Teorema sobre raízes racionais de um polinômio. Números racionais, definição, exemplos

Etc. tem caráter educacional geral e é de grande importância para o estudo de TODO o curso de matemática superior. Hoje vamos repetir as equações “escolares”, mas não apenas as “escolares” - mas aquelas que são encontradas em todos os lugares em vários problemas de vyshmat. Como de costume, a história será contada de forma aplicada, ou seja, Não vou me concentrar em definições e classificações, mas compartilharei com vocês minha experiência pessoal em resolvê-lo. As informações são destinadas principalmente a iniciantes, mas os leitores mais avançados também encontrarão muitos pontos interessantes para si. E, claro, haverá material novo que vai além do ensino médio.

Então a equação…. Muitos se lembram dessa palavra com um estremecimento. Quanto valem as equações “sofisticadas” com raízes... ...esqueça-as! Porque então você conhecerá os “representantes” mais inofensivos desta espécie. Ou equações trigonométricas enfadonhas com dezenas de métodos de solução. Para ser honesto, eu realmente não gostei deles... Não entrar em pânico! – então, principalmente “dentes-de-leão” esperam por você com uma solução óbvia em 1-2 etapas. Embora a “bardana” certamente grude, você precisa ser objetivo aqui.

Curiosamente, na matemática superior é muito mais comum lidar com equações muito primitivas como linear equações

O que significa resolver esta equação? Isso significa encontrar TAL valor de “x” (raiz) que o transforma em uma verdadeira igualdade. Vamos jogar o “três” para a direita com mudança de sinal:

e solte os “dois” para o lado direito (ou, a mesma coisa - multiplique ambos os lados por) :

Para verificar, vamos substituir o troféu ganho na equação original:

A igualdade correta é obtida, o que significa que o valor encontrado é de fato a raiz desta equação. Ou, como também dizem, satisfaz esta equação.

Observe que a raiz também pode ser escrita como uma fração decimal:
E tente não se apegar a esse estilo ruim! Repeti o motivo mais de uma vez, em particular, logo na primeira aula sobre álgebra superior.

Aliás, a equação também pode ser resolvida “em árabe”:

E o mais interessante é que essa gravação é totalmente legal! Mas se você não é professor então é melhor não fazer isso, porque aqui a originalidade é punível =)

E agora um pouco sobre

método de solução gráfica

A equação tem a forma e sua raiz é Coordenada "X" pontos de intersecção gráfico de função linear com o gráfico de uma função linear (eixo x):

Parece que o exemplo é tão elementar que não há mais nada para analisar aqui, mas mais uma nuance inesperada pode ser “espremida” dele: vamos apresentar a mesma equação na forma e construir gráficos de funções:

Em que, por favor não confunda os dois conceitos: uma equação é uma equação, e função– esta é uma função! Funções só ajuda encontre as raízes da equação. Dos quais pode haver dois, três, quatro ou até um número infinito. O exemplo mais próximo neste sentido é o conhecido Equação quadrática, cujo algoritmo de solução recebeu um parágrafo separado fórmulas escolares "quentes". E isso não é coincidência! Se você pode resolver uma equação quadrática e sabe teorema de Pitágoras, então, pode-se dizer, “metade da matemática superior já está no seu bolso” =) Exagerado, claro, mas não tão longe da verdade!

Portanto, não vamos ser preguiçosos e resolver alguma equação quadrática usando algoritmo padrão:

, o que significa que a equação tem dois diferentes válido raiz:

É fácil verificar que ambos os valores encontrados realmente satisfazem esta equação:

O que fazer se de repente você esquecer o algoritmo de solução e não houver meios/mãos de ajuda disponíveis? Esta situação pode surgir, por exemplo, durante uma prova ou exame. Usamos o método gráfico! E há duas maneiras: você pode construir ponto por ponto parábola , descobrindo assim onde ele cruza o eixo (se cruzar). Mas é melhor fazer algo mais astuto: imagine a equação na forma, desenhe gráficos de funções mais simples - e Coordenadas "X" seus pontos de intersecção são claramente visíveis!


Se acontecer que a linha reta toca a parábola, então a equação tem duas raízes correspondentes (múltiplas). Se acontecer que a linha reta não cruza a parábola, então não há raízes reais.

Para fazer isso, é claro, você precisa ser capaz de construir gráficos de funções elementares, mas por outro lado, até mesmo um aluno pode realizar essas habilidades.

