Iracionalne funkcije. Grafična metoda za reševanje iracionalnih enačb

To učno gradivo je samo za referenco in se nanaša na široko paleto tem. Članek ponuja pregled grafov osnovnih elementarnih funkcij in obravnava najpomembnejše vprašanje - kako pravilno in HITRO zgraditi graf. Med študijem višje matematike brez poznavanja grafov osnovnih elementarnih funkcij bo težko, zato je zelo pomembno, da se spomnite, kako izgledajo grafi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., In se spomnite nekaterih pomenov funkcij. Govorili bomo tudi o nekaterih lastnostih glavnih funkcij.

Ne zahtevam popolnosti in znanstvene temeljitosti gradiva; poudarek bo predvsem na praksi - tistih stvareh, s katerimi srečamo dobesedno na vsakem koraku, v kateri koli temi višje matematike. Grafi za telebane? Lahko bi se tako reklo.

Zaradi številnih prošenj bralcev klikljivo kazalo vsebine:

Poleg tega je na to temo izjemno kratek sinopsis
– Obvladajte 16 vrst grafikonov tako, da preučite ŠEST strani!

Resno, šest, celo jaz sem bil presenečen. Ta povzetek vsebuje izboljšano grafiko in je na voljo za simbolično ceno; lahko si ogledate demo različico. Datoteko je priročno natisniti, tako da so grafi vedno pri roki. Hvala za podporo projektu!

In začnimo takoj:

Kako pravilno sestaviti koordinatne osi?

Teste v praksi učenci skoraj vedno opravljajo v ločenih zvezkih, črtanih v kvadrat. Zakaj potrebujete kariraste oznake? Navsezadnje je delo načeloma mogoče opraviti na listih A4. In kletka je potrebna samo za kakovostno in natančno oblikovanje risb.

Vsaka risba funkcijskega grafa se začne s koordinatnimi osemi.

Risbe so lahko dvodimenzionalne ali tridimenzionalne.

Najprej razmislimo o dvodimenzionalnem primeru Kartezični pravokotni koordinatni sistem:

1) Narišite koordinatne osi. Os se imenuje x-os , in os je y-os . Vedno jih poskušamo narisati čeden in ne ukrivljen. Puščice tudi ne smejo spominjati na brado Papa Carla.

2) Osi podpišemo z velikima črkama "X" in "Y". Ne pozabite označiti osi.

3) Nastavite merilo vzdolž osi: narišite ničlo in dve enici. Pri izdelavi risbe je najbolj priročno in pogosto uporabljeno merilo: 1 enota = 2 celici (risba levo) – če je le mogoče, se ga držite. Vendar se od časa do časa zgodi, da risba ne sodi na zvezkov list – takrat zmanjšamo merilo: 1 enota = 1 celica (risba desno). Redko, vendar se zgodi, da je treba merilo risbe še bolj zmanjšati (ali povečati)

NI POTREBE po "mitraljezi" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Kajti koordinatna ravnina ni spomenik Descartesu in učenec ni golob. Postavili smo nič in dve enoti vzdolž osi. včasih namesto enote, je priročno "označiti" druge vrednosti, na primer "dve" na abscisni osi in "tri" na ordinatni osi - in ta sistem (0, 2 in 3) bo tudi enolično določil koordinatno mrežo.

Bolje je oceniti predvidene dimenzije risbe PRED izdelavo risbe. Tako na primer, če naloga zahteva risanje trikotnika z oglišči , , , potem je popolnoma jasno, da priljubljeno merilo 1 enota = 2 celici ne bo delovalo. Zakaj? Poglejmo bistvo - tukaj boste morali izmeriti petnajst centimetrov navzdol in očitno se risba ne bo prilegala (ali komaj prilegala) na list zvezka. Zato takoj izberemo manjše merilo: 1 enota = 1 celica.

