Derivação da lei básica da dinâmica do movimento rotacional. Verificação da lei básica da dinâmica do movimento rotacional de um corpo rígido Lei básica do movimento rotacional de um corpo rígido

Momento de força em relação a um ponto fixoÓ é uma quantidade física vetorial definida pelo produto vetorial do vetor raio tirado do pontoÓ exatamenteA aplicação de força, força (Fig.1.4.1):

(1.4.1)

Aqui – pseudovetor, sua direção coincide com a direção do movimento da hélice direita quando ela gira de Para .

Módulo de momento de força

Onde
– ângulo entre E ,
– a menor distância entre a linha de ação da força e o ponto SOBRE–força do ombro.

Momento de força em torno de um eixo fixo z
, igual à projeção neste eixo do vetor momento de força definido em relação a um ponto arbitrárioÓ dado eixoz (Fig. 1.4.1).

O trabalho realizado quando um corpo gira é igual ao produto do momento da força atuante e do ângulo de rotação:

.

Por outro lado, este trabalho visa aumentar sua energia cinética:

, Mas

, É por isso

, ou
.

Considerando que
, Nós temos

. (1.4.2)

Pegou a equação básica para a dinâmica do movimento rotacional de um corpo rígido em relação a um eixo fixo: o momento das forças externas que atuam sobre o corpo é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela aceleração angular.

Pode-se mostrar que se o eixo de rotação coincide com o eixo principal de inércia que passa pelo centro de massa, então a igualdade vetorial é válida:

,

Onde EU– momento principal de inércia do corpo (momento de inércia em relação ao eixo principal).

1.5 Momento angular e a lei de sua conservação

momento de impulso ponto materialA em relação a um ponto fixo SOBRE é uma quantidade física vetorial definida pelo produto vetorial:

(1.5.1)

Onde – vetor de raio desenhado a partir do ponto SOBRE exatamente A;
– momento de um ponto material (Fig. 1.5.1).
– pseudovetor, sua direção coincide com a direção do movimento de translação da hélice direita quando ela gira de Para .

,

Onde
– ângulo entre vetores E ,– braço vetorial em relação ao ponto SOBRE.

Momento de impulso em relação a um eixo fixo z chamada de quantidade escalar
, igual à projeção neste eixo do vetor momento angular definido em relação a um ponto arbitrárioSOBRE este eixo. Valor do momento
não depende da posição do ponto SOBRE no eixo z.

Quando um corpo absolutamente rígido gira em torno de um eixo fixo z cada ponto individual do corpo se move em um círculo de raio constante em alguma velocidade . Velocidade e impulso
perpendicular a este raio, ou seja, raio é o braço do vetor
. Portanto, podemos escrever que o momento angular de uma partícula individual

e é direcionado ao longo do eixo na direção determinada pela regra do parafuso direito.

Momento de um corpo rígido em relação ao eixo é a soma do momento angular das partículas individuais:

.

Usando fórmula
, Nós temos

, ou seja
. (1.5.2)

Assim, o momento angular de um corpo rígido em relação a um eixo é igual ao produto do momento de inércia do corpo em relação ao mesmo eixo e a velocidade angular.

Vamos diferenciar a equação (1.5.2) em relação ao tempo:

, ou seja
. (1.5.3)

Esta expressão é outra forma a equação básica (lei) da dinâmica do movimento rotacional de um corpo rígido em relação a um eixo fixo: a derivada temporal do momento do momento de um sistema mecânico (corpo sólido) em relação ao eixo é igual ao momento principal de todas as forças externas que atuam neste sistema em relação ao mesmo eixo.

Pode-se mostrar que existe uma igualdade vetorial
.

Num sistema fechado, o momento das forças externas
E
, onde

. (1.5.4)

A expressão (1.5.4) é lei da conservação do momento angular : O momento angular do sistema em malha fechada é conservado.

Vamos comparar as grandezas e equações básicas que determinam a rotação de um corpo em torno de um eixo fixo e seu movimento de translação (Tabela 1.5.1).

Tabela 1.5.1

Conceitos Básicos.

Momento de poder em relação ao eixo de rotação - este é o produto vetorial do vetor raio e da força.

O momento da força é um vetor , cuja direção é determinada pela regra do verruma (parafuso direito) dependendo da direção da força que atua no corpo. O momento de força é direcionado ao longo do eixo de rotação e não possui ponto de aplicação específico.

O valor numérico deste vetor é determinado pela fórmula:

M=r×F× sina(1.15),

onde um - o ângulo entre o vetor raio e a direção da força.

Se a = 0 ou p, momento de poder M=0, ou seja uma força que passa pelo eixo de rotação ou coincide com ele não causa rotação.

O maior módulo de torque é criado se a força atuar em um ângulo a=p/2 (M > 0) ou a=3p/2 (M< 0).

Usando o conceito de alavancagem d- esta é uma perpendicular baixada do centro de rotação até a linha de ação da força), a fórmula do momento da força assume a forma:

Onde (1.16)

Regra dos momentos de forças(condição de equilíbrio de um corpo com eixo de rotação fixo):

Para que um corpo com eixo de rotação fixo esteja em equilíbrio, é necessário que a soma algébrica dos momentos das forças que atuam sobre esse corpo seja igual a zero.

