Exponenciação, regras, exemplos. Grau e suas propriedades

É hora de fazer um pouco de matemática. Você ainda se lembra de quanto custa se dois forem multiplicados por dois?

Se alguém esqueceu, serão quatro. Parece que todo mundo se lembra e conhece a tabuada, porém, descobri um grande número de solicitações ao Yandex como “tabuada” ou mesmo “baixar tabuada”(!). É para esta categoria de usuários, bem como para os mais avançados que já se interessam por quadrados e potências, que estou postando todas essas tabelas. Você pode até baixar para sua saúde! Então:

Tabela de multiplicação

(números inteiros de 1 a 20)

Tabela de quadrados

(números inteiros de 1 a 100)

Tabela de graus

(números inteiros de 1 a 10)

1 elevado à potência:

2 elevado à potência:

3 elevado à potência:

4 elevado à potência:

5 elevado à potência:

6 elevado à potência:

7 elevado à potência:

7 10 = 282475249

8 elevado à potência:

8 10 = 1073741824

9 elevado à potência:

9 10 = 3486784401

10 elevado à potência:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

Insira o número e o grau e pressione =.

Tabela de graus

Propriedades do grau - 2 partes

Uma tabela dos principais graus da álgebra em formato compacto (imagem, conveniente para impressão), em cima do número, ao lado do grau.

Continuando a conversa sobre a potência de um número, é lógico descobrir como encontrar o valor da potência. Este processo é chamado exponenciação. Neste artigo estudaremos como a exponenciação é realizada, enquanto abordaremos todos os expoentes possíveis - naturais, inteiros, racionais e irracionais. E de acordo com a tradição, consideraremos detalhadamente soluções para exemplos de elevação de números a várias potências.

Navegação na página.

O que significa "exponencialização"?

Vamos começar explicando o que é chamado de exponenciação. Aqui está a definição relevante.

Definição.

Exponenciação- isto é encontrar o valor da potência de um número.

Assim, encontrar o valor da potência de um número a com expoente r e elevar o número a à potência r são a mesma coisa. Por exemplo, se a tarefa for “calcular o valor da potência (0,5) 5”, então ela pode ser reformulada da seguinte forma: “Eleve o número 0,5 à potência 5”.

Agora você pode ir diretamente para as regras pelas quais a exponenciação é executada.

Elevando um número a uma potência natural

Na prática, a igualdade baseada em é geralmente aplicada na forma . Ou seja, ao elevar um número a a uma potência fracionária m/n, primeiro é obtida a enésima raiz do número a, após o que o resultado resultante é elevado a uma potência inteira m.

Vejamos soluções para exemplos de elevação a uma potência fracionária.

Exemplo.

Calcule o valor do grau.

Solução.

Mostraremos duas soluções.

Primeira maneira. Por definição de grau com expoente fracionário. Calculamos o valor do grau sob o sinal da raiz e, em seguida, extraímos a raiz cúbica: .

Segunda maneira. Pela definição de um grau com expoente fracionário e com base nas propriedades das raízes, as seguintes igualdades são verdadeiras: . Agora extraímos a raiz , finalmente, nós o elevamos a uma potência inteira .

Obviamente, os resultados obtidos ao elevar a uma potência fracionária coincidem.

Responder:

Observe que um expoente fracionário pode ser escrito como uma fração decimal ou um número misto, nestes casos deve ser substituído pela fração ordinária correspondente e depois elevado a uma potência.

Exemplo.

Calcule (44,89) 2,5.

Solução.

Vamos escrever o expoente como uma fração ordinária (se necessário, veja o artigo): . Agora realizamos o aumento para uma potência fracionária:

Responder:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Deve-se dizer também que elevar números a potências racionais é um processo bastante trabalhoso (especialmente quando o numerador e o denominador do expoente fracionário contêm números suficientemente grandes), que geralmente é realizado por meio de tecnologia de informática.

Para concluir este ponto, vamos nos concentrar em elevar o número zero a uma potência fracionária. Demos o seguinte significado à potência fracionária de zero da forma: quando temos , e em zero elevado à potência m/n não está definido. Então, zero elevado a uma potência positiva fracionária é zero, por exemplo, . E zero em uma potência negativa fracionária não faz sentido, por exemplo, as expressões 0 -4,3 não fazem sentido.

Elevando-se a um poder irracional

Às vezes é necessário descobrir o valor da potência de um número com expoente irracional. Neste caso, para fins práticos, geralmente é suficiente obter o valor do grau com precisão de um determinado sinal. Observemos imediatamente que na prática esse valor é calculado por meio de computadores eletrônicos, pois aumentá-lo manualmente a uma potência irracional requer um grande número de cálculos complicados. Mas ainda descreveremos em termos gerais a essência das ações.