Mimogrede, o centimetrih in celicah zvezkov. Ali je res, da 30 celic zvezka vsebuje 15 centimetrov? Za zabavo izmerite 15 centimetrov v zvezku z ravnilom. V ZSSR je to morda veljalo ... Zanimivo je, da če izmerite te iste centimetre vodoravno in navpično, bodo rezultati (v celicah) drugačni! Strogo gledano, sodobni zvezki niso karirasti, ampak pravokotni. To se morda zdi nesmiselno, vendar je risanje na primer kroga s kompasom v takih situacijah zelo neprijetno. Če sem iskren, v takih trenutkih začneš razmišljati o pravilnosti tovariša Stalina, ki je bil poslan v taborišča zaradi hekerskega dela v proizvodnji, da ne omenjam domače avtomobilske industrije, padajočih letal ali eksplozivnih elektrarn.

Ko smo že pri kvaliteti oz. kratko priporočilo glede pisarniškega materiala. Danes je večina zvezkov v prodaji milo rečeno popolna bedarija. Iz razloga, ker se zmočijo, in ne samo od gelskih svinčnikov, ampak tudi od kemičnih svinčnikov! Prihranijo denar na papirju. Za dokončanje testov priporočam uporabo zvezkov Arhangelske tovarne celuloze in papirja (18 listov, kvadrat) ali "Pyaterochka", čeprav je dražji. Priporočljivo je izbrati gelsko pisalo, tudi najcenejše kitajsko gelsko polnilo je veliko boljše od kemičnega svinčnika, ki ali razmaže ali strga papir. Edini "konkurenčni" kemični svinčnik, ki se ga spomnim, je Erich Krause. Piše jasno, lepo in dosledno – bodisi s polnim jedrom bodisi s skoraj praznim.

Dodatno: Vizija pravokotnega koordinatnega sistema skozi oči analitične geometrije je zajeta v članku. Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev, podrobne informacije o koordinatnih četrtinah najdete v drugem odstavku lekcije Linearne neenakosti.

3D etui

Tukaj je skoraj enako.

1) Narišite koordinatne osi. Standardno: aplicirati os – usmerjena navzgor, os – usmerjena v desno, os – usmerjena navzdol v levo strogo pod kotom 45 stopinj.

2) Označite osi.

3) Nastavite lestvico vzdolž osi. Merilo vzdolž osi je dvakrat manjše od merila vzdolž ostalih osi. Upoštevajte tudi, da sem na desni risbi uporabil nestandardno "zarezo" vzdolž osi (ta možnost je bila že omenjena zgoraj). Z mojega vidika je to bolj natančno, hitreje in bolj estetsko - ni treba iskati sredine celice pod mikroskopom in "izklesati" enote blizu izvora koordinat.

Pri izdelavi 3D risbe ponovno dajte prednost merilu
1 enota = 2 celici (risba na levi).

Čemu so vsa ta pravila? Pravila so narejena zato, da se jih krši. To bom zdaj naredil. Dejstvo je, da bom naslednje risbe artikla izdelal jaz v Excelu, koordinatne osi pa bodo z vidika pravilnega oblikovanja videti napačne. Vse grafe bi lahko narisal ročno, vendar jih je pravzaprav strašljivo narisati, saj jih Excel ne želi narisati bolj natančno.

Grafi in osnovne lastnosti elementarnih funkcij

Linearna funkcija je podana z enačbo. Graf linearnih funkcij je neposredno. Da bi zgradili ravno črto, je dovolj poznati dve točki.

Primer 1

Zgradite graf funkcije. Poiščimo dve točki. Ugodno je izbrati nič kot eno od točk.

Če, potem

Vzemimo drugo točko, na primer 1.

Če, potem

Pri izpolnjevanju nalog so koordinate točk običajno povzete v tabeli:

In same vrednosti se izračunajo ustno ali na osnutku, kalkulatorju.

Najdeni sta bili dve točki, naredimo risbo:

Pri pripravi risbe vedno podpišemo grafiko.

Koristno bi bilo spomniti se posebnih primerov linearne funkcije:

Opazite, kako sem dal podpise, podpisi ne smejo dopuščati neskladij pri preučevanju risbe. V tem primeru je bilo zelo nezaželeno postaviti podpis poleg točke presečišča črt ali spodaj desno med grafi.

1) Linearna funkcija oblike () se imenuje direktna sorazmernost. Na primer,. Graf neposredne sorazmernosti vedno poteka skozi izhodišče. Tako je gradnja ravne črte poenostavljena - dovolj je najti samo eno točko.