S M i =0(1.17)

A unidade SI para momento de força é [N×m]

Durante o movimento rotacional, a inércia de um corpo depende não apenas de sua massa, mas também de sua distribuição no espaço em relação ao eixo de rotação.

A inércia durante a rotação é caracterizada pelo momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação J.

Momento de inércia ponto material em relação ao eixo de rotação é um valor igual ao produto da massa do ponto pelo quadrado de sua distância ao eixo de rotação:

J eu =m eu × r eu 2(1.18)

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia dos pontos materiais que compõem o corpo:

J=S m eu × r eu 2(1.19)

O momento de inércia de um corpo depende da sua massa e forma, bem como da escolha do eixo de rotação. Para determinar o momento de inércia de um corpo em relação a um determinado eixo, utiliza-se o teorema de Steiner-Huygens:

J=J 0 +m× d 2(1.20),

Onde J 0– momento de inércia em torno de um eixo paralelo que passa pelo centro de massa do corpo, d– distância entre dois eixos paralelos . O momento de inércia no SI é medido em [kg × m 2 ]

O momento de inércia durante o movimento rotacional do corpo humano é determinado experimentalmente e calculado aproximadamente usando as fórmulas de um cilindro, haste redonda ou bola.

O momento de inércia de uma pessoa em relação ao eixo vertical de rotação, que passa pelo centro de massa (o centro de massa do corpo humano está localizado no plano sagital ligeiramente à frente da segunda vértebra sacral), dependendo do posição da pessoa, tem os seguintes valores: em posição de sentido - 1,2 kg × m 2; com pose “arabesco” – 8 kg × m 2; na posição horizontal – 17 kg × m 2.

Trabalhar em movimento rotacional ocorre quando um corpo gira sob a influência de forças externas.

O trabalho elementar da força no movimento rotacional é igual ao produto do momento da força e o ângulo elementar de rotação do corpo:

dA i =M i × dj(1.21)

Se várias forças atuam sobre um corpo, então o trabalho elementar da resultante de todas as forças aplicadas é determinado pela fórmula:

dA=M×dj(1.22),

Onde M– o momento total de todas as forças externas que atuam no corpo.

Energia cinética de um corpo em rotaçãoW para depende do momento de inércia do corpo e da velocidade angular de sua rotação:

Ângulo de impulso (momento angular) – uma quantidade numericamente igual ao produto do momento do corpo e do raio de rotação.

eu=p× r=m× V× r(1.24).

Após as transformações apropriadas, você pode escrever a fórmula para determinar o momento angular na forma:

(1.25).

O momento angular é um vetor cuja direção é determinada pela regra do parafuso da direita. A unidade SI de momento angular é [kg×m 2 /s]

Leis básicas da dinâmica do movimento rotacional.

A equação básica para a dinâmica do movimento rotacional:

A aceleração angular de um corpo em movimento rotacional é diretamente proporcional ao momento total de todas as forças externas e inversamente proporcional ao momento de inércia do corpo.

(1.26).

Esta equação desempenha o mesmo papel na descrição do movimento rotacional que a segunda lei de Newton desempenha para o movimento translacional. Fica claro pela equação que sob a ação de forças externas, quanto maior a aceleração angular, menor o momento de inércia do corpo.

A segunda lei de Newton para a dinâmica do movimento rotacional pode ser escrita de outra forma:

(1.27),

aqueles. a primeira derivada do momento angular de um corpo em relação ao tempo é igual ao momento total de todas as forças externas que atuam sobre um determinado corpo.

Lei da conservação do momento angular de um corpo:

Se o momento total de todas as forças externas que atuam no corpo for igual a zero, ou seja,

S M i =0, Então dL/dt=0 (1.28).

Isso implica (1.29).

Esta afirmação constitui a essência da lei de conservação do momento angular de um corpo, que é formulada da seguinte forma:

O momento angular de um corpo permanece constante se o momento total das forças externas que atuam sobre um corpo em rotação for zero.

Esta lei é válida não apenas para um corpo absolutamente rígido. Um exemplo é um patinador artístico que realiza uma rotação em torno de um eixo vertical. Ao pressionar as mãos, o patinador reduz o momento de inércia e aumenta a velocidade angular. Para desacelerar a rotação, ele, ao contrário, abre bem os braços; Como resultado, o momento de inércia aumenta e a velocidade angular de rotação diminui.

Concluindo, apresentamos um quadro comparativo das principais grandezas e leis que caracterizam a dinâmica dos movimentos translacionais e rotacionais.

Tabela 1.4.

Movimento para frente	Movimento rotacional
Quantidade física	Fórmula	Quantidade física	Fórmula
Peso	eu	Momento de inércia	J=m×r 2
Força	F	Momento de poder	M=F×r, se
Impulso corporal (quantidade de movimento)	p=m×V	Momento de um corpo	L=m×V×r; L=J×w
Energia cinética		Energia cinética
Trabalho mecanico	dA=FdS	Trabalho mecanico	dA=Mdj
Equação básica da dinâmica do movimento translacional		Equação básica para a dinâmica do movimento rotacional	,
Lei da conservação do momento corporal	ou Se	Lei da conservação do momento angular de um corpo	ou SJ eu w eu =const, Se

Centrifugação.

