Diferencialna funkcija Poissonove porazdelitve ima obliko. Poissonova porazdelitev (zakon redkih dogodkov)

V številnih praktično pomembnih aplikacijah ima Poissonova porazdelitev pomembno vlogo. Številne številke diskretne količine so izvedbe Poissonovega procesa z naslednjimi lastnostmi:

• Zanima nas, kolikokrat se določen dogodek pojavi v danem razponu možnih rezultatov naključni poskus. Območje možnih rezultatov je lahko časovni interval, segment, površina itd.
• Verjetnost danega dogodka je enaka za vsa področja možnih izidov.
• Število dogodkov, ki se zgodijo na enem področju možnih rezultatov, je neodvisno od števila dogodkov, ki se zgodijo na drugih področjih.
• Verjetnost, da se določen dogodek zgodi več kot enkrat v istem območju možnih izidov, se nagiba k ničli, ko se območje možnih izidov zmanjšuje.

Za nadaljnje razumevanje pomena Poissonovega procesa predpostavimo, da preučimo število strank, ki med kosilom obiščejo bančno podružnico v osrednjem poslovnem okrožju, tj. od 12 do 13 ure. Recimo, da želite določiti število strank, ki pridejo v eni minuti. Ali ima ta položaj zgoraj navedene značilnosti? Prvič, dogodek, ki nas zanima, je prihod stranke, razpon možnih rezultatov pa je enominutni interval. Koliko strank bo prišlo v banko v minuti - nobena, ena, dve ali več? Drugič, razumno je domnevati, da je verjetnost, da stranka prispe v eni minuti, enaka za vse enominutne intervale. Tretjič, prihod ene stranke v katerem koli enominutnem intervalu je neodvisen od prihoda katere koli druge stranke v katerem koli drugem enominutnem intervalu. In končno, verjetnost, da bo v banko prišlo več strank, se nagiba k ničli, če se časovni interval nagiba k ničli, na primer, postane manjši od 0,1 s. Tako je število strank, ki pridejo v banko med kosilom v eni minuti, opisano s Poissonovo porazdelitvijo.

Poissonova porazdelitev ima en parameter, označen s simbolom λ (grška črka "lambda") - povprečno število uspešnih poskusov v danem obsegu možnih rezultatov. Varianca Poissonove porazdelitve je prav tako λ, njen standardni odklon pa je . Število uspešnih poskusov X Poisson naključna spremenljivka spreminja od 0 do neskončnosti. Poissonova porazdelitev je opisana s formulo:

kje P(X)- verjetnost X uspešni poskusi, λ - pričakovano število uspehov, e- osnova naravni logaritem, enako 2,71828, X- število uspehov na časovno enoto.

Vrnimo se k našemu primeru. Predpostavimo, da med odmor za kosilo V povprečju pridejo v banko tri stranke na minuto. Kolikšna je verjetnost, da prideta v banko v danem trenutku dve stranki? Kakšna je verjetnost, da prideta v banko več kot dve stranki?

Uporabimo formulo (1) s parametrom λ = 3. Potem je verjetnost, da prideta dve stranki v banko v dani minuti, enaka

Verjetnost, da bosta v banko prišli več kot dve stranki, je enaka P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞). Ker mora biti vsota vseh verjetnosti enaka 1, členi niza na desni strani formule predstavljajo verjetnost dodatka k dogodku X ≤ 2. Z drugimi besedami, vsota tega niza je enaka 1 – P(X ≤ 2). Tako je P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Zdaj z uporabo formule (1) dobimo:

Tako je verjetnost, da v eni minuti v banko ne prideta več kot dve stranki, 0,423 (ali 42,3 %), verjetnost, da v eni minuti v banko prideta več kot dve stranki, pa 0,577 (ali 57,7 %).

