Calculamos a soma dos ângulos e a área de um paralelogramo: propriedades e sinais. Definição de um paralelogramo e suas propriedades Prova das propriedades dos lados e ângulos opostos de um paralelogramo

Tópico da lição

• Propriedades das diagonais de um paralelogramo.

lições objetivas

• Conheça novas definições e relembre algumas já estudadas.
• Formule e prove a propriedade das diagonais de um paralelogramo.
• Aprenda a aplicar as propriedades das formas na resolução de problemas.
• Desenvolvimento - para desenvolver a atenção dos alunos, perseverança, perseverança, pensamento lógico, fala matemática.
• Educacional - por meio de uma aula, cultivar uma atitude atenta uns para com os outros, incutir a capacidade de ouvir os camaradas, a ajuda mútua, a independência.

Lições objetivas

• Verifique a capacidade dos alunos para resolver problemas.

Plano de aula

1. Introdução.
2. Repetição de material previamente aprendido.
3. Paralelogramo, suas propriedades e sinais.
4. Exemplos de tarefas.
5. Auto-verificação.

Introdução

“Uma grande descoberta científica fornece uma solução para um grande problema, mas na solução de qualquer problema há um grão de descoberta.”

Propriedades dos lados opostos de um paralelogramo

Um paralelogramo tem lados opostos iguais.

Prova.

Seja ABCD um paralelogramo dado. E deixe suas diagonais se cruzarem no ponto O.
Como Δ AOB = Δ COD pelo primeiro sinal de igualdade dos triângulos (∠ AOB = ∠ COD, como os verticais, AO=OC, DO=OB, pela propriedade das diagonais do paralelogramo), então AB=CD. Da mesma forma, da igualdade dos triângulos BOC e DOA, segue-se que BC=DA. O teorema foi provado.

Propriedade dos cantos opostos de um paralelogramo

Um paralelogramo tem ângulos opostos.

Prova.

Seja ABCD um paralelogramo dado. E deixe suas diagonais se cruzarem no ponto O.
Das propriedades dos lados opostos de um paralelogramo provado no teorema em Δ ABC = Δ CDA em três lados (AB=CD, BC=DA do provado, AC é geral). Da igualdade dos triângulos resulta que ∠ABC = ∠CDA.
Prova-se também que ∠ DAB = ∠ BCD, que segue de ∠ ABD = ∠ CDB. O teorema foi provado.

Propriedade das diagonais de um paralelogramo

As diagonais de um paralelogramo se cruzam e o ponto de interseção é dividido ao meio.

Prova.

Seja ABCD um paralelogramo dado. Vamos desenhar a diagonal AC. Nele marcamos o meio O. Na continuação do segmento DO, deixamos de lado o segmento OB 1 igual a DO.
Pelo teorema anterior, AB 1 CD é um paralelogramo. Portanto, a linha AB 1 é paralela a DC. Mas através do ponto A, apenas uma linha pode ser traçada paralela a DC. Portanto, a linha AB 1 coincide com a linha AB.
Também está provado que BC 1 coincide com BC. Então o ponto C coincide com C 1 . O paralelogramo ABCD coincide com o paralelogramo AB 1 CD. Portanto, as diagonais do paralelogramo se cruzam e o ponto de interseção é dividido ao meio. O teorema foi provado.

Nos livros didáticos para escolas comuns (por exemplo, em Pogorelov), é comprovado o seguinte: as diagonais dividem o paralelogramo em 4 triângulos. Considere um par e descubra - eles são iguais: suas bases são lados opostos, os ângulos correspondentes adjacentes a ele são iguais na vertical com linhas paralelas. Ou seja, os segmentos das diagonais são iguais aos pares. Todos.

Isso é tudo?
Foi provado acima que o ponto de intersecção divide as diagonais - se existir. O raciocínio acima não prova sua existência de forma alguma. Ou seja, a parte do teorema "as diagonais do paralelogramo se cruzam" permanece não comprovada.

É engraçado como essa parte é muito mais difícil de provar. A propósito, isso decorre de um resultado mais geral: para qualquer quadrilátero convexo, as diagonais se cruzarão, para qualquer não convexo, não.

Sobre a igualdade dos triângulos ao longo do lado e dois ângulos adjacentes a ele (o segundo sinal da igualdade dos triângulos) e outros.

