Системы координат, применяемые в геодезии и топографии. Географическая система координат
Прежде чем приступить к обсуждению механизмов преобразования изображения, дадим определение условий фиксации положения, дающих возможность показать соотношения между объектами (элементами) до и после выполнения преобразований.
Система правил, соотношений и изобразительных (графических) средств, позволяющая задать (определить) положение объекта внимания на плоскости или в пространстве, определяется как система отсчета, система координат (КС), по которой каждой точке пространства ставится в соответствие набор чисел (координат ). Число координат, которые требуются для описания положения точки, определяет размерность пространства и соответственно наличие двухмерной и трехмерной графики. Двухмерная графика использует два понятия – высота и ширина и не вызывает особых затруднений при работе с изображением. В понятии трехмерная графика заложено указание на то, что придется работать с тремя пространственными измерениями – высотой, шириной и глубиной. Не вдаваясь в тонкости понятия “трехмерная графика”, отметим, что при работе с графическими средствами компьютерной графики необходимо помнить - созданные изображения реальных объектов существуют только в памяти компьютера. Они не имеют физической формы, поскольку это не что иное, как совокупность математических уравнений и движение электронов в микросхемах. А так как эти объекты не могут существовать вне компьютера, то единственным способом их увидеть в реальном свете, является добавление новых уравнений, описывающих условия освещения и точки зрения.
Основным отличием двухмерной графики от трехмерной является полное отсутствие у двухмерных объектов (изображений) третьей координаты – глубины, величины, характеризующей пространственные свойства объекта. Рисунки на плоскости характеризуются только шириной и высотой. И если ваше изображение таково, что создает иллюзию наличия третьей компоненты, то любая попытка взглянуть на объект с иного ракурса всегда будет связана с необходимостью перерисовывания объекта заново.
Если при моделировании трехмерные объекты приобретают координату глубины, то однажды нарисовав такие объекты, потом имеется возможность рассматривать их под любым углом зрения, не перерисовывая.
Положение каждой точки в пространстве определяется тройкой чисел – координатами (шириной, высотой и глубиной). Таким образом, через каждую точку можно провести три координатные оси виртуального пространства. Координатная ось – это воображаемая линия пространства, определяющая направление изменения координаты. Точка пересечения трех осей, имеющая координаты (0,0,0) – это точка начала координат.
В машинной графике в зависимости от характера решаемых задач, от структуры представления изображений и от процесса обработки графических данных, используются различные координаты:
полярные, цилиндрические, сферические;
относительные;
пользователя;
физические;
нормализованные;
однородные.
Мировой
координатой
называют независимую от
устройствадекартову
координату, используемую в прикладной
программе при задании графических
входных и выходных данных. Будем говорить,
что на плоскости задана декартова
прямоугольная система координат, если
определена пара взаимно перпендикулярных
осей и при этом обусловлено какая из
этих осей является осью ординат, какая
- осью абсцисс, а также единичный
(масштабный) отрезок по осям. На рис.
3.14 изображена декартова система координат
и определенная на ней точкаM
.
Опустим из точкиM
перпендикуляры на осиOX
и
OY
. Точки
пересечения этих перпендикуляров с
осями координат обозначены соответственноL
и
K
.
Абсциссой точкиMназывается
отрезок
осиOX, а ординатой –
величина отрезка
осиY. Пару чиселx
иy
,
гдеx
=
,y
=
называюткоординатами точки
M
в выбранной системе координат. Тот факт,
что точкаMимеет координатыx
иy
записывается так:M
(x
,
y
).
При этом сначала пишется абсцисса,
а затем ордината точкиM
.
Таким образом, каждой точке M плоскости соответствует пара действительных чисел (x , y ) – координаты этой точки. Наоборот, каждой паре действительных чисел (x , y ) соответствует, и при том только одна, точкаM плоскости, для которой эти числа будут ее координатами.
Следовательно, введение на плоскости декартовой прямоугольной системы координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек на плоскости и множеством пар 1 действительных чисел на плоскости. Это соответствие дает возможность сводить изучение множеств точек на плоскости к изучению множеств пар действительных чисел, то есть, применять к изучению вопросов геометрии алгебраические методы. Это же соответствие дает возможность давать геометрическую интерпретацию некоторым вопросам алгебры и других дисциплин.
