A posição relativa de dois círculos. Teoria

Classe 7G, ​​Z

Tópico da lição: “A posição relativa de dois círculos”
Objetivo: conhecer possíveis casos de posição relativa de dois círculos; aplicar conhecimentos na resolução de problemas.

Objetivos: Educacionais: facilitar a criação e consolidação nos alunos de uma representação visual de possíveis casos de disposição de dois círculos. Os alunos serão capazes de:

Estabeleça uma ligação entre as posições relativas dos círculos, seus raios e a distância entre seus centros;

Analise um desenho geométrico e modifique-o mentalmente,

Desenvolva a imaginação planimétrica.

Os alunos serão capazes de aplicar conhecimentos teóricos à resolução de problemas.

Tipo de aula: aula de introdução e consolidação de novos conhecimentos sobre a matéria.

Equipamento: apresentação para a aula; bússola, régua, lápis e livro didático para cada aluno.

Tutorial: . “Geometria 7ª série”, Almaty “Atamura” 2012

Durante as aulas.

Tempo de organização. Verificando o dever de casa.

3. Atualização de conhecimentos básicos.

Repita as definições de círculo, círculo, raio, diâmetro, corda, distância de um ponto a uma linha reta.

1) 1) Que casos de localização de uma linha e de um círculo você conhece?

2) Qual reta é chamada de tangente?

3) Qual reta é chamada de secante?

4) Teorema sobre o diâmetro perpendicular à corda?

5) Como fica a tangente em relação ao raio do círculo?

6) Preencha a tabela (nos cartões).

Os alunos, sob orientação do professor, resolvem e analisam problemas.

1) A linha a é uma tangente a um círculo com centro O. O ponto A é dado na linha a. O ângulo entre a tangente e o segmento OA é 300. Encontre o comprimento do segmento OA se o raio for 2,5 m.

2) Determine a posição relativa da linha e do círculo se:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4,2cm 3. R=7,2dm, d=3,7dm 4. R=8 cm, d=1,2dm 5. R=5 cm, d= 50mm

a) uma reta e um círculo não possuem pontos comuns;

b) a reta é tangente ao círculo;

c) uma linha reta intercepta um círculo.

d é a distância do centro do círculo à linha reta, R é o raio do círculo.

3) O que pode ser dito sobre a posição relativa da reta e do círculo se o diâmetro do círculo for 10,3 cm e a distância do centro do círculo à reta for 4,15 cm; 2 dm; 103mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dado um círculo com centro O e ponto A. Onde está localizado o ponto A se o raio do círculo for 7 cm e o comprimento do segmento OA for: a) 4 cm; b) 10cm; c) 70 milímetros.

4. Juntamente com os alunos, descubra o tema da aula e formule os objetivos da aula.

5. Introdução de novo material.

Trabalho prático em grupo.

Construa 3 círculos. Para cada círculo, construa outro círculo de modo que 1) 2 círculos não se cruzem, 2) 2 círculos se toquem, 3) dois círculos se cruzem. Encontre o raio de cada círculo e a distância entre os centros dos círculos e compare os resultados. O que pode ser concluído?
2) Resuma e anote em um caderno os casos de posição relativa de dois círculos.

A posição relativa de dois círculos em um plano.

Os círculos não têm pontos comuns (não se cruzam). (R1 e R2 são os raios dos círculos)

Se R1 + R2< d,

d – Distância entre os centros dos círculos.

c) Os círculos têm dois pontos comuns. (cruzar).

Se R1 + R2 > d,

Pergunta. Dois círculos podem ter três pontos comuns?

6. Consolidação do material estudado.

Encontre um erro no dado ou afirmação e corrija-o, justificando sua opinião:
A) Dois círculos se tocam. Seus raios são iguais a R = 8 cm e r = 2 cm, a distância entre os centros é d = 6.
B) Duas circunferências têm pelo menos dois pontos em comum.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Os círculos não têm pontos comuns.
D) R = 8, r = 6, d = 4. O círculo menor está localizado dentro do maior.
D) Dois círculos não podem ser posicionados de forma que um fique dentro do outro.

