Kaj pomeni greh? Osnovne trigonometrične identitete

Imenuje se razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo sinus oster kot pravokotni trikotnik.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika

Imenuje se razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo kosinus ostrega kota pravokotni trikotnik.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta ostrega kota pravokotnega trikotnika

Razmerje nasprotne strani proti sosednji strani se imenuje tangens ostrega kota pravokotni trikotnik.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika

Razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo se imenuje kotangens ostrega kota pravokotni trikotnik.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus poljubnega kota

Imenuje se ordinata točke na enotskem krogu, ki ji ustreza kot \alpha sinus poljuben kot rotacija \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus poljubnega kota

Imenuje se abscisa točke na enotskem krogu, ki ji ustreza kot \alpha kosinus poljubnega kota rotacija \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta poljubnega kota

Imenuje se razmerje med sinusom poljubnega rotacijskega kota \alpha in njegovim kosinusom tangens poljubnega kota rotacija \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens poljubnega kota

Razmerje med kosinusom poljubnega rotacijskega kota \alpha in njegovim sinusom se imenuje kotangens poljubnega kota rotacija \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primer iskanja poljubnega kota

Če je \alpha nek kot AOM, kjer je M točka na enotskem krogu, potem

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primer, če \kot AOM = -\frac(\pi)(4), potem: ordinata točke M je enaka -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa je enaka \frac(\sqrt(2))(2) in zato

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \desno)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \levo (\frac(\pi)(4) \desno)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \levo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tabela vrednosti sinusov kosinusov tangentov kotangensov

Vrednosti glavnih pogosto pojavljajočih se kotov so podane v tabeli:

Eno izmed področij matematike, s katerim se učenci najbolj mučijo, je trigonometrija. Ni presenetljivo: za svobodno obvladovanje tega področja znanja potrebujete prostorsko razmišljanje, sposobnost iskanja sinusov, kosinusov, tangentov, kotangensov s pomočjo formul, poenostavitev izrazov in sposobnost uporabe števila pi v izračuni. Poleg tega morate pri dokazovanju izrekov znati uporabljati trigonometrijo, kar zahteva bodisi razvit matematični spomin bodisi sposobnost izpeljave zapletenih logičnih verig.

Izvori trigonometrije

Spoznavanje te vede bi se moralo začeti z definicijo sinusa, kosinusa in tangensa kota, najprej pa morate razumeti, kaj na splošno počne trigonometrija.

Zgodovinsko gledano so bili glavni predmet študija v tej veji matematične znanosti pravokotni trikotniki. Prisotnost kota 90 stopinj omogoča izvajanje različnih operacij, ki omogočajo določitev vrednosti vseh parametrov zadevne figure z uporabo dveh strani in enega kota ali dveh kotov in ene strani. V preteklosti so ljudje opazili ta vzorec in ga začeli aktivno uporabljati pri gradnji zgradb, navigaciji, astronomiji in celo v umetnosti.

Začetna faza

Sprva so o razmerju med koti in stranicami govorili zgolj na primeru pravokotne trikotnike. Nato so bile odkrite posebne formule, ki so omogočile razširitev meja uporabe v vsakdanje življenje to vejo matematike.

Študij trigonometrije se danes v šoli začne s pravokotnimi trikotniki, nato pa učenci pridobljeno znanje uporabljajo pri fiziki in reševanju abstraktnih problemov. trigonometrične enačbe, delo s katerim se začne v srednji šoli.

Sferična trigonometrija

Kasneje, ko je znanost dosegla naslednjo stopnjo razvoja, so se formule s sinusom, kosinusom, tangensom, kotangensom začele uporabljati v sferični geometriji, kjer veljajo drugačna pravila, vsota kotov v trikotniku pa je vedno večja od 180 stopinj. Ta razdelek se v šoli ne preučuje, vendar je za njegov obstoj treba vedeti vsaj zato zemeljsko površje, površina katerega koli drugega planeta pa je konveksna, kar pomeni, da bo vsaka površinska oznaka v tridimenzionalnem prostoru "oblika loka".

Vzemi globus in nit. Nit pritrdite na poljubni točki na globusu, tako da bo napeta. Upoštevajte - dobil je obliko loka. S takšnimi oblikami se ukvarja sferična geometrija, ki se uporablja v geodeziji, astronomiji in drugih teoretičnih in uporabnih področjih.

Pravokotni trikotnik

Ko smo se malo naučili o načinih uporabe trigonometrije, se vrnimo k osnovni trigonometriji, da bi nadalje razumeli, kaj so sinus, kosinus, tangens, katere izračune je mogoče izvesti z njihovo pomočjo in katere formule uporabiti.