2) Enačba oblike podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, še posebej, sama os je podana z enačbo. Graf funkcije je zgrajen takoj, brez iskanja točk. To pomeni, da je treba vnos razumeti takole: "y je vedno enak –4 za katero koli vrednost x."

3) Enačba oblike podaja ravno črto, vzporedno z osjo, zlasti os sama je podana z enačbo. Takoj se izriše tudi graf funkcije. Vnos je treba razumeti takole: "x je vedno, za katero koli vrednost y, enak 1."

Nekateri se bodo vprašali, zakaj se spominjati 6. razreda?! Tako je, mogoče je res tako, ampak v letih vadbe sem srečal dober ducat študentov, ki jih je begala naloga sestaviti graf, kot je oz.

Konstruiranje ravne črte je najpogostejše dejanje pri risanju.

Ravna črta je podrobno obravnavana v tečaju analitične geometrije, zainteresirani pa se lahko obrnejo na članek Enačba premice na ravnini.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Graf kvadratne funkcije () predstavlja parabolo. Razmislite o znamenitem primeru:

Spomnimo se nekaterih lastnosti funkcije.

Torej, rešitev naše enačbe: – na tej točki se nahaja vrh parabole. Zakaj je tako, izveste v teoretičnem članku o odvodu in lekciji o ekstremih funkcije. Medtem izračunajmo ustrezno vrednost "Y":

Tako je vrh v točki

Zdaj najdemo druge točke, medtem ko nesramno uporabljamo simetrijo parabole. Treba je opozoriti, da funkcija – ni niti, vendar kljub temu nihče ni preklical simetrije parabole.

V kakšnem vrstnem redu najti preostale točke, mislim, da bo jasno iz končne mize:

Ta konstrukcijski algoritem lahko figurativno imenujemo "shuttle" ali princip "naprej in nazaj" z Anfiso Čehovo.

Naredimo risbo:

Iz pregledanih grafov pride na misel še ena uporabna funkcija:

Za kvadratno funkcijo () drži naslednje:

Če , potem so veje parabole usmerjene navzgor.

Če , potem so veje parabole usmerjene navzdol.

Poglobljeno znanje o krivulji lahko pridobimo pri učni uri Hiperbola in parabola.

Kubična parabola je podana s funkcijo. Tukaj je risba, poznana iz šole:

Naštejmo glavne lastnosti funkcije

Graf funkcije

Predstavlja eno od vej parabole. Naredimo risbo:

Glavne lastnosti funkcije:

V tem primeru je os navpična asimptota za graf hiperbole pri .

VELIKA napaka bi bila, če bi pri risanju risbe malomarno dovolili, da se graf seka z asimptoto.

Tudi enostranske meje nam povedo, da hiperbola ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj.

Oglejmo si funkcijo v neskončnosti: , to je, če se začnemo premikati vzdolž osi levo (ali desno) v neskončnost, potem bodo "igre" v urejenem koraku neskončno blizu pristop k ničli in s tem veje hiperbole neskončno blizu približati osi.

Torej je os horizontalna asimptota za graf funkcije, če se "x" nagiba k plus ali minus neskončnosti.

Funkcija je Čuden, zato je hiperbola simetrična glede na izvor. To dejstvo je očitno iz risbe, poleg tega pa ga je enostavno analitično preveriti: .

Graf funkcije oblike () predstavlja dve veji hiperbole.

Če , potem se hiperbola nahaja v prvi in tretji koordinatni četrtini(glej sliko zgoraj).

Če , potem se hiperbola nahaja v drugi in četrti koordinatni četrtini.

Navedeni vzorec prebivališča hiperbole je enostavno analizirati z vidika geometrijskih transformacij grafov.

Primer 3

Konstruiraj desno vejo hiperbole

Uporabljamo točkovno konstrukcijo, pri čemer je ugodno izbrati vrednosti tako, da so deljive s celoto:

Naredimo risbo:

Konstruirati levo vejo hiperbole ne bo težko, tu bo pomagala nenavadnost funkcije. Grobo rečeno, v tabeli točkovne konstrukcije miselno dodamo minus vsaki številki, postavimo ustrezne točke in narišemo drugo vejo.

