x) prikazano na sl. 5.

Poznavanje distribucijske funkcije F(x), je enostavno najti verjetnost, da naključna spremenljivka izpolnjuje neenakosti.
Razmislite o primeru, ko bo naključna spremenljivka prevzela vrednost manjšo od . Ta dogodek se razdeli na vsoto dveh nekompatibilnih dogodkov: 1) naključna spremenljivka ima vrednosti manjše od , tj. ; 2) naključna spremenljivka ima vrednosti, ki izpolnjujejo neenakosti. Z uporabo aksioma dodajanja dobimo

Toda po definiciji distribucijske funkcije F(x)[cm. formula (18)], imamo , ; torej,

torej verjetnost, da diskretna naključna spremenljivka pade v interval, je enaka prirastku porazdelitvene funkcije v tem intervalu.

Oglejmo si osnovne lastnosti porazdelitvene funkcije.
1°. Porazdelitvena funkcija je nepadajoča.
Pravzaprav naj< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Zato iz formule (19) sledi, da , tj. .

2°. Vrednosti porazdelitvene funkcije izpolnjujejo neenakosti .
Ta lastnost izhaja iz dejstva, da F(x) je definirana kot verjetnost [glej formula (18)]. Jasno je, da * in .

3°. Verjetnost, da bo diskretna naključna spremenljivka prevzela eno od možnih vrednosti xi, je enaka skoku porazdelitvene funkcije v točki xi.
Res, naj xi je vrednost, ki jo prevzame diskretna naključna spremenljivka, in . Ob predpostavki , , v formuli (19) dobimo

Tisti. pomen p(xi) enako skoku funkcije** xi. Ta lastnost je jasno prikazana na sl. 4 in sl. 5.

* V nadaljevanju so uvedeni naslednji zapisi: , .
** Lahko se pokaže, da F(xi)=F(xi-0), tj. kakšna je funkcija F(x) ostane neprekinjen v točki xi.

3. Zvezne naključne spremenljivke.

Poleg diskretnih naključnih spremenljivk, katerih možne vrednosti tvorijo končno ali neskončno zaporedje števil, ki v celoti ne zapolnijo nobenega intervala, pogosto obstajajo naključne spremenljivke, katerih možne vrednosti tvorijo določen interval. Primer takšne naključne spremenljivke je odstopanje od nazivne vrednosti določene velikosti dela ob ustrezno prilagojenem tehnološkem procesu. Tovrstnih naključnih spremenljivk ni mogoče določiti z zakonom porazdelitve verjetnosti p(x). Vendar jih je mogoče določiti s funkcijo porazdelitve verjetnosti F(x). Ta funkcija je definirana na povsem enak način kot v primeru diskretne naključne spremenljivke:

Tako je tudi tukaj funkcija F(x) definirana na celotni številski premici, njena vrednost pa v točki X je enaka verjetnosti, da bo naključna spremenljivka zavzela vrednost manjšo od X.
Formula (19) ter lastnosti 1° in 2° veljajo za porazdelitveno funkcijo poljubne naključne spremenljivke. Dokaz izvedemo podobno kot v primeru diskretne količine.
Naključna spremenljivka se imenuje neprekinjeno, če zanj obstaja nenegativna delno zvezna funkcija*, ki izpolnjuje za poljubne vrednosti x enakost

Na podlagi geometrijskega pomena integrala kot ploščine lahko rečemo, da je verjetnost izpolnitve neenakosti enaka ploščini krivokotnega trapeza z osnovo , ki je zgoraj omejena s krivuljo (slika 6).

Ker in na podlagi formule (22)

Upoštevajte, da je za zvezno naključno spremenljivko porazdelitvena funkcija F(x) neprekinjeno na kateri koli točki X, kjer je funkcija zvezna. To izhaja iz dejstva, da F(x) se na teh točkah razlikuje.
Na podlagi formule (23) ob predpostavki x 1 =x, , imamo

Zaradi kontinuitete funkcije F(x) to razumemo

Zato

torej verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka lahko prevzame katero koli posamezno vrednost x, je nič.
Iz tega sledi, da so dogodki, sestavljeni iz izpolnitve vsake od neenakosti

Imajo enako verjetnost, tj.

Pravzaprav je npr.