7. Resumo da lição. O que você aprendeu na lição? Que padrão foi estabelecido?

Como dois círculos podem ser posicionados? Nesse caso, os círculos têm um ponto comum? Como é chamado o ponto comum de dois círculos? Que toques você conhece? Quando os círculos se cruzam? Quais círculos são chamados de concêntricos?

Tópico da lição: " A posição relativa de dois círculos em um plano.”

Alvo :

Educacional - dominar novos conhecimentos sobre a posição relativa de dois círculos, preparando-se para o teste

Desenvolvimento - desenvolvimento de competências computacionais, desenvolvimento do pensamento lógico-estrutural; desenvolver competências na procura de soluções racionais e na obtenção de resultados finais; desenvolvimento da atividade cognitiva e pensamento criativo .

Educacional – formação de responsabilidade e consistência entre os alunos; desenvolvimento de qualidades cognitivas e estéticas; formação da cultura informacional dos alunos.

Correcional - desenvolver o pensamento espacial, a memória e as habilidades motoras manuais.

Tipo de aula: aprendizagem de novo material educacional, consolidação.

Tipo de aula: aula mista.

Método de ensino: verbal, visual, prático.

Forma de estudo: coletivo.

Meios de educação: quadro

DURANTE AS AULAS:

1. Estágio organizacional

- saudações;

- verificar a preparação para a aula;

2. Atualizando conhecimentos básicos.
Que tópicos abordamos nas lições anteriores?

Forma geral da equação de um círculo?

Execute oralmente:

Pesquisa relâmpago

3. Introdução de novo material.

Que número você acha que consideraremos hoje... E se houver dois deles?

Como eles podem ser localizados???

As crianças mostram com as mãos (vizinhos) como os círculos podem ser organizados (minuto de educação física)

Bem, o que você acha que deveríamos considerar hoje? Hoje deveríamos considerar a posição relativa de dois círculos. E descubra qual é a distância entre os centros dependendo da localização.

Tópico da lição: « A posição relativa de dois círculos. Solução de problemas. »

1. Círculos concêntricos

2. Círculos disjuntos

3. Toque externo

4. Círculos que se cruzam

5. Toque interno

Então vamos concluir

4.Formação de competências e habilidades

Encontre um erro no dado ou afirmação e corrija-o, justificando sua opinião:

A) Dois círculos se tocam. Seus raios são iguais a R = 8 cm e r = 2 cm, a distância entre os centros é d = 6.
B) Duas circunferências têm pelo menos dois pontos em comum.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Os círculos não têm pontos comuns.

D) R = 8, r = 6, d = 4. O círculo menor está localizado dentro do maior.

D) Dois círculos não podem ser posicionados de forma que um fique dentro do outro.

5. Consolidação de competências e habilidades.

Os círculos se tocam externamente. O raio do círculo menor é 3 cm. O raio do círculo maior é 5 cm.

Solução: 3+5=8(cm)

Os círculos se tocam internamente. O raio do círculo menor é 3 cm. O raio do círculo maior é 5 cm.

Solução: 5-3=2(cm)

Os círculos se tocam internamente. A distância entre os centros dos círculos é de 2,5 cm.

resposta: (5,5 cm e 3 cm), (6,5 cm e 4 cm), etc.

VERIFICANDO A COMPREENSÃO

1) Como dois círculos podem ser posicionados?

2) Nesse caso os círculos têm um ponto comum?

3) Como é chamado o ponto comum de duas circunferências?

4) Que toques você conhece?

5) Quando os círculos se cruzam?

6) Quais círculos são chamados de concêntricos?

Tarefas adicionais sobre o tema: Vetores. Método de coordenadas "(se sobrar tempo)

1)E(4;12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Encontre:

a) coordenadas vetoriaisFE, G. H.

b) comprimento do vetorFG

c) coordenadas do ponto O - o meioFE

coordenadas do pontoC- meioG. H.

d) equação de um círculo com diâmetroFG

e) equação de uma retaFC

6. Lição de casa

& 96 Nº 1000. Quais dessas equações são equações de um círculo. Encontre o centro e o raio

7. Resumindo a lição (3 minutos)

(fazer uma avaliação qualitativa do trabalho da turma e de cada aluno).