Podrobne geometrijske informacije o obravnavani premici najdete v članku Hiperbola in parabola.

Graf eksponentne funkcije

V tem razdelku bom takoj obravnaval eksponentno funkcijo, saj se v problemih višje matematike v 95% primerov pojavi eksponentna.

Naj vas spomnim, da je to iracionalno število: , to bo potrebno pri izdelavi grafa, ki ga bom pravzaprav zgradil brez slovesnosti. Tri točke so verjetno dovolj:

Pustimo za zdaj graf funkcije pri miru, o njem več kasneje.

Glavne lastnosti funkcije:

Funkcijski grafi itd. so v bistvu videti enaki.

Moram reči, da se drugi primer v praksi redkeje pojavlja, vendar se pojavlja, zato se mi je zdelo nujno, da ga vključim v ta članek.

Graf logaritemske funkcije

Razmislite o funkciji z naravnim logaritmom.
Naredimo risbo od točke do točke:

Če ste pozabili, kaj je logaritem, si oglejte šolske učbenike.

Glavne lastnosti funkcije:

Domena:

Razpon vrednosti: .

Funkcija ni omejena od zgoraj: , čeprav počasi, vendar gre veja logaritma v neskončnost.
Oglejmo si obnašanje funkcije blizu ničle na desni: . Torej je os navpična asimptota za graf funkcije, ko se "x" nagiba k ničli z desne.

Nujno je poznati in zapomniti tipično vrednost logaritma: .

Načeloma je graf logaritma na osnovi enak: , , (decimalni logaritem na osnovi 10) itd. Poleg tega večja kot je osnova, bolj ploščat bo graf.

Primera ne bomo obravnavali; ne spomnim se, kdaj sem nazadnje zgradil graf s takšno osnovo. In zdi se, da je logaritem zelo redek gost v problemih višje matematike.

Na koncu tega odstavka bom povedal še eno dejstvo: Eksponentna funkcija in logaritemska funkcija– to sta dve medsebojno inverzni funkciji. Če natančno pogledate graf logaritma, lahko vidite, da je to isti eksponent, le da se nahaja nekoliko drugače.

Grafi trigonometričnih funkcij

Kje se začnejo trigonometrične muke v šoli? Prav. Od sinusa

Narišimo funkcijo

Ta vrstica se imenuje sinusoida.

Naj vas spomnim, da je "pi" iracionalno število: , in v trigonometriji kar zaslepi oči.

Glavne lastnosti funkcije:

Ta funkcija je periodično z obdobjem. Kaj to pomeni? Poglejmo segment. Levo in desno od njega se neskončno ponavlja popolnoma isti del grafa.

Domena: , kar pomeni, da za vsako vrednost "x" obstaja sinusna vrednost.

Razpon vrednosti: . Funkcija je omejeno: , torej vse "igre" so strogo v segmentu .
To se ne zgodi: oziroma, natančneje, zgodi se, vendar te enačbe nimajo rešitve.

“Transformacija funkcijskih grafov” - Raztezanje. Simetrija. Utrjuje konstrukcijo grafov funkcij s transformacijami grafov elementarnih funkcij. Risanje grafov kompleksnih funkcij. Samostojno delo 1. možnost 2. možnost. Vzporedni prenos. Poveži vsak graf s funkcijo. Transformacija funkcijskih grafov. Oglejmo si primere transformacij in razložimo vsako vrsto transformacije.

“Iracionalna enačba” - Algoritem za reševanje enačb. Zgodovina nerazumnih številk. Kateri korak pri reševanju enačbe vodi do pojava dodatnih korenin. "Lekcija-razprava". Poišči napako. Uvod. "Z enačbami in izreki sem rešil veliko različnih problemov." Med poukom. V sporu so žalitve, očitki in sovražnost do sošolcev nesprejemljivi.

"Graf funkcije" - Če je linearna funkcija podana s formulo v obliki y = khx, to je b = 0, se imenuje neposredna sorazmernost. Če je linearna funkcija podana s formulo y = b, to je k = 0, potem njen graf poteka skozi točko s koordinatami (b; 0), ki so vzporedne z osjo OX. funkcija. Linearna funkcija je funkcija, ki jo je mogoče podati s formulo y = kx + b, kjer je x neodvisna spremenljivka, k in b pa nekaj števil.

