§13. Steinerjev izrek o vztrajnostnem momentu okoli poljubne osi
Telesa m na kvadrat razdalje d med osema:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Kje m- skupna telesna teža.
Na primer, vztrajnostni moment palice glede na os, ki poteka skozi njen konec, je enak:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\levo((\frac (l)(2))\desno)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Aksialni vztrajnostni momenti nekaterih teles
| Telo | Opis | Položaj osi a | Vztrajnostni moment J a |
|---|---|---|---|
| Masa materialne točke m | Na daljavo r od točke, nepremično | ||
| Votel valj s tanko steno ali polmerni obroč r in maše m | Os cilindra | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Polni valj ali polmerni disk r in maše m | Os cilindra | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Votel masni valj z debelimi stenami m z zunanjim radijem r 2 in notranji polmer r 1 | Os cilindra | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Polna dolžina cilindra l, polmer r in maše m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Votli tankostenski valj (obroč) dol l, polmer r in maše m | Os je pravokotna na valj in poteka skozi njegovo središče mase | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| Ravna tanka palica l in maše m | Os je pravokotna na palico in poteka skozi njeno središče mase | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Ravna tanka palica l in maše m | Os je pravokotna na palico in poteka skozi njen konec | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Tankostenska polmerna krogla r in maše m | Os poteka skozi središče krogle | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Polmerna krogla r in maše m | Os gre skozi središče žoge | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Polmerni stožec r in maše m | Os stožca | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Enakokraki trikotnik z nadmorsko višino h, osnova a in masa m | Os je pravokotna na ravnino trikotnika in poteka skozi oglišče | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Pravilni trikotnik s stranico a in masa m | Os je pravokotna na ravnino trikotnika in poteka skozi masno središče | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Kvadrat s stranico a in masa m | Os je pravokotna na ravnino kvadrata in poteka skozi središče mase | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Pravokotnik s stranicami a in b in masa m | Os je pravokotna na ravnino pravokotnika in poteka skozi središče mase | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| Pravilni n-kotnik polmera r in masa m | Os je pravokotna na ravnino in poteka skozi središče mase | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\levo) | |
| Torus (votel) s polmerom vodilnega kroga R, polmer nastajajočega kroga r in masa m | Os je pravokotna na ravnino torusnega vodilnega kroga in poteka skozi masno središče | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\levo((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\desno)) |
Izpeljava formul
Tankostenski valj (obroč, obroč)
Izpeljava formule
Vztrajnostni moment telesa je enak vsoti vztrajnostnih momentov njegovih sestavnih delov. Razdelimo tankostenski valj na elemente z maso dm in vztrajnostni momenti dJ i. Potem
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Ker so vsi elementi tankostenskega valja na enaki razdalji od osi vrtenja, se formula (1) pretvori v obliko
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)Valj z debelo steno (obroč, obroč)
Izpeljava formule
Naj bo homogen obroč z zunanjim polmerom R, notranji radij R 1, debela h in gostoto ρ. Nalomimo ga na tanke kolobarje debele dr. Masa in vztrajnostni moment tankega radijskega obroča r bo
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Poiščimo vztrajnostni moment debelega obroča kot integral
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\levo.(\frac (r^(4))(4))\desno|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\levo(R^(4)-R_(1)^(4)\desno)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\levo(R^(2) )-R_(1)^(2)\desno)\levo(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)Ker sta prostornina in masa obroča enaki
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \levo(R^(2)-R_(1)^(2)\desno)h,)dobimo končno formulo za vztrajnostni moment obroča
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\levo(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)Homogen disk (trden valj)
Izpeljava formule
Če upoštevamo valj (disk) kot obroč z ničelnim notranjim polmerom ( R 1 = 0 ), dobimo formulo za vztrajnostni moment valja (diska):
J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Trden stožec
Izpeljava formule
Stožec nalomimo tanke kolute z debelino dh, pravokotno na os stožca. Polmer takega diska je enak
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)Kje R– polmer osnove stožca, H– višina stožca, h– razdalja od vrha stožca do diska. Masa in vztrajnostni moment takšnega diska bosta