A separação de sistemas não homogêneos constituídos por partículas de diferentes densidades pode ser realizada sob a influência da gravidade e da força de Arquimedes (força de empuxo). Se houver uma suspensão aquosa de partículas de diferentes densidades, então uma força resultante atua sobre elas

F r =F t – F A =r 1 ×V×g - r×V×g, ou seja

F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

onde V é o volume da partícula, R 1 E R– respectivamente, a densidade da substância da partícula e da água. Se as densidades diferirem ligeiramente umas das outras, então a força resultante é pequena e a separação (deposição) ocorre muito lentamente. Portanto, a separação forçada de partículas é utilizada devido à rotação do meio separado.

Centrifugaçãoé o processo de separação (separação) de sistemas heterogêneos, misturas ou suspensões constituídas por partículas de diferentes massas, ocorrendo sob a influência da força centrífuga de inércia.

A base da centrífuga é um rotor com ninhos para tubos de ensaio, localizado em uma carcaça fechada, que é acionado por um motor elétrico. Quando o rotor da centrífuga gira a uma velocidade suficientemente alta, partículas suspensas de diferentes massas, sob a influência da força centrífuga de inércia, são distribuídas em camadas em diferentes profundidades, e as mais pesadas são depositadas no fundo do tubo de ensaio.

Pode-se mostrar que a força sob a influência da qual ocorre a separação é determinada pela fórmula:

(1.31)

Onde c- velocidade angular de rotação da centrífuga, R– distância do eixo de rotação. Quanto maior a diferença nas densidades das partículas separadas e do líquido, maior será o efeito da centrifugação e também depende significativamente da velocidade angular de rotação.

Ultracentrífugas operando a uma velocidade de rotor de cerca de 10 5 –10 6 rotações por minuto são capazes de separar partículas com tamanho inferior a 100 nm, suspensas ou dissolvidas em um líquido. Eles encontraram ampla aplicação na pesquisa biomédica.

A ultracentrifugação pode ser usada para separar células em organelas e macromoléculas. Primeiro, partes maiores (núcleos, citoesqueleto) assentam (sedimento). Com um aumento adicional na velocidade de centrifugação, partículas menores se acomodam sequencialmente - primeiro mitocôndrias, lisossomos, depois microssomas e, finalmente, ribossomos e macromoléculas grandes. Durante a centrifugação, diferentes frações sedimentam em taxas diferentes, formando bandas separadas no tubo de ensaio que podem ser isoladas e examinadas. Extratos celulares fracionados (sistemas livres de células) são amplamente utilizados para estudar processos intracelulares, por exemplo, para estudar a biossíntese de proteínas e decifrar o código genético.

Para esterilizar peças de mão em odontologia, utiliza-se um esterilizador de óleo com centrífuga para remover o excesso de óleo.

A centrifugação pode ser usada para sedimentar partículas suspensas na urina; separação dos elementos figurados do plasma sanguíneo; separação de biopolímeros, vírus e estruturas subcelulares; controle sobre a pureza do medicamento.

Tarefas de autocontrole do conhecimento.

Exercício 1 . Perguntas para autocontrole.

Qual é a diferença entre movimento circular uniforme e movimento linear uniforme? Sob que condições um corpo se moverá uniformemente em círculo?

Explique a razão pela qual o movimento uniforme em um círculo ocorre com aceleração.

O movimento curvilíneo pode ocorrer sem aceleração?

Sob que condições o momento da força é igual a zero? assume o maior valor?

Indique os limites de aplicabilidade da lei de conservação do momento linear e do momento angular.

Indique as características da separação sob a influência da gravidade.

Por que a separação de proteínas com diferentes pesos moleculares pode ser realizada por centrifugação, mas o método de destilação fracionada é inaceitável?

Tarefa 2 . Testes de autocontrole.

Preencha a palavra que falta:

Uma mudança no sinal da velocidade angular indica uma mudança no_ _ _ _ _ movimento rotacional.

Uma mudança no sinal da aceleração angular indica uma mudança no_ _ _ movimento rotacional

A velocidade angular é igual à _ _ _ _ _derivada do ângulo de rotação do vetor raio em relação ao tempo.

A aceleração angular é igual à _ _ _ _ _ _derivada do ângulo de rotação do vetor raio em relação ao tempo.

O momento da força é igual a_ _ _ _ _ se a direção da força que atua no corpo coincide com o eixo de rotação.

Encontre a resposta correta:

O momento da força depende apenas do ponto de aplicação da força.

O momento de inércia de um corpo depende apenas da massa do corpo.

O movimento circular uniforme ocorre sem aceleração.

R. Correto. B. Incorreto.

Todas as grandezas acima são escalares, com exceção de

A. momento de força;

B. trabalho mecânico;

C. energia potencial;

D. momento de inércia.

As grandezas vetoriais são

A. velocidade angular;

B. aceleração angular;

C. momento de força;

D. momento angular.

Respostas: 1 – direções; 2 – personagem; 3 – primeiro; 4 – segundo; 5 – zero; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A, B, C, D.

Tarefa 3. Obtenha a relação entre unidades de medida :

velocidade linear cm/min e m/s;

aceleração angular rad/min 2 e rad/s 2 ;

momento de força kN×cm e N×m;

impulso corporal g×cm/s e kg×m/s;

momento de inércia g×cm 2 e kg×m 2.