Prvi korak je razumevanje konceptov, povezanih s pravokotnim trikotnikom. Prvič, hipotenuza je stran nasproti kota 90 stopinj. Je najdaljša. Spomnimo se, da je po Pitagorovem izreku njegova numerična vrednost enaka korenu vsote kvadratov drugih dveh strani.

Na primer, če sta obe strani dolgi 3 oziroma 4 centimetre, bo dolžina hipotenuze 5 centimetrov. Mimogrede, stari Egipčani so za to vedeli pred približno štiri tisoč leti in pol.

Dve preostali stranici, ki tvorita pravi kot, imenujemo kraki. Poleg tega se moramo spomniti, da je vsota kotov v trikotniku pravokotni sistem koordinate 180 stopinj.

Opredelitev

Končno se lahko s trdnim razumevanjem geometrijske osnove obrnemo na definicijo sinusa, kosinusa in tangensa kota.

Sinus kota je razmerje med nasprotnim krakom (tj. stranjo nasproti želenega kota) in hipotenuzo. Kosinus kota je razmerje med sosednjo stranjo in hipotenuzo.

Ne pozabite, da niti sinus niti kosinus ne moreta biti večja od ena! Zakaj? Ker je hipotenuza privzeto najdaljša, ne glede na to, kako dolga je noga, bo krajša od hipotenuze, kar pomeni, da bo njuno razmerje vedno enako manj kot ena. Če torej v odgovoru na nalogo dobite sinus ali kosinus z vrednostjo, večjo od 1, poiščite napako v izračunih ali sklepanju. Ta odgovor očitno ni pravilen.

Končno je tangens kota razmerje med nasprotno stranico in sosednjo stranjo. Enak rezultat bo dal deljenje sinusa s kosinusom. Poglejte: po formuli dolžino stranice delimo s hipotenuzo, nato delimo z dolžino druge stranice in pomnožimo s hipotenuzo. Tako dobimo enako razmerje kot pri definiciji tangente.

Kotangens je torej razmerje med stranjo, ki meji na vogalu, in nasprotno stranjo. Enak rezultat dobimo, če ena delimo s tangento.

Tako smo si ogledali definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa in lahko nadaljujemo s formulami.

Najenostavnejše formule

V trigonometriji ne morete brez formul - kako najti sinus, kosinus, tangens, kotangens brez njih? A prav to je potrebno pri reševanju problemov.

Prva formula, ki jo morate poznati, ko začnete študirati trigonometrijo, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa kota enaka ena. Ta formula je neposredna posledica Pitagorovega izreka, vendar prihrani čas, če morate poznati velikost kota namesto stranice.

Veliko učencev se ne spomni druge formule, ki je prav tako zelo priljubljena pri reševanju šolske naloge: vsota ena in kvadrata tangenta kota je enaka ena, deljeno s kvadratom kosinusa kota. Poglejte natančneje: to je ista izjava kot v prvi formuli, le da sta bili obe strani identitete deljeni s kvadratom kosinusa. Izkazalo se je, da preprosta matematična operacija trigonometrična formula popolnoma neprepoznaven. Ne pozabite: če veste, kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens, pravila transformacije in več osnovnih formul, lahko kadar koli neodvisno izpeljete zahtevano več kompleksne formule na kos papirja.

Formule za dvojne kote in seštevanje argumentov

Še dve formuli, ki se ju morate naučiti, sta povezani z vrednostma sinusa in kosinusa za vsoto in razliko kotov. Predstavljeni so na spodnji sliki. Upoštevajte, da se v prvem primeru sinus in kosinus obakrat pomnožita, v drugem pa se doda parni produkt sinusa in kosinusa.

Obstajajo tudi formule, povezane z argumenti dvojnega kota. Popolnoma izhajajo iz prejšnjih - kot trening jih poskusite dobiti sami, tako da vzamete kot alfa enaka kotu beta.

Nazadnje upoštevajte, da je mogoče formule dvojnega kota preurediti, da zmanjšate moč sinusa, kosinusa, tangensa alfa.

Izreki

Dva glavna izreka v osnovni trigonometriji sta sinusni izrek in kosinusni izrek. S pomočjo teh izrekov lahko zlahka razumete, kako najti sinus, kosinus in tangens, s tem pa površino figure in velikost vsake strani itd.

Sinusni izrek pravi, da če dolžino vsake stranice trikotnika delimo z nasprotnim kotom, dobimo enako število. Poleg tega bo to število enako dvema polmeroma opisanega kroga, to je kroga, ki vsebuje vse točke danega trikotnika.