E novamente - uma equação é uma equação, e funções são funções que só ajudou resolva a equação!

E aqui, aliás, convém lembrar mais uma coisa: se todos os coeficientes de uma equação forem multiplicados por um número diferente de zero, então suas raízes não mudarão.

Então, por exemplo, a equação tem as mesmas raízes. Como simples “prova”, tirarei a constante dos colchetes:
e eu vou removê-lo sem dor (Vou dividir as duas partes por “menos dois”):

MAS! Se considerarmos a função, então aqui não podemos nos livrar da constante! Só é permitido retirar o multiplicador dos colchetes: .

Muitas pessoas subestimam o método de solução gráfica, considerando-o algo “indigno”, e alguns até esquecem completamente dessa possibilidade. E isso é fundamentalmente errado, já que traçar gráficos às vezes apenas salva a situação!

Outro exemplo: suponha que você não se lembre das raízes da equação trigonométrica mais simples: . A fórmula geral está nos livros escolares, em todos os livros de referência sobre matemática elementar, mas eles não estão disponíveis para você. No entanto, resolver a equação é fundamental (também conhecido como “dois”). Existe uma saída! – construir gráficos de funções:


depois disso, anotamos calmamente as coordenadas “X” de seus pontos de intersecção:

Existem infinitas raízes, e em álgebra sua notação condensada é aceita:
, Onde ( – conjunto de inteiros) .

E, sem “desaparecer”, algumas palavras sobre o método gráfico de resolução de desigualdades com uma variável. O princípio é o mesmo. Assim, por exemplo, a solução para a desigualdade é qualquer “x”, porque A sinusóide fica quase completamente abaixo da linha reta. A solução para a desigualdade é o conjunto de intervalos em que as partes da senóide ficam estritamente acima da linha reta (eixo x):

ou, resumidamente:

Mas aqui estão as muitas soluções para a desigualdade: vazio, uma vez que nenhum ponto da senóide está acima da linha reta.

Existe alguma coisa que você não entende? Estude urgentemente as lições sobre conjuntos E gráficos de funções!

Vamos aquecer:

Exercício 1

Resolva graficamente as seguintes equações trigonométricas:

Respostas no final da lição

Como você pode ver, para estudar ciências exatas não é necessário abarrotar fórmulas e livros de referência! Além disso, esta é uma abordagem fundamentalmente falha.

Como já garanti a você no início da lição, equações trigonométricas complexas em um curso padrão de matemática superior raramente precisam ser resolvidas. Toda complexidade, via de regra, termina com equações como , cuja solução são dois grupos de raízes provenientes das equações mais simples e . Não se preocupe muito em resolver este último – procure em um livro ou encontre na Internet =)

O método de solução gráfica também pode ajudar em casos menos triviais. Considere, por exemplo, a seguinte equação “desorganizada”:

As perspectivas para sua solução parecem... não se parecem com nada, mas basta imaginar a equação na forma, construir gráficos de funções e tudo acabará sendo incrivelmente simples. Há um desenho no meio do artigo sobre funções infinitesimais (abrirá na próxima aba).

Usando o mesmo método gráfico, você pode descobrir que a equação já tem duas raízes, sendo uma delas igual a zero, e a outra, aparentemente, irracional e pertence ao segmento . Esta raiz pode ser calculada aproximadamente, por exemplo, método tangente. Aliás, em alguns problemas acontece que você não precisa encontrar as raízes, mas descobrir eles existem?. E aqui também um desenho pode ajudar - se os gráficos não se cruzam, então não há raízes.

Raízes racionais de polinômios com coeficientes inteiros.
Esquema de Horner

E agora convido você a voltar seu olhar para a Idade Média e sentir a atmosfera única da álgebra clássica. Para uma melhor compreensão do material, recomendo que você leia pelo menos um pouco números complexos.

Eles são os melhores. Polinômios.

O objeto de nosso interesse serão os polinômios mais comuns da forma com todo coeficientes Um número natural é chamado grau de polinômio, número – coeficiente do mais alto grau (ou apenas o coeficiente mais alto), e o coeficiente é Membro grátis.

Denotarei brevemente esse polinômio por.