Takšni izračuni se lahko zdijo dolgočasni, še posebej, če je parameter λ dovolj velik. Da bi se izognili zapleteni izračuni, je veliko Poissonovih verjetnosti mogoče najti v posebnih tabelah (slika 1). Na primer, verjetnost, da prideta v banko dve stranki v dani minuti, če v povprečju pridejo v banko tri stranke na minuto, je na presečišču premice X= 2 in stolpec λ = 3. Tako je enako 0,2240 ali 22,4 %.

riž. 1. Poissonova verjetnost pri λ = 3

Dandanes je malo verjetno, da bo kdo uporabljal tabele, če je pri roki Excel s funkcijo =POISSON.DIST() (slika 2). Ta funkcija ima tri parametre: število uspešnih poskusov X povprečno pričakovano število uspešnih poskusov λ, parameter Integral, z dvema vrednostima: FALSE – v tem primeru se izračuna verjetnost števila uspešnih poskusov X(samo X), TRUE – v tem primeru verjetnost števila uspešnih poskusov od 0 do X.

riž. 2. Izračun v Excelu verjetnosti Poissonove porazdelitve pri λ = 3

Približek binomske porazdelitve z uporabo Poissonove porazdelitve

Če število n je veliko in število r- majhna, binomsko porazdelitev je mogoče približati z uporabo Poissonove porazdelitve. kako večje število n in manjše število r višja je natančnost približka. Za približek binomske porazdelitve se uporablja naslednji Poissonov model.

kje P(X)- verjetnost X uspeh z danih parametrov n in r, n- velikost vzorca, r- prava verjetnost uspeha, e- osnova naravnega logaritma, X- število uspehov v vzorcu (X = 0, 1, 2, …, n).

Teoretično ima naključna spremenljivka s Poissonovo porazdelitvijo vrednosti od 0 do ∞. Vendar pa je v primerih, ko se Poissonova porazdelitev uporablja za približevanje binomske porazdelitve, Poissonova naključna spremenljivka število uspehov med n opazovanja - ne sme preseči št n. Iz formule (2) sledi, da z naraščajočim številom n in zmanjšanje števila r verjetnost odkritja veliko število stopnja uspešnosti se zmanjša in se nagiba k ničli.

Kot je navedeno zgoraj, matematično pričakovanjeµ in varianca σ Poissonove porazdelitve 2 sta enaki λ. Zato je treba pri aproksimaciji binomske porazdelitve z uporabo Poissonove porazdelitve uporabiti formulo (3) za aproksimacijo matematičnega pričakovanja.

(3) µ = E(X) = λ =n.p.

Za aproksimacijo standardnega odklona se uporablja formula (4).

Upoštevajte, da standardni odklon, izračunan s formulo (4), teži k standardni odklon v binomskem modelu – ko je verjetnost uspeha str teži k ničli in s tem verjetnost neuspeha 1 – str teži k enotnosti.

Predpostavimo, da je 8 % pnevmatik, proizvedenih v določenem obratu, pokvarjenih. Za ponazoritev uporabe Poissonove porazdelitve za približek binomske porazdelitve izračunajmo verjetnost, da najdemo eno pokvarjeno pnevmatiko v vzorcu 20 pnevmatik. Uporabimo formulo (2), dobimo

Če bi izračunali pravo binomsko porazdelitev namesto njenega približka, bi dobili naslednji rezultat:

Vendar so ti izračuni precej dolgočasni. Če pa za izračun verjetnosti uporabljate Excel, postane uporaba približka Poissonove porazdelitve odveč. Na sl. Slika 3 prikazuje, da je zahtevnost izračunov v Excelu enaka. Vendar pa je ta razdelek po mojem mnenju koristen za razumevanje tega pod določenimi pogoji binomska porazdelitev in Poissonova porazdelitev dajeta podobne rezultate.

riž. 3. Primerjava zahtevnosti izračunov v Excelu: (a) Poissonova porazdelitev; (b) binomska porazdelitev

Torej, v tej in dveh prejšnjih opombah so trije diskretni numerične porazdelitve: , in Poisson. Da bi bolje razumeli, kako so te porazdelitve povezane med seboj, predstavljamo majhno drevo vprašanj (slika 4).

riž. 4. Klasifikacija diskretnih verjetnostnih porazdelitev

Uporabljeno je gradivo iz knjige Levin et al. – M.: Williams, 2004. – str. 320–328

Kjer je λ enako povprečnemu številu pojavitev dogodkov v enakih neodvisni testi, tj. λ = n × p, kjer je p verjetnost dogodka v enem poskusu, e = 2,71828.

