Vídeo aula "Círculo. Construções com uma bússola e uma régua

Um círculo é uma linha curva fechada, cada ponto do qual está localizado à mesma distância de um ponto O, chamado centro.

As linhas retas que ligam qualquer ponto do círculo ao seu centro são chamadas raios R.

Uma linha AB ligando dois pontos de um círculo e passando pelo seu centro O é chamada diâmetro D.

As partes dos círculos são chamadas arcos.

Uma linha CD que une dois pontos em um círculo é chamada acorde.

Uma linha MN que tem apenas um ponto em comum com um círculo é chamada tangente.

A parte de um círculo limitada por uma corda CD e um arco é chamada segmento.

A parte de um círculo limitada por dois raios e um arco é chamada setor.

Duas linhas horizontais e verticais mutuamente perpendiculares que se cruzam no centro de um círculo são chamadas eixos circulares.

O ângulo formado por dois raios de KOA é chamado canto central.

Dois raio mutuamente perpendicular faça um ângulo de 90 0 e limite 1/4 do círculo.

Desenhamos um círculo com eixos horizontais e verticais que o dividem em 4 partes iguais. Desenhados com compasso ou esquadro a 45 0, duas linhas perpendiculares entre si dividem o círculo em 8 partes iguais.

Divisão de um círculo em 3 e 6 partes iguais (múltiplos de 3 por três)

Para dividir o círculo em 3, 6 e um múltiplo deles, desenhamos um círculo de um determinado raio e os eixos correspondentes. A divisão pode ser iniciada a partir do ponto de intersecção do eixo horizontal ou vertical com o círculo. O raio especificado do círculo é adiado sucessivamente 6 vezes. Em seguida, os pontos obtidos no círculo são sucessivamente conectados por linhas retas e formam um hexágono regular inscrito. Conectando pontos através de um dá um triângulo equilátero, e dividindo o círculo em três partes iguais.

A construção de um pentágono regular é realizada da seguinte forma. Desenhamos dois eixos do círculo mutuamente perpendiculares iguais ao diâmetro do círculo. Divida a metade direita do diâmetro horizontal pela metade usando o arco R1. A partir do ponto "a" obtido no meio deste segmento de raio R2, traçamos um arco de círculo até cruzar com o diâmetro horizontal no ponto "b". Raio R3 a partir do ponto "1" desenhe um arco de círculo até a interseção com um determinado círculo (p. 5) e obtenha o lado de um pentágono regular. A distância "b-O" dá o lado de um decágono regular.

Dividindo um círculo em N-ésimo número de partes idênticas (construindo um polígono regular com N lados)

É realizado da seguinte forma. Desenhamos eixos horizontais e verticais mutuamente perpendiculares do círculo. Desenhe uma linha reta do ponto superior "1" do círculo em um ângulo arbitrário em relação ao eixo vertical. Nele, separamos segmentos iguais de comprimento arbitrário, cujo número é igual ao número de partes em que dividimos o círculo dado, por exemplo, 9. Conectamos o final do último segmento ao ponto inferior do diâmetro vertical . Traçamos linhas paralelas à obtida a partir das extremidades dos segmentos dispostos até a interseção com o diâmetro vertical, dividindo assim o diâmetro vertical do círculo dado em um determinado número de partes. Com um raio igual ao diâmetro do círculo, a partir do ponto inferior do eixo vertical traçamos um arco MN até cruzar com a continuação do eixo horizontal do círculo. A partir dos pontos M e N traçamos raios através de pontos de divisão pares (ou ímpares) do diâmetro vertical até cruzarem com o círculo. Os segmentos resultantes do círculo serão os desejados, porque pontos 1, 2, …. 9 divida o círculo em 9 (N) partes iguais.

Uma frase que explica o significado de uma expressão ou nome em particular é chamada definição. Já nos deparamos com definições, por exemplo, com a definição de um ângulo, ângulos adjacentes, um triângulo isósceles, etc. Vamos dar uma definição de outra figura geométrica - um círculo.

Definição

Este ponto é chamado centro do círculo, e o segmento que liga o centro a qualquer ponto do círculo é raio do círculo(Fig. 77). Da definição de círculo segue-se que todos os raios têm o mesmo comprimento.

Arroz. 77

Um segmento de linha que liga dois pontos em um círculo é chamado de corda. A corda que passa pelo centro da circunferência é chamada de diâmetro.

Na figura 78, os segmentos AB e EF são as cordas do círculo, o segmento CD é o diâmetro do círculo. Obviamente, o diâmetro de um círculo é o dobro do seu raio. O centro de um círculo é o ponto médio de qualquer diâmetro.

