Formule, ki povezujejo sorazmerne segmente v pravokotnem trikotniku. Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku

Test podobnosti pravokotnih trikotnikov

Najprej predstavimo kriterij podobnosti pravokotnih trikotnikov.

1. izrek

Test podobnosti pravokotnih trikotnikov: dva pravokotna trikotnika sta si podobna, če imata vsak en enak oster kot (slika 1).

Slika 1. Podobni pravokotni trikotniki

Dokaz.

Naj nam bo dano, da je $\kot B=\kot B_1$. Ker so trikotniki pravokotni, potem je $\kot A=\kot A_1=(90)^0$. Zato sta si po prvem kriteriju podobnosti trikotnikov podobna.

Izrek je dokazan.

Izrek o višini v pravokotnem trikotniku

2. izrek

Nadmorska višina pravokotnega trikotnika, izvlečena iz vrha pravega kota, deli trikotnik na dva podobna pravokotna trikotnika, od katerih je vsak podoben danemu trikotniku.

Dokaz.

Naj nam je dan pravokotni trikotnik $ABC$ s pravim kotom $C$. Narišimo višino $CD$ (slika 2).

Slika 2. Ponazoritev izreka 2

Dokažimo, da sta trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna trikotniku $ABC$ ter da sta si trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna.

Ker je $\angle ADC=(90)^0$, potem je trikotnik $ACD$ pravokoten. Trikotnika $ACD$ in $ABC$ imata skupni kot $A$, zato sta si po izreku 1 trikotnika $ACD$ in $ABC$ podobna.

Ker je $\angle BDC=(90)^0$, potem je trikotnik $BCD$ pravokoten. Trikotnika $BCD$ in $ABC$ imata skupni kot $B$, zato sta si po izreku 1 trikotnika $BCD$ in $ABC$ podobna.

Oglejmo si zdaj trikotnika $ACD$ in $BCD$

\[\kot A=(90)^0-\kot ACD\] \[\kot BCD=(90)^0-\kot ACD=\kot A\]

Zato sta po izreku 1 trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna.

Izrek je dokazan.

Povprečno sorazmerno

Izrek 3

Višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, je povprečje, sorazmerno z odseki, na katere višina deli hipotenuzo danega trikotnika.

Dokaz.

Po izreku 2 imamo, da sta si torej trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna

Izrek je dokazan.

Izrek 4

Krat pravokotnega trikotnika je srednji sorazmernik med hipotenuzo in odsekom hipotenuze, ki je zaprt med krakom in nadmorsko višino, potegnjeno iz vrha kota.

Dokaz.

Pri dokazu izreka bomo uporabili zapis s slike 2.

Po izreku 2 imamo torej trikotnika $ACD$ in $ABC$ podobna

Izrek je dokazan.

Cilji lekcije:

1. uvesti pojem proporcionalne sredine (geometrijske sredine) dveh odsekov;
2. obravnavajo problem sorazmernih odsekov v pravokotnem trikotniku: lastnost višine pravokotnega trikotnika, ki poteka iz oglišča pravega kota;
3. razvijati sposobnosti študentov za uporabo preučevane teme v procesu reševanja problemov.

Vrsta lekcije: lekcija učenja nove snovi.

načrt:

1. Org trenutek.
2. Posodabljanje znanja.
3. Preučevanje lastnosti nadmorske višine pravokotnega trikotnika, narisanega iz vrha pravega kota:
   - pripravljalna faza;
   – uvod;
   – asimilacija.
4. Uvedba koncepta povprečja, sorazmernega z dvema segmentoma.
5. Obvladovanje pojma povprečni sorazmernik dveh odsekov.
6. Dokaz o posledicah:
   – višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, je povprečni sorazmernik med segmenti, na katere ta višina deli hipotenuzo;
   – krak pravokotnega trikotnika je srednji sorazmernik med hipotenuzo in odsekom hipotenuze, ki je zaprt med krakom in nadmorsko višino.
7. Reševanje problema.
8. Povzemanje.
9. Postavljanje domače naloge.

Med poukom

I. ORGANIZACIJSKI MOMENT

- Pozdravljeni fantje, usedite se. Ali so vsi pripravljeni na razred?

Začnimo z delom.

II. ZNANJE POSODOBLJENO

– Kateri pomemben matematični koncept ste se naučili v prejšnjih lekcijah? ( s konceptom podobnosti trikotnikov)

- Spomnimo se, katera dva trikotnika se imenujeta podobna? (dva trikotnika imenujemo podobna, če sta njuna kota enaka in so stranice enega trikotnika sorazmerne s podobnimi stranicami drugega trikotnika)

– S čim dokažemo podobnost dveh trikotnikov? (

– Oblikujte te znake (formulirajte tri znake podobnosti trikotnikov)

III. PREUČEVANJE LASTNOSTI VIŠINE PRAVOKOTNEGA TRIKOTNIKA, VODENEGA Z VRHA PRAVEGA KOTNIKA

a) pripravljalna faza

– Fantje, prosim poglejte prvi diapozitiv. ( Aplikacija) Tukaj sta prikazana dva pravokotna trikotnika – in . in so višine in oz. .

Naloga 1. a) Ugotovite, ali sta si podobna.

– S čim dokazujemo podobnost trikotnikov? ( znaki podobnosti trikotnikov)

(prvi znak, ker v nalogi ni nič znanega o stranicah trikotnikov)

. (Dva para: 1. ∟B= ∟B1 (ravno), 2. ∟A= ∟A 1)

– Naredi zaključek.( po prvem kriteriju podobnosti trikotnikov ~)

Naloga 1. b) Ugotovite, ali sta si podobna.

– Kateri znak podobnosti bomo uporabili in zakaj? (prvi znak, ker v nalogi ni nič znanega o stranicah trikotnikov)

– Koliko parov enakih kotov moramo najti? Poišči te pare (ker so trikotniki pravokotni, je dovolj en par enakih kotov: ∟A= ∟A 1)

- Naredi zaključek. (na podlagi prvega kriterija podobnosti trikotnikov sklepamo, da so si ti trikotniki podobni).

Kot rezultat pogovora je diapozitiv 1 videti takole:

b) odkritje izreka

Naloga 2.

– Ugotovite, ali sta si podobni. Kot rezultat pogovora se oblikujejo odgovori, ki se odražajo na diapozitivu.

– Slika je pokazala, da . Ali smo pri odgovarjanju na vprašanja naloge uporabili to mero stopnje? ( Ne, nismo ga uporabili)

– Fantje, naredite zaključek: na katere trikotnike je razdeljen pravokotni trikotnik z višino, ki je potegnjena iz vrha pravega kota? (zaključiti)

– Postavlja se vprašanje: ali si bosta ta dva pravokotna trikotnika, na katera višina deli pravokotni trikotnik, med seboj podobna? Poskusimo najti pare enakih kotov.

Kot rezultat pogovora se ustvari zapis:

– Zdaj pa naredimo popoln zaključek.( ZAKLJUČEK: višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, deli trikotnik na dva dela. podobno

- To. Oblikovali in dokazali smo izrek o lastnosti višine pravokotnega trikotnika.

Ugotovimo zgradbo izreka in naredimo risbo. Kaj je navedeno v izreku in kaj je treba dokazati? Učenci zapišejo v zvezek:

– Dokažimo prvo točko izreka za novo risbo. Katero lastnost podobnosti bomo uporabili in zakaj? (Prvi, ker v izreku ni nič znanega o stranicah trikotnikov)

– Koliko parov enakih kotov moramo najti? Poišči te pare. (V tem primeru zadostuje en par: ∟A-splošno)

- Naredi zaključek. Trikotnika sta si podobna. Kot rezultat je prikazan vzorec izreka

– Drugo in tretjo točko doma izpišite sami.

c) obvladovanje izreka

- Torej, ponovno oblikujte izrek (Nadmorska višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, deli trikotnik na dva podobno pravokotne trikotnike, od katerih je vsak podoben temu)

– Koliko parov podobnih trikotnikov v konstrukciji »v pravokotnem trikotniku je nadmorska višina potegnjena iz vrha pravega kota« vam omogoča, da najdete ta izrek? ( Trije pari)

Učenci dobijo naslednjo nalogo:

IV. UVEDBA POJMA POVPREČNE PROPORCIONALNOSTI DVEH SEGMENTOV

– In zdaj bomo z vami preučevali nov koncept.

Pozor!

Opredelitev. Odsek črte XY klical povprečno sorazmerno (geometrijska sredina) med segmenti AB in CD, Če

(zapiši v zvezek).

V. RAZUMEVANJE KONCEPTA POVPREČNEGA PROPORCIONALNEGA DELEŽA DVEH SEGMENTOV

– Zdaj pa pojdimo na naslednji diapozitiv.

1. vaja Poiščite dolžino povprečnih sorazmernih odsekov MN in KP, če je MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– Kaj je podano v nalogi? ( Dva odseka in njuni dolžini: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

– Kaj moraš najti? ( Dolžina povprečja je sorazmerna s temi segmenti)

– Katera formula izraža proporcionalno sredino in kako jo najdemo?

(Nadomestite podatke v formulo in poiščite dolžino povprečnega proporca.)

Naloga št. 2. Poiščite dolžino odseka AB, če je sorazmerna sredina odsekov AB in CD 90 cm in CD = 100 cm.

– Kaj je navedeno v nalogi? (dolžina odseka CD = 100 cm in proporcionalno povprečje odsekov AB in CD je 90 cm)

– Kaj je treba najti v problemu? ( Dolžina segmenta AB)

– Kako bomo rešili problem? (Zapišimo formulo za povprečni sorazmerni odsek AB in CD, iz nje izrazimo dolžino AB in nadomestimo podatke v nalogi.)

VI. ZAKLJUČEK POSLEDIC

- Bravo fantje. Zdaj pa se vrnimo k podobnosti trikotnikov, ki smo jo dokazali v izreku. Ponovno povejte izrek. ( Nadmorska višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, deli trikotnik na dva podobno pravokotne trikotnike, od katerih je vsak podoben danemu)

– Najprej uporabimo podobnost trikotnikov in . Kaj iz tega sledi? ( Po definiciji so strani podobnosti sorazmerne s podobnimi stranicami)

– Kakšna enakost bo nastala pri uporabi osnovne lastnosti sorazmerja? ()

– Express CD in potegnite zaključek (;.

Zaključek: višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, je povprečni sorazmernik med segmenti, na katere je hipotenuza razdeljena s to višino)

– Sedaj pa sami dokažite, da je krak pravokotnega trikotnika povprečni proporcionalni del hipotenuze in odseka hipotenuze, ki je sklenjen med krakom in višino. Odseke, na katere je razdeljena hipotenuza, bomo ugotovili po tej nadmorski višini )

Krak pravokotnega trikotnika je srednji sorazmernik med...(-...hipotenuza in odsek hipotenuze med tem krakom in višino )

– Kje uporabimo naučene izjave? ( Pri reševanju problemov)

IX. POSTAVLJANJE DOMAČE NALOGE

d/z:št. 571, št. 572 (a, d), samostojno delo v zvezku, teorija.

Danes vam predstavljamo še eno predstavitev o neverjetni in skrivnostni temi - geometriji. V tej predstavitvi vam bomo predstavili novo lastnost geometrijskih oblik, zlasti koncept sorazmernih odsekov v pravokotnih trikotnikih.

Najprej se moramo spomniti, kaj je trikotnik? To je najpreprostejši poligon, sestavljen iz treh oglišč, povezanih s tremi segmenti. Trikotnik, v katerem je eden od kotov enak 90 stopinj, se imenuje pravokotni trikotnik. Z njimi ste se že podrobneje seznanili v naših prejšnjih izobraževalnih gradivih, ki smo jih predstavili vaši pozornosti.

Torej, če se vrnemo k naši današnji temi, po vrstnem redu označimo, da višina pravokotnega trikotnika, narisanega pod kotom 90 stopinj, razdeli na dva trikotnika, ki sta podobna drug drugemu in prvotnemu. Vse risbe in grafi, ki vas zanimajo, so podani v predlagani predstavitvi; priporočamo, da jih spremljate z opisano razlago.

Grafični primer zgornje teze si lahko ogledate na drugem diapozitivu. Glede na prvi znak podobnosti trikotnikov sta si trikotnika podobna, ker imata dva enaka kota. Če podrobneje določimo, potem višina, spuščena na hipotenuzo, z njo tvori pravi kot, to pomeni, da že obstajajo enaki koti in vsak od oblikovanih kotov ima tudi en skupni kot kot prvotni. Rezultat sta dva med seboj enaka kota. Se pravi, trikotnika sta si podobna.

Določimo še, kaj pomeni pojem "proporcionalna sredina" ali "geometrijska sredina"? To je določen segment XY za segmenta AB in CD, ko je enak kvadratnemu korenu produkta njunih dolžin.

Iz česar tudi sledi, da je krak pravokotnega trikotnika geometrična sredina med hipotenuzo in projekcijo tega kraka na hipotenuzo, to je drugi krak.

Druga lastnost pravokotnega trikotnika je, da je njegova višina, narisana pod kotom 90°, povprečno sorazmerje med projekcijama katet na hipotenuzo. Če se obrnete na predstavitev in druga gradiva, ki so vam na voljo, boste videli, da obstajajo dokazi te teze v zelo preprosti in dostopni obliki. Prej smo že dokazali, da so nastali trikotniki podobni drug drugemu in prvotnemu trikotniku. Nato z uporabo razmerja nog teh geometrijskih likov pridemo do zaključka, da je višina pravokotnega trikotnika neposredno sorazmerna s kvadratnim korenom produkta segmentov, ki so nastali kot posledica znižanja višine od pravi kot prvotnega trikotnika.

Zadnja stvar v predstavitvi je, da je krak pravokotnega trikotnika geometrična sredina za hipotenuzo in njen segment, ki se nahaja med krakom in nadmorsko višino, narisano iz kota, ki je enak 90 stopinj. Ta primer je treba obravnavati z vidika, da so navedeni trikotniki podobni drug drugemu, noga enega od njih pa se izkaže za hipotenuzo drugega. Toda s tem se boste bolje seznanili s preučevanjem predlaganih materialov.

Test podobnosti pravokotnih trikotnikov

Najprej predstavimo kriterij podobnosti pravokotnih trikotnikov.

1. izrek

Test podobnosti pravokotnih trikotnikov: dva pravokotna trikotnika sta si podobna, če imata vsak en enak oster kot (slika 1).

Slika 1. Podobni pravokotni trikotniki

Dokaz.

Naj nam bo dano, da je $\kot B=\kot B_1$. Ker so trikotniki pravokotni, potem je $\kot A=\kot A_1=(90)^0$. Zato sta si po prvem kriteriju podobnosti trikotnikov podobna.

Izrek je dokazan.

Izrek o višini v pravokotnem trikotniku

2. izrek

Nadmorska višina pravokotnega trikotnika, izvlečena iz vrha pravega kota, deli trikotnik na dva podobna pravokotna trikotnika, od katerih je vsak podoben danemu trikotniku.

Dokaz.

Naj nam je dan pravokotni trikotnik $ABC$ s pravim kotom $C$. Narišimo višino $CD$ (slika 2).

Slika 2. Ponazoritev izreka 2

Dokažimo, da sta trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna trikotniku $ABC$ ter da sta si trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna.

Ker je $\angle ADC=(90)^0$, potem je trikotnik $ACD$ pravokoten. Trikotnika $ACD$ in $ABC$ imata skupni kot $A$, zato sta si po izreku 1 trikotnika $ACD$ in $ABC$ podobna.

Ker je $\angle BDC=(90)^0$, potem je trikotnik $BCD$ pravokoten. Trikotnika $BCD$ in $ABC$ imata skupni kot $B$, zato sta si po izreku 1 trikotnika $BCD$ in $ABC$ podobna.

Oglejmo si zdaj trikotnika $ACD$ in $BCD$

\[\kot A=(90)^0-\kot ACD\] \[\kot BCD=(90)^0-\kot ACD=\kot A\]

Zato sta po izreku 1 trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna.

Izrek je dokazan.

Povprečno sorazmerno

Izrek 3

Višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, je povprečje, sorazmerno z odseki, na katere višina deli hipotenuzo danega trikotnika.

Dokaz.

Po izreku 2 imamo, da sta si torej trikotnika $ACD$ in $BCD$ podobna

Izrek je dokazan.

Izrek 4

Krat pravokotnega trikotnika je srednji sorazmernik med hipotenuzo in odsekom hipotenuze, ki je zaprt med krakom in nadmorsko višino, potegnjeno iz vrha kota.

Dokaz.

Pri dokazu izreka bomo uporabili zapis s slike 2.

Po izreku 2 imamo torej trikotnika $ACD$ in $ABC$ podobna

Izrek je dokazan.

Lekcija 40. Proporcionalni segmenti v pravokotnem trikotniku. C. b. a. h. S. pr. N. ac. A. B. Višina pravokotnega trikotnika, potegnjena iz vrha pravega kota, deli trikotnik na 2 podobna pravokotna trikotnika, od katerih je vsak podoben danemu trikotniku. Test podobnosti pravokotnih trikotnikov. Dva pravokotna trikotnika sta si podobna, če imata vsak enak oster kot. Odsek XY se imenuje proporcionalna sredina (geometrijska sredina) za odseke AB in CD, če je lastnost 1. Višina pravokotnega trikotnika, narisana iz vrha pravega kota, je proporcionalna sredina med projekcijama krakov na hipotenuzo. Lastnost 2. Krak pravokotnega trikotnika je proporcionalna sredina med hipotenuzo in projekcijo tega kraka na hipotenuzo.

Geometrija 8. razred

"Reševanje problemov o Pitagorejevem izreku" - Trikotnik ABC je enakokrak. Praktična uporaba Pitagorovega izreka. ABCD je štirikotnik. Površina kvadrata. Najdi sonce. Dokaz. Osnovice enakokrakega trapeza. Razmislite o Pitagorovem izreku. Območje štirikotnika. Pravokotni trikotniki. Pitagorov izrek. Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet.

"Iskanje območja paralelograma" - Osnova. Višina. Določanje višine paralelograma. Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov. Območje paralelograma. Poiščite območje trikotnika. Lastnosti območij. Ustne vaje. Poiščite površino paralelograma. Višine paralelograma. Poiščite obseg kvadrata. Območje trikotnika. Poiščite površino kvadrata. Poiščite površino pravokotnika. Površina kvadrata.

""Kvadrat" 8. razred" - Črni kvadrat. Naloge za ustno delo okoli oboda kvadrata. Površina kvadrata. Znaki kvadrata. Trg je med nami. Kvadrat je pravokotnik z enakimi stranicami. kvadrat. Torba s kvadratnim dnom. Ustne naloge. Koliko kvadratov je prikazanih na sliki? Lastnosti kvadrata. Bogat trgovec. Naloge za ustno delo na površini kvadrata. Obseg kvadrata.

“Opredelitev osne simetrije” - Točke, ki ležijo na isti navpičnici. Narišite dve ravni črti. Gradnja. Narišite točke. Namig. Številke, ki nimajo osne simetrije. Odsek črte. Manjkajoče koordinate. Slika. Figure, ki imajo več kot dve simetrični osi. Simetrija. Simetrija v poeziji. Konstruirajte trikotnike. Simetrične osi. Konstrukcija segmenta. Konstrukcija točke. Figure z dvema simetričnima osema. Ljudje. Trikotniki. Sorazmernost.

"Opredelitev podobnih trikotnikov" - Poligoni. Proporcionalni segmenti. Razmerje ploščin podobnih trikotnikov. Dva trikotnika imenujemo podobna. Pogoji. Z danimi koti in simetralo v oglišču sestavi trikotnik. Recimo, da moramo določiti razdaljo do stebra. Tretji znak podobnosti trikotnikov. Zgradimo nekakšen trikotnik. ABC. Trikotnika ABC in ABC sta na treh stranicah enaka. Določanje višine predmeta.

"Rešitev Pitagorovega izreka" - Deli oken. Najenostavnejši dokaz. Hamurabi. Diagonala. Popoln dokaz. Dokaz z metodo odštevanja. Pitagorejci. Dokaz z metodo razgradnje. Zgodovina izreka. Premer. Dokaz z metodo dodajanja. Epsteinov dokaz. Cantor. Trikotniki. Sledilci. Uporaba Pitagorovega izreka. Pitagorov izrek. Izjava izreka. Perigalov dokaz. Uporaba izreka.