Vídeo aula “Isolamento da parte inteira de uma fração imprópria. Representando um número misto como uma fração imprópria

É comum escrever sem o sinal $"+"$ como $n\frac(a)(b)$.

Exemplo 1

Por exemplo, a soma $4+\frac(3)(5)$ é escrita como $4\frac(3)(5)$. Essa entrada é chamada de fração mista e o número que corresponde a ela é chamado de número misto.

Definição 1

número mistoé um número que é igual à soma de um número natural $n$ e uma fração ordinária própria $\frac(a)(b)$, escrita como $n\frac(a)(b)$. Neste caso, o número $n$ é chamado de $n\frac(a)(b)$, e o número $\frac(a)(b)$ é chamado de parte fracionária do número/

Para números mistos, as igualdades $n\frac(a)(b)=n+\frac(a)(b)$ e $n+\frac(a)(b)=n\frac(a)(b)$ são válido.

Exemplo 2

Por exemplo, o número $7\frac(4)(9)$ é um número misto, onde o número natural $7$ é sua parte inteira, $\frac(4)(9)$ é sua parte fracionária. Exemplos de números mistos: $17\frac(1)(2)$, $456\frac(111)(500)$, $23000\frac(4)(5)$.

Existem números em notação mista que contêm uma fração imprópria na parte fracionária. Por exemplo, $3\frac(54)(5)$, $56\frac(9)(2)$. O registro desses números pode ser representado como a soma de suas partes inteiras e fracionárias. Por exemplo, $3\frac(54)(5)=3+\frac(54)(5)$ e $56\frac(9)(2)=56+\frac(9)(2)$. Tais números não se enquadram na definição de número misto, porque a parte fracionária de números mistos deve ser uma fração própria.

O número $0\frac(2)(7)$ também não é um número misto, porque $0$ não é um número natural.

Convertendo um número misto em uma fração imprópria

Algoritmo para converter um número misto em uma fração imprópria:

Escreva o número misto $n\frac(a)(b)$ como a soma das partes inteiras e fracionárias desse número, ou seja, na forma $n+\frac(a)(b)$.

Substitua a parte inteira do número misto original por uma fração com denominador $1$.

Adicione as frações ordinárias $\frac(n)(1)$ e $\frac(a)(b)$ para obter a fração imprópria desejada igual ao número misto original.

Exemplo 3

Expresse o número misto $7\frac(3)(5)$ como uma fração imprópria.

Decisão.

Vamos usar o algoritmo para converter um número misto em uma fração imprópria.

Número misto $7\frac(3)(5)=7+\frac(3)(5)$.

Vamos escrever o número $7$ como $\frac(7)(1)$.

Adicione as frações ordinárias $\frac(7)(1)+\frac(3)(5)=\frac(35)(5)+\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$ .

Vamos escrever um pequeno registro desta solução:

Responda:$7\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$

Todo o algoritmo para converter um número misto $n\frac(a)(b)$ em uma fração imprópria se resume a \textit(fórmula para converter um número misto em uma fração imprópria):

Exemplo 4

Escreva o número misto $14\frac(3)(5)$ como uma fração imprópria.

Decisão.

Vamos usar a fórmula $n\frac(a)(b)=\frac(n\cdot b+a)(b)$ para converter um número misto em uma fração imprópria. Neste exemplo $n=14$, $a=3$, $b=5$.

Obtemos $14\frac(3)(5)=\frac(14\cdot 5+3)(5)=\frac(73)(5)$.

Responda:$14\frac(3)(5)=\frac(73)(5)$

Extraindo a parte inteira de uma fração imprópria

Ao receber uma solução numérica, não é costume deixar a resposta na forma de fração imprópria. Uma fração imprópria é convertida em um número natural igual a ela (se o numerador for divisível pelo denominador), ou a parte inteira é separada da fração imprópria (se o numerador não for divisível pelo denominador).

Definição 2

Extraindo a parte inteira de uma fração imprópria a substituição de uma fração por seu número misto é chamada.

Para extrair a parte inteira de uma fração imprópria, você precisa representar a fração imprópria $\frac(a)(b)$ como um número misto $q\frac(r)(b)$, onde $q$ é um número incompleto quociente, $r$-- resto quando $a$ é dividido por $b$. Assim, a parte inteira é igual ao quociente incompleto de $a$ dividido por $b$, e o resto é igual ao numerador da parte fracionária.

Vamos provar esta afirmação. Para isso, basta mostrar que $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$.

Converta o número misto $q\frac(r)(b)$ em uma fração imprópria usando a fórmula:

Porque $q$ é o quociente incompleto, $r$ é o resto da divisão de $a$ por $b$, então $a=b\cdot q+r$ é verdadeiro. Assim, $\frac(q\cdot b+r)(b)=\frac(a)(b)$, de onde $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$, que era para ser mostrado.

Assim, formulamos \textit (a regra para extrair a parte inteira de uma fração imprópria) $\frac(a)(b)$:

Divida $a$ por $b$ com um resto, enquanto determina o quociente incompleto $q$ e o resto $r$.