Serija porazdelitve Poissonovega zakona ima obliko:

Numerične značilnosti naključne spremenljivke X

Varianca Poissonove porazdelitve
D[X] = λ

Primer št. 1. Semena vsebujejo 0,1 % plevela. Kakšna je verjetnost, da boste našli 5 semen plevela, če naključno izberete 2000 semen?
rešitev.
Verjetnost p je majhna, vendar je število n veliko. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Pričakovanje: M[X] = λ = 2
Razpršenost: D[X] = λ = 2

Primer št. 2. Med semeni rži je 0,4 % semen plevelov. Sestavite porazdelitveni zakon za število plevelov, ko je naključno izbranih 5000 semen. Poiščite matematično pričakovanje in varianco te naključne spremenljivke.
rešitev. Matematično pričakovanje: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Disperzija: D[X] = λ = 20
Distribucijski zakon:

Primer št. 3. Na telefonski centrali pride do nepravilne povezave z verjetnostjo 1/200. Poiščite verjetnost, da bo med 200 povezavami prišlo do naslednjega:
a) natanko ena napačna povezava;
b) manj kot tri nepravilne povezave;
c) več kot dve nepravilni povezavi.
rešitev. Glede na pogoje problema je verjetnost dogodka majhna, zato uporabimo Poissonovo formulo (15).
a) Podano: n = 200, p = 1/200, k = 1. Poiščemo P 200 (1).
Dobimo: . Potem je P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Podano: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Imamo: a = 1.

c) Podano: n = 200, p = 1/200, k > 2. Poiščite P 200 (k > 2).
To težavo je mogoče rešiti preprosteje: poiščite verjetnost nasprotnega dogodka, saj morate v tem primeru izračunati manj izrazov. Upoštevajoč prejšnji primer imamo

Razmislite o primeru, ko je n dovolj velik in p dovolj majhen; postavimo np = a, kjer je a neko število. V tem primeru zahtevana verjetnost se določi s Poissonovo formulo:

Primer št. 4. Verjetnost, da je del okvarjen, je 0,005. Preverjenih je 400 delov. Navedite formulo za izračun verjetnosti, da so več kot 3 deli okvarjeni.

Primer št. 5. Verjetnost, da se okvarjeni deli pojavijo, ko so masovna proizvodnja enako p. določite verjetnost, da serija N delov vsebuje a) natanko tri dele; b) ne več kot trije okvarjeni deli.
p=0,001; N = 4500
rešitev.
Verjetnost p je majhna, vendar je število n veliko. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Naključna spremenljivka X ima obseg vrednosti (0,1,2,...,m). Verjetnosti teh vrednosti je mogoče najti s formulo:

Poiščimo distribucijsko serijo X.
Tukaj je λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Potem je verjetnost, da serija N delov vsebuje natanko tri dele, enaka:

Potem je verjetnost, da serija N delov ne vsebuje več kot tri okvarjene dele:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Primer št. 6. Avtomatska telefonska centrala sprejme povprečno N klicev na uro. Določite verjetnost, da bo v dani minuti prejela: a) natanko dva klica; b) več kot dva klica.
N=18
rešitev.
V eni minuti prejme avtomatska telefonska centrala povprečno λ = 18/60 min. = 0,3
Ob predpostavki, da je na PBX v eni minuti prejeto naključno število klicev X,
upošteva Poissonov zakon, z uporabo formule bomo našli želeno verjetnost

Poiščimo distribucijsko serijo X.
Tukaj je λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Verjetnost, da bo prejela točno dva klica v dani minuti, je:
P(2) = 0,03334
Verjetnost, da bo prejela več kot dva klica v dani minuti, je:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Primer št. 7. Upoštevana sta dva elementa, ki delujeta neodvisno drug od drugega. Trajanje brezhibnega delovanja ima eksponentno porazdelitev s parametrom λ1 = 0,02 za prvi element in λ2 = 0,05 za drugi element. Poiščite verjetnost, da bosta v 10 urah: a) oba elementa delovala brez napak; b) samo verjetnost, da element št. 1 ne bo odpovedal v 10 urah:
Odločitev.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

Verjetnost, da element št. 2 ne bo odpovedal v 10 urah:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) oba elementa bosta delovala brezhibno;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) samo en element bo odpovedal.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Primer št. 7. Proizvodnja povzroči 1% napak. Kakšna je verjetnost, da od 1100 izdelkov, vzetih v raziskavo, ne bo zavrnjenih več kot 17?
Opomba: ker je tukaj n*p =1100*0,01=11 > 10, je treba uporabiti

Zakon binomske porazdelitve velja za primere, ko je bil vzet vzorec fiksne velikosti. Poissonova porazdelitev velja za primere, ko število naključni dogodki zgodi na določena dolžina, območje, obseg ali čas, pri čemer je odločilni parameter porazdelitve povprečno število dogodkov , ne velikosti vzorca n in verjetnost uspeha r. Na primer število neskladnosti v vzorcu ali število neskladnosti na enoto proizvodnje.

