Tudo sobre desigualdades logarítmicas. Análise de exemplos

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Em vez da caixa de seleção “∨”, você pode colocar qualquer sinal de desigualdade: mais ou menos. O principal é que em ambas as desigualdades os sinais são iguais.

Desta forma, eliminamos os logaritmos e reduzimos o problema a uma desigualdade racional. Este último é muito mais fácil de resolver, mas ao descartar logaritmos, podem aparecer raízes extras. Para eliminá-los, basta encontrar a faixa de valores aceitáveis. Se você esqueceu o ODZ de um logaritmo, recomendo fortemente repeti-lo - veja “O que é um logaritmo”.

Tudo relacionado à faixa de valores aceitáveis deve ser escrito e resolvido separadamente:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Estas quatro desigualdades constituem um sistema e devem ser satisfeitas simultaneamente. Quando o intervalo de valores aceitáveis for encontrado, resta cruzá-lo com a solução da desigualdade racional - e a resposta está pronta.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

Primeiro, vamos escrever o ODZ do logaritmo:

As duas primeiras desigualdades são satisfeitas automaticamente, mas a última deverá ser escrita. Como o quadrado de um número é zero se e somente se o próprio número for zero, temos:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Acontece que o ODZ do logaritmo é composto por todos os números, exceto zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Agora resolvemos a desigualdade principal:

Fazemos a transição da desigualdade logarítmica para a racional. A desigualdade original tem um sinal “menor que”, o que significa que a desigualdade resultante também deve ter um sinal “menor que”. Nós temos:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Os zeros desta expressão são: x = 3; x = −3; x = 0. Além disso, x = 0 é raiz da segunda multiplicidade, o que significa que ao passar por ela o sinal da função não muda. Nós temos:

Obtemos x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Este conjunto está totalmente contido no ODZ do logaritmo, o que significa que esta é a resposta.

Convertendo desigualdades logarítmicas

Freqüentemente, a desigualdade original é diferente da acima. Isso pode ser facilmente corrigido usando as regras padrão para trabalhar com logaritmos - consulte “Propriedades básicas dos logaritmos”. Nomeadamente:

Qualquer número pode ser representado como um logaritmo com uma determinada base;
A soma e a diferença de logaritmos com as mesmas bases podem ser substituídas por um logaritmo.

Separadamente, gostaria de lembrá-lo sobre a faixa de valores aceitáveis. Como pode haver vários logaritmos na desigualdade original, é necessário encontrar o VA de cada um deles. Assim, o esquema geral para resolver desigualdades logarítmicas é o seguinte:

Encontre o VA de cada logaritmo incluído na desigualdade;
Reduza a desigualdade a uma desigualdade padrão usando fórmulas para adicionar e subtrair logaritmos;
Resolva a desigualdade resultante de acordo com o esquema dado acima.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

Vamos encontrar o domínio de definição (DO) do primeiro logaritmo:

Resolvemos usando o método de intervalo. Encontrando os zeros do numerador:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Então - os zeros do denominador:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcamos zeros e sinais na seta de coordenadas:

Obtemos x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). O segundo logaritmo terá o mesmo VA. Se você não acredita em mim, você pode verificar. Agora transformamos o segundo logaritmo para que a base seja dois:

Como você pode ver, os três na base e na frente do logaritmo foram reduzidos. Temos dois logaritmos com a mesma base. Vamos adicioná-los:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Obtivemos a desigualdade logarítmica padrão. Eliminamos os logaritmos usando a fórmula. Como a desigualdade original contém um sinal “menor que”, a expressão racional resultante também deve ser menor que zero. Nós temos:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Temos dois conjuntos:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Resposta do candidato: x ∈ (−1; 3).

Resta cruzar esses conjuntos - obtemos a resposta real:

Estamos interessados na intersecção de conjuntos, por isso selecionamos intervalos sombreados em ambas as setas. Obtemos x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - todos os pontos são perfurados.

Entre toda a variedade de desigualdades logarítmicas, as desigualdades com base variável são estudadas separadamente. Eles são resolvidos por meio de uma fórmula especial, que por algum motivo raramente é ensinada na escola. A apresentação apresenta soluções para tarefas C3 do Exame Estadual Unificado - 2014 em matemática.

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Legendas dos slides:

Resolvendo desigualdades logarítmicas contendo uma variável na base do logaritmo: métodos, técnicas, transições equivalentes, professor de matemática, Escola Secundária nº 143 Knyazkina T.V.

Entre toda a variedade de desigualdades logarítmicas, as desigualdades com base variável são estudadas separadamente. Eles são resolvidos usando uma fórmula especial, que por algum motivo raramente é ensinada na escola: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Em vez da caixa de seleção “∨”, você pode colocar qualquer sinal de desigualdade: mais ou menos. O principal é que em ambas as desigualdades os sinais são iguais. Desta forma, eliminamos os logaritmos e reduzimos o problema a uma desigualdade racional. Este último é muito mais fácil de resolver, mas ao descartar logaritmos, podem aparecer raízes extras. Para eliminá-los, basta encontrar a faixa de valores aceitáveis. Não se esqueça do ODZ do logaritmo! Tudo relacionado à faixa de valores aceitáveis deve ser escrito e resolvido separadamente: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Essas quatro desigualdades constituem um sistema e devem ser satisfeitas simultaneamente. Quando o intervalo de valores aceitáveis for encontrado, resta cruzá-lo com a solução da desigualdade racional - e a resposta está pronta.

Resolva a desigualdade: Solução Primeiro, vamos escrever o DO do logaritmo. As duas primeiras desigualdades são satisfeitas automaticamente, mas a última terá que ser anotada. Como o quadrado de um número é igual a zero se e somente se o próprio número for igual a zero, temos: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Acontece que o ODZ de um logaritmo é composto por todos os números, exceto zero: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Agora resolvemos a desigualdade principal: fazemos a transição da desigualdade logarítmica para a racional. A desigualdade original tem um sinal “menor que”, o que significa que a desigualdade resultante também deve ter um sinal “menor que”.

Temos: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Transformando desigualdades logarítmicas Freqüentemente, a desigualdade original é diferente da acima. Isso pode ser facilmente corrigido usando regras padrão para trabalhar com logaritmos. A saber: Qualquer número pode ser representado como um logaritmo com uma determinada base; A soma e a diferença de logaritmos com as mesmas bases podem ser substituídas por um logaritmo. Separadamente, gostaria de lembrá-lo sobre a faixa de valores aceitáveis. Como pode haver vários logaritmos na desigualdade original, é necessário encontrar o VA de cada um deles. Assim, o esquema geral para resolver desigualdades logarítmicas é o seguinte: Encontre o VA de cada logaritmo incluído na desigualdade; Reduza a desigualdade a uma desigualdade padrão usando fórmulas para adicionar e subtrair logaritmos; Resolva a desigualdade resultante de acordo com o esquema dado acima.

Resolva a inequação: Solução Vamos encontrar o domínio de definição (DO) do primeiro logaritmo: Resolva pelo método dos intervalos. Encontre os zeros do numerador: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Então - os zeros do denominador: x − 1 = 0; x = 1. Marque zeros e sinais na linha de coordenadas:

Obtemos x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). O segundo logaritmo terá o mesmo VA. Se você não acredita em mim, você pode verificar. Agora vamos transformar o segundo logaritmo para que haja um dois na base: Como você pode ver, os três na base e na frente do logaritmo foram cancelados. Temos dois logaritmos com a mesma base. Some-os: log 2 (x − 1) 2

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)

Estamos interessados na intersecção de conjuntos, por isso selecionamos intervalos sombreados em ambas as setas. Obtemos: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - todos os pontos são perfurados. Resposta: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Resolvendo tarefas USE-2014 tipo C3

Resolva o sistema de desigualdades. ODZ:  1) 2)

Resolva o sistema de desigualdades 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (continuação)

Resolva o sistema de desigualdades 4) Solução geral: e -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (continuação)

Resolva a desigualdade (continuação) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Resolva a solução da inequação. ODZ: 

Resolva a desigualdade (continuação)

Resolva a solução da inequação. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Com eles estão dentro dos logaritmos.

Exemplos:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Como resolver desigualdades logarítmicas:

Devemos nos esforçar para reduzir qualquer desigualdade logarítmica à forma $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (o símbolo $˅$ significa qualquer um dos). Este tipo permite se livrar dos logaritmos e suas bases, fazendo a transição para a desigualdade de expressões sob logaritmos, ou seja, para a forma $f(x) ˅ g(x)$.

Mas ao fazer essa transição há uma sutileza muito importante:
$-$ se for um número e for maior que 1, o sinal de desigualdade permanece o mesmo durante a transição,
$-$ se a base for um número maior que 0, mas menor que 1 (está entre zero e um), então o sinal de desigualdade deve mudar para o oposto, ou seja,

Exemplos:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Solução:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Resposta: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(casos)2x-4>0\\x+1 > 0\end(casos)$
$\begin(casos)2x>4\\x > -1\end(casos)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(casos)x>2\\x > -1\end(casos) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Solução:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Resposta: $(2;5]$

Muito importante! Em qualquer desigualdade, a transição da forma $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ para a comparação de expressões sob logaritmos só pode ser feita se:

Exemplo . Resolva a desigualdade: $\log$$≤-1$

Solução:

$\registro$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Vamos escrever o ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Abrimos os colchetes e trazemos .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Multiplicamos a desigualdade por $-1$, não esquecendo de inverter o sinal de comparação.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Vamos construir uma reta numérica e marcar os pontos $\frac(7)(3)$ e $\frac(3)(2)$ nela. Observe que o ponto é removido do denominador, apesar de a desigualdade não ser estrita. O fato é que este ponto não será solução, pois quando substituído na desigualdade nos levará à divisão por zero.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Agora plotamos a ODZ no mesmo eixo numérico e anotamos como resposta o intervalo que cai na ODZ.
	Anotamos a resposta final.

Responder: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Exemplo . Resolva a desigualdade: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Solução:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Vamos escrever o ODZ.
ODZ: $x>0$	Vamos à solução.
Solução: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Aqui temos uma típica desigualdade quadrada-logarítmica. Vamos fazê-lo.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Expandimos o lado esquerdo da desigualdade em.
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Agora precisamos retornar à variável original - x. Para isso, vamos até , que tem a mesma solução, e fazer a substituição inversa.
$\left[ \begin(reunido) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transforme $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(reunido) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Vamos prosseguir para a comparação de argumentos. As bases dos logaritmos são maiores que $1$, portanto o sinal das desigualdades não muda.
$\left[ \begin(reunido) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Vamos combinar a solução da desigualdade e da ODZ em uma figura.
	Vamos anotar a resposta.

Responder: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Vimos como resolver as desigualdades logarítmicas mais simples e as desigualdades onde a base do logaritmo é fixada na última lição.

Mas e se houver uma variável na base do logaritmo?

Então virá em nosso auxílio racionalização das desigualdades. Para entender como isso funciona, consideremos, por exemplo, a desigualdade:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Como esperado, vamos começar com ODZ.

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Solução para a desigualdade

Vamos raciocinar como se estivéssemos resolvendo uma inequação de base fixa. Se a base for maior que um, eliminamos os logaritmos, e o sinal da desigualdade não muda; se for menor que um, muda;

Vamos escrever isso como um sistema:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ (\begin(matriz)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Para um raciocínio mais aprofundado, movamos todos os lados direitos das desigualdades para a esquerda.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(matriz)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

O que conseguimos? Acontece que precisamos que as expressões `2x-1` e `x^2 - x` sejam positivas ou negativas ao mesmo tempo. O mesmo resultado será obtido se resolvermos a inequação:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0,$$

Esta desigualdade, tal como o sistema original, é verdadeira se ambos os factores forem positivos ou negativos. Acontece que você pode passar de uma desigualdade logarítmica para uma racional (levando em consideração o ODZ).

Vamos formular método para racionalizar desigualdades logarítmicas$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ onde `\vee` é qualquer sinal de desigualdade. (Para o sinal `>`, acabamos de verificar a validade da fórmula. Quanto ao resto, sugiro que você verifique você mesmo - será melhor lembrado).

Vamos voltar a resolver nossa desigualdade. Expandindo-o entre colchetes (para facilitar a visualização dos zeros da função), obtemos

$$(2x-1)x(x - 1) >0,$$

O método de intervalo fornecerá a seguinte imagem:

(Como a desigualdade é estrita e não estamos interessados nos fins dos intervalos, eles não estão sombreados.) Como pode ser visto, os intervalos resultantes satisfazem a ODZ. Recebemos a resposta: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Exemplo dois. Resolvendo uma desigualdade logarítmica com base variável

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\fim(matriz)\direita.$$

Solução para a desigualdade

De acordo com a regra que acabamos de receber racionalização de desigualdades logarítmicas, descobrimos que esta desigualdade é idêntica (tendo em conta a ODZ) à seguinte:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Combinando esta solução com a ODZ, obtemos a resposta: `(1,2)`.

Terceiro exemplo. Logaritmo de uma fração

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

Como o sistema é relativamente complexo, vamos imediatamente traçar a solução para as desigualdades na reta numérica:

Assim, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Solução para a desigualdade

Vamos representar `-1` como um logaritmo com base `x`.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Usando racionalização da desigualdade logarítmica obtemos uma desigualdade racional:

$$(x-1)\esquerda(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\direita)\leqslant0,$$

$$(x-1)\esquerda(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\direita)\leqslant0,$$

$$(x-1)\esquerda(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\direita)\leqslant0.$$

\(\registro\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Vamos escrever o ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Abrimos os colchetes e trazemos .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Multiplicamos a desigualdade por \(-1\), não esquecendo de inverter o sinal de comparação.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Vamos construir uma reta numérica e marcar os pontos \(\frac(7)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) nela. Observe que o ponto é removido do denominador, apesar de a desigualdade não ser estrita. O fato é que este ponto não será solução, pois quando substituído na desigualdade nos levará à divisão por zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Agora plotamos a ODZ no mesmo eixo numérico e anotamos como resposta o intervalo que cai na ODZ.
	Anotamos a resposta final.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vamos escrever o ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Vamos à solução.
Solução: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Aqui temos uma típica desigualdade quadrada-logarítmica. Vamos fazê-lo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Expandimos o lado esquerdo da desigualdade em.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Agora precisamos retornar à variável original - x. Para isso, vamos até , que tem a mesma solução, e fazer a substituição inversa.
\(\left[ \begin(reunido) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transforme \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(reunido) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Vamos prosseguir para a comparação de argumentos. As bases dos logaritmos são maiores que \(1\), portanto o sinal das desigualdades não muda.
\(\left[ \begin(reunido) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Vamos combinar a solução da desigualdade e da ODZ em uma figura.
	Vamos anotar a resposta.