Tarefa 4. Tarefas de conteúdo médico e biológico.

Tarefa nº 1. Por que é que durante a fase de voo de um salto um atleta não pode utilizar quaisquer movimentos para alterar a trajetória do centro de gravidade do corpo? Os músculos do atleta realizam trabalho quando a posição das partes do corpo no espaço muda?

Responder: Movendo-se em vôo livre ao longo de uma parábola, o atleta só pode alterar a localização do corpo e de suas partes individuais em relação ao seu centro de gravidade, que neste caso é o centro de rotação. O atleta realiza trabalho para alterar a energia cinética de rotação do corpo.

Tarefa nº 2. Qual é a potência média que uma pessoa desenvolve ao caminhar se a duração da passada é de 0,5 s? Considere que o trabalho é gasto na aceleração e desaceleração das extremidades inferiores. O movimento angular das pernas é cerca de Dj=30 o. O momento de inércia do membro inferior é 1,7 kg × m 2. O movimento das pernas deve ser considerado rotacional alternado uniformemente.

Solução:

1) Vamos escrever uma breve condição do problema: Dt = 0,5s; DJ=30 0 =p/ 6; EU=1,7kg × m 2

2) Defina o trabalho em uma etapa (perna direita e esquerda): UMA = 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

Usando a fórmula da velocidade angular média w av =Dj/Dt, Nós temos: c= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Substitua os valores numéricos: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(L)

Resposta: 14,9 W.

Tarefa nº 3. Qual é o papel do movimento do braço ao caminhar?

Responder: O movimento das pernas, movendo-se em dois planos paralelos localizados a alguma distância um do outro, cria um momento de força que tende a girar o corpo humano em torno de um eixo vertical. Uma pessoa balança os braços “na direção” do movimento das pernas, criando assim um momento de força de sinal oposto.

Tarefa nº 4. Uma das áreas para melhorar as brocas utilizadas em odontologia é aumentar a velocidade de rotação da broca. A velocidade de rotação da ponta de boro nas furadeiras de pé é de 1.500 rpm, nas furadeiras elétricas estacionárias - 4.000 rpm, nas furadeiras de turbina - já chega a 300.000 rpm. Por que estão sendo desenvolvidas novas modificações de brocas com um grande número de rotações por unidade de tempo?

Resposta: A dentina é milhares de vezes mais suscetível à dor do que a pele: existem 1-2 pontos de dor por 1 mm de pele e até 30.000 pontos de dor por 1 mm de dentina incisiva. Aumentar o número de revoluções, segundo os fisiologistas, reduz a dor no tratamento de uma cavidade cariosa.

Z tarefa 5 . Preencha as tabelas:

Tabela nº 1. Faça uma analogia entre as características lineares e angulares do movimento rotacional e indique a relação entre elas.

Tabela nº 2.

Tarefa 6. Preencha o cartão de ação indicativo:

Capítulo 2. Fundamentos da biomecânica.

Questões.

Alavancas e articulações do sistema músculo-esquelético humano. O conceito de graus de liberdade.

Tipos de contração muscular. Quantidades físicas básicas que descrevem as contrações musculares.

Princípios de regulação motora em humanos.

Métodos e instrumentos de medição de características biomecânicas.

2.1. Alavancas e articulações do sistema músculo-esquelético humano.

A anatomia e a fisiologia do sistema musculoesquelético humano apresentam as seguintes características que devem ser levadas em consideração nos cálculos biomecânicos: os movimentos corporais são determinados não apenas pelas forças musculares, mas também pelas forças de reação externa, gravidade, forças inerciais, bem como forças elásticas e fricção; a estrutura do aparelho locomotor permite movimentos exclusivamente rotacionais. Utilizando a análise de cadeias cinemáticas, os movimentos translacionais podem ser reduzidos a movimentos rotacionais nas articulações; os movimentos são controlados por um mecanismo cibernético muito complexo, de modo que há uma mudança constante na aceleração.

O sistema musculoesquelético humano consiste em ossos esqueléticos articulados entre si, aos quais os músculos estão fixados em determinados pontos. Os ossos do esqueleto atuam como alavancas que possuem fulcro nas articulações e são acionados pela força de tração gerada pela contração muscular. Distinguir três tipos de alavanca:

1) Alavanca à qual a força atuante F e força de resistência R aplicado em lados opostos do fulcro. Um exemplo de tal alavanca é o crânio visto no plano sagital.

2) Uma alavanca que possui uma força ativa F e força de resistência R aplicada em um lado do fulcro, e a força F aplicada na extremidade da alavanca e a força R- mais perto do fulcro. Esta alavanca dá um ganho de força e uma perda de distância, ou seja, é alavanca de poder. Um exemplo é a ação do arco do pé ao levantar, sobre os meios dedos, as alavancas da região maxilofacial (Fig. 2.1). Os movimentos do aparelho mastigatório são muito complexos. Ao fechar a boca, a elevação do maxilar inferior da posição de abaixamento máximo até a posição de fechamento completo de seus dentes com os dentes do maxilar superior é realizada pelo movimento dos músculos que levantam o maxilar inferior. Esses músculos atuam na mandíbula como uma alavanca de segundo tipo com fulcro na articulação (proporcionando ganho de força de mastigação).