Kosinusni izrek posplošuje Pitagorov izrek in ga projicira na vse trikotnike. Izkazalo se je, da od vsote kvadratov obeh strani odštejemo njihov produkt, pomnožen z dvojnim kosinusom sosednjega kota - dobljena vrednost bo enaka kvadratu tretje strani. Tako se izkaže, da je Pitagorov izrek poseben primer kosinusnega izreka.

Nepazljive napake

Tudi če vemo, kaj so sinus, kosinus in tangens, je enostavno narediti napako zaradi odsotnosti ali napake v najpreprostejših izračunih. Da bi se izognili takšnim napakam, si poglejmo najbolj priljubljene.

Prvič, ulomkov ne smete pretvarjati v decimalke, dokler ne dobite končnega rezultata – odgovor lahko pustite kot navadni ulomek, razen če je v pogojih navedeno drugače. Takšne preobrazbe ne moremo imenovati napaka, vendar se je treba spomniti, da se lahko na vsaki stopnji problema pojavijo nove korenine, ki jih je treba po avtorjevi zamisli zmanjšati. V tem primeru boste izgubljali čas za nepotrebne matematične operacije. To še posebej velja za vrednosti, kot sta koren iz tri ali koren iz dva, saj jih najdemo v težavah na vsakem koraku. Enako velja za zaokroževanje "grdih" številk.

Upoštevajte tudi, da kosinusni izrek velja za vsak trikotnik, ne pa za Pitagorov izrek! Če pomotoma pozabite dvakrat odšteti produkt stranic, pomnožen s kosinusom kota med njima, ne boste le dobili popolnoma napačnega rezultata, ampak boste tudi pokazali popolno nerazumevanje predmeta. To je hujše kot napaka iz neprevidnosti.

Tretjič, ne zamenjujte vrednosti za kote 30 in 60 stopinj za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapomnite si te vrednosti, ker je sinus 30 stopinj enako kosinusu 60 in obratno. Zlahka jih je zamenjati, zaradi česar boste neizogibno dobili napačen rezultat.

Aplikacija

Mnogi študenti se ne mudi, da bi začeli študirati trigonometrijo, ker ne razumejo njenega praktičnega pomena. Kaj je sinus, kosinus, tangens za inženirja ali astronoma? To so koncepti, zahvaljujoč katerim lahko izračunate razdaljo do oddaljene zvezde, napovedati padec meteorita, poslati raziskovalno sondo na drug planet. Brez njih je nemogoče zgraditi stavbo, načrtovati avtomobil, izračunati obremenitev površine ali trajektorijo predmeta. In to so le najbolj očitni primeri! Navsezadnje se trigonometrija v takšni ali drugačni obliki uporablja povsod, od glasbe do medicine.

Za zaključek

Torej ste sinus, kosinus, tangens. Uporabite jih lahko pri računanju in uspešno rešujete šolske naloge.

Bistvo trigonometrije je v tem, da morate z uporabo znanih parametrov trikotnika izračunati neznanke. Skupaj je šest parametrov: dolžina tri strani in velikost trije vogali. Edina razlika med nalogami je v tem, da so podani različni vhodni podatki.

Kako najti sinus, kosinus, tangens na podlagi znane dolžine noge ali hipotenuza, zdaj veste. Ker ti izrazi ne pomenijo nič drugega kot razmerje, razmerje pa je ulomek, glavni cilj Trigonometrični problem postane iskanje korenin navadne enačbe ali sistema enačb. In tu vam bo pomagala redna šolska matematika.

Navodila

Uporabite funkcijo arkusina za izračun vrednosti kota v stopinjah, če poznate vrednost kota. če kotiček označen s črko α, in splošni pogled rešitev lahko zapišemo takole: α = arcsin(sin(α)).

Če imate možnost uporabljati računalnik, je najlažji način za praktične izračune uporaba vgrajenega operacijskega sistema. V zadnjih dveh različicah operacijskega sistema Windows ga lahko zaženete takole: pritisnite tipko Win, vnesite »ka« in pritisnite Enter. V prejšnjih izdajah tega operacijskega sistema poiščite povezavo »Kalkulator« v podrazdelku »Standardno« razdelka »Vsi programi« v glavnem meniju sistema.

Po zagonu aplikacije jo preklopite v način, ki omogoča delo s trigonometričnimi funkcijami. To lahko storite tako, da izberete vrstico »Inženiring« v razdelku »Pogled« v meniju kalkulatorja ali s pritiskom na Alt + 2.