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \levo((\frac (Rh)(H))\desno)^(4)dh;)Integracija, dobimo
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \desno)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\desno)^(4)\levo.(\frac (h^(5))(5))\desno|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\levo(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\desno)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\konec(poravnano)))Trdna homogena žoga
Izpeljava formule
Žogico razlomimo na tanke diske debeline dh, pravokotno na os vrtenja. Polmer takšnega diska, ki se nahaja na višini h iz središča krogle, jo najdemo po formuli
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Masa in vztrajnostni moment takšnega diska bosta
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\desno)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh.)Vztrajnostni moment žoge najdemo z integracijo:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 15 ur 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\levo(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh=\\&=\pi \rho \levo.\levo(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\desno)\desno|_(0)^( R)=\pi \rho \levo(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\desno) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\levo((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \desno) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(poravnano)))Krogla s tanko steno
Izpeljava formule
Za izpeljavo tega uporabimo formulo za vztrajnostni moment homogene krogle s polmerom R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Izračunajmo, koliko se bo spremenil vztrajnostni moment kroglice, če se pri konstantni gostoti ρ njen polmer poveča za neskončno majhno količino. dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\desno)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\levo(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\desno)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\konec(poravnano)))Tanka palica (os poteka skozi sredino)
Izpeljava formule
Razlomimo palico na majhne delce dolžine dr. Masa in vztrajnostni moment takega fragmenta sta enaka
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integracija, dobimo
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\levo.(\frac (r^(3))(3))\desno|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Tanka palica (os gre skozi konec)
Izpeljava formule
Ko se vrtilna os premakne od sredine palice do njenega konca, se težišče palice premakne glede na os za razdaljo l ⁄ 2. Po Steinerjevem izreku bo novi vztrajnostni moment enak
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\levo((\frac (l)(2))\desno)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Brezdimenzijski vztrajnostni momenti planetov in satelitov
Njihovi brezdimenzionalni vztrajnostni momenti so zelo pomembni za preučevanje notranje zgradbe planetov in njihovih satelitov. Brezdimenzijski vztrajnostni moment telesa polmera r in maše m je enak razmerju njenega vztrajnostnega momenta glede na vrtilno os in vztrajnostnega momenta materialne točke enake mase glede na fiksno vrtilno os, ki se nahaja na razdalji r(enako gospod 2). Ta vrednost odraža porazdelitev mase po globini. Ena od metod za merjenje v bližini planetov in satelitov je določitev Dopplerjevega premika radijskega signala, ki ga oddaja AMS, ki leti v bližini določenega planeta ali satelita. Za tankostensko kroglo je brezdimenzijski vztrajnostni moment 2/3 (~0,67), za homogeno kroglo je 0,4, na splošno pa je manjša, večja masa telesa je koncentrirana v njenem središču. Na primer, Luna ima brezdimenzijski vztrajnostni moment blizu 0,4 (enako 0,391), zato se domneva, da je relativno homogena, njena gostota se z globino malo spreminja. Brezdimenzionalni vztrajnostni moment Zemlje je manjši kot pri homogeni krogli (enako 0,335), kar je argument v prid obstoja gostega jedra.
Centrifugalni vztrajnostni moment
Centrifugalni vztrajnostni momenti telesa glede na osi pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema so naslednje količine:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)Kje x , l in z- koordinate majhnega telesnega elementa z volumnom dV, gostota ρ in masa dm .
Os OX se imenuje glavna vztrajnostna os telesa, če so centrifugalni vztrajnostni momenti J xy in J xz so hkrati enake nič. Skozi vsako točko telesa lahko narišemo tri glavne vztrajnostne osi. Te osi so medsebojno pravokotne. Vztrajnostni momenti telesa glede na tri glavne vztrajnostne osi, narisane v poljubni točki O telesa se imenujejo glavni vztrajnostni momenti tega telesa.
Glavne vztrajnostne osi, ki potekajo skozi središče mase telesa, se imenujejo glavne osrednje vztrajnostne osi telesa in vztrajnostni momenti okoli teh osi so njegovi glavni središčni vztrajnostni momenti. Simetrijska os homogenega telesa je vedno ena njegovih glavnih osrednjih vztrajnostnih osi.