O teorema sobre a igualdade de dois triângulos ao longo de um lado e dois ângulos adjacentes a ele, Tales encontrou uma importante aplicação prática. Um telêmetro foi construído no porto de Mileto, que determina a distância até o navio no mar. Consistia em três pinos acionados A, B e C (AB = BC) e uma linha reta marcada SK, perpendicular a CA. Quando o navio apareceu na linha reta SC, foi encontrado um ponto D tal que os pontos D, .B e E estavam na mesma linha reta. Como fica claro no desenho, a distância CD no solo é a distância desejada até o navio.

Questões

1. As diagonais de um quadrado são cortadas ao meio pelo ponto de interseção?
   
2. As diagonais de um paralelogramo são iguais?
3. Os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais?
4. Qual é a definição de paralelogramo?
5. Quantas características de um paralelogramo?
   
6. Um losango pode ser um paralelogramo?
   

Lista de fontes usadas

1. Kuznetsov A. V., professor de matemática (5ª a 9ª séries), Kiev
2. “Exame estadual unificado 2006. Matemática. Materiais educacionais e de treinamento para a preparação de alunos / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Resolvendo os principais problemas competitivos em matemática da coleção editada por M. I. Scanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7 - 9: um livro didático para instituições educacionais"

Trabalhando na lição

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeny Petrov

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Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos em pares. Esta definição já é suficiente, pois as demais propriedades de um paralelogramo decorrem dela e são provadas na forma de teoremas.

As principais propriedades de um paralelogramo são:

• um paralelogramo é um quadrilátero convexo;
• um paralelogramo tem lados opostos iguais aos pares;
• um paralelogramo tem ângulos opostos iguais aos pares;
• as diagonais de um paralelogramo são cortadas ao meio pelo ponto de interseção.

Paralelogramo - um quadrilátero convexo

Vamos primeiro provar o teorema de que um paralelogramo é um quadrilátero convexo. Um polígono é convexo quando qualquer lado dele é estendido para uma linha reta, todos os outros lados do polígono estarão no mesmo lado dessa linha reta.

Seja dado um paralelogramo ABCD, no qual AB é o lado oposto de CD e BC é o lado oposto de AD. Então segue da definição de um paralelogramo que AB || DC, BC || DE ANÚNCIOS.

Segmentos paralelos não têm pontos comuns, eles não se cruzam. Isso significa que CD está em um lado de AB. Como o segmento BC conecta o ponto B do segmento AB com o ponto C do segmento CD, e o segmento AD conecta outros pontos AB e CD, os segmentos BC e AD também estão do mesmo lado da linha AB, onde está CD. Assim, todos os três lados - CD, BC, AD - estão do mesmo lado de AB.

Da mesma forma, está provado que, em relação aos outros lados do paralelogramo, os outros três lados estão do mesmo lado.

Lados e ângulos opostos são iguais

Uma das propriedades de um paralelogramo é que em um paralelogramo lados opostos e ângulos opostos são iguais. Por exemplo, se um paralelogramo ABCD é dado, então ele tem AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Este teorema é provado como segue.

Um paralelogramo é um quadrilátero. Então tem duas diagonais. Como um paralelogramo é um quadrilátero convexo, qualquer um deles o divide em dois triângulos. Considere os triângulos ABC e ADC no paralelogramo ABCD obtido traçando a diagonal AC.

Esses triângulos têm um lado em comum - AC. O ângulo BCA é igual ao ângulo CAD, assim como as verticais paralelas BC e AD. Os ângulos BAC e ACD também são iguais, assim como os ângulos verticais quando AB e CD são paralelos. Portanto, ∆ABC = ∆ADC sobre dois ângulos e o lado entre eles.

Nesses triângulos, o lado AB corresponde ao lado CD e o lado BC corresponde ao lado AD. Portanto, AB = CD e BC = AD.

O ângulo B corresponde ao ângulo D, ou seja, ∠B = ∠D. O ângulo A de um paralelogramo é a soma de dois ângulos - ∠BAC e ∠CAD. O ângulo C é igual a ∠BCA e ∠ACD. Como os pares de ângulos são iguais, então ∠A = ∠C.

