Решение систем линейных неравенств онлайн. Решение неравенств
см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования
Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F
= C
1 x
+ C
2 y
, которую необходимо максимизировать.
Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x
; y
) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x
– 5 y
≥ 42 удовлетворяют пары (x
, y
) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax
+ by
≤ c
, ax
+ by
≥ c
. Прямая ax
+ by
= c
делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax
+ by
>c
, а другой неравенству ax
+ +by
<c
.
Действительно, возьмем точку с координатой x
= x
0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x
0 , имеет ординату
Пусть для определенности a
< 0, b
>0,
c
>0. Все точки с абсциссой x
0 , лежащие выше P
(например, точка М
), имеют y M
>y
0 , а все точки, лежащие ниже точки P
, с абсциссой x
0 , имеют y N
<y
0 .
Поскольку x
0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки,
для которых ax
+ by
> c
, образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax
+ by
< c
.
Рисунок 1
Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a
, b
, c
.
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:
- Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
- Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
- Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
- Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.
Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.
Рассмотрим три соответствующих примера.
Пример 1.
Решить графически систему:
x
+ y –
1 ≤ 0;
–2 x –
2y
+ 5 ≤ 0.
- рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
- построим прямые, задающиеся этими уравнениями.
![](https://i0.wp.com/semestr.ru/images/math/lp/lp2_image005.jpg)
Рисунок 2
Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x
+ y–
1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x
+ y
–
1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства.
Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x
– 2y
+ 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x
– 2y
+ 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.
Пример 2.
Найти графически решения системы неравенств:
Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x
+ 2y
– 2 = 0
x | 2 | 0 |
y | 0 | 1 |
y – x – 1 = 0
x | 0 | 2 |
y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых
Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).
Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.
В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!
Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.
Общи сведения о неравенствах
Неравенством
называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x)
a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x)
Неравенства, содержащие знак > или
или - нестрогими.
Решением неравенства
является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство
" означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств
. Для решения неравенства
пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства
x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое. +
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x .
Подобным образом решаются и нижеследующие системы неравенств.