Vnesite sinusno vrednost. Vmesnik kalkulatorja privzeto nima gumba za izračun arkusina. Da bi lahko uporabljali to funkcijo, morate obrniti privzete vrednosti gumbov - kliknite na tipko Inv v oknu programa. V prejšnjih različicah je ta gumb nadomeščen s potrditvenim poljem z isto oznako - označite ga.

Pri izračunih lahko uporabite tudi različne storitve, ki jih je na spletu več kot dovolj. Na primer, pojdite na http://planetcalc.com/326/, se pomaknite malo navzdol in vnesite sinusno vrednost v polje za vnos. Za začetek postopka izračuna je na voljo gumb Izračunaj - kliknite nanj. Rezultat izračuna boste našli v prvi vrstici tabele pod tem gumbom. Poleg arkus sinusa prikaže tako magnitude kot arkus tangens vnesene vrednosti.

Inverzna sinusna funkcija se imenuje trigonometrična funkcija arcsinus. Lahko sprejme vrednosti znotraj polovice števila Pi, tako pozitivne kot negativne. negativna stranče se meri v radianih. Če jih merimo v stopinjah, bodo te vrednosti v območju od -90 ° do +90 °.

Navodila

Nekaterih "okroglih" vrednosti ni treba izračunati; lažje si jih je zapomniti. Na primer: - če je argument funkcije enako nič, potem je vrednost njegovega arcsinusa enaka nič; od 1/2 je enak 30° ali 1/6 Pi, če je izmerjen - arcsinus od -1/2 je enak -30° ali -1/; 6 od števila Pi v radianih je enako 90° ali 1/2 od Pi;

Za merjenje vrednosti te funkcije iz drugih argumentov je najlažji način, da uporabite standardni kalkulator Windows, če ga imate pri roki. Za začetek odprite glavni meni na gumbu »Start« (ali s pritiskom na tipko WIN), pojdite na razdelek »Vsi programi« in nato na pododdelek »Pripomočki« in kliknite »Kalkulator«.

Vmesnik kalkulatorja preklopite v način delovanja, ki vam omogoča izračun trigonometrične funkcije. Če želite to narediti, odprite razdelek »Pogled« v njegovem meniju in izberite »Inženiring« ali »Znanstveno« (odvisno od uporabljenega operacijskega sistema).

Vnesite vrednost argumenta, iz katerega naj se izračuna arktangens. To lahko storite tako, da z miško kliknete gumbe na vmesniku kalkulatorja ali pritisnete tipke na , ali pa kopirate vrednost (CTRL + C) in jo nato prilepite (CTRL + V) v vnosno polje kalkulatorja.

Izberite merske enote, v katerih morate dobiti rezultat izračuna funkcije. Pod poljem za vnos so tri možnosti, med katerimi morate izbrati (s klikom z miško) eno - , radiani ali radi.

Označite potrditveno polje, ki obrne funkcije, navedene na gumbih vmesnika kalkulatorja. Stoji poleg njega kratek napis inv.

Kliknite gumb za greh. Kalkulator bo obrnil z njim povezano funkcijo, izvedel izračun in vam predstavil rezultat v določenih enotah.

Video na temo

Na pravokotnem trikotniku, kot najenostavnejšem mnogokotniku, so različni znanstveniki pilili svoje znanje s področja trigonometrije še v časih, ko tega področja matematike še nihče ni imenoval s to besedo. Zato navedite avtorja, ki je identificiral vzorce v razmerjih dolžin stranic in vrednosti kotov v tej ravnini geometrijski lik, danes ni mogoče. Takšni odnosi se imenujejo trigonometrične funkcije in so razdeljeni v več skupin, od katerih se glavne običajno štejejo za "neposredne" funkcije. Ta skupina vključuje samo dve funkciji in ena od njih je sinus.

Navodila

Po definiciji je v pravokotnem trikotniku eden od kotov enak 90°, zaradi dejstva, da mora biti vsota njegovih kotov v evklidski geometriji enaka 180°, pa sta druga dva kota enaka (tj. 90°). Vzorci odnosov med natanko temi koti in dolžinami stranic opisujejo trigonometrične funkcije.

Funkcija, imenovana sinus ostrega kota, določa razmerje med dolžinama dveh stranic pravokotnega trikotnika, od katerih ena leži nasproti tega ostrega kota, druga pa meji nanj in leži nasproti pravi kot. Ker se stran, ki leži nasproti pravega kota v takem trikotniku, imenuje hipotenuza, drugi dve pa kateti, lahko sinusno funkcijo formuliramo kot razmerje med dolžinama kraka in hipotenuze.

