Kako najti nabor vrednosti primerov funkcije. Obseg funkcij v problemih USE

Pučkova N.V.

Kraj dela, položaj:

Srednja šola MBOU št. 67, učiteljica matematike

Khabarovsk regija

Značilnosti virov

Stopnje izobrazbe:

Osnovna splošna izobrazba

Razred(i):

Element(i):

Algebra

Ciljna publika:

učenec (študent)

Ciljna publika:

Učitelj (učitelj)

Vrsta vira:

Didaktično gradivo

Kratek opis vira:

Posplošitev tehnik iskanja nizov vrednosti različnih funkcij.

Posploševanje različnih metod iskanja

nizi vrednosti različnih funkcij.

Pučkova Natalija Viktorovna,

učiteljica matematike MBOU srednja šola št. 6

Sprejem 1.

Iskanje množice vrednosti funkcije iz njenega grafa.

Sprejem 2.

Iskanje nabora vrednosti funkcije z uporabo njenega derivata.

Sprejem 3.

Zaporedno iskanje nabora vrednosti funkcij, vključenih v določeno skupino

položaj funkcij (metoda postopnega iskanja niza funkcijskih vrednosti).

1. vaja.

Poiščite množico vrednosti funkcije y = 4 - sinx.

Če vemo, da funkcija y = sinx sprejme vse vrednosti od -1 do 1, nato uporabimo lastnosti

neenakosti ugotovimo, da je -1 sinx 1

To pomeni, da lahko funkcija y = 4 - sinx sprejme vse vrednosti, ki niso manjše od 3 in ne večje od 5.

Niz vrednosti E(y) = .

Odgovor: .

Sprejem 4.

Izražanje x z y. Iskanje množice vrednosti dane funkcije nadomestimo z iskanjem

z delitvijo domene definicije funkcije inverzno na dano.

Naloga 2.

Izrazi x z y: x 2 y + 3y = x 2 + 2

x 2 (y - 1) = 2 - 3y.

1 primer: če je y - 1 = 0, potem enačba x 2 + 3 = x 2 + 2 nima korenin. Prejeli smo, da je funkcija

akcija y nima vrednosti enake 1.

2. primer:če je y -10, potem. Od takrat. Reševanje te neenakosti

z intervalno metodo dobimo<1.

Sprejem 5.

Poenostavitev formule, ki definira ulomno-racionalno funkcijo.

Naloga 3.

Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

Domeni definicije funkcij in y = x - 4 so različni (razlikujejo se v enem

točka x = 0). Poiščimo vrednost funkcije y = x - 4 v točki x = 0: y(0) = - 4.

E(x - 4) = (). Nabori funkcijskih vrednosti in y = x - 4 bodo

sovpadajo, če je vrednost y = - 4 izključena iz niza vrednosti y = x - 4.

Sprejem 6.

Iskanje množice vrednosti kvadratnih funkcij (z iskanjem ver-

avtobus parabole in ugotavljanje narave obnašanja njenih vej).

Naloga 4.

Poiščite množico vrednosti funkcije y = x 2 - 4x + 3.

Graf te funkcije je parabola. Abscisa njenega oglišča x v = .

Ordinata njenega vrha je y в = y(2) = - 1.

Veje parabole so usmerjene navzgor, saj je vodilni koeficient večji od nič (a=1>0).

Ker je funkcija zvezna, lahko sprejme vse vrednosti y. Kup

vrednosti te funkcije: E(y) = [ - 1; ).

Odgovor: [ - 1; ).

Sprejem 7.

Uvedba pomožnega kota za iskanje množice vrednosti nekega trigo-

nometrične funkcije.

Ta tehnika se uporablja za iskanje nabora vrednosti nekaterih trigono-

metrične funkcije. Na primer oblika y = a sinx + b cosx ali y = a sin(px) + b cos(px),

če sta a0 in b0.

Naloga 5.

Poiščite množico vrednosti funkcije y = 15sin 2x + 20cos 2x.

Poiščimo vrednost. Preoblikujemo izraz:

15sin 2x + 20cos 2x =25,

Niz vrednosti funkcije y = sin(2x +) : -11.

Potem je niz vrednosti funkcije y = 25sin(2x +): E(y) = [ - 25;25].

Odgovor: [ - 25;25].

Naloga 6.

Poiščite množico funkcijskih vrednosti: a) ; b) y = sin5x - cos5x;

V) ; d) y = 4x 2 + 8x + 10; d) ; e).

Rešitev a).

a) izrazite x skozi y:

6x + 7 = 3y - 10xy

x(6 + 10y) = 3y - 7.

Če je 6 + 10y = 0, potem je y = - 0,6. Če nadomestimo to vrednost y v zadnjo enačbo, dobimo:

0 x = - 8,8. Ta enačba nima korenin, kar pomeni, da funkcija ne prevzame vrednosti

Če je 6 + 10y 0, potem. Domena te enačbe je R, razen y = - 0,6.

Dobimo: E(y) =.

Rešitev b).

b) poiščite vrednost in transformirajte izraz: .

Ob upoštevanju množice funkcijskih vrednosti dobimo: E(y) =. Funkcija ni

je diskontinuiran, zato bo prevzel vse vrednosti iz tega intervala.

