Lei de distribuição de variáveis ​​​​aleatórias de Cauchy. Distribuição Kosha

Parece que a distribuição de Cauchy parece muito atraente para descrever e modelar variáveis ​​aleatórias. No entanto, na realidade este não é o caso. As propriedades da distribuição de Cauchy são nitidamente diferentes das propriedades das distribuições Gaussiana, Laplace e outras distribuições exponenciais.  

O fato é que a distribuição de Cauchy é quase extremamente plana. Lembre-se de que uma distribuição é considerada extremamente plana se, como x -> +oo, sua densidade de probabilidade  

Para a distribuição de Cauchy não existe sequer um primeiro momento inicial da distribuição, ou seja, uma expectativa matemática, uma vez que a integral que a define diverge. Nesse caso, a distribuição possui uma mediana e uma moda, que são iguais ao parâmetro a.  

Claro, a dispersão desta distribuição (o segundo momento central) também é igual ao infinito. Na prática, isto significa que a variância estimada para uma amostra da distribuição de Cauchy aumentará sem limites à medida que o volume de dados aumenta.  

Do exposto segue-se que a aproximação pela distribuição de Cauchy de processos aleatórios, que são caracterizados por expectativa matemática finita e variância finita, é incorreta.  

Assim, obtivemos uma distribuição simétrica em função de três parâmetros, com a qual podemos descrever amostras de variáveis ​​​​aleatórias, inclusive aquelas com declives suaves. No entanto, esta distribuição tem desvantagens que foram consideradas ao discutir a distribuição de Cauchy, nomeadamente, a expectativa matemática existe apenas para a > 1, a variância é finita apenas para OS > 2 e, em geral, o momento finito da distribuição de ordem k existe para a > k .  

A Figura 14.1 usa 8.000 amostras da famosa distribuição de Cauchy, que tem média e variância infinitas. A distribuição de Cauchy é descrita com mais detalhes abaixo. A série aqui utilizada foi “normalizada” subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão amostral. Assim, todas as unidades são expressas em desvios padrão. Para comparação, usamos 8.000 variáveis ​​aleatórias gaussianas que foram normalizadas de maneira semelhante. É importante entender que as próximas duas etapas sempre terminarão com média 0 e desvio padrão 1 porque foram normalizadas para esses valores. Convergência significa que a série temporal se move rapidamente em direção a um valor estável.  

Estas duas distribuições bem conhecidas, a distribuição de Cauchy e a distribuição normal, têm muitas aplicações. Eles também são os únicos dois membros da família de distribuições estáveis ​​para os quais as funções de densidade de probabilidade podem ser derivadas explicitamente. Em todos os outros casos fracionários devem ser estimados, geralmente por meios numéricos. Discutiremos um desses métodos em uma seção posterior deste capítulo.  

No Capítulo 14, examinamos o desvio padrão serial e a média do mercado de ações americano e os comparamos com uma série temporal derivada da distribuição de Cauchy. Fizemos isso para ver o efeito da variância infinita e da média nas séries temporais. O desvio padrão serial é o desvio padrão de uma série temporal quando somamos de cada vez  

Faça uma primeira aproximação de Z para u(o,F) tomando a média ponderada dos quantis F das distribuições Cauchy e Gaussiana.  

A Tabela A3.2 converte os resultados da Tabela A3.1 em quantis. Para descobrir qual valor F explica 99 por cento das observações para a = 1,0, desça a coluna F para a esquerda até 0,99 e para u = 31,82. A distribuição de Cauchy requer observações de 31,82 valores da média para cobrir 99 por cento de probabilidade. Em contraste, o caso normal atinge o nível de 99 por cento em u = 3,29. Isso difere do caso normal padrão, que é de 2,326 desvios padrão em vez de 3,29 s.  

P(> (nm)1/2Г(n/2) n Quando n = 1, a distribuição correspondente é chamada de distribuição de Cauchy.  

Se uma série é estacionária no sentido amplo, então não é necessariamente estritamente estacionária. Ao mesmo tempo, uma série estritamente estacionária pode não ser estacionária no sentido amplo simplesmente porque pode não ter uma expectativa e/ou dispersão matemática. (Em relação a este último, um exemplo seria uma amostra aleatória da distribuição de Cauchy.) Além disso, situações são possíveis quando as três condições acima são satisfeitas, mas, por exemplo, E(X) depende de t.  

Ao mesmo tempo, no caso geral, mesmo que algumas variáveis ​​aleatórias X, . .., X são mutuamente independentes e possuem a mesma distribuição, isso não significa que formem um processo de ruído branco, pois a variável aleatória Xt pode simplesmente não ter uma expectativa e/ou variância matemática (podemos novamente apontar a distribuição de Cauchy como exemplo).  

Quando dois ou mais factores, por exemplo trabalho e bens materiais, estão envolvidos no processo de produção de bens e prestação de serviços, bem como na subsequente formação de recebimentos de caixa, uma distribuição lógica destes últimos entre factores parece geralmente impossível. Assumiu-se que os activos que poderiam ser utilizados seriam acompanhados de receitas marginais líquidas, mas o montante das receitas marginais privadas pode acabar por ser superior ao total das receitas líquidas provenientes da venda de produtos e da prestação de serviços.  

Essas distribuições de cauda longa, especialmente em dados de Pareto, levaram Levy (1937), um matemático francês, a formular a função de densidade generalizada, da qual as distribuições normais, bem como as distribuições de Cauchy, eram casos especiais. Levy usou uma versão generalizada do Teorema do Limite Central. Estas distribuições correspondem a uma grande classe de fenômenos naturais, mas não têm recebido muita atenção devido aos seus problemas incomuns e aparentemente intratáveis. As suas propriedades invulgares continuam a torná-los impopulares, mas as suas outras propriedades estão tão próximas dos nossos resultados nos mercados de capitais que devemos explorá-las. Além disso, descobriu-se que distribuições estáveis ​​de Lévy são úteis na descrição das propriedades estatísticas de fluxo turbulento e ruído l/f - e também são fractais.  

A Figura 14.2(a) mostra o desvio padrão serial para essas duas séries. O desvio padrão serial, assim como a média serial, é um cálculo do desvio padrão à medida que as observações são adicionadas uma de cada vez. Neste caso a diferença é ainda mais marcante. O ejad aleatório converge rapidamente para um desvio padrão de 1. A distribuição de Cauchy, em contraste, nunca converge. Em vez disso, é caracterizado por vários grandes saltos intermitentes e grandes desvios do valor normalizado de 1.  

Este é o logaritmo da função característica da distribuição de Cauchy, que é conhecida por ter variância e média infinitas. Nesse caso, 8 torna-se a mediana da distribuição e c torna-se o intervalo interquartil de sete.  

Holt e Row (1973) encontraram funções de densidade de probabilidade para a = 0,25 a 2,00 e P igual a -1,00 a +1,00, ambas em incrementos de 0,25. A metodologia utilizada interpolou entre distribuições conhecidas, como Cauchy e distribuições normais, e a representação integral do trabalho de Zolotarev (1964/1966). Tabelas preparadas para o primeiro  

Como discutimos no Capítulo 14, expressões explícitas para distribuições estáveis ​​existem apenas para casos especiais de distribuições normais e de Cauchy. No entanto, Bergstrom (1952) desenvolveu uma expansão em série que Fame and Roll usou para aproximar densidades para muitos valores de alfa. Quando a > 1,0, eles poderiam usar os resultados de Bergstrom para derivar a próxima série convergente  

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Definição

Deixe a distribuição de uma variável aleatória $X$ dado pela densidade $f\_X(x)$, tendo a forma:

$f\_X(x)\; =\; \backslash frac(1)(\backslash pi\backslash gamma\; \backslash left)\; =\; (\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; )\; \backslash left[\; (\; \backslash gamma\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash gamma^2\; )\; \backslash right]$,

• $x\_0\; \backslash in\; \backslash mathbb(R)$- parâmetro de mudança;
• $\backslash gama\; >\; 0$- parâmetro de escala.

Então eles dizem isso $X$ tem uma distribuição de Cauchy e é escrita $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(x\_0,\backslash gamma)$. Se $x\_0\; =\; 0$ E $\backslash gama\; =\; 1$, então tal distribuição é chamada padrão Distribuição de Cauchy.

Função de distribuição

Isso permite que uma amostra seja gerada a partir da distribuição de Cauchy usando o método de transformação inversa.

Momentos

não definido para $\backslash alpha\; \backslash geqslant\; 1$, nem a expectativa matemática (embora a integral do 1º momento no sentido do valor principal seja igual a: $\backslash lim\backslash limits\_(c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty)\; \backslash int\backslash limits\_(-c)^(c)\; x\; \backslash cdot\; (\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; )\; \backslash left[\; (\; \backslash gamma\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash \; gama^2\; )\; \backslash direita]\backslash ,\; dx\; =\; x\_0$), nem a dispersão nem os momentos de ordem superior desta distribuição são determinados. Às vezes dizem que a expectativa matemática é indefinida, mas a variância é infinita.