Рассматривая прикладной аспект КС, необходимо отметить следующее. Поскольку координаты по своей природе являются безразмерными, позиционирование объектов выполняется в единицах, которые являются естественными для данного приложения и пользователя. Например, требуется показать график помесячного выхода продукции в течение года. Координаты в этой КС (x – месяц; y – выход продукции) называютсякоординатами пользователя , а поскольку они позволяют задавать объекты в двухмерном и трехмерном мире их также называютглобальными координатами.
Если в рассматриваемом векторном пространстве не предполагается возможным сравнение длин единичных векторов (орт), | e 1 |, | e 2 |, | e 3 |, то такое пространство называетсяаффинным . Аффинное векторное пространство позволяет изучать общие свойства фигур, изменяющиеся при произвольном преобразовании системы координат. Аффинная и декартова системы координат на плоскости устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками и координатами.
Аффинная или декартова система координат называется правой, если совмещение положительной полуоси х с положительной полуосьюу осуществляется поворотом осиOx в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки на угол, меньший. В противном случае система координат называется левой.
Если отрезки равны (случай метрического векторного пространства), а угол между осями 90 0 КС называетсякосоугольной . То есть кроме декартовой КС существуют и другие системы координат, позволяющие определить положение точки на плоскости (пространстве) с помощью пар (троек) действительных чисел 2 . К таким КС относится, например,полярная система координат.
Полярная
система координат.
Определим
на плоскости точку O
и
проходящую через нее ось OP
.
Точка
O
назовем полюсом,
а
полуось (луч),
выходящую
из точки O
в положительном направлении 3 ,
- полярной
осью
.
Задание полюса полярной оси OP
и
единичного (масштабного) отрезка OE
определяет
на плоскости полярную
систему координат.
Полярным
радиусом
любой
точки M
называется длина отрезка
.Полярным
углом
точки M
называется угол наклона направленного
отрезка
к полярной осиOP
.
Угол
определяется с учетом знака и с точностью
до слагаемого вида 2
k
,
гдe
k
–
целое
число.
Ч
исла
и
, полярный радиус и полярный угол точкиM
,
называютсяполярными координатами.
Точка с
полярными координатами обозначается
так:M
(
,
)
или (
,
)
. 4
Таким образом, задание любой пары действительных чисел ( , ),0 позволяет построить на плоскости одну точкуM , для которой эти числа являются ее полярными координатами.
При создании изображений достаточно часто приходится пользоваться одновременно декартовыми прямоугольными и полярными координатами точек. Практический интерес представляют формулы, позволяющие по декартовым координатам рассчитывать полярные координаты и наоборот.
Пусть точка M произвольная точка плоскости, x иy – ее декартовы координаты, , - полярные. Так как
Формулы (1) выражают прямоугольные декартовы координаты точки M через полярные координаты.
то есть,
,
следовательно
Формулы (2) позволяют определить полярные координаты точки M по ее декартовым координатам. Если точкаM не лежит на осиOY, то из формул (2) следует соотношение
Физической координатой считают координату, заданнуюв системе координат, которая зависит от устройства.
Нормализованной координатой называют координату, заданную в промежуточной, независимой от устройств, системе координат и нормированную относительно некоторого диапазона, обычно от 0 до 1. При этом изображение, выраженное в нормализованных координатах, располагается в одной и той же относительной позиции при визуализации на любое устройство. Нормализованные координаты используются в случае, если область трехмерного пространства, ограниченная кубом, со сторонойh отображается в ту же область, ограниченную кубом со сторонойb", при этом используется нормирующий множитель, делением на который получают нормализованные координаты. Координаты мировой системы иногда приводятся к нормализованному виду.
Приборная система координат всегда нормирована. Координаты обычно задаются в десятичных долях в диапазоне от О до 1 илив целых единицах, например, растра экрана дисплея (размер 1024 X10*4 единиц растра).