Poleg te najpreprostejše definicije te trigonometrične funkcije obstajajo tudi bolj zapletene: skozi krožnico v Kartezične koordinate, skozi serije, skozi diferencialne in funkcionalne enačbe. Ta funkcija je zvezna, kar pomeni, da so njeni argumenti (»domena«) lahko poljubno število - od neskončno negativnih do neskončno pozitivnih. In največje vrednosti te funkcije so omejene na območje od -1 do +1 - to je "razpon njenih vrednosti". Najmanjša vrednost sinus poteka pod kotom 270°, kar ustreza 3/Pi, maksimum pa dobimo pri 90° (½ Pi). Ničelne vrednosti funkcije postanejo pri 0°, 180°, 360° itd. Iz vsega tega sledi, da je sinus periodična funkcija in je njena perioda enaka 360° ali dvakratnemu številu Pi.

Za praktične izračune vrednosti te funkcije iz danega argumenta lahko uporabite veliko večino (vključno s programskim kalkulatorjem, vgrajenim v operacijski sistem vaš računalnik) ima ustrezno možnost.

Video na temo

Sinus in kosinus- to so neposredne trigonometrične funkcije, za katere obstaja več definicij - skozi krog v kartezični sistem koordinate, skozi rešitve diferencialna enačba, skozi ostre kote v pravokotnem trikotniku. Vsaka od teh definicij nam omogoča, da izpeljemo razmerje med tema dvema funkcijama. Spodaj je morda najpreprostejši način izražanja kosinus skozi sinus - skozi njihove definicije za ostre kote pravokotnega trikotnika.

Navodila

Izrazite sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika z dolžinami stranic tega lika. Po definiciji mora biti sinus kota (α) razmerje med dolžino stranice (a), ki leži nasproti njega - kraka - in dolžino stranice (c) nasproti desnega kota - hipotenuze: sin(α) = a/c.

Poiščite podobno formulo za kosinus ampak isti kot. Po definiciji mora biti ta vrednost izražena kot razmerje med dolžino stranice (b), ki meji na ta kot (drugi krak), in dolžino stranice (c), ki leži nasproti pravega kota: cos(a) = a /c.

Prepišite enakost, ki izhaja iz Pitagorovega izreka, tako da bo vključevala razmerja med katetama in hipotenuzo, izpeljana v prejšnjih dveh korakih. Če želite to narediti, najprej delite oba prvotna izreka (a² + b² = c²) s kvadratom hipotenuze (a²/c² + b²/c² = 1), nato pa ponovno zapišite dobljeno enakost v tej obliki: (a/c )² + (b/c )² = 1.

V dobljenem izrazu zamenjajte razmerje dolžin katet in hipotenuze s trigonometričnimi funkcijami, ki temeljijo na formulah prvega in drugega koraka: sin²(a) + cos²(a) = 1. Izrazite kosinus iz nastale enakosti: cos(a) = √(1 - sin²(a)). S tem je problem mogoče rešiti v splošni obliki.

Če morate poleg splošnega dobiti številčni rezultat, uporabite na primer kalkulator, vgrajen v operacijski sistem Windows. Povezava za zagon v podrazdelku »Standardno« razdelka »Vsi programi« v meniju OS. Ta povezava je oblikovana na kratko - "Kalkulator". Da bi lahko s tem programom izračunali trigonometrične funkcije, omogočite njegov “inženirski” vmesnik - pritisnite kombinacijo tipk Alt + 2.

V pogoje vnesite vrednost sinusa kota in kliknite gumb vmesnika z oznako x² - to bo kvadriralo prvotno vrednost. Nato na tipkovnici vtipkajte *-1, pritisnite Enter, vnesite +1 in znova pritisnite Enter - na ta način boste odšteli kvadrat sinusa od ena. Kliknite na radikalno tipko, da izvlečete kvadrat in dobite končni rezultat.

S preučevanjem trikotnikov se matematiki ukvarjajo že več tisočletij. Veda o trikotnikih - trigonometrija - uporablja posebne količine: sinus in kosinus.

Pravokotni trikotnik

Sinus in kosinus sta prvotno nastala zaradi potrebe po izračunavanju količin v pravokotnih trikotnikih. Ugotovljeno je bilo, da če se stopinjska mera kotov v pravokotnem trikotniku ne spremeni, potem razmerje stranic, ne glede na to, koliko se te strani spremenijo v dolžino, vedno ostane enako.

Tako sta bila uvedena pojma sinus in kosinus. Sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo, kosinus pa je razmerje med stranico, ki meji na hipotenuzo.