Para obter um valor aproximado da potência de um número a com um expoente irracional, é feita alguma aproximação decimal do expoente e o valor da potência é calculado. Este valor é um valor aproximado da potência do número a com um expoente irracional. Quanto mais precisa for a aproximação decimal de um número inicialmente, mais preciso será o valor do grau no final.

Como exemplo, vamos calcular o valor aproximado da potência de 2 1,174367... . Vamos fazer a seguinte aproximação decimal do expoente irracional: . Agora elevamos 2 à potência racional 1,17 (descrevemos a essência deste processo no parágrafo anterior), obtemos 2 1,17 ≈2,250116. Por isso, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se fizermos uma aproximação decimal mais precisa do expoente irracional, por exemplo, obteremos um valor mais preciso do expoente original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Livro didático de matemática para o 5º ano. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 7ª série. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 8ª série. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para o 9º ano. instituições educacionais.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: livro didático para as séries 10 a 11 de instituições de ensino geral.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa em escolas técnicas).

Por que os diplomas são necessários?

Onde você precisará deles?

Por que você deveria reservar um tempo para estudá-los?

Para saber TUDO SOBRE GRAUS, leia este artigo.

E, claro, o conhecimento dos diplomas o deixará mais perto de passar no Exame Estadual Unificado.

E para ingressar na universidade dos seus sonhos!

Vamos vamos!)

PRIMEIRO NÍVEL

Exponenciação é uma operação matemática como adição, subtração, multiplicação ou divisão.

Agora vou explicar tudo em linguagem humana usando exemplos muito simples. Tome cuidado. Os exemplos são elementares, mas explicam coisas importantes.

Vamos começar com a adição.

Não há nada para explicar aqui. Você já sabe tudo: somos oito. Todo mundo tem duas garrafas de refrigerante. Quanto cola existe? Isso mesmo - 16 garrafas.

Agora multiplicação.

O mesmo exemplo com cola pode ser escrito de forma diferente: . Os matemáticos são pessoas astutas e preguiçosas. Eles primeiro percebem alguns padrões e depois descobrem uma maneira de “contá-los” mais rapidamente. No nosso caso, eles notaram que cada uma das oito pessoas tinha o mesmo número de garrafas de refrigerante e criaram uma técnica chamada multiplicação. Concordo, é considerado mais fácil e rápido do que.

Então, para contar de forma mais rápida, fácil e sem erros, basta lembrar tabela de multiplicação. Claro que você pode fazer tudo mais devagar, mais difícil e com erros! Mas…

Aqui está a tabuada de multiplicação. Repita.

E outro, mais lindo:

Que outros truques de contagem inteligentes os matemáticos preguiçosos inventaram? Certo - elevando um número a uma potência.

Elevando um número a uma potência

Se você precisar multiplicar um número por ele mesmo cinco vezes, os matemáticos dizem que você precisa elevar esse número à quinta potência. Por exemplo, . Os matemáticos lembram que dois elevado a cinco é... E eles resolvem esses problemas mentalmente - de forma mais rápida, fácil e sem erros.

Tudo que você precisa fazer é lembre-se do que está destacado em cores na tabela de potências dos números. Acredite, isso facilitará muito a sua vida.

Aliás, por que é chamado de segundo grau? quadrado números, e o terceiro - cubo? O que isso significa? Muito boa pergunta. Agora você terá quadrados e cubos.

Exemplo da vida real nº 1

Vamos começar com o quadrado ou a segunda potência do número.

Imagine uma piscina quadrada medindo um metro por um metro. A piscina fica na sua dacha. Está calor e eu realmente quero nadar. Mas... a piscina não tem fundo! Você precisa cobrir o fundo da piscina com azulejos. Quantas peças você precisa? Para determinar isso, você precisa conhecer a área do fundo da piscina.

Você pode simplesmente calcular apontando o dedo que o fundo da piscina consiste em cubos metro a metro. Se você tiver ladrilhos de um metro por um metro, precisará de peças. É fácil... Mas onde você viu esses azulejos? O ladrilho provavelmente terá cm por cm e então você será torturado por “contar com o dedo”. Então você tem que multiplicar. Assim, de um lado do fundo da piscina colocaremos ladrilhos (peças) e do outro também ladrilhos. Multiplique por e você obterá peças ().

Você notou que para determinar a área do fundo da piscina multiplicamos o mesmo número por ele mesmo? O que isso significa? Como estamos multiplicando o mesmo número, podemos usar a técnica de “exponencialização”. (Claro, quando você tem apenas dois números, você ainda precisa multiplicá-los ou elevá-los a uma potência. Mas se você tiver muitos deles, elevá-los a uma potência será muito mais fácil e também haverá menos erros nos cálculos (Para o Exame Estadual Unificado isso é muito importante).
Então, trinta elevado à segunda potência será (). Ou podemos dizer que trinta ao quadrado será. Em outras palavras, a segunda potência de um número sempre pode ser representada como um quadrado. E vice-versa, se você vir um quadrado, é SEMPRE a segunda potência de algum número. Um quadrado é uma imagem da segunda potência de um número.