Ker

Komentiraj. Kot vemo, če je dogodek nemogoč, potem je verjetnost njegovega pojava enaka nič. Pri klasični definiciji verjetnosti, ko je število izidov testa končno, velja tudi obratna trditev: če je verjetnost dogodka enaka nič, potem je dogodek nemogoč, saj mu v tem primeru noben izid testa ne daje prednosti. V primeru zvezne naključne spremenljivke je število njenih možnih vrednosti neskončno. Verjetnost, da bo ta količina prevzela določeno vrednost x 1 kot smo videli, je enako nič. Vendar iz tega ne sledi, da je ta dogodek nemogoč, saj lahko kot rezultat testa naključna spremenljivka prevzame zlasti vrednost x 1. Zato je v primeru zvezne naključne spremenljivke smiselno govoriti o verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v interval, in ne o verjetnosti, da bo zavzela neko določeno vrednost.
Tako nas na primer pri izdelavi valja ne zanima verjetnost, da bo njegov premer enak nazivni vrednosti. Pomembna nam je verjetnost, da je premer valja znotraj tolerančnega območja.

NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE

Primer 2.1. Naključna spremenljivka X podana z distribucijsko funkcijo

Poiščite verjetnost, da bo rezultat testa X bo prevzel vrednosti v intervalu (2,5; 3,6).

rešitev: X v intervalu (2,5; 3,6) lahko določimo na dva načina:

Primer 2.2. Pri katerih vrednostih parametrov A in IN funkcijo F(x) = A + Be - x je lahko porazdelitvena funkcija za nenegativne vrednosti naključne spremenljivke X.

rešitev: Ker so vse možne vrednosti naključne spremenljivke X pripadajo intervalu , potem da bi bila funkcija distribucijska funkcija za X, lastnina mora biti izpolnjena:

.

odgovor: .

Primer 2.3. Naključna spremenljivka X je podana s funkcijo porazdelitve

Poiščite verjetnost, da bo vrednost kot rezultat štirih neodvisnih testov X natanko 3-krat bo dobilo vrednost, ki pripada intervalu (0,25;0,75).

rešitev: Verjetnost doseganja vrednosti X v intervalu (0,25;0,75) najdemo po formuli:

Primer 2.4. Verjetnost, da žoga z enim strelom zadene koš, je 0,3. Sestavite zakon porazdelitve števila zadetkov s tremi meti.

rešitev: Naključna spremenljivka X– število zadetkov v koš s tremi meti – lahko zavzame naslednje vrednosti: 0, 1, 2, 3. Verjetnosti, da X

X:

Primer 2.5. Dva strelca izstrelita vsak en strel v tarčo. Verjetnost, da ga prvi strelec zadene, je 0,5, drugi pa 0,4. Sestavite porazdelitveni zakon za število zadetkov na tarčo.

rešitev: Poiščimo zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke X– število zadetkov v tarčo. Naj bo dogodek prvi strelec, ki je zadel tarčo, in naj drugi strelec zadene tarčo, oziroma njihovi zgrešitve.

Sestavimo zakon porazdelitve verjetnosti SV X:

Primer 2.6. Preizkušeni so trije elementi, ki delujejo neodvisno drug od drugega. Trajanje časa (v urah) brezhibnega delovanja elementov ima funkcijo gostote porazdelitve: za prvo: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugo: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za tretjega: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Poiščite verjetnost, da bo v časovnem intervalu od 0 do 5 ur: odpovedal samo en element; samo dva elementa bosta odpovedala; vsi trije elementi ne bodo uspeli.

rešitev: Uporabimo definicijo funkcije generiranja verjetnosti:

Verjetnost, da v neodvisnih poskusih, v prvem izmed njih je verjetnost, da se zgodi dogodek A enako , v drugem itd. dogodku A se pojavi natanko enkrat, kar je enako koeficientu v razširitvi generatorske funkcije v potencah . Poiščimo verjetnosti odpovedi oziroma neodpovedi prvega, drugega in tretjega elementa v časovnem intervalu od 0 do 5 ur:

Ustvarimo funkcijo generiranja:

Koeficient pri je enak verjetnosti, da dogodek A se bo pojavilo natanko trikrat, to je verjetnost okvare vseh treh elementov; koeficient pri je enak verjetnosti, da bosta odpovedala točno dva elementa; koeficient pri je enak verjetnosti, da bo odpovedal samo en element.

Primer 2.7. Glede na gostoto verjetnosti f(x)naključna spremenljivka X:

Poiščite porazdelitveno funkcijo F(x).

rešitev: Uporabljamo formulo:

.