Arroz. 78

Quaisquer dois pontos em um círculo o dividem em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de arco de círculo. Na Figura 79, ALB e AMB são arcos delimitados pelos pontos A e B.

Arroz. 79

Para representar um círculo em um desenho, use bússola(Fig. 80).

Arroz. 80

Para desenhar um círculo no chão, você pode usar uma corda (Fig. 81).

Arroz. 81

A parte do plano limitada por um círculo é chamada de círculo (Fig. 82).

Arroz. 82

Construções com uma bússola e uma régua

Já tratamos de construções geométricas: traçamos linhas retas, separamos segmentos iguais a outros dados, desenhamos ângulos, triângulos e outras figuras. Ao mesmo tempo, usamos uma régua de escala, um compasso, um transferidor, um esquadro.

Acontece que muitas construções podem ser feitas usando apenas compasso e régua sem divisões de escala. Portanto, na geometria, distinguem-se especialmente aquelas tarefas de construção, que são resolvidas usando apenas essas duas ferramentas.

O que pode ser feito com eles? É claro que a régua permite traçar uma linha arbitrária, bem como construir uma linha passando por dois pontos dados. Usando uma bússola, você pode desenhar um círculo de raio arbitrário, bem como um círculo com centro em um determinado ponto e um raio igual a um determinado segmento. Ao realizar essas operações simples, podemos resolver muitos problemas de construção interessantes:

construir um ângulo igual a um dado;
por um ponto dado traçar uma linha perpendicular à linha dada;
dividir este segmento ao meio e outras tarefas.

Vamos começar com uma tarefa simples.

Tarefa

Em um determinado raio desde o seu início, separe um segmento igual ao dado.

Decisão

Vamos representar as figuras dadas na condição do problema: o raio OS e o segmento AB (Fig. 83, a). Então, com um compasso, construímos um círculo de raio AB com centro O (Fig. 83, b). Este círculo cruzará o raio OS em algum ponto D. O segmento OD é o necessário.

Arroz. 83

Exemplos de tarefas de construção

Construindo um ângulo igual a um dado

Tarefa

Separe do raio dado um ângulo igual ao dado.

Decisão

Este ângulo com o vértice A e o raio OM são mostrados na Figura 84. É necessário construir um ângulo igual ao ângulo A, de modo que um de seus lados coincida com o raio OM.

Arroz. 84

Vamos desenhar um círculo de raio arbitrário com o centro no vértice A do ângulo dado. Este círculo cruza os lados do canto nos pontos B e C (Fig. 85, a). Em seguida, desenhamos um círculo de mesmo raio com o centro no início do raio OM dado. Ela intercepta a viga no ponto D (Fig. 85, b). Depois disso, construímos um círculo com centro D, cujo raio é igual a BC. Círculos com centros O e D se cruzam em dois pontos. Denotemos um destes pontos pela letra E. Provemos que o ângulo MOE é o requerido.

Arroz. 85

Considere os triângulos ABC e ODE. Os segmentos AB e AC são os raios de um círculo com centro A, e os segmentos OD e OE são os raios de um círculo com centro O (ver Fig. 85, b). Como por construção esses círculos têm raios iguais, então AB = OD, AC = OE. Além disso, por construção, BC = DE.

Portanto, Δ ABC = Δ ODE em três lados. Portanto, ∠DOE = ∠BAC, ou seja, o ângulo construído MOE é igual ao ângulo A dado.

A mesma construção pode ser realizada no solo, se em vez de uma bússola usarmos uma corda.

Construindo uma bissetriz

Tarefa

Construir a bissetriz do ângulo dado.

Decisão

Este ângulo BAC é mostrado na Figura 86. Vamos desenhar um círculo de raio arbitrário com centro no vértice A. Ele cruzará os lados do ângulo nos pontos B e C.

Arroz. 86

Em seguida, desenhamos dois círculos de mesmo raio BC com centros nos pontos B e C (apenas partes desses círculos são mostradas na figura). Eles se cruzam em dois pontos, pelo menos um dos quais fica dentro do canto. Nós a denotamos pela letra E. Vamos provar que a semi-reta AE é a bissetriz do ângulo dado BAC.

Considere os triângulos ACE e ABE. Eles são iguais em três lados. De fato, AE é o lado comum; AC e AB são iguais como raios do mesmo círculo; CE = BE por construção.

Da igualdade dos triângulos ACE e ABE segue-se que ∠CAE = ∠BAE, ou seja, o raio AE é a bissetriz do ângulo dado BAC.