Exemplo da vida real nº 2

Aqui vai uma tarefa para você: conte quantas casas existem no tabuleiro de xadrez usando o quadrado do número... De um lado das células e do outro também. Para calcular o número deles, você precisa multiplicar oito por oito ou... se você notar que um tabuleiro de xadrez é um quadrado com um lado, então você pode elevar oito ao quadrado. Você obterá células. () Então?

Exemplo da vida real nº 3

Agora o cubo ou a terceira potência de um número. A mesma piscina. Mas agora você precisa descobrir quanta água terá que ser despejada nesta piscina. Você precisa calcular o volume. (Volumes e líquidos, aliás, são medidos em metros cúbicos. Inesperado, né?) Desenhe uma piscina: o fundo tem um metro de tamanho e um metro de profundidade, e tente contar quantos cubos medindo metro por metro vão cabe na sua piscina.

Basta apontar o dedo e contar! Um, dois, três, quatro... vinte e dois, vinte e três... Quantos você conseguiu? Não está perdido? É difícil contar com o dedo? Para que! Veja um exemplo dos matemáticos. Eles são preguiçosos, então perceberam que para calcular o volume da piscina é preciso multiplicar seu comprimento, largura e altura entre si. No nosso caso, o volume da piscina será igual a cubos... Mais fácil, né?

Agora imagine como os matemáticos seriam preguiçosos e astutos se simplificassem isso também. Reduzimos tudo a uma ação. Eles notaram que o comprimento, a largura e a altura são iguais e que o mesmo número é multiplicado por ele mesmo... O que isso significa? Isso significa que você pode aproveitar o diploma. Então, o que você uma vez contou com o dedo, eles fazem em uma ação: três ao cubo é igual. Está escrito assim: .

Tudo o que resta é lembre-se da tabela de graus. A menos, é claro, que você seja tão preguiçoso e astuto quanto os matemáticos. Se você gosta de trabalhar duro e cometer erros, pode continuar contando com o dedo.

Bem, para finalmente convencê-lo de que os diplomas foram inventados por desistentes e pessoas astutas para resolver seus problemas de vida, e não para criar problemas para você, aqui estão mais alguns exemplos da vida.

Exemplo da vida real nº 4

Você tem um milhão de rublos. No início de cada ano, para cada milhão que você ganha, você ganha outro milhão. Ou seja, cada milhão que você tem dobra no início de cada ano. Quanto dinheiro você terá em anos? Se você está sentado agora e “contando com o dedo”, então você é uma pessoa muito trabalhadora e... estúpida. Mas provavelmente você dará uma resposta em alguns segundos, porque você é inteligente! Então, no primeiro ano - dois multiplicados por dois... no segundo ano - o que aconteceu, por mais dois, no terceiro ano... Pare! Você notou que o número é multiplicado por ele mesmo. Então dois elevado à quinta potência é um milhão! Agora imagine que você tem uma competição e quem conseguir contar mais rápido vai conseguir esses milhões... Vale lembrar das potências dos números, não acha?

Exemplo da vida real nº 5

Você tem um milhão. No início de cada ano, para cada milhão que você ganha, você ganha mais dois. Ótimo, não é? Cada milhão é triplicado. Quanto dinheiro você terá em um ano? Vamos contar. O primeiro ano - multiplique por, depois o resultado por outro... Já é chato, porque você já entendeu tudo: três é multiplicado por ele mesmo vezes. Então elevado à quarta potência é igual a um milhão. Você só precisa lembrar que três elevado a quatro é ou.

Agora você sabe que ao elevar um número a uma potência você tornará sua vida muito mais fácil. Vamos dar uma olhada no que você pode fazer com os diplomas e o que você precisa saber sobre eles.

Termos e conceitos... para não se confundir

Então, primeiro, vamos definir os conceitos. O que você acha, o que é um expoente? É muito simples - é o número que está “no topo” da potência do número. Não é científico, mas é claro e fácil de lembrar...

Bem, ao mesmo tempo, o que tal base de graduação? Ainda mais simples é o número que fica abaixo, na base.

Aqui está um desenho para garantir.

Bem, em termos gerais, para generalizar e lembrar melhor... Um grau com base “ ” e um expoente “ ” é lido como “até o grau” e é escrito da seguinte forma:

Potência de um número com expoente natural

Você provavelmente já adivinhou: porque o expoente é um número natural. Sim, mas o que é número natural? Elementar! Os números naturais são aqueles números usados ​​na contagem ao listar objetos: um, dois, três... Quando contamos objetos, não dizemos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete”. Também não dizemos: “um terço” ou “zero vírgula cinco”. Estes não são números naturais. Que números você acha que são?