Tako distribucijska funkcija izgleda takole:

Primer 2.8. Napravo sestavljajo trije neodvisno delujoči elementi. Verjetnost okvare vsakega elementa v enem poskusu je 0,1. Sestavite porazdelitveni zakon za število neuspelih elementov v enem poskusu.

rešitev: Naključna spremenljivka X– število elementov, ki niso uspeli v enem poskusu – lahko zavzame naslednje vrednosti: 0, 1, 2, 3. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, najdemo z uporabo Bernoullijeve formule:

Tako dobimo naslednji zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X:

Primer 2.9. V seriji 6 delov so 4 standardni. 3 deli so bili izbrani naključno. Sestavite porazdelitveni zakon za število standardnih delov med izbranimi.

rešitev: Naključna spremenljivka X– število standardnih delov med izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 1, 2, 3 in ima hipergeometrično porazdelitev. Verjetnosti, da X

kje -- število delov v seriji;

-- število standardnih delov v seriji;

– število izbranih delov;

-- število standardnih delov med izbranimi.

.

.

.

Primer 2.10. Naključna spremenljivka ima gostoto porazdelitve

in niso znani, ampak , a in . Najdi in.

rešitev: V tem primeru naključna spremenljivka X ima trikotno porazdelitev (Simpsonovo porazdelitev) na intervalu [ a, b]. Numerične značilnosti X:

torej . Z reševanjem tega sistema dobimo dva para vrednosti: . Ker glede na pogoje problema končno imamo: .

odgovor: .

Primer 2.11. V povprečju pod 10 % pogodb zavarovalnica izplača zavarovalne zneske v zvezi z nastankom zavarovalnega primera. Izračunajte matematično pričakovanje in disperzijo števila takih pogodb med štirimi naključno izbranimi.

rešitev: Matematično pričakovanje in varianco je mogoče najti z uporabo formul:

.

Možne vrednosti SV (število pogodb (od štirih) z nastankom zavarovalnega dogodka): 0, 1, 2, 3, 4.

Za izračun verjetnosti različnih števil pogodb (od štirih), za katere so bile plačane zavarovalne vsote, uporabimo Bernoullijevo formulo:

.

Distribucijska serija IC (število pogodb z nastankom zavarovalnega dogodka) ima obliko:

Odgovor: , .

Primer 2.12. Od petih vrtnic sta dve beli. Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke, ki izraža število belih vrtnic med dvema sočasno vzetima vrtnicama.

rešitev: V izboru dveh vrtnic lahko ni bele vrtnice ali pa sta ena ali dve beli vrtnici. Zato je naključna spremenljivka X lahko zavzame vrednosti: 0, 1, 2. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

kje -- število vrtnic;

-- število belih vrtnic;

– število vrtnic, vzetih hkrati;

-- število belih vrtnic med odvzetimi.

.

.

.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.13. Med 15 sestavljenimi enotami jih 6 potrebuje dodatno mazanje. Sestavite porazdelitveni zakon za število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje, med petimi naključno izbranimi izmed skupnega števila.

rešitev: Naključna spremenljivka X– število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje med petimi izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 in ima hipergeometrično porazdelitev. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

kje -- število sestavljenih enot;

-- število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje;

– število izbranih enot;

-- število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje med izbranimi.

.

.

.

.

.

.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.14. Od 10 ur, prejetih v popravilo, jih 7 potrebuje generalno čiščenje mehanizma. Ure niso razvrščene po vrsti popravila. Mojster, ki želi najti ure, ki jih je treba očistiti, jih pregleda eno za drugo in, ko najde takšne ure, preneha z nadaljnjim ogledom. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila gledanih ur.

rešitev: Naključna spremenljivka X– število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje med petimi izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 1, 2, 3, 4. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

.

.

.

.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Zdaj pa izračunajmo numerične značilnosti količine:

Odgovor: , .

Primer 2.15. Naročnik je pozabil zadnjo številko telefonske številke, ki jo potrebuje, vendar se spomni, da je liha. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila klicev telefonske številke, preden doseže želeno številko, če naključno pokliče zadnjo številko in pozneje ne pokliče klicane številke.

rešitev: Naključna spremenljivka ima lahko naslednje vrednosti: . Ker naročnik v prihodnje ne pokliče klicane številke, sta verjetnosti teh vrednosti enaki.

Sestavimo porazdelitveni niz naključne spremenljivke:

Izračunajmo matematično pričakovanje in varianco števila poskusov klicanja:

Odgovor: , .

Primer 2.16. Verjetnost okvare med testiranjem zanesljivosti za vsako napravo v seriji je enaka str. Določite matematično pričakovanje števila naprav, ki niso uspele, če so bile testirane n naprave.

rešitev: Diskretna naključna spremenljivka X je število okvarjenih naprav v n neodvisni testi, pri vsakem od katerih je verjetnost neuspeha enaka p, porazdeljena po binomskem zakonu. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti, da se dogodek zgodi v enem poskusu:

Primer 2.17. Diskretna naključna spremenljivka X ima 3 možne vrednosti: z verjetnostjo ; z verjetnostjo in z verjetnostjo. Poiščite in , vedoč, da M( X) = 8.

rešitev: Uporabljamo definiciji matematičnega pričakovanja in porazdelitvenega zakona diskretne naključne spremenljivke:

Najdemo:.