3) Uma alavanca na qual a força atuante é aplicada mais perto do fulcro do que a força de resistência. Esta alavanca é alavanca de velocidade, porque dá uma perda de força, mas um ganho de movimento. Um exemplo são os ossos do antebraço.

Arroz. 2.1. Alavancas da região maxilofacial e arco do pé.

A maior parte dos ossos do esqueleto está sob a ação de diversos músculos, desenvolvendo forças em diferentes direções. Sua resultante é encontrada por adição geométrica de acordo com a regra do paralelogramo.

Os ossos do sistema músculo-esquelético estão conectados entre si nas articulações ou articulações. As extremidades dos ossos que formam a articulação são mantidas unidas pela cápsula articular que as envolve firmemente, bem como pelos ligamentos presos aos ossos. Para reduzir o atrito, as superfícies de contato dos ossos são cobertas por cartilagem lisa e há uma fina camada de líquido pegajoso entre elas.

A primeira etapa da análise biomecânica dos processos motores é a determinação de sua cinemática. Com base nesta análise, são construídas cadeias cinemáticas abstratas, cuja mobilidade ou estabilidade pode ser verificada com base em considerações geométricas. Existem cadeias cinemáticas fechadas e abertas formadas por juntas e elos rígidos localizados entre elas.

O estado de um ponto material livre no espaço tridimensional é dado por três coordenadas independentes - x, y, z. Variáveis ​​​​independentes que caracterizam o estado de um sistema mecânico são chamadas graus de liberdade. Para sistemas mais complexos, o número de graus de liberdade pode ser maior. Em geral, o número de graus de liberdade determina não apenas o número de variáveis ​​independentes (que caracteriza o estado de um sistema mecânico), mas também o número de movimentos independentes do sistema.

Número de graus a liberdade é a principal característica mecânica da junta, ou seja, define número de eixos, em torno do qual é possível a rotação mútua dos ossos articulados. É causada principalmente pela forma geométrica da superfície dos ossos em contato na articulação.

O número máximo de graus de liberdade nas juntas é 3.

Exemplos de articulações uniaxiais (planas) no corpo humano são as articulações umeroulnares, supracalcâneas e falangeanas. Eles permitem apenas flexão e extensão com um grau de liberdade. Assim, a ulna, com o auxílio de uma incisura semicircular, cobre uma saliência cilíndrica no úmero, que serve como eixo da articulação. Os movimentos na articulação são flexão e extensão em um plano perpendicular ao eixo da articulação.

A articulação do punho, na qual ocorre flexão e extensão, bem como adução e abdução, pode ser classificada como articulação com dois graus de liberdade.

As articulações com três graus de liberdade (articulação espacial) incluem o quadril e a articulação escapuloumeral. Por exemplo, na articulação escapuloumeral, a cabeça esférica do úmero se encaixa na cavidade esférica da saliência da escápula. Os movimentos na articulação são flexão e extensão (no plano sagital), adução e abdução (no plano frontal) e rotação do membro em torno do eixo longitudinal.

Cadeias cinemáticas planas fechadas têm vários graus de liberdade f F, que é calculado pelo número de links n Da seguinte maneira:

A situação das cadeias cinemáticas no espaço é mais complexa. Aqui a relação se mantém

(2.2)

Onde eu - número de graus de restrições de liberdade eu- o link.

Em qualquer corpo, você pode selecionar eixos cuja direção durante a rotação será mantida sem quaisquer dispositivos especiais. Eles têm um nome eixos de rotação livre

Neste capítulo, um corpo rígido é considerado como um conjunto de pontos materiais que não se movem uns em relação aos outros. Um corpo que não pode ser deformado é denominado absolutamente sólido.

Deixe um corpo sólido de forma arbitrária girar sob a ação de uma força em torno de um eixo fixo 00 (Fig. 30). Então todos os seus pontos descrevem círculos com centros neste eixo. É claro que todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade angular e a mesma aceleração angular (em um determinado momento).

Vamos decompor a força atuante em três componentes mutuamente perpendiculares: (paralelo ao eixo), (perpendicular ao eixo e situado em uma linha que passa pelo eixo) e (perpendicular. Obviamente, a rotação do corpo é causada apenas pelo componente que é tangente ao círculo descrito pelo ponto de aplicação da força. Os componentes da rotação não são causa. Vamos chamá-la de força rotativa. Como é sabido em um curso escolar de física, a ação de uma força depende não apenas de sua magnitude, mas também da distância do ponto de sua aplicação A ao eixo de rotação, ou seja, depende do momento da força. O momento da força rotativa (torque) O produto da força rotativa e o raio do círculo descrito pelo ponto de aplicação da força é chamado:

Vamos dividir mentalmente todo o corpo em partículas muito pequenas - massas elementares. Embora a força seja aplicada a um ponto A do corpo, seu efeito rotativo é transmitido a todas as partículas: uma força rotativa elementar será aplicada a cada massa elementar (ver Fig. 30). De acordo com a segunda lei de Newton,

onde está a aceleração linear transmitida à massa elementar. Multiplicando ambos os lados desta igualdade pelo raio do círculo descrito pela massa elementar, e introduzindo aceleração angular em vez de linear (ver § 7), obtemos

Considerando que o torque aplicado à massa elementar, e denotando

onde está o momento de inércia da massa elementar (ponto material). Conseqüentemente, o momento de inércia de um ponto material em relação a um determinado eixo de rotação é o produto da massa do ponto material pelo quadrado de sua distância a esse eixo.