Assim, está provado que em um paralelogramo lados e ângulos opostos são iguais.

Diagonais cortadas ao meio

Como um paralelogramo é um quadrilátero convexo, ele tem duas duas diagonais e elas se cruzam. Seja dado um paralelogramo ABCD, suas diagonais AC e BD se interceptam no ponto E. Considere os triângulos ABE e CDE formados por elas.

Esses triângulos têm lados AB e CD iguais como lados opostos de um paralelogramo. O ângulo ABE é igual ao ângulo CDE quando eles passam pelas retas paralelas AB e CD. Pela mesma razão, ∠BAE = ∠DCE. Portanto, ∆ABE = ∆CDE sobre dois ângulos e o lado entre eles.

Você também pode notar que os ângulos AEB e CED são verticais e, portanto, também iguais entre si.

Como os triângulos ABE e CDE são iguais entre si, todos os seus elementos correspondentes também o são. O lado AE do primeiro triângulo corresponde ao lado CE do segundo, então AE = CE. Da mesma forma, BE = DE. Cada par de segmentos iguais constitui a diagonal do paralelogramo. Assim, fica provado que as diagonais de um paralelogramo são cortadas ao meio pelo ponto de interseção.

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos, ou seja, estão em linhas paralelas (Fig. 1).

Teorema 1. Sobre as propriedades dos lados e ângulos de um paralelogramo. Em um paralelogramo, os lados opostos são iguais, os ângulos opostos são iguais e a soma dos ângulos adjacentes a um lado do paralelogramo é 180°.

Prova. Neste paralelogramo ABCD, desenhe uma diagonal AC e obtenha dois triângulos ABC e ADC (Fig. 2).

Esses triângulos são iguais, pois ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (ângulos cruzados em linhas paralelas) e o lado AC é comum. Da igualdade Δ ABC = Δ ADC segue-se que AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. A soma dos ângulos adjacentes a um lado, por exemplo, os ângulos A e D, é igual a 180 ° como um -sided com linhas paralelas. O teorema foi provado.

Comente. A igualdade dos lados opostos de um paralelogramo significa que os segmentos dos paralelos cortados pelos paralelos são iguais.

Corolário 1. Se duas retas são paralelas, então todos os pontos de uma reta estão à mesma distância da outra reta.

Prova. De fato, deixe um || b (Fig. 3).

Tracemos de uns dois pontos B e C da linha b as perpendiculares BA e CD à linha a. Desde AB || CD, então a figura ABCD é um paralelogramo e, portanto, AB = CD.

A distância entre duas linhas paralelas é a distância de um ponto arbitrário em uma das linhas para a outra linha.

Pelo que foi provado, é igual ao comprimento da perpendicular traçada de algum ponto de uma das retas paralelas à outra reta.

Exemplo 1 O perímetro do paralelogramo é 122 cm. Um de seus lados é 25 cm maior que o outro. Encontre os lados do paralelogramo.

Solução. Pelo Teorema 1, os lados opostos de um paralelogramo são iguais. Vamos denotar um lado do paralelogramo como x, o outro como y. Então, pela condição $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Resolvendo este sistema, obtemos x = 43, y = 18. Assim Assim, os lados do paralelogramo são 18, 43, 18 e 43 cm.

Exemplo 2

Solução. Deixe a figura 4 corresponder à condição do problema.

Denote AB por x e BC por y. Por condição, o perímetro do paralelogramo é 10 cm, ou seja, 2(x + y) = 10, ou x + y = 5. O perímetro do triângulo ABD é 8 cm. E como AB + AD = x + y = 5 , então BD = 8 - 5 = 3 . Então BD = 3 cm.

Exemplo 3 Encontre os ângulos do paralelogramo, sabendo que um deles é 50° maior que o outro.

Solução. Deixe a figura 5 corresponder à condição do problema.

Vamos denotar a medida em grau do ângulo A como x. Então a medida em grau do ângulo D é x + 50°.

Os ângulos BAD e ADC são unilaterais internos com retas paralelas AB e DC e secante AD. Então a soma desses ângulos nomeados será 180°, ou seja,
x + x + 50° = 180°, ou x = 65°. Assim, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Exemplo 4 Os lados do paralelogramo medem 4,5 dm e 1,2 dm. Uma bissetriz é desenhada a partir do vértice de um ângulo agudo. Em quais partes ele divide o lado maior do paralelogramo?