8. Etapa de reflexão (2 minutos.)

Sejam os círculos definidos por um vetor da origem ao centro e o raio deste círculo.

Considere os círculos A e B com raios Ra e Rb e vetores de raio (vetor para o centro) a e b. Além disso, Oa e Ob são seus centros. Sem perda de generalidade, assumiremos que Ra > Rb.

Então as seguintes condições são satisfeitas:

Pontos de intersecção de dois círculos

Suponha que A e B se cruzem em dois pontos. Vamos encontrar esses pontos de intersecção.

Para fazer isso, um vetor de a a um ponto P, que está no círculo A e está em OaOb. Para fazer isso, você precisa pegar o vetor b - a, que será o vetor entre os dois centros, normalizá-lo (substituí-lo por um vetor unitário codirecional) e multiplicá-lo por Ra. Denotamos o vetor resultante como p. Esta configuração pode ser vista na Fig. 6

Arroz. 6. Vetores a, b, p e onde moram.

Denotemos i1 e i2 como vetores de a até os pontos de intersecção I1 e I2 de dois círculos. Torna-se óbvio que i1 e i2 são obtidos por rotação de p. Porque conhecemos todos os lados dos triângulos OaI1Ob e OaI2Ob (Raio e distância entre centros), podemos obter esse ângulo fi, girar o vetor p em uma direção dará I1, e na outra I2.

De acordo com o teorema do cosseno, é igual a:

Se você girar p por fi, obterá i1 ou i2, dependendo de como você gira. A seguir, o vetor i1 ou i2 deve ser adicionado a a para obter o ponto de intersecção

Este método funcionará mesmo que o centro de um círculo esteja dentro do outro. Mas aí o vetor p definitivamente terá que ser especificado na direção de a para b, que foi o que fizemos. Se você construir p com base em outro círculo, nada resultará disso

Bem, para concluir, um fato deve ser mencionado: se os círculos se tocam, então é fácil verificar que P é o ponto de contato (isso vale tanto para o contato interno quanto para o externo).
Aqui você pode ver a visualização (você precisa clicar para iniciá-la).

Este método funciona, mas em vez do ângulo de rotação, você pode calcular seu cosseno, e através dele o seno, e então usá-los ao girar o vetor. Isso simplificará significativamente os cálculos, eliminando o código das funções trigonométricas.

Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa

Instituição educacional orçamentária municipal

cidade de Novosibirsk "Ginásio No. 4"

Seção: matemática

PESQUISAR

neste tópico:

PROPRIEDADES DE DOIS CÍRCULOS DE TOQUE

Alunos do 10º ano:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeniy Vladimirovich

Supervisor:

L.L. Barinova

Professor de matemática

Categoria de qualificação mais alta

§ 1.Introdução………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 A posição relativa de dois círculos………………………...………………...………3

§ 2º Imóveis e suas evidências……………………………………………………..……………….....….…4

§ 2.1 Propriedade 1………………...……………………………………..………………...….…4

§ 2.2 Propriedade 2…………………………………………………..………………...………5

§ 2.3 Propriedade 3…………………………………………………..………………...………6

§ 2.4 Propriedade 4…………………………………………………..………………...………6

§ 2.5 Propriedade 5………………………………..………………………………...………8

§ 2.6 Propriedade 6………………………………………………..……………………...………9

§ 3 Tarefas……………………………………………………..……………….........………..…11

Referências………………………………………………………………………….………….13

§ 1. Introdução

Muitos problemas envolvendo dois círculos tangentes podem ser resolvidos de forma mais breve e simples conhecendo algumas das propriedades que serão apresentadas a seguir.

A posição relativa de dois círculos

Para começar, estipulemos a possível posição relativa dos dois círculos. Pode haver 4 casos diferentes.