Somando os torques aplicados a todas as massas elementares que compõem o corpo, obtemos

onde é o torque aplicado ao corpo, ou seja, o momento da força rotativa é o momento de inércia do corpo. Conseqüentemente, o momento de inércia de um corpo é a soma dos momentos de inércia de todos os pontos materiais que compõem o corpo.

Agora podemos reescrever a fórmula (3) na forma

A fórmula (4) expressa a lei básica da dinâmica de rotação (segunda lei de Newton para o movimento rotacional):

o momento da força rotativa aplicada ao corpo é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela aceleração angular.

Da fórmula (4) fica claro que a aceleração angular transmitida ao corpo pelo torque depende do momento de inércia do corpo; Quanto maior o momento de inércia, menor será a aceleração angular. Conseqüentemente, o momento de inércia caracteriza as propriedades inerciais de um corpo durante o movimento rotacional, assim como a massa caracteriza as propriedades inerciais de um corpo durante o movimento translacional.No entanto, ao contrário da massa, o momento de inércia de um determinado corpo pode ter muitos valores. de acordo com muitos eixos de rotação possíveis. Portanto, quando se fala em momento de inércia de um corpo rígido, é necessário indicar em relação a qual eixo ele é calculado. Na prática, normalmente temos que lidar com momentos de inércia relativos aos eixos de simetria do corpo.

Da fórmula (2) segue-se que a unidade de medida do momento de inércia é quilograma-metro quadrado

Se o torque e o momento de inércia do corpo, então a fórmula (4) pode ser representada como

Este artigo descreve uma seção importante da física - “Cinemática e dinâmica do movimento rotacional”.

Conceitos básicos de cinemática do movimento rotacional

O movimento rotacional de um ponto material em torno de um eixo fixo é chamado de movimento, cuja trajetória é um círculo localizado em um plano perpendicular ao eixo, e seu centro está no eixo de rotação.

O movimento rotacional de um corpo rígido é um movimento no qual todos os pontos do corpo se movem ao longo de círculos concêntricos (cujos centros estão no mesmo eixo) de acordo com a regra para o movimento rotacional de um ponto material.

Deixe um corpo rígido arbitrário T girar em torno do eixo O, que é perpendicular ao plano do desenho. Vamos selecionar o ponto M neste corpo. Quando girado, este ponto descreverá um círculo com raio em torno do eixo O R.

Depois de algum tempo, o raio girará em relação à sua posição original em um ângulo Δφ.

O sentido do parafuso direito (sentido horário) é considerado o sentido positivo de rotação. A mudança no ângulo de rotação ao longo do tempo é chamada de equação do movimento rotacional de um corpo rígido:

φ = φ(t).

Se φ for medido em radianos (1 rad é o ângulo correspondente a um arco de comprimento igual ao seu raio), então o comprimento do arco circular ΔS, pelo qual o ponto material M passará no tempo Δt, é igual a:

ΔS = Δφr.

Elementos básicos da cinemática do movimento rotacional uniforme

Uma medida do movimento de um ponto material durante um curto período de tempo dt serve como um vetor de rotação elementar dφ.

A velocidade angular de um ponto ou corpo material é uma quantidade física determinada pela razão entre o vetor de rotação elementar e a duração dessa rotação. A direção do vetor pode ser determinada pela regra do parafuso direito ao longo do eixo O. Na forma escalar:

ω = dφ/dt.

Se ω = dφ/dt = const, então esse movimento é chamado de movimento rotacional uniforme. Com ele, a velocidade angular é determinada pela fórmula

ω = φ/t.

De acordo com a fórmula preliminar, a dimensão da velocidade angular

[ω] = 1 rad/s.

O movimento rotacional uniforme de um corpo pode ser descrito pelo período de rotação. O período de rotação T é uma quantidade física que determina o tempo durante o qual um corpo dá uma volta completa em torno do eixo de rotação ([T] = 1 s). Se na fórmula da velocidade angular tomarmos t = T, φ = 2 π (uma revolução completa do raio r), então

ω = 2π/T,

Portanto, definimos o período de rotação da seguinte forma:

T = 2π/ω.

O número de revoluções que um corpo dá por unidade de tempo é chamado de frequência de rotação ν, que é igual a:

ν = 1/T.

Unidades de frequência: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Comparando as fórmulas para velocidade angular e frequência de rotação, obtemos uma expressão que conecta essas quantidades:

ω = 2πν.

Elementos básicos da cinemática do movimento rotacional desigual

O movimento rotacional desigual de um corpo rígido ou ponto material em torno de um eixo fixo é caracterizado por sua velocidade angular, que muda com o tempo.

Vetor ε , caracterizando a taxa de variação da velocidade angular, é chamado de vetor de aceleração angular:

ε = dω/dt.

Se um corpo gira, acelerando, isto é dω/dt > 0, o vetor tem uma direção ao longo do eixo na mesma direção que ω.