Rešitev c).

c) Upoštevajoč, da glede na lastnosti neenačb dobimo:

Tako je E(y) = .

Rešitev d).

d) lahko uporabite metodo, predlagano v tehniki 6, ali pa izberete popoln kvadrat:

4x 2 + 8x + 10 = (2x + 1) 2 + 9.

Vrednosti y = (2x + 1) 2 pripadajo intervalu, b) [ -45º; 45º ], c) [ - 180º ; 45º].

a) ker je v 1. četrtini funkcija y = cosx zvezna in padajoča, kar pomeni, da je večji argument

ment ustreza manjši vrednosti funkcije, tj. , če je 30º45º , potem funkcija

vzame vse vrednosti iz intervala.

Odgovor: E(y) = .

b) v intervalu [-45º; 45º ] funkcija y = cosx ni monotona. Razmislimo

dva presledka: [ -45º ; 0º ] in [ 0º ; 45º]. Na prvem od teh intervalov funkcija

y = cosx je zvezna in naraščajoča, na drugi pa zvezna in padajoča. To razumemo

niz vrednosti na prvem intervalu, na drugem.

Odgovor: E(y) = .

c) podobno sklepanje je mogoče uporabiti v tem primeru. Vendar bomo to storili

bolj racionalno: projicirajmo MPN lok na x-os.

Zaradi kontinuitete funkcije dobimo, da je množica vrednosti funkcije y = cosx

pri x [ - 180º ; 45º ] obstaja vrzel [ - 1;1 ].

Odgovor: [ - 1;1 ].

Naloge za neodvisna odločitev.

Skupina A.

Za vsako od nalog v tej skupini so podane 4 možnosti odgovora. Izberite številko pravilnega odgovora.

1. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

1)[-2;2] 2)[-1;1] 3)() 4)(-2;2)

2. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

3. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

1) [-2;2] 2) 3) 4) [-1;1]

4. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

1) [-1;1] 2) 3) 4) ()

5. Poiščite nabor vrednosti funkcije y = sinx na segmentu.

1) 2) 3) 4) [-1;1]

6. Poiščite nabor vrednosti funkcije y = sinx na segmentu.

1) 2) 3) 4) [-1;1]

7. Poiščite nabor vrednosti funkcije y = sinx na segmentu.

1) 2) 3) [-1;1] 4)

8. Poiščite nabor vrednosti funkcije y = sinx na segmentu.

1) 2) 3) [-1;1] 4)

9. Niz funkcijskih vrednosti je interval:

1) 3)(- 5;1) 4)(0;1)

12. Določite funkcijo, ki pada čez celotno domeno definicije.

1) 2) 3) 4) y = x - 1.

13. Določite obseg funkcije.

1) 2)(0;1) 3) 4)

Skupina B.

Odgovor v nalogah te skupine je lahko celo število ali število, zapisano v decimalni obliki.

ulomki.

14. Poiščite največjo celoštevilsko vrednost funkcije y = 3x 2 - x + 5 na odseku [ 1; 2].

15. Poiščite največjo celoštevilsko vrednost funkcije y = - 4x 2 + 5x - 8 na odseku [ 2; 3].

16. Poiščite največjo celoštevilsko vrednost funkcije y = - x 2 + 6x - 1 na intervalu [ 0; 4].

17. Določite najmanjše celo število, vključeno v domeno funkcije

18. Določite, koliko celih števil vsebuje domena funkcije.

19. Poiščite dolžino intervala, ki je definirana domena funkcije.

20. Najdi najvišjo vrednost funkcije.

21. Poiščite največjo vrednost funkcije.

22. Poiščite največjo vrednost funkcije.

23. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije.

24. Poiščite največjo vrednost funkcije.

25. Koliko celih števil vsebuje množica vrednosti funkcije y = sin 2 x + sinx?

26. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije.

27. Koliko celih števil vsebuje niz funkcijskih vrednosti?

28. Poiščite največjo vrednost funkcije na intervalu.

29. Poiščite največjo vrednost funkcije na intervalu.

30. Katere vrednosti ne doseže funkcija za nobeno vrednost x?

31. Poiščite največjo celoštevilsko vrednost funkcije.

32. Poiščite najmanjšo celoštevilsko vrednost funkcije.

33. Poiščite največjo vrednost funkcije.

34. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije.

Skupina C.

Odločite se naslednje naloge s popolno obrazložitvijo odločitve.

35. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

36. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

37. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

38. Poiščite množico funkcijskih vrednosti.

39. Pri katerih vrednostih funkcija y = x 2 + (- 2)x + 0,25 ne zavzame negativnih vrednosti?

40. Pri katerih vrednostih bo funkcija y = ·cosx + sinx - ·sinx soda?

41. Pri katerih vrednostih bo funkcija y = ·cosx + sinx - ·sinx liha?

funkcija y=f(x) je takšna odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x, ko vsaki veljavni vrednosti spremenljivke x ustreza ena sama vrednost spremenljivke y.

Domena definicije funkcije D(f) je množica vseh sprejemljive vrednosti spremenljivka x.

Območje delovanja E(f) je množica vseh dopustnih vrednosti spremenljivke y.