Números como “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete” referem-se a números inteiros. Em geral, os inteiros incluem todos os números naturais, números opostos aos números naturais (ou seja, tomados com um sinal de menos) e números. Zero é fácil de entender – é quando não há nada. O que significam os números negativos (“menos”)? Mas eles foram inventados principalmente para indicar dívidas: se você tem saldo em rublos em seu telefone, isso significa que você deve rublos à operadora.

Todas as frações são números racionais. Como eles surgiram, você acha? Muito simples. Vários milhares de anos atrás, nossos ancestrais descobriram que não possuíam números naturais para medir comprimento, peso, área, etc. E eles inventaram números racionais... Interessante, não é?

Existem também números irracionais. Quais são esses números? Resumindo, é uma fração decimal infinita. Por exemplo, se você dividir a circunferência de um círculo pelo seu diâmetro, obterá um número irracional.

Resumo:

Vamos definir o conceito de grau cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

1. Qualquer número elevado à primeira potência é igual a si mesmo:
2. Elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo:
3. Cubo um número significa multiplicá-lo por ele mesmo três vezes:

Definição. Elevar um número a uma potência natural significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:
.

Propriedades dos graus

De onde vieram essas propriedades? Eu vou te mostrar agora.

Vamos ver: o que é E ?

A-prior:

Quantos multiplicadores existem no total?

É muito simples: adicionamos multiplicadores aos fatores e o resultado são multiplicadores.

Mas, por definição, esta é uma potência de um número com um expoente, ou seja: , que é o que precisava ser provado.

Exemplo: Simplifique a expressão.

Solução:

Exemplo: Simplifique a expressão.

Solução:É importante notar que em nossa regra Necessariamente deve haver as mesmas razões!
Portanto, combinamos as potências com a base, mas continua sendo um fator separado:

apenas para o produto de potências!

Sob nenhuma circunstância você pode escrever isso.

2. é isso a potência de um número

Assim como na propriedade anterior, passemos à definição de grau:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma vezes, ou seja, pela definição, esta é a décima potência do número:

Em essência, isso pode ser chamado de “tirar o indicador dos colchetes”. Mas você nunca pode fazer isso no total:

Vamos relembrar as fórmulas abreviadas de multiplicação: quantas vezes queríamos escrever?

Mas isso não é verdade, afinal.

Potência com base negativa

Até este ponto, discutimos apenas qual deveria ser o expoente.

Mas qual deveria ser a base?

Em poderes de indicador natural a base pode ser qualquer número. Na verdade, podemos multiplicar quaisquer números entre si, sejam eles positivos, negativos ou pares.

Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número é positivo ou negativo? A? ? Com o primeiro tudo fica claro: não importa quantos números positivos multipliquemos, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Lembramos a regra simples da 6ª série: “menos por menos dá mais”. Isso é, ou. Mas se multiplicarmos por, funciona.

Determine por si mesmo qual sinal as seguintes expressões terão:

Você conseguiu?

Aqui estão as respostas: Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

No exemplo 5) também não é tão assustador quanto parece: afinal, não importa a que a base seja igual - o grau é par, o que significa que o resultado será sempre positivo.

Bem, exceto quando a base é zero. A base não é igual, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) não é mais tão simples!

6 exemplos para praticar

Análise da solução 6 exemplos

Todo chamamos os números naturais, seus opostos (isto é, tomados com o sinal "") e o número.

número inteiro positivo, e não é diferente do natural, então tudo parece exatamente como na seção anterior.

Agora vamos examinar novos casos. Vamos começar com um indicador igual a.

Qualquer número elevado a zero é igual a um:

Como sempre, perguntemo-nos: por que isso acontece?

Vamos considerar algum grau com base. Tomemos, por exemplo, e multipliquemos por:

Então, multiplicamos o número por e obtivemos a mesma coisa que era - . Por qual número você deve multiplicar para que nada mude? Isso mesmo, vamos. Significa.

Podemos fazer o mesmo com um número arbitrário:

Vamos repetir a regra:

Qualquer número elevado a zero é igual a um.

Mas há exceções para muitas regras. E aqui está também - este é um número (como base).

Por um lado, deve ser igual a qualquer grau - não importa o quanto você multiplique zero por si mesmo, ainda assim obterá zero, isso é claro. Mas, por outro lado, como qualquer número elevado a zero, deve ser igual. Então, quanto disso é verdade? Os matemáticos decidiram não se envolver e recusaram-se a elevar zero à potência zero. Ou seja, agora não podemos apenas dividir por zero, mas também elevá-lo à potência zero.

Vamos continuar. Além dos números naturais e dos números, os inteiros também incluem números negativos. Para entender o que é uma potência negativa, vamos fazer como da última vez: multiplicar algum número normal pelo mesmo número até uma potência negativa:

A partir daqui é fácil expressar o que você procura:

Agora vamos estender a regra resultante a um grau arbitrário:

Então, vamos formular uma regra:

Um número com potência negativa é o inverso do mesmo número com potência positiva. mas ao mesmo tempo A base não pode ser nula:(porque você não pode dividir por).

