Kako najti središčni kot, če poznamo včrtani kot. Včrtani kot
Včrtani kot, teorija problema. prijatelji! V tem članku bomo govorili o nalogah, za katere morate poznati lastnosti včrtanega kota. To je cela skupina nalog, vključene so v enotni državni izpit. Večino jih je mogoče rešiti zelo preprosto, v eni akciji.
Obstajajo težji problemi, ki pa vam ne bodo predstavljali veliko težav; Postopoma bomo analizirali vse prototipe nalog, vabim vas na blog!
zdaj potrebna teorija. Spomnimo se, kaj je središčni in včrtani kot, tetiva, lok, na katerega slonijo ti koti:
Osrednji kot v krogu se imenuje ravni kot zvrh v njegovem središču.
Del kroga, ki se nahaja znotraj ravninskega kotaimenujemo krožni lok.
Stopinjska mera krožnega loka se imenuje stopinjska meraustreznega središčnega kota.
Pravimo, da je kot vpisan v krog, če leži oglišče kotana krogu, stranice kota pa sekajo ta krog.
Odsek, ki povezuje dve točki na krožnici, se imenujeakord. Največja tetiva poteka skozi središče kroga in se imenujepremer.
Za reševanje problemov, ki vključujejo kote, včrtane v krog,morate poznati naslednje lastnosti:
1. Včrtani kot enaka polovici osrednji, ki leži na istem loku.
2. Vsi včrtani koti, ki segajo v isti lok, so enaki.
3. Vsi včrtani koti, ki temeljijo na isti tetivi in katerih oglišča ležijo na isti strani te tetive, so enaki.
4. Vsak par kotov, ki temeljijo na isti tetivi, katerih oglišča ležijo vzdolž različne strani akordi seštejejo do 180°.
Posledica: nasprotni kotiŠtirikotnik, včrtan v krog, znaša 180 stopinj.
5. Vsi včrtani koti, ki jih sega premer, so pravi koti.
Na splošno je ta lastnost posledica lastnosti (1), to je njena poseben primer. Poglej - središčni kot je enak 180 stopinj (in ta razgrnjeni kot ni nič drugega kot premer), kar pomeni, da je po prvi lastnosti včrtani kot C enak njegovi polovici, to je 90 stopinj.
znanje te nepremičnine pomaga pri reševanju številnih težav in vam pogosto omogoča, da se izognete nepotrebnim izračunom. Ko jo boste dobro obvladali, boste več kot polovico tovrstnih nalog rešili ustno. Dva zaključka, ki ju je mogoče potegniti:
Posledica 1: če je trikotnik vpisan v krog in ena od njegovih stranic sovpada s premerom tega kroga, potem je trikotnik pravokoten (vrh pravi kot leži na krogu).
Posledica 2: središče opisanega o pravokotni trikotnik krog sovpada s sredino njegove hipotenuze.
Številni prototipi stereometričnih problemov so prav tako rešeni z uporabo te lastnosti in teh posledic. Zapomnite si samo dejstvo: če je premer kroga stranica včrtanega trikotnika, potem je ta trikotnik pravokoten (kot nasproti premera je 90 stopinj). Vse druge zaključke in posledice lahko potegnete sami; ni vam jih treba učiti.
Praviloma je polovica nalog o včrtanem kotu podana s skico, vendar brez simbolov. Za razumevanje postopka sklepanja pri reševanju problemov (spodaj v članku) so uvedeni zapisi za oglišča (kote). Tega vam ni treba opraviti na enotnem državnem izpitu.Razmislimo o nalogah:
Kolikšen je ostri včrtani kot, ki ga sega tetiva? enaka polmeru krogi? Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Konstruirajmo središčni kot za dani včrtani kot in označimo oglišča:
Glede na lastnost kota, vpisanega v krog:
Kot AOB je enak 60 0, ker je trikotnik AOB enakostranični in v enakostranični trikotnik vsi koti so enaki 60 0. Stranici trikotnika sta enaki, saj pogoj pravi, da je tetiva enaka polmeru.
Tako je včrtani kot ACB enak 30 0.
Odgovor: 30
Poiščite tetivo, ki jo podpira kot 30 0, včrtan v krog s polmerom 3.
To je v bistvu inverzni problem(prejšnji). Konstruirajmo središčni kot.
Je dvakrat večji od včrtanega, to pomeni, da je kot AOB enak 60 0. Iz tega lahko sklepamo, da je trikotnik AOB enakostranični. Tako je tetiva enaka polmeru, to je tri.
Odgovor: 3
Polmer krožnice je 1. Poiščite velikost topega včrtanega kota, ki ga sestavlja tetiva, enak korenu od dveh. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Konstruirajmo središčni kot:
Če poznamo polmer in tetivo, lahko najdemo središčni kot ASV. To lahko storimo z uporabo kosinusnega izreka. Če poznamo središčni kot, zlahka najdemo včrtan kot ACB.
Kosinusni izrek: kvadrat poljubne stranice trikotnika enaka vsoti kvadratov drugih dveh stranic, ne da bi podvojili zmnožek teh stranic s kosinusom kota med njima.
Zato je drugi središčni kot 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Kot ACB je po lastnosti včrtanega kota enak njegovi polovici, to je 135 stopinj.
Odgovor: 135
Poiščite tetivo, ki je pod kotom 120 stopinj, včrtana v krog s polmernim korenom iz tri.
Povežimo točki A in B s središčem kroga. Označimo ga z O:
Poznamo polmer in včrtani kot ASV. Najdemo lahko središčni kot AOB (večji od 180 stopinj), nato pa najdemo kot AOB v trikotniku AOB. In nato z uporabo kosinusnega izreka izračunajte AB.
Glede na lastnost včrtanega kota bo središčni kot AOB (ki je večji od 180 stopinj) enak dvakratniku včrtanega kota, to je 240 stopinj. To pomeni, da je kot AOB v trikotniku AOB enak 360 0 – 240 0 = 120 0.
Po kosinusnem izreku:
Odgovor:3
Poiščite včrtani kot, ki ga sega lok, ki je 20 % kroga. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Po lastnosti včrtanega kota je ta polovico manjši od središčnega kota na istem loku, v tem primeru govorimo o loku AB.
Rečeno je, da lok AB obsega 20 odstotkov obsega. To pomeni, da je tudi središčni kot AOB 20 odstotkov od 360 0.*Krog je kot 360 stopinj. pomeni,
Tako je včrtani kot ACB 36 stopinj.
Odgovor: 36
Krožni lok A.C., ki ne vsebuje točke B, je 200 stopinj. In krožni lok BC, ki ne vsebuje točke A, je 80 stopinj. Poišči pričrtan kot ACB. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Zaradi jasnosti označimo loke, katerih kotne mere so podane. Lok, ki ustreza 200 stopinjam – modra, lok, ki ustreza 80 stopinjam, je rdeč, preostali del kroga je rumena.
Tako je stopinjska mera loka AB (rumena) in torej središčni kot AOB: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Včrtani kot ACB je polovica središčnega kota AOB, to je enak 40 stopinj.
Odgovor: 40
Kolikšen je črtani kot, ki ga razteza premer kroga? Podajte svoj odgovor v stopinjah.
V tem članku vam bom povedal, kako rešiti težave, ki uporabljajo .
Najprej se, kot običajno, spomnimo definicij in izrekov, ki jih morate poznati za uspešno reševanje problemov v .
1.Včrtani kot je kot, katerega vrh leži na krogu in njegove stranice sekajo krog:
2.Osrednji kot je kot, katerega vrh sovpada s središčem kroga:
Stopinjska vrednost krožnega loka merjeno z velikostjo središčnega kota, ki leži na njem.
V tem primeru je stopinjska vrednost loka AC enaka vrednosti kota AOS.
3. Če včrtani in središčni kot ležita na istem loku, potem pričrtani kot je za polovico manjši od središčnega kota:
4. Vsi včrtani koti, ki ležijo na enem loku, so med seboj enaki:
5. Včrtani kot, ki sega v premer, je 90°:
Rešimo več problemov.
1. Naloga B7 (št. 27887)
Poiščimo vrednost središčnega kota, ki leži na istem loku:
Očitno je kot AOS enak 90°, torej kot ABC je enako 45°
Odgovor: 45°
2. Naloga B7 (št. 27888)
Poiščite velikost kota ABC. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Očitno je kot AOC 270°, potem je kot ABC 135°.
Odgovor: 135°
3. Naloga B7 (št. 27890)
Poiščite stopinjsko vrednost loka AC krožnice, ki je pod kotom ABC. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Poiščimo vrednost središčnega kota, ki se naslanja na lok AC:
Velikost kota AOS je 45°, zato je stopinjska mera loka AC 45°.
Odgovor: 45°.
4. Naloga B7 (št. 27885)
Poiščite kot ACB, če včrtana kota ADB in DAE počivata na krožnih lokih, katerih stopinjske vrednosti so enake oz. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Kot ADB leži na loku AB, zato je vrednost središčnega kota AOB enaka 118°, zato je kot BDA enak 59°, sosednji kot ADC pa 180°-59°=121° 
Podobno je kot DOE 38°, ustrezen včrtan kot DAE pa 19°.
Razmislite o trikotniku ADC:
Vsota kotov trikotnika je 180°.
Kot ACB je enak 180°- (121°+19°)=40°
Odgovor: 40°
5. Naloga B7 (št. 27872)
Stranke štirikotnik ABCD AB, BC, CD in AD sestavljajo loke opisanega kroga, katerih stopinjske vrednosti so enake , , oziroma . Poiščite kot B tega štirikotnika. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Kot B leži na loku ADC, katerega vrednost je enaka vsoti vrednosti lokov AD in CD, to je 71°+145°=216°
Včrtani kot B je enak polovici velikosti loka ADC, to je 108°
Odgovor: 108°
6. Naloga B7 (št. 27873)
Točke A, B, C, D, ki se nahajajo na krogu, razdelijo ta krog na štiri loke AB, BC, CD in AD, katerih vrednosti stopinj so v razmerju 4: 2: 3: 6. Poiščite kot A štirikotnika ABCD. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
(glej risbo prejšnje naloge)
Ker smo podali razmerje velikosti lokov, uvedemo enotski element x. Nato bo velikost vsakega loka izražena z naslednjim razmerjem:
AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Vsi loki tvorijo krog, kar pomeni, da je njihova vsota 360°.
4x+2x+3x+6x=360°, torej x=24°.
Kot A nosita loka BC in CD, ki imata skupaj vrednost 5x=120°.
Zato je kot A 60°
Odgovor: 60°
7. Naloga B7 (št. 27874)
Štirikotnik ABCD vpisan v krog. Kotiček ABC enako , kot CAD
To je kot, ki ga tvorita dva akordi, ki izvira iz ene točke na krogu. Včrtani kot se imenuje počiva na loku, zaprtem med njegovimi stranicami.
Včrtani kot enaka polovici loka, na katerem sloni.
Z drugimi besedami, vpisan kot vključuje toliko kotnih stopinj, minut in sekund ločnih stopinj, minute in sekunde so v polovici loka, na katerem leži. Da bi to utemeljili, analizirajmo tri primere:
Prvi primer:
Središče O se nahaja ob strani vpisan kot ABC. Če narišemo polmer AO, dobimo ΔABO, v njem pa OA = OB (kot polmeri) in v skladu s tem ∠ABO = ∠BAO. V zvezi s tem trikotnik, kot AOC - zunanji. In to pomeni, da je enak vsoti kotov ABO in BAO ali enak dvojnemu kotu ABO. Torej je ∠ABO enako polovici središčni kot AOC. Toda ta kot se meri z lokom AC. To pomeni, da se včrtani kot ABC meri s polovico loka AC.
Drugi primer:
Središče O se nahaja med stranicama vpisan kot Ko narišemo premer BD, razdelimo kot ABC na dva kota, od katerih je v prvem primeru eden merjen na polovico. loki AD, druga polovica loka pa CD. In v skladu s tem se izmeri kot ABC (AD+DC) /2, tj. 1/2 AC.
Tretji primer:
Center O se nahaja zunaj vpisan kot ABC. Če narišemo premer BD, bomo imeli:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Toda kota ABD in CBD sta izmerjena na podlagi predhodno poravnane polovice lok AD in CD. In ker se ∠ABC meri z (AD-CD)/2, to je polovica loka AC.
Posledica 1. Vsi, ki temeljijo na istem loku, so enaki, to je enaki drug drugemu. Ker se vsak od njih meri s polovico enakega loki .
Posledica 2. Včrtani kot, glede na premer - pravi kot. Ker se vsak tak kot meri s polovico polkroga in zato vsebuje 90°.
Kot ABC je včrtan kot. Leži na loku AC, zaprtem med njegovimi stranicami (slika 330).
Izrek. Včrtani kot se meri s polovico loka, na katero sega.
To je treba razumeti takole: včrtani kot vsebuje toliko kotnih stopinj, minut in sekund, kolikor ločnih stopinj, minut in sekund vsebuje polovica loka, na kateri sloni.
Pri dokazovanju tega izreka je treba upoštevati tri primere.
Prvi primer. Središče kroga leži na strani včrtanega kota (slika 331).
Naj bo ∠ABC včrtan kot in središče krožnice O leži na strani BC. Potrebno je dokazati, da se meri s pol loka AC.
Povežite točko A s središčem kroga. Dobimo enakokraki \(\Delta\)AOB, v katerem je AO = OB, kot polmere istega kroga. Zato je ∠A = ∠B.
∠AOC je zunaj trikotnika AOB, zato je ∠AOC = ∠A + ∠B, in ker sta kota A in B enaka, je ∠B 1/2 ∠AOC.
Toda ∠AOC se meri z lokom AC, zato se ∠B meri s polovico loka AC.
Na primer, če \(\breve(AC)\) vsebuje 60°18', potem ∠B vsebuje 30°9'.
Drugi primer. Središče kroga leži med stranicama včrtanega kota (slika 332).
Naj bo ∠ABD včrtan kot. Središče kroga O leži med njegovima stranicama. Dokazati moramo, da se ∠ABD meri s polovico loka AD.
Da bi to dokazali, narišimo premer BC. Kot ABD je razdeljen na dva kota: ∠1 in ∠2.
∠1 se meri s polovico loka AC, ∠2 pa s polovico loka CD, zato se celoten ∠ABD meri z 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), tj. pol loka AD.
Na primer, če \(\breve(AD)\) vsebuje 124°, potem ∠B vsebuje 62°.
Tretji primer. Središče kroga leži zunaj včrtanega kota (slika 333).
Naj bo ∠MAD včrtan kot. Središče kroga O je zunaj vogala. Dokazati moramo, da se ∠MAD meri s polovico loka MD.
Da bi to dokazali, narišimo premer AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Toda ∠MAB meri 1/2 \(\breve(MB)\), ∠DAB pa meri 1/2 \(\breve(DB)\).
Zato ∠MAD meri 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\, tj. 1/2 \(\breve(MD)\).
Na primer, če \(\breve(MD)\) vsebuje 48° 38", potem ∠MAD vsebuje 24° 19' 8".
Posledice
1.
Vsi včrtani koti, ki segajo v isti lok, so med seboj enaki, saj se merijo s polovico istega loka.
(Slika 334, a).
2. Včrtan kot, ki ga sega premer, je pravi kot, ker sega na polovico kroga. Pol kroga vsebuje 180 ločnih stopinj, kar pomeni, da kot, ki temelji na premeru, vsebuje 90 ločnih stopinj (slika 334, b).
Navodila
Če sta znana polmer (R) kroga in dolžina loka (L), ki ustrezata želenemu središčnemu kotu (θ), ga lahko izračunamo tako v stopinjah kot v radianih. Skupna vrednost je določena s formulo 2*π*R in ustreza središčnemu kotu 360° ali dvema številoma Pi, če namesto stopinj uporabimo radiane. Zato izhajaj iz razmerja 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Iz njega izrazite središčni kot v radianih θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R ali stopinjah θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) in izračunajte z dobljeno formulo.
Na podlagi dolžine tetive (m), ki povezuje točke, ki določajo središčni kot (θ), lahko izračunamo tudi njeno vrednost, če poznamo polmer (R) krožnice. Če želite to narediti, razmislite o trikotniku, ki ga tvorita dva polmera in . to enakokraki trikotnik, vsi so znani, vendar morate najti kot nasproti osnove. Sinus njegove polovice enako razmerju dolžina osnove - tetive - na dvakratno dolžino stranice - polmer. Zato za izračune uporabite inverzno sinusno funkcijo - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Osrednji kot je lahko določen v delcih vrtljajev ali iz zasukanega kota. Na primer, če morate najti središčni kot, ki ustreza četrtini polni obrat, delite 360° s štiri: θ = 360°/4 = 90°. Ista vrednost v radianih bi morala biti 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Raztegnjeni kot je enak polovici polnega obrata, zato bo na primer središčni kot, ki ustreza njegovi četrtini, polovica vrednosti, izračunanih zgoraj v stopinjah in radianih.
Inverzna sinusna funkcija se imenuje trigonometrična funkcija arcsinus. Lahko sprejme vrednosti znotraj polovice števila Pi, tako pozitivne kot negativne. negativna stranče se meri v radianih. Če jih merimo v stopinjah, bodo te vrednosti v območju od -90 ° do +90 °.
Navodila
Nekaterih "okroglih" vrednosti ni treba izračunati; lažje si jih je zapomniti. Na primer: - če je argument funkcije enako nič, potem je vrednost njegovega arcsinusa enaka nič; od 1/2 je enak 30° ali 1/6 Pi, če je izmerjen - arcsinus od -1/2 je enak -30° ali -1/; 6 od števila Pi v radianih je enako 90° ali 1/2 od Pi;
Za merjenje vrednosti te funkcije iz drugih argumentov je najlažji način, da uporabite standardni kalkulator Windows, če ga imate pri roki. Za začetek odprite glavni meni na gumbu »Start« (ali s pritiskom na tipko WIN), pojdite na razdelek »Vsi programi« in nato na pododdelek »Pripomočki« in kliknite »Kalkulator«.
Vmesnik kalkulatorja preklopite v način delovanja, ki vam omogoča izračun trigonometrične funkcije. Če želite to narediti, odprite razdelek »Pogled« v njegovem meniju in izberite »Inženiring« ali »Znanstveno« (odvisno od vrste operacijski sistem).
Vnesite vrednost argumenta, iz katerega naj se izračuna arktangens. To lahko storite tako, da z miško kliknete gumbe vmesnika kalkulatorja ali pritisnete tipke na ali tako, da kopirate vrednost (CTRL + C) in jo nato prilepite (CTRL + V) v vnosno polje kalkulatorja.
Izberite merske enote, v katerih morate dobiti rezultat izračuna funkcije. Pod poljem za vnos so tri možnosti, med katerimi morate izbrati (s klikom z miško) eno - , radiani ali radi.
Označite potrditveno polje, ki obrne funkcije, navedene na gumbih vmesnika kalkulatorja. Stoji poleg njega kratek napis inv.
Kliknite gumb za greh. Kalkulator bo obrnil z njim povezano funkcijo, izvedel izračun in vam predstavil rezultat v določenih enotah.
Video na temo
Eden od pogostih geometrijske težave je izračun površine krožnega segmenta - dela kroga, ki ga omejuje tetiva, in ustrezne tetive s krožnim lokom.
Površina krožnega segmenta je enaka razliki med površino ustreznega krožnega sektorja in površino trikotnika, ki ga tvorijo polmeri sektorja, ki ustreza segmentu, in tetive, ki omejuje segment.
Primer 1
Dolžina tetive, ki zajema krog, je enaka vrednosti a. Stopinjska mera lok, ki ustreza tetivi, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.
rešitev
Trikotnik, ki ga sestavljata dva polmera in tetiva, je enakokrak, zato bo višina, potegnjena iz oglišča središčnega kota na stranico trikotnika, ki ga tvori tetiva, tudi simetrala središčnega kota, ki ga deli na pol, in mediana, ki deli tetivo na pol. Če vemo, da je sinus kota enak razmerju med nasprotnim krakom in hipotenuzo, lahko izračunamo polmer:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, kjer je h višina, narisana iz oglišča središčnega kota na tetivo. Po Pitagorovem izreku je h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
V skladu s tem je S▲=√3/4*a².
Površina segmenta, izračunana kot Sreg = Sc - S▲, je enaka:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Nadomeščanje številčna vrednost Namesto vrednosti a lahko preprosto izračunate številsko vrednost površine segmenta.
Primer 2
Polmer kroga enaka vrednosti A. Stopinjska mera loka, ki ustreza segmentu, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.
rešitev:
Ustrezno območje sektorja podani kot se lahko izračuna po naslednji formuli:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Površina trikotnika, ki ustreza sektorju, se izračuna na naslednji način:
S▲=1/2*ah, kjer je h višina, narisana iz oglišča središčnega kota na tetivo. Po Pitagorovem izreku je h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
V skladu s tem je S▲=√3/4*a².
In končno, površina segmenta, izračunana kot Sreg = Sc - S▲, je enaka:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Rešitve so v obeh primerih skoraj enake. Tako lahko sklepamo, da je za izračun površine segmenta v najpreprostejšem primeru dovolj poznati vrednost kota, ki ustreza loku segmenta, in enega od dveh parametrov - bodisi polmer kroga ali dolžina tetive, ki zajema lok kroga, ki tvori segment.
Viri:
- Segment - geometrija