Graf funkcije y=f(x) — množica ravninskih točk, katerih koordinate zadoščajo danosti funkcionalna odvisnost, torej točke oblike M (x; f(x)) . Graf funkcije je določena premica na ravnini.

Če je b=0, bo funkcija prevzela obliko y=kx in bo poklicana premo sorazmernost.

D(f) : x \in R;\enpresledek E(f) : y \in R

Urnik linearna funkcija- naravnost.

Naklon k premice y=kx+b se izračuna po naslednji formuli:

k= tan \alpha, kjer je \alpha kot naklona premice v pozitivno smer osi Ox.

1) Funkcija monotono narašča pri k > 0.

Na primer: y=x+1

2) Funkcija monotono pada kot k< 0 .

Na primer: y=-x+1

3) Če je k=0, dobimo z b poljubnimi vrednostmi družino ravnih črt, vzporednih z osjo Ox.

Na primer: y=-1

Obratna sorazmernost

Obratna sorazmernost imenujemo funkcija oblike y=\frac (k)(x), kjer je k realno število, ki ni nič

D(f): x \in \levo \( R/x \neq 0 \desno \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \desno \).

Funkcijski graf y=\frac (k)(x) je hiperbola.

1) Če je k > 0, se bo graf funkcije nahajal v prvi in ​​tretji četrtini koordinatne ravnine.

Na primer: y=\frac(1)(x)

2) Če k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Na primer: y=-\frac(1)(x)

Funkcija moči

Funkcija moči je funkcija oblike y=x^n, kjer je n realno število, ki ni nič

1) Če je n=2, potem je y=x^2. D(f): x \in R; \: E(f) : y \in; glavna perioda funkcije T=2 \pi

Predavanje 19. Funkcija. Domena in množica vrednosti funkcije.

Funkcija je eden najpomembnejših matematičnih konceptov.

Definicija: Če je vsako število iz določene množice x pridruženo ednina y, potem rečemo, da je funkcija y(x) podana na tej množici. V tem primeru se x imenuje neodvisna spremenljivka ali argument, y pa odvisna spremenljivka ali vrednost funkcije ali preprosto funkcija.

Za spremenljivko y pravimo tudi, da je funkcija spremenljivke x.

Če ujemanje označimo s črko, na primer f, je priročno zapisati: y=f (x), to pomeni, da vrednost y dobimo iz argumenta x z ujemanje f. (Berite: y je enako f od x.) Simbol f (x) označuje vrednost funkcije, ki ustreza vrednosti argumenta, ki je enak x.

Primer 1 Naj bo funkcija podana s formulo y=2x 2 –6. Potem lahko zapišemo, da je f(x)=2x 2 –6. Poiščimo vrednosti funkcije za vrednosti x enake, na primer, 1; 2,5;–3; tj. najdemo f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Upoštevajte, da se v zapisu oblike y=f (x) namesto f uporabljajo druge črke: g itd.

Definicija: Domena funkcije so vse vrednosti x, za katere funkcija obstaja.

Če je funkcija podana s formulo in njena definicijska domena ni določena, se šteje, da je definicijska domena funkcije sestavljena iz vseh vrednosti argumenta, za katere je formula smiselna.

Z drugimi besedami, domena definicije funkcije, dano formulo, so vse vrednosti argumenta razen tistih, ki povzročijo dejanja, ki jih ne moremo izvesti. Vklopljeno ta trenutek poznamo le dve takšni akciji. Ne moremo deliti z ničlo in ne moremo izločiti Kvadratni koren iz negativnega števila.

Opredelitev: vse vrednosti, ki jih ima odvisna spremenljivka, tvorijo obseg funkcije.

Področje definicije funkcije, ki opisuje realni proces, je odvisno od specifičnih pogojev njegovega pojavljanja. Na primer, odvisnost dolžine l železne palice od temperature segrevanja t je izražena s formulo, kjer je l 0 začetna dolžina palica in je koeficient linearne ekspanzije. Ta formula je smiselna za vse vrednosti t. Definicijsko področje funkcije l=g(t) pa je interval več deset stopinj, za katerega velja zakon linearne ekspanzije.

Primer.

Določite obseg funkcije y = arcsinx.

rešitev.

Domena definicije arkusina je segment [-1; 1] . Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu.

Izpeljanka je pozitivna za vse x iz intervala (-1; 1) , kar pomeni, da funkcija arksinusa narašča na celotnem področju definicije. Zato ima najmanjšo vrednost, ko x = -1, največji pa pri x = 1.

Dobili smo obseg funkcije arkusina .

Poiščite množico funkcijskih vrednosti na segmentu .

rešitev.

Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.

Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu :

Koncept funkcije in vse, kar je povezano z njo, je tradicionalno zapleten in ne povsem razumljen. Poseben kamen spotike pri preučevanju funkcije in pripravi na enotni državni izpit je področje definicije in obseg vrednosti (spremembe) funkcije.
Učenci pogosto ne vidijo razlike med domeno funkcije in domeno njenih vrednosti.
In če učenci uspejo obvladati naloge iskanja domene definicije funkcije, jim naloge iskanja množice vrednosti funkcije povzročajo precejšnje težave.
Namen tega članka: seznaniti se z metodami za iskanje funkcijskih vrednosti.
Kot rezultat obravnave te teme je bilo preučeno teoretično gradivo, obravnavane so bile metode za reševanje problemov iskanja nizov funkcijskih vrednosti, didaktično gradivo Za samostojno deloštudenti.
Ta članek lahko učitelj uporabi pri pripravi učencev na maturo in sprejemni izpiti, pri obravnavi teme “Področje vrednosti funkcije” pri izbirnem pouku izbirni predmeti matematika.