Se o movimento rotacional for lento - dω/dt< 0 , então os vetores ε e ω têm direções opostas.

Comente. Quando ocorre movimento rotacional desigual, o vetor ω pode mudar não apenas em magnitude, mas também em direção (quando o eixo de rotação é girado).

Relação entre quantidades que caracterizam o movimento translacional e rotacional

Sabe-se que o comprimento do arco com o ângulo de rotação do raio e seu valor estão relacionados pela relação

ΔS = Δφr.

Então a velocidade linear de um ponto material realizando movimento rotacional

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

A aceleração normal de um ponto material que realiza movimento rotacional e translacional é determinada da seguinte forma:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Então, na forma escalar

uma = ω 2 r.

Ponto material acelerado tangencial que realiza movimento rotacional

uma = ε r.

Momento de um ponto material

O produto vetorial do vetor raio da trajetória de um ponto material de massa m i e seu momento é chamado de momento angular deste ponto em torno do eixo de rotação. A direção do vetor pode ser determinada usando a regra do parafuso direito.

Momento de um ponto material ( eu eu) é direcionado perpendicularmente ao plano traçado através de r i e υ i, e forma com eles um triplo direito de vetores (ou seja, ao se mover do final do vetor eu Para υ eu o parafuso direito mostrará a direção do vetor eu eu).

Na forma escalar

eu = m eu υ eu r eu sin(υ eu , r eu).

Considerando que ao se mover em um círculo, o vetor raio e o vetor velocidade linear para o i-ésimo ponto material são mutuamente perpendiculares,

sin(υ eu , r eu) = 1.

Portanto, o momento angular de um ponto material para movimento rotacional assumirá a forma

eu = m eu υ eu r eu .

O momento da força que atua no i-ésimo ponto material

O produto vetorial do vetor raio, que é traçado até o ponto de aplicação da força, e essa força é chamado de momento da força que atua no i-ésimo ponto material em relação ao eixo de rotação.

Na forma escalar

M eu = r eu F eu pecado(r eu , F eu).

Considerando que r eu sinα = eu eu ,M eu = eu eu F eu .

Magnitude eu i, igual ao comprimento da perpendicular baixada do ponto de rotação até a direção de ação da força, é chamado de braço da força F eu.

Dinâmica do movimento rotacional

A equação para a dinâmica do movimento rotacional é escrita da seguinte forma:

M = dL/dt.

A formulação da lei é a seguinte: a taxa de variação do momento angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo é igual ao momento resultante em relação a este eixo de todas as forças externas aplicadas ao corpo.

Momento de impulso e momento de inércia

Sabe-se que para o i-ésimo ponto material o momento angular na forma escalar é dado pela fórmula

eu eu = m eu υ eu r eu .

Se em vez da velocidade linear substituirmos sua expressão pela velocidade angular:

υ eu = ωr eu ,

então a expressão para o momento angular assumirá a forma

eu = m eu r eu 2 ω.

Magnitude eu eu = m eu r eu 2é denominado momento de inércia em relação ao eixo do i-ésimo ponto material de um corpo absolutamente rígido que passa por seu centro de massa. Então escrevemos o momento angular do ponto material:

eu eu = eu eu ω.

Escrevemos o momento angular de um corpo absolutamente rígido como a soma do momento angular dos pontos materiais que compõem este corpo:

eu = euω.

Momento de força e momento de inércia

A lei do movimento rotacional afirma:

M = dL/dt.

Sabe-se que o momento angular de um corpo pode ser representado através do momento de inércia:

eu = euω.

M = Idω/dt.

Considerando que a aceleração angular é determinada pela expressão

ε = dω/dt,

obtemos uma fórmula para o momento de força, representado pelo momento de inércia:

M = Iε.

Comente. Um momento de força é considerado positivo se a aceleração angular que o causa for maior que zero e vice-versa.

Teorema de Steiner. Lei da adição de momentos de inércia

Se o eixo de rotação de um corpo não passa pelo seu centro de massa, então em relação a este eixo pode-se encontrar o seu momento de inércia usando o teorema de Steiner:
eu = eu 0 + ma 2,

Onde eu 0- momento inicial de inércia do corpo; eu- massa corporal; a- distância entre eixos.

Se um sistema que gira em torno de um eixo fixo consiste em n corpos, então o momento de inércia total deste tipo de sistema será igual à soma dos momentos de seus componentes (lei da adição dos momentos de inércia).

Momento de poder

O efeito rotativo de uma força é determinado pelo seu momento. O momento de uma força em relação a qualquer ponto é chamado de produto vetorial

Vetor de raio desenhado de ponto a ponto de aplicação de força (Fig. 2.12). Unidade de medida de momento de força.

Figura 2.12

Magnitude do momento de força

ou você pode escrever

onde está o braço da força (a distância mais curta do ponto à linha de ação da força).

A direção do vetor é determinada pela regra do produto vetorial ou pela regra do “parafuso direito” (vetores e translação paralela são combinados no ponto O, a direção do vetor é determinada de modo que a partir de seu final a rotação do vetor k seja visível sentido anti-horário - na Fig. 2.12 o vetor é direcionado perpendicularmente ao plano desenhado “de nós” (semelhante à regra de gimlet - o movimento translacional corresponde à direção do vetor, o movimento rotacional corresponde à rotação de para)).

O momento de uma força em relação a qualquer ponto é igual a zero se a linha de ação da força passa por esse ponto.

A projeção de um vetor em qualquer eixo, por exemplo, o eixo z, é chamada de momento de força em torno desse eixo. Para determinar o momento de uma força em relação a um eixo, primeiro projete a força em um plano perpendicular ao eixo (Fig. 2.13) e, a seguir, encontre o momento dessa projeção em relação ao ponto de intersecção do eixo com o plano perpendicular a isto. Se a linha de ação da força for paralela ao eixo ou o cruzar, então o momento da força em relação a esse eixo é igual a zero.

Figura 2.13

Momento

Impulso ponto material uma massa que se move com velocidade em relação a qualquer ponto de referência é chamada de produto vetorial

O vetor raio de um ponto material (Fig. 2.14) é o seu momento.

Figura 2.14

A magnitude do momento angular de um ponto material

onde é a distância mais curta da linha vetorial até o ponto.

A direção do momento do impulso é determinada de forma semelhante à direção do momento da força.

Se multiplicarmos a expressão para L 0 e dividirmos por l obtemos:

Onde está o momento de inércia de um ponto material - um análogo da massa em movimento rotacional.

Velocidade angular.

Momento de inércia de um corpo rígido

Pode-se observar que as fórmulas resultantes são muito semelhantes às expressões para momento e para a segunda lei de Newton, respectivamente, só que em vez de velocidade linear e aceleração são usadas velocidade angular e aceleração, e em vez de massa, a quantidade Eu=mR 2, chamado momento de inércia de um ponto material .

Se um corpo não pode ser considerado um ponto material, mas pode ser considerado absolutamente sólido, então seu momento de inércia pode ser considerado a soma dos momentos de inércia de suas partes infinitamente pequenas, uma vez que as velocidades angulares de rotação dessas partes são as mesmas (Fig. 2.16). A soma dos infinitesimais é a integral:

Para qualquer corpo, existem eixos que passam por seu centro de inércia e que possuem a seguinte propriedade: quando o corpo gira em torno de tais eixos na ausência de influências externas, os eixos de rotação não mudam de posição. Esses eixos são chamados eixos de corpo livre . Pode-se provar que para um corpo de qualquer forma e com qualquer distribuição de densidade existem três eixos livres perpendiculares entre si, chamados principais eixos de inércia corpos. Os momentos de inércia de um corpo em relação aos eixos principais são chamados principais momentos de inércia (intrínsecos) corpos.

Os principais momentos de inércia de alguns corpos são apresentados na tabela:

Teorema de Huygens-Steiner.

Esta expressão é chamada Teorema de Huygens-Steiner : o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo arbitrário é igual à soma do momento de inércia do corpo em relação a um eixo paralelo ao dado e passando pelo centro de massa do corpo, e o produto de a massa corporal pelo quadrado da distância entre os eixos.

Equação básica para a dinâmica do movimento rotacional

A lei básica da dinâmica do movimento rotacional pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton para o movimento translacional de um corpo rígido

Onde F– força aplicada a um corpo pela massa eu; A– aceleração linear do corpo.

Se para um corpo sólido de massa eu no ponto A (Fig. 2.15) aplique força F, então como resultado de uma conexão rígida entre todos os pontos materiais do corpo, todos eles receberão aceleração angular ε e acelerações lineares correspondentes, como se uma força F 1 ...F n atuasse em cada ponto. Para cada ponto material podemos escrever:

Onde, portanto

Onde eu eu- peso eu- os pontos; ε – aceleração angular; eu– sua distância ao eixo de rotação.

Multiplicando os lados esquerdo e direito da equação por eu, Nós temos

Onde - o momento da força é o produto da força e seu ombro.

Arroz. 2.15. Um corpo rígido girando sob a influência de uma força F sobre o eixo “OO”

- momento de inércia eu o ponto material (análogo da massa em movimento rotacional).

A expressão pode ser escrita assim:

Vamos somar as partes esquerda e direita de todos os pontos do corpo:

A equação é a lei básica da dinâmica do movimento rotacional de um corpo rígido. Magnitude é a soma geométrica de todos os momentos de força, ou seja, o momento de força F, transmitindo aceleração ε a todos os pontos do corpo. – soma algébrica dos momentos de inércia de todos os pontos do corpo. A lei é formulada da seguinte forma: “O momento da força que atua sobre um corpo em rotação é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela aceleração angular”.

Por outro lado

Por sua vez - uma mudança no momento angular do corpo.

Então a lei básica da dinâmica do movimento rotacional pode ser reescrita como:

Ou - o impulso do momento da força que atua sobre um corpo em rotação é igual à mudança em seu momento angular.

Lei da conservação do momento angular

Semelhante ao ZSI.

De acordo com a equação básica da dinâmica do movimento rotacional, o momento da força em relação ao eixo Z: . Conseqüentemente, em um sistema fechado e, portanto, o momento angular total em relação ao eixo Z de todos os corpos incluídos no sistema fechado é uma quantidade constante. Isso expressa lei da conservação do momento angular . Esta lei opera apenas em referenciais inerciais.

Vamos fazer uma analogia entre as características do movimento translacional e rotacional.