Kako lahko najdete območje trikotnika. Izračun površine mnogokotnika iz koordinat njegovih oglišč Določanje površine trikotnika iz koordinat njegovih oglišč
Metoda koordinat, ki sta jo v 17. stoletju predlagala francoska matematika R. Descartes (1596-1650) in P. Fermat (1601-1665), je močan aparat, ki omogoča prevajanje geometrijskih konceptov v algebraični jezik. Ta metoda temelji na konceptu koordinatnega sistema. Razmislili bomo o izračunu površine poligona iz koordinat njegovih oglišč v pravokotnem koordinatnem sistemu.
Območje trikotnika
1. izrek. Če je območje trikotnika
potem je enakost resnična
imenovali ga bomo determinanta ploščine trikotnika.
Dokaz. Naj se oglišča trikotnika nahajajo v prvem koordinatnem kvadrantu. Možna sta dva primera.
Primer 1. Smer (ali, ali) lokacije oglišč trikotnika sovpada s smerjo gibanja konca kazalca ure (slika 1.30).
Ker je figura trapez.
Podobno ugotavljamo, da
Z izvajanjem algebraičnih transformacij
dobimo tole:
V enačbi (1.9) je determinanta ploščine, zato je pred izrazom znak minus, saj.
Pokažimo to. Res, tukaj
(površina pravokotnika z osnovo in višino je večja od vsote površin pravokotnikov z osnovami in višinami; (slika 1.30), od koder
Primer 2. Navedene smeri v primeru 1 so nasprotne smeri gibanja konca urinega kazalca (slika 1.31)
ker je slika trapez, in
Kje. Res, tukaj
Izrek je dokazan, ko se oglišča trikotnika nahajajo v prvem koordinatnem kvadrantu.
Z uporabo koncepta modula lahko enačbi (1.9) in (1.10) zapišemo takole:
Opomba 1. Formulo (1.8) smo izpeljali z upoštevanjem najenostavnejše razporeditve oglišč, prikazane na slikah 1.30 in 1.31; vendar formula (1.8) velja za vsako razporeditev vozlišč.
Razmislite o primeru, prikazanem na sliki 1.32.
Zato z izvajanjem preprostih geometrijskih transformacij:
spet dobimo kaj, kje
Območje n-gon
Poligon je lahko konveksen ali nekonveksen; vrstni red oštevilčevanja oglišč se šteje za negativen, če so oštevilčena oglišča v smeri urinega kazalca. Mnogokotnik, ki nima samopresečišča stranic, se imenuje preprost. Za preprosto je n- res je naslednje
2. izrek. Če je območje praštevila n-gon, kje, potem enakost velja
bomo imenovali determinanto površine praštevila n-gon.
Dokaz. Možna sta dva primera.
Primer 1. n-gon - konveksen. Dokažimo formulo (1.11) z uporabo metode matematične indukcije.
Kajti to je bilo že dokazano (teorem 1). Predpostavimo, da velja za n-gon; dokažimo, da velja za konveksno ( n+1)-gon.
Mnogokotniku dodamo še eno oglišče (slika 1.33).
Tako formula velja za ( n+1)-kotnik, zato so izpolnjeni pogoji matematične indukcije, tj. formula (1.11) za primer konveksne n-gon je dokazano.
Primer 2. n-gon - nekonveksen.
V kateri koli nekonveksni n-gon lahko narišemo diagonalo, ki leži znotraj njega, zato je dokaz primera 2 za nekonveksno n-gon je podoben dokazu za konveks n-gon.
Opomba 2. Izrazov za ni enostavno zapomniti. Zato je za izračun njegovih vrednosti priročno zapisati koordinate prvega, drugega, tretjega, ..., v stolpec. n-th in spet prva oglišča n-gon in pomnožite po shemi:
Znaki v stolpcu (1.12) morajo biti razporejeni, kot je prikazano na diagramu (1.13).
Opomba 3. Pri sestavljanju stolpca (1.12) za trikotnik lahko začnete iz katerega koli oglišča.
Opomba 4. Pri sestavljanju stolpca (1.12) za n-gon () je potrebno slediti zaporedju zapisovanja koordinat vozlišč n-gon (ni pomembno, iz katerega vozlišča se začne prehod). Zato je treba izračunati površino n-gon se mora začeti z izdelavo "grobe" risbe.
Trikotnik je ena najpogostejših geometrijskih likov, s katerimi se seznanimo že v osnovni šoli. Vsak učenec se pri pouku geometrije sooča z vprašanjem, kako najti površino trikotnika. Torej, katere značilnosti iskanja območja dane figure je mogoče prepoznati? V tem članku si bomo ogledali osnovne formule, potrebne za dokončanje takšne naloge, in analizirali tudi vrste trikotnikov.
Vrste trikotnikov
Območje trikotnika lahko najdete na povsem različne načine, saj v geometriji obstaja več kot ena vrsta figure, ki vsebuje tri kote. Te vrste vključujejo:
- Topo.
- Enakostranična (pravilna).
- Pravokotni trikotnik.
- Enakokraki.
Oglejmo si podrobneje vsako od obstoječih vrst trikotnikov.
Ta geometrijska figura velja za najpogostejšo pri reševanju geometrijskih problemov. Ko se pojavi potreba po risanju poljubnega trikotnika, ta možnost priskoči na pomoč.
V ostrokotnem trikotniku, kot pove že ime, so vsi koti ostri in skupaj znašajo 180°.
Tudi ta vrsta trikotnika je zelo pogosta, vendar je nekoliko manj pogosta kot ostrokotni trikotnik. Na primer, ko rešujete trikotnike (to pomeni, da je znanih več njegovih strani in kotov in morate najti preostale elemente), morate včasih ugotoviti, ali je kot tup ali ne. Kosinus je negativno število.
B, vrednost enega od kotov presega 90 °, zato lahko preostala dva kota sprejmeta majhne vrednosti (na primer 15 ° ali celo 3 °).
Če želite najti območje trikotnika te vrste, morate vedeti nekaj odtenkov, o katerih bomo govorili kasneje.
Pravilni in enakokraki trikotniki
Pravilni mnogokotnik je lik, ki ima n kotov in ima vse stranice in kote enake. To je navadni trikotnik. Ker je vsota vseh kotov trikotnika 180°, je vsak od treh kotov 60°.
Pravilni trikotnik zaradi svoje lastnosti imenujemo tudi enakostranični lik.
Omeniti velja tudi, da je v pravilni trikotnik lahko vpisan samo en krog, okoli njega pa je mogoče opisati samo en krog, njuni središči pa sta v isti točki.
Poleg enakostraničnega tipa lahko ločimo tudi enakokraki trikotnik, ki se od njega nekoliko razlikuje. V takem trikotniku sta dve stranici in dva kota med seboj enaki, tretja stranica (na katero mejijo enaki koti) pa je osnova.
Slika prikazuje enakokraki trikotnik DEF, katerega kota D in F sta enaka, DF pa je osnova.
Pravokotni trikotnik
Pravokotni trikotnik se tako imenuje, ker je eden od njegovih kotov pravi, to je enak 90°. Seštevek ostalih dveh kotov znaša 90°.
Največja stranica takšnega trikotnika, ki leži nasproti kota 90°, je hipotenuza, preostali dve strani pa sta kateta. Za to vrsto trikotnika velja Pitagorov izrek:
Vsota kvadratov dolžin katet je enaka kvadratu dolžine hipotenuze.
Slika prikazuje pravokotni trikotnik BAC s hipotenuzo AC in krakoma AB in BC.
Če želite najti območje trikotnika s pravim kotom, morate poznati številske vrednosti njegovih nog.
Preidimo na formule za iskanje območja dane figure.
Osnovne formule za iskanje površine
V geometriji obstajata dve formuli, ki sta primerni za iskanje ploščine večine vrst trikotnikov, in sicer za ostre, tope, pravilne in enakokrake trikotnike. Oglejmo si vsakega od njih.
Po strani in višini
Ta formula je univerzalna za iskanje območja figure, ki jo obravnavamo. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate dolžino stranice in dolžino višine, ki je na njej narisana. Sama formula (polovica produkta osnove in višine) je naslednja:
kjer je A stranica danega trikotnika, H pa višina trikotnika.
Na primer, če želite najti območje akutnega trikotnika ACB, morate njegovo stran AB pomnožiti z višino CD in dobljeno vrednost deliti z dvema.
Vendar na ta način ni vedno enostavno najti območja trikotnika. Na primer, če želite uporabiti to formulo za tupi trikotnik, morate podaljšati eno od njegovih stranic in ji šele nato narisati nadmorsko višino.
V praksi se ta formula uporablja pogosteje kot druge.
Na obeh straneh in kotu
Ta formula je, tako kot prejšnja, primerna za večino trikotnikov in je po pomenu posledica formule za iskanje površine ob strani in višine trikotnika. To pomeni, da je zadevno formulo mogoče zlahka izpeljati iz prejšnje. Njegova formulacija izgleda takole:
S = ½*sinO*A*B,
kjer sta A in B stranici trikotnika, O pa je kot med stranicama A in B.
Spomnimo se, da si sinus kota lahko ogledate v posebni tabeli, imenovani po izjemnem sovjetskem matematiku V. M. Bradisu.
Zdaj pa preidimo na druge formule, ki so primerne samo za izjemne vrste trikotnikov.
Območje pravokotnega trikotnika
Poleg univerzalne formule, ki vključuje potrebo po iskanju nadmorske višine v trikotniku, je območje trikotnika, ki vsebuje pravi kot, mogoče najti iz njegovih nog.
Tako je površina trikotnika, ki vsebuje pravi kot, polovica produkta njegovih krakov ali:
kjer sta a in b kraka pravokotnega trikotnika.
Pravilni trikotnik
Ta vrsta geometrijske figure se razlikuje po tem, da je njeno območje mogoče najti z navedeno vrednostjo samo ene od njegovih strani (ker so vse strani pravilnega trikotnika enake). Torej, ko se soočite z nalogo "iskanje območja trikotnika, ko so stranice enake", morate uporabiti naslednjo formulo:
S = A 2 *√3 / 4,
kjer je A stranica enakostraničnega trikotnika.
Heronova formula
Zadnja možnost za iskanje območja trikotnika je Heronova formula. Če ga želite uporabiti, morate poznati dolžine treh strani figure. Heronova formula izgleda takole:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
kjer so a, b in c stranice danega trikotnika.
Včasih je podana težava: "območje pravilnega trikotnika je najti dolžino njegove stranice." V tem primeru moramo za iskanje površine pravilnega trikotnika uporabiti formulo, ki jo že poznamo, in iz nje izpeljati vrednost stranice (ali njenega kvadrata):
A 2 = 4S / √3.
Izpitne naloge
V nalogah GIA v matematiki je veliko formul. Poleg tega je pogosto treba najti površino trikotnika na karirastem papirju.
V tem primeru je najprimerneje narisati višino na eno od strani figure, določiti njeno dolžino iz celic in uporabiti univerzalno formulo za iskanje območja:
Torej, po preučevanju formul, predstavljenih v članku, ne boste imeli težav pri iskanju območja kakršnega koli trikotnika.