I. Določitev obsega vrednosti funkcije.

Domena (množica) vrednosti E(y) funkcije y = f(x) je množica takšnih števil y 0, za vsako od katerih obstaja število x 0, tako da: f(x 0) = y 0.

Spomnimo se razponov vrednosti glavnega elementarne funkcije.

Poglejmo tabelo.

Upoštevajte tudi, da je območje vrednosti katerega koli polinoma sode stopnje interval , kjer je n največja vrednost tega polinoma.

II. Lastnosti funkcij, ki se uporabljajo pri iskanju obsega funkcije

Če želite uspešno najti množico vrednosti funkcije, morate dobro poznati lastnosti osnovnih elementarnih funkcij, zlasti njihovo domeno definicije, območje vrednosti in naravo monotonosti. Predstavimo lastnosti zveznih, monotono diferenciabilnih funkcij, ki se najpogosteje uporabljajo pri iskanju množice funkcijskih vrednosti.

Lastnosti 2 in 3 se praviloma uporabljata skupaj z lastnostjo elementarne funkcije, da je zvezna v svoji definicijski domeni. V tem primeru je najenostavnejša in najbolj jedrnata rešitev problema iskanja množice vrednosti funkcije dosežena na podlagi lastnosti 1, če je mogoče z enostavnimi metodami določiti monotonost funkcije. Rešitev problema je še preprostejša, če je funkcija poleg tega še soda ali liha, periodična itd. Tako je treba pri reševanju problemov iskanja nizov vrednosti funkcije po potrebi preveriti in uporabiti naslednje lastnosti funkcije:

• kontinuiteta;
• monoton;
• diferenciabilnost;
• sodo, liho, periodičnost itd.

Preproste naloge za iskanje množice vrednosti funkcije so večinoma usmerjene:

a) uporabiti najenostavnejše ocene in omejitve: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 itd.);

b) izolirati celoten kvadrat: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

c) za preoblikovanje trigonometrične izraze: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) z uporabo monotonosti funkcije x 1/3 + 2 x-1 poveča za R.

III. Oglejmo si načine za iskanje obsegov funkcij.

a) zaporedno iskanje vrednosti argumentov kompleksne funkcije;
b) metoda ocenjevanja;
c) uporaba lastnosti zveznosti in monotonosti funkcije;
d) uporaba izpeljanke;
e) uporaba največjega in najnižje vrednosti funkcije;
f) grafična metoda;
g) način vnosa parametrov;
h) metoda inverzne funkcije.

Razkrijmo bistvo teh metod s posebnimi primeri.

Primer 1: Poiščite obseg E(y) funkcije y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x).

Rešimo ta primer z zaporednim iskanjem vrednosti argumentov kompleksne funkcije. Z izbiro popolnega kvadrata pod logaritmom transformiramo funkcijo

y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)

In zaporedno bomo našli nize vrednosti njegovih kompleksnih argumentov:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Označimo t= 5 – (3 x +1) 2, kjer je -∞≤ t≤4. Tako se problem zmanjša na iskanje nabora vrednosti funkcije y = log 0,5 t na žarku (-∞;4) . Ker je funkcija y = log 0,5 t definirana samo za, njen niz vrednosti na žarku (-∞;4) sovpada z nizom funkcijskih vrednosti na intervalu (0;4), ki je presečišče žarka (-∞;4) z definicijsko domeno (0;+∞) logaritemska funkcija. Na intervalu (0;4) je ta funkcija zvezna in padajoča. pri t> 0 teži k +∞, in ko t = 4 ima vrednost -2, torej E(y) =(-2, +∞).

Primer 2: Poiščite obseg funkcije

y = cos7x + 5cosx

Rešimo ta primer z estimacijsko metodo, katere bistvo je oceniti zvezno funkcijo od spodaj in od zgoraj ter dokazati, da funkcija doseže spodnjo in zgornjo mejo ocene. V tem primeru je sovpadanje nabora funkcijskih vrednosti z intervalom od spodnje meje ocene do zgornje določeno s kontinuiteto funkcije in odsotnostjo drugih vrednosti zanjo.

Iz neenačb -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 dobimo oceno -6≤y?6. Pri x = p in x = 0 ima funkcija vrednosti -6 in 6, tj. doseže spodnjo in zgornjo mejo ocene. Kot linearna kombinacija zveznih funkcij cos7x in cosx je funkcija y zvezna na celotni številski premici, torej po lastnosti neprekinjena funkcija sprejema vse vrednosti od -6 do vključno 6 in samo njih, saj so zaradi neenakosti -6≤y?6 druge vrednosti zanj nemogoče. torej E(y)= [-6;6].

Primer 3: Poiščite obseg E(f) funkcije f(x)= cos2x + 2cosx.