Primer 2.18. Oddelek za tehnični nadzor preverja standardnost izdelkov. Verjetnost, da je izdelek standarden, je 0,9. Vsaka serija vsebuje 5 izdelkov. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X– število serij, od katerih vsaka vsebuje točno 4 standardne izdelke, če je predmet pregleda 50 serij.

rešitev: V tem primeru so vsi izvedeni poskusi neodvisni in verjetnosti, da vsaka serija vsebuje natanko 4 standardne izdelke, so enake, zato lahko matematično pričakovanje določimo s formulo:

,

kje je število strank;

Verjetnost, da serija vsebuje točno 4 standardne izdelke.

Verjetnost najdemo z uporabo Bernoullijeve formule:

odgovor: .

Primer 2.19. Poiščite varianco naključne spremenljivke X– število ponovitev dogodka A v dveh neodvisnih poskusih, če sta verjetnosti pojava dogodka v teh poskusih enaki in je znano, da M(X) = 0,9.

rešitev: Problem je mogoče rešiti na dva načina.

1) Možne vrednosti SV X: 0, 1, 2. Z Bernoullijevo formulo določimo verjetnosti teh dogodkov:

, , .

Potem zakon o distribuciji X ima obliko:

Iz definicije matematičnega pričakovanja določimo verjetnost:

Poiščimo disperzijo SV X:

.

2) Lahko uporabite formulo:

.

odgovor: .

Primer 2.20. Pričakovanje in standardni odklon normalno porazdeljene naključne spremenljivke X enako 20 in 5. Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa X bo prevzel vrednost v intervalu (15; 25).

rešitev: Verjetnost zadetka normalne naključne spremenljivke X na odseku od do je izražena z Laplaceovo funkcijo:

Primer 2.21. Dana funkcija:

Pri kateri vrednosti parametra C ta funkcija je gostota porazdelitve neke zvezne naključne spremenljivke X? Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke X.

rešitev: Da bi bila funkcija porazdelitvena gostota neke naključne spremenljivke, mora biti nenegativna in mora izpolnjevati lastnost:

.

Zato:

Izračunajmo matematično pričakovanje po formuli:

.

Izračunajmo varianco po formuli:

T je enako str. Treba je najti matematično pričakovanje in varianco te naključne spremenljivke.

rešitev: Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke X - število pojavitev dogodka v neodvisnih poskusih, pri vsakem od katerih je verjetnost, da se dogodek zgodi enaka , se imenuje binom. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava dogodka A v enem poskusu:

.

Primer 2.25. V tarčo se izstrelijo trije neodvisni streli. Verjetnost zadetka vsakega strela je 0,25. Določite standardni odklon števila zadetkov s tremi streli.

rešitev: Ker so izvedeni trije neodvisni poskusi in je verjetnost pojava dogodka A (zadetek) v vsakem poskusu enaka, bomo predpostavili, da je diskretna naključna spremenljivka X - število zadetkov na tarči - porazdeljena glede na binomski zakon.

Varianca binomske porazdelitve je enaka zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava in nepojavitve dogodka v enem poskusu:

Primer 2.26. Povprečno število strank, ki obiščejo zavarovalnico v 10 minutah, je tri. Poiščite verjetnost, da bo vsaj ena stranka prispela v naslednjih 5 minutah.

Povprečno število strank, ki pridejo v 5 minutah: . .

Primer 2.29.Čakalni čas za aplikacijo v čakalni vrsti procesorja je podrejen eksponentnemu zakonu porazdelitve s povprečno vrednostjo 20 sekund. Poiščite verjetnost, da bo naslednja (naključna) zahteva čakala na procesorju več kot 35 sekund.

rešitev: V tem primeru matematično pričakovanje , stopnja napak pa je enaka .

Potem je želena verjetnost:

Primer 2.30. Skupina 15 študentov ima srečanje v dvorani z 20 vrstami po 10 sedežev. Vsak učenec si mesto v dvorani zavzame naključno. Kakšna je verjetnost, da na sedmem mestu v vrsti ne bodo več kot tri osebe?

rešitev:

Primer 2.31.

Potem, po klasični definiciji verjetnosti:

kje -- število delov v seriji;

-- število nestandardnih delov v seriji;

– število izbranih delov;

-- število nestandardnih delov med izbranimi.

Potem bo porazdelitveni zakon naključne spremenljivke naslednji.