Izreki kosinusov in sinusov

Toda kosinuse in sinuse lahko uporabimo za več kot le prave trikotnike. Če želite najti vrednost tupega ali ostrega kota ali stranice katerega koli trikotnika, je dovolj uporabiti izrek o kosinusih in sinusih.

Kosinusni izrek je povsem preprost: »Kvadrat stranice trikotnika enaka vsoti kvadrata drugih dveh strani minus dvakratni zmnožek teh strani s kosinusom kota med njima.”

Obstajata dve razlagi sinusnega izreka: majhna in razširjena. Po malem: "V trikotniku so koti sorazmerni z nasprotnimi stranicami." Ta izrek je pogosto razširjen zaradi lastnosti opisanega kroga trikotnika: "V trikotniku so koti sorazmerni z nasprotnimi stranicami, njihovo razmerje pa je enako premeru opisanega kroga."

Izvedeni finančni instrumenti

Izpeljanka je matematično orodje, ki pokaže, kako hitro se funkcija spremeni glede na spremembo njenega argumenta. Izpeljanke se uporabljajo v geometriji in v številnih tehničnih disciplinah.

Pri reševanju problemov morate vedeti vrednosti tabele odvode trigonometričnih funkcij: sinus in kosinus. Odvod sinusa je kosinus, kosinus pa je sinus, vendar z znakom minus.

Uporaba v matematiki

Sinusi in kosinusi se še posebej pogosto uporabljajo pri reševanju pravokotnih trikotnikov in z njimi povezanih problemov.

Priročnost sinusov in kosinusov se odraža tudi v tehnologiji. Enostavno je bilo ovrednotiti kote in stranice z uporabo kosinusnih in sinusnih izrekov, razčleniti kompleksne figure in predmete v "preproste" trikotnike. Inženirji se pogosto ukvarjajo z izračuni razmerja stranic in stopenjske mere, je porabil veliko časa in truda za izračun kosinusov in sinusov netabelarnih kotov.

Nato so na pomoč priskočile Bradisove tabele, ki so vsebovale na tisoče vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov različnih kotov. IN Sovjetska doba nekateri učitelji so prisilili svoje učence, da so si zapomnili strani Bradisovih tabel.

Radian - kotna velikost loki, dolžina enaka polmeru ali 57,295779513° stopinj.

Stopnja (v geometriji) je 1/360 kroga ali 1/90 pravega kota.

π = 3,141592653589793238462… ( približna vrednostštevila pi).

Tabela kosinusov za kote: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Koncepti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa so glavne kategorije trigonometrije, veje matematike, in so neločljivo povezane z definicijo kota. Lastništvo tega matematična znanost zahteva pomnjenje in razumevanje formul in izrekov ter razvito prostorsko mišljenje. Zato šolarji in študentje trigonometrični izračuni pogosto povzročajo težave. Če jih želite premagati, se morate bolje seznaniti s trigonometričnimi funkcijami in formulami.

Pojmi v trigonometriji

Razumeti osnovni pojmi trigonometrije, se morate najprej odločiti, kaj sta pravokotni trikotnik in kot v krogu ter zakaj so vsi osnovni trigonometrični izračuni povezani z njima. Trikotnik, pri katerem eden od kotov meri 90 stopinj, je pravokoten. V preteklosti so to številko pogosto uporabljali ljudje v arhitekturi, navigaciji, umetnosti in astronomiji. Skladno s tem so ljudje s preučevanjem in analizo lastnosti te številke izračunali ustrezna razmerja njenih parametrov.

Glavni kategoriji, povezani s pravokotnimi trikotniki, sta hipotenuza in kateta. Hipotenuza je stran trikotnika nasproti pravega kota. Noge so preostale dve strani. Vsota kotov katerega koli trikotnika je vedno 180 stopinj.

Sferična trigonometrija je del trigonometrije, ki se ne preučuje v šoli, ampak v uporabne znanosti kot sta astronomija in geodezija, jo znanstveniki uporabljajo. Posebnost trikotnika v sferični trigonometriji je, da ima vsota kotov vedno večja od 180 stopinj.

Koti trikotnika

V pravokotnem trikotniku je sinus kota razmerje med krakom nasproti želenega kota in hipotenuzo trikotnika. V skladu s tem je kosinus razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo. Obe vrednosti imata vedno manjšo velikost od ena, saj je hipotenuza vedno daljša od noge.

Tangens kota je vrednost, ki je enaka razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo želenega kota ali sinus proti kosinusu. Kotangens pa je razmerje med sosednjo stranjo želenega kota in nasprotno stranjo. Kotangens kota lahko dobimo tudi tako, da ena delimo z vrednostjo tangensa.

Enotni krog

Enotski krog v geometriji je krog, katerega polmer enako ena. Takšen krog je zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu, pri čemer središče krožnice sovpada z izhodiščem, začetni položaj radijnega vektorja pa je določen vzdolž pozitivne smeri osi X (abscisne osi). Vsaka točka na krožnici ima dve koordinati: XX in YY, to sta koordinati abscise in ordinate. Če izberemo poljubno točko na krožnici v ravnini XX in iz nje spustimo navpičnico na abscisno os, dobimo pravokotni trikotnik, ki ga tvori polmer na izbrano točko (označeno s črko C), navpičnico, narisano na os X (presečišče je označeno s črko G), odsek abscisne osi pa je med izhodiščem koordinat (točka je označena s črko A) in presečiščem G. Nastali trikotnik ACG je pravokoten trikotnik, včrtan krog, kjer je AG hipotenuza, AC in GC pa kraka. Kot med polmerom krožnice AC in odsekom abscisne osi z oznako AG definiramo kot α (alfa). Torej, cos α = AG/AC. Če upoštevamo, da je AC polmer enotskega kroga in je enak ena, se izkaže, da je cos α=AG. Prav tako sin α=CG.

Poleg tega, če poznate te podatke, lahko določite koordinato točke C na krogu, saj je cos α=AG in sin α=CG, kar pomeni, da ima točka C dane koordinate(cos α; sin α). Vedeti, da je tangenta enako razmerju sinus proti kosinus, lahko ugotovimo, da je tan α = y/x in cot α = x/y. Če upoštevate kote v negativnem koordinatnem sistemu, lahko izračunate, da so sinusne in kosinusne vrednosti nekaterih kotov lahko negativne.

Izračuni in osnovne formule

Vrednosti trigonometrične funkcije

Ob upoštevanju bistva trigonometričnih funkcij skozi enotski krog, lahko izpeljete vrednosti teh funkcij za nekatere kote. Vrednosti so navedene v spodnji tabeli.

Najenostavnejše trigonometrične identitete

Enačbe, v katerih predznak trigonometrične funkcije vsebuje neznana vrednost, se imenujejo trigonometrične. Identitete z vrednostjo sin x = α, k - poljubno celo število:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, ni rešitev.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitete z vrednost cos x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, ni rešitev.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identitete z vrednostjo tg x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identitete z vrednost ctg x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Redukcijske formule

Ta kategorija konstantnih formul označuje metode, s katerimi se lahko premaknete s trigonometričnih funkcij obrazca na funkcije argumenta, to je, reducirate sinus, kosinus, tangens in kotangens kota katere koli vrednosti na ustrezne indikatorje kota interval od 0 do 90 stopinj za lažji izračun.

Formule za redukcijo funkcij za sinus kota izgledajo takole:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kota:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Uporaba zgornjih formul je možna ob upoštevanju dveh pravil. Prvič, če je kot mogoče predstaviti kot vrednost (π/2 ± a) ali (3π/2 ± a), se vrednost funkcije spremeni:

• od greha do cos;
• od cos do greha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrednost funkcije ostane nespremenjena, če lahko kot predstavimo kot (π ± a) ali (2π ± a).

Drugič, predznak zmanjšane funkcije se ne spremeni: če je bil na začetku pozitiven, ostane tak. Enako z negativnimi funkcijami.

Adicijske formule

Te formule izražajo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vsote in razlike dveh rotacijskih kotov prek njihovih trigonometričnih funkcij. Običajno sta kota označena kot α in β.

Formule izgledajo takole:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Te formule veljajo za poljubna kota α in β.

Formule dvojnega in trojnega kota

Trigonometrični formuli dvojnega in trojnega kota sta formuli, ki povezujeta funkciji kotov 2α oziroma 3α s trigonometričnimi funkcijami kota α. Izpeljan iz adicijskih formul:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prehod iz vsote v produkt

Če upoštevamo, da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), s poenostavitvijo te formule dobimo identitetni grehα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobno sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prehod od produkta k vsoti

Te formule sledijo iz identitet prehoda vsote v produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule za zmanjšanje stopnje

V teh identitetah kvadrat in kubična stopinja sinus in kosinus lahko izrazimo s sinusom in kosinusom prve stopnje večkratnega kota:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamenjava

Formule za univerzalno trigonometrično substitucijo izražajo trigonometrične funkcije v smislu tangensa polovičnega kota.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), pri čemer je x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kjer je x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kjer je x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), pri čemer je x = π + 2πn.