S formulo kosinusa dvojnega kota transformiramo funkcijo f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 in označimo t=cosx. Potem f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Ker E(cosx) =

[-1;1], nato obseg vrednosti funkcije f(x) sovpada z nizom vrednosti funkcije g (t)= 2t 2 + 2t – 1 na odseku [-1;1], ki ga poiščemo grafično. Ko narišemo funkcijo y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 na intervalu [-1;1], najdemo E(f) = [-1,5; 3].

Opomba: številne težave s parametrom so zmanjšane na iskanje nabora vrednosti funkcije, ki so v glavnem povezane z rešljivostjo in številom rešitev enačb in neenačb. Na primer enačba f(x)= a je rešljiv, če in samo če

a E(f) Podobno enačba f(x)= a ima vsaj en koren, ki se nahaja na nekem intervalu X, ali nima enega korena na tem intervalu, če in samo če a pripada ali ne pripada množici vrednosti funkcije f(x) na intervalu X. Študiral tudi z nizom funkcijskih vrednosti in neenakosti f(x)≠ A, f(x)> a itd. Še posebej, f(x)≠ in za vse dopustne vrednosti x, če je E(f)

Primer 4. Pri katerih vrednostih parametra a ima enačba (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) en sam koren na intervalu [-4;-1].

Zapišimo enačbo v obliki (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Zadnja enačba ima vsaj en koren na intervalu [-4;-1], če in samo če a pripada množici vrednosti funkcije f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) na segmentu [-4;-1]. Poiščimo to množico z uporabo lastnosti zveznosti in monotonosti funkcije.

Na intervalu [-4;-1] je funkcija y = xІ + 4 zvezna, padajoča in pozitivna, zato je funkcija g(x) = 1/(x 2 + 4) je zvezen in narašča na tem segmentu, saj ga delimo s pozitivno funkcijo narava monotonosti funkcije se spremeni v nasprotno. funkcija h(x) =(x + 5) 1/2 je zvezna in naraščajoča v svoji definicijski domeni D(h) =[-5;+∞) in še posebej na segmentu [-4;-1], kjer je poleg tega pozitiven. Nato funkcija f(x)=g(x) h(x), kot zmnožek dveh zveznih, naraščajočih in pozitivnih funkcij, je tudi zvezna in naraščajoča na segmentu [-4;-1], zato je njegova množica vrednosti na [-4;-1] segment [ f(-4); f(-1)] = . Posledično ima enačba rešitev na intervalu [-4;-1] in edino (po lastnosti zvezne monotona funkcija), pri 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Komentiraj. Rešljivost enačbe f(x) = a na določenem intervalu X je enakovredna pripadnosti vrednosti parametra A niz funkcijskih vrednosti f(x) na X. Posledično niz vrednosti funkcije f(x) na intervalu X sovpada z množico vrednosti parametrov A, za katero velja enačba f(x) = a ima vsaj en koren na intervalu X. Zlasti območje vrednosti E(f) funkcije f(x) se ujema z nizom vrednosti parametrov A, za katero velja enačba f(x) = a ima vsaj en koren.

Primer 5: Poiščite obseg E(f) funkcije

Rešimo primer z uvedbo parametra, po katerem E(f) se ujema z nizom vrednosti parametrov A, za katero velja enačba

ima vsaj en koren.

Ko je a = 2, je enačba linearna - 4x - 5 = 0 z neničelnim koeficientom za neznano x, zato ima rešitev. Za a≠2 je enačba kvadratna, zato je rešljiva, če in samo če je njena diskriminanta

Ker točka a = 2 pripada odseku

nato želeni niz vrednosti parametrov A, torej razpon vrednosti E(f) bo celoten segment.

Kot neposreden razvoj metode uvajanja parametra pri iskanju množice funkcijskih vrednosti lahko obravnavamo metodo inverzne funkcije, za iskanje katere je potrebno rešiti enačbo za x f(x)=y, pri čemer je y parameter. Če ima ta enačba edina odločitev x =g(y), nato obseg vrednosti E(f) izvirno funkcijo f(x) sovpada z domeno definicije D(g) inverzna funkcija g(y). Če enačba f(x)=y ima več rešitev x =g 1 (y), x =g 2 (y) itd., potem E(f) je enaka uniji domen funkcije g 1 (y), g 2 (y) itd.

Primer 6: Poiščite obseg E(y) funkcije y = 5 2/(1-3x).

Iz enačbe

bomo našli inverzna funkcija x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) in njegova domena definicije D(x):

Ker ima enačba za x edinstveno rešitev, potem

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Če je domena funkcije sestavljena iz več intervalov ali je funkcija definirana na različnih intervalih različne formule, nato pa, da bi našli obseg vrednosti funkcije, morate najti nize vrednosti funkcije na vsakem intervalu in vzeti njihovo unijo.