Geometrijski vztrajnostni momenti
Geometrijski vztrajnostni moment volumna
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)kjer, kot prej r- oddaljenost od elementa dV do osi a .
Geometrijski vztrajnostni moment območja glede na os - geometrijska značilnost telesa, izražena s formulo:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)kjer se integracija izvaja po površini S, A dS- element te površine.
Dimenzija JSa- dolžina na četrto potenco ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), oziroma je merska enota SI 4. V konstrukcijskih izračunih, literaturi in sortimentih valjanih kovin je pogosto navedeno v cm 4.
Uporni moment odseka je izražen z geometrijskim vztrajnostnim momentom območja:
W = J S a r m a x. (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Tukaj r maks- največja razdalja od površine do osi.
| Geometrijski vztrajnostni momenti območja nekaterih figur | |
|---|---|
| Višina pravokotnika h (\displaystyle h) in širino b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Pravokotni škatlasti prerez z višino in širino vzdolž zunanjih kontur H (\displaystyle H) in B (\displaystyle B), in za notranje h (\displaystyle h) in b (\displaystyle b) oz | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Premer kroga d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Vztrajnostni moment glede na ravnino
Vztrajnostni moment togega telesa glede na določeno ravnino je skalarna količina, ki je enaka vsoti zmnožkov mase vsake točke telesa s kvadratom razdalje od te točke do obravnavane ravnine.
Če skozi poljubno točko O (\displaystyle O) risanje koordinatnih osi x, y, z (\displaystyle x,y,z), nato vztrajnostni momenti glede na koordinatne ravnine x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) in z O x (\displaystyle zOx) bo izražen s formulami:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)Pri trdnem telesu se seštevanje nadomesti z integracijo.
Osrednji vztrajnostni moment
Osrednji vztrajnostni moment (vztrajnostni moment glede na točko O, vztrajnostni moment glede na pol, polarni vztrajnostni moment) J O (\displaystyle J_(O)) je količina, določena z izrazom:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Osrednji vztrajnostni moment je mogoče izraziti z glavnimi osnimi vztrajnostnimi momenti, pa tudi z vztrajnostnimi momenti glede ravnin:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \prav),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Vztrajnostni tenzor in vztrajnostni elipsoid
Vztrajnostni moment telesa glede na poljubno os, ki poteka skozi središče mase in ima smer, določeno z enotskim vektorjem s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\levo\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\desno\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\desno\vert =1), lahko predstavimo v obliki kvadratne (bilinearne) oblike:
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)kje je vztrajnostni tenzor. Matrica tenzorja vztrajnosti je simetrična in ima dimenzije 3 × 3 (\displaystyle 3\krat 3) in je sestavljen iz komponent centrifugalnih momentov:
Z izbiro ustreznega koordinatnega sistema lahko matriko vztrajnostnega tenzorja reduciramo na diagonalno obliko. Če želite to narediti, morate rešiti problem lastne vrednosti za tenzorsko matriko J ^ (\displaystyle (\hat (J))):
Kje Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- ortogonalna matrika prehoda na lastno bazo vztrajnostnega tenzorja. V pravi osnovi so koordinatne osi usmerjene vzdolž glavnih osi vztrajnostnega tenzorja in sovpadajo tudi z glavnimi polosemi elipsoida vztrajnostnega tenzorja. Količine J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- glavni vztrajnostni momenti. Izraz (1) ima v svojem koordinatnem sistemu obliko:
iz katerega dobimo enačbo elipsoida v lastnih koordinatah. Če obe strani enačbe delimo s I s (\displaystyle I_(s))
in zamenjave:
ξ = s x I s, η = s y I s, ζ = s z I s, (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \nad (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \nad (\sqrt (I_(s)))),)dobimo kanonično obliko enačbe elipsoida v koordinatah ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Razdalja od središča elipsoida do določene točke je povezana z vrednostjo vztrajnostnega momenta telesa vzdolž ravne črte, ki poteka skozi središče elipsoida in to točko.
Naj bo trdno telo. Izberimo neko premico OO (slika 6.1), ki jo bomo imenovali os (premica OO je lahko zunaj telesa). Razdelimo telo na elementarne prereze (materialne točke) z masami 
ki se nahaja na razdalji od osi 
oz.