Vamos resumir:

Tarefas para solução independente:

Bem, como sempre, exemplos de soluções independentes:

Análise de problemas para solução independente:

Eu sei, eu sei, os números assustam, mas no Exame Estadual Unificado você tem que estar preparado para tudo! Resolva estes exemplos ou analise suas soluções se não conseguiu resolvê-los e aprenderá a lidar com eles facilmente no exame!

Vamos continuar a expandir o intervalo de números “adequados” como expoente.

Agora vamos considerar números racionais. Quais números são chamados de racionais?

Resposta: tudo o que pode ser representado como uma fração, onde e são inteiros, e.

Para entender o que é "grau fracionário", considere a fração:

Vamos elevar ambos os lados da equação a uma potência:

Agora vamos lembrar a regra sobre "grau em grau":

Que número deve ser elevado a uma potência para obter?

Esta formulação é a definição da raiz do décimo grau.

Deixe-me lembrá-lo: a raiz da décima potência de um número () é um número que, quando elevado a uma potência, é igual a.

Ou seja, a raiz da décima potência é a operação inversa de elevar a uma potência: .

Acontece que. Obviamente, este caso especial pode ser expandido: .

Agora somamos o numerador: o que é? A resposta é fácil de obter usando a regra potência-potência:

Mas a base pode ser qualquer número? Afinal, a raiz não pode ser extraída de todos os números.

Nenhum!

Lembremos a regra: qualquer número elevado a uma potência par é um número positivo. Ou seja, é impossível extrair raízes pares de números negativos!

Isso significa que tais números não podem ser elevados a uma potência fracionária com denominador par, ou seja, a expressão não faz sentido.

E a expressão?

Mas aqui surge um problema.

O número pode ser representado na forma de outras frações redutíveis, por exemplo, ou.

E acontece que existe, mas não existe, mas são apenas dois registros diferentes do mesmo número.

Ou outro exemplo: uma vez, então você pode anotar. Mas se escrevermos o indicador de forma diferente, teremos problemas novamente: (ou seja, obtivemos um resultado completamente diferente!).

Para evitar tais paradoxos, consideramos apenas expoente de base positivo com expoente fracionário.

Então se:

• - número natural;
• - inteiro;

Exemplos:

Os expoentes racionais são muito úteis para transformar expressões com raízes, por exemplo:

5 exemplos para praticar

Análise de 5 exemplos para treinamento

Bem, agora vem a parte mais difícil. Agora vamos descobrir grau com expoente irracional.

Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas que para um grau com um expoente racional, com exceção

Afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (ou seja, números irracionais são todos números reais, exceto os racionais).

Ao estudar graus com expoentes naturais, inteiros e racionais, cada vez criamos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares.

Por exemplo, um grau com expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes;

...número elevado à potência zero- este é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começaram a multiplicá-lo, o que significa que o número em si ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certo “número em branco” , nomeadamente um número;

...grau inteiro negativo- é como se tivesse ocorrido algum “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas sim dividido.

Aliás, em ciências costuma-se usar um grau com expoente complexo, ou seja, o expoente nem é um número real.

Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

ONDE TEMOS CERTEZA QUE VOCÊ IRÁ! (se você aprender a resolver esses exemplos :))

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

Análise de soluções:

1. Vamos começar com a regra usual para elevar uma potência a uma potência:

NÍVEL AVANÇADO

Determinação do grau

Um diploma é uma expressão da forma: , onde:

• — base de graduação;
• - expoente.

Grau com indicador natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar um número à potência natural n significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:

Grau com um expoente inteiro (0, ±1, ±2,...)

Se o expoente for número inteiro positivo número:

Construção ao grau zero:

A expressão é indefinida, porque, por um lado, em qualquer grau é isto, e por outro lado, qualquer número elevado à décima potência é isto.

Se o expoente for número inteiro negativo número:

(porque você não pode dividir por).

Mais uma vez sobre zeros: a expressão não está definida no caso. Se então.

Exemplos:

Potência com expoente racional

• - número natural;
• - inteiro;

Exemplos:

Propriedades dos graus

Para facilitar a resolução dos problemas, vamos tentar entender: de onde vieram essas propriedades? Vamos prová-los.

Vamos ver: o que é e?

A-prior:

Assim, no lado direito desta expressão obtemos o seguinte produto:

Mas por definição é uma potência de um número com um expoente, ou seja:

Q.E.D.

Exemplo : Simplifique a expressão.

Solução : .

Exemplo : Simplifique a expressão.

Solução : É importante notar que em nossa regra Necessariamente deve haver as mesmas razões. Portanto, combinamos as potências com a base, mas continua sendo um fator separado:

Outra observação importante: esta regra - apenas para produto de potências!

