Kako najti kot ob poznavanju tangente. Pravokotni trikotnik

Trigonometrija je tema, ki se je mnogi izogibajo. Kljub temu, če boste našli pravi pristop do tega, bo za vas postalo zelo zanimivo. Trigonometrične formule, vključno s formulami za iskanje tangente, se uporabljajo na številnih področjih resnično življenje. Ta članek bo govoril o načinih iskanja tangente kota in navajal primere uporabe te količine v življenju. To vam bo dalo motivacijo za študij te teme.

Kljub mnenju, ki obstaja med večino šolarjev, se trigonometrija v življenju pogosto uporablja. Dober primer praktična uporaba vam bo dalo spodbudo, da ne boste leni. Tukaj je nekaj področij dejavnosti, kjer se uporabljajo trigonometrični izračuni, vključno z iskanjem tangensa kota:

• Gospodarstvo.
• Astronomija.
• Letalstvo.
• Inženiring.

Torej, spodaj so načini za iskanje tg.

Kako najti tg kota

Iskanje tangente kota je precej preprosto. Lahko študiraš ta tema in si samo zapomni pravila, lahko pa ti vse to leti med izpitom iz glave. Zato se je vredno približati to vprašanje smiselno. Osnovne formule, ki si jih morate zapomniti:

• tg0° = 0
• tg30° = 1/√3
• tg45° = 1
• tg60° = √3
• tg90° = ∞ (neskončno/nedoločeno)

Upoštevajte, da so vrednosti v naraščajočem vrstnem redu: kot večji kot– tiste večjo vrednost tangenta V skladu s tem s stopinjsko vrednostjo kota 0° dobimo 0. Z vrednostjo trideset stopinj dobimo 1, deljeno s korenom iz tri itd., dokler ne dosežemo 90°. Pri njem je tangentna vrednost enaka neskončnosti ali negotovosti (glede na specifično situacijo).

Ti izrazi sledijo pravilu za iskanje tangente skozi pravokotni trikotnik. Tako je tangens kota A (tgA) enak razmerju med nasprotno stranico in sosednjo stranjo. Predstavljajte si, da vam je dan pravokoten trikotnik, v katerem so znane vse stranice, ne pozna pa se kot. Za rešitev težave morate najti tangens kota A. Velikost stranice, ki leži nasproti kota, je 1, sosednja stran pa √3. Njuno razmerje je 1/√3. Že vemo, da je kot pri tem indikatorju 30 stopinj. V skladu s tem je kot A = 30°.

V pravokotnem trikotniku pravi kot obe tangenti sta sosednji. Nasprotna stran tega kota je hipotenuza. Ravno zato, ker obeh krakov ne moremo razdeliti drug na drugega (kršen bo ugotovitveni pogoj), tangenta 90° v tem primeru ne obstaja.

Poleg vsega tega moramo pogosto najti tangento tupi kot. Običajno so težave povezane s topimi koti 120 ali 150 stopinj. Formula za iskanje tangente topega kota je naslednja: tg(180-a) = tga.
Na primer, najti moramo tangento 120°. Morate se vprašati naslednje vprašanje: Koliko morate odšteti od 180, da dobite 120? Vsekakor 60°. Iz tega sledi, da sta tangenta 120° in tangenta 60° med seboj enaka in tan120° = √3. Z uporabo iste logike lahko najdete tangento 150 in 180 stopinj. Njihove vrednosti bodo enake 1/√3 in 0, v tem zaporedju trigonometrična tabela, vendar se uporabljajo zelo redko.

Kako najti kot tg na spletu

Veliko jih je spletnih virov najti tangens kota. Ena od teh je spletna stran FXYZ. Sledite povezavi. Videli boste stran, kjer bodo podane osnovne formule, povezane s tangento, in kalkulator. Uporaba kalkulatorja je precej preprosta. Vnesti morate ustrezne in kalkulator bo izračunal odgovor. Ta preprost algoritem vam bo pomagal, če ste kaj pozabili. Na tem mestu sta dva kalkulatorja. Ena je za iskanje vrednosti tangente na podlagi dolžin krakov trikotnika, druga pa na podlagi vrednosti kota. Uporabite računalnik, ki ga zahteva naloga.