1. Os círculos não podem se cruzar.

2. Cruze.

3. Toque em um ponto externo.

4.Toque em um ponto interno.

§ 2. Propriedades e suas provas

Vamos direto para a prova das propriedades.

§ 2.1 Propriedade 1

Os segmentos entre os pontos de intersecção das tangentes com os círculos são iguais entre si e iguais a dois raios médios geométricos dos círculos dados.

Prova 1. O 1 A 1 e O 2 B 1 – raios traçados até os pontos de contato.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (de acordo com o ponto 1)

1. ▲O 1 O 2 D – retangular, porque O 2 D ┴ O 2 × 1
2. O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

1. De acordo com o teorema de Pitágoras A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (provado de forma semelhante)

1) Vamos desenhar os raios nos pontos de intersecção das tangentes com os círculos.

2) Esses raios serão perpendiculares às tangentes e paralelos entre si.

3) Abaixemos uma perpendicular do centro do círculo menor até o raio do círculo maior.

4) A hipotenusa do triângulo retângulo resultante é igual à soma dos raios dos círculos. A perna é igual à diferença deles.

5) Usando o teorema de Pitágoras obtemos a relação necessária.

§ 2.2 Propriedade 2

Os pontos de intersecção de uma reta que cruza o ponto tangente dos círculos e não se encontra em nenhum deles com as tangentes dividem pela metade os segmentos das tangentes externas, limitados pelos pontos de tangência, em partes, cada uma das quais é igual à média geométrica dos raios desses círculos.

Prova 1.EM= MA 1 (como segmentos tangentes)

2.MC = MV 1 (como segmentos tangentes)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (conforme pontos 1 e 2 )

Declarações usadas na prova Os segmentos tangentes traçados de um ponto a um determinado círculo são iguais. Usamos esta propriedade para ambos os círculos dados.

§ 2.3 Propriedade 3

O comprimento do segmento da tangente interna encerrado entre as tangentes externas é igual ao comprimento do segmento da tangente externa entre os pontos de contato e é igual a dois raios médios geométricos dos círculos dados.

Prova Esta conclusão decorre da propriedade anterior.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Propriedade 4

O triângulo formado pelos centros dos círculos tangentes e o ponto médio do segmento tangente entre os raios traçados até os pontos de contato é retangular. A proporção de suas pernas é igual ao quociente das raízes dos raios desses círculos.

Prova 1.MO 1 é a bissetriz do ângulo A 1 MS, MO 2 é a bissetriz do ângulo B 1 MS, porque O centro de um círculo inscrito em um ângulo está na bissetriz desse ângulo.

2.De acordo com o ponto 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5(РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – direto. MC é a altura do triângulo O 1 MO 2, porque a tangente MN é perpendicular aos raios traçados aos pontos de contato → os triângulos O 1 MC e MO 2 C são semelhantes.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (semelhante)

Declarações usadas na prova 1) O centro de um círculo inscrito em um ângulo está na bissetriz desse ângulo. Os catetos de um triângulo são as bissetrizes dos ângulos.

2) Aproveitando o fato de que os ângulos formados desta forma são iguais, descobrimos que o ângulo que procuramos é um ângulo reto. Concluímos que este triângulo é de fato retângulo.

3) Provamos a semelhança dos triângulos em que a altura (já que a tangente é perpendicular aos raios traçados aos pontos de tangência) divide o triângulo retângulo, e por semelhança obtemos a razão necessária.

§ 2.5 Propriedade 5

O triângulo formado pelo ponto de contato dos círculos entre si e pelos pontos de intersecção dos círculos com a tangente é retangular. A proporção de suas pernas é igual ao quociente das raízes dos raios desses círculos.

Prova

1. ▲A 1 MC e ▲SMV 1 são isósceles → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Mas RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – direto → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC e ▲CO 2 B 1 são semelhantes → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Declarações usadas na prova 1) Anotamos a soma dos ângulos dos triângulos, aproveitando o fato de serem isósceles. A isósceles dos triângulos é provada usando a propriedade de igualdade dos segmentos tangentes.