Sob nenhuma circunstância você pode escrever isso.

Assim como na propriedade anterior, passemos à definição de grau:

Vamos reagrupar esse trabalho assim:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma vezes, ou seja, pela definição, esta é a décima potência do número:

Em essência, isso pode ser chamado de “tirar o indicador dos colchetes”. Mas você nunca pode fazer isso no total: !

Vamos relembrar as fórmulas abreviadas de multiplicação: quantas vezes queríamos escrever? Mas isso não é verdade, afinal.

Potência com base negativa.

Até agora discutimos apenas como deveria ser índice graus. Mas qual deveria ser a base? Em poderes de natural indicador a base pode ser qualquer número .

Na verdade, podemos multiplicar quaisquer números entre si, sejam eles positivos, negativos ou pares. Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número é positivo ou negativo? A? ?

Com o primeiro tudo fica claro: não importa quantos números positivos multipliquemos, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Lembramos a regra simples da 6ª série: “menos por menos dá mais”. Isso é, ou. Mas se multiplicarmos por (), obtemos - .

E assim por diante, ad infinitum: a cada multiplicação subsequente, o sinal mudará. As seguintes regras simples podem ser formuladas:

1. até grau, - número positivo.
2. Número negativo elevado para chance grau, - número negativo.
3. Um número positivo em qualquer grau é um número positivo.
4. Zero elevado a qualquer potência é igual a zero.

Determine por si mesmo qual sinal as seguintes expressões terão:

Você conseguiu? Aqui estão as respostas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro. Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

No exemplo 5) também não é tão assustador quanto parece: afinal, não importa a que a base seja igual - o grau é par, o que significa que o resultado será sempre positivo. Bem, exceto quando a base é zero. A base não é igual, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) não é mais tão simples. Aqui você precisa descobrir o que é menos: ou? Se lembrarmos disso, fica claro que, o que significa que a base é menor que zero. Ou seja, aplicamos a regra 2: o resultado será negativo.

E novamente usamos a definição de grau:

Tudo está como sempre - anotamos a definição dos graus e os dividimos entre si, dividimos em pares e obtemos:

Antes de examinarmos a última regra, vamos resolver alguns exemplos.

Calcule as expressões:

Soluções :

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

Então agora a última regra:

Como vamos provar isso? Claro, como sempre: vamos expandir o conceito de diploma e simplificá-lo:

Bem, agora vamos abrir os colchetes. Quantas letras existem no total? vezes por multiplicadores - o que isso lembra você? Isso nada mais é do que uma definição de uma operação multiplicação: Havia apenas multiplicadores lá. Ou seja, isto, por definição, é uma potência de um número com um expoente:

Exemplo:

Grau com expoente irracional

Além de informações sobre graus para o nível médio, analisaremos o grau com expoente irracional. Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas que para um grau com um expoente racional, com exceção - afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (isto é , os números irracionais são todos números reais, exceto os números racionais).

Ao estudar graus com expoentes naturais, inteiros e racionais, cada vez criamos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares. Por exemplo, um grau com expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes; um número elevado a zero é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começaram a multiplicá-lo, o que significa que o próprio número ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certo “número em branco”, nomeadamente um número; um grau com expoente inteiro negativo - é como se tivesse ocorrido algum “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas sim dividido.

É extremamente difícil imaginar um grau com um expoente irracional (assim como é difícil imaginar um espaço quadridimensional). É antes um objeto puramente matemático que os matemáticos criaram para estender o conceito de grau a todo o espaço dos números.

Aliás, em ciências costuma-se usar um grau com expoente complexo, ou seja, o expoente nem é um número real. Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

Então, o que faremos se virmos um expoente irracional? Estamos tentando o nosso melhor para nos livrarmos disso! :)

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

Respostas:

RESUMO DA SEÇÃO E FÓRMULAS BÁSICAS

Grau chamada de expressão da forma: , onde:

Grau com um expoente inteiro

um grau cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

Potência com expoente racional

grau, cujo expoente são números negativos e fracionários.

Grau com expoente irracional

um grau cujo expoente é uma fração decimal infinita ou raiz.

Propriedades dos graus

Características dos graus.

• Número negativo elevado para até grau, - número positivo.
• Número negativo elevado para chance grau, - número negativo.
• Um número positivo em qualquer grau é um número positivo.
• Zero é igual a qualquer potência.
• Qualquer número elevado a zero é igual.

AGORA VOCÊ TEM A PALAVRA...

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Escreva nos comentários.

E boa sorte nos seus exames!

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas conseguem dominar algo sozinhas. E se você ler até o fim, você está nesses 5%!

Agora o mais importante.

Você entendeu a teoria sobre este tópico. E, repito, isso... isso é simplesmente fantástico! Você já é melhor do que a grande maioria de seus colegas.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Por passar com sucesso no Exame Estadual Unificado, por entrar na faculdade com orçamento limitado e, O MAIS IMPORTANTE, para o resto da vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isto são estatísticas.