Raízes de um polinômio chame as raízes da equação

Eu amo lógica de ferro =)

Para exemplos, vá para o início do artigo:

Não há problemas em encontrar as raízes dos polinômios de 1º e 2º graus, mas à medida que você aumenta essa tarefa fica cada vez mais difícil. Embora por outro lado tudo seja mais interessante! E é exatamente a isso que será dedicada a segunda parte da lição.

Primeiro, literalmente metade da tela da teoria:

1) De acordo com o corolário teorema fundamental da álgebra, o polinômio de grau tem exatamente complexo raízes. Algumas raízes (ou mesmo todas) podem ser particularmente válido. Além disso, entre as raízes reais pode haver raízes idênticas (múltiplas) (mínimo dois, máximo peças).

Se algum número complexo é a raiz de um polinômio, então conjugado seu número também é necessariamente a raiz deste polinômio (raízes complexas conjugadas têm a forma ).

O exemplo mais simples é uma equação quadrática, que foi encontrada pela primeira vez em 8 (como) aula, e que finalmente “terminamos” no tópico números complexos. Deixe-me lembrá-lo: uma equação quadrática tem duas raízes reais diferentes, ou raízes múltiplas, ou raízes complexas conjugadas.

2) De Teorema de Bezout segue-se que se um número é a raiz de uma equação, então o polinômio correspondente pode ser fatorado:
, onde é um polinômio de grau .

E novamente, nosso antigo exemplo: já que é a raiz da equação, então . Depois disso não é difícil obter a conhecida expansão “escola”.

O corolário do teorema de Bezout tem grande valor prático: se conhecermos a raiz de uma equação de 3º grau, então podemos representá-la na forma e a partir da equação quadrática é fácil descobrir as raízes restantes. Se conhecermos a raiz de uma equação do 4º grau, então é possível expandir o lado esquerdo em um produto, etc.

E há duas perguntas aqui:

Pergunta um. Como encontrar essa mesma raiz? Em primeiro lugar, vamos definir a sua natureza: em muitos problemas de matemática superior é necessário encontrar racional, em particular todo raízes de polinômios e, nesse sentido, estaremos principalmente interessados ​​neles.... ...eles são tão bons, tão fofinhos, que você só quer encontrá-los! =)

A primeira coisa que vem à mente é o método de seleção. Considere, por exemplo, a equação. O problema aqui está no termo livre - se fosse igual a zero, então tudo ficaria bem - tiramos o “x” dos colchetes e as próprias raízes “caem” para a superfície:

Mas nosso termo livre é “três” e, portanto, começamos a substituir vários números na equação que afirmam ser “raiz”. Em primeiro lugar, a substituição de valores únicos se sugere. Vamos substituir:

Recebido incorreta igualdade, portanto, a unidade “não cabia”. Bem, ok, vamos substituir:

Recebido verdadeiro igualdade! Ou seja, o valor é a raiz desta equação.

Para encontrar as raízes de um polinômio de 3º grau, existe um método analítico (as chamadas fórmulas de Cardano), mas agora estamos interessados ​​em uma tarefa um pouco diferente.

Como - é a raiz do nosso polinômio, o polinômio pode ser representado na forma e surge Segunda questão: como encontrar um “irmão mais novo”?

As considerações algébricas mais simples sugerem que para fazer isso precisamos dividir por. Como dividir um polinômio por um polinômio? O mesmo método escolar que divide números comuns - “coluna”! Discuti esse método em detalhes nos primeiros exemplos da lição. Limites Complexos, e agora veremos outro método, que é chamado Esquema de Horner.

Primeiro escrevemos o polinômio “mais alto” com todos , incluindo coeficientes zero:
, após o qual inserimos esses coeficientes (estritamente em ordem) na linha superior da tabela:

Escrevemos a raiz à esquerda:

Farei imediatamente uma reserva de que o esquema de Horner também funciona se o número “vermelho” Nãoé a raiz do polinômio. No entanto, não vamos apressar as coisas.

Removemos o coeficiente líder de cima:

O processo de preenchimento das células inferiores lembra um pouco o bordado, onde “menos um” é uma espécie de “agulha” que permeia as etapas subsequentes. Multiplicamos o número “transportado” por (–1) e adicionamos o número da célula superior ao produto:

Multiplicamos o valor encontrado pela “agulha vermelha” e adicionamos o seguinte coeficiente da equação ao produto:

E por fim, o valor resultante é novamente “processado” com a “agulha” e o coeficiente superior:

O zero na última célula nos diz que o polinômio está dividido em sem deixar vestígios (como deveria ser), enquanto os coeficientes de expansão são “removidos” diretamente da linha inferior da tabela:

Assim, passamos da equação para uma equação equivalente e tudo fica claro com as duas raízes restantes (neste caso obtemos raízes complexas conjugadas).

A equação, aliás, também pode ser resolvida graficamente: plote "raio" e veja que o gráfico cruza o eixo x () no ponto . Ou o mesmo truque “astuto” - reescrevemos a equação na forma , desenhamos gráficos elementares e detectamos a coordenada “X” do seu ponto de intersecção.

A propósito, o gráfico de qualquer função polinomial de 3º grau cruza o eixo pelo menos uma vez, o que significa que a equação correspondente tem pelo menos um válido raiz. Este fato é verdadeiro para qualquer função polinomial de grau ímpar.

E aqui eu também gostaria de me deter ponto importante que diz respeito à terminologia: polinomial E função polinomial – não é a mesma coisa! Mas na prática fala-se frequentemente, por exemplo, do “gráfico de um polinómio”, o que, claro, é negligência.

Contudo, voltemos ao esquema de Horner. Como mencionei recentemente, este esquema funciona para outros números, mas se o número Nãoé a raiz da equação, então uma adição diferente de zero (resto) aparece em nossa fórmula:

Vamos “executar” o valor “malsucedido” de acordo com o esquema de Horner. Neste caso, é conveniente usar a mesma tabela - escreva uma nova “agulha” à esquerda, mova o coeficiente líder de cima (seta verde esquerda), e vamos lá:

Para verificar, vamos abrir os colchetes e apresentar termos semelhantes:
, OK.

É fácil ver que o resto (“seis”) é exatamente o valor do polinômio em. E de fato - como é:
, e ainda melhor - assim:

A partir dos cálculos acima é fácil entender que o esquema de Horner permite não apenas fatorar o polinômio, mas também realizar uma seleção “civilizada” da raiz. Sugiro que você consolide o algoritmo de cálculo com uma pequena tarefa:

Tarefa 2

Usando o esquema de Horner, encontre a raiz inteira da equação e fatore o polinômio correspondente

Em outras palavras, aqui você precisa verificar sequencialmente os números 1, –1, 2, –2, ... – até que um resto zero seja “desenhado” na última coluna. Isso significará que a “agulha” desta linha é a raiz do polinômio

É conveniente organizar os cálculos em uma única tabela. Solução detalhada e resposta no final da lição.

O método de seleção de raízes é bom para casos relativamente simples, mas se os coeficientes e/ou grau do polinômio forem grandes, o processo poderá demorar muito. Ou talvez existam alguns valores da mesma lista 1, –1, 2, –2 e não faça sentido considerar? E, além disso, as raízes podem acabar sendo fracionárias, o que levará a uma cutucada completamente anticientífica.

Felizmente, existem dois teoremas poderosos que podem reduzir significativamente a busca por valores “candidatos” para raízes racionais:

Teorema 1 Vamos considerar irredutível fração, onde. Se o número for a raiz da equação, o termo livre será dividido por e o coeficiente principal será dividido por.

Em particular, se o coeficiente principal for , então esta raiz racional é um número inteiro:

E começamos a explorar o teorema apenas com este detalhe saboroso:

Voltemos à equação. Como seu coeficiente principal é , então as raízes racionais hipotéticas podem ser exclusivamente inteiras, e o termo livre deve necessariamente ser dividido nessas raízes sem deixar resto. E “três” só pode ser dividido em 1, –1, 3 e –3. Ou seja, temos apenas 4 “candidatos raiz”. E, de acordo com Teorema 1, outros números racionais não podem ser raízes desta equação EM PRINCÍPIO.

Existem um pouco mais de “concorrentes” na equação: o termo livre é dividido em 1, –1, 2, – 2, 4 e –4.

Observe que os números 1, –1 são “regulares” da lista de possíveis raízes (uma consequência óbvia do teorema) e a melhor escolha para testes prioritários.

Vamos passar para exemplos mais significativos:

Problema 3

Solução: como o coeficiente principal é , então as raízes racionais hipotéticas só podem ser inteiras e devem necessariamente ser divisores do termo livre. “Menos quarenta” é dividido nos seguintes pares de números:
– um total de 16 “candidatos”.

E aqui surge imediatamente um pensamento tentador: é possível eliminar todas as raízes negativas ou todas as raízes positivas? Em alguns casos é possível! Vou formular dois sinais:

1) Se Todos Se os coeficientes do polinômio forem não negativos ou todos não positivos, então ele não pode ter raízes positivas. Infelizmente, este não é o nosso caso (agora, se nos fosse dada uma equação - então sim, ao substituir qualquer valor do polinômio, o valor do polinômio é estritamente positivo, o que significa que todos os números positivos (e irracionais também) não podem ser raízes da equação.

2) Se os coeficientes para potências ímpares não forem negativos, e para todas as potências pares (incluindo membro gratuito) são negativos, então o polinômio não pode ter raízes negativas. Ou “espelho”: os coeficientes para potências ímpares são não positivos e para todas as potências pares são positivos.

Este é o nosso caso! Olhando um pouco mais de perto, você pode ver que ao substituir qualquer “X” negativo na equação, o lado esquerdo será estritamente negativo, o que significa que as raízes negativas desaparecem.

Assim, restam 8 números para pesquisa:

Nós os “cobramos” sequencialmente de acordo com o esquema de Horner. Espero que você já tenha dominado os cálculos mentais:

A sorte nos esperava na hora de testar os “dois”. Assim, é a raiz da equação em consideração, e

Resta estudar a equação . Isso é fácil de fazer por meio do discriminante, mas farei um teste indicativo usando o mesmo esquema. Primeiramente, observemos que o termo livre é igual a 20, o que significa Teorema 1 os números 8 e 40 saem da lista de raízes possíveis, deixando os valores para pesquisa (um foi eliminado de acordo com o esquema de Horner).

Escrevemos os coeficientes do trinômio na linha superior da nova tabela e Começamos a verificar com os mesmos “dois”. Por que? E como as raízes podem ser múltiplas, por favor: - esta equação tem 10 raízes idênticas. Mas não vamos nos distrair:

E aqui, claro, eu estava mentindo um pouco, sabendo que as raízes são racionais. Afinal, se eles fossem irracionais ou complexos, eu enfrentaria uma verificação malsucedida de todos os números restantes. Portanto, na prática, guie-se pelo discriminante.

Responder: raízes racionais: 2, 4, 5

No problema que analisamos tivemos sorte, pois: a) os valores negativos caíram imediatamente e b) encontramos a raiz muito rapidamente (e teoricamente poderíamos verificar a lista inteira).

Mas na realidade a situação é muito pior. Convido você a assistir a um jogo emocionante chamado “O Último Herói”:

Problema 4

Encontre as raízes racionais da equação

Solução: Por Teorema 1 os numeradores de raízes racionais hipotéticas devem satisfazer a condição (lemos “doze é dividido por el”), e os denominadores correspondem à condição . Com base nisso, obtemos duas listas:

"listar el":
e "lista um": (felizmente, os números aqui são naturais).

Agora vamos fazer uma lista de todas as raízes possíveis. Primeiro, dividimos a “lista el” por. É absolutamente claro que os mesmos números serão obtidos. Por conveniência, vamos colocá-los em uma tabela:

Muitas frações foram reduzidas, resultando em valores que já estão na “lista de heróis”. Adicionamos apenas “novatos”:

Da mesma forma, dividimos a mesma “lista” por:

e finalmente em

Assim, a equipe de participantes do nosso jogo está completa:


Infelizmente, o polinômio neste problema não satisfaz o critério “positivo” ou “negativo” e, portanto, não podemos descartar a linha superior ou inferior. Você terá que trabalhar com todos os números.

Como você está se sentindo? Vamos lá, levante a cabeça – há outro teorema que pode figurativamente ser chamado de “teorema do assassino”…. ...“candidatos”, claro =)

Mas primeiro você precisa percorrer o diagrama de Horner para pelo menos um o todo números. Tradicionalmente, vamos pegar um. Na linha superior escrevemos os coeficientes do polinômio e tudo fica normalmente:

Como quatro claramente não é zero, o valor não é a raiz do polinômio em questão. Mas ela vai nos ajudar muito.

Teorema 2 Se para alguns em geral o valor do polinômio é diferente de zero: , então suas raízes racionais (Se eles são) satisfazer a condição

No nosso caso e portanto todas as raízes possíveis devem satisfazer a condição (vamos chamá-la de Condição nº 1). Estes quatro serão os “assassinos” de muitos “candidatos”. Como demonstração, examinarei algumas verificações:

Vamos verificar o “candidato”. Para fazer isso, vamos representá-lo artificialmente na forma de uma fração, da qual se vê claramente que . Vamos calcular a diferença do teste: . Quatro é dividido por “menos dois”: , o que significa que a possível raiz passou no teste.

Vamos verificar o valor. Aqui a diferença do teste é: . Claro, e portanto o segundo “assunto” também permanece na lista.

Este polinômio possui coeficientes inteiros. Se um número inteiro é a raiz deste polinômio, então ele é um divisor do número 16. Assim, se um determinado polinômio tem raízes inteiras, então estes só podem ser os números ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Por verificação direta, estamos convencidos de que o número 2 é a raiz deste polinômio, ou seja, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), onde Q (x) é um polinômio de o segundo grau. Consequentemente, o polinômio é decomposto em fatores, um dos quais é (x – 2). Para encontrar o tipo de polinômio Q(x) usamos o chamado esquema de Horner. A principal vantagem deste método é a notação compacta e a capacidade de dividir rapidamente um polinômio em um binômio. Na verdade, o esquema de Horner é outra forma de registrar o método de agrupamento, embora, ao contrário deste último, seja completamente não visual. A resposta (fatoração) é obtida aqui por si só, e não vemos o processo de obtenção dela. Não nos empenharemos numa fundamentação rigorosa do esquema de Horner, mas apenas mostraremos como ele funciona.

O número da célula acima é “movido” para a segunda célula da linha inferior, ou seja, 1. Então eles fazem isso. A raiz da equação (número 2) é multiplicada pelo último número escrito (1) e o resultado é somado com o número que está na linha superior acima da próxima célula livre, no nosso exemplo temos:

Número irracional- Esse número real, que não é racional, ou seja, não pode ser representado como uma fração, onde estão inteiros, . Um número irracional pode ser representado como uma fração decimal não periódica infinita.

O conjunto de números irracionais é geralmente denotado por uma letra latina maiúscula em negrito, sem sombreamento. Assim: , ou seja existem muitos números irracionais diferença entre os conjuntos de números reais e racionais.

Sobre a existência de números irracionais, mais precisamente segmentos incomensuráveis ​​com um segmento de comprimento unitário já eram conhecidos dos antigos matemáticos: eles conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado do quadrado, o que equivale à irracionalidade do número.

Propriedades

• Qualquer número real pode ser escrito como uma fração decimal infinita, enquanto os números irracionais e somente eles são escritos como frações decimais infinitas não periódicas.
• Os números irracionais definem cortes de Dedekind no conjunto de números racionais que não possuem um número maior na classe inferior e não possuem um número menor na classe superior.
• Todo número transcendental real é irracional.
• Todo número irracional é algébrico ou transcendental.
• O conjunto dos números irracionais é denso em todos os lugares da reta numérica: entre quaisquer dois números existe um número irracional.
• A ordem no conjunto dos números irracionais é isomórfica à ordem no conjunto dos números transcendentais reais.
• O conjunto dos números irracionais é incontável e é um conjunto da segunda categoria.

Exemplos

Irracionais são:

Exemplos de prova de irracionalidade

Raiz de 2

Suponhamos o contrário: é racional, ou seja, é representado na forma de uma fração irredutível, onde é um número inteiro e é um número natural. Vamos elevar ao quadrado a suposta igualdade:

Segue-se que par é par e . Deixe estar onde está o todo. Então

Portanto, mesmo significa par e . Descobrimos que e são pares, o que contradiz a irredutibilidade da fração. Isso significa que a suposição original estava incorreta e é um número irracional.

Logaritmo binário do número 3

Suponhamos o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração, onde e são inteiros. Desde então, e pode ser escolhido como positivo. Então

Mas par e estranho. Temos uma contradição.

e

História

O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século 7 aC, quando Manava (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressas explicitamente .

A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hípaso de Metaponto (c. 500 a.C.), um pitagórico que encontrou esta prova estudando os comprimentos dos lados do pentagrama. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que existia uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que entrava em qualquer segmento um número inteiro de vezes. No entanto, Hípaso argumentou que não existe uma unidade única de comprimento, uma vez que a suposição de sua existência leva a uma contradição. Ele mostrou que se a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles contém um número inteiro de segmentos unitários, então esse número deve ser par e ímpar. A prova ficou assim:

• A razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto de um triângulo retângulo isósceles pode ser expressa como a:b, Onde a E b escolhido como o menor possível.
• De acordo com o teorema de Pitágoras: a² = 2 b².
• Porque a- até, a deve ser par (já que o quadrado de um número ímpar seria ímpar).
• Porque o a:b irredutível b deve ser estranho.
• Porque a mesmo, denotamos a = 2sim.
• Então a² = 4 sim² = 2 b².
• b² = 2 sim², portanto b- mesmo, então b até.
• No entanto, está provado que b chance. Contradição.

Os matemáticos gregos chamaram essa proporção de quantidades incomensuráveis logos(indizível), mas segundo as lendas eles não prestaram o devido respeito a Hípaso. Há uma lenda de que Hípaso fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos “por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções”. A descoberta de Hípaso representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que os números e os objetos geométricos eram um e inseparáveis.

Como já observamos, um dos problemas mais importantes na teoria dos polinômios é o problema de encontrar suas raízes. Para resolver este problema, você pode usar o método de seleção, ou seja, pegue um número aleatoriamente e verifique se ele é a raiz de um determinado polinômio.

Nesse caso, você pode “esbarrar” rapidamente na raiz ou nunca encontrá-la. Afinal, é impossível verificar todos os números, pois são infinitos.

Seria outra questão se conseguíssemos restringir a área de pesquisa, por exemplo, para saber que as raízes que procuramos estão, digamos, entre os trinta números especificados. E para trinta números você pode fazer uma verificação. Em conexão com tudo o que foi dito acima, esta afirmação parece importante e interessante.

Se a fração irredutível l/m (l,m são inteiros) é a raiz de um polinômio f (x) com coeficientes inteiros, então o coeficiente líder deste polinômio é dividido por m, e o termo livre é dividido por 1.

De fato, se f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, onde an, an-1,...,a1, a0 são inteiros, então f (l/ m) =0, ou seja, an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Vamos multiplicar ambos os lados desta igualdade por mn. Obtemos anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Isso implica:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Vemos que o inteiro anln é divisível por m. Mas l/m é uma fração irredutível, ou seja, os números l e m são coprimos e, então, como é conhecido pela teoria da divisibilidade dos inteiros, os números ln e m também são coprimos. Então, anln é divisível por m e m é primo de ln, o que significa que an é divisível por m.

O tópico comprovado nos permite restringir significativamente a área de busca por raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros. Vamos demonstrar isso com um exemplo específico. Vamos encontrar as raízes racionais do polinômio f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. De acordo com o teorema, as raízes racionais deste polinômio estão entre as frações irredutíveis da forma l/m, onde l é o divisor do termo livre a0=8, e m é o divisor do coeficiente líder a4=6. Além disso, se a fração l/m for negativa, o sinal “-” será atribuído ao numerador. Por exemplo, - (1/3) = (-1) /3. Portanto, podemos dizer que l é um divisor do número 8 e m é um divisor positivo do número 6.

Como os divisores do número 8 são ±1, ±2, ±4, ±8, e os divisores positivos do número 6 são 1, 2, 3, 6, então as raízes racionais do polinômio em questão estão entre os números ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Lembremos que escrevemos apenas frações irredutíveis.

Assim, temos vinte números - “candidatos” a raízes. Resta verificar cada um deles e selecionar aqueles que realmente são raízes. Mas, novamente, você terá que fazer muitas verificações. Mas o seguinte teorema simplifica este trabalho.

Se a fração irredutível l/m é a raiz de um polinômio f (x) com coeficientes inteiros, então f (k) é divisível por l-km para qualquer inteiro k, desde que l-km?0.

Para provar este teorema, divida f(x) por x-k com resto. Nós temos f (x) = (xk) é (x) +f (k). Como f (x) é um polinômio com coeficientes inteiros, o polinômio s (x) também o é e f (k) é um número inteiro. Seja s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Então f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b1x+b0). Coloquemos x=l/m nesta igualdade. Considerando que f (l/m) =0, obtemos

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Multiplicamos ambos os lados da última igualdade por mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Segue-se que o inteiro mnf (k) é divisível por l-km. Mas como l e m são coprimos, então mn e l-km também são coprimos, o que significa que f(k) é divisível por l-km. O teorema foi provado.