2) Tendo escrito a soma dos ângulos desta forma, descobrimos que o triângulo em questão tem um ângulo reto, portanto é retangular. A primeira parte da afirmação foi comprovada.

3) Usando a semelhança de triângulos (para comprová-la, usamos o sinal de semelhança em dois ângulos) encontramos a razão entre os catetos de um triângulo retângulo.

§ 2.6 Propriedade 6

O quadrilátero formado pelos pontos de intersecção dos círculos com a tangente é um trapézio no qual um círculo pode ser inscrito.

Prova 1.▲A 1 RA 2 e ▲B 1 PB 2 são isósceles porque A 1 P = RA 2 e B 1 P = PB 2 como segmentos tangentes → ▲A 1 RA 2 e ▲B 1 PB 2 – semelhantes.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, porque os ângulos correspondentes formados na intersecção da secante A 1 B 1 são iguais.

1. MN – linha média conforme propriedade 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → no trapézio A 2 A 1 B 1 B 2 a soma das bases é igual à soma dos lados, e esta é uma condição necessária e suficiente para a existência de um círculo inscrito.

Declarações usadas na prova 1) Utilizemos novamente a propriedade dos segmentos tangentes. Com sua ajuda, provaremos as isósceles dos triângulos formados pelo ponto de intersecção das tangentes e dos pontos de tangência.

2) Segue-se disso que esses triângulos são semelhantes e suas bases são paralelas. Com base nisso concluímos que este quadrilátero é um trapézio.

3) Usando a propriedade (2) que provamos anteriormente, encontramos a linha média do trapézio. É igual a dois raios médios geométricos dos círculos. No trapézio resultante, a soma das bases é igual à soma dos lados, sendo esta condição necessária e suficiente para a existência de um círculo inscrito.

§ 3. Problemas

Vejamos um exemplo prático de como você pode simplificar a solução de um problema usando as propriedades descritas acima.

Problema 1

No triângulo ABC, lado AC = 15 cm Um círculo está inscrito no triângulo. O segundo círculo toca o primeiro e os lados AB e BC. No lado AB, o ponto F é selecionado, e no lado BC, o ponto M é selecionado de forma que o segmento FM seja uma tangente comum aos círculos. Encontre a razão entre as áreas do triângulo BFM e do quadrilátero AFMC, se FM tiver 4 cm e o ponto M estiver localizado duas vezes mais longe do centro de um círculo do que do centro do outro.

Dado: FM-tangente total AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Encontre S BFM /S AFMC

Solução:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; QP=FM=4

3)▲BO 1 P e ▲BO 2 Q são semelhantes → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+PA=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+QQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Problema 2

Dois círculos tangentes com seu ponto comum D e uma tangente comum FK passando por este ponto estão inscritos em um triângulo isósceles ABC. Encontre a distância entre os centros desses círculos se a base do triângulo AC = 9 cm, e o segmento do lado do triângulo delimitado entre os pontos de tangência dos círculos for 4 cm.

Dado: ABC – triângulo isósceles; FK – tangente comum dos círculos inscritos. CA = 9cm; NE = 4 cm

Solução:

Deixe as linhas retas AB e CD se cruzarem no ponto O. Então OA = OD, OB = OC, então CD = = AB = 2√Rr

Os pontos O 1 e O 2 estão na bissetriz do ângulo AOD. A bissetriz de um triângulo isósceles AOD é sua altitude, então AD ┴ O 1 O 2 e BC ┴ O 1 O 2, o que significa

AD ║ BC e ABCD – trapézio isósceles.

O segmento MN é sua linha média, então AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Portanto, um círculo pode ser inscrito neste trapézio.

Seja AP a altura do trapézio, os triângulos retângulos ARB e O 1 FO 2 são semelhantes, portanto AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

A partir daqui descobrimos que

Bibliografia

• Suplemento do jornal “Primeiro de Setembro” “Matemática” nº 43, 2003
• Exame Estadual Unificado 2010. Matemática. Tarefa C4. Gordin R.K.