Однородная система координат широко применяеся в машинной графике и позволяет n-мерный объект представить в (n +1) - мерном пространстве, путем добавления еще одной координаты - скалярного множителя. Однородные координаты являются основными в проективной геометрии, в машинной графике они удобный искусственный прием, позволяющий линеанизировать перспективные изображения. Однородные координаты дают возможность записывать несобственные (бесконечно удаленные) точки пространства, а также выражать аффинные преобразования в удобной матричной форме, избегая переполнения разрядной сетки ЭВМ за счет нормализации чисел.
Определяются однородные координаты следующим образом. Пусть на плоскости заданы система аффинных координат и произвольная точка Р с координатами(х, у). Введем в рассмотрение систему координат, в которой для описания вектора положения точки вводится третья компонента. Назовем однородной системой координат любую тройку одновременно не равных нулю чисел а 1 , а 2 , а 3 , связанных соотношением
При решении задач компьютерной
графики однородные координаты обычно
вводятся так: произвольной точке M
(x
,
y
)
на плоскости ставится в соответствие
точка M
’(x
,
y
)
в пространстве. Заметим, что произвольная
точка на прямой, соединяющей начало
координат 0(0, 0, 0) с точкой М(x,
y,
1), может быть задана тройкой чисел hx
,
hy
,
h
(hx
,
hy
,
h
)
при h
0.
Вектор, определяемый тройкой
чисел
hx
,
hy
,
h
, является направляющим
вектором прямой, соединяющим точки 0 иM’. Эта прямая пересекает
плоскостьZ
=
h
в точке (x
,
y
,
h
), которая однозначно
определяет точкуx
,
y
координатной
плоскостиXOY
. То есть,
между точкойx
,
y
и множеством точек (hx
,
hy
,
h
)
h
0
устанавливается 
взаимно
однозначное соответствие, что и позволяет
считатьhx
,
hy
,
h
ее координатами.
Однородное координатное воспроизведение неоднозначно, но равенство дополнительной координаты единице упрощает прямое и обратное преобразования и одновременно обеспечивает однозначность преобразований. Таким образом, описание точки на плоскости представляется вектором вида (x i , y i , 1 ) и однородные координаты можно представить как координаты двухмерной плоскости, рассматриваемой в трехмерном пространстве на уровне Z = 1. При помощи троек однородных координат можно описать любое аффинное преобразование на плоскости, то есть
Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут явно выраженного геометрического смысла. Поэтому, чтобы найти то или иное отображение, используется соответствующее геометрическое описание, необходимые приемы, заключающиеся в последовательном использовании матриц поворота, масштабирования, отражения и переноса поэтапно, так как эти преобразования обладают хорошо выраженными геометрическими свойствами.
Определение положения точки в пространстве
Итак, положение какой-либо точки в пространстве может быть определено только по отношению к каким-либо другим точкам. Та точка, относительно которой рассматривается положение других точек, называется точкой отсчете . Мы так же применим и другое наименование точки отсчета – точка наблюдения . Обычно с точкой отсчета (или с точкой наблюдения) связывают какую-либо систему координат , которую и называют системой отсчета. В выбранной системе отсчета положение КАЖДОЙ точки определяется ТРЕМЯ координатами.
Правая декартова (или прямоугольная) система координат
Эта система координат представляет собой три взаимно перпендикулярных направленных прямых, называемых так же осями координат , пересекающихся в одной точке (начале координат). Точка начала координат обычно обозначается буквой О.
Оси координат носят названия:
1. Ось абсцисс – обозначается как OX;
2. Ось ординат – обозначается как OY;
3. Ось аппликат – обозначается как OZ
Теперь объясним, почему эта система координат называется правой. Давайте посмотрим на плоскость XOY с положительного направления оси OZ, например из точки А, как это показано на рисунке.
Предположим, что мы начинаем поворачивать ось OX вокруг точки О. Так вот – правая система координат имеет такое свойство, что, если смотреть на плоскость XOY из какой-либо точки положительной полуоси OZ (у нас – это точка А), то, при повороте оси OX на 90 против часовой стрелки, её положительное направление совпадет с положительным направлением оси OY.
Такое решение было принято в научном мире, нам же остается принимать это так, как оно есть.
Итак, после того, как мы определились с системой отсчета (в нашем случае – правой декартовой системой координат), положение любой точки описывается через значения её координат или другими словами – через величины проекций этой точки на оси координат.