Vztrajnostni moment materialne točke glede na os (OO) je zmnožek mase materialne točke s kvadratom njene razdalje do te osi:
. (6.1)
Vztrajnostni moment (MI) telesa glede na os (OO) je vsota produktov mas osnovnih delov telesa s kvadratom njihove razdalje do osi:
. (6.2)
Kot lahko vidite, je vztrajnostni moment telesa aditivna količina - vztrajnostni moment celotnega telesa glede na določeno os je enak vsoti vztrajnostnih momentov njegovih posameznih delov glede na isto os.
V tem primeru
.
Vztrajnostni moment se meri v kgm 2. Ker
, (6.3)
kjer je
– gostota snovi, 
- glasnost jaz- th razdelek, torej
,
ali premikanje k neskončno majhnim elementom,
. (6.4)
Formulo (6.4) je priročno uporabiti za izračun MI homogenih teles pravilne oblike glede na simetrično os, ki poteka skozi središče mase telesa. Na primer, za MI valja glede na os, ki poteka skozi središče mase vzporedno z generatriso, ta formula daje
,
Kje T- utež; R- polmer valja.
Steinerjev izrek nudi veliko pomoč pri izračunu MI teles glede na določene osi: MI teles jaz glede na katero koli os je enaka vsoti MI tega telesa jaz c glede na os, ki poteka skozi središče mase telesa in je vzporedna z dano osjo, in zmnožek mase telesa s kvadratom razdalje d med navedenima osema:
. (6.5)
Moment sile okoli osi
Naj sila deluje na telo F. Za poenostavitev predpostavimo, da sila F leži v ravnini, pravokotni na neko ravno črto OO (slika 6.2, A), ki jo bomo imenovali os (to je npr. vrtilna os telesa). Na sl. 6.2, A
A- točka uporabe sile F,
- presečišče osi z ravnino, v kateri leži sila; r- radius vektor, ki določa položaj točke A glede na točko O";
O"B
= b
-
rama moči. Krak sile glede na os je najmanjša razdalja od osi do premice, na kateri leži vektor sile F(dolžina navpičnice, potegnjene iz točke 
v to vrstico).
Moment sile glede na os je vektorska količina, ki jo določa enačba
. (6.6)
Modul tega vektorja je . Včasih zato pravijo, da je moment sile okoli osi produkt sile in njenega kraka.
Če moč F je poljubno usmerjen, potem ga je mogoče razstaviti na dve komponenti; 
in 
(Slika 6.2, b), tj. 
+
, Kje 
- komponenta, usmerjena vzporedno z osjo OO, in 
leži v ravnini, pravokotni na os. V tem primeru pod momentom sile F glede na os OO razumejo vektor
. (6.7)
V skladu z izrazoma (6.6) in (6.7) je vektor M usmerjen vzdolž osi (glej sliko 6.2, A,b).
Gibalna količina telesa glede na vrtilno os
p 
Telo naj se vrti okoli določene osi OO s kotno hitrostjo 
. Miselno razdelimo to telo na osnovne dele z masami 
, ki se nahajajo od osi na razdaljah 
in se vrtijo v krogih z linearno hitrostjo 
Znano je, da je vrednost enaka 
- obstaja impulz jaz- parcela. trenutek impulza jaz-odsek (materialna točka) glede na vrtilno os se imenuje vektor (natančneje psevdovektor)
, (6.8)
Kje r jaz– radius vektor, ki določa položaj jaz- površina glede na os.
Kotni moment celotnega telesa glede na vrtilno os se imenuje vektor
(6.9)
čigav modul 
.
V skladu z izrazoma (6.8) in (6.9) sta vektorja
in 
usmerjen vzdolž osi vrtenja (slika 6.3). Enostavno je pokazati, da je kotna količina telesa L glede na vrtilno os in vztrajnostni moment jaz tega telesa glede na isto os povezana z razmerjem
. (6.10)
Vztrajnostni moment telesa (sistema) glede na dano os Oz (ali osni vztrajnostni moment) je skalarna količina, ki se razlikuje od vsote produktov mas vseh točk telesa (sistema) za kvadrati njihovih razdalj od te osi:
Iz definicije izhaja, da je vztrajnostni moment telesa (ali sistema) glede na katero koli os pozitivna količina in ni enaka nič.
