Rešitev Cosx 3. Elementi trigonometrije in pisarniške informacijske tehnologije

Vemo, da so vrednosti kosinusa v območju [-1; 1], tj. -1 ≤ cos α ≤ 1. Torej, če |a| > 1, potem enačba cos x = a nima korenin. Na primer, enačba cos x = -1,5 nima korenin.

Razmislimo o več težavah.

Rešite enačbo cos x = 1/2.

rešitev.

Spomnimo se, da je cos x abscisa točke na krogu s polmerom 1, ki ga dobimo z vrtenjem točke P (1; 0) za kot x okoli izhodišča.

Abscisa 1/2 je na dveh točkah krožnice M 1 in M ​​2. Ker je 1/2 = cos π/3, dobimo točko M 1 iz točke P (1; 0) z rotacijo za kot x 1 = π/3, pa tudi za kota x = π/3 + 2πk, kjer je k = +/-1, +/-2, …

Točko M 2 dobimo iz točke P (1; 0) z vrtenjem za kot x 2 = -π/3, kot tudi za kota -π/3 + 2πk, kjer je k = +/-1, +/-2 , ...

Torej vse korenine cos enačbe x = 1/2 lahko najdete z uporabo formul
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

Obe predstavljeni formuli je mogoče združiti v eno:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Rešite enačbo cos x = -1/2.

rešitev.

Dve točki krožnice M 1 in M ​​2 imata absciso enako – 1/2. Ker je -1/2 = cos 2π/3, potem je kot x 1 = 2π/3 in zato kot x 2 = -2π/3.

Posledično lahko vse korene enačbe cos x = -1/2 najdemo z uporabo formule: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Tako ima vsaka od enačb cos x = 1/2 in cos x = -1/2 neskončen niz korenine. Na intervalu 0 ≤ x ≤ π ima vsaka od teh enačb samo en koren: x 1 = π/3 je koren enačbe cos x = 1/2 in x 1 = 2π/3 je koren enačbe cos x = -1/2.

Število π/3 imenujemo arkosinus števila 1/2 in ga zapišemo: arccos 1/2 = π/3, število 2π/3 pa imenujemo arkosinus števila (-1/2) in ga zapišemo : arccos (-1/2) = 2π/3 .

Na splošno ima enačba cos x = a, kjer je -1 ≤ a ≤ 1, samo en koren na intervalu 0 ≤ x ≤ π. Če je a ≥ 0, potem je koren vsebovan v intervalu; če a< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Tako je arkus kosinus števila a € [-1; 1 ] je število a €, katerega kosinus je enak a:

arccos а = α, če je cos α = а in 0 ≤ а ≤ π (1).

Na primer, arccos √3/2 = π/6, ker je cos π/6 = √3/2 in 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, ker je cos 5π/6 = -√3/2 in 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Na enak način kot pri reševanju nalog 1 in 2 lahko pokažemo, da so vsi koreni enačbe cos x = a, kjer je |a| ≤ 1, izraženo s formulo

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).

Rešite enačbo cos x = -0,75.

rešitev.

S formulo (2) najdemo x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Vrednost arcos (-0,75) lahko približno najdete na sliki z merjenjem kota s kotomerom. Približne vrednosti ark kosinusa lahko najdete tudi s posebnimi tabelami (Bradisove tabele) ali mikrokalkulatorjem. Na primer, vrednost arccos (-0,75) lahko izračunate na mikrokalkulatorju, kar daje približna vrednost 2,4188583. Torej, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Zato je arccos (-0,75) ≈ 139°.

Odgovor: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Rešite enačbo (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

rešitev.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

Odgovori. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

Lahko se dokaže, da za vsak a € [-1; 1] velja formula arccos (-а) = π – arccos а (3).

Ta formula vam omogoča, da izrazite vrednosti ark kosinusov negativna števila skozi vrednosti ark kosinusa pozitivna števila. Na primer:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

iz formule (2) sledi, da lahko korene enačbe cos x = a za a = 0, a = 1 in a = -1 najdemo z enostavnejšimi formulami:

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Lahko noč! Postavili ste zelo zanimivo vprašanje: cos x = 3 rešitev. To je najpogostejša naloga. In ja, vedno najprej, ob upoštevanju vsega, kar veš, se lahko takoj začneš odločati. In ja, tudi dejstvo, da arccos 3 ne boste našli v tabeli, tudi ni ovira strašna skrivnost. Funkciji, kot sta sin in cos, ne moreta biti enaka nobenemu številu, ki je večje od ena. To pomeni, da je logično domnevati, da so rešitve podana enačbašt. To si morate zapomniti, da v prihodnosti ne bi delali neumnih napak. Poskusimo rešiti nekaj podobnega, vendar nekaj, kar ima rešitev. Ni všeč ta naloga. Na primer:

Zdaj pa pojdimo k rešitvi določeno pravilo rešitve podobne enačbe, ki ga je treba vedno uporabljati in bo v naslednji splošni obliki:

Ko smo enkrat obravnavali splošna odločitev, zdaj lahko nadaljujemo z reševanjem vaše enačbe:

Vrednost bomo našli s pomočjo tabele. In iz tega dobimo to Ker smo uredili osnove, lahko zdaj v celoti rešimo vašo enačbo.