Записывается это так: A(x, y, z), где x, y, z – и есть координаты точки А.
Прямоугольную систему координат можно представить себе, как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей.
Следует заметить, что ориентировать прямоугольную систему координат в пространстве можно как угодно, при этом надо выполнить только одно условие – начало координат должно совпадать с центром отсчета (или точкой наблюдения).
Сферическая система координат
Положение точки в пространстве можно описать и другим способом. Предположим, что мы выбрали область пространства, в котором располагается точка отсчета О (или точка наблюдения), и еще нам известно расстояние от точки отсчета до некоторой точки А. Соединим эти две точки прямой ОА. Эта прямая называется радиус-вектором и обозначается, как r . Все точки, имеющие одно и тоже значение радиус-вектора, лежат на сфере, центр которой находится в точке отсчета (или точке наблюдения), а радиус этой сферы равен, соответственно радиус-вектору.
Таким образом, нам становится очевидным, что знание величины радиус-вектора не дает нам однозначного ответа о положении интересующей нас точки. Нужны еще ДВЕ координаты, ведь для однозначного определения местоположения точки количество координат должно равняться ТРЕМ.
Далее мы поступим следующим образом – построим две взаимно перпендикулярные плоскости, которые, естественно, дадут линию пересечения, и эта линия будет бесконечной, потому как и сами плоскости ничем не ограничены. Зададим на этой линии точку и обозначим ее, ну например, как точка О1. А теперь совместим эту точку О1 с центром сферы – точкой О и посмотрим, что получается?
А получается очень интересная картина:
· Как одна, так и другая плоскости будут центральными плоскостями.
· Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы обозначат большие круги
· Один из этих кругов – произвольно, мы назовем ЭКВАТОРОМ , тогда другой круг будет называться ГЛАВНЫМ МЕРИДИАНОМ.
· Линия пересечения двух плоскостей однозначно определит направление ЛИНИИ ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА.
Точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы обозначим, как М1 и М2
Через центр сферы точку О в плоскости главного меридиана проведем прямую, перпендикулярную линии главного меридиана. Эта прямая носит название ПОЛЯРНАЯ ОСЬ .
Полярная ось пересечет поверхность сферы в двух точках, которые называются ПОЛЮСАМИ СФЕРЫ. Обозначим эти точки, как Р1 и Р2.
Определение координат точки в пространстве
Теперь рассмотрим процесс определения координат точки в пространстве, а так же дадим наименования этим координатам. Для полноты картины, при определении положения точки, укажем основные направления, от которых производится отсчет координат, а так же положительное направление при отсчете.
1. Задаем положение в пространстве точки отсчета (или точки наблюдения). Обозначим эту точку буквой О.
2. Строим сферу, радиус которой равен длине радиус-вектора точки А. (Радиус-вектор точки А – это расстояние между точками О и А). Центр сферы располагается в точке отсчета О.
3. Задаем положение в пространстве плоскости ЭКВАТОРА, а соответственно плоскости ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА. Следует напомнить, что эти плоскости взаимно перпендикулярны и являются центральными.
4. Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы определяет нам положение круга экватора, круга главного меридиана, а так же направление линии главного меридиана и полярной оси.
5. Определяем положение полюсов полярной оси и полюсов линии главного меридиана. (Полюса полярной оси – точки пересечение полярной оси с поверхностью сферы. Полюса линии главного меридиана – это точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы).
6. Через точку А и полярную ось строим плоскость, которую назовем плоскостью меридиана точки А. При пересечении этой плоскости с поверхностью сферы получится большой круг, который мы назовем МЕРИДИАНОМ точки А.
7. Меридиан точки А пересечет круг ЭКВАТОРА в некоторой точке, которую мы обозначим, как Е1
8. Положение точки Е1 на экваториальном круге определяется длиной дуги, заключенной между точками М1 и Е1. Отсчет ведется ПРОТИВ часовой стрелки. Дуга экваториального круга, заключенная между точками М1 и Е1 называется ДОЛГОТОЙ точки А. Долгота обозначается буквой .
