Funkcija y=sinx, njene glavne lastnosti in graf. Funkcije y = sin x, y = cos x, njihove lastnosti in grafi - Hipermarket znanja Graf funkcije y je enak sinusu x

"Yoshkar-Ola College of Service Technologies"

Izdelava in študij grafa trigonometrične funkcije y=sinx v pregledniciGOSPA Excel

/metodološki razvoj/

Joškar – Ola

Predmet. Izdelava in študij grafa trigonometrične funkcijel = sinx v preglednici MS Excel

Vrsta lekcije– integrirano (pridobivanje novih znanj)

Cilji:

Didaktični namen - raziskati obnašanje grafov trigonometričnih funkcijl= sinxglede na kvote z uporabo računalnika

Izobraževalni:

1. Ugotovite spremembo grafa trigonometrične funkcije l= greh x odvisno od kvot

2. Prikažite uvajanje računalniške tehnologije v pouk matematike, integracijo dveh predmetov: algebre in računalništva.

3. Razviti veščine uporabe računalniške tehnologije pri pouku matematike

4. Okrepiti veščine preučevanja funkcij in konstruiranja njihovih grafov

Izobraževalni:

1. Razviti kognitivni interes študentov za akademske discipline in sposobnost uporabe svojega znanja v praktičnih situacijah

2. Razviti sposobnost analiziranja, primerjave, poudarjanja glavne stvari

3. Prispevati k izboljšanju splošne ravni razvoja študentov

Izobraževanje :

1. Spodbujajte neodvisnost, natančnost in trdo delo

2. Spodbujajte kulturo dialoga

Oblike dela v lekciji - kombinirano

Didaktični pripomočki in oprema:

1. Računalniki

2. Multimedijski projektor

4. Izročki

5. Predstavitvene prosojnice

Med poukom

jaz. Organizacija začetka pouka

· Pozdrav učencem in gostom

· Razpoloženje za lekcijo

II. Postavljanje ciljev in aktualizacija teme

Za preučevanje funkcije in gradnjo njenega grafa je potrebno veliko časa, opraviti morate veliko okornih izračunov, ni priročno, računalniška tehnologija pride na pomoč.

Danes se bomo naučili graditi grafe trigonometričnih funkcij v okolju preglednic MS Excel 2007.

Tema naše lekcije je »Konstrukcija in študij grafa trigonometrične funkcije l= sinx v tabelnem procesorju"

Iz predmeta algebra poznamo shemo za preučevanje funkcije in gradnjo njenega grafa. Spomnimo se, kako to storiti.

Diapozitiv 2

Shema študije funkcij

1. Domena funkcije (D(f))

2. Območje funkcije E(f)

3. Določitev paritete

4. Pogostost

5. Ničle funkcije (y=0)

6. Intervali konstantnega predznaka (y>0, y<0)

7. Obdobja monotonije

8. Ekstremi funkcije

III. Primarna asimilacija novega učnega gradiva

Odprite MS Excel 2007.

Narišimo funkcijo y=sin x

Gradnja grafov v procesorju za pregledniceGOSPA Excel 2007

Na segment bomo narisali graf te funkcije xЄ [-2π; 2π]

Vrednosti argumentov bomo vzeli v korakih , da bo graf natančnejši.

Ker urejevalnik dela s številkami, pretvorimo radiane v številke, če to vemo P ≈ 3,14 . (prevodna tabela v izročku).

1. Poiščite vrednost funkcije v točki x=-2P. Za ostalo urejevalnik samodejno izračuna ustrezne vrednosti funkcij.

2. Zdaj imamo tabelo z vrednostmi argumenta in funkcije. S temi podatki moramo narisati to funkcijo s čarovnikom za grafikone.

3. Če želite zgraditi graf, morate izbrati zahtevani obseg podatkov, vrstice z vrednostmi argumentov in funkcij

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Zaključke zapišemo v zvezek (5. prosojnica)

Zaključek. Graf funkcije v obliki y=sinx+k dobimo iz grafa funkcije y=sinx z uporabo vzporedne translacije vzdolž osi operacijskega ojačevalnika za k enot

Če je k >0, se graf premakne navzgor za k enot

Če k<0, то график смещается вниз на k единиц

Konstrukcija in študij funkcije oblikey=k*sinx,k- konst

Naloga 2. Na delu List2 risati grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu l= sinx l=2* sinx, l= * sinx, na interval (-2π; 2π) in opazujte, kako se spreminja videz grafa.

(Da ne bi znova nastavljali vrednosti argumenta, kopirajmo obstoječe vrednosti. Zdaj morate nastaviti formulo in zgraditi graf s pomočjo nastale tabele.)

Dobljene grafe primerjamo. Skupaj s študenti analiziramo obnašanje grafa trigonometrične funkcije v odvisnosti od koeficientov. (diapozitiv 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , na interval (-2π; 2π) in opazujte, kako se spreminja videz grafa.

Dobljene grafe primerjamo. Skupaj s študenti analiziramo obnašanje grafa trigonometrične funkcije v odvisnosti od koeficientov. (diapozitiv 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Zaključke si zapišemo v zvezek (11. prosojnica)

Zaključek. Graf funkcije oblike y=sin(x+k) dobimo iz grafa funkcije y=sinx z uporabo vzporedne translacije vzdolž osi OX za k enot

Če je k >1, se graf premakne v desno vzdolž osi OX

Če je 0

IV. Primarno utrjevanje pridobljenega znanja

Diferencirane kartice z nalogo za izdelavo in preučevanje funkcije z uporabo grafa

V. Organizacija domačih nalog

Izrišite graf funkcije y=-2*sinх+1, preglejte in preverite pravilnost konstrukcije v okolju preglednic Microsoft Excel. (Slide 12)

VI. Odsev

V tej lekciji si bomo podrobno ogledali funkcijo y = sin x, njene osnovne lastnosti in graf. Na začetku lekcije bomo podali definicijo trigonometrične funkcije y = sin t na koordinatni krožnici in obravnavali graf funkcije na krožnici in premici. Pokažimo periodičnost te funkcije na grafu in razmislimo o glavnih lastnostih funkcije. Na koncu lekcije bomo rešili več preprostih nalog z uporabo grafa funkcije in njenih lastnosti.

Tema: Trigonometrične funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njene osnovne lastnosti in graf

Ko razmišljate o funkciji, je pomembno, da vsako vrednost argumenta povežete z eno vrednostjo funkcije. to pravo dopisovanja in se imenuje funkcija.

Opredelimo korespondenčni zakon za .

Vsako realno število ustreza eni sami točki na enotski krožnici, ki se imenuje sinus števila (slika 1).

Vsaka vrednost argumenta je povezana z eno vrednostjo funkcije.

Očitne lastnosti izhajajo iz definicije sinusa.

Slika prikazuje to Ker je ordinata točke na enotskem krogu.

Razmislite o grafu funkcije. Spomnimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je središčni kot, merjen v radianih. Vzdolž osi bomo narisali realna števila ali kote v radianih, vzdolž osi pripadajoče vrednosti funkcije.

Na primer, kot na enotskem krogu ustreza točki na grafu (slika 2)

Dobili smo graf funkcije v območju Toda ob poznavanju periode sinusa lahko upodabljamo graf funkcije čez celotno domeno definicije (slika 3).

Glavna perioda funkcije je To pomeni, da je graf mogoče dobiti na segmentu in nato nadaljevati skozi celotno domeno definicije.

Razmislite o lastnostih funkcije:

1) Obseg opredelitve:

2) Razpon vrednosti:

3) Nenavadna funkcija:

4) Najmanjše pozitivno obdobje:

5) Koordinate točk presečišča grafa z osjo abscise:

6) Koordinate presečišča grafa z ordinatno osjo:

7) Intervali, pri katerih funkcija zavzame pozitivne vrednosti:

8) Intervali, pri katerih funkcija zavzame negativne vrednosti:

9) Povečanje intervalov:

10) Zmanjševanje intervalov:

11) Najmanjše število točk:

12) Minimalne funkcije:

13) Največje število točk:

14) Največje funkcije:

Ogledali smo si lastnosti funkcije in njen graf. Lastnosti bodo večkrat uporabljene pri reševanju problemov.

Bibliografija

1. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Učbenik za splošne izobraževalne ustanove (raven profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Knjiga problemov za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10. razred (učbenik za učence šol in razredov s poglobljenim študijem matematike).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljena študija algebre in matematične analize.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka problemov iz matematike za kandidate za visokošolske ustanove (urednik M.I. Skanavi - M.: Višja šola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraični simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi o algebri in načelih analize (priročnik za učence 10-11 razredov splošnoizobraževalnih ustanov - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Zbirka nalog o algebri in načelih analize: učbenik. dodatek za 10-11 razrede. z globino študiral Matematika.-M .: Izobraževanje, 2006.

Domača naloga

Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Knjiga problemov za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed.

A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni spletni viri

3. Izobraževalni portal za pripravo na izpite ().

Kako narisati graf funkcije y=sin x? Najprej si oglejmo sinusni graf na intervalu.

V zvezek vzamemo en segment dolg 2 celici. Na osi Oy označimo eno.

Za udobje zaokrožimo število π/2 na 1,5 (in ne na 1,6, kot zahtevajo pravila zaokroževanja). V tem primeru odsek dolžine π/2 ustreza 3 celicam.

Na osi Ox ne označimo posameznih segmentov, temveč segmente dolžine π/2 (vsake 3 celice). Skladno s tem segment dolžine π ustreza 6 celicam, segment dolžine π/6 pa ustreza 1 celici.

S to izbiro enotskega segmenta se graf, upodobljen na listu zvezka v škatli, najbolj ujema z grafom funkcije y=sin x.

Naredimo tabelo sinusnih vrednosti na intervalu:

Dobljene točke označimo na koordinatni ravnini:

Ker je y=sin x liha funkcija, je sinusni graf simetričen glede na izhodišče - točko O(0;0). Ob upoštevanju tega dejstva nadaljujemo z risanjem grafa levo, nato pa točke -π:

Funkcija y=sin x je periodična s periodo T=2π. Zato se graf funkcije, vzete na intervalu [-π;π], neskončno številokrat ponovi v desno in v levo.

V tej lekciji si bomo podrobno ogledali funkcijo y = sin x, njene osnovne lastnosti in graf. Na začetku lekcije bomo podali definicijo trigonometrične funkcije y = sin t na koordinatni krožnici in obravnavali graf funkcije na krožnici in premici. Pokažimo periodičnost te funkcije na grafu in razmislimo o glavnih lastnostih funkcije. Na koncu lekcije bomo rešili več preprostih nalog z uporabo grafa funkcije in njenih lastnosti.

Tema: Trigonometrične funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njene osnovne lastnosti in graf

Ko razmišljate o funkciji, je pomembno, da vsako vrednost argumenta povežete z eno vrednostjo funkcije. to pravo dopisovanja in se imenuje funkcija.

Opredelimo korespondenčni zakon za .

Vsako realno število ustreza eni sami točki na enotski krožnici, ki se imenuje sinus števila (slika 1).

Vsaka vrednost argumenta je povezana z eno vrednostjo funkcije.

Očitne lastnosti izhajajo iz definicije sinusa.

Slika prikazuje to Ker je ordinata točke na enotskem krogu.

Razmislite o grafu funkcije. Spomnimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je središčni kot, merjen v radianih. Vzdolž osi bomo narisali realna števila ali kote v radianih, vzdolž osi pripadajoče vrednosti funkcije.

Na primer, kot na enotskem krogu ustreza točki na grafu (slika 2)

Dobili smo graf funkcije v območju Toda ob poznavanju periode sinusa lahko upodabljamo graf funkcije čez celotno domeno definicije (slika 3).

Glavna perioda funkcije je To pomeni, da je graf mogoče dobiti na segmentu in nato nadaljevati skozi celotno domeno definicije.

Razmislite o lastnostih funkcije:

1) Obseg opredelitve:

2) Razpon vrednosti:

3) Nenavadna funkcija:

4) Najmanjše pozitivno obdobje:

5) Koordinate točk presečišča grafa z osjo abscise:

6) Koordinate presečišča grafa z ordinatno osjo:

7) Intervali, pri katerih funkcija zavzame pozitivne vrednosti:

8) Intervali, pri katerih funkcija zavzame negativne vrednosti:

9) Povečanje intervalov:

10) Zmanjševanje intervalov:

11) Najmanjše število točk:

12) Minimalne funkcije:

13) Največje število točk:

14) Največje funkcije:

Ogledali smo si lastnosti funkcije in njen graf. Lastnosti bodo večkrat uporabljene pri reševanju problemov.

Bibliografija

1. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Učbenik za splošne izobraževalne ustanove (raven profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Knjiga problemov za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10. razred (učbenik za učence šol in razredov s poglobljenim študijem matematike).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljena študija algebre in matematične analize.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka problemov iz matematike za kandidate za visokošolske ustanove (urednik M.I. Skanavi - M.: Višja šola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraični simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi o algebri in načelih analize (priročnik za učence 10-11 razredov splošnoizobraževalnih ustanov - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Zbirka nalog o algebri in načelih analize: učbenik. dodatek za 10-11 razrede. z globino študiral Matematika.-M .: Izobraževanje, 2006.

Domača naloga

Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Knjiga problemov za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed.

A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni spletni viri

3. Izobraževalni portal za pripravo na izpite ().

Ugotovili smo, da se obnašanje trigonometričnih funkcij in funkcij y = sin x še posebej, na celotni številski vrstici (ali za vse vrednosti argumenta X) popolnoma določa njegovo obnašanje v intervalu 0 < X < π / 2 .

Zato bomo najprej narisali funkcijo y = sin x točno v tem intervalu.

Naredimo naslednjo tabelo vrednosti naše funkcije;

Če na koordinatni ravnini označimo ustrezne točke in jih povežemo z gladko črto, dobimo krivuljo, prikazano na sliki

Dobljeno krivuljo bi lahko sestavili tudi geometrijsko, brez sestavljanja tabele funkcijskih vrednosti y = sin x .

1. Razdelite prvo četrtino kroga s polmerom 1 na 8 enakih delov, ki so sinusi ustreznih kotov.

2. Prva četrtina kroga ustreza kotom od 0 do π / 2 . Zato na os X Vzemimo segment in ga razdelimo na 8 enakih delov.

3. Narišimo ravne črte, vzporedne z osemi X, iz delilnih točk pa gradimo navpičnice do sekanja z vodoravnimi črtami.

4. Povežite presečišča z gladko črto.

Zdaj pa poglejmo interval π / 2 < X < π .
Vrednost vsakega argumenta X iz tega intervala lahko predstavimo kot

x = π / 2 + φ

Kje 0 < φ < π / 2 . Po redukcijskih formulah

greh( π / 2 + φ ) = cos φ = greh ( π / 2 - φ ).

Točke osi X z abscisami π / 2 + φ in π / 2 - φ simetrični drug drugemu glede na točko osi X z absciso π / 2 , sinusi v teh točkah pa so enaki. To nam omogoča, da dobimo graf funkcije y = sin x v intervalu [ π / 2 , π ] tako, da preprosto simetrično prikažete graf te funkcije v intervalu glede na premico X = π / 2 .

Zdaj uporablja nepremičnino funkcija lihe paritete y = sin x,

greh (- X) = - greh X,

to funkcijo je enostavno narisati v intervalu [- π , 0].

Funkcija y = sin x je periodična s periodo 2π ;. Zato je za izgradnjo celotnega grafa te funkcije dovolj, da krivuljo, prikazano na sliki, občasno nadaljujemo levo in desno z obdobjem 2π .

Nastala krivulja se imenuje sinusoid . Predstavlja graf funkcije y = sin x.

Slika dobro ponazarja vse lastnosti funkcije y = sin x , kar smo že dokazali. Spomnimo se teh lastnosti.

1) Funkcija y = sin x določeno za vse vrednosti X , zato je njegova domena množica vseh realnih števil.

2) Funkcija y = sin x omejeno. Vse vrednosti, ki jih sprejme, so med -1 in 1, vključno s tema dvema številkama. Posledično je območje variacije te funkcije določeno z neenakostjo -1 < pri < 1. Kdaj X = π / 2 + 2k π funkcija ima največje vrednosti, ki so enake 1, in za x = - π / 2 + 2k π - najmanjše vrednosti so enake - 1.

3) Funkcija y = sin x je liho (sinusni val je simetričen glede na izvor).

4) Funkcija y = sin x periodični s periodo 2 π .

5) V 2n intervalih π < x < π + 2n π (n je poljubno celo število) je pozitivno in v intervalih π + 2k π < X < 2π + 2k π (k je poljubno celo število) je negativno. Pri x = k π funkcija gre na nič. Zato te vrednosti argumenta x (0; ± π ; ±2 π ; ...) imenujemo funkcijske ničle y = sin x

6) V intervalih - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcijo y = greh x narašča monotono in v intervalih π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π monotono se zmanjšuje.

Posebno pozornost morate posvetiti obnašanju funkcije y = sin x blizu točke X = 0 .

Na primer, sin 0,012 ≈ 0,012; greh (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = greh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Hkrati je treba opozoriti, da za vse vrednosti x

| greh x| < | x | . (1)

Res, naj bo polmer kroga, prikazanega na sliki, enak 1,
a / AOB = X.

Potem greh x= AC. Ampak AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Dolžina tega loka je očitno enaka X, ker je polmer kroga 1. Torej, pri 0< X < π / 2

greh x< х.

Zato zaradi nenavadnosti funkcije y = sin x enostavno je pokazati, da ko - π / 2 < X < 0

| greh x| < | x | .

Končno, kdaj x = 0

| greh x | = | x |.

Tako za | X | < π / 2 neenakost (1) je dokazana. Pravzaprav ta neenakost velja tudi za | x | > π / 2 zaradi dejstva, da | greh X | < 1, a π / 2 > 1

vaje

1.Po grafu funkcije y = sin x določi: a) greh 2; b) greh 4; c) greh (-3).

2.Po funkcijskem grafu y = sin x določi katero število iz intervala
[ - π / 2 , π / 2 ] ima sinus enak: a) 0,6; b) -0,8.

3. Po grafu funkcije y = sin x ugotovi, katera števila imajo sinus,
enako 1/2.

4. Poiščite približno (brez uporabe tabel): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").