Escreva o número misto $q\frac(r)(b)$ igual à fração original $\frac(a)(b)$.

Exemplo 5

Extraia a parte inteira da fração $\frac(107)(4)$.

Decisão.

Vamos fazer a divisão de colunas:

Imagem 1.

Então, como resultado da divisão do numerador $a=107$ pelo denominador $b=4$, obtemos o quociente incompleto $q=26$ e o resto $r=3$.

Obtemos que a fração imprópria $\frac(107)(4)$ é igual ao número misto $q\frac(r)(b)=26\frac(3)(4)$.

Responda: $\frac((\rm 107))((\rm 4))(\rm =26)\frac((\rm 3))((\rm 4))$.

Adição de um número misto e um número natural

Regra de adição para números mistos e naturais:

Para adicionar um número misto e um natural, você precisa adicionar esse número natural à parte inteira do número misto, a parte fracionária permanece inalterada:

onde $a\frac(b)(c)$ é um número misto,

$n$ é um número natural.

Exemplo 6

Adicione o número misto $23\frac(4)(7)$ e o número $3$.

Decisão.

Responda:$23\frac(4)(7)+3=26\frac(4)(7).$

Adicionando dois números mistos

Quando dois números mistos são somados, suas partes inteiras e fracionárias são somadas.

Exemplo 7

Some os números mistos $3\frac(1)(5)$ e $7\frac(4)(7)$.

Decisão.

Vamos usar a fórmula:

\ \

Responda:$10\frac(27)(35).$

Como extrair a parte inteira de uma fração imprópria? Para selecionar uma parte inteira de uma fração imprópria, você deve: Dividir o numerador pelo denominador com o resto; O quociente incompleto será a parte inteira; O resto (se houver) dá o numerador e o divisor dá o denominador da parte fracionária. Nº 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Foto 22 da apresentação "Números Mistos 5º Ano"às aulas de matemática sobre o tema "Números mistos"

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números mistos

"Resumo de uma aula de matemática" - Siga o modelo. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (no tabuleiro) e) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, f, h (na placa). 12 kg de pepinos foram colhidos no jardim. 2/3 de todos os pepinos foram em conserva. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Mostre a fração 2/8+3/8. Formule uma regra de subtração. Aprendendo novos materiais:

"Comparação de frações decimais" - O objetivo da lição. Comparar números: conta mental. 9,85 e 6,97; 75,7 e 75.700; 0,427 e 0,809; 5.3 e 5.03; 81.21 e 81.201; 76.005 e 76.05; 3,25 e 3,502; Leia as frações: 41,1; 77,81; 21.005; 0,0203. 41,1; 77,81; 21.005; 0,0203. Equalize o número de casas decimais. Plano de aula. Lugares de frações decimais. Aula de consolidação no 5º ano.

"Regras para arredondamento de números" - 1.8. 48. Muito bem! 3. 3. Aprenda a aplicar a regra de arredondamento com exemplos. Tente comparar. Arredonde os números inteiros para dezenas. 1. Lembre-se da regra de arredondamento de números. É conveniente trabalhar com esse número? Cem milésimos. 3. Anote o resultado. 5312. >. 2. Deduza uma regra para arredondar frações decimais para um determinado dígito.

"Adição de números mistos" - 25. Exemplo 4. Encontre o valor da diferença 3 4\9-1 5\6. 3 4 \ 9 \u003d 3 818; 15\6=115\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Resumo da lição na 6ª série

tem um numerador maior que o denominador. Tais frações são chamadas de impróprias.

Lembrar!

Uma fração imprópria tem um numerador igual ou maior que o denominador. então Fração imprópria ou igual a um ou maior que um.

Qualquer fração imprópria é sempre maior que uma fração própria.

Como selecionar parte inteira

Uma fração imprópria pode ter uma parte inteira. Vamos ver como isso pode ser feito.

Para extrair a parte inteira de uma fração imprópria, você precisa:

divida o numerador pelo denominador com o resto;
o quociente incompleto resultante é escrito na parte inteira da fração;
o resto é escrito no numerador da fração;
o divisor é escrito no denominador da fração.

Exemplo. Separe a parte inteira de uma fração imprópria

Lembrar!

O número resultante acima, contendo um inteiro e uma parte fracionária, é chamado número misto.

Obtemos um número misto de uma fração imprópria, mas você também pode realizar a ação inversa, ou seja representar um número misto como uma fração imprópria.

Para representar um número misto como uma fração imprópria:

multiplique sua parte inteira pelo denominador da parte fracionária;
adicione o numerador da parte fracionária ao produto resultante;
escreva o valor recebido do parágrafo 2 no numerador da fração e deixe o denominador da parte fracionária o mesmo.

Exemplo. Vamos representar o número misto como uma fração imprópria.