Kako narisati graf linearne funkcije? - Vrednost y, pri kateri je x=3. Okrepitev prekritega materiala. Metodološka tema. Zgradite graf linearne funkcije y=-3x+6. - Določite lastnosti te funkcije. Preverite: Učenec pri tabli. Študij funkcij. Pisno z overitvijo. V okviru šolskega kurikuluma.

“Graf funkcije Y X” - Primer 1. Zgradimo graf funkcije y=(x - 2)2 na podlagi grafa funkcije y=x2 (klik z miško). Za ogled grafov kliknite z miško. Primer 2. Na podlagi grafa funkcije y=x2 (klik z miško) zgradimo graf funkcije y = x2 + 1. Vzorec parabole y = x2. Graf funkcije y=(x - m)2 je parabola z vrhom v točki (m; 0).

“Iracionalne enačbe in neenačbe” - Metode reševanja. 3. Uvedba pomožnih spremenljivk. 1. Potenciranje. Iracionalne enačbe Metode reševanja. Iracionalne enačbe in neenačbe. 2. Množenje s konjugiranim izrazom. 4. Izbira celotnega kvadrata pod radikalnim znakom. 6. Grafična metoda. Iracionalne neenakosti.

znanje osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi nič manj pomembno kot poznavanje množilne tabele. So kot temelj, vse temelji na njih, vse se gradi iz njih in vse se spušča nanje.

V tem članku bomo našteli vse glavne osnovne funkcije, podali njihove grafe in podali brez zaključkov ali dokazov lastnosti osnovnih elementarnih funkcij po shemi:

obnašanje funkcije na mejah definicijskega področja, navpične asimptote (po potrebi glej članek klasifikacija diskontinuitetnih točk funkcije);
sodo in liho;
intervali konveksnosti (konveksnost navzgor) in konkavnosti (konveksnost navzdol), prevojne točke (po potrebi glej članek konveksnost funkcije, smer konveksnosti, prevojne točke, pogoji konveksnosti in prevoja);
poševne in vodoravne asimptote;
singularne točke funkcij;
posebne lastnosti nekaterih funkcij (npr. najmanjša pozitivna perioda trigonometričnih funkcij).

Če vas zanima ali, potem lahko obiščete te dele teorije.

Osnovne elementarne funkcije so: konstantna funkcija (konstanta), n-ti koren, potenčna funkcija, eksponentna, logaritemska funkcija, trigonometrične in inverzne trigonometrične funkcije.

Navigacija po straneh.

Stalna funkcija.

Konstantno funkcijo definiramo na množici vseh realnih števil s formulo , kjer je C neko realno število. Konstantna funkcija vsako realno vrednost neodvisne spremenljivke x poveže z enako vrednostjo odvisne spremenljivke y - vrednostjo C. Konstantno funkcijo imenujemo tudi konstanta.

Graf konstantne funkcije je ravna črta, vzporedna z osjo x in poteka skozi točko s koordinatami (0,C). Kot primer bomo prikazali grafe konstantnih funkcij y=5, y=-2 in, ki na spodnji sliki ustrezajo črni, rdeči in modri črti.

Lastnosti konstantne funkcije.

Domena: celoten niz realnih števil.
Konstantna funkcija je soda.
Območje vrednosti: niz, sestavljen iz edninskega števila C.
Konstantna funkcija je nenaraščujoča in nepadajoča (zato je konstantna).
O konveksnosti in konkavnosti konstante nima smisla govoriti.
Ni asimptot.
Funkcija poteka skozi točko (0,C) koordinatne ravnine.

Koren n-te stopnje.

Oglejmo si osnovno elementarno funkcijo, ki je podana s formulo , kjer je n naravno število, večje od ena.

Koren n-te stopnje, n je sodo število.

Začnimo z n-to korensko funkcijo za sode vrednosti korenskega eksponenta n.

Kot primer je tukaj slika s slikami funkcijskih grafov in ustrezajo črnim, rdečim in modrim črtam.

Grafi korenskih funkcij sode stopnje imajo podoben videz za druge vrednosti eksponenta.