Posebni primeri

Spodaj so navedeni posebni primeri najpreprostejših trigonometričnih enačb (k je poljubno celo število).

Kvocienti za sinus:

Količniki za kosinus:

Količniki za tangento:

Količniki za kotangens:

Izreki

Sinusni izrek

Obstajata dve različici teorema - preprosta in razširjena. Preprost sinusni izrek: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tem primeru so a, b, c stranice trikotnika, α, β, γ pa so nasprotni koti.

Razširjeni sinusni izrek za poljuben trikotnik: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tej identiteti R označuje polmer kroga, v katerega je vpisan dani trikotnik.

Kosinusni izrek

Identiteta je prikazana na naslednji način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. V formuli so a, b, c stranice trikotnika, α pa je kot nasproti strani a.

Tangentni izrek

Formula izraža razmerje med tangentama dveh kotov in dolžinami nasprotnih stranic. Stranice so označene z a, b, c, ustrezni nasprotni koti pa so α, β, γ. Formula tangentnega izreka: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangensov izrek

Povezuje polmer kroga, včrtanega v trikotnik, z dolžinami njegovih stranic. Če so a, b, c stranice trikotnika in A, B, C nasprotni koti, r je polmer včrtanega kroga in p polobseg trikotnika, je naslednje veljavne so identitete:

• posteljica A/2 = (p-a)/r;
• posteljica B/2 = (p-b)/r;
• posteljica C/2 = (p-c)/r.

Aplikacija

Trigonometrija - ne samo teoretična znanost povezane z matematične formule. Njegove lastnosti, izreke in pravila v praksi uporabljajo različne industrije. človeška dejavnost- astronomija, zračna in morska navigacija, glasbena teorija, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojništvo, merilno delo, računalniška grafika, kartografija, oceanografija in mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangens in kotangens so osnovni pojmi trigonometrije, s pomočjo katerih lahko matematično izrazimo razmerja med koti in dolžinami stranic v trikotniku ter preko identitet, izrekov in pravil poiščemo zahtevane količine.

Učenje trigonometrije bomo začeli s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens ostrega kota. To so osnove trigonometrije.

Naj vas spomnimo, da pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, pol obrnjenega kota.

Ostri kot- manj kot 90 stopinj.

Topi kot- več kot 90 stopinj. Ko se uporablja za takšen kot, "top" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)

Narišimo pravokotni trikotnik. Pravi kot je običajno označen z . Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Tako je stranski nasprotni kot A označen.

Kot je označen z ustrezno grško črko.

hipotenuza pravokotnega trikotnika je stranica nasproti pravemu kotu.

Noge- stranice, ki ležijo nasproti ostrih kotov.

Noga, ki leži nasproti kota, se imenuje nasprotje(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni od stranic kota, se imenuje sosednji.

Sinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:

Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje sosednjega kraka s hipotenuzo:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:

Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno (ali, kar je enako, razmerje med kosinusom in sinusom):

Upoštevajte osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju problemov.

Dokažimo nekatere izmed njih.

V redu, podali smo definicije in zapisali formule. Toda zakaj še vedno potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens?

To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je enaka.

Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: .

Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. To pomeni, da imajo koti svoje razmerje, stranice pa svojega. Toda kaj storiti, če v pravokotnem trikotniku poznate en kot (razen pravega kota) in eno stran, vendar morate najti druge stranice?

S tem so se srečevali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika.

Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi funkcije trigonometričnega kota- podajte razmerja med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko s posebnimi tabelami najdete vse njegove trigonometrične funkcije. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo.

Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do.

Prosimo, upoštevajte dve rdeči pomišljaji v tabeli. Pri ustreznih kotnih vrednostih tangens in kotangens ne obstajata.

Oglejmo si več trigonometričnih problemov iz banke nalog FIPI.

1. V trikotniku je kot , . Najdi .

Problem je rešen v štirih sekundah.

Od , .

2. V trikotniku je kot , , . Najdi .

Poiščimo ga s pomočjo Pitagorovega izreka.

Problem je rešen.

Pogosto so v težavah trikotniki s koti in ali s koti in. Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet!

Za trikotnik s koti in krakom nasproti kota pri je enako polovica hipotenuze.

Trikotnik s koti in je enakokrak. V njej je hipotenuza krat večja od noge.

Ogledali smo si naloge reševanja pravokotnih trikotnikov – torej iskanja neznane stranke ali koti. A to še ni vse! IN Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki obstaja veliko problemov, ki vključujejo sinus, kosinus, tangens ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.