Подведем промежуточный итог. На данный момент нам известны ДВЕ из ТРЕХ координат, описывающих положение точки А в пространстве – это радиус-вектор (r) и долгота (). Теперь мы будем определять третью координату. Эта координата определяется положением точки А на ее меридиане. Но вот положение начальной точки, от которой происходит отсчет, однозначно не определено: мы можем начинать отсчет как от полюса сферы (точка Р1), так и от точки Е1, то есть от точки пересечения линий меридиана точки А и экватора (или другими словами – от линии экватора).
В первом случае, положение точки А на меридиане называется ПОЛЯРНЫМ РАССТОЯНИЕМ (обозначается как р ) и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Р1 (или точкой полюса сферы) и точкой А. Отсчет ведется вдоль линии меридиана от точки Р1 к точке А.
Во втором случае, когда отсчет ведется от линии экватора, положение точки А на линии меридиана называется ШИРОТОЙ (обозначается как и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Е1 и точкой А.
Теперь мы можем окончательно сказать, что положение точки А в сферической системе координат определяется через:
· длину радиуса сферы (r),
· длину дуги долготы (),
· длину дуги полярного расстояния (р)
В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , p)
Если пользоваться иной системой отсчета, то положение точки А в сферической системе координат определяется через:
· длину радиуса сферы (r),
· длину дуги долготы (),
· длину дуги широты ()
В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , )
Способы измерения дуг
Возникает вопрос – как же нам измерить эти дуги? Самый простой и естественный способ – это провести непосредственное измерение длин дуг гибкой линейкой, и это возможно, если размеры сферы сравнимы с размерами человека. Но как поступить, если это условие не выполнимо?
В этом случае мы прибегнем к измерению ОТНОСИТЕЛЬНОЙ длины дуги. За эталон же мы примем длину окружности, частью которой является интересующая нас дуга. Как это можно сделать?
Каждый современный человек обязан знать, что такое система координат. Ежедневно мы сталкиваемся с такими системами, даже не задумываясь, что они собой представляют. Когда-то в школе мы учили базовые понятия, примерно знаем что есть ось иксов, ось игреков и точка отсчета, равная нулю. На самом деле все гораздо сложнее, существует несколько разновидностей систем координат. В статье подробно рассмотрим каждую из них, а также дадим подробное описание, где и зачем они используются.
Определение и область применения
Система координат - это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов. Совокупность чисел, которые определяют расположение конкретной точки, называют координатами этой точки. Системы координат используются во многих областях науки, например, в математике координаты являются совокупностью чисел, которые сопоставлены точкам в некоторой карте заранее определенного атласа. В геометрии координаты - это величины, которые определяют расположение точки в пространстве и на плоскости. В географии координаты обозначают широту, долготу и высоту над общим уровнем моря, океана или другой заранее известной величины. В астрономии координаты являются величинами, которые дают возможность определить положение звезды, например, склонение и прямое восхождение. Это далеко не полный перечень того, где используются системы координат. Если вы думаете, что эти понятия далеки от людей, не интересующихся наукой, то поверьте, что в быту они встречаются гораздо чаще, чем вы себе думаете. Возьмите хотя бы карту города, чем вам не система координат?
Разобравшись с определением, давайте рассмотрим, какие разновидности координатных систем существуют и что они из себя представляют.
Зональная система координат
Данную систему координат применяют в основном при различных горизонтальных съемках и составлении достоверных планов местности. В ее основу положена равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса. В этой проекции всю поверхность земного геоида делят меридианами на 6-ти градусные зоны и номеруют с 1-й по 60-ю на восток от Гринвичского меридиана. При этом средний меридиан данной 6-ти угольной зоны называют осевым. Его принято совмещать с внутренней поверхностью цилиндра и считать осью абсцисс. Для того, чтобы избежать отрицательных значений ординат (у), ординату на осевом меридиане (начальную точку отсчета) принимают не за нуль, а за 500 км, то есть перемещают на 500 км к западу. Перед ординатой обязательно указывают номер зоны.