Comente

Um determinado ângulo pode ser dividido em dois ângulos iguais usando um compasso e uma régua? É claro que é possível - para isso você precisa desenhar uma bissetriz desse ângulo.

Este ângulo também pode ser dividido em quatro ângulos iguais. Para fazer isso, você precisa dividi-lo ao meio e, em seguida, dividir cada metade ao meio novamente.

É possível dividir um determinado ângulo em três ângulos iguais usando um compasso e uma régua? Essa tarefa, chamada problemas de trissecção angular, atraiu a atenção de matemáticos por muitos séculos. Foi apenas no século 19 que se provou que tal construção é impossível para um ângulo arbitrário.

Construção de linhas perpendiculares

Tarefa

Dada uma linha e um ponto sobre ela. Construir uma reta passando por um ponto dado e perpendicular a uma reta dada.

Decisão

A linha dada a e o ponto dado M pertencente a esta linha são mostrados na Figura 87.

Arroz. 87

Nos raios da reta a, que emana do ponto M, separamos os segmentos iguais MA e MB. Em seguida, construímos dois círculos com centros A e B de raio AB. Eles se cruzam em dois pontos: P e Q.

Tracemos uma reta passando pelo ponto M e um desses pontos, por exemplo, a reta MP (ver Fig. 87), e provemos que essa reta é a desejada, ou seja, que é perpendicular à reta dada a .

De fato, como a mediana PM de um triângulo isósceles PAB também é a altura, então PM ⊥ a.

Construção do meio do segmento

Tarefa

Construa o ponto médio deste segmento.

Decisão

Seja AB o segmento dado. Construímos dois círculos com centros A e B de raio AB. Eles se cruzam nos pontos P e Q. Desenhe uma linha PQ. O ponto O da intersecção desta linha com o segmento AB é o ponto médio desejado do segmento AB.

De fato, os triângulos APQ e BPQ são iguais em três lados, então ∠1 = ∠2 (Fig. 89).

Arroz. 89

Conseqüentemente, o segmento RO é a bissetriz do triângulo isósceles ARV e, portanto, a mediana, ou seja, o ponto O é o ponto médio do segmento AB.

Tarefas

143. Quais dos segmentos mostrados na Figura 90 são: a) cordas de um círculo; b) os diâmetros do círculo; c) os raios de um círculo?

Arroz. 90

144. Os segmentos AB e CD são diâmetros de um círculo. Prove que: a) os acordes BD e AC são iguais; b) os acordes AD e BC são iguais; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. O segmento MK é o diâmetro de um círculo com centro O, e MR e RK são cordas iguais deste círculo. Encontre ∠POM.

146. Os segmentos AB e CD são os diâmetros de um círculo de centro O. Encontre o perímetro do triângulo AOD, sabendo-se que CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Os pontos A e B estão marcados em um círculo de centro O de modo que o ângulo AOB seja reto. O segmento BC é o diâmetro do círculo. Prove que as cordas AB e AC são iguais.

148. Dois pontos A e B são dados em uma linha reta. Na continuação da viga BA, reserve o segmento BC para que BC \u003d 2AB.

149. Dada uma reta a, um ponto B que não está sobre ela e um segmento PQ. Construa um ponto M na reta a de modo que BM = PQ. O problema sempre tem solução?

150. Dado um círculo, um ponto A que não está nele e um segmento PQ. Construa um ponto M na circunferência de modo que AM = PQ. O problema sempre tem solução?

151. O ângulo agudo BAC e o raio XY são dados. Construa o ângulo YXZ de modo que ∠YXZ = 2∠BAC.

152. O ângulo obtuso AOB é dado. Construa o raio OX de modo que os ângulos XOA e XOB sejam ângulos obtusos iguais.

153. Dada uma reta a e um ponto M que não está sobre ela. Construa uma reta passando pelo ponto M e perpendicular à reta a.

Decisão

Vamos construir um círculo com centro em um dado ponto M, interceptando uma dada reta a em dois pontos, que denotamos pelas letras A e B (Fig. 91). Em seguida, construímos dois círculos com centros A e B passando pelo ponto M. Esses círculos se cruzam no ponto M e em mais um ponto, que denotamos pela letra N. Vamos traçar a linha MN e provar que essa linha é a desejada um, ou seja, é perpendicular à linha reta a.

Arroz. 91

De fato, os triângulos AMN e BMN são iguais em três lados, então ∠1 = ∠2. Segue-se que o segmento MC (C é o ponto de intersecção das linhas a e MN) é a bissetriz do triângulo isósceles AMB e, portanto, a altura. Assim, MN ⊥ AB, ou seja, MN ⊥ a.