Outras propriedades

• A distribuição de Cauchy é infinitamente divisível.
• A distribuição de Cauchy é estável. Em particular, a média amostral de uma amostra de uma distribuição padrão de Cauchy em si tem uma distribuição padrão de Cauchy: se $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(0,1)$, Que

Relacionamento com outras distribuições

• Se $Você\backslash sim\; você$, Que

• Se $X\_1,X\_2$ são variáveis ​​​​aleatórias normais independentes tais que $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(N)(0,1),\backslash ;\; eu\; =\; 1,2$, Que

• A distribuição padrão de Cauchy é um caso especial da distribuição Student:

Aparência em problemas práticos

• A distribuição de Cauchy caracteriza o comprimento do segmento cortado no eixo x de uma reta fixada em um ponto do eixo das ordenadas, se o ângulo entre a reta e o eixo das ordenadas tiver uma distribuição uniforme no intervalo (−π ; π) (ou seja, a direção da linha reta é isotrópica no plano).
• Na física, a distribuição de Cauchy (também chamada de forma de Lorentz) descreve os perfis de linhas espectrais uniformemente ampliadas.
• A distribuição de Cauchy descreve as características de amplitude-frequência de sistemas oscilatórios lineares nas proximidades de frequências ressonantes.

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Um trecho caracterizando a Distribuição Cauchy

Os gritos e fogos no exército inimigo ocorreram porque enquanto a ordem de Napoleão era lida entre as tropas, o próprio imperador cavalgava em torno de seus acampamentos. Os soldados, vendo o imperador, acenderam feixes de palha e, gritando: vive l "empereur! correram atrás dele. A ordem de Napoleão foi a seguinte:
“Soldados! O exército russo sai contra você para vingar o exército austríaco de Ulm. Estes são os mesmos batalhões que você derrotou em Gollabrunn e que desde então você tem perseguido constantemente até este lugar. As posições que ocupamos são poderosas e, enquanto se movem para me flanquear pela direita, irão expor o meu flanco! Soldados! Eu mesmo liderarei seus batalhões. Ficarei longe do fogo se você, com sua coragem habitual, trouxer desordem e confusão às fileiras do inimigo; mas se a vitória estiver em dúvida por um minuto sequer, você verá seu imperador exposto aos primeiros golpes do inimigo, porque não pode haver dúvida na vitória, especialmente num dia em que a honra da infantaria francesa, que é tão necessário para a honra de sua nação, está em questão.

DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY, distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X com densidade

onde - ∞< μ < ∞ и λ>0 - parâmetros. A distribuição de Cauchy é unimodal e simétrica em relação ao ponto x = μ, que é a moda e mediana desta distribuição [As Figuras aeb mostram gráficos da densidade p(x; λ, μ) e a função de distribuição correspondente F (x ; λ, μ) para μ =1,5 e λ = 1]. A expectativa matemática da distribuição de Cauchy não existe. A função característica da distribuição de Cauchy é igual a e iμt - λ|t| , - ∞< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Se variáveis ​​aleatórias independentes X 1,...,X n têm a mesma distribuição de Cauchy, então sua média aritmética (X 1 + ... + X n)/n para qualquer n = 1,2, ... tem a mesma distribuição ; este fato foi estabelecido por S. Poisson (1830). A distribuição de Cauchy é uma distribuição estável. A razão X/Y das variáveis ​​aleatórias independentes X e Y com distribuição normal padrão tem distribuição de Cauchy com parâmetros 0 e 1. A distribuição da tangente tan Z de uma variável aleatória Z, com distribuição uniforme no intervalo [-π /2, π/2], também possui uma distribuição de Cauchy com parâmetros 0 e 1. A distribuição de Cauchy foi considerada por O. Cauchy (1853).

Enciclopédia física

DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY

DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY

Distribuição de probabilidade com densidade

e função de distribuição

Parâmetro Shift, >0 - parâmetro de escala. Revisado em 1853 por O. Cauchy. Função característica K.r. igual a exp ; momentos de ordem R 1 não existo, então lei dos grandes números para K.r. não executado [se X 1 ..., X-n são variáveis ​​​​aleatórias independentes com o mesmo K. r., então n -1 (X 1 + ... + X n) tem o mesmo K. r.]. Família K.b. fechado sob transformações lineares: se a variável aleatória X tem distribuição (*), então aX+b também tem K. r. com parâmetros , . K.r.- distribuição sustentável com expoente 1, simétrico em relação ao ponto x =. K.r. tem, por exemplo, a relação X/Y variáveis ​​​​aleatórias independentes normalmente distribuídas com média zero, bem como a função , onde a variável aleatória Z distribuído uniformemente sobre . Análogos multidimensionais de K. r.

Aceso.: Feller V., Introdução à Teoria da Probabilidade e suas Aplicações, trad. do inglês, vol. 2, M., 1984.

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