Kot ste morda opazili, se iskanje tangente in drugih trigonometričnih kazalcev zelo pogosto uporablja v resničnem življenju in iskanje teh vrednosti sploh ni težko. Če razumete bistvo ugotovitve, vam ne bo treba ničesar zapomniti - sami boste lahko prišli do pravilnega odgovora. Če nekaj še vedno ne gre, uporabite kalkulator, vendar z njim ne pretiravajte. Na izpitu, testu ali šoli testno delo Nihče vam ne bo dal takšne priložnosti. Še več, če se vpišeš na oddelek, kjer se študira trigonometrija višja matematika, brez osnovno znanje se boste morali potruditi, da se ne boste urezali.

Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.

Geometrijska definicija

|BD|
α je kot, izražen v radianih.

Tangenta ( tan α) - To trigonometrična funkcija, odvisno od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, enako razmerju dolžina nasprotne stranice |BC|

na dolžino sosednjega kraka |AB| . Kotangens () ctg α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB|

na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta kje

n
.
;
;
.

- cela.

V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:

na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta kje

Graf funkcije tangente, y = tan x
.
Kotangens
;
;
.

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:

Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:

Graf funkcije kotangens, y = ctg x

Lastnosti tangensa in kotangensa Periodičnost Funkcije y = tg x in y =

ctg x

so periodični s periodo π.

Pariteta

Funkciji tangens in kotangens sta lihi. Tangenta Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje

Ničle, y =

Presečišča z ordinatno osjo, x =

; ;
; ;
;

Formule

Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

Ta tabela predstavlja vrednosti tangentov in kotangensov za določene vrednosti argumenta.

;
;

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

; .

.
Izrazi s hiperboličnimi funkcijami
.
Izvedeni finančni instrumenti

Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:

Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>

Integrali Razširitve serijeČe želite dobiti razširitev tangente na potenco x, morate vzeti več členov razširitve v potenčne vrste za funkcije greh x in

cos x

in te polinome razdelite drug z drugim, .
To ustvari naslednje formule. Ob . ob . kje:
;
;
Bn
- Bernoullijeva števila. Določajo se bodisi iz

ponovitveno razmerje

kje . Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije Tangenta kje

na tangento in kotangens sta arktangens oziroma arkotangens.

Inverzne funkcije Tangenta kje

Arktangens, arctg
, Kje
Arkotangens, arcctg

Kjer so bile obravnavane težave pri reševanju pravokotnega trikotnika, sem obljubil, da bom predstavil tehniko za pomnjenje definicij sinusa in kosinusa. Z njegovo uporabo se boste vedno hitro spomnili, katera stran pripada hipotenuzi (sosednja ali nasprotna). Odločil sem se, da tega ne bom dolgo odlašal, potrebno gradivo je spodaj, preberite ga 😉

Dejstvo je, da sem večkrat opazil, kako si učenci v 10.-11. razredu težko zapomnijo te definicije. Dobro se spomnijo, da se noga nanaša na hipotenuzo, a katero- pozabijo in zmeden. Cena napake je, kot veste na izpitu, izgubljena točka.

Informacije, ki jih bom predstavil neposredno matematiki, nimajo nobene zveze z matematiko. Povezana je z domiselno razmišljanje, ter z metodami verbalno-logične komunikacije. Točno tako se spomnim, enkrat za vselejdefinicijski podatki. Če jih pozabite, se jih lahko vedno zlahka spomnite z uporabo predstavljenih tehnik.

Naj vas spomnim na definiciji sinusa in kosinusa v pravokotnem trikotniku:

Kosinus oster kot v pravokotnem trikotniku je to razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:

Sinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:

Torej, kakšne asociacije imate ob besedi kosinus?

Verjetno ima vsak svojega 😉Zapomni si povezavo:

Tako se bo izraz takoj pojavil v vašem spominu -

«… razmerje SODNJEGA kraka in hipotenuze».

Problem z določanjem kosinusa je rešen.

Če se morate spomniti definicije sinusa v pravokotnem trikotniku, potem ko se spomnite definicije kosinusa, lahko zlahka ugotovite, da je sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo. Navsezadnje obstajata samo dva kraka; če je sosednji krak "zaseden" s kosinusom, potem ostane samo nasprotni krak s sinusom.

Kaj pa tangens in kotangens? Zmeda je enaka. Učenci vedo, da gre za razmerje krakov, a težava je, da si zapomnijo, katera se nanaša na katero – ali nasprotno od sosednjega ali obratno.

Definicije:

Tangenta Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:

Kotangens Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo:

Kako si zapomniti? Obstajata dva načina. Ena uporablja tudi besedno-logično povezavo, druga matematično.

MATEMATIČNA METODA

Obstaja taka definicija - tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

*Ko si zapomnite formulo, lahko vedno ugotovite, da je tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Prav tako.Kotangens ostrega kota je razmerje med kosinusom kota in njegovim sinusom:

torej! Če se spomnite teh formul, lahko vedno ugotovite, da:

- tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno in sosednjo stranico

- kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim.

BESEDO-LOGIČNA METODA

O tangenti. Zapomni si povezavo:

Se pravi, če si morate zapomniti definicijo tangente, se z uporabo te logične povezave zlahka spomnite, kaj je

"... razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo"

Če govorimo o kotangensu, potem ko se spomnimo definicije tangensa, lahko zlahka izrazimo definicijo kotangensa -

"... razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno stranjo"

Jejte zanimiva tehnika o pomnjenju tangensa in kotangensa na mestu " Matematični tandem " , poglej.

UNIVERZALNA METODA

Lahko si ga samo zapomniš.Toda kot kaže praksa, si človek zaradi verbalno-logičnih povezav dolgo zapomni informacije, ne le matematične.

Upam, da vam je bil material koristen.

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Srednja stopnja

Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)

PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. ZAČETNA STOPNJA.

Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,

in v tem

in v tem

Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ... najprej so posebni lepa imena za njegove strani.

Pozor na risbo!

Zapomnite si in ne zamenjujte: sta dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!

No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek.

Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Dokazal jo je Pitagora že v povsem pradavnini in od takrat je vsem, ki jo poznajo, prinesla veliko koristi. In najboljše pri tem je, da je preprosto.

Torej, Pitagorov izrek:

Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?

Narišimo te iste pitagorejske hlače in jih poglejmo.

Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:

"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."

Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.

Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.

Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?

Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?

Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo ubogim starodobnikom, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko se veselimo, da imamo preprosto formulacijo Pitagorovega izreka. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:

Zdaj bi moralo biti enostavno:

No, najpomembnejši izrek o pravokotnih trikotnikih je bil obravnavan. Če vas zanima, kako se to dokazuje, preberite naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo naprej ... na temen gozd... trigonometrija! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.

Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti probleme o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:

Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave 1 - 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!

1.
Pravzaprav zveni takole:

Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda obstaja! To je noga!

Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in

Zdaj pa pozor! Poglejte, kaj imamo:

Poglejte, kako kul je:

Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.

Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?

Vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?

In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:

Nadaljevanje

Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.

Pitagorov izrek:

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako lahko to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžinske odseke in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo vse skupaj.

Pretvorimo:

Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

Zelo je priročno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

I. Na dveh straneh

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

a)

b)

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Nujno je, da v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo “in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost “navadnih” trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

I. Vzdolž ostrega kota

II. Na dveh straneh

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Zakaj je temu tako?

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

1. - mediana:

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Kaj se je torej zgodilo?

Pa začnimo s tem “poleg ...”.

Poglejmo in.

Ampak podobni trikotniki vsi koti so enaki!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat

Pitagorov izrek:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• na dveh straneh:
• po kateti in hipotenuzi: oz
• vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
• vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
• s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:

• en oster vogal: oz
• iz sorazmernosti dveh nog:
• iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku

• Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo:
• Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
• Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
• Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .

Višina pravokotnega trikotnika: oz.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz oglišča pravi kot, je enako polovici hipotenuze: .

Območje pravokotnega trikotnika:

• preko nog:

Eno od področij matematike, s katerim se učenci najbolj mučijo, je trigonometrija. Ni presenetljivo: za svobodno obvladovanje tega področja znanja potrebujete prostorsko razmišljanje, sposobnost iskanja sinusov, kosinusov, tangentov, kotangensov s pomočjo formul, poenostavitev izrazov in sposobnost uporabe števila pi v izračuni. Poleg tega morate pri dokazovanju izrekov znati uporabljati trigonometrijo, kar zahteva bodisi razvit matematični spomin bodisi sposobnost izpeljave zapletenih logičnih verig.

Izvori trigonometrije

Spoznavanje te vede bi se moralo začeti z definicijo sinusa, kosinusa in tangensa kota, najprej pa morate razumeti, kaj na splošno počne trigonometrija.

Zgodovinsko gledano je glavni predmet študije v tem razdelku matematična znanost bili pravokotni trikotnik. Prisotnost kota 90 stopinj omogoča izvajanje različnih operacij, ki omogočajo določitev vrednosti vseh parametrov zadevne figure z uporabo dveh strani in enega kota ali dveh kotov in ene strani. V preteklosti so ljudje opazili ta vzorec in ga začeli aktivno uporabljati pri gradnji zgradb, navigaciji, astronomiji in celo v umetnosti.

Začetna faza

Sprva so o razmerju med koti in stranicami govorili zgolj na primeru pravokotnih trikotnikov. Nato so bile odkrite posebne formule, ki so omogočile razširitev meja uporabe v vsakdanje življenje to vejo matematike.

Študij trigonometrije se danes v šoli začne s pravokotnimi trikotniki, nato pa učenci pridobljeno znanje uporabljajo pri fiziki in reševanju abstraktnih problemov. trigonometrične enačbe, delo s katerim se začne v srednji šoli.

Sferična trigonometrija

Kasneje, ko je znanost dosegla naslednjo stopnjo razvoja, so se formule s sinusom, kosinusom, tangensom, kotangensom začele uporabljati v sferični geometriji, kjer veljajo drugačna pravila, vsota kotov v trikotniku pa je vedno večja od 180 stopinj. Ta razdelek se v šoli ne preučuje, vendar je za njegov obstoj treba vedeti vsaj zato zemeljsko površje, površina katerega koli drugega planeta pa je konveksna, kar pomeni, da bo vsaka površinska oznaka v tridimenzionalnem prostoru "oblika loka".

Vzemi globus in nit. Nit pritrdite na poljubni točki na globusu, tako da bo napeta. Upoštevajte - dobil je obliko loka. S takšnimi oblikami se ukvarja sferična geometrija, ki se uporablja v geodeziji, astronomiji in drugih teoretičnih in uporabnih področjih.

Pravokotni trikotnik

Ko smo se malo naučili o načinih uporabe trigonometrije, se vrnimo k osnovni trigonometriji, da bi nadalje razumeli, kaj so sinus, kosinus, tangens, katere izračune je mogoče izvesti z njihovo pomočjo in katere formule uporabiti.

Prvi korak je razumevanje pojmov, povezanih s pravokotnim trikotnikom. Prvič, hipotenuza je stran nasproti kota 90 stopinj. Je najdaljša. Spomnimo se, da je po Pitagorovem izreku njegova numerična vrednost enaka korenu vsote kvadratov drugih dveh strani.

Na primer, če sta obe strani dolgi 3 oziroma 4 centimetre, bo dolžina hipotenuze 5 centimetrov. Mimogrede, stari Egipčani so za to vedeli pred približno štiri tisoč leti in pol.

Dve preostali stranici, ki tvorita pravi kot, imenujemo kraki. Poleg tega se moramo spomniti, da je vsota kotov v trikotniku pravokotni sistem koordinate 180 stopinj.

Opredelitev

Končno se lahko s trdnim razumevanjem geometrijske osnove obrnemo na definicijo sinusa, kosinusa in tangensa kota.

Sinus kota je razmerje med nasprotnim krakom (tj. stranjo nasproti želenega kota) in hipotenuzo. Kosinus kota je razmerje med sosednjo stranjo in hipotenuzo.

Ne pozabite, da niti sinus niti kosinus ne moreta biti večja od ena! Zakaj? Ker je hipotenuza privzeto najdaljša, ne glede na to, kako dolga je noga, bo krajša od hipotenuze, kar pomeni, da bo njuno razmerje vedno enako manj kot ena. Če torej v odgovoru na nalogo dobite sinus ali kosinus z vrednostjo, večjo od 1, poiščite napako v izračunih ali sklepanju. Ta odgovor očitno ni pravilen.

Končno je tangens kota razmerje med nasprotno stranico in sosednjo stranjo. Enak rezultat bo dal deljenje sinusa s kosinusom. Poglejte: po formuli dolžino stranice delimo s hipotenuzo, nato delimo z dolžino druge stranice in pomnožimo s hipotenuzo. Tako dobimo enako razmerje kot pri definiciji tangente.

Kotangens je torej razmerje med stranjo, ki meji na vogalu, in nasprotno stranjo. Enak rezultat dobimo, če ena delimo s tangento.

Tako smo si ogledali definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa in lahko nadaljujemo s formulami.

Najenostavnejše formule

V trigonometriji ne morete brez formul - kako najti sinus, kosinus, tangens, kotangens brez njih? A prav to je tisto, kar se zahteva pri reševanju problemov.

Prva formula, ki jo morate poznati, ko začnete študirati trigonometrijo, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa kota enaka ena. Ta formula je neposredna posledica Pitagorovega izreka, vendar prihrani čas, če morate poznati velikost kota namesto stranice.

Veliko učencev se ne spomni druge formule, ki je prav tako zelo priljubljena pri reševanju šolske naloge: vsota ena in kvadrata tangenta kota je enaka ena, deljeno s kvadratom kosinusa kota. Poglejte natančneje: to je ista izjava kot v prvi formuli, le da sta bili obe strani identitete deljeni s kvadratom kosinusa. Izkazalo se je, da preprosta matematična operacija trigonometrična formula popolnoma neprepoznaven. Ne pozabite: če veste, kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens, pravila transformacije in več osnovnih formul, lahko kadar koli neodvisno izpeljete zahtevano več kompleksne formule na kos papirja.

Formule za dvojne kote in seštevanje argumentov

Še dve formuli, ki se ju morate naučiti, sta povezani z vrednostma sinusa in kosinusa za vsoto in razliko kotov. Predstavljeni so na spodnji sliki. Upoštevajte, da se v prvem primeru sinus in kosinus obakrat pomnožita, v drugem pa se doda parni produkt sinusa in kosinusa.

Obstajajo tudi formule, povezane z argumenti dvojnega kota. Popolnoma izhajajo iz prejšnjih - kot trening jih poskusite dobiti sami, tako da vzamete kot alfa enaka kotu beta.

Nazadnje upoštevajte, da je mogoče formule dvojnega kota preurediti, da zmanjšate moč sinusa, kosinusa in tangensa alfa.

Izreki

Dva glavna izreka v osnovni trigonometriji sta sinusni izrek in kosinusni izrek. S pomočjo teh izrekov lahko zlahka razumete, kako najti sinus, kosinus in tangens, s tem pa površino figure in velikost vsake strani itd.

Sinusni izrek pravi, da če dolžino vsake stranice trikotnika delimo s nasprotni kot bomo dobili enako število. Poleg tega bo to število enako dvema polmeroma opisanega kroga, to je kroga, ki vsebuje vse točke danega trikotnika.

Kosinusni izrek posplošuje Pitagorov izrek in ga projicira na vse trikotnike. Izkazalo se je, da od vsote kvadratov obeh strani odštejemo njihov produkt, pomnožen z dvojnim kosinusom sosednjega kota - dobljena vrednost bo enaka kvadratu tretje strani. Tako se izkaže, da je Pitagorov izrek poseben primer kosinusnega izreka.

Nepazljive napake

Tudi če vemo, kaj so sinus, kosinus in tangens, je enostavno narediti napako zaradi odsotnosti ali napake v najpreprostejših izračunih. Da bi se izognili takšnim napakam, si poglejmo najbolj priljubljene.

Prvič, ulomkov ne smete pretvarjati v decimalke, dokler ne dobite končnega rezultata – odgovor lahko pustite kot navadni ulomek, razen če je v pogojih navedeno drugače. Takšne preobrazbe ne moremo imenovati napaka, vendar se je treba spomniti, da se lahko na vsaki stopnji problema pojavijo nove korenine, ki jih je treba po avtorjevi zamisli zmanjšati. V tem primeru boste izgubljali čas za nepotrebne matematične operacije. To še posebej velja za vrednosti, kot sta koren iz tri ali koren iz dva, ker jih najdemo v težavah na vsakem koraku. Enako velja za zaokroževanje "grdih" številk.

Upoštevajte tudi, da kosinusni izrek velja za vsak trikotnik, ne pa za Pitagorov izrek! Če pomotoma pozabite dvakrat odšteti produkt stranic, pomnožen s kosinusom kota med njima, ne boste le dobili popolnoma napačnega rezultata, ampak boste tudi pokazali popolno nerazumevanje predmeta. To je hujše kot napaka iz neprevidnosti.

Tretjič, ne zamenjujte vrednosti za kote 30 in 60 stopinj za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapomnite si te vrednosti, ker je sinus 30 stopinj enako kosinusu 60 in obratno. Zlahka jih je zamenjati, zaradi česar boste neizogibno dobili napačen rezultat.

Aplikacija

Mnogi študenti se ne mudi, da bi začeli študirati trigonometrijo, ker ne razumejo njenega praktičnega pomena. Kaj je sinus, kosinus, tangens za inženirja ali astronoma? To so koncepti, zahvaljujoč katerim lahko izračunate razdaljo do oddaljene zvezde, napovedati padec meteorita, poslati raziskovalno sondo na drug planet. Brez njih je nemogoče zgraditi stavbo, načrtovati avtomobil, izračunati obremenitev površine ali trajektorijo predmeta. In to so le najbolj očitni primeri! Navsezadnje se trigonometrija v takšni ali drugačni obliki uporablja povsod, od glasbe do medicine.

Za zaključek

Torej ste sinus, kosinus, tangens. Uporabite jih lahko pri računanju in uspešno rešujete šolske naloge.

Bistvo trigonometrije je v tem, da morate z uporabo znanih parametrov trikotnika izračunati neznanke. Skupaj je šest parametrov: dolžina tri strani in velikost trije vogali. Edina razlika med nalogami je v tem, da so podani različni vhodni podatki.

Kako najti sinus, kosinus, tangens na podlagi znane dolžine noge ali hipotenuza, zdaj veste. Ker ti izrazi ne pomenijo nič drugega kot razmerje, razmerje pa je ulomek, glavni cilj Trigonometrični problem postane iskanje korenin navadne enačbe ali sistema enačb. In tu vam bo pomagala redna šolska matematika.