154. O triângulo ABC é dado. Construa: a) a bissetriz AK; b) MV mediana; c) a altura CH do triângulo. 155. Com compasso e régua, construa um ângulo igual a: a) 45°; b) 22°30".

Respostas para tarefas

152. Instrução. Primeiro, construa a bissetriz do ângulo AOB.

§ 1 Círculo. Conceitos Básicos

Em matemática, existem frases que explicam o significado de um determinado nome ou expressão. Tais sentenças são chamadas de definições.

Vamos definir o conceito de círculo. Um círculo é uma figura geométrica que consiste em todos os pontos de um plano localizados a uma determinada distância de um determinado ponto.

Este ponto, vamos chamá-lo de ponto O, é chamado de centro do círculo.

O segmento que liga o centro a qualquer ponto do círculo é chamado de raio do círculo. Existem muitos desses segmentos, por exemplo, OA, OB, OS. Todos terão o mesmo comprimento.

Um segmento de linha que liga dois pontos em um círculo é chamado de corda. MN é a corda da circunferência.

A corda que passa pelo centro da circunferência é chamada de diâmetro. AB é o diâmetro do círculo. O diâmetro consiste em dois raios, o que significa que o comprimento do diâmetro é duas vezes o raio. O centro de um círculo é o ponto médio de qualquer diâmetro.

Quaisquer dois pontos no círculo dividem-no em duas partes. Essas partes são chamadas de arcos de um círculo.

ANB e AMB são arcos circulares.

A parte do plano limitada por um círculo é chamada de círculo.

Uma bússola é usada para representar um círculo em um desenho. O círculo também pode ser desenhado no chão. Para fazer isso, basta usar a corda. Prenda uma extremidade da corda a um pino cravado no chão e descreva um círculo com a outra extremidade.

§ 2 Construções com compasso e régua

Em geometria, muitas construções podem ser realizadas usando apenas um compasso e uma régua sem divisões de escala.

Usando apenas uma régua, você pode desenhar uma linha arbitrária, bem como uma linha arbitrária que passa por um determinado ponto ou uma linha que passa por dois pontos determinados.

A bússola permite desenhar um círculo de raio arbitrário, também um círculo com centro em um determinado ponto e um raio igual a um determinado segmento.

Separadamente, cada uma dessas ferramentas permite fazer as construções mais simples, mas com a ajuda dessas duas ferramentas, você já pode realizar operações mais complexas, por exemplo,

resolver problemas de construção, como

Construir um ângulo igual a um dado,

Construir um triângulo com lados dados,

Divida o segmento ao meio

Por um ponto dado, desenhe uma linha perpendicular à linha dada, e assim por diante.

Vamos considerar o problema.

Tarefa: Em um determinado raio desde seu início, separe um segmento igual ao dado.

Dado um raio OS e um segmento AB. É necessário construir um segmento OD, igual ao segmento AB.

Com a ajuda de uma bússola, construímos um círculo de raio igual ao comprimento do segmento AB, centrado no ponto O. Este círculo cruzará o raio OS dado em algum ponto D. O segmento OD é o segmento desejado.

Lista de literatura usada:

1. Geometria. 7ª a 9ª séries: livro didático. para educação geral organizações / L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev e outros - M .: Educação, 2013. - 383 p.: ll.
2. Gavrilova N.F. Desenvolvimento de pourochnye em geometria 7º ano. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Para ajudar o professor da escola).
3. Belitskaya O.V. Geometria. 7 ª série. Parte 1. Testes. - Saratov: Liceu, 2014. - 64 p.

Na fabricação ou processamento de peças de madeira, em alguns casos, é necessário determinar onde está localizado seu centro geométrico. Se a peça tiver uma forma quadrada ou retangular, isso não é difícil de fazer. Basta conectar os cantos opostos com diagonais, que ao mesmo tempo se cruzam exatamente no centro de nossa figura.
Para produtos que tenham a forma de um círculo, esta solução não funcionará, pois não possuem cantos e, portanto, diagonais. Nesse caso, alguma outra abordagem baseada em outros princípios é necessária.

E eles existem, e em muitas variações. Alguns deles são bastante complexos e requerem várias ferramentas, outros são fáceis de implementar e não requerem um conjunto completo de dispositivos para implementá-los.
Agora veremos uma das maneiras mais fáceis de encontrar o centro de um círculo com apenas uma régua e um lápis regulares.

A sequência de encontrar o centro do círculo: