Primeri deljenja razlike s številom. Lastnosti deljenja ničle z naravnim številom
Navedimo primer, ki potrjuje veljavnost lastnosti deljenja vsote dveh naravnih števil z danim naravno število. Pokažimo, da je enakost (18+36):6=18:6+36:6 pravilna. Najprej izračunajmo vrednost izraza z leve strani enačbe. Ker je 18+36=54, potem (18+36):6=54:6. Iz tabele množenja dobimo 54:6=9 (glej poglavje o teoriji deljenja z uporabo tabele množenja). Preidimo na izračun vrednosti izraza 18:6+36:6. Iz tabele množenja imamo 18:6=3 in 36:6=6, torej 18:6+36:6=3+6=9. Zato je enakost (18+36):6=18:6+36:6 pravilna.
Pozorni morate biti tudi na dejstvo, da ta lastnost, kot tudi asociativna lastnost seštevanja naravnih števil, omogoča delitev vsote treh in več naravna števila za dano naravno število. Na primer, količnik (14+8+4+2):2 je enak vsoti naslednjih količnikov 14:2+8:2+4:2+2:2.
Lastnost deljenja razlike dveh naravnih števil z naravnim številom.
Podobno kot prejšnja lastnost je formulirana lastnost deljenja razlike dveh naravnih števil z danim naravnim številom: deljenje razlike dveh števil z danim številom je enako odštevanju od količnika minuend in dano številko količnik odštevanca in danega števila.
Z uporabo črk lahko to lastnost delitve zapišemo na naslednji način: (a-b):c=a:c-b:c, pri čemer so a, b in c naravna števila, tako da je a večje ali enako b, prav tako pa lahko oba a in b delimo s c.
Kot primer, ki potrjuje obravnavano lastnost deljenja, bomo prikazali veljavnost enakosti (45-25):5=45:5-25:5. Ker je 45-25=20 (če je treba, preučite članek o odštevanju naravnih števil), potem (45-25):5=20:5. S pomočjo tabele množenja ugotovimo, da je dobljeni količnik enak 4. Zdaj pa izračunajmo vrednost izraza 45:5-25:5, ki je na desni strani enačbe. Iz tabele množenja imamo 45:5=9 in 25:5=5, potem pa 45:5-25:5=9-5=4. Torej velja enakost (45-25):5=45:5-25:5.
Lastnost deljenja produkta dveh naravnih števil z naravnim številom.
Če vidite povezava med deljenjem in množenjem, potem bo vidna tudi lastnost deljenja produkta dveh naravnih števil z danim naravnim številom, ki je enako enemu od faktorjev. Njegova formulacija je naslednja: rezultat deljenja produkta dveh naravnih števil z danim naravnim številom, ki je enako enemu od faktorjev, je enak drugemu faktorju. Tukaj je dobesedna oblika te lastnosti delitve: (a·b):a=b oz (a·b):b=a, kjer sta a in b nekaj naravnih števil.
Na primer, če produkt števil 2 in 8 delimo z 2, dobimo 8 in (3·7):7=3.
Zdaj bomo predpostavili, da delitelj ni enak nobenemu od faktorjev, ki tvorijo dividendo. Formulirajmo lastnost deljenja produkta dveh naravnih števil z danim naravnim številom za te primere. V tem primeru bomo predpostavili, da je vsaj enega od faktorjev mogoče deliti z danim naravnim številom. Torej je zmnožek dveh naravnih števil z danim naravnim številom enako, kot če bi enega od faktorjev delili s tem številom in rezultat pomnožili z drugim faktorjem.
Navedena lastnost, milo rečeno, ni očitna. Če pa se spomnimo, da je množenje naravnih števil v bistvu seštevanje določenega števila enakih členov (o tem piše v teoriji o pomenu množenja naravnih števil), potem obravnavana lastnost izhaja iz.
Zapišimo to lastnost s črkami. Naj bodo a, b in c naravna števila. Potem, če je a mogoče deliti s c, potem enakost velja (a·b):c=(a:c)·b; če b lahko delimo s c, potem velja enakost (a·b):c=a·(b:c); in če lahko a in b delimo s c, potem obe enakosti veljata hkrati, to je (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .
Na primer, zaradi upoštevane lastnosti deljenja zmnožka dveh naravnih števil z danim naravnim številom veljata enakosti (8 6): 2 = (8 : 2) 6 in (8 6): 2 = 8 (6 : 2). ) veljajo, kar lahko zapišemo kot dvojno enakost oblike (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .
Lastnost deljenja naravnega števila z zmnožkom dveh naravnih števil.
Poglejmo naslednjo situacijo. Recimo, da moramo enakomerno razdeliti nagrade a med udeležence b ekip, c oseb v vsaki ekipi (predpostavili bomo, da so naravna števila a, b in c takšna, da je navedeno delitev mogoče izvesti). Kako naj to storim? Razmislimo o dveh primerih.
- Prvič, lahko ugotovite skupaj udeležencev (če želite to narediti, morate izračunati zmnožek b·c), nato pa vse nagrade razdelite na vse b·c udeležence. Matematično ta postopek ustreza a:(b·c) .
- Drugič, nagrade a lahko razdelimo na b ekip, nakar se dobljeno število nagrad v vsaki ekipi (enako bo količniku a:b ) razdeli na c udeležencev. Matematično je ta proces opisan z izrazom (a:b):c.
Jasno je, da bo tako v prvi kot v drugi diviziji vsak udeleženec prejel enako število nagrad. To pomeni, da bo enakost oblike resnična a:(b·c)=(a:b):c, ki je dobesedna predstavitev lastnosti deljenja naravnega števila s produktom dveh naravnih števil. Upoštevati je treba, da lahko zaradi komutativne lastnosti množenja naravnih števil dobljeno enakost zapišemo v obliki a:(b·c)=(a:c):b .
Vse, kar ostane, je podati formulacijo obravnavane lastnosti delitve: deljenje naravnega števila z zmnožkom je enako kot deljenje tega števila z enim od faktorjev, po katerem se dobljeni količnik deli z drugim faktorjem.
Dajmo primer. Pokažimo veljavnost enakosti 18:(2·3)=(18:2):3, ki bo potrdila lastnost deljenja naravnega števila s produktom dveh naravnih števil. Ker je 2·3=6, je količnik 18:(2·3) enak 18:6=3. Zdaj pa izračunajmo vrednost izraza (18:2):3. Iz tabele množenja ugotovimo, da je 18:2=9 in 9:3=3, potem (18:2):3=3. Zato je 18:(2·3)=(18:2):3.
Lastnost deljenja ničle z naravnim številom.
Sprejeli smo dogovor, da število nič (ne pozabite, da nič ni naravno število) pomeni odsotnost nečesa. Tako je deljenje ničle z naravnim številom razdelitev »ničesar« na več delov. Očitno bo v vsakem od nastalih delov tudi "nič", to je nič. Torej, 0:a=0, kjer je a poljubno naravno število.
Dobljeni izraz je dobesedna predstavitev lastnosti deljenja ničle z naravnim številom, ki je formulirana takole: rezultat deljenja ničle s poljubnim naravnim številom je nič.
Na primer, 0:105=0 in količnik nič, deljen s 300.553, je prav tako nič.
Naravnega števila ni mogoče deliti z nič.
Zakaj naravnega števila ne moremo deliti z nič? Ugotovimo to.
Recimo, da lahko neko naravno število a delimo z nič, rezultat deljenja pa je drugo naravno število b, torej velja enakost a:0=b. Če se spomnimo povezave med deljenjem in množenjem, potem zapisana enakost a:0=b pomeni veljavnost enakosti b·0=a. Vendar lastnost množenja naravnega števila in ničle pravi, da je b·0=0. Primerjava zadnjih dveh enakosti pokaže, da je a=0, kar pa ne more biti, saj smo rekli, da je a neko naravno število. Tako naša predpostavka o možnosti deljenja naravnega števila z nič vodi v protislovje.
Torej, naravnega števila ni mogoče deliti z nič.
Bibliografija.
- Matematika. Vsi učbeniki za 1., 2., 3., 4. razrede splošnoizobraževalnih ustanov.
- Matematika. Vsi učbeniki za 5. razred splošnoizobraževalnih ustanov.
Deljenje števila s produktom. Naučite se in vadite tehnike deljenja števila z zmnožkom.
Diapozitiv 8 iz predstavitve “Matematika 4. razred “Razdelitev””. Velikost arhiva s predstavitvijo je 2492 KB.
Matematika 4. razred
"Matematična igra v 4. razredu" - Deset vojakov, postavljenih v vrsto. Matematični KVN. Ugotoviti. Igrajmo se s številkami. Dva nosoroga imata 2 roga. Skrivnostne številke. Naloge za pozorne. Katero številko sem imel v mislih? Zabavne uganke. Kovanci so žvenketali v Koljinem žepu. Poiščite simbol "ekstra". Izrazite v več majhne enote. Katero število nikoli ne more biti delitelj?
"Dejanja z večmestna števila» — Individualno delo. V. Reševanje gibalnih nalog v nasprotnih straneh. Minuta telesne vzgoje. Sporočite temo in cilje lekcije. Med poukom. Reši uganko. Povzetek lekcije. E: Problem: Med 1 vožnjo avto prepelje 172 škatel tovora. Verbalno štetje. Organiziranje časa. Reševanje nalog z operacijami z večmestnimi števili.
"Naloge na sklopih" - št. 2 Za sveža voda. Lahko pomagate? Cape Artists. Plavamo z delfinom! "Glasbeniki iz Bremna" Preselimo množice. Množice. št. 6 na 4. strani. Ptice, ki znajo plavati. Živjo, na ladji! Samoglasniki v ruščini. Št. 1 Obnovitev zalog. Se pravi, zdravo! Bratje v pravljici "Maček v škornjih". Lep pozdrav mornarji na našem polotoku! Dobrodošli na otoku Poigray! Polovi Zemlje.
"Razdelitvena lastnost" - "Matematiko bi morali imeti radi zaradi tega razloga, ker spravlja um v red." Turčija masa. Poišči pomen izrazov na dva načina. Distributivne lastnosti množenja. Zapišite izraze, ki so enaki podatkom. Test. Prispevek M. V. Lomonosova k znanosti. Verbalno štetje. Enačbe razdeli v dva stolpca. Pregled vzorca.
"Elementi geometrije v osnovna šola» — Racionalni načini reševanje problema. Geometrijske količine. Ravne črte. Kup geometrijske oblike. Tri palice. Prostorski odnosi. Pravokotni list. Študij osnov geometrije. Izvirnost in neodvisnost misli. Primeri problemov odprtega tipa.
“Površinske enote 4. razred” - Matematiki imajo svoj jezik. Enote površine. Sto je nova enota za površino. Preglejte napisano na tabli. Formule. Celotna dolžina meje Rusije - 60.933 km. Zapišite si v zvezek in te številke razporedite v naraščajočem vrstnem redu. Matematični loto. Naloge. Ujemite napako. Sotka je ar. hektar.
V temi “Matematika 4. razreda” je skupno 51 predstavitev.
Deljenje celih števil, pravila, primeri.
V tem članku si bomo ogledali deljenje celih števil brez ostanka. Tukaj bomo govorili le o delitvi takšnih celih števil, katerih absolutne vrednosti so deljive s celoto (glej pomen deljenja naravnih števil brez ostanka). O deljenju celih števil z ostankom bomo govorili v posebnem članku.
Najprej bomo predstavili izraze in zapise, ki jih bomo uporabljali za opis deljenja celih števil. Nato bomo nakazali pomen deljenja celih števil, kar nam bo pomagalo pridobiti pravila za deljenje pozitivnih celih števil, negativnih celih števil in celih števil z različna znamenja. Tu si bomo ogledali primere uporabe pravil za deljenje celih števil. Nazadnje bomo pokazali, kako preverimo rezultat deljenja celih števil.
Izrazi in simboli
Za opis deljenja celih števil bomo uporabili enake izraze in zapise, kot smo jih uporabili za opis deljenja naravnih števil (glej poglavje o teoriji dividenda, delitelja, količnika in delilnega znaka). Naj jih spomnimo.
Celo število, ki ga delimo, se imenuje deljivo. Celo število, s katerim se izvede deljenje, se imenuje delilnik. Rezultat deljenja celih števil se imenuje zasebno.
Deljenje je označeno s simbolom oblike:, ki se nahaja med deljenim in deliteljem (včasih je tam znak ÷, ki označuje tudi deljenje). Delitev celega števila a s celim številom b lahko zapišemo s simbolom: kot a:b. Če deljenje celega števila a s celim številom b povzroči število c, potem je to dejstvo priročno zapisati kot enakost a:b=c. Izraz v obliki a:b imenujemo tudi količnik, kot je pomen tega izraza.
Pomen deljenja celih števil
Vemo, da obstaja povezava med množenjem in deljenjem naravnih števil. Iz te povezave smo sklepali, da je deljenje iskanje neznanega faktorja, ko sta znana drugi faktor in produkt. Dajmo enak pomen deljenju celih števil. To pomeni, da je deljenje celih števil iskanje po to delo in enega od celih faktorjev drugega celega faktorja.
Glede na pomen deljenja celih števil lahko rečemo, da če je produkt dveh celih števil a in b enak c, potem je količnik od c, deljen z a, enak b, in količnik od c, deljen z b, je enak do a. Dajmo primer. Recimo, da vemo, da je zmnožek dveh celih števil 5 in −7 enak −35, potem lahko rečemo, da je količnik (−35):5 enak −7 in količnik (−35):(−7 ) je enako 5.
Upoštevajte, da je količnik celega števila a, deljen s celim številom b, celo število (če je a deljiv z b brez ostanka).
Pravila za deljenje celih števil
Pomen deljenja celih števil, naveden v prejšnjem odstavku, nam omogoča, da trdimo, da je eden od obeh faktorjev količnik deljenja njunega produkta z drugim faktorjem. Vendar ne ponuja načina za iskanje neznanega faktorja iz znanega faktorja in produkta. Na primer, enakost 6·(−7)=−42 nam omogoča, da rečemo, da sta količnika (−42):6 in (−42):(−7) enaka −7 oziroma 6. Če pa vemo, da je zmnožek dveh faktorjev enak 45 in je eden od faktorjev enak −5, nam pomen deljenja celih števil ne daje neposrednega odgovora na vprašanje, čemu je enak drugi faktor. .
To razmišljanje nas vodi do naslednjega zaključka: potrebujemo pravila, ki nam omogočajo, da eno celo število delimo z drugim. Zdaj jih bomo prejeli. Ta pravila nam bodo omogočila reduciranje deljenja celih števil na deljenje naravnih števil.
Deljenje pozitivnih celih števil
Pozitivna cela števila so naravna števila, torej deljenje celih števil pozitivna števila se izvaja po vseh pravilih za deljenje naravnih števil. Tu ni več kaj dodati; razmisliti moramo le o rešitvi nekaj primerov, v katerih se izvaja deljenje pozitivnih celih števil.
Delite pozitivno celo število 104 s pozitivnim celim številom 8.
V tem primeru lahko dividendo 104 predstavimo kot vsoto 80+24 in nato uporabimo pravilo za deljenje vsote s to številko. Dobimo 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.
Izračunaj količnik 308 716:452.
V tem primeru je najlažji način za pridobitev količnika deljenja teh pozitivnih celih števil z dolgim deljenjem: 
Pravilo za deljenje negativnih celih števil, primeri
Oblikujte pravilo za deljenje celih števil negativna števila V pomoč nam bodo naslednji premisleki.
Recimo, da moramo negativno celo število a deliti z negativnim celim številom b. S črko c označimo zahtevani količnik deljenja a z b, to je a:b=c. Najprej ugotovimo, čemu je enako absolutna vrednostštevilke c.
Zaradi pomena deljenja celih števil mora veljati enakost b·c=a. Potem. Lastnosti modula števila nam omogočajo zapis enakosti , torej . Iz nastale enakosti sledi, tj. absolutna vrednost količnika deljenja je enaka količniku modulov dividende in delitelja.
Ostaja še določiti predznak števila c. Z drugimi besedami, ugotovimo, ali je rezultat deljenja negativnih celih števil pozitivno ali negativno celo število.
V smislu deljenja celih števil velja enakost b·c=a. Potem iz pravil za množenje celih števil sledi, da mora biti število c pozitivno. IN drugače b·c bo zmnožek celih negativnih števil, ki bo po pravilu množenja enako zmnožku modulov faktorjev, torej bo pozitivno število, naše število a pa je negativno celo število. torej količnik c deljenja negativnih celih števil je pozitivno celo število.
Zdaj pa združimo zaključke, ki smo jih potegnili v pravilo za deljenje negativnih celih števil. Če želite negativno celo število deliti z negativnim celim številom, morate modul dividende deliti z modulom delitelja. Če sta a in b negativni celi števili, potem .
Razmislimo o uporabi pravila za deljenje negativnih celih števil pri reševanju primerov.
Deli negativno celo število −92 z negativnim celim številom −4.
Po pravilu za deljenje negativnih celih števil je želeni rezultat enak količniku modula dividende, deljenega z modulom delitelja. Razumemo.
Deljenje naravnih števil: pravila, primeri in rešitve.
V tem članku bomo razumeli pravila, po katerih deljenje naravnih števil. Tukaj bomo samo upoštevali deljenje naravnih števil brez ostanka, ali, kot se tudi imenuje, popolna delitev(torej le tiste primere, v katerih je ohranjen pomen deljenja naravnih števil). Deljenje naravnih števil z ostankom si zasluži poseben članek.
Pravil za deljenje naravnih števil ni mogoče oblikovati, ne da bi izsledili povezavo med deljenjem in množenjem, kar je bilo storjeno na samem začetku tega članka. Spodaj je največ preprosta pravila deljenja, ki neposredno izhajata iz lastnosti tega dejanja, sta deljenje enakih naravnih števil in deljenje naravnega števila z ena. Nato je deljenje s tabelo množenja podrobno obravnavano s primeri. V nadaljevanju je prikazano, kako poteka deljenje z desetico, sto, tisoč itd., deljenje naravnih števil, katerih zapis se konča na 0, ter vsi ostali primeri. Vse gradivo je opremljeno s primeri natančen opis odločitve. Na koncu članka pokažemo, kako preverimo rezultat deljenja z množenjem. Tako boste imeli vse potrebne spretnosti za deljenje poljubnih naravnih števil.
Navigacija po straneh.
Razmerje med deljenjem in množenjem
Zasledimo povezavo med deljenjem in množenjem. Če želite to narediti, ne pozabite, da je delitev povezana s predstavitvijo množice, ki jo delimo, v obliki unije več enakih množic, na katere razdelimo prvotno množico (o tem smo govorili v razdelku splošna ideja o delitvi). Po drugi strani pa je množenje povezano z združevanjem določenega števila enakih nizov v enega (če je potrebno, se obrnite na teoretični del - splošna ideja množenja). torej deljenje je obratno od množenja.
Naj pojasnimo, kaj pomeni zadnji stavek.
Če želite to narediti, razmislite o naslednji situaciji. Imejmo b množic po c predmetov in jih združimo v eno množico, ki proizvede a objektov. Glede na pomen množenja naravnih števil lahko trdimo, da opisano dejanje ustreza enakosti c·b=a. Sedaj dobljeno množico ponovno razdelimo na b enakih množic. Jasno je, da bo v tem primeru v vsakem nastalem nizu c objektov. Potem, ko se spomnimo pomena deljenja naravnih števil, lahko zapišemo enakost a:b=c.
Pridemo do naslednje trditve: če je produkt naravnih števil c in b enak a, potem je količnik deljenja a z b enak c.
Torej, če c·b=a, potem a:b=c. Vendar pa lahko zaradi komutativne lastnosti množenja naravnih števil enakost c·b=a prepišemo kot b·c=a, kar pomeni, da je a:c=b. Če torej vemo, da je produkt dveh naravnih števil c in b enak a, to je c·b=a, potem lahko rečemo, da sta količnika a:b in a:c enaka c oziroma b .
Na podlagi vseh navedenih podatkov je mogoče podati definicijo deljenja naravnih števil na podlagi množenja.
Delitev je dejanje, s katerim se najde en faktor, ko sta znana produkt in drugi dejavnik.
Na podlagi te definicije bomo zgradili pravila za deljenje naravnih števil.
Deljenje naravnih števil kot zaporedno odštevanje
Načeloma je vedenje, da je deljenje obratno od množenja, dovolj, da se naučimo izvajati to operacijo. Vendar bi rad spregovoril o drugem pristopu k deljenju naravnih števil, pri katerem se deljenje obravnava kot zaporedno odštevanje. To je zaradi svoje preprostosti in očitnosti.
Da bo vse čim bolj jasno, si poglejmo primer.
Kakšen je rezultat deljenja 12 s 4?
Glede na pomen deljenja naravnih števil lahko zastavljeni problem modeliramo na naslednji način: predmetov je 12, razdeliti jih je treba na enake kupe po 4 predmete v vsakem, dobljeno število kupov nam bo dalo odgovor na vprašanje čemur je enak količnik 12:4.
Zaporedoma, korak za korakom, vzamemo 4 predmete iz začetnih elementov in iz njih oblikujemo zahtevane kupčke, dokler začetnih elementov ne zmanjka. Število korakov, ki jih moramo narediti, nam bo povedalo število nastalih kupčkov in s tem odgovor na zastavljeno vprašanje.
Torej, od prvotnih 12 predmetov smo 4 dali na stran, tvorijo prvi kup. Po tem dejanju ostane 12−4=8 elementov v prvotni kopici (če je treba, si zapomnite pomen odštevanja naravnih števil). Iz teh 8 predmetov vzamemo še 4 predmete in iz njih oblikujemo drugi kup. Po tem dejanju ostane 8−4=4 elementov v prvotnem kupu predmetov. Očitno lahko iz preostalih elementov sestavimo še en, tretji kup, po katerem nam v prvotnem kupu ne bo ostal niti en predmet (to pomeni, da bomo imeli v prvotnem kupu 4−4 = 0 elementov). Tako smo dobili 3 kupčke in lahko rečemo, da smo naravno število 12 delili z naravnim številom 4 in dobili smo 3.
Zdaj pa stopimo stran od predmetov in poglejmo, kaj smo naredili z naravnima številoma 12 in 4? Izvajali smo zaporedno odštevanje delitelja 4, dokler nismo dobili nič, pri tem pa šteli število potrebnih dejanj, ki so nam dala rezultat deljenja.
Zaključek: deljenje enega naravnega števila z drugim lahko izvedemo z zaporednim odštevanjem.
Da bi utrdili gradivo tega odstavka članka, razmislimo o rešitvi drugega primera.
Izračunajmo količnik 108:27 z zaporednim odštevanjem.
Prvo dejanje: 108−27=81 (če imate težave z odštevanjem, si oglejte članek odštevanje naravnih števil).
Drugo dejanje: 81−27=54.
Tretje dejanje: 54−27=27.
Torej smo dobili nič z zaporednim odštevanjem 4-krat, torej 108:27=4.
Omeniti velja, da je deljenje naravnih števil na ta način priročno uporabljati le, če je potrebna majhna količina zaporedna odštevanja da bi dobili rezultat. V drugih primerih se uporabljajo pravila za deljenje naravnih števil, o katerih bomo podrobneje razpravljali v nadaljevanju.
Deljenje enakih naravnih števil
Kvocient naravnega števila, deljen z njim enakim naravnim številom, je enak ena. Ta izjava je lastnost deljenja enakih naravnih števil.
Na primer 1:1=1, 143:143=1, tudi rezultat deljenja naravnih števil 10.555 in 10.555 je ena.
Deljenje naravnega števila z ena
Lastnost deljenja naravnega števila z ena nam omogoča, da takoj oblikujemo ustrezno pravilo deljenja. Sliši se takole: količnik poljubnega naravnega števila deljenega z ena je enak naravnemu številu, ki ga delimo.
Na primer 21:1=21, 13.003:1=13.003, podobno je rezultat deljenja naravnega števila 555.987 z ena število 555.987.
Deljenje naravnih števil s pomočjo množilne tabele
Kot veste, tabela množenja omogoča iskanje produkta dveh enomestnih naravnih števil.
S tabelo množenja lahko poiščete tudi enega od dveh enomestnih faktorjev, če sta znana zmnožek in drugi faktor. In v prvem odstavku tega članka smo ugotovili, da je delitev iskanje enega od faktorjev iz produkta in drugega dejavnika. Tako lahko s pomočjo tabele množenja katero koli naravno število, ki se nahaja v tabeli množenja na rožnatem ozadju, delite z enomestnim naravnim številom.
Na primer, delimo 48 s 6. Z uporabo množilne tabele lahko to storite na enega od dveh načinov. Najprej podajmo grafično ilustracijo, nato pa opis.
Prva metoda (ustreza sliki zgoraj na levi). Dividendo (v našem primeru je to naravno število 48) poiščemo v stolpcu, v zgornji celici katerega je delitelj (v našem primeru število 6). Rezultat delitve je v skrajni levi celici vrstice, v kateri se nahaja najdena dividenda. Za naš primer je to številka 8, ki je obkrožena z modro barvo.
Druga metoda (ustreza zgornji sliki na desni). Dividendo 48 najdemo v vrstici, v kateri se nahaja delitelj 6 v levi celici. Zahtevani količnik se v tem primeru nahaja v zgornji celici stolpca, v katerem se nahaja najdena dividenda 48. Rezultat je obkrožen z modro barvo.
Torej smo s tabelo množenja 48 delili s 6 in dobili 8.
Za utrjevanje gradiva predstavljamo risbo, ki prikazuje postopek deljenja naravnega števila 7 z 1.
Deljenje z 10, 100, 1000 itd.
Takoj bomo podali formulacijo pravila za deljenje naravnih števil z 10, 100, 1000, ... (predpostavili bomo, da je tako deljenje možno) in navedli primer, nato pa podali potrebna pojasnila.
Rezultat deljenja naravnega števila z 10, 100, 1000 itd. je naravno število, katerega zapis dobimo iz zapisa dividende, če na desni zavržemo eno, dve, tri in tako naprej ničle (to pomeni, zavržemo toliko števk 0, kolikor jih vsebuje zapis dividende).
Na primer, količnik 30, deljen z 10, je enak 3 (ena številka 0 je bila odstranjena z desne strani dividende 30), količnik 120.000:1.000 pa je enak 120 (tri števke 0 so bile odstranjene iz desno od 120.000).
Navedeno pravilo je precej enostavno utemeljiti. Če želite to narediti, se spomnite pravil za množenje naravnega števila z deset, sto, tisoč itd. Dajmo primer. Izračunajmo količnik 10 200:100. Ker je 102 100 = 10 200, potem je zaradi povezave med seštevanjem in množenjem rezultat deljenja naravnega števila 10 200 s 100 naravno število 102.
Predstavitev dividende kot produkta
Včasih vam deljenje naravnih števil omogoča, da dividendo predstavite kot produkt dveh števil, od katerih je vsaj eno deljivo z deliteljem. Ta metoda deljenja temelji na lastnosti, da zmnožek dveh števil delimo z naravnim številom.
Poglejmo enega najpreprostejših tipičnih primerov.
Deli 30 s 3.
Očitno lahko dividendo 30 predstavimo kot produkt naravnih števil 3 in 10. Imamo 30:3=(3·10):3. Uporabite lastnost deljenja produkta dveh števil z naravnim številom. Imamo (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10. Torej je količnik 30 deljen s 3 10.
Dajmo rešitve še za nekaj podobnih primerov.
7200 delite z 72.
V tem primeru lahko dividendo 7200 obravnavamo kot produkt števil 72 in 100. V tem primeru dobimo naslednji rezultat: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100.
1.600.000 delite s 160.
Očitno je 1.600.000 produkt 160 in 10.000, torej 1.600.000:160=(160·10.000):160= (160:160)·10.000=1·10.000=10.000.
1 600 000:160=10 000 .
V več zapleteni primeri Ko dividendo predstavljate kot produkt, se morate zanašati na množilno tabelo. Naslednji primeri bodo pojasnili, kaj mislimo.
Naravno število 5400 delimo z 9.
S tabelo množenja lahko 54 delimo z 9, zato je logično, da dividendo 5400 predstavimo kot zmnožek 54·100 in dokončamo deljenje: 5400:9=(54·100):9= (54:9) ·100=6·100 =600 .
Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvi drugega primera.
Izračunajmo količnik 120:4.
Da bi to naredili, predstavimo dividendo 120 kot zmnožek 12 in 10, nakar uporabimo lastnost deljenja zmnožka dveh števil z naravnim številom. Imamo 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30.
Deljenje naravnih števil, ki se končajo z 0
Pri tem se moramo spomniti lastnosti deljenja naravnega števila s produktom dveh števil. Naj pojasnimo zakaj. Za deljenje naravnih števil, katerih vnosi se končajo z 0, se delitelj predstavi kot produkt dveh naravnih števil, nato pa se uporabi omenjena lastnost deljenja.
Razumejmo to s primeri. Vzemimo dve naravni števili, katerih vnosi se končajo na nič, in ju razdelimo.
490 delite s 70.
Ker je 70=10·7, potem je 490:70=490:(10·7). Zadnji izraz je zaradi lastnosti deljenja naravnega števila s produktom enak (490:10):7. V enem od prejšnjih odstavkov smo se naučili deliti z 10, dobimo (490:10):7=49:7. Dobljeni količnik poiščemo s tabelo množenja in kot rezultat dobimo 490:70=7.
Za utrjevanje snovi razmislimo o rešitvi še enega bolj zapletenega primera.
Izračunajmo količnik 54.000:5.400.
5.400 predstavimo kot produkt 100·54 in naravno število delimo s produktom: 54.000:5.400=54.000:(100·54)= (54.000:100):54=540:54. Tukaj ostane še, da predstavimo 540 kot 54·10 (če je potrebno, se vrnemo na prejšnjo točko) in zaključimo izračune: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Torej, 54.000:5.400=10.
Informacije v tem odstavku lahko povzamemo z naslednjo izjavo: če so v zapisu dividende in delitelja številke 0 na desni, potem se morate v zapisih znebiti enakega števila ničel na desni. , nato pa dobljena števila razdelite. Na primer, deljenje naravnih števil 818.070.000 in 201.000 se zmanjša na deljenje števil 818.070 in 201, potem ko iz zapisov dividende in delitelja na desni odstranimo tri števke 0.
Izbira zasebnih
Naj sta naravni števili a in b takšni, da je a deljivo z b, in če b pomnožimo z 10, je rezultat večje število od a. V tem primeru je količnik a:b enomestno naravno število, torej število od 1 do 9, in ga je najlažje najti. Da bi to naredili, se delitelj zaporedno pomnoži z 1, 2, 3 in tako naprej, dokler ni produkt enak dividendi. Takoj ko je taka enakost dosežena, bo najden količnik a:b.
Poiščimo količnik 108:27.
Očitno je, da je delitelj 108 manjši od 27 10 = 270 (če je potrebno, glejte članek o primerjavi naravnih števil). Izberimo količnik. Da bi to naredili, bomo delitelj 27 zaporedno pomnožili z 1, 2, 3, ... dokler ne dobimo dividende 108. Gremo: 27·1=27, 27·2=54, 27·3=81, 27·4=108 (če je treba, glej članek o množenju naravnih števil). Zato je 108:27=4.
V zaključku tega odstavka ugotavljamo, da v takšnih primerih količnika ni mogoče izbrati, ampak najti z zaporednim odštevanjem.
Predstavitev dividende kot vsote naravnih števil
Če vse zgoraj obravnavane metode ne omogočajo deljenja naravnih števil, potem je treba dividendo predstaviti kot vsoto več členov, od katerih se vsak zlahka deli z deliteljem. Nato boste morali uporabiti lastnost deljenja vsote naravnih števil z danim številom in dokončati izračune. Glavno vprašanje ostaja: "V kakšni obliki naj predstavimo dividendo?"
Opišimo algoritem za pridobivanje pogojev, ki seštevajo dividendo. Za večjo dostopnost bomo hkrati obravnavali primer, v katerem je dividenda enaka 8,551 in delitelj enak 17.
Najprej izračunamo, za koliko je število števk v dividendi večje od števila števk v delitelju, in si zapomnimo to številko.
Če je na primer dividenda naravno število 8551, delitelj pa število 17, potem zapis dividende vsebuje še 2 števki (8551 je štirimestno število, 17 je dvomestno število, torej razlika v številu števk je določeno z razliko 4−2=2) . Se pravi, zapomni si številko 2.
Zdaj v vnosu delitelja na desni dodamo številki 0 v znesku, določenem s številom, pridobljenim v prejšnjem odstavku. Poleg tega, če je napisano število večje od dividende, potem morate odšteti 1 od števila, ki si ga zapomnite v prejšnjem odstavku.
Vrnimo se k našemu primeru. Pri vnosu za delitelj 17 dodamo dve števki 0 na desno in dobimo število 1.700. To število je manjše od dividende 8551, zato števila, ki si ga zapomnite v prejšnjem odstavku, NI treba zmanjšati za 1. Tako nam številka 2 ostaja v spominu.
Nato številki 1 na desni pripišemo številki 0 v količini, ki je določena s številko, shranjeno v prejšnjem odstavku. V tem primeru dobimo enoto števke, s katero bomo delali naprej.
V našem primeru številu 1 dodelimo 2 ničli, imamo številko 100, torej bomo delali z mestom stotin.
Sedaj zaporedoma množimo delitelj z 1, 2, 3, ... enotami delovne števke, dokler ne dobimo števila, ki je večje od dividende.
V našem primeru je delovna številka stotica. Zato najprej pomnožimo delitelj z eno enoto na mestu stotic, torej pomnožimo 17 s 100, dobimo 17·100=1.700. Dobljeno število 1.700 je manjše od dividende 8.551, zato nadaljujemo z množenjem delitelja z dvema enotama na mestu stotic, to je z množenjem 17 z 200. Imamo 17·200=3 400 8 551 .
Število, dobljeno v predzadnjem koraku množenja, je prvi od zahtevanih členov.
V primeru, ki ga analiziramo, je zahtevani člen število 8.500 (to število je enako produktu 17·500, kar kaže, da je 8.500:17=500, to enakost bomo uporabljali naprej).
Po tem najdemo razliko med dividendo in prvim ugotovljenim izrazom. Če dobljeno število ni enako nič, nadaljujemo z iskanjem drugega člena. Da bi to naredili, ponovimo vse opisane korake algoritma, vendar zdaj tukaj dobljeno število vzamemo kot dividendo. Če na tej točki spet dobimo številko, ki ni nič, nadaljujemo z iskanjem tretjega člena in znova ponavljamo korake algoritma, pri čemer dobljeno število vzamemo kot dividendo. In tako nadaljujemo z iskanjem četrtega, petega in naslednjih členov, dokler število, dobljeno na tej točki, ni enako nič. Takoj, ko tukaj dobimo 0, so vsi členi najdeni in lahko preidemo na zadnji del izračuna prvotnega količnika.
Vrnimo se k našemu primeru. Na tem koraku imamo 8.551−8.500=51. Ker 51 ni enako 0, vzamemo to število kot dividendo in z njim ponovimo vse korake algoritma.
Število znakov v zapisih števila 51 in delitelja 17 je enako, zato si zapomnimo številko 0.
Pri vnosu delitelja ni treba dodati ene števke 0 na desno, saj smo si število 0 zapomnili. Se pravi, številka 17 ostaja takšna kot je. To število je manjše od 51, zato ni treba odšteti ena od shranjene številke 0. Tako nam številka 0 ostane v spominu.
Številu 1 na desni ne bomo pripisali niti ene števke 0, saj imamo številko 0 v spominu. To pomeni, da bomo delali z enicami.
Sedaj zaporedoma množimo delitelj 17 z 1, 2, 3 in tako naprej, dokler ne dobimo števila večje od 51. Imamo 17·1=17 51 . V predzadnjem koraku smo dobili število 51 (to število je enako zmnožku 17·3 in ga bomo uporabili naprej). Zato je drugi izraz številka 51.
Poišči razliko med številom 51 in številom 51, dobljenim v prejšnjem odstavku. Imamo 51−51=0. Zato nehamo iskati izraze.
Zdaj vemo, da mora biti dividenda 8.551 predstavljena kot vsota dveh členov 8.500 in 51.
Končajmo z iskanjem količnika. Imamo 8.551:17=(8.500+51):17. Zdaj se spomnimo na lastnost deljenja vsote dveh števil z naravnim številom, kar nas pripelje do enakosti (8.500+51):17=8.500:17+51:17. Zgoraj smo ugotovili, da je 8.500:17=500 in 51:17=3. Tako je 8500:17+51:17=500+3=503. Torej, 8551:17=503.
Da bi okrepili veščine predstavljanja dividende kot vsote izrazov, razmislimo o rešitvi drugega primera.
Deli 64 z 2.
1) Dividenda ima en znak več kot delitelj, zato si zapomnite številko 1.
2) Če delitelju na desni dodamo eno števko 0, dobimo število 20, ki je manjše od dividende 64. Zato zapomnitve številke 1 ni treba zmanjšati za ena.
3) Sedaj 1 priredimo eno (ker imamo v spominu številko 1) številko 0 na desni, dobimo številko 10, to je, delali bomo z deseticami.
4) Delitelj 2 začnemo zaporedno množiti z 10, 20, 30 itd. Imamo: 2·10=20 64 . Tako je prvi člen število 60 (ker je 2·30=60, potem je 60:2=30, ta enakost nam bo kasneje koristila).
5) Izračunaj razliko 64−60, ki je enaka 4. To število zlahka delimo z deliteljem 2, zato bomo to število vzeli kot drugi (in zadnji) člen. (Seveda lahko to številko vzamemo kot dividendo in gremo znova skozi vse korake algoritma; pripeljali nas bodo do dejstva, da je drugi člen številka 4.)
Tako smo dividendo 64 predstavili kot vsoto dveh členov 60 in 4. Ostaja še dokončanje izračunov: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32.
Rešimo še en primer.
Izračunajmo količnik 1 178:31.
1) V zapisu dividende sta 2 števki več kot v delitelju. Zato si zapomnite številko 2.
2) Če delitelju na desni prištejemo dve števki 0, dobimo število 3 100, ki je večje od dividende. Zato je treba število 2, ki si ga zapomnite v prejšnjem odstavku, zmanjšati za ena: 2−1=1, zapomnite si to število.
3) Sedaj številu 1 dodamo eno števko 0 na desni, dobimo število 10 in nato delamo z deseticami.
4) Delitelj dosledno množite z 10, 20, 30 itd. Dobimo 31·10=310 1 178. Tako smo našli prvi izraz. Enako je 930 (kasneje bomo potrebovali enakost 930:31=30, ki izhaja iz enakosti 31·30=930).
5) Izračunaj razliko: 1,178−930=248. Odkar smo dobili številko, ne enako nič, potem ga sprejmemo kot dividendo in začnemo iskati drugi izraz z istim algoritmom.
1) Število 248 je zapisano z 1 števko več kot delitelj 31. Zato si zapomnimo številko 1.
2) Delitelju na desni dodamo eno števko 0, dobimo število 310, ki je večje od števila 248. Zato morate od zapomnjene številke 1 odšteti 1, v tem primeru dobimo številko 0 in si jo zapomnimo.
3) Ker imamo v pomnilniku številko 0, številu 1 na desni strani ni treba dodajati ničel. Torej delamo z enotami.
4) Delitelj 31 dosledno pomnožite z 1, 2, 3 in tako naprej. Imamo 31·1=31.248. Drugi člen je enak 248 (iz enakosti 248=31·8 sledi, da je 248:31=8, to bomo potrebovali kasneje).
5) Izračunamo razliko med številom 248 in dobljenim številom 248, imamo 248−248=0. Posledično se iskanje pojmov tukaj ustavi.
Tako predstavljamo 1.178 kot vsoto 930+248. Preostane le še dokončanje izračunov: 1.178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (pozorni smo bili na rezultate 930:31=30 in 248:31 =8 zgoraj).
IN začetni tečaj Matematični izreki o deljivosti vsote so »predstavljeni« v obliki knjige »Deljenje vsote s številom«. Ta lastnost se uporablja pri delitvi dvomestno število do nedvoumnega.
V učbeniku M2M je metoda seznanjanja otrok s to lastnostjo podobna metodi proučevanja lastnosti množenja vsote s številom. Namreč: najprej učenci analizirajo dva načina reševanja problema, pri čemer v ta namen uporabijo risbo, nato pa na konkretnem primeru razložijo dva načina ravnanja pri deljenju vsote s številom, tj. obravnavajo primer, ko vsak člen se deli z danim številom.
Razmislite o dveh načinih za rešitev primera: (6+9):3 ;
Izračunajte vsoto in rezultat delite s številom: (6+9):3=15:3=5;
Vsak člen razdelite s številom in nato seštejte rezultate: (6+9):3=6:3+9:3=2+3=5. Primerjajte rezultate.
Novo metodo delovanja utrjujemo med vajami: Pojasnite pomen vsakega izraza na dva načina: (10+4):2, (8+12):4, (12+15):3.
V učbeniku M2I je z drugačnim metodološkim pristopom učence seznaniti z lastnostjo deljenja vsote s številom.
Učenci dobijo naslednjo nalogo: Ugani! Kakšno je pravilo za pisanje izrazov v posamezne stolpce? Izračunajte njihove vrednosti: 54:9 (36+18):9 36:9+18:9; 63:7 (49+14):7 49:7+14:7.
V procesu opravljanja te naloge se učenci zavejo novega načina delovanja. Namreč: dividenda je predstavljena kot vsota dveh členov, od katerih je vsak deljen z danim številom, nato se vsak člen deli s tem številom in dobljeni rezultati seštejejo. Za učenje novega načina delovanja se izvajajo različne naloge. Poleg tega izrazi, uporabljeni v nalogah, vključujejo samo tabelarične primere deljenja, tako da učenci nimajo težav pri uporabi nove metode delovanja.
24. Metodologija uvajanja pojma »enačba«.
Numerični izraz;
Izraz s spremenljivko;
Enakost in neenakost;
Enačba.
2) Razkrijte njihovo vsebino.
Pojem enačbe je eden od osnovnih algebrskih pojmov, ki se preučujejo pri predmetih matematike v osnovni šoli. V osnovni šoli se obravnavajo samo enačbe 1. stopnje z eno neznanko, večina metod pa priporoča seznanjanje otrok izključno z najenostavnejšimi enačbami.
Najenostavnejše enačbe so tiste, v katerih je za iskanje korena dovolj en sam korak. Toda po nekaterih drugih metodah je poleg navedenih enačb priporočljivo učence seznaniti še z več kompleksne enačbe vrsta:
Osnova za reševanje enačbe v osnovni šoli je povezava med komponentami aritmetične operacije in njihove rezultate.
Naloge, s katerimi se sooča učitelj:
Učence seznani s pojmom enačbe in njene rešitve;
Razviti zavestno spretnost pri reševanju enačb.
Osnovnošolcem ponudite reševanje enačbe v implicitni obliki, tj. ponudi zapis, kot je:
V polje vpiši manjkajoče število, da dobiš pravilno enačbo.
To nalogo lahko ponudimo na različnih stopnjah izobraževanja v osnovni šoli. Glede na stopnjo učenja, na kateri so ponujene te naloge, lahko učenci delujejo na dva načina:
1. Če otroci še ne poznajo povezav med sestavinami dejanj in njihovimi rezultati, potem določene naloge opravijo z izbirno metodo. Tisti. V okno zamenjajte različna števila in preverite, ali enakost velja.
2. Če so navedene naloge ponujene, ko so otroci že seznanjeni s povezavami med sestavinami dejanj in njihovimi rezultati, jih najdejo s to povezavo.
Iz navedenega lahko sklepamo, da se učenci na stopnji priprave na spoznavanje pojma enačbe seznanijo z enačbo v implicitni obliki in načinom reševanja enačb z izbirno metodo => 2. način reševanja enačb - način izbire.
Enako pripravljalna faza mora vključevati seznanjanje osnovnošolcev s sestavinami različnih računskih operacij, njihovimi rezultati in razmerjem med njimi. Če učenci niso seznanjeni s temi koncepti na ustrezni ravni in se otroci zavestno ne naučijo pravil iskanja neznani pogoji, odšteti, zmanjšati itd., potem seznanitev z rešitvijo enačbe ne bo na ustrezni ravni. Skozi celoten proces učenja matematike v vstopna raven Preden se seznanite z enačbo, je potrebno opraviti delo, katerega cilj je razviti pri učencih trdne spretnosti pri iskanju neznanih komponent aritmetičnih operacij.
Uvod v pojem enačbe.
Otroci vabljeni k snemanju:
Nato poročajo, da je v matematiki neznano število običajno označeno s posebnimi črkami, od katerih je glavna " X».
in poroča se, da se predstavljena enakost imenuje enačba. Da bi otroci oblikovali koncept enačbe, morate ponuditi številne izraze:
Otroci morajo iz navedenih predmetov prepoznati tiste, ki so enačbe, in razložiti svojo izbiro. Hkrati morajo navesti bistvene lastnosti enačb (enakost, obstaja X).
Skupaj s pojmom "enačba" otroci razvijejo predstavo o tem, kaj pomeni rešiti enačbo. Popolnoma morajo razumeti dejstvo, da reševanje enačbe pomeni iskanje števila, ki, ko ga zamenjamo v enačbo za neznanko, slednjo spremeni v pravo številsko enakost. Koncept "koren enačbe" ni uveden, čeprav nekatere tehnike omogočajo uvedbo tega izraza (po Elkonin-Davydovu).
Že na stopnji preučevanja enačbe na začetku se je dobro ukvarjati s propedevtiko koncepta »domena definicije enačbe«. To delo se izvaja še posebej učinkovito ...
X-10=2 (9 ni mogoče, ker ...)
15:x=5 (ne morete uporabiti 5, ker...)
Pri obravnavanju tovrstnih enačb se ugotovi, da vsako število ne more biti rešitev teh enačb.
Da bi bilo delo pri preučevanju enačb učinkovito, je treba otrokom ponuditi enačbe z različnimi nalogami:
Reši enačbo in preizkusi;
Preverite enačbe, ki jih rešujete, in poiščite napako;
Sestavite enačbe s števili: x, 10, 12
12 = 10 itd.
Od dane enačbe reši le tiste, ki jih je mogoče rešiti z odštevanjem:
10 = 8 itd.
Od podanih enačb reši le tiste, ki jih je mogoče rešiti s seštevanjem;
Otroci dobijo enačbo, v kateri manjka znak dejanja
in rešitev je bila dana
Posebna pozornost Pri obravnavi koncepta je treba enačbo preveriti. Zelo pomembno je, da učenci pri preverjanju rešitve enačb pristopijo k temu delu ne formalno, ampak zavestno. Da bi to naredili, jih je treba ponuditi problematične situacije, v katerem morate nastopiti konkretna dejanja o preverjanju rešenih enačb, in sicer ponuditi že rešeno enačbo in brez reševanja zahtevati, da se ugotovi, ali je prišlo do napake ali ne. Za nadzor dejanj učencev v tem procesu jih je treba povabiti, da o svojih dejanjih govorijo na glas.
25. Metodologija uvajanja pojma »izraz« (številski izrazi in izrazi s spremenljivko).
Pri tečajih matematike v osnovni šoli se otroci seznanijo z naslednjimi algebrskimi koncepti:
Numerični izraz;
Izraz s spremenljivko;
Enakost in neenakost;
Enačba.
Naloge, s katerimi se sooča učitelj:
1) Oblikovati idejo med učenci o teh pojmih.
2) Razkrijte njihovo vsebino.
ŠTEVILSKI IZRAZ.
Naloge:
2) Predstavite pravila za vrstni red izvajanja dejanj v izrazih. Naučite se jih uporabljati pri izračunih.
3) Naučite otroke izvajati nekaj enakih transformacij izrazov.
S pojmom številski izraz se učenci seznanjajo že od prvih šolskih dni z uvedbo ene ali druge računske operacije.
Uvajanje osnovnošolskih otrok v koncept seštevanja: otrokom je prikazan številski izraz, imenovan vsota. Učitelj se mora spomniti, da ima znak dejanja med številkami dvojni pomen. Po eni strani prikazuje dejanja, ki jih je treba izvesti s številkami, po drugi strani pa prikazuje oznako danega številskega izraza. Zato je koncept "številskih izrazov" neločljivo povezan s konceptom "aritmetičnih operacij" in pri oblikovanju teh pojmov eden prispeva k oblikovanju drugega.
Seznanjanje s številskimi izrazi poteka postopoma in učenci se najprej seznanijo z najpreprostejšimi izrazi (z enim akcijskim znakom), nato pa z več zapleteni izrazi(2 ali več dejanj). Zelo pomembna faza je stopnja primerjanja izrazov. S primerjanjem izrazov se otroci seznanijo s pojmi, kot sta enakost in neenakost.
Ker postajajo izrazi bolj zapleteni, je za iskanje njihovega pomena potrebno osnovnošolce seznaniti s pravili izvajanja dejanj v izrazih.
Tudi spoznavanje teh pravil poteka postopoma:
1) Najprej se otroci seznanijo s pravilom za izvajanje dejanj v izrazu, ki vključuje dejanja ene ravni in ni oklepajev.
2) Nato se učenci seznanijo s pravili za izvajanje dejanj v izrazih z dejanji istega koraka in oklepaji.
3) Potem - izrazi z dejanji različnih ravni, vendar brez oklepajev.
4) Potem - izrazi z dejanji dveh korakov in oklepaji.
Seznanitev z vsemi pravili je naslednja: Učitelj obvesti, da si morajo otroci zapomniti.
Da bi se otroci naučili uvedenih pravil, jim je treba ponuditi različne naloge:
1) Izračunajte vrednost tega izraza, ko ste predhodno navedli postopek.
2) Razporedite oklepaje, da dobite pravilne enakosti.
3) Iz navedenih parov primerov izpiši samo tiste, pri katerih so bili izračuni opravljeni po pravilih vrstnega reda dejanj.
Po razlagi napak lahko daste nalogo: z oklepaji spremenite izraz tako, da bo imel navedeno vrednost.
4) Otroke prosimo, da navedejo vrstni red dejanj v naslednjih vnosih:
Posebna pozornost pri oblikovanju pojmov številski izrazi je treba nasloviti na otroke transformacije identitete(transformacija je identična, če en izraz proizvede drug izraz, ki mu je identično enak).
Identične transformacije, ki jih izvajajo osnovnošolci:
1) Zamenjava +, -, :, x z njihovimi vrednostmi.