Primer 7: Iskanje obsegov f(x) in f(f(x)), Kje

f(x) na žarku (-∞;1], kjer sovpada z izrazom 4 x + 9 4 -x + 3. Označimo t = 4 x. Potem f(x) = t + 9/t + 3, kjer je 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na žarku (-∞;1] sovpada z nizom vrednosti funkcije g(t) = t + 9/t + 3, na intervalu (0;4], ki ga najdemo z izpeljavo g’(t) = 1 – 9/t 2. Na intervalu (0;4] odvod g'(t) je definiran in tam izgine t = 3. Pri 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) pada, v intervalu (3;4) pa narašča in ostaja neprekinjena skozi celoten interval (0;4), torej g (3)= 9 – najmanjša vrednost te funkcije na intervalu (0;4], največja vrednost pa ne obstaja, torej ko t→0 funkcijo na desni g(t)→+∞. Nato z lastnostjo zvezne funkcije niz vrednosti funkcije g(t) na intervalu (0;4] in torej niz vrednosti f(x) na (-∞;-1], bo žarek .

Sedaj združujemo intervale - nize funkcijskih vrednosti f(f(x)), označujejo t = f(x). Potem f(f(x)) = f(t), kjer Za navedeno t funkcijo f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 in spet zavzame vse vrednosti od 5 do vključno 9, tj. obseg E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Podobno, označevanje z = f(f(x)), lahko najdete obseg vrednosti E(f 3) funkcije f(f(f(x))) = f(z), kjer je 5 ≤ z ≤ 9 itd. Poskrbi da E(f 3) = .

Najbolj univerzalna metoda iskanja nabora vrednosti funkcije je uporaba največje in najmanjše vrednosti funkcije v danem intervalu.

Primer 8. Pri katerih vrednostih parametrov R neenakost 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 x velja za vse -1 ≤ x< 2.

Po določitvi t = 2 x, zapišemo neenakost v obliki р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Ker t = 2 x– funkcija stalnega naraščanja vklopljena R, potem za -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R drugačne od funkcijskih vrednosti f(t) = t 3 – 2t 2 + t pri 0,5 ≤ t< 4.

Najprej poiščimo niz vrednosti funkcije f(t) na segmentu, kjer ima povsod izpeljanko f’(t) =3t 2 – 4t + 1. torej f(t) je diferencibilen in zato zvezen na intervalu. Iz enačbe f’(t) = 0 poiščite kritične točke funkcije t = 1/3, t = 1, od katerih prvi ne pripada segmentu, drugi pa mu pripada. Ker f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, potem je glede na lastnost diferenciabilne funkcije 0 najmanjša, 36 pa največja vrednost funkcije f(t) na segmentu. Potem f(t), kot zvezna funkcija zavzame na intervalu vse vrednosti od 0 do vključno 36, vrednost 36 pa zavzame samo, ko t=4, torej za 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Vzemimo problem, pri katerem moramo določiti obseg vrednosti arksinusa.

Primer 1

Pogoj: poiščite obseg vrednosti y = a r c sin x .

rešitev

V splošnem primeru se domena definicije arkusina nahaja na segmentu [ - 1 ; 1 ] . Na njej moramo določiti največjo in najmanjšo vrednost navedene funkcije.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Vemo, da bo odvod funkcije pozitiven za vse vrednosti x, ki se nahajajo v intervalu [ - 1 ; 1 ], to pomeni, da bo skozi celotno definicijsko področje arkusinusna funkcija naraščala. To pomeni, da bo imel najmanjšo vrednost, ko je x enak - 1, največjo vrednost pa, ko je x enak 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Tako bo obseg vrednosti funkcije arkusina enak E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

odgovor: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

Primer 2

Pogoj: izračunajte obseg vrednosti y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na danem intervalu [ 1 ; 4 ] .

rešitev

Vse, kar moramo narediti, je izračunati največjo in najmanjšo vrednost funkcije v danem intervalu.

Za določitev ekstremnih točk je treba narediti naslednje izračune:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 ; 4 x 2 - 15 x 12 = - 15 2 - 4 · 12 = 15 - 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 .

Zdaj pa poiščimo vrednosti dane funkcije na koncih segmenta in točk x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

To pomeni, da bo niz funkcijskih vrednosti določen s segmentom 117 - 165 33 512; 32.

odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Preidimo na iskanje množice vrednosti zvezne funkcije y = f (x) v intervalih (a; b) in a; + ∞ , - ∞ ; b, - ∞; + ∞ .

Začnimo z določitvijo največje in najmanjše točke ter intervalov naraščanja in padanja na danem intervalu. Po tem bomo morali izračunati enostranske meje na koncih intervala in/ali meje v neskončnosti. Z drugimi besedami, določiti moramo obnašanje funkcije pod danimi pogoji. Za to imamo vse potrebne podatke.

Primer 3

Pogoj: izračunaj obseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .

rešitev

Določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Dobili smo največjo vrednost, ki je enaka 0, saj se na tej točki predznak funkcije spremeni in graf začne padati. Glej sliko:

To pomeni, da bo y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 največja vrednost funkcije.