Lastnosti n-te korenske funkcije za sodo n.

Koren n, n je liho število.

Korenska funkcija n z lihim korenskim eksponentom n je definirana na celotni množici realnih števil. Na primer, tukaj so funkcijski grafi in ustrezajo črni, rdeči in modri krivulji.

Za druge lihe vrednosti korenskega eksponenta bodo grafi funkcij imeli podoben videz.

Lastnosti n-te korenske funkcije za liho n.

Funkcija moči.

Funkcija moči je podana s formulo oblike .

Oglejmo si obliko grafov potenčne funkcije in lastnosti potenčne funkcije v odvisnosti od vrednosti eksponenta.

Začnimo s potenčno funkcijo s celim eksponentom a. V tem primeru je videz grafov potenčnih funkcij in lastnosti funkcij odvisen od parnosti ali lihosti eksponenta, pa tudi od njegovega predznaka. Zato bomo najprej obravnavali potenčne funkcije za lihe pozitivne vrednosti eksponenta a, nato za sode pozitivne eksponente, nato za lihe negativne eksponente in na koncu za sode negativne a.

Lastnosti potenčnih funkcij z delnimi in iracionalnimi eksponenti (kot tudi vrsta grafov takšnih potenčnih funkcij) so odvisne od vrednosti eksponenta a. Upoštevali jih bomo, prvič, za a od nič do ena, drugič, za večje od ena, tretjič, za a od minus ena do nič, četrtič, za manj kot minus ena.

Na koncu tega razdelka bomo zaradi popolnosti opisali potenčno funkcijo z ničelnim eksponentom.

Potenčna funkcija z lihim pozitivnim eksponentom.

Oglejmo si potenčno funkcijo z lihim pozitivnim eksponentom, to je z a = 1,3,5,....

Spodnja slika prikazuje grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta, – zelena črta. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.

Lastnosti potenčne funkcije z lihim pozitivnim eksponentom.

Potenčna funkcija s sodim pozitivnim eksponentom.

Oglejmo si potenčno funkcijo s sodim pozitivnim eksponentom, to je za a = 2,4,6,....

Kot primer podajamo grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta. Za a=2 imamo kvadratno funkcijo, katere graf je kvadratna parabola.

Lastnosti potenčne funkcije s sodim pozitivnim eksponentom.

Potenčna funkcija z lihim negativnim eksponentom.

Oglejte si grafe potenčne funkcije za lihe negativne vrednosti eksponenta, to je za a = -1, -3, -5,....

Slika prikazuje grafe funkcij moči kot primere - črna črta, - modra črta, - rdeča črta, - zelena črta. Za a=-1 imamo obratno sorazmernost, katerega graf je hiperbola.

Lastnosti potenčne funkcije z lihim negativnim eksponentom.

Potenčna funkcija s sodim negativnim eksponentom.

Preidimo na potenčno funkcijo za a=-2,-4,-6,….

Slika prikazuje grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta.

Lastnosti potenčne funkcije s sodim negativnim eksponentom.

Potenčna funkcija z racionalnim ali iracionalnim eksponentom, katerega vrednost je večja od nič in manjša od ena.

Opomba!Če je a pozitiven ulomek z lihim imenovalcem, potem nekateri avtorji menijo, da je domena definicije potenčne funkcije interval. Določeno je, da je eksponent a nezmanjšljiv ulomek. Zdaj avtorji številnih učbenikov o algebri in načelih analize NE DEFINIRAJO funkcij moči z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta. Držali se bomo ravno tega stališča, to je, da bomo množico obravnavali kot domene definicije potenčnih funkcij z delnimi pozitivnimi eksponenti. Priporočamo, da učenci izvejo mnenje vašega učitelja o tej subtilni točki, da se izognete nesoglasjem.

Oglejmo si potenčno funkcijo z racionalnim ali iracionalnim eksponentom a in .

Predstavimo grafe funkcij moči za a=11/12 (črna črta), a=5/7 (rdeča črta), (modra črta), a=2/5 (zelena črta).

Potenčna funkcija z necelim racionalnim ali iracionalnim eksponentom, večjim od ena.

Oglejmo si potenčno funkcijo z necelim racionalnim ali iracionalnim eksponentom a in .

Predstavimo grafe potenčnih funkcij, podanih s formulami (črne, rdeče, modre in zelene črte).

Za druge vrednosti eksponenta a bodo grafi funkcije imeli podoben videz.

Lastnosti potenčne funkcije pri .

Potenčna funkcija z realnim eksponentom, ki je večji od minus ena in manjši od nič.

Opomba!Če je a negativen ulomek z lihim imenovalcem, potem nekateri avtorji menijo, da je domena definicije potenčne funkcije interval . Določeno je, da je eksponent a nezmanjšljiv ulomek. Zdaj avtorji številnih učbenikov o algebri in načelih analize NE DEFINIRAJO funkcij moči z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta. Držali se bomo natanko tega stališča, to je, da bomo domene definicije potenčnih funkcij z delno delno negativnimi eksponenti obravnavali kot množico oz. Priporočamo, da učenci izvejo mnenje vašega učitelja o tej subtilni točki, da se izognete nesoglasjem.

Preidimo k funkciji moči, kgod.

Da bi imeli dobro predstavo o obliki grafov funkcij moči za , podajamo primere grafov funkcij (črna, rdeča, modra in zelena krivulja).

Lastnosti potenčne funkcije z eksponentom a, .

Potenčna funkcija z realnim eksponentom, ki ni celo število in je manjši od minus ena.

Navedimo primere grafov funkcij moči za , so upodobljene s črno, rdečo, modro in zeleno črto.

Lastnosti potenčne funkcije z necelim negativnim eksponentom, manjšim od minus ena.

Ko je a = 0, imamo funkcijo - to je ravna črta, iz katere je točka (0;1) izključena (dogovorjeno je bilo, da izrazu 0 0 ne pripisujemo nobenega pomena).

Eksponentna funkcija.

Ena glavnih elementarnih funkcij je eksponentna funkcija.

Graf eksponentne funkcije, kjer in ima različne oblike glede na vrednost osnove a. Ugotovimo to.

Najprej razmislite o primeru, ko ima osnova eksponentne funkcije vrednost od nič do ena, to je .

Kot primer podajamo grafe eksponentne funkcije za a = 1/2 – modra črta, a = 5/6 – rdeča črta. Grafi eksponentne funkcije imajo podoben videz za druge vrednosti baze iz intervala.

Lastnosti eksponentne funkcije z osnovo, manjšo od ena.

Preidimo na primer, ko je osnova eksponentne funkcije večja od ena, to je .

Za ponazoritev podajamo grafe eksponentnih funkcij - modra črta in - rdeča črta. Za druge vrednosti baze, večje od ena, bodo grafi eksponentne funkcije imeli podoben videz.

Lastnosti eksponentne funkcije z osnovo, večjo od ena.

Logaritemska funkcija.

Naslednja osnovna elementarna funkcija je logaritemska funkcija, kjer je , . Logaritemska funkcija je definirana samo za pozitivne vrednosti argumenta, to je za.

Graf logaritemske funkcije ima različne oblike, odvisno od vrednosti osnove a.

V tem članku na kratko povzemamo informacije, ki se nanašajo na tako pomemben matematični koncept, kot je funkcija. Pogovarjali se bomo o tem, kaj je numerična funkcija in kaj moraš znati in znati raziskovati.

Kaj se je zgodilo numerična funkcija? Naj imamo dva številska niza: X in Y in med tema nizoma obstaja določeno razmerje. To pomeni, da je vsak element x iz množice X po določenem pravilu dodeljen en element y iz niza Y.

Pomembno, to Vsakemu elementu x iz množice X ustreza en in samo en element y iz množice Y.

Pravilo, po katerem vsakemu elementu iz množice X povežemo en element iz množice Y, imenujemo numerična funkcija.

Množica X se imenuje domena definicije funkcije.

Množica Y se imenuje niz funkcijskih vrednosti.

Enakopravnost se imenuje enačba funkcije. V tej enačbi - neodvisna spremenljivka ali argument funkcije. - odvisna spremenljivka.

Če vzamemo vse pare in jim priredimo ustrezne točke na koordinatni ravnini, dobimo funkcijski graf. Funkcijski graf je grafični prikaz razmerja med množicama X in Y.

Funkcijske lastnosti lahko ugotovimo tako, da pogledamo graf funkcije, in obratno s pregledom lahko ga načrtujemo.

Osnovne lastnosti funkcij.

1. Domena funkcije.

Domena funkcije D(y) je množica vseh dovoljenih vrednosti argumenta x (neodvisna spremenljivka x), za katere je smiseln izraz na desni strani enačbe funkcije. Z drugimi besedami, to so izrazi.

Za S pomočjo grafa funkcije poiščite njeno definicijsko področje, nže, premikanje s levo proti desni vzdolž osi OX, zapišite vse intervale vrednosti x, na katerih obstaja graf funkcije.

2. Množica funkcijskih vrednosti.

Niz vrednosti funkcije E(y) je množica vseh vrednosti, ki jih lahko sprejme odvisna spremenljivka y.

Za glede na graf funkciječe želite najti njegov nabor vrednosti, se morate premakniti od spodaj navzgor vzdolž osi OY in zapisati vse intervale vrednosti y, na katerih obstaja graf funkcije.

3. Funkcijske ničle.

Funkcijske ničle - To so tiste vrednosti argumenta x, pri katerih je vrednost funkcije (y) enaka nič.

Če želite najti ničle funkcije, morate rešiti enačbo. Koreni te enačbe bodo ničle funkcije.

Če želite najti ničle funkcije iz njenega grafa, morate najti točke presečišča grafa z osjo OX. Abscise presečišč bodo ničle funkcije.

4. Intervali konstantnega predznaka funkcije.

Intervali konstantnega znaka funkcije so tisti intervali vrednosti argumentov, v katerih funkcija ohrani svoj znak, to je ali.

Najti , morate rešiti neenačbe in .

Najti intervali konstantnega predznaka funkcije po njenem urniku je treba

5. Intervali monotonosti funkcije.

Intervali monotonosti funkcije so tisti intervali vrednosti argumenta x, pri katerih funkcija narašča ali pada.

Pravimo, da funkcija narašča na intervalu I, če za kateri koli dve vrednosti argumenta, ki pripadata intervalu I, velja naslednja relacija: .

Z drugimi besedami, funkcija narašča na intervalu I, če večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

Če želite določiti intervale naraščajoče funkcije iz grafa funkcije, se morate premikati od leve proti desni vzdolž črte grafa funkcije, da označite intervale vrednosti argumenta x, pri katerih je graf gre gor.

Pravimo, da se funkcija zmanjšuje na intervalu I, če za kateri koli dve vrednosti argumenta, ki pripadata intervalu I, velja naslednja relacija: .

Z drugimi besedami, funkcija pada na intervalu I, če večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije.

Če želite določiti intervale padajoče funkcije iz grafa funkcije, se morate premikati od leve proti desni vzdolž črte grafa funkcije, da označite intervale vrednosti argumenta x, pri katerih je graf gre dol.

6. Točki maksimuma in minimuma funkcije.

Točka se imenuje največja točka funkcije, če obstaja takšna okolica I točke, da za vsako točko x iz te okolice velja razmerje:

Grafično to pomeni, da leži točka z absciso x_0 nad drugimi točkami iz okolice I grafa funkcije y=f(x).

Točka se imenuje minimalna točka funkcije, če obstaja takšna okolica I točke, da za vsako točko x iz te okolice velja razmerje:

Grafično to pomeni, da točka z absciso leži pod drugimi točkami iz okolice I grafa funkcije.

Običajno najdemo največje in najmanjše točke funkcije tako, da preučimo funkcijo z uporabo njenega odvoda.

7. Soda (liha) funkcija.

Funkcija se pokliče tudi, če sta izpolnjena dva pogoja:

Z drugimi besedami, Področje definicije sode funkcije je simetrično glede na izvor.

b) Za vsako vrednost argumenta x, ki pripada domeni definicije funkcije, je izpolnjeno razmerje .

Funkcija se imenuje liha, če sta izpolnjena dva pogoja:

a) Za vsako vrednost argumenta , ki pripada domeni funkcije, pripada tudi domeni funkcije.