Solução. Deixe a figura 6 corresponder à condição do problema.

AE é a bissetriz do ângulo agudo do paralelogramo. Portanto, ∠ 1 = ∠ 2.

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos em pares. A área de um paralelogramo é igual ao produto de sua base (a) e sua altura (h). Você também pode encontrar sua área por meio de dois lados e um ângulo e pelas diagonais.

Propriedades do paralelogramo

1. Lados opostos são idênticos

Em primeiro lugar, desenhe a diagonal \(AC \) . Dois triângulos são obtidos: \(ABC \) e \(ADC \) ​​​​.

Como \(ABCD \) é um paralelogramo, o seguinte é verdadeiro:

\(AD || BC \Seta direita \ângulo 1 = \ângulo 2 \) como deitado.

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) como deitado.

Portanto, (na segunda base: e \(AC\) é comum).

E, portanto, \(\triângulo ABC = \triângulo ADC \), então \(AB = CD \) e \(AD = BC \) .

2. Ângulos opostos são idênticos

De acordo com a prova propriedades 1 Nós sabemos isso \(\ângulo 1 = \ângulo 2, \ângulo 3 = \ângulo 4 \). Então a soma dos ângulos opostos é: \(\ângulo 1 + \ângulo 3 = \ângulo 2 + \ângulo 4 \). Dado que \(\triângulo ABC = \triângulo ADC \) obtemos \(\ângulo A = \ângulo C \) , \(\ângulo B = \ângulo D \) .

3. As diagonais são cortadas ao meio pelo ponto de interseção

Por propriedade 1 sabemos que os lados opostos são idênticos: \(AB = CD \) . Mais uma vez, notamos os ângulos iguais cruzados.

Assim, vê-se que \(\triângulo AOB = \triângulo COD \) de acordo com o segundo critério para a igualdade dos triângulos (dois ângulos e um lado entre eles). Ou seja, \(BO = OD \) (oposto aos cantos \(\ângulo 2 \) e \(\ângulo 1 \) ) e \(AO = OC \) (oposto aos cantos \(\ângulo 3 \) e \( \ângulo 4 \) respectivamente).

Recursos de paralelogramo

Se apenas um sinal estiver presente em seu problema, então a figura é um paralelogramo e você pode usar todas as propriedades desta figura.

Para melhor memorização, observe que o sinal de um paralelogramo responderá à seguinte pergunta - "como descobrir?". Ou seja, como descobrir que uma determinada figura é um paralelogramo.

1. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos dois lados são iguais e paralelos

\(AB = CD \) ; \(AB || CD \Seta direita ABCD \)- paralelogramo.

Vamos considerar com mais detalhes. Por que \(AD || BC \) ?

\(\triângulo ABC = \triângulo ADC \) Por propriedade 1: \(AB = CD \) , \(\ângulo 1 = \ângulo 2 \) como transversalmente com paralelo \(AB \) e \(CD \) e secante \(AC \) .

Mas se \(\triângulo ABC = \triângulo ADC \), então \(\ângulo 3 = \ângulo 4 \) (eles estão opostos \(AD || BC \) (\(\ângulo 3 \) e \(\ângulo 4 \) - opostos também são iguais).

O primeiro sinal está correto.

2. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são iguais

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) é um paralelogramo.

Vamos considerar esse recurso. Desenhe a diagonal \(AC \) novamente.

Por propriedade 1\(\triângulo ABC = \triângulo ACD \).

Segue que: \(\ângulo 1 = \ângulo 2 \seta direita AD || BC \) E \(\ângulo 3 = \ângulo 4 \seta direita AB || CD \), ou seja, \(ABCD\) é um paralelogramo.

O segundo sinal está correto.

3. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos ângulos opostos são iguais

\(\ângulo A = \ângulo C \) , \(\ângulo B = \ângulo D \seta direita ABCD \)- paralelogramo.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(porque \(\ângulo A = \ângulo C \) , \(\ângulo B = \ângulo D \) por definição).

Acontece que, . Mas \(\alpha \) e \(\beta \) são unilaterais internos na secante \(AB \) .

E o que \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \) diz também que \(AD || BC \) .