Zdaj pa določimo obnašanje funkcije za x, ki se nagiba k - 2 s desna stran in k + 2 na levi strani. Z drugimi besedami, najdemo enostranske omejitve:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Izkazalo se je, da se bodo vrednosti funkcije povečale od minus neskončnosti do - 1 4, ko se argument spremeni od - 2 do 0. In ko se argument spremeni iz 0 v 2, se vrednosti funkcije zmanjšajo proti minus neskončnosti. Posledično bo množica vrednosti dane funkcije na intervalu, ki ga potrebujemo, (- ∞ ; - 1 4 ] .

odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Primer 4

Pogoj: označite niz vrednosti y = t g x na danem intervalu - π 2; π 2.

rešitev

Vemo, da je v splošnem primeru odvod tangente - π 2; π 2 bo pozitiven, kar pomeni, da bo funkcija naraščala. Zdaj pa ugotovimo, kako se funkcija obnaša znotraj danih meja:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Dobili smo povečanje vrednosti funkcije od minus neskončnosti do plus neskončnosti, ko se argument spremeni iz - π 2 v π 2, in lahko rečemo, da bo množica rešitev te funkcije množica vseh realnih števil .

odgovor: - ∞ ; + ∞ .

Primer 5

Pogoj: določi obseg funkcije naravnega logaritma y = ln x.

rešitev

To vemo to funkcijo je definiran za pozitivne vrednosti argumenta D (y) = 0 ; + ∞ . Odvod na danem intervalu bo pozitiven: y " = ln x " = 1 x . To pomeni, da se na njem poveča funkcija. Nato moramo definirati enostransko mejo za primer, ko argument teži k 0 (na desni strani) in ko gre x v neskončnost:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Ugotovili smo, da se bodo vrednosti funkcije povečale od minus neskončnosti do plus neskončnosti, ko se vrednosti x spreminjajo od nič do plus neskončnosti. To pomeni, da je množica vseh realnih števil obseg vrednosti funkcije naravnega logaritma.

odgovor: množica vseh realnih števil je obseg vrednosti funkcije naravnega logaritma.

Primer 6

Pogoj: določi obseg funkcije y = 9 x 2 + 1 .

rešitev

Ta funkcija je definirana pod pogojem, da je x realno število. Izračunajmo največjo in najmanjšo vrednost funkcije ter intervale njenega povečanja in zmanjšanja:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Posledično smo ugotovili, da se bo ta funkcija zmanjšala, če je x ≥ 0; poveča, če je x ≤ 0; ima največjo točko y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 s spremenljivko, ki je enaka 0.

Poglejmo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Iz zapisa je jasno, da se bodo vrednosti funkcije v tem primeru asimptotično približale 0.

Če povzamemo: ko se argument spremeni od minus neskončnosti do nič, se vrednosti funkcije povečajo od 0 do 9. Ko se vrednosti argumentov spremenijo od 0 do plus neskončnosti, se bodo ustrezne vrednosti funkcije zmanjšale od 9 do 0. To smo prikazali na sliki:

Kaže, da bo obseg vrednosti funkcije interval E (y) = (0 ; 9 ]

odgovor: E (y) = (0 ; 9 ]

Če moramo določiti množico vrednosti funkcije y = f (x) na intervalih [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , potem bomo morali izvesti popolnoma enake študije. Teh primerov za zdaj ne bomo analizirali: nanje bomo naleteli pozneje v težave.

Kaj pa, če je domena definicije določene funkcije unija več intervalov? Nato moramo izračunati nize vrednosti za vsakega od teh intervalov in jih združiti.

Primer 7

Pogoj: določite, kakšen bo obseg vrednosti y = x x - 2.

rešitev

Ker se imenovalec funkcije ne sme obrniti na 0, potem je D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Začnimo z definiranjem nabora funkcijskih vrednosti na prvem segmentu - ∞; 2, ki je odprt žarek. Vemo, da se bo funkcija na njej zmanjšala, to pomeni, da bo odvod te funkcije negativen.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Nato se bodo v primerih, ko se argument spremeni proti minus neskončnosti, vrednosti funkcije asimptotično približale 1. Če se vrednosti x spremenijo od minus neskončnosti do 2, se bodo vrednosti zmanjšale od 1 do minus neskončnosti, tj. funkcija na tem segmentu bo vzela vrednosti iz intervala - ∞; 1. Enotnost izključujemo iz naših premislekov, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak se ji le asimptotično približajo.

Za odprti žarek 2; + ∞ izvajamo popolnoma enaka dejanja. Tudi funkcija na njem se zmanjšuje:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vrednosti funkcije na danem segmentu so določene z nizom 1; + ∞ . To pomeni, da bo obseg vrednosti, ki jih potrebujemo za funkcijo, določeno v pogoju, unija nizov - ∞ ; 1 in 1; + ∞ .

odgovor: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

To je razvidno iz grafa:

Poseben primer so periodične funkcije. Njihov obseg vrednosti sovpada z nizom vrednosti v intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.

Primer 8

Pogoj: določite obseg vrednosti sinusa y = sin x.

rešitev

Sinus je periodična funkcija in njena perioda je 2 pi. Vzemite segment 0; 2 π in poglejte, kakšen bo nabor vrednosti na njem.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Znotraj 0; 2 π bo imela funkcija ekstremni točki π 2 in x = 3 π 2 . Izračunajmo, koliko bodo vrednosti funkcije enake v njih, pa tudi na mejah segmenta, nato pa izberimo največjo in najmanjšo vrednost.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

odgovor: E (sin x) = - 1; 1.