Porazdelitev verjetnosti za število uspehov X ima naslednjo obliko:

Ali lahko rečemo, da je diskretna naključna spremenljivka X porazdeljeno po Poissonovem zakonu, če so njegove možne vrednosti 0,1, 2, ...t, ...p, in verjetnost pojava takšnih vrednosti je določena z razmerjem:

(14)

kje m ali je λ neka pozitivna vrednost, imenovana parameter Poissonove porazdelitve.

Poissonov zakon velja za »redko« dogajajoče se dogodke, medtem ko možnost novega uspeha (na primer neuspeha) ostaja neprekinjena, stalna in ni odvisna od števila prejšnjih uspehov ali neuspehov (ko govorimo o o procesih, ki se razvijajo skozi čas, se temu reče »neodvisnost od preteklosti«). Klasičen primer uporabe Poissonovega zakona je število telefonskih klicev na telefonski centrali v določenem časovnem intervalu. Drugi primeri bi bila številka madeži črnila na strani površno napisanega rokopisa ali število pikic, ki so končale na karoseriji avtomobila med barvanjem. Poissonov zakon porazdelitve meri število napak, ne pa števila izdelkov z napako.

Poissonovo porazdelitev določa število naključnih dogodkov, ki se zgodijo v določenih časovnih intervalih ali v določenem območju prostora za λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 vrednost P(m) narašča T prehaja skozi maksimum blizu /

Značilnost Poissonove porazdelitve je, da je varianca enaka matematičnemu pričakovanju. Parametri Poissonove porazdelitve

M(x) = σ 2 = λ (15)

Ta značilnost Poissonove porazdelitve nam omogoča, da v praksi trdimo, da je eksperimentalno pridobljena porazdelitev naključne spremenljivke podvržena Poissonovi porazdelitvi, če so vzorčne vrednosti matematičnega pričakovanja in variance približno enake.

Zakon redkih dogodkov se uporablja v strojništvu za selektivno kontrolo končnih izdelkov, ko tehnične specifikacije v sprejeti seriji izdelkov je dovoljen določen odstotek napak (običajno majhnih) q<<0.1.

Če je verjetnost q dogodka A zelo majhna (q≤0,1) in je število poskusov veliko, potem bo verjetnost, da se bo dogodek A zgodil m-krat v n poskusih, enaka

,

kjer je λ = M(x) = nq

Za izračun Poissonove porazdelitve lahko uporabite naslednje povratne relacije

in (16)

Poissonova porazdelitev ima pomembno vlogo pri statističnih metodah zagotavljanja kakovosti, ker jo je mogoče uporabiti za aproksimacijo hipergeometričnih in binomskih porazdelitev.

Takšen približek je sprejemljiv, če , pod pogojem, da ima qn končno mejo in q<0.1. Когда p →∞, A r → 0, povprečje n r = t = konst.

Z uporabo zakona redkih dogodkov lahko izračunate verjetnost, da bo vzorec n enot vseboval: 0,1,2,3 itd. okvarjenih delov, tj. dano m-krat. Izračunate lahko tudi verjetnost, da se v takem vzorcu pojavi m ali več okvarjenih delov. Ta verjetnost, ki temelji na pravilu seštevanja verjetnosti, bo enaka:

Primer 1. Serija vsebuje dele z napako, katerih delež je 0,1. Zaporedoma se vzame in pregleda 10 delov, nakar se vrnejo v serijo, tj. testi so neodvisni. Kakšna je verjetnost, da bo pri pregledu 10 delov eden pokvarjen?

rešitev Iz pogojev problema q=0,1; n=10; m=1. Očitno je p=1-q=0,9.

Dobljeni rezultat je mogoče uporabiti tudi v primeru, ko se 10 delov odstrani zaporedoma, ne da bi jih vrnili nazaj v serijo. Pri dovolj veliki seriji, na primer 1000 kosov, se bo verjetnost izvleka delov spremenila zanemarljivo. Zato je pod takšnimi pogoji odstranitev okvarjenega dela mogoče obravnavati kot dogodek, ki ni odvisen od rezultatov predhodnih testov.

Primer 2. Serija vsebuje 1% defektnih delov. Kolikšna je verjetnost, da bo pri odvzemu vzorca 50 enot izdelka iz serije ta vseboval 0, 1, 2, 3, 4 dele z napako?

rešitev. Tukaj je q=0,01, nq=50*0,01=0,5

Za učinkovito uporabo Poissonove porazdelitve kot približka binoma je nujno, da je verjetnost uspeha r je bilo bistveno manj q. a n r = t je bil velikosti ene (ali več enot).

Tako v statističnih metodah zagotavljanja kakovosti

hipergeometrični zakon uporaben za vzorce vseh velikosti n in morebitno stopnjo neskladnosti q ,

binomski zakon in Poissonov zakon so njegovi posebni primeri, pod pogojem, da je n/N<0,1 и

Najpogostejši primer različnih vrst verjetnostnih porazdelitev je binomska porazdelitev. Uporabimo njegovo vsestranskost, da določimo najpogostejše posebne vrste distribucij, ki jih srečamo v praksi.

Binomska porazdelitev

Naj bo kakšen dogodek A. Verjetnost pojava dogodka A je enaka str, je verjetnost, da se dogodek A ne zgodi, enaka 1 str, včasih je označen kot q. Naj nštevilo testov, m pogostost pojavljanja dogodka A pri teh n testi.

Znano je, da je skupna verjetnost vseh možnih kombinacij izidov enaka ena, to je:

1 = str n + n · str n 1 (1 str) + C n n 2 · str n 2 (1 str) 2 + + C n m · str m· (1 str) n – m+ + (1 str) n .

Pričakovanje M binomska porazdelitev je enaka:

M = n · str ,

kje nštevilo testov, str verjetnost pojava dogodka A.

Standardni odklon σ :

σ = sqrt( n · str· (1 str)) .

Primer 1. Izračunajte verjetnost, da dogodek, ki ima verjetnost str= 0,5, in n= 10 poskusov se bo zgodilo m= 1-krat. Imamo: C 10 1 = 10 in naprej: p 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Kot lahko vidimo, je verjetnost, da se ta dogodek zgodi, precej nizka. To je razloženo, prvič, z dejstvom, da ni popolnoma jasno, ali se bo dogodek zgodil ali ne, saj je verjetnost 0,5 in možnosti tukaj so "50 proti 50"; in drugič, izračunati je treba, da se bo dogodek zgodil točno enkrat (nič več in nič manj) od desetih.

Primer 2. Izračunajte verjetnost, da dogodek, ki ima verjetnost str= 0,5, in n= 10 poskusov se bo zgodilo m= 2-krat. Imamo: C 10 2 = 45 in naprej: p 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Verjetnost, da se ta dogodek zgodi, se je povečala!

Primer 3. Povečajmo verjetnost samega dogodka. Naredimo bolj verjetno. Izračunajte verjetnost, da dogodek, ki ima verjetnost str= 0,8, in n= 10 poskusov se bo zgodilo m= 1-krat. Imamo: C 10 1 = 10 in naprej: p 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Verjetnost je postala manjša kot v prvem primeru! Odgovor se na prvi pogled zdi nenavaden, a ker ima dogodek precej visoko verjetnost, je malo verjetno, da se bo zgodil le enkrat. Večja verjetnost je, da se bo to zgodilo večkrat. Res, štetje p 0 , p 1 , p 2 , p 3, , p 10 (verjetnost, da dogodek v n= 10 poskusov se bo zgodilo 0, 1, 2, 3, , 10-krat), bomo videli:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

p 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
p 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
p 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
p 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
p 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
p 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
p 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
p 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
p 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(največja verjetnost!);
p 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
p 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

seveda p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 + p 8 + p 9 + p 10 = 1 .

Normalna porazdelitev

Če upodobimo količine p 0 , p 1 , p 2 , p 3, , p 10, ki smo ga izračunali v primeru 3, na grafu se izkaže, da ima njihova porazdelitev obliko, ki je blizu običajnemu zakonu porazdelitve (glej sliko 27.1) (glej Predavanje 25. Modeliranje normalno porazdeljenih naključnih spremenljivk).

Binomski zakon postane normalen, če sta verjetnosti nastopa in nenastopa dogodka A približno enaki, to pomeni, da lahko pogojno zapišemo: str≈ (1 str) . Na primer, vzemimo n= 10 in str= 0,5 (tj str= 1 str = 0.5 ).