§ 1º Separação de parte inteira de fração imprópria

Nesta lição, você aprenderá como converter uma fração imprópria em um número misto destacando a parte inteira e também como obter uma fração imprópria de um número misto.

Primeiro, vamos lembrar o que são um número misto e uma fração imprópria.

Um número misto é uma forma especial de um número que contém uma parte inteira e uma parte fracionária.

Uma fração imprópria é uma fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador.

Considere o problema:

Vamos dividir 8 doces entre três crianças. Quanto cada um receberá?

Para saber quantos doces cada criança vai ganhar, você precisa

Mas não é costume escrever uma fração imprópria na resposta. Ele é substituído preliminarmente por um número natural igual a ele (quando o numerador é dividido inteiramente pelo denominador), ou é realizada a chamada separação da parte inteira de uma fração imprópria (quando o numerador não é dividido pelo denominador).

Extrair a parte inteira de uma fração imprópria é substituir a fração por um número misto igual a ela.

Para extrair a parte inteira de uma fração imprópria, você precisa dividir o numerador pelo denominador com resto. Neste caso, o quociente incompleto será a parte inteira, o resto será o numerador e o divisor será o denominador.

Voltemos à tarefa.

Então, dividimos 8 por 3 com resto, obtemos 2 no quociente incompleto e 2 no resto.

§ 2º Representação de número misto como fração imprópria

Vamos fazer a seguinte tarefa:

Dividimos 49 por 13, obtemos 3 no quociente incompleto (essa será a parte inteira) e o restante 10 (escreveremos isso no numerador da parte fracionária).

Para realizar várias ações com números mistos, a habilidade de representar números mistos como frações impróprias é útil. É hora de descobrir como essa tradução é realizada.

Para representar um número misto como uma fração imprópria, você precisa multiplicar o denominador da fração pela parte inteira e adicionar o numerador ao produto resultante. Como resultado, obtemos um número que será o numerador da nova fração, e o denominador permanece inalterado.

O primeiro passo é multiplicar a parte inteira de 5 pelo denominador 7, obtemos 35.

O segundo passo é adicionar o numerador 4 ao produto resultante 35, que será 39.

Agora escrevemos 39 no numerador e deixamos 7 no denominador.

Assim, nesta lição você aprendeu como converter uma fração imprópria em um número misto, para isso você precisa dividir o numerador pelo denominador com resto. Então o quociente incompleto será a parte inteira, o resto será o numerador e o divisor será o denominador da parte fracionária do número misto.

Você também se familiarizou com a representação de um número misto como uma fração imprópria. Para representar um número misto como uma fração imprópria, você precisa multiplicar o denominador da parte fracionária do número misto pela parte inteira e adicionar o numerador ao produto resultante.

Lista de literatura usada:

Matemática 5º ano. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. e outros 31ª ed., ester. - M: 2013.
Materiais didáticos em matemática 5º ano. Autor - Popov M.A. - ano 2013
Calculamos sem erros. Trabalhar com auto-exame nas séries de matemática 5-6. Autor - Minaeva S.S. - ano 2014
Materiais didáticos em matemática 5º ano. Autores: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Controle e trabalho independente em matemática 5º ano. Autores - Popov M.A. - ano 2012
Matemática. 5º ano: livro didático. para alunos do ensino geral. instituições / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9ª ed., Sr. - M.: Mnemosine, 2009

Resumo da lição na 5ª série

"Números mistos. Separando a parte inteira de uma fração imprópria

Durante as aulas

Organizando o tempo. Saudações.

Vamos realizar uma contagem mental e bater todos os recordes

Contagem verbal.

Encontre os erros

Frações corretas.

Vamos escrever no quadro o que ainda não podemos comparar.

2. Faça a divisão:

45: 9=5 ; 0: 67=0; 234: 1=234;

567: 567=1; 34:17=2; a:a=1;

3. Faça a divisão com resto:

6 = 2 (descanso. 2)

3 = 8 (descanso. 1)

48: 9 = 5 (descanso. 3)

Siga esses passos:

Não podemos resolver o último exemplo, nós o escrevemos.

Explicação do novo material

O que é mostrado na imagem? Em quantas partes o bolo é dividido? Quantas peças você tirou? Apresentar como uma fração.

O que está nesta imagem? Pode-se ver que o bolo está em bandejas diferentes. Quantas peças estão na primeira bandeja? Segundo?

Pode ser expresso como um número como este:

1 - parte inteira, - parte fracionária.

A soma das partes inteiras e fracionárias é chamadanúmero misto .

Determine a partir da imagem qual número misto é igual a uma fração?

Ou seja, vimos a conexão entre uma fração imprópria e um número misto.

Vamos tirar conclusões: podemos transformar uma fração imprópria em um número misto, ou seja, como se diz em matemática, extrair a parte inteira de uma fração imprópria.

A regra para extrair a parte inteira de uma fração imprópria:

Divida o numerador pelo denominador com o resto

Um quociente incompleto será uma parte inteira

O resto dá o numerador e o divisor dá o denominador da parte fracionária