Če morate poznati obsege funkcij, kot so potenčne, eksponentne, logaritemske, trigonometrične, inverzne trigonometrične, potem vam svetujemo, da ponovno preberete članek o osnovnih elementarnih funkcijah. Teorija, ki jo predstavljamo tukaj, nam omogoča, da preverimo tam navedene vrednosti. Priporočljivo je, da se jih naučite, ker so pogosto potrebni pri reševanju problemov. Če poznaš obsege osnovnih funkcij, lahko enostavno najdeš obsege funkcij, ki jih dobiš iz elementarnih z geometrijsko transformacijo.

Primer 9

Pogoj: določite obseg vrednosti y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

rešitev

Vemo, da je segment od 0 do pi območje ark kosinusa. Z drugimi besedami, E (a r c cos x) = 0; π ali 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkcijo a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz ark kosinusa s premikanjem in raztezanjem vzdolž osi O x, vendar nam takšne transformacije ne bodo dale ničesar. To pomeni 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Funkcijo 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz ark kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 z raztezanjem vzdolž ordinatne osi, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Končna transformacija je premik vzdolž osi O y za 4 vrednosti. Kot rezultat dobimo dvojno neenakost:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Ugotovili smo, da bo obseg vrednosti, ki jih potrebujemo, enak E (y) = - 4; 3 π - 4 .

odgovor: E (y) = - 4; 3 π - 4 .

Še en primer bomo zapisali brez pojasnila, saj je popolnoma podoben prejšnjemu.

Primer 10

Pogoj: izračunajte, kakšno bo območje funkcije y = 2 2 x - 1 + 3.

rešitev

Prepišimo funkcijo, podano v pogoju, kot y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3. Za funkcijo moči y = x - 1 2 bo območje vrednosti definirano na intervalu 0; + ∞, tj. x - 1 2 > 0 . V tem primeru:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Torej E(y) = 3; + ∞ .

odgovor: E(y) = 3; + ∞ .

Zdaj pa poglejmo, kako najti obseg vrednosti funkcije, ki ni zvezna. Da bi to naredili, moramo celotno območje razdeliti na intervale in v vsakem od njih poiskati nize vrednosti, nato pa združiti, kar dobimo. Da bi to bolje razumeli, vam svetujemo, da pregledate glavne vrste funkcijskih prekinitvenih točk.

Primer 11

Pogoj: dana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Izračunajte njegovo območje vrednosti.

rešitev

Ta funkcija je definirana za vse vrednosti x. Analizirajmo ga za kontinuiteto z vrednostmi argumenta, enakega - 3 in 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Neodstranljivo diskontinuiteto prve vrste imamo, ko je vrednost argumenta -3. Ko se ji približamo, se vrednosti funkcije nagibajo k - 2 sin 3 2 - 4 , in ko x teži k - 3 na desni strani, se bodo vrednosti nagibale k - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

V točki 3 imamo neodstranljivo diskontinuiteto druge vrste. Ko se funkcija nagiba k njej, se njene vrednosti približajo - 1, ko se nagibajo k isti točki na desni - do minus neskončnosti.

To pomeni, da je celotno področje definicije te funkcije razdeljeno na 3 intervale (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

V prvem izmed njih smo dobili funkcijo y = 2 sin x 2 - 4. Ker je - 1 ≤ sin x ≤ 1, dobimo:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

To pomeni, da je na danem intervalu (- ∞ ; - 3 ] množica funkcijskih vrednosti [- 6 ; 2 ] .

Na pol intervalu (- 3; 3 ] je rezultat konstantna funkcija y = - 1. Posledično se bo celoten niz njenih vrednosti v tem primeru zmanjšal na eno številko - 1.

Pri drugem intervalu 3 ; + ∞ imamo funkcijo y = 1 x - 3 . Zmanjšuje se, ker je y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

To pomeni, da je niz vrednosti izvirne funkcije za x> 3 niz 0; + ∞ . Sedaj pa združimo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

odgovor: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Rešitev je prikazana v grafu:

Primer 12

Pogoj: obstaja funkcija y = x 2 - 3 e x. Določite množico njegovih vrednosti.

rešitev

Definiran je za vse vrednosti argumentov, ki predstavljajo realna števila. Določimo, v katerih intervalih bo ta funkcija naraščala in v katerih padala:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Vemo, da bo odvod postal 0, če je x = - 1 in x = 3. Postavimo ti dve točki na os in ugotovimo, kakšne predznake bo imel odvod na nastalih intervalih.

Funkcija se bo zmanjšala za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) in povečala za [ - 1 ; 3]. Najmanjša točka bo - 1, največja - 3.

Zdaj pa poiščimo ustrezne vrednosti funkcij:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Za izračun druge meje je bilo uporabljeno L'Hopitalovo pravilo. Na grafu prikažimo potek naše rešitve.

Prikazuje, da se bodo vrednosti funkcije zmanjšale od plus neskončnosti do - 2 e, ko se argument spremeni od minus neskončnosti do - 1. Če se spremeni s 3 na plus neskončnost, se bodo vrednosti zmanjšale s 6 e - 3 na 0, vendar 0 ne bo dosežena.

Tako je E(y) = [ - 2 e ; + ∞).

odgovor: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter