Equações de ondas planas e esféricas. Equação de uma onda viajante plana Trecho caracterizando uma onda plana

Um processo oscilatório que se propaga em um meio na forma de uma onda, cuja frente é avião, chamado onda sonora plana. Na prática, uma onda plana pode ser formada por uma fonte cujas dimensões lineares são grandes em comparação com o longo comprimento de onda que ela emite, e se a zona do campo de onda estiver localizada a uma distância suficientemente grande dela. Mas este é o caso em um ambiente sem restrições. Se a fonte cercado qualquer obstáculo, então um exemplo clássico de onda plana são as oscilações excitadas por um pistão rígido e inflexível em um tubo longo (guia de ondas) com paredes rígidas, se o diâmetro do pistão for significativamente menor que o comprimento das ondas emitidas. Devido às paredes rígidas, a superfície frontal do tubo não muda à medida que a onda se propaga ao longo do guia de ondas (ver Fig. 3.3). Desprezamos as perdas de energia sonora devido à absorção e dissipação no ar.

Se o emissor (pistão) oscila de acordo com a lei harmônica com uma frequência
, e as dimensões do pistão (diâmetro do guia de ondas) são significativamente menores que o comprimento de onda do som, então a pressão criada perto de sua superfície
. Obviamente, à distância X a pressão será
, Onde
– tempo de viagem da onda do emissor até o pontox. É mais conveniente escrever esta expressão como:
, Onde
- número de onda de propagação da onda. Trabalhar
- determinada mudança de fase do processo oscilatório em um ponto distante X do emissor.

Substituindo a expressão resultante na equação de movimento (3.1), integramos esta última em relação à velocidade oscilatória:

(3.8)

Em geral, para um momento arbitrário, verifica-se que:

. (3.9)

O lado direito da expressão (3.9) é a característica, onda ou resistência acústica específica do meio (impedância). A própria equação (3.) é às vezes chamada de “lei de Ohm” acústica. Como segue da solução, a equação resultante é válida no campo de uma onda plana. Pressão e velocidade vibracional em fase, que é consequência da resistência puramente ativa do meio.

Exemplo: Pressão máxima em uma onda plana
Pai. Determinar a amplitude do deslocamento das partículas de ar por frequência?

Solução: Desde então:

Da expressão (3.10) segue-se que a amplitude das ondas sonoras é muito pequena, pelo menos em comparação com o tamanho das próprias fontes sonoras.

Além do potencial escalar, pressão e velocidade vibracional, o campo sonoro também é caracterizado por características energéticas, sendo a mais importante a intensidade - o vetor de densidade do fluxo de energia transferido pela onda por unidade de tempo. Priorado A
- é o resultado do produto da pressão sonora pela velocidade vibracional.

Na ausência de perdas no meio, uma onda plana, teoricamente, pode se propagar sem atenuação por distâncias arbitrariamente grandes, porque a preservação do formato frontal plano indica a ausência de “divergência” da onda e, portanto, a ausência de atenuação. A situação é diferente se a onda tiver frente curva. Tais ondas incluem, em primeiro lugar, ondas esféricas e cilíndricas.

3.1.3. Modelos de ondas com frente não plana

Para uma onda esférica, a superfície de fases iguais é uma esfera. A fonte de tal onda também é uma esfera, cujos pontos oscilam com as mesmas amplitudes e fases, e o centro permanece imóvel (ver Fig. 3.4, a).

Uma onda esférica é descrita por uma função que é a solução da equação da onda em um sistema de coordenadas esféricas para o potencial da onda que se propaga a partir da fonte:

. (3.11)

Trabalhando por analogia com uma onda plana, pode-se mostrar que a distâncias da fonte sonora o comprimento das ondas estudadas é significativamente maior:
. Isto significa que a “lei de Ohm” acústica também é satisfeita neste caso. Em condições práticas, as ondas esféricas são excitadas principalmente por fontes compactas de formato arbitrário, cujas dimensões são significativamente menores que o comprimento do som excitado ou das ondas ultrassônicas. Em outras palavras, uma fonte “pontual” emite ondas predominantemente esféricas. A grandes distâncias da fonte, ou, como dizem, na zona “distante”, uma onda esférica, em relação a seções de tamanho limitado da frente de onda, comporta-se como uma onda plana, ou, como dizem: “degenera em uma onda plana.” Os requisitos para uma pequena área são determinados não apenas pela frequência, mas
- a diferença nas distâncias entre os pontos comparados. Observe que esta função
tem um recurso:
no
. Isto causa certas dificuldades na solução rigorosa de problemas de difração associados à radiação e dispersão do som.

Por sua vez, ondas cilíndricas (a superfície da frente da onda é um cilindro) são emitidas por um cilindro pulsante infinitamente longo (ver Fig. 3.4).

Na zona distante, a expressão para a função potencial de tal fonte tende assintoticamente para a expressão:


. (3.12)

Pode-se mostrar que neste caso a relação também se mantém
. Ondas cilíndricas, como as esféricas, na zona distante degenerar em ondas planas.

O enfraquecimento das ondas elásticas durante a propagação está associado não apenas a uma mudança na curvatura da frente da onda (“divergência” da onda), mas também à presença de “atenuação”, ou seja, enfraquecimento do som. Formalmente, a presença de atenuação num meio pode ser descrita representando o número de onda como complexo
. Então, por exemplo, para uma onda de pressão plana pode-se obter: R(x, t) = P Máx.
=
.

Pode-se observar que a parte real do número de onda complexo descreve a onda viajante espacial, e a parte imaginária caracteriza a atenuação da onda em amplitude. Portanto, o valor  é chamado de coeficiente de atenuação (atenuação),  é um valor dimensional (Neper/m). Um “Naper” corresponde a uma mudança na amplitude da onda em “e” vezes quando a frente da onda se move por unidade de comprimento. No caso geral, a atenuação é determinada pela absorção e espalhamento no meio:  =  absorver +  diss. Estes efeitos são determinados por diferentes razões e podem ser considerados separadamente.

Em geral, a absorção está associada a perdas irreversíveis de energia sonora quando esta é convertida em calor.

O espalhamento está associado à reorientação de parte da energia da onda incidente para outras direções que não coincidem com a onda incidente.

Esta função deve ser periódica tanto em relação ao tempo quanto às coordenadas (uma onda é uma oscilação que se propaga, portanto um movimento que se repete periodicamente). Além disso, pontos localizados a uma distância l um do outro vibram da mesma maneira.

Equação de onda plana

Vamos encontrar a forma da função x no caso de uma onda plana, assumindo que as oscilações são de natureza harmônica.

Vamos direcionar os eixos coordenados de modo que o eixo x coincidiu com a direção de propagação das ondas. Então a superfície da onda será perpendicular ao eixo x. Como todos os pontos da superfície da onda oscilam igualmente, o deslocamento x dependerá apenas de X E t: . Deixe a oscilação dos pontos situados no plano ter a forma (na fase inicial)

Vamos encontrar o tipo de vibração das partículas em um plano correspondente a um valor arbitrário x. Para seguir o caminho x, leva tempo.

Por isso, vibrações de partículas em um planoxestará atrasado no tempotde vibrações de partículas no plano, ou seja

,

(5.2.3)

- Esse equação de onda plana.

Então x Há viés qualquer um dos pontos com coordenadaxem um momentot. Na derivação, assumimos que a amplitude da oscilação é. Isto acontecerá se a energia das ondas não for absorvida pelo meio.

A equação (5.2.3) terá a mesma forma se as vibrações se propagarem ao longo do eixo sim ou z.

Em geral equação de onda plana está escrito assim:

As expressões (5.2.3) e (5.2.4) são equações de ondas viajantes .

A Equação (5.2.3) descreve uma onda que se propaga na direção crescente x. Uma onda que se propaga na direção oposta tem a forma:

.

A equação de onda pode ser escrita de outra forma.

Vamos apresentar número de onda , ou em forma vetorial:

onde está o vetor da onda e é a normal à superfície da onda.

Desde então . Daqui. Então equação de onda plana será escrito assim:

.

(5.2.6)

Equação de onda esférica

Ondas dependendo de uma coordenada espacial

Animação

Descrição

Em uma onda plana, todos os pontos do meio situados em qualquer plano perpendicular à direção de propagação da onda correspondem em cada instante de tempo aos mesmos deslocamentos e velocidades das partículas do meio. Assim, todas as grandezas que caracterizam uma onda plana são funções do tempo e apenas de uma coordenada, por exemplo, x, se o eixo do Boi coincidir com a direção de propagação da onda.

A equação de onda para uma onda plana longitudinal tem a forma:

d 2 j / dx 2 = (1/c 2 ) d 2 j / dt 2 . (1)

Sua solução geral é expressa da seguinte forma:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x), (2)

onde j é o potencial ou outra grandeza que caracteriza o movimento ondulatório do meio (deslocamento, velocidade de deslocamento, etc.);

c é a velocidade de propagação das ondas;

f 1 e f 2 são funções arbitrárias, com o primeiro termo (2) descrevendo uma onda plana que se propaga na direção positiva do eixo do Boi e o segundo na direção oposta.

Superfícies ondulatórias ou localizações geométricas de pontos do meio onde, em um determinado momento, a fase da onda tem o mesmo valor, para os PVs representam um sistema de planos paralelos (Fig. 1).

Superfícies onduladas de uma onda plana

Arroz. 1

Em um meio isotrópico homogêneo, as superfícies das ondas de uma onda plana são perpendiculares à direção de propagação da onda (direção de transferência de energia), chamada de raio.

Características de tempo

Tempo de iniciação (log de -10 a 1);

Tempo de vida (log tc de -10 a 3);

Tempo de degradação (log td de -10 a 1);

Tempo de desenvolvimento ideal (log tk de -3 a 1).

Diagrama:

Implementações técnicas do efeito

Implementação técnica do efeito

A rigor, nenhuma onda real é uma onda plana, porque Uma onda plana que se propaga ao longo do eixo x deve cobrir toda a região do espaço ao longo das coordenadas y e z de -Ґ a +Ґ. Porém, em muitos casos é possível indicar uma seção da onda limitada em y, z, onde praticamente coincide com uma onda plana. Em primeiro lugar, isto é possível num meio isotrópico homogéneo a distâncias suficientemente grandes R da fonte. Assim, para uma onda plana harmônica, a fase em todos os pontos do plano perpendicular à direção de sua propagação é a mesma. Pode-se mostrar que qualquer onda harmônica pode ser considerada uma onda plana sobre uma seção de largura r.<< (2R l )1/2 .

Aplicando um efeito

Algumas tecnologias de ondas são mais eficazes na aproximação de ondas planas. Em particular, é mostrado que durante os impactos sismoacústicos (a fim de aumentar a recuperação de petróleo e gás) em formações de petróleo e gás representadas por estruturas geológicas em camadas, a interação de frentes de onda diretas e planas refletidas nos limites das camadas leva ao aparecimento de ondas estacionárias, iniciando o movimento gradual e a concentração de fluidos de hidrocarbonetos nos antinodos de uma onda estacionária (ver descrição do FE “Ondas Estacionárias”).

ONDA DE PLACA

ONDA DE PLACA

Uma onda cuja direção de propagação é a mesma em todos os pontos do espaço. O exemplo mais simples é um monocromático homogêneo. P.v. não amortecido:

você(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

onde A é a amplitude, j= wt±kz - , w=2p/T - frequência circular, T - período de oscilação, k - . Superfícies de fase constantes (frentes de fase) j=const P.v. são aviões.

Na ausência de dispersão, quando vph e ​​vgr são idênticos e constantes (vgr = vph = v), existem movimentos lineares estacionários (ou seja, movendo-se como um todo), que permitem uma representação geral da forma:

você(z, t)=f(z±vt), (2)

onde f é uma função arbitrária. Em meios não lineares com dispersão, PVs estacionários também são possíveis. tipo (2), mas sua forma não é mais arbitrária, mas depende tanto dos parâmetros do sistema quanto da natureza do movimento. Em meios absorventes (dissipativos) P. v. diminua sua amplitude à medida que se espalham; com amortecimento linear, isso pode ser levado em consideração substituindo k em (1) pelo número de onda complexo kd ± ikм, onde km é o coeficiente. atenuação de P. v.

Um PV homogêneo que ocupa todo o infinito é uma idealização, mas qualquer onda concentrada em uma região finita (por exemplo, direcionada por linhas de transmissão ou guias de onda) pode ser representada como uma superposição de PV. com um espaço ou outro. espectro k. Neste caso, a onda ainda pode ter uma frente de fase plana, mas amplitude não uniforme. Tal P. v. chamado ondas planas não homogêneas. Algumas áreas são esféricas. e cilíndrico ondas que são pequenas em comparação com o raio de curvatura da frente de fase se comportam aproximadamente como uma onda de fase.

Dicionário enciclopédico físico. - M.: Enciclopédia Soviética. . 1983 .

ONDA DE PLACA

- aceno, a direção de propagação é a mesma em todos os pontos do espaço.

Onde A - amplitude, - fase, - frequência circular, T - período de oscilação k- número de onda. = const P.v. são aviões.
Na ausência de dispersão, quando a velocidade da fase v f e grupo v gr são idênticos e constantes ( v gr = v f = v) existem P estacionários (isto é, em movimento como um todo). c., que pode ser representado de forma geral

Onde f- função arbitrária. Em meios não lineares com dispersão, PVs estacionários também são possíveis. tipo (2), mas sua forma não é mais arbitrária, mas depende tanto dos parâmetros do sistema quanto da natureza do movimento das ondas. Em meios absorventes (dissipativos), P. k no número de onda complexo k d sim m, onde k m - coeficiente atenuação de P. v. Um campo de onda homogêneo que ocupa todo o infinito é uma idealização, mas qualquer campo de onda concentrado em uma região finita (por exemplo, direcionado linhas de transmissão ou guias de onda), pode ser representado como uma superposição P. V. com um ou outro espectro espacial k. Neste caso, a onda pode ainda ter uma frente de fase plana, com distribuição de amplitude não uniforme. Tal P. v. chamado ondas planas não homogêneas. Departamento áreasesféricas ou cilíndrico ondas que são pequenas em comparação com o raio de curvatura da frente de fase se comportam aproximadamente como PTs.

Aceso. veja no art. Ondas.

MA Miller, LA Ostrovsky.

Enciclopédia física. Em 5 volumes. - M.: Enciclopédia Soviética. Editor-chefe A. M. Prokhorov. 1988 .

: tal onda não existe na natureza, uma vez que a frente de uma onda plana começa em $-\backslash matemática(1)$ e termina em $+\backslash matemática(1)$, o que obviamente não pode ser. Além disso, uma onda plana carregaria energia infinita e seria necessária energia infinita para criar uma onda plana. Uma onda com frente complexa (real) pode ser representada como um espectro de ondas planas usando a transformada de Fourier em variáveis ​​espaciais.

Onda quase plana- uma onda cuja frente é quase plana numa área limitada. Se as dimensões da região forem grandes o suficiente para o problema em consideração, então a onda quase plana pode ser considerada aproximadamente plana. Uma onda com uma frente complexa pode ser aproximada por um conjunto de ondas quase planas locais, cujos vetores de velocidade de fase são normais à frente real em cada um de seus pontos. Exemplos de fontes de ondas eletromagnéticas quase planas são antenas de laser, espelho e lente: a distribuição da fase do campo eletromagnético em um plano paralelo à abertura (orifício emissor) é quase uniforme. À medida que se afasta da abertura, a frente de onda assume uma forma complexa.

Definição

A equação de qualquer onda é uma solução para uma equação diferencial chamada aceno. Equação de onda para a função $A$ escrito na forma

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Onde

• $\backslash Delta$- Operador Laplace;
• $UMA(\backslash vec(r),t)$- a função necessária;
• $R$- vetor raio do ponto desejado;
• $v$- velocidade das ondas;
• $t$- tempo.

Caso unidimensional

A energia total é

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

A densidade de energia é, portanto, igual a

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash certo)\; .$

Polarização

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Literatura

• Savelyev I.V.[Parte 2. Ondas. Ondas elásticas.] // Curso de física geral / Editado por Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Mirtov D.A.. - 3ª ed. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - P. 274-315. - 496 p. - 220.000 exemplares.

Notas

Veja também

Um trecho caracterizando uma onda plana

Na praça por onde o soberano foi, um batalhão de soldados Preobrazhensky ficou frente a frente à direita e um batalhão da Guarda Francesa com chapéus de pele de urso à esquerda.
Enquanto o soberano se aproximava de um flanco dos batalhões que estavam de guarda, outra multidão de cavaleiros saltou para o flanco oposto e à frente deles Rostov reconheceu Napoleão. Não poderia ser outra pessoa. Ele cavalgou a galope com um pequeno chapéu, com uma fita de Santo André no ombro, em um uniforme azul aberto sobre uma camisola branca, em um cavalo cinza árabe incomumente puro-sangue, em uma sela bordada em ouro carmesim. Tendo se aproximado de Alexandre, ele ergueu o chapéu e, com esse movimento, os olhos da cavalaria de Rostov não puderam deixar de notar que Napoleão estava mal sentado e não firmemente montado em seu cavalo. Os batalhões gritaram: Viva e Vive l "Empereur! [Viva o Imperador!] Napoleão disse algo a Alexandre. Os dois imperadores desceram dos cavalos e deram-se as mãos. Havia um sorriso desagradável e fingido no rosto de Napoleão. Alexandre disse algo para ele com uma expressão afetuosa.
Rostov, sem tirar os olhos, apesar do pisoteio dos cavalos dos gendarmes franceses que sitiavam a multidão, acompanhava cada movimento do imperador Alexandre e Bonaparte. Ele ficou surpreso com o fato de Alexandre se comportar como igual a Bonaparte, e de Bonaparte ser completamente livre, como se essa proximidade com o soberano fosse natural e familiar para ele, como igual, ele tratava o czar russo.
Alexandre e Napoleão com uma longa cauda de sua comitiva aproximaram-se do flanco direito do batalhão Preobrazhensky, diretamente em direção à multidão que ali estava. A multidão de repente ficou tão perto dos imperadores que Rostov, que estava nas primeiras filas, ficou com medo de que eles o reconhecessem.
“Senhor, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Senhor, peço sua permissão para dar a Ordem da Legião de Honra ao mais bravo de seus soldados], disse um severo, voz precisa, terminando cada carta Este era o baixinho Bonaparte falando, olhando diretamente nos olhos de Alexandre de baixo, ouvindo atentamente o que lhe diziam, e baixando a cabeça, ele sorriu agradavelmente.
“A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Aquele que se mostrou mais corajoso durante a guerra]”, acrescentou Napoleão, enfatizando cada sílaba, com uma calma e confiança ultrajantes para Rostov, olhando ao redor das fileiras de russos estendidos à sua frente estão soldados, mantendo tudo em guarda e olhando imóveis para o rosto de seu imperador.
“Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du coronel? [Vossa Majestade me permitirá pedir a opinião do coronel?] - disse Alexandre e deu vários passos apressados ​​em direção ao príncipe Kozlovsky, o comandante do batalhão. Enquanto isso, Bonaparte começou a tomar tirando a luva branca, mão pequena e rasgando-a, o ajudante jogou-a, correndo apressadamente por trás, e pegou-a.
- Para quem devo dar? – o imperador Alexandre perguntou a Kozlovsky não em voz alta, em russo.
- A quem você ordena, Majestade? “O Imperador estremeceu de desgosto e, olhando em volta, disse:
- Mas você tem que responder a ele.
Kozlovsky olhou para as fileiras com um olhar decisivo e com esse olhar capturou também Rostov.
“Não sou eu?” pensou Rostov.
- Lazarev! – comandou o coronel franzindo a testa; e o soldado de primeira linha, Lazarev, deu um passo à frente com inteligência.
-Onde você está indo? Pare aqui! - vozes sussurraram para Lazarev, que não sabia para onde ir. Lazarev parou, olhou de soslaio para o coronel com medo e seu rosto tremeu, como acontece com os soldados chamados para o front.
Napoleão virou ligeiramente a cabeça para trás e puxou a mão pequena e gordinha, como se quisesse pegar alguma coisa. Os rostos de sua comitiva, tendo adivinhado naquele exato momento o que estava acontecendo, começaram a se agitar, a sussurrar, passando algo uns para os outros, e o pajem, o mesmo que Rostov viu ontem na casa de Boris, correu e curvou-se respeitosamente estendeu a mão e não a fez esperar nem um segundo, ele colocou um pedido nela com uma fita vermelha. Napoleão, sem olhar, cerrou dois dedos. A Ordem se encontrou entre eles. Napoleão se aproximou de Lazarev, que, revirando os olhos, continuou teimosamente a olhar apenas para seu soberano, e olhou de volta para o imperador Alexandre, mostrando assim que o que estava fazendo agora, estava fazendo por seu aliado. Uma pequena mão branca com uma ordem tocou o botão do soldado Lazarev. Era como se Napoleão soubesse que para que este soldado fosse feliz, recompensado e distinguido de todos os outros no mundo para sempre, bastava que ele, a mão de Napoleão, fosse digno de tocar no peito do soldado. Napoleão simplesmente colocou a cruz no peito de Lazarev e, soltando sua mão, virou-se para Alexandre, como se soubesse que a cruz deveria grudar no peito de Lazarev. A cruz realmente ficou presa.