Prova

Vamos desenhar a diagonal AC primeiro. Dois triângulos são obtidos: ABC e ADC.

Como ABCD é um paralelogramo, o seguinte é verdadeiro:

ANÚNCIO || BC \Seta direita \ângulo 1 = \ângulo 2 como deitado.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 como deitado.

Portanto, \triangle ABC = \triangle ADC (pela segunda característica: e AC é comum).

E, portanto, \triângulo ABC = \triângulo ADC , então AB = CD e AD = BC .

Comprovado!

2. Ângulos opostos são idênticos.

Prova

De acordo com a prova propriedades 1 Nós sabemos isso \ângulo 1 = \ângulo 2, \ângulo 3 = \ângulo 4. Então a soma dos ângulos opostos é: \ângulo 1 + \ângulo 3 = \ângulo 2 + \ângulo 4. Considerando que \triangle ABC = \triangle ADC obtemos \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Comprovado!

3. As diagonais são cortadas ao meio pelo ponto de interseção.

Prova

Vamos desenhar outra diagonal.

Por propriedade 1 sabemos que os lados opostos são idênticos: AB = CD . Mais uma vez, notamos os ângulos iguais cruzados.

Assim, pode-se ver que \triângulo AOB = \triângulo COD pelo segundo sinal de igualdade dos triângulos (dois ângulos e um lado entre eles). Ou seja, BO = OD (oposto \angle 2 e \angle 1 ) e AO = OC (oposto \angle 3 e \angle 4 respectivamente).

Comprovado!

Recursos de paralelogramo

Se apenas um sinal estiver presente em seu problema, então a figura é um paralelogramo e você pode usar todas as propriedades desta figura.

Para melhor memorização, observe que o sinal do paralelogramo responderá à seguinte pergunta − "como descobrir?". Ou seja, como descobrir que uma determinada figura é um paralelogramo.

1. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos dois lados são iguais e paralelos.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD é um paralelogramo.

Prova

Vamos considerar com mais detalhes. Por que AD || BC?

\triângulo ABC = \triângulo ADC por propriedade 1: AB = CD , AC é comum e \ângulo 1 = \ângulo 2 como transversal a AB e CD paralela e secante AC .

Mas se \triangle ABC = \triangle ADC , então \angle 3 = \angle 4 (eles estão opostos a AB e CD respectivamente). E, portanto, AD || BC (\angle 3 e \angle 4 - deitados também são iguais).

O primeiro sinal está correto.

2. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são iguais.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD é um paralelogramo.

Prova

Vamos considerar esse recurso. Vamos desenhar a diagonal AC novamente.

Por propriedade 1\triângulo ABC = \triângulo ACD .

Segue que: \ângulo 1 = \ângulo 2 \Rightarrow AD || BC E \ângulo 3 = \ângulo 4 \Rightarrow AB || CD, ou seja, ABCD é um paralelogramo.

O segundo sinal está correto.

3. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos ângulos opostos são iguais.

\ângulo A = \ângulo C , \ângulo B = \ângulo D \Rightarrow ABCD- paralelogramo.

Prova

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(porque ABCD é um quadrilátero, e \angle A = \angle C , \angle B = \angle D por convenção).

Então \alpha + \beta = 180^(\circ) . Mas \alpha e \beta são unilaterais internos na secante AB .

E o fato de que \alpha + \beta = 180^(\circ) também significa que AD || BC.

Ao mesmo tempo, \alpha e \beta são unilaterais internos com uma secante AD . E isso significa AB || CD.

O terceiro sinal está correto.

4. Um paralelogramo é um quadrilátero cujas diagonais são cortadas ao meio pelo ponto de interseção.

AO=OC; BO = OD \Paralelogramo de seta para a direita.

Prova

BO=OD; AO = OC , \ângulo 1 = \ângulo 2 na vertical \Rightarrow \triângulo AOB = \triângulo COD, \Seta para a direita \ângulo 3 = \ângulo 4 e \Rightarrow AB || CD.

Da mesma forma BO = OD; AO=OC, \ângulo 5 = \ângulo 6 \seta direita \triângulo AOD = \triângulo BOC \seta direita \ângulo 7 = \ângulo 8 e \Rightarrow AD || BC.

O quarto sinal está correto.