V prihodnosti se bo pokazalo, da ima osni vztrajnostni moment pri rotacijskem gibanju telesa enako vlogo kot masa pri translacijskem gibanju, tj. da je osni vztrajnostni moment merilo vztrajnosti telesa med rotacijskim gibanjem. gibanje.
Po formuli (2) je vztrajnostni moment telesa enak vsoti vztrajnostnih momentov vseh njegovih delov glede na isto os. Za eno materialno točko, ki se nahaja na razdalji h od osi, . Merska enota vztrajnostnega momenta v SI bo 1 kg (v sistemu MKGSS - ).
Za izračun aksialnih vztrajnostnih momentov lahko razdalje točk od osi izrazimo s koordinatami teh točk (na primer, kvadrat razdalje od osi Ox bo itd.).
Nato bodo vztrajnostni momenti glede na osi določeni s formulami:
Med izračuni se pogosto uporablja koncept radija vrtenja. Vztrajnostni polmer telesa glede na os je linearna količina, ki jo določa enačba
kjer je M telesna masa. Iz definicije sledi, da je vztrajnostni polmer geometrijsko enak oddaljenosti od osi točke, v kateri mora biti skoncentrirana masa celotnega telesa, tako da je vztrajnostni moment te ene točke enak vztrajnostnemu momentu. celotnega telesa.
Če poznate vztrajnostni polmer, lahko s formulo (4) najdete vztrajnostni moment telesa in obratno.
Formuli (2) in (3) veljata tako za togo telo kot za katerikoli sistem materialnih točk. Pri trdnem telesu, če ga razbijemo na elementarne dele, ugotovimo, da se bo v limitu vsota v enačbi (2) spremenila v integral. Kot rezultat, ob upoštevanju, da je kje gostota in V prostornina, dobimo
Integral pri tem sega na celotno prostornino V telesa, gostota in razdalja h pa sta odvisni od koordinat točk telesa. Podobno imajo formule (3) za trdna telesa obliko
Formuli (5) in (5) sta primerni za uporabo pri izračunu vztrajnostnih momentov homogenih teles pravilne oblike. V tem primeru bo gostota konstantna in bo izven integralnega predznaka.
Poiščimo vztrajnostne momente nekaterih homogenih teles.
1. Tanka homogena palica dolžine l in mase M. Izračunajmo njen vztrajnostni moment glede na os, ki je pravokotna na palico in poteka skozi njen konec A (slika 275). Usmerimo koordinatno os vzdolž AB, potem je za poljubni elementarni odsek dolžine d vrednost , masa pa , kjer je masa enote dolžine palice. Kot rezultat, formula (5) daje
Zamenjavo tukaj z njegovo vrednostjo, končno najdemo
2. Tanek okrogel homogeni obroč s polmerom R in maso M. Poiščimo njegov vztrajnostni moment glede na os, ki je pravokotna na ravnino obroča in poteka skozi njegovo središče C (slika 276).
Ker so vse točke obroča oddaljene od osi, daje formula (2).
Zato za prstan
Očitno bo enak rezultat dosežen za vztrajnostni moment tanke valjaste lupine z maso M in polmerom R glede na njeno os.
3. Okrogla homogena plošča ali valj s polmerom R in maso M. Izračunajmo vztrajnostni moment okrogle plošče glede na os, ki je pravokotna na ploščo in poteka skozi njeno središče (glej sliko 276). Da bi to naredili, izberemo elementarni obroč s polmerom in širino (slika 277, a). Površina tega obroča je , masa pa je kjer je masa na enoto površine plošče. Potem bo po formuli (7) za izbrani elementarni obroč in za celotno ploščo
Kot je navedeno zgoraj, preproste ravninske figure vključujejo tri figure: pravokotnik, trikotnik in krog. Te figure veljajo za preproste, ker je položaj težišča teh figur vnaprej znan. Vse druge figure so lahko sestavljene iz teh preprostih figur in veljajo za kompleksne. Izračunajmo osne vztrajnostne momente preprostih figur glede na njihove središčne osi.
1. Pravokotnik. Razmislimo o prerezu pravokotnega profila z dimenzijami (slika 4.6). Izberimo element preseka z dvema neskončno blizu oddaljenima presekoma 
od središčne osi 
.
Izračunajmo vztrajnostni moment pravokotnega prereza glede na os:
.
(4.10)
Vztrajnostni moment pravokotnega odseka okoli osi 
bomo našli podobno. Zaključek tukaj ni podan.
.
(4.11)
in 
je enaka nič, saj osi 
in 
so simetrijske osi in torej glavne osi.
2. Enakokraki trikotnik. Razmislimo o odseku trikotnega profila z dimenzijami 
(Slika 4.7). Izberimo element preseka z dvema neskončno blizu oddaljenima presekoma 
od središčne osi 
. Težišče trikotnika je na razdalji 
iz baze. Predpostavlja se, da je trikotnik enakokrak, torej os 
prerez je simetrijska os.
Izračunajmo vztrajnostni moment preseka glede na os 
:
.
(4.12)
Velikost 
iz podobnosti trikotnikov določimo:
; kje 
.
Zamenjava izrazov za 
v (4.12) in integracijo dobimo:
.
(4.13)
Vztrajnostni moment za enakokraki trikotnik glede na os 
se najde na podoben način in je enako:
(4.14)
Centrifugalni vztrajnostni moment okoli osi 
in 
je enaka nič, saj je os 
je simetrijska os preseka.
3. Krog. Razmislite o prerezu krožnega profila s premerom 
(Slika 4.8). Označimo element preseka z dvema neskončno blizu koncentričnima krogoma, ki se nahajata na razdalji 
od težišča kroga 
.
Izračunajmo polarni vztrajnostni moment kroga z uporabo izraza (4.5):
.
(4.15)
Z uporabo pogoja invariance za vsoto osnih vztrajnostnih momentov okoli dveh medsebojno pravokotnih osi (4.6) in ob upoštevanju tega za krog zaradi simetrije 
, določimo vrednost osnih vztrajnostnih momentov:
.
(4.16)
.
(4.17)
Centrifugalni vztrajnostni moment okoli osi 
in 
je enaka nič, saj osi 
in 
so simetrijske osi odseka.
4.4. Odvisnosti med vztrajnostnimi momenti glede na vzporedne osi
Pri izračunu vztrajnostnih momentov za kompleksne figure je treba zapomniti eno pravilo: vrednosti za vztrajnostne momente je mogoče dodati, če so izračunane glede na isto os. Pri kompleksnih figurah najpogosteje težišča posameznih preprostih figur in celotne figure ne sovpadajo. V skladu s tem centralne osi za posamezne preproste figure in celotno figuro ne sovpadajo. V zvezi s tem obstajajo tehnike za prenos vztrajnostnih momentov na eno os, na primer osrednjo os celotne figure. To je lahko posledica vzporednega prevajanja vztrajnostnih osi in dodatnih izračunov.
Oglejmo si določitev vztrajnostnih momentov glede na vzporedne vztrajnostne osi, prikazane na sliki 4.9.
Naj bodo aksialni in centrifugalni vztrajnostni momenti, prikazani na sliki 4.9. figure glede na poljubno izbrane osi 
in 
z izhodiščem v točki 
znan. Potrebno je izračunati osne in centrifugalne vztrajnostne momente figure glede na poljubne vzporedne osi 
in 
z izhodiščem v točki 
. Osi 
in 
izvajajo na daljavo 
in 
oziroma od osi 
in 
.
Uporabimo izraza za osne vztrajnostne momente (4.4) in za centrifugalni vztrajnostni moment (4.7). V te izraze nadomestimo namesto trenutnih koordinat 
in 
element z infinitezimalnim koordinatnim območjem 
in 
v novem koordinatnem sistemu. Dobimo:
Z analizo dobljenih izrazov pridemo do zaključka, da je treba pri izračunu vztrajnostnih momentov glede na vzporedne osi vztrajnostnim momentom, izračunanim glede na prvotne vztrajnostne osi, dodati aditive v obliki dodatnih členov, ki so lahko veliko večji kot vrednosti za vztrajnostne momente glede na prvotne osi. Zato teh dodatnih pogojev v nobenem primeru ne smete zanemariti.
Obravnavani primer je najsplošnejši primer vzporednega prenosa osi, ko so bile za začetne vzete poljubne vztrajnostne osi. V večini izračunov obstajajo posebni primeri določanja vztrajnostnih momentov.
Prvi poseben primer. Izhodiščne osi so osrednje vztrajnostne osi figure. Nato lahko z uporabo glavne lastnosti za statični moment ploščine iz enačb (4.18)–(4.20) izključimo člene enačb, ki vključujejo statični moment ploščine figure. Kot rezultat dobimo:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Tukaj so sekire 
in 
-centralne vztrajnostne osi.
Drugi poseben primer. Referenčne osi so glavne vztrajnostne osi. Potem, ob upoštevanju, da je centrifugalni vztrajnostni moment glede na glavne vztrajnostne osi enak nič, dobimo:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Tukaj so sekire 
in 
glavne vztrajnostne osi.
Uporabimo dobljene izraze in razmislimo o več primerih izračuna vztrajnostnih momentov ravninskih likov.
Primer 4.2. Določite osne vztrajnostne momente slike, prikazane na sl. 4.10 glede na središčne osi 
in 
.
V prejšnjem primeru 4.1 je bila za sliko, prikazano na sliki 4.10, določena lega težišča C. Koordinata težišča je bila izrisana iz osi 
in sestavljeno 
. Izračunajmo razdalje 
in 
med osema 
in 
in sekire 
in 
. Te razdalje so bile oz 
in 
. Od originalnih sekir 
in 
so osrednje osi za preproste figure v obliki pravokotnikov, za določitev vztrajnostnega momenta figure glede na os 
Uporabimo sklepe za prvi posebni primer, zlasti formulo (4.21).
Vztrajnostni moment okoli osi 
dobimo tako, da seštejemo vztrajnostne momente preprostih likov glede na isto os, saj je os 
je skupna središčna os za preproste figure in za celotno sliko.
cm 4.
Centrifugalni vztrajnostni moment okoli osi 
in 
je enaka nič, saj je vztrajnostna os 
je glavna os (simetrična os figure).
Primer 4.3. Kakšna je velikost? b(v cm)
slika, prikazana na sl. 4.11, če je vztrajnostni moment figure glede na os 
enako 1000 cm 4?
Izrazimo vztrajnostni moment glede na os 
skozi neznano velikost odseka 
, z uporabo formule (4.21), ob upoštevanju, da je razdalja med osema 
in 
je enako 7 cm:
cm 4. (A)
Reševanje izraza (a) glede na velikost odseka 
, dobimo:
cm.
Primer 4.4. Katera od figur, prikazanih na sliki 4.12, ima večji vztrajnostni moment glede na os 
če imata obe sliki enako ploščino 
cm 2?
1. Izrazimo površine figur z njihovimi velikostmi in določimo:
a) premer preseka za okrogel profil:
cm 2; Kje 
cm.
b) kvadratna velikost stranice:
; Kje 
cm.
2. Izračunajte vztrajnostni moment za krožni odsek:
cm 4.
3. Izračunajte vztrajnostni moment kvadratnega prereza:
cm 4.
Če primerjamo dobljene rezultate, pridemo do zaključka, da bo imel kvadratni odsek največji vztrajnostni moment v primerjavi s krožnim odsekom z enako površino.
Primer 4.5. Določite polarni vztrajnostni moment (v cm 4) pravokotnega odseka glede na njegovo težišče, če je širina odseka 
cm, višina odseka 
cm.
1. Poiščite vztrajnostne momente odseka glede na vodoravno 
in navpično 
centralne vztrajnostne osi:
cm 4; 
cm 4.
2. Polarni vztrajnostni moment odseka določimo kot vsoto osnih vztrajnostnih momentov:
cm 4.
Primer 4.6. Določite vztrajnostni moment trikotnika, prikazanega na sliki 4.13, glede na osrednjo os 
, če je vztrajnostni moment figure glede na os 
enako 2400 cm 4.
Vztrajnostni moment trikotnega odseka glede na glavno vztrajnostno os 
bo manjši v primerjavi z vztrajnostnim momentom okoli osi 
po znesku 
. Zato, ko 
cm vztrajnostni moment preseka glede na os 
najdemo takole.
OPREDELITEV
Mera vztrajnosti rotacijskega telesa je vztrajnostni moment(J) glede na os, okoli katere poteka vrtenje.
To je skalarna (na splošno tenzorska) fizikalna količina, ki je enaka zmnožku mas materialnih točk (), na katere je treba obravnavano telo razdeliti na kvadrate razdalj () od njih do osi vrtenja:
kjer je r funkcija položaja materialne točke v prostoru; - telesna gostota; - prostornina elementa telesa.
Za homogeno telo lahko izraz (2) predstavimo kot:
Vztrajnostni moment v mednarodnem sistemu enot se meri v:
Veličino J uvrščamo med osnovne zakone, s katerimi opisujemo vrtenje togega telesa.
V splošnem primeru je velikost vztrajnostnega momenta odvisna od smeri vrtilne osi, in ker med gibanjem vektor običajno spremeni svojo smer glede na telo, je treba vztrajnostni moment obravnavati kot funkcijo časa. Izjema je vztrajnostni moment telesa, ki se vrti okoli nepremične osi. V tem primeru ostane vztrajnostni moment konstanten.
Steinerjev izrek
Steinerjev izrek omogoča izračun vztrajnostnega momenta telesa glede na poljubno vrtilno os, ko je vztrajnostni moment zadevnega telesa znan glede na os, ki poteka skozi središče mase tega telesa, in so te osi vzporedno. V matematični obliki je Steinerjev izrek predstavljen kot:
kjer je vztrajnostni moment telesa glede na vrtilno os, ki poteka skozi središče mase telesa; m je masa zadevnega telesa; a je razdalja med osema. Ne pozabite, da morajo biti osi vzporedne. Iz izraza (4) sledi:
Nekaj izrazov za izračun vztrajnostnih momentov telesa
Ko se materialna točka vrti okoli osi, ima vztrajnostni moment enak:
kjer je m masa točke; r je razdalja od točke do osi vrtenja.
Za homogeno tanko palico z maso m in dolžino l je J glede na os, ki poteka skozi njeno središče mase (os je pravokotna na palico), enaka:
Tanek obroč z maso, ki se vrti okoli osi, ki poteka skozi njegovo središče, pravokotno na ravnino obroča, se vztrajnostni moment izračuna kot:
kjer je R polmer obroča.
Okrogel homogeni disk s polmerom R in maso m ima J glede na os, ki poteka skozi njegovo središče in je pravokotna na ravnino diska, enako:
Za homogeno kroglico
kjer je m masa žoge; R je polmer krogle. Žoga se vrti okoli osi, ki gre skozi njeno središče.
Če so osi vrtenja osi pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema, potem lahko za zvezno telo vztrajnostne momente izračunamo kot:
kjer so koordinate neskončno majhnega elementa telesa.
Primeri reševanja problemov
PRIMER 1
| telovadba | Dve žogi, ki ju lahko štejemo za koničasto, drži skupaj tanka breztežna palica. Dolžina palice l. Kolikšen je vztrajnostni moment tega sistema glede na os, ki poteka pravokotno na palico skozi središče mase. Masi točk sta enaki in enaki m. |
| rešitev | Poiščimo vztrajnostni moment ene kroglice () glede na os, ki je oddaljena od nje:
Vztrajnostni moment druge žoge bo enak: Skupni vztrajnostni moment sistema je enak vsoti:
|
| Odgovori |
PRIMER 2
| telovadba | Kolikšen je vztrajnostni moment fizičnega nihala glede na os, ki gre skozi točko O (slika 1)? Os je pravokotna na ravnino risbe. Predpostavimo, da je fizično nihalo sestavljeno iz tanke palice dolžine l z maso m in diska z maso . Disk je pritrjen na spodnji konec palice in ima polmer enak |
| rešitev | Vztrajnostni moment našega nihala (J) bo enak vsoti vztrajnostnega momenta palice (), ki se vrti okoli osi, ki poteka skozi točko O, in diska (), ki se vrti okoli iste osi: |