Mas isto não é o principal.

O principal é que eles fiquem MAIS FELIZES (existem estudos desse tipo). Talvez porque muito mais oportunidades se abram diante deles e a vida se torne mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

O que é necessário para ser melhor do que os outros no Exame de Estado Unificado e, em última análise, ser... mais feliz?

GANHE SUA MÃO RESOLVENDO PROBLEMAS NESTE TÓPICO.

Não será solicitada teoria durante o exame.

Você vai precisar resolver problemas contra o tempo.

E, se você não os resolveu (MUITO!), com certeza cometerá um erro estúpido em algum lugar ou simplesmente não terá tempo.

É como nos esportes: você precisa repetir muitas vezes para vencer com certeza.

Encontre a coleção onde quiser, necessariamente com soluções, análise detalhada e decida, decida, decida!

Você pode usar nossas tarefas (opcionais) e nós, claro, as recomendamos.

Para melhorar o uso de nossas tarefas, você precisa ajudar a prolongar a vida útil do livro YouClever que está lendo atualmente.

Como? Existem duas opções:

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Sim, temos 99 desses artigos em nosso livro e o acesso a todas as tarefas e todos os textos ocultos nelas podem ser abertos imediatamente.

O acesso a todas as tarefas ocultas é fornecido durante TODA a vida do site.

Para concluir...

Se você não gosta de nossas tarefas, encontre outras. Só não pare na teoria.

“Entendido” e “Posso resolver” são habilidades completamente diferentes. Você precisa de ambos.

Encontre problemas e resolva-os!

A tabela de potências contém os valores dos números naturais positivos de 1 a 10.

A entrada 3 5 diz “três elevado à quinta potência”. Nesta notação, o número 3 é chamado de base da potência, o número 5 é o expoente e a expressão 3 5 é chamada de potência.

Para baixar a tabela de graus, clique na imagem em miniatura.

Calculadora de graus

Convidamos você a experimentar nossa calculadora de potências, que o ajudará a elevar qualquer número a uma potência online.

Usar a calculadora é muito simples - digite o número que deseja elevar à potência, depois o número - a potência e clique no botão "Calcular".

Vale ressaltar que nossa calculadora de graduação online pode aumentar potências positivas e negativas. E para extrair raízes existe outra calculadora no site.

Como elevar um número a uma potência.

Vejamos o processo de exponenciação com um exemplo. Suponha que precisemos elevar o número 5 à terceira potência. Na linguagem da matemática, 5 é a base e 3 é o expoente (ou simplesmente o grau). E isso pode ser escrito resumidamente da seguinte forma:

Exponenciação

E para encontrar o valor, precisaremos multiplicar o número 5 por ele mesmo 3 vezes, ou seja,

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Assim, se quisermos encontrar o valor do número 7 elevado à 5ª potência, devemos multiplicar o número 7 por ele mesmo 5 vezes, ou seja, 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Outra coisa é quando você precisa aumentar o número para uma potência negativa.

Como elevar a uma potência negativa.

Ao elevar a uma potência negativa, você precisa usar uma regra simples:

como elevar a uma potência negativa

Tudo é muito simples - quando elevado a uma potência negativa, devemos dividir um pela base à potência sem o sinal negativo - ou seja, à potência positiva. Então para encontrar o valor

Tabela de potências de números naturais de 1 a 25 em álgebra

Ao resolver vários exercícios matemáticos, muitas vezes é necessário elevar um número a uma potência, principalmente de 1 a 10. E para encontrar rapidamente esses valores, criamos uma tabela de potências em álgebra, que publicarei nesta página.

Primeiro, vejamos os números de 1 a 6. Os resultados aqui não são muito grandes, você pode verificar todos eles em uma calculadora comum.

• 1 e 2 elevado a 1 a 10

Tabela de graus

A tabela de potências é uma ferramenta indispensável quando você precisa elevar um número natural dentro de 10 a uma potência maior que dois. Basta abrir a tabela e encontrar o número oposto à base desejada do grau e na coluna do grau desejado - esta será a resposta ao exemplo. Além da tabela conveniente, no final da página há exemplos de como elevar números naturais a potências de até 10. Ao selecionar a coluna desejada com potências do número desejado, você pode encontrar a solução de forma fácil e simples, já que todas as potências estão organizadas em ordem crescente.

Nuance importante! As tabelas não mostram a elevação à potência zero, pois qualquer número elevado à potência zero é igual a um: a 0 =1

Tabelas de multiplicação, quadrados e potências

É hora de fazer um pouco de matemática. Você ainda se lembra de quanto custa se dois forem multiplicados por dois?

Se alguém esqueceu, serão quatro. Parece que todo mundo se lembra e conhece a tabuada, porém, descobri um grande número de solicitações ao Yandex como “tabuada” ou mesmo “baixar tabuada”(!). É para esta categoria de usuários, bem como para os mais avançados que já se interessam por quadrados e potências, que estou postando todas essas tabelas. Você pode até baixar para sua saúde! Então:

10 ao 2º grau + 11 ao 2º grau + 12 ao 2º grau + 13 ao 2º grau + 14 ao segundo grau/365

Outras perguntas da categoria

Me ajude a decidir por favor)

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soluções: 3x(elevado à 2ª potência)-48= 3(X elevado à 2ª potência)(x elevado à segunda potência)-16)=(X-4)(X+4)

5) três vírgula cinco. 6) nove vírgula duzentos e sete milésimos. 2) anote o número na forma de uma fração ordinária: 1)0,3. 2)0,516. 3)0,88. 4)0,01. 5)0,402. 5)0,038. 6)0,609. 7)0,91,8)0,5,9)0,171,10)0,815,11)0,27,12)0,081,13)0,803

Quanto é 2 elevado a menos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 potências?

Quanto é 2 elevado a menos 1?

Quanto é 2 elevado a menos 2?

Quanto é 2 elevado a menos 3?

Quanto é 2 elevado a menos 4ª potência?

Quanto é 2 elevado a menos 5?

Quanto é 2 elevado a menos 6ª potência?

Quanto é 2 elevado a menos 7ª potência?

Quanto é 2 elevado a menos 8?

Quanto é 2 elevado a menos 9ª potência?

Quanto é 2 elevado a menos 10?

A potência negativa de n ^(-a) pode ser expressa na seguinte forma 1/n^a.

2 elevado a -1 = 1/2, se representado como uma fração decimal, então 0,5.

2 elevado à potência - 2 = 1/4 ou 0,25.

2 elevado à potência -3 = 1/8 ou 0,125.

2 elevado a -4 = 1/16 ou 0,0625.

2 elevado a -5 = 1/32 ou 0,03125.

2 elevado à potência - 6 = 1/64 ou 0,015625.

2 elevado à potência - 7 = 1/128 ou 0.

2 elevado a -8 = 1/256 ou 0.

2 elevado a -9 = 1/512 ou 0.

2 elevado à potência - 10 = 1/1024 ou 0.

Cálculos semelhantes para outros números podem ser encontrados aqui: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A potência negativa de um número é, à primeira vista, um tópico difícil em álgebra.

Na verdade, tudo é muito simples - realizamos cálculos matemáticos com o número “2” utilizando uma fórmula algébrica (ver acima), onde em vez de “a” substituímos o número “2”, e em vez de “n” substituímos o poder do número. A calculadora ajudará a reduzir significativamente o tempo de cálculo.

Infelizmente, o editor de texto do site não permite o uso de símbolos matemáticos para frações e potências negativas. Vamos nos limitar às informações alfanuméricas maiúsculas.

Estas são as etapas numéricas simples que concluímos.

Uma potência negativa de um número significa que esse número é multiplicado por ele mesmo tantas vezes quantas está escrito na potência e então um é dividido pelo número resultante. Para dois:

• (-1) grau é 1/2=0,5;
• (-2) grau é 1/(2 2)=0,25;
• (-3) grau é 1/(2 2 2)=0,125;
• (-4) grau é 1/(2 2 2 2)=0,0625;
• (-5) grau é 1/(2 2 2 2 2)=0,03125;
• (-6) grau é 1/(2 2 2 2 2 2)=0,015625;
• (-7) grau é 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0,078125;
• (-8) grau é 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) grau é 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) a potência é 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

Essencialmente, simplesmente dividimos cada valor anterior por 2.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

O segundo grau significa que o valor obtido durante os cálculos é multiplicado por ele mesmo.

língua russa: 15 frases sobre o tema primavera

Início da primavera, final da primavera, folhagem de primavera, sol de primavera, dia de primavera, primavera chegou, pássaros de primavera, primavera fria, grama de primavera, brisa de primavera, chuva de primavera, roupas de primavera, botas de primavera, primavera é vermelha, viagem de primavera.

Pergunta: 5 * 4 elevado à segunda potência - (33 elevado à segunda potência: 11) elevado à 2ª potência: 81 DIGA A RESPOSTA POR AÇÃO

5*4 elevado à segunda potência -(33 elevado à segunda potência: 11) elevado à 2ª potência: 81 DIGA A RESPOSTA POR AÇÃO

Respostas:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 A segunda potência significa que o número que acabou sendo multiplicado por si mesmo durante os cálculos.

10 elevado à potência -2 é quanto.

1. 10 elevado a -2 é o mesmo que 1/10 elevado a 2, você eleva 10 ao quadrado e obtém 1/100, que é igual a 0,01.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Escuro você diz? ..heh (de “Sol Branco do Deserto”)