Kako najti mediano trikotnika, strani so znane. Mediana trikotnika

Srednja in nadmorska višina trikotnika sta ena najbolj fascinantnih in zanimive teme geometrija. Izraz "mediana" pomeni črto ali segment, ki povezuje oglišče trikotnika z njegovim nasprotna stran. Z drugimi besedami, mediana je črta, ki poteka od sredine ene stranice trikotnika do nasprotnega vrha istega trikotnika. Ker ima trikotnik samo tri oglišča in tri stranice, to pomeni, da so lahko samo tri mediane.

Lastnosti mediane trikotnika

Vse mediane trikotnika se sekajo v eni točki in so s to točko ločene v razmerju 2:1, šteto od vrha. Torej, če narišete vse tri mediane v trikotniku, jih bo njihova presečišče razdelila na dva dela. Del, ki se nahaja bližje oglišču, bo 2/3 celotne črte, del, ki se nahaja bližje strani trikotnika, pa 1/3 črte. Srednjici se sekata v eni točki.
Tri mediane, narisane v enem trikotniku, razdelijo ta trikotnik na 6 majhnih trikotnikov, katerih ploščina bo enaka.
kako večja stran trikotnika, iz katerega izhaja mediana, tem manjša je mediana. Nasprotno pa ima najkrajša stranica najdaljšo mediano.
Mediana v pravokotni trikotnik ima vrsto lastnih značilnosti. Na primer, če okoli takega trikotnika opišemo krog, ki bo šel skozi vsa oglišča, potem mediana pravi kot potegnjena na hipotenuzo, bo postala polmer opisanega kroga (to pomeni, da bo njegova dolžina razdalja od katere koli točke kroga do njegovega središča).

Enačba dolžine mediane trikotnika

Formula mediane izhaja iz Stewartovega izreka in pravi, da je mediana kvadratni koren iz razmerja kvadratov vsote stranic trikotnika, ki tvorijo oglišče, minus kvadrat stranice, na katero je narisana mediana, proti štiri. Z drugimi besedami, če želite izvedeti dolžino mediane, morate kvadrirati dolžine vsake stranice trikotnika in jo nato zapisati kot ulomek, katerega števec bo vsota kvadratov stranic, ki tvorijo kot, iz katerega izhaja mediana, minus kvadrat tretje stranice. Imenovalec tukaj je število 4. Nato moramo iz tega ulomka potegniti kvadratni koren in potem bomo dobili dolžino mediane.

Presek sredin trikotnika

Kot smo zapisali zgoraj, se vse mediane enega trikotnika sekajo v eni točki. Ta točka se imenuje središče trikotnika. Vsako mediano deli na dva dela, katerih dolžina je sorazmerna z razmerjem 2:1. V tem primeru je središče trikotnika tudi središče kroga, ki je okoli njega opisan. In drugi geometrijske oblike imajo svoje centre.

Koordinate presečišča median trikotnika

Za iskanje koordinat presečišča median enega trikotnika uporabimo lastnost centroida, po kateri vsako mediano razdeli na segmente 2:1. Točke označimo kot A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

in izračunajte koordinate središča trikotnika po formuli: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Območje trikotnika skozi mediano

Vse mediane enega trikotnika delijo ta trikotnik s 6 enaki trikotniki, središče trikotnika pa deli vsako mediano v razmerju 2:1. Torej, če so znani parametri vsake mediane, lahko izračunate površino trikotnika skozi površino enega od majhnih trikotnikov in nato povečate ta indikator za 6-krat.

1. Kaj je mediana?

Zelo preprosto je!

Vzemite trikotnik:

Označite sredino na eni od njegovih strani.

In povežite se z nasprotnim vrhom!

Nastala vrstica in obstaja mediana.

2. Lastnosti mediane.

Kaj dobre lastnosti ima mediana?

1) Predstavljajmo si, da je trikotnik pravokotne. Take stvari obstajajo, kajne?

Zakaj??? Kaj ima s tem pravi kot?

Pazljivo opazujmo. Samo ne trikotnik, ampak ... pravokotnik. Zakaj, se sprašujete?

Ampak ti hodiš po Zemlji - ali vidiš, da je okrogla? Ne, seveda, za to morate Zemljo pogledati iz vesolja. Tako bomo naš pravokotni trikotnik pogledali "iz vesolja".

Narišimo diagonalo:

Se spomnite, da so diagonale pravokotnika enaka in delež presečišče na pol? (Če se ne spomnite, poglejte temo)

To pomeni, da je polovica druge diagonale naša mediana. Diagonali sta enaki, njuni polovici seveda tudi. To bomo dobili

Te izjave ne bomo dokazovali, a če želite verjeti vanjo, pomislite sami: ali obstaja še kakšen drug paralelogram z enakimi diagonalami razen pravokotnika? seveda ne! No, to pomeni, da je mediana lahko enaka polovici stranice samo v pravokotnem trikotniku.

Poglejmo, kako ta lastnost pomaga pri reševanju težav.

tukaj, naloga:
Na straneh; . Narisano z vrha mediana. Poiščite, če.

Hura! Lahko uporabite Pitagorov izrek! Vidite, kako super je? Če tega ne bi vedeli mediana enaka polovici stranice

Uporabimo Pitagorov izrek:

2) In zdaj ne imejmo enega, ampak celega tri mediane! Kako se obnašajo?

Zelo si zapomni pomembno dejstvo:

Težko? Poglej sliko:

Mediani in se sekata v eni točki.

In….(to dokazujemo, vendar za zdaj zapomni si!):

- dvakrat več kot;
- dvakrat več kot;
- dvakrat več kot.

Ste že utrujeni? Boste dovolj močni za naslednji primer? Zdaj bomo uporabili vse, o čemer smo govorili!

Naloga: V trikotniku sta narisani mediani in , ki se sekata v točki. Poiščite, če

Ugotovimo s pomočjo Pitagorovega izreka:

Zdaj pa uporabimo znanje o presečišču median.

Opredelimo ga. Segment, a. Če ni vse jasno, si oglejte sliko.

To smo že ugotovili.

Pomeni, ; .

V nalogi smo vprašani o segmentu.

V našem zapisu.

Odgovori: .

Vam je bilo všeč? Sedaj pa poskusite sami uporabiti svoje znanje o mediani!

MEDIANA. SREDNJA NIVO

1. Mediana deli stranico na pol.

To je vse? Ali pa morda kaj drugega deli na pol? Predstavljajte si to!

2. Izrek: Mediana deli ploščino na pol.

Zakaj? Spomnimo se najbolj preprosta oblika območje trikotnika.

In to formulo uporabimo dvakrat!

Poglejte, mediana je razdeljena na dva trikotnika: in. Ampak! Imata enako višino -! Le na tej višini pade na stran, na - na strani nadaljevanja. Presenetljivo se zgodi tudi to: trikotniki so različni, vendar je višina enaka. In zdaj bomo formulo uporabili dvakrat.

Kaj bi to pomenilo? Poglej sliko. Pravzaprav sta v tem izreku dve izjavi. Ste to opazili?

Prva izjava: mediane se sekajo v eni točki.

Druga izjava: Presečišče mediane je razdeljeno v razmerju, šteto od oglišča.

Poskusimo razvozlati skrivnost tega izreka:

Povežimo pike in. Kaj se je zgodilo?

Zdaj pa narišimo še srednjo črto: označi sredino - postavi piko, označi sredino - postavi piko.

Zdaj - srednja črta. To je

vzporedno;

Ste opazili kakšna naključja? Oba in sta vzporedna. In, in.

Kaj iz tega sledi?

vzporedno;

Seveda samo za paralelogram!

To pomeni, da je paralelogram. kaj torej? Spomnimo se lastnosti paralelograma. Na primer, kaj veste o diagonalah paralelograma? Tako je, presečišče delijo na pol.

Ponovno poglejmo risbo.

To pomeni, da je mediana razdeljena s pikami na tri enake dele. In popolnoma enako.

To pomeni, da sta bili obe mediani ločeni s točko v razmerju, to je in.

Kaj se bo zgodilo s tretjo mediano? Pa se vrnimo na začetek. Oh, groza?! Ne, zdaj bo vse veliko krajše. Vrzimo mediano in naredimo mediane in.

Zdaj pa si predstavljajte, da smo izvedli popolnoma enako sklepanje kot za mediane in. Kaj potem?

Izkazalo se je, da bo mediana razdelila mediano na povsem enak način: v razmerju, šteto od točke.

Toda koliko točk je lahko na odseku, ki ga delijo v razmerju, šteto od točke?

Seveda samo enega! In to smo že videli – to je bistvo.

Kaj se je zgodilo na koncu?

Mediana je zagotovo šla skozi! Skozenj so potekale vse tri mediane. In vsi so bili razdeljeni v odnosu, šteto od vrha.

Tako smo rešili (dokazali) izrek. Izkazalo se je, da je rešitev paralelogram, ki sedi znotraj trikotnika.

4. Formula za srednjo dolžino

Kako najti dolžino mediane, če sta znani strani? Ste prepričani, da to potrebujete? Odprimo strašna skrivnost: Ta formula ni preveč uporabna. Ampak vseeno, napisali ga bomo, vendar tega ne bomo dokazali (če vas zanima dokaz, glejte naslednjo stopnjo).

Kako lahko razumemo, zakaj se to zgodi?

Pazljivo opazujmo. Samo ne trikotnik, ampak pravokotnik.

Torej razmislimo o pravokotniku.

Ste opazili, da je naš trikotnik točno polovica tega pravokotnika?

Narišimo diagonalo

Ali se spomnite, da sta diagonali pravokotnika enaki in razpolavljata presečišče? (Če se ne spomnite, poglejte temo)
Toda ena od diagonal je naša hipotenuza! To pomeni, da je točka presečišča diagonal sredina hipotenuze. Reklo se je naše.

To pomeni, da je polovica druge diagonale naša mediana. Diagonali sta enaki, njuni polovici seveda tudi. To bomo dobili

Poleg tega se to zgodi samo v pravokotnem trikotniku!

Tukaj je naloga:

Na straneh; . Mediana je narisana iz oglišča. Poiščite, če.

Hura! Lahko uporabite Pitagorov izrek! Vidite, kako super je? Če ne bi vedeli, da je mediana polovica stranice samo v pravokotnem trikotniku, te težave nikakor ne moremo rešiti. In zdaj lahko!

Uporabimo Pitagorov izrek:

MEDIAN. NA KRATKO O GLAVNEM

1. Mediana deli stranico na pol.

2. Izrek: mediana deli ploščino na pol

4. Formula za srednjo dolžino

Obratni izrek:če je mediana enaka polovici stranice, potem je trikotnik pravokoten in je ta mediana potegnjena na hipotenuzo.

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

za kaj?

Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker je pred njimi veliko več odprtega več možnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Potrebovali boste reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

Odklenite vse skrite naloge v tem članku - 299 rubljev.
Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - 499 rubljev.

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

In za zaključek...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Mediana trikotnika- to je segment, ki povezuje vrh trikotnika s sredino nasprotne strani tega trikotnika.

Lastnosti median trikotnika

1. Mediana deli trikotnik na dva enakoplošinska trikotnika.

2. Srednjici trikotnika se sekata v eni točki, ki ju deli v razmerju 2:1, šteto od oglišča. To točko imenujemo težišče trikotnika (centroid).

3. Celoten trikotnik je z medianami razdeljen na šest enakih trikotnikov.

Dolžina mediane na strani: ( dokaz s sestavljanjem do paralelograma in uporabo enakosti v paralelogramu dvojne vsote kvadratov stranic in vsote kvadratov diagonal )

T1. Tri mediane trikotnika se sekajo v eni točki M, ki vsako od njih deli v razmerju 2:1, šteto od oglišč trikotnika. Podano: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - mediane
∆ABC. Dokaži: in

D-vo: Naj bo M presečišče median CC 1, AA 1 trikotnika ABC. Označimo A 2 - sredino segmenta AM in C 2 - sredino segmenta CM. Potem je A 2 C 2 srednja črta trikotnika AMS. pomeni, A 2 C 2|| AC

in A 2 C 2 = 0,5*AC. Z 1 A 1 - srednja črta trikotnika ABC. Torej A 1 Z 1 || AC in A 1 Z 1 = 0,5*AC.

Štirikotnik A 2 C 1 A 1 C 2- paralelogram, saj sta njegovi nasprotni stranici A 1 Z 1 in A 2 C 2 enaka in vzporedna. torej A 2 M = MA 1 in C 2 M = MC 1 . To pomeni, da točke A 2 in M razdeli mediano AA 2 na tri enake dele, tj. AM = 2MA 2. Enako kot CM = 2MC 1 . Torej, točka M presečišča dveh median AA 2 in CC 2 trikotnik ABC deli vsakega od njih v razmerju 2:1, šteto od oglišč trikotnika. Na povsem podoben način se dokaže, da presečišče median AA 1 in BB 1 deli vsako od njiju v razmerju 2:1, šteto od oglišč trikotnika.

Na mediani AA 1 je taka točka točka M, torej točka M in tam je presečišče median AA 1 in BB 1.

torej n

T2. Dokaži, da odseki, ki povezujejo težišče z oglišči trikotnika, le-tega delijo na tri enake dele. Podano: ∆ABC, - njegova mediana.

Dokaži: S AMB =S BMC =S AMC.Dokaz. IN, skupno jim je. ker njihovi osnovi sta enaki in višino, narisano iz vrha M, skupno jim je. Potem

Na podoben način se dokazuje, da S AMB = S AMC. torej S AMB = S AMC = S CMB.n

Simetrala trikotnika. Formule za iskanje simetral

Simetrala kota- žarek z začetkom na vrhu kota, ki deli kot na dva enaka kota.

Simetrala kota je geometrijsko mesto točk znotraj kota, ki so enako oddaljene od stranic kota.

Lastnosti

1. Izrek o simetrali: simetrala notranjega kota trikotnika deli nasprotno stranico v razmerju, enako razmerju dve sosednji strani

2. Simetrale notranjih kotov trikotnika se sekajo v eni točki - vpisnici - središču kroga, včrtanega v ta trikotnik.

3. Če sta dve simetrali v trikotniku enaki, potem je trikotnik enakokrak (Steiner-Lemusov izrek).

Izračun dolžine simetrale

l c - dolžina simetrale na stran c,

a,b,c - stranice trikotnika nasproti oglišč A, B, C oziroma,

p je polobseg trikotnika,

a l , b l - dolžine odsekov, na katere simetrala l c deli stranico c,

α,β,γ - notranji koti trikotnik pri oglišča A,B,C oziroma,

h c je višina trikotnika, spuščena na stranico c.

Območna metoda.

Značilnosti metode. Iz imena izhaja, da je glavni predmet ta metoda je območje. Pri številnih figurah, na primer pri trikotniku, je površina precej preprosto izražena z različnimi kombinacijami elementov figure (trikotnika). Zato se tehnika pri primerjavi izkaže za zelo učinkovito različne izraze za območje dane figure. V tem primeru nastane enačba, ki vsebuje znane in želene elemente figure, z reševanjem katere določimo neznanko. Tu se kaže glavna značilnost metode območja – iz geometrijski problem»dela« algebraiko in vse reducira na reševanje enačbe (in včasih sistema enačb).

1) Metoda primerjave: povezana z velikim številom formul S istih številk

2) Metoda relacije S: temelji na sledenju podporne naloge:

Cevin izrek

Naj točke A", B", C" ležijo na premicah BC, CA, AB trikotnika. Premice AA", BB", CC" se sekajo v eni točki, če in samo če

Dokaz.

Označimo s točko presečišča segmentov in . Spustimo navpičnici iz točk C in A na premico BB 1, dokler se z njo ne sekata v točkah K oziroma L (glej sliko).

Ker imajo trikotniki skupna stran, potem so njihova območja povezana z višinami, narisanimi na to stran, tj. AL in CK:

Zadnja enakost je resnična, saj sta si pravokotna trikotnik in podobna v ostrem kotu.

Podobno dobimo in

Pomnožimo te tri enakosti:

Q.E.D.

Komentiraj. Odsek (ali nadaljevanje odseka), ki povezuje oglišče trikotnika s točko, ki leži na nasprotni strani ali njegovem nadaljevanju, se imenuje ceviana.

izrek ( obratni izrek Chevy). Naj točke A", B", C" ležijo na stranicah BC, CA in AB trikotnika ABC. Naj velja razmerje

Nato se segmenti AA", BB", CC" sekajo v eni točki.

Menelajev izrek

Menelajev izrek. Naj se premica seka trikotnik ABC, in C 1 je točka njenega presečišča s stranico AB, A 1 je točka njenega presečišča s stranico BC in B 1 je točka njenega presečišča z nadaljevanjem stranice AC. Potem

Dokaz . Skozi točko C narišimo premico, vzporedno z AB. Označimo s K njegovo presečišče s premico B 1 C 1 .

Trikotnika AC 1 B 1 in CKB 1 sta si podobna (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). torej

Tudi trikotnika BC 1 A 1 in CKA 1 sta podobna (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). pomeni,

Iz vsake enakosti izrazimo CK:

kje Q.E.D.

Izrek (inverzni Menelajev izrek). Naj bo dan trikotnik ABC. Naj leži točka C 1 na stranici AB, točka A 1 na stranici BC, točka B 1 pa na nadaljevanju stranice AC in naj velja razmerje:

Potem točke A 1, B 1 in C 1 ležijo na isti premici.

Mediana je segment, ki je narisan od vrha trikotnika do sredine nasprotne strani, to pomeni, da ga deli na pol na presečišču. Točka, v kateri mediana seka stranico, ki je nasprotna oglišču, iz katerega izhaja, se imenuje osnova. Vsaka mediana trikotnika poteka skozi eno točko, imenovano presečišče. Formulo za njegovo dolžino lahko izrazimo na več načinov.

Formule za izražanje dolžine mediane

Učenci se morajo pogosto pri geometrijskih problemih ukvarjati z segmentom, kot je mediana trikotnika. Formula za njegovo dolžino je izražena s stranicami:

kjer so a, b in c stranice. Poleg tega je c stran, na katero pada mediana. Takole izgleda preprosta formula. Za pomožne izračune so včasih potrebne mediane trikotnika. Obstajajo še druge formule.

Če sta med izračunom znani dve strani trikotnika in določen kot α med njima, bo dolžina mediane trikotnika, spuščena na tretjo stran, izražena na naslednji način.

Osnovne lastnosti

Vse mediane imajo enega skupna točka presečišča O in njega so razdeljena v razmerju dva proti ena, če štejemo od oglišča. To točko imenujemo težišče trikotnika.
Mediana deli trikotnik na dva druga, katerih ploščini sta enaki. Takšni trikotniki se imenujejo enakopovršinski.
Če narišete vse mediane, bo trikotnik razdeljen na 6 enako velike figure, ki bodo prav tako trikotniki.
Če so vse tri stranice trikotnika enake, potem bo vsaka od median tudi višina in simetrala, to je pravokotna na stranico, na katero je narisana, in razpolavlja kot, iz katerega izhaja.
V enakokrakem trikotniku bo mediana, narisana iz oglišča, ki je nasproti stranice, ki ni enaka nobeni drugi, tudi nadmorska višina in simetrala. Mediane, ki so padle iz drugih oglišč, so enake. To je tudi potrebno in zadosten pogoj enakokraki.
Če je trikotnik osnova redna piramida, potem se višina, spuščena na dano osnovo, projicira na točko presečišča vseh median.

V pravokotnem trikotniku je mediana narisana na največja stran, je enaka polovici svoje dolžine.
Naj bo O presečišče središč trikotnika. Spodnja formula bo veljala za katero koli točko M.

Mediana trikotnika ima še eno lastnost. Spodaj je predstavljena formula za kvadrat njegove dolžine skozi kvadrate stranic.

Lastnosti stranic, na katere je narisana mediana

Če kateri koli dve presečni točki median povežemo s stranicami, na katerih sta spuščeni, bo dobljeni segment srednja črta trikotnika in sestavljajo polovico stranice trikotnika, s katero nima skupnih točk.
Osnovice višin in median v trikotniku ter razpolovišča segmentov, ki povezujejo oglišča trikotnika s presečiščem višin, ležijo na istem krogu.

Na koncu je logično reči, da je eden najpomembnejših segmentov mediana trikotnika. Njegovo formulo lahko uporabimo za iskanje dolžin njegovih drugih strani.