Voltemos agora ao nosso exemplo e, usando o teorema comprovado, estreitaremos ainda mais o círculo de busca por raízes racionais. Vamos aplicar este teorema para k=1 e k=-1, ou seja, se a fração irredutível l/m é a raiz do polinômio f (x), então f (1) / (l-m) e f (-1) / (l+m). Descobrimos facilmente que em nosso caso f (1) = -5 e f (-1) = -15. Observe que, ao mesmo tempo, excluímos ±1 da consideração.

Assim, as raízes racionais do nosso polinômio devem ser buscadas entre os números ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Considere l/m=1/2. Então l-m=-1 ef (1) =-5 é dividido por este número. Além disso, l+m=3 ef (1) =-15 também é divisível por 3. Isso significa que a fração 1/2 permanece entre os “candidatos” a raízes.

Deixe agora lm=- (1/2) = (-1) /2. Neste caso, l-m=-3 ef (1) =-5 não é divisível por - 3. Isso significa que a fração - 1/2 não pode ser a raiz deste polinômio e a excluímos de considerações posteriores. Vamos verificar cada uma das frações escritas acima e descobrir que as raízes necessárias estão entre os números 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Assim, usando uma técnica bastante simples, estreitamos significativamente a área de busca por raízes racionais do polinômio em consideração. Bem, para verificar os números restantes, usaremos o esquema de Horner:

Tabela 10

Descobrimos que o resto ao dividir g (x) por x-2/3 é igual a - 80/9, ou seja, 2/3 não é uma raiz do polinômio g (x) e, portanto, também não é f (x).

A seguir, descobrimos facilmente que - 2/3 é a raiz do polinômio g (x) e g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Então f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Verificação adicional pode ser realizada para o polinômio x2+2x-4, que, obviamente, é mais simples do que para g (x) ou ainda mais simples para f (x). Como resultado, descobrimos que os números 2 e -4 não são raízes.

Portanto, o polinômio f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 tem duas raízes racionais: 1/2 e - 2/3.

Lembre-se de que o método descrito acima permite encontrar apenas raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros. Enquanto isso, um polinômio também pode ter raízes irracionais. Assim, por exemplo, o polinômio considerado no exemplo tem mais duas raízes: - 1±v5 (estas são as raízes do polinômio x2+2x-4). E, de modo geral, um polinômio pode não ter raízes racionais.

Agora vamos dar algumas dicas.

Ao testar “candidatos” para as raízes do polinômio f(x) usando o segundo dos teoremas provados acima, este último é geralmente usado para casos k=±1. Em outras palavras, se l/m é uma raiz "candidata", então verifique se f (1) e f (-1) são divisíveis por l-m e l+m, respectivamente. Mas pode acontecer que, por exemplo, f (1) = 0, ou seja, 1 é uma raiz, e então f (1) é divisível por qualquer número, e nossa verificação perde o sentido. Neste caso, você deve dividir f(x) por x-1, ou seja, obtenha f(x) = (x-1)s(x) e teste o polinômio s(x). Ao mesmo tempo, não devemos esquecer que já encontramos uma raiz do polinômio f (x) - x1=1. Se, ao verificar os “candidatos” para raízes restantes após usar o segundo teorema das raízes racionais, usando o esquema de Horner, descobrirmos que, por exemplo, l/m é uma raiz, então sua multiplicidade deverá ser encontrada. Se for igual a, digamos, k, então f (x) = (x-l/m) ks (x), e testes adicionais podem ser feitos para s (x), o que reduz os cálculos.

Assim, aprendemos a encontrar raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros. Acontece que ao fazer isto aprendemos a determinar as raízes irracionais de um polinómio com coeficientes racionais. Na verdade, se tivermos, por exemplo, um polinômio f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, então, trazendo os coeficientes para um denominador comum e colocando-o fora dos colchetes, nós obtenha f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). É claro que as raízes do polinômio f(x) coincidem com as raízes do polinômio entre parênteses, e seus coeficientes são inteiros. Provemos, por exemplo, que sen100 é um número irracional. Vamos usar a conhecida fórmula sin3?=3sin?-4sin3?. Portanto, sin300 = 3sin100-4sin3100. Considerando que sen300=0,5 e realizando transformações simples, obtemos 8sen3