Система координат Гаусса-Крюгера
Данная система координат берет в основу проекцию, которую предложил известный немецкий ученый Гаусс, и разработал для пользования в геодезии Крюгер. Сущность данной проекции состоит в том, что земную сферу условно делят меридианами на шестиградусные зоны. Зоны нумеруют от Гринвичского меридиана с запада на восток. Зная номер зоны, вы легко сможете определить средний меридиан, называемый осевым, по формуле Z = 60(n) – 3, где (n) – это номер зоны. Для каждой зоны делают плоское изображение, путем ее проектирования на боковую поверхность цилиндра, ось которого находится перпендикулярно к земной оси. Затем этот цилиндр пошагово развертывают на плоскость. Экватор и осевой меридиан изображают прямыми линиями. Осью абсцисс в каждой зоне является осевой меридиан, а экватор выполняет роль оси ординат. Начальной точкой отсчета служит точка пересечения экватора и осевого меридиана. Абсциссы отсчитывают к северу от экватора только со знаком плюс и к югу от экватора только со знаком минус.
Полярная система координат на плоскости
Это двумерная система координат, каждая точка в которой определяется на плоскости двумя числами - полярным радиусом и полярным углом. Полярная система координат полезна в тех случаях, когда взаимосвязь между точками проще представить в виде углов и радиусов. Полярную систему координат задают лучом, называющимся полярной или нулевой осью. Точка, из которой выходит данный луч, называют полюсом или началом координат. Произвольная точка на плоскости определяется лишь двумя полярными координатами: угловой и радиальной. Радиальная координата равняется расстоянию от точки до начала системы координат. Угловая координата равна углу, на который необходимо против часовой стрелки повернуть полярную ось, чтобы попасть в точку.
Прямоугольная система координат
Что такое прямоугольная система координат вам наверняка известно еще со школьной скамьи, но все же, давайте вспомним еще разок. Прямоугольная система координат – это такая прямолинейная система, в которой оси расположены в пространстве или на плоскости и взаимно перпендикулярны между собой. Это самая простая и часто используемая система координат. Она прямо и довольно легко обобщается для пространств с любой размерностью, что также способствует ее широчайшему применению. Положение точки на плоскости определяют двумя координатами - икс и игрек, соответственно имеется ось абсцисс и ординат.
Декартовая система координат
Поясняя, что такое декартова система координат, в первую очередь необходимо сказать, что это частный случай прямоугольной системы координат, в котором по осям установлены одинаковые масштабы. В математике чаще всего рассматривают двухмерную или трехмерную декартовую систему координат. Координаты обозначают латинскими буквами x, y, z и называют, абсциссой, ординатой и аппликатой соответственно. Координатную ось (OX) обычно называют осью абсцисс, ось (OY) – осью ординат, а ось (OZ) – осью аппликат.
Теперь вы знаете, что такое система координат, какими они бывают и где используются.
Пример 1. Вычислим на геоцентрической небесной сфере часовой угол Н и склонение тела, имеющего азимут (измеряемый в восточном направлении от точки севера) А и высоту а. При этом будем считать, что широта наблюдателя равна
На рис. 2.11 показана соответствующая небесная сфера, на которой X обозначает положение тела, а остальные символы имеют обычные значения.
Теорема косинусов, примененная к сферическому треугольнику PZX, дает
Отсюда можно вычислить . Воспользовавшись теоремой косинусов еще раз, получаем
откуда находим Н, так как б уже известно.
С другой стороны, используя формулу, связывающую четыре величины (90° - а), (360° - А), и H, получаем
Пример 2. Считая, что наклонение эклиптики равно преобразуем эклиптические координаты (небесную долготу К и небесную широту Р) космического аппарата в геоцентрические экваториальные координаты (прямое восхождение а и склонение ).
Как показано на рис. 2.12, в сферическом треугольнике КРХ (X - положение космического аппарата на небесной сфере) содержится вся необходимая информация.
Воспользовавшись по очереди теоремой косинусов, теоремой синусов и аналогом теоремы косинусов, получаем
откуда можно найти а и б.
Читателю предлагается в качестве упражнения провести преобразования, обратные рассмотренным в примерах 1 и 2.
Пример 3. По известным гелиоцентрическим прямоугольным координатам космического аппарата, обращающегося вокруг Солнца, определим его геоцентрическое расстояние , прямое восхождение а и склонение .
На этом примере будет проиллюстрирован ряд важных принципов. Для наблюдения аппарата с Земли или связи с ним в заданный момент времени нужно знать геоцентрические прямое восхождение, склонение и удаление аппарата. С другой стороны, межпланетный
планетный космический аппарат движется по орбите вокруг Солнца, а элементы такой орбиты определяются в гелиоцентрической системе. Зная элементы и время, можно определить прямоугольные координаты в системе с началом в центре Солнца. Ниже мы увидим, как это делается (см. гл. 4). В настоящем примере мы будем предполагать, что основой прямоугольной системы координат служат эклиптика и направление на Т. и покажем, как эти прямоугольные координаты можно преобразовать в геоцентрическое расстояние, прямое восхождение и склонение. В астрономии такое преобразование является стандартной процедурой. Обратная задача определения элементов орбиты по измерениям прямого восхождения и склонения тела также является стандартной процедурой.
Однако она сложнее и будет рассмотрена позже.
Задача решается в несколько этапов:
1) осуществляется переход от гелиоцентрической эклиптической прямоугольной системы координат к гелиоцентрической экваториальной прямоугольной системе;
2) от гелиоцентрической экваториальной прямоугольной системы переходим к геоцентрической экваториальной прямоугольной системе;
3) геоцентрические экваториальные прямоугольные координаты преобразуем в геоцентрическое расстояние, прямое восхождение и склонение.
Эти преобразования проводятся следующим образом:
1) На рис. 2.13 V обозначает положение аппарата относительно Солнца S. Относительно осей (образующих прямоугольную систему) аппарат имеет координаты так, что справедливо соотношение
SA (А - перигелий) пересекается со сферой в точке , а SV - в точке Q. Тогда имеем
В силу теоремы косинусов, примененной к сферическому треугольнику QTN, в котором угол равен 180° - i, получаем
следовательно,
Аналогично, применяя теорему косинусов к треугольнику QNB и вспоминая, что
получаем
Наконец, применение теоремы косинусов к треугольнику QKN дает
Чтобы перейти к гелиоцентрическим экваториальным прямоугольным координатам, заметим, что новые оси ST, SC и SP обладают следующими свойствами: ось SC лежит в экваториальной плоскости под углом 90° к ST, а ось SP перпендикулярна этой плоскости и направлена так, что три оси образуют правую тройку. Тогда новые оси SC и SP получаются из старых осей SB и SK поворотом последних вокруг на угол . Если гелиоцентрические
экваториальные прямоугольные координаты аппарата обозначить , то
Используя уравнения (2.4), (2.5) и (2.6), получаем
Введем ряд вспомогательных углов так, чтобы они удовлетворяли соотношениям
Тогда уравнения (2.7), (2.8) и (2.9) принимают вид
Этими формулами удобно пользоваться, если нужно вычислять прямоугольные координаты аппарата в нескольких положениях. Вспомогательные величины a, A, D, В, с, С являются функциями только элементов ; поэтому их можно вычислить один раз для всех положений. Переменные же и f должны вычисляться для каждого положения (способ их вычисления будет описан позднее - см. гл. 4). Следует, однако, заметить, что являются постоянными только в том случае, когда на аппарат не действуют никакие возмущения. Фактически такая ситуация наблюдается в большинстве межпланетных полетов на пассивных участках траектории.
2) Теперь начало координат переносится из центра Солнца в центр Земли. На рис. 2.14 Е - Земля, S - Солнце, и SP - оси гелиоцентрической экваториальной системы координат,
И - оси геоцентрической экваториальной прямоугольной системы координат, плоскость - плоскость земного экватора. Пусть координаты аппарата V относительно геоцентрических осей, так что
Гелиоцентрические экваториальные координаты Земли. Тогда
Если через (X, Y, Z) обозначить геоцентрические экваториальные координаты Солнца, то
Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат .
Общая декартова система координат (аффинная система координат ) может включать и не обязательно перпендикулярные оси. В честь французского математика Рене Декарта (1596-1662) названа именно такая система координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.
Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.
Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.
С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a ; b ) удовлетворяют уравнению (x - a )² + (y - b )² = R ² .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости . Одна из этих осей называется осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат . Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy . Как получить проекции? Проведём через точку М Ox . Эта прямая пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy . Эта прямая пересекает ось Oy в точке M y . Это показано на рисунке ниже.
x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 и y = y 0 - 0 . Декартовы координаты x и y точки М абсциссой и ординатой . Тот факт, что точка М имеет координаты x и y , обозначается так: M (x , y ) .
Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта , нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.
Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат .
Прямоугольная декартова система координат в пространстве
Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве .
Одну из указанных осей называют осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат , третью - осью Oz , или осью аппликат . Пусть M x , M y M z - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox , Oy и Oz соответственно.
Проведём через точку М Ox Ox в точке M x . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy . Эта плоскость пересекает ось Oy в точке M y . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz . Эта плоскость пересекает ось Oz в точке M z .
Декартовыми прямоугольными координатами x , y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 , y = y 0 - 0 и z = z 0 - 0 .
Декартовы координаты x , y и z точки М называются соответственно её абсциссой , ординатой и аппликатой .
Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy , yOz и zOx .
Задачи о точках в декартовой системе координат
Пример 1.
A (2; -3) ;
B (3; -1) ;
C (-5; 1) .
Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy , которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:
A x (2; 0) ;
B x (3; 0) ;
C x (-5; 0) .
Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-3; 2) ;
B (-5; 1) ;
C (3; -2) .
Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.
Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox , которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:
A y (0; 2) ;
B y (0; 1) ;
C y (0; -2) .
Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (2; 3) ;
B (-3; 2) ;
C (-1; -1) .
Ox .
Ox Ox Ox , будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox :
A" (2; -3) ;
B" (-3; -2) ;
C" (-1; 1) .
Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами - в конце параграфа "Прямоугольная декартова система координат на плоскости") может быть расположена точка M (x ; y ) , если
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-2; 5) ;
B (3; -5) ;
C (a ; b ) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Продолжаем решать задачи вместе
Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (-1; 2) ;
B (3; -1) ;
C (-2; -2) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy , будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy :
A" (1; 2) ;
B" (-3; -1) ;
C" (2; -2) .
Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки
A (3; 3) ;
B (2; -4) ;
C (-2; 1) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.
Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:
A" (-3; -3) ;
B" (-2; 4) ;
C (2; -1) .
Пример 8.
A (4; 3; 5) ;
B (-3; 2; 1) ;
C (2; -3; 0) .
Найти координаты проекций этих точек:
1) на плоскость Oxy ;
2) на плоскость Oxz ;
3) на плоскость Oyz ;
4) на ось абсцисс;
5) на ось ординат;
6) на ось апликат.
1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy :
A xy (4; 3; 0) ;
B xy (-3; 2; 0) ;
C xy (2; -3; 0) .
2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz :
A xz (4; 0; 5) ;
B xz (-3; 0; 1) ;
C xz (2; 0; 0) .
3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz :
A yz (0; 3; 5) ;
B yz (0; 2; 1) ;
C yz (0; -3; 0) .
4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:
A x (4; 0; 0) ;
B x (-3; 0; 0) ;
C x (2; 0; 0) .
5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:
A y (0; 3; 0) ;
B y (0; 2; 0) ;
C y (0; -3; 0) .
6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz , а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:
A z (0; 0; 5) ;
B z (0; 0; 1) ;
C z (0; 0; 0) .
Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки
A (2; 3; 1) ;
B (5; -3; 2) ;
C (-3; 2; -1) .
Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:
1) плоскости Oxy ;
2) плоскости Oxz ;
3) плоскости Oyz ;
4) оси абсцисс;
5) оси ординат;
6) оси апликат;
7) начала координат.
1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy Oxy , будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy :
A" (2; 3; -1) ;
B" (5; -3; -2) ;
C" (-3; 2; 1) .
2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz , будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz :
A" (2; -3; 1) ;
B" (5; 3; 2) ;
C" (-3; -2; -1) .
3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz , будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz :
A" (-2; 3; 1) ;
B" (-5; -3; 2) ;
C" (3; 2; -1) .
По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.
4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:
A" (2; -3; -1) ;
B" (5; 3; -2) ;
C" (-3; -2; 1) .
5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:
A" (-2; 3; -1) ;
B" (-5; -3; -2) ;
C" (3; 2; 1) .
6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:
A" (-2; -3; 1) ;
B" (-5; 3; 2) ;
C" (3; -2; -1) .
7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат.