2) Preureditev izrazov.
3) Odpiranje oklepajev.
Vse enake transformacije, ki jih izvajajo osnovnošolci, temeljijo na pravilih za izvajanje operacij s števili in lastnostih nekaterih računskih operacij (komutativnost, asociativnost, razdelilnost, pravilo za množenje vsote s številom, pravilo za odštevanje vsote od števila). število, operacije z 0 in 1 itd. .d.)
Pri proučevanju vsake lastnosti so učenci prepričani, da lahko v izrazih določene vrste izvajajo dejanja na različne načine, vendar se pomen izrazov ne bo spremenil.
V nadaljevanju učenci uporabijo določene lastnosti za identične transformacije izrazov.
1) učenec prebere izraz;
2) zapomni si ustrezno lastnost;
3) na podlagi te lastnosti preoblikuje izraz.
Da bi zagotovili pravilnost transformacij, učencem svetujemo, da poiščejo pomen istega izraza na drug način.
Če se dobljena vrednost ujema s prvo, je bila pretvorba izvedena pravilno.
Da bi razvili matematični govor in zavestno izvajali transformacije, je treba otroke povabiti, da razložijo izvedena dejanja.
IZRAZ S SPREMENLJIVKO.
Naloge:
1) Podajte predstavo o izrazih, ki vsebujejo spremenljivko.
2) Naučite se najti vrednost izraza za različne vrednosti spremenljivke.
Pri učenju matematike v osnovni šoli se učenci na različnih stopnjah srečujejo z izrazi s spremenljivkami. Spoznavanje teh matematičnih pojmov delo z njimi pa učencem omogoča posploševanje pojma izraz.
Dobra priprava je naloga, kjer je spremenljivka predstavljena v implicitni obliki (prazno okno, pike)
Na primer: 3+
Vstavite vsako od naslednje številke 1, 2, 3, poišči vsoto.
Postopoma se otroci pripeljejo do ideje, da lahko v matematiki namesto manjkajoče številke napišete črko in, če črki daste določene pomene, dobite različne pomene izrazi.
Vrednosti s spremenljivkami se uporabljajo tudi pri seznanjanju s formulami za iskanje obsega in površine.
Vedeti je treba, da se obseg znanja, ki ga učenci pridobijo na to temo, razlikuje glede na učbenik matematike.
Na primer:
Peterson, Istomina, Aleksandrova - obseg in vsebina izrazov s spremenljivko sta znatno razširjena in se aktivno uporabljata (oblikovanje lastnosti aritmetičnih operacij pri učencih)
20.01.2016. Zadeva: Deljenje produkta s številom.
Cilj: uvesti novo lastnost deljenja.
Naloge
predmet:
Ponovi in utrdi lastnosti množenja in deljenja
Izboljšati računalniške sposobnosti;
Utrjujemo zmožnost reševanja nalog, primerov, enačb, branja izrazov
sistemska dejavnost
Znati uporabiti lastnosti množenja in deljenja.
osebno :
Gojiti ljubezen do domovine, domoljubje in kognitivno dejavnost.
Vrsta lekcije: učenje novega znanja
Materiali virov: učbenik matematika 3. razred Almatykі pipa 2014 ,kartice s primeri, naloga, pravilo, predstavitev, emotikoni, nalepke..
Med predavanji:
1 . Org. trenutek
Pozdravimo z očmi,
Pozdravimo z rokami,
Pozdravimo z usti,
Vsepovsod bo veselje.
Začnemo našo lekcijo,
Prijazni, hitro se odzivamo
In želimo vam na vaši poti
Prestopite vse ovire
2. Ustno štetje
Danes nimamo preproste lekcije, ampak lekcije potovanja. Odpravili se bomo na izlet v eno od mest Kazahstana. In za kakšno mesto gre, boste izvedeli, ko boste našli pomen izrazov.
6*3*2=36 15:3*2=10 20*2:8=5
90:3=30 4(5-2)=12 12*2:3=8
Vsaka številka ustreza črki, postavite jih v pravi vrstni red in prebrali boste ime mesta, kamor gremo na ekskurzijo
Gremo torej v glavno mesto naše domovine, Astano.
Baiterek je simbol naše države. Ta stolp je nameščen na 500 stebrih, na vrhu je krogla - model zemeljska sfera ki tehta 300 ton. Nobena država na svetu nima te zgradbe.
Višina Baitereka je 150 metrov. Na nadmorski višini 97 metrov je opazovalna ploščad, ki vam omogoča ogled mesta s ptičje perspektive. Številka 97 ni bila izbrana naključno. Simbolizira leto, ko je Astana dobila status prestolnice.
Danes nimamo preprostega ustnega štetja. Vsaka številka v njem bo povedala o zanimivosti mesta Astana.
Zmnožku 3 in 5 dodajte 4=19.
19 let se letos praznuje v glavnem mestu Republike Kazahstan, Astani. Za toliko kratkoročno Astana je uspela postati prepoznavna po vsem svetu.
2. 50 se poveča za 3-krat==150
Nakupovalno-zabaviščni center Khan Shatyr se je uspel vpisati tudi v Guinnessovo knjigo rekordov - gre za največjo zgradbo v obliki šotora na svetu. Višina tega arhitekturnega čudeža z zvonikom je 150 metrov
3. Poiščite količnik 8 in 2. Povečajte za 100-krat == 400
3.400 študentov Astane je sodelovalo v najbolj množični izvedbi plesa Kara Zhorga, ki je bil uvrščen v Guinnessovo knjigo rekordov.
4. Povečajte 60 za 2-krat == 120
. 120 let črnega topola. tonajstarejše drevo v Astani. Topol "živi" v parku prestolnice
5. Količnik 25 in 5 pomnožite z 9.
V Astani je 45 zgodovinskih in kulturnih spomenikov.
3. Pisanje številke Kul delo v zvezku
4. Minuta pisave (diapozitiv 10)
Spomnimo se, kako pravilno zapisati številke.
5. Delajte na temo lekcije
Astana v kazahstanščini pomeni "prestolnica". Obstaja še eno mesto na svetu, ki ima tak prevod - Seul. "Duša" je iz korejščine prevedena kot "kapital"
Astana je zelo lepo mesto.
Z višine orlovega leta
Moja država je jasno vidna.
Zasijalo je na stepskih prostranstvih
Dragi kamen Astana
diapozitiv 11
Poiščite pomen izrazov in izvedeli boste še enega zanimivo dejstvo o naši prestolnici.
27:(24-15)*10=30
56:7+4*3+ 6*5=42
9*9-7*9=18
12:4+7= 10
To nalogo lahko rešite za 5 z reševanjem vseh primerov, za 4 -3 izraze in za 3 zadnja 2 izraza.
Kako smo reševali izraze (z dejanji)?
Zakaj se morate odločiti po dejanjih (odgovor bo napačen)
Ali je vedno priročno odločati po dejanjih?
Kako lahko rešite drugače (z uporabo lastnosti množenja)?
diapozitiv12
2.Ponovitev lastnosti množenja.
V Astani je čudovita stavba, kjer deluje naša vlada.
Kdo je na čelu naše države? (Predsednik)
Kako je ime predsedniku? (N. A. Nazarbajev)
diapozitiv 13
Vse odločitve se sprejemajo v predsedniški rezidenci "A"қ - drhal»
Če želite videti, kako izgleda ta zgradba, dokončajte naslednjo nalogo.
Zdaj vas vabim, da se spomnite vseh lastnosti množenja in deljenja, ki smo se jih naučili v lekciji (razdelite kartice).
Na karticah povežite formule za množenje ali deljenje z njegovim imenom.
а *в=в*а asociativno
Preverjanje na tabli.
Zakaj moramo poznati lastnosti množenja?
(zdrs) 
Fantje, poglejte, še vedno ima dodatno kartico (a*c):c
Uganete, kakšna formula je to?
Lahko kdo imenuje temo lekcije?
Kakšne cilje si bomo zastavili za to lekcijo?
Za tekmovanje smo kupili 5 kompletov pisal, po 3 v vsakem. Ti nizi so bili razdeljeni v 3 ekipe. Koliko pisal je zalila vsaka ekipa?
1-smerni diapozitiv16
(3*5):3= 15:3=5
Metoda 2
(3*5):3=(3:3)*5=5
Diapozitiv17
Deljenje produkta s številom: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c).
To pravilo preberite na list papirja in se ga doma naučite na pamet.
No, zdaj pa preverimo, ali razumemo, kako uporabiti to lastnost deljenja. Če bomo vse naredili pravilno, vam bom pokazal še eno zanimivo atrakcijo Astane.
Začetno preverjanje razumevanja
.(8*6):2=(8:")*6=24
(6*6):3=(6:3)*6=12
(9*8):2=(8:2)*9=36
Kako se imenuje lastnost deljenja, ki smo jo spoznali v razredu (deljenje zmnožka s številom)?
Zakaj moramo poznati to lastnost?
Ali lahko vedno uporabimo 2 načina? Zakaj (števila niso deljiva)
V kakšni državi živimo?(Neodvisen, svoboden, miren, uspešen)
V Astani je stavba, ki simbolizira prijateljstvo, enotnost miru vseh narodov na zemlji Kazahstana.
Stavba je oblikovana kot piramida
Pogled.
Ta stavba se imenuje Palača miru in sprave, njena višina je 62 m, zgrajena leta 2006
Fizmunutka
Še dobro, da sije sonce! Globa!
Še dobro, da piha veter! Globa!
Dobro je plesati! Globa!
Je dobro biti Kazahstanec? Globa!
4. Reševanje problema
Kdo obožuje šport? Zakaj se morate ukvarjati s športom?(biti zdrav in močan)
V Astani je bil zgrajen velik pokriti stadion "Astana Arena". Da »pridemo« tja, moramo rešiti problem.
V Astano na tekmovanja atletikaŠlo je 30 deklet in 40 fantov. V vsak vagon se je vkrcalo 10 ljudi. Koliko vagonov so zasedli otroci?
Kaj je znanega o težavi?
Kaj morate najti?
Kako bomo napisali kratek zapis (v tabeli)?
Kakšno tabelo bomo narisali (3,5 celice)?
Kaj naj napišemo v stolpce 1, 2, 3? (v 1 avtomobilu, količina, skupaj)
Kako bomo rešili problem?
Kaj bomo našli kot prvo dejanje?
Kaj ugotovimo z akcijo 2?
Težavo zapišite kot izraz.
Katero lastnost lahko uporabimo za rešitev tega izraza (vsoto delimo s številom)?
1) 30+40=70 (oseb) - skupaj
2) 70:10=7(c) - otroci so vzeli
(30+40):10=7
Bravo, poglejte, kako izgleda ta stadion. Streha stadiona se odpre. Poleg tekmovanj tukaj koncertirajo znani umetniki.
5. Reševanje enačb. Delo za tablo.
V Astani je tudi stavba, ki je nenavadne oblike. Tam potekajo tekmovanja v hokeju na ledu in umetnostnem drsanju.
Rešite enačbe v učbeniku s 36 št. 6,(,3)
X=368, x=205
Bravo, tako izgleda zgradba.
Povzetek lekcije
Katero temo smo spoznali?
Kdo se spomni zakona delitve?
Zakaj moramo poznati zakone množenja in deljenja?
REFLEKSIJA
Vam je bilo potovanje všeč?
Pokažite svoj odnos do lekcije (prilepite nalepke na čustvene simbole)
-Kaj novega in zanimivega ste se naučili? –
O katerem mestu v naši republiki bi radi izvedeli več?
c oportunistični
komutativni
razdelilni
delitev
vsote na število
a *b=b*a
(a*c)*c=(a*c)*c
(a+b):c=a:c+b:c
(a+b)*c=a*c+b*
(a*c):c=
Delitev
izdelek po številki
. Delitev
izdelek po številki
( a · b ) : c = ( a : c ) · b
(a · b) : c = a · (b: c).
а *в=в*а asociativno
(a*c)*c=(a*c)*c komutativno
(a+b):c=a:c+b:c porazdelitev
(a+b)*c=a*c+b*c deljenje vsote s številom
а *в=в*а asociativno
(a*c)*c=(a*c)*c komutativno
(a+b):c=a:c+b:c porazdelitev
(a+b)*c=a*c+b*c deljenje vsote s številom
а *в=в*а asociativno
(a*c)*c=(a*c)*c komutativno
(a+b):c=a:c+b:c porazdelitev
(a+b)*c=a*c+b*c deljenje vsote s številom
а *в=в*а asociativno
(a*c)*c=(a*c)*c komutativno
(a+b):c=a:c+b:c porazdelitev
(a+b)*c=a*c+b*c deljenje vsote s številom
Deljenje produkta s številom .
Če želite zmnožek dveh faktorjev deliti s številom, lahko katerega koli faktorja delite s tem številom (če je deljenje izvedljivo) in količnik pomnožite z drugim faktorjem.
1. Lastnost deljenja dveh enakih naravnih števil:
Če naravno število delimo z enakim številom, je rezultat ena.
Ostaja še nekaj primerov. Kvocient naravnega števila 405 deljen z enakim številom 405 je 1; Tudi rezultat deljenja 73 s 73 je 1.
2. Lastnost deljenja naravnega števila z ena:
Rezultat deljenja danega naravnega števila z ena je to naravno število.
Zapišimo formulirano lastnost delitve v dobesedni obliki: a: 1 = a.
Navedimo primere. Količnik naravnega števila 23 deljen z 1 je število 23, rezultat deljenja naravnega števila 10.388 z ena pa je število 10.388.
3. Deljenje naravnih števil nima lastnosti komutativnosti.
Če sta dividenda in delitelj enaki naravni števili, ju lahko zaradi lastnosti deljenja enakih naravnih števil, obravnavane v prvem odstavku tega člena, zamenjamo. V tem primeru bo rezultat deljenja isto naravno število 1.
Z drugimi besedami, če sta dividenda in delitelj enaki naravni števili, ima deljenje v tem primeru lastnost komutativnosti. 5:5 = 1 in 5:5 = 1
V drugih primerih, ko dividenda in delitelj nista enaki naravni števili, komutativna lastnost deljenja ne velja.
Torej, na splošno deljenje naravnih števil NIMA lastnosti komutativnosti.
Z uporabo črk je zadnja izjava zapisana kot a: b ≠ b: a, kjer sta a in b nekaj naravnih števil, in a ≠ b.
4. Lastnost deljenja vsote dveh naravnih števil z naravnim številom:
deliti vsoto dveh naravnih števil z danim naravnim številom je enako seštevanju količnikov deljenja vsakega člena z danim naravnim številom.
Zapišimo to lastnost deljenja s črkami. Naj bodo a, b in c naravna števila, tako da se a lahko deli s c in b lahko deli s c (a + b) : c = a: c + b: c. Na desni strani zapisane enakosti se najprej izvede deljenje, nato pa seštevanje.
Navedimo primer, ki potrjuje veljavnost lastnosti deljenja vsote dveh naravnih števil z danim naravnim številom. Pokažimo, da je enakost (18 + 36) : 6 = 18 : 6 + 36 : 6 pravilna. Najprej izračunajmo vrednost izraza z leve strani enačbe. Ker je 18 + 36 = 54, potem (18 + 36) : 6 = 54 : 6. Iz tabele množenja naravnih števil najdemo 54 : 6 = 9. Nadaljujemo z izračunom vrednosti izraza 18 : 6+36: 6. Iz tabele množenja imamo 18: 6 = 3 in 36: 6 = 6, torej 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9. Zato velja enakost (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36 : 6 je pravilno.
5. Lastnost deljenja razlike dveh naravnih števil z naravnim številom:
deliti razliko dveh števil z danim številom je enako, kot če bi od količnika odštevalca in danega števila odšteli količnik odštevanca in danega števila.
Z uporabo črk lahko to lastnost delitve zapišemo na naslednji način: (a - b) : c = a: c - b: c, pri čemer so a, b in c naravna števila, tako da je a večje ali enako b, prav tako pa lahko oba a in b delimo s c.
Kot primer, ki potrjuje obravnavano lastnost deljenja, bomo pokazali veljavnost enakosti (45 - 25) : 5 = 45 : 5 - 25 : 5. Ker je 45 - 25 = 20 (če je potrebno, preučite gradivo v člen odštevanje naravnih števil), potem (45 - 25) : 5 = 20 : 5. S tabelo množenja ugotovimo, da je dobljeni količnik enak 4. Sedaj pa izračunajmo vrednost izraza 45 : 5 - 25 : 5 , ki je na desni strani enakosti. Iz tabele množenja imamo 45: 5 = 9 in 25: 5 = 5, potem pa 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. Zato velja enakost (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25 : 5 je res.
6. Lastnost deljenja produkta dveh naravnih števil z naravnim številom:
rezultat deljenja produkta dveh naravnih števil z danim naravnim številom, ki je enako enemu od faktorjev, je enak drugemu faktorju.
Tukaj je dobesedna oblika te lastnosti delitve: (a · b) : a = b ali (a · b) : b = a, kjer sta a in b nekaj naravnih števil.