Do takšnega problema bomo smiselno prišli, če bomo na primer želeli teoretično izračunati, koliko fantkov in koliko deklic bo na 10 otrok, rojenih v porodnišnici na isti dan. Natančneje, ne bomo šteli fantkov in punčk, ampak verjetnost, da se bodo rodili samo fantki, da se bo rodil 1 fantek in 9 deklic, da se bosta rodila 2 fantka in 8 deklic itd. Za poenostavitev predpostavimo, da je verjetnost, da bosta imela fantka in deklico, enaka in enaka 0,5 (toda v resnici, če smo iskreni, ni tako, glejte tečaj »Modeliranje sistemov umetne inteligence«).

Jasno je, da bo porazdelitev simetrična, saj je verjetnost, da bomo imeli 3 fante in 7 deklic, enaka verjetnosti, da bomo imeli 7 fantov in 3 deklice. Največja verjetnost rojstva bo 5 fantkov in 5 deklic. Ta verjetnost je enaka 0,25, mimogrede, v absolutni vrednosti ni tako velika. Poleg tega je verjetnost, da se bo naenkrat rodilo 10 ali 9 fantkov, veliko manjša od verjetnosti, da se bo od 10 otrok rodil 5 ± 1 deček. Pri tem izračunu nam bo pomagala binomska porazdelitev. torej.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

p 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
p 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
p 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
p 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
p 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
p 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
p 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
p 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
p 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
p 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
p 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

seveda p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 + p 8 + p 9 + p 10 = 1 .

Količine prikažimo na grafu p 0 , p 1 , p 2 , p 3, , p 10 (glej sliko 27.2).

Torej pod pogoji m ≈ n/2 in str≈ 1 str oz str≈ 0,5 namesto binomske porazdelitve lahko uporabite normalno. Za velike vrednosti n graf se premakne v desno in postaja vse bolj raven, saj matematično pričakovanje in varianca naraščata z naraščanjem n : M = n · str , D = n · str· (1 str) .

Mimogrede, binomski zakon se nagiba k normali in z naraščanjem n, kar je povsem naravno, glede na osrednji mejni izrek (glej. Predavanje 34. Zapis in obdelava statističnih rezultatov).

Zdaj razmislite, kako se spremeni binomski zakon v primeru, ko str ≠ q, to je str> 0. V tem primeru hipoteze o normalni porazdelitvi ni mogoče uporabiti in binomska porazdelitev postane Poissonova porazdelitev.

Poissonova porazdelitev

Poissonova porazdelitev je poseben primer binomske porazdelitve (z n>> 0 in pri str>0 (redki dogodki)).

Iz matematike je znana formula, ki vam omogoča približno izračunavanje vrednosti katerega koli člana binomske porazdelitve:

kje a = n · str Poissonov parameter (matematično pričakovanje), varianca pa je enaka matematičnemu pričakovanju. Predstavimo matematične izračune, ki pojasnjujejo ta prehod. Binomski zakon porazdelitve

p m = C n m · str m· (1 str) n – m

lahko napišete, če postavite str = a/n , v obliki

Ker str je zelo majhna, potem je treba upoštevati le številke m, majhna v primerjavi z n. delo

zelo blizu enotnosti. Enako velja za velikost

Magnituda

zelo blizu e – a. Od tu dobimo formulo:

Primer. Škatla vsebuje n= 100 delov, kakovostnih in okvarjenih. Verjetnost prejema izdelka z napako je str= 0,01. Recimo, da izdelek vzamemo ven, ugotovimo, ali je okvarjen ali ne, in ga vrnemo nazaj. S tem se je izkazalo, da sta se od 100 izdelkov, ki smo jih pregledali, dva izkazala za okvarjena. Kakšna je verjetnost za to?

Avtor: binomska porazdelitev dobimo:

Iz Poissonove porazdelitve dobimo:

Kot lahko vidite, so se vrednosti izkazale za blizu, zato je v primeru redkih dogodkov povsem sprejemljivo uporabiti Poissonov zakon, še posebej, ker zahteva manj računalniškega napora.

Prikažimo grafično obliko Poissonovega zakona. Vzemimo za primer parametre str = 0.05 , n= 10. Nato:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

p 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
p 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
p 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
p 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
p 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
p 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
p 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
p 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
p 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
p 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
p 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

seveda p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 + p 8 + p 9 + p 10 = 1 .

pri n> ∞ postane Poissonova porazdelitev normalno pravo, glede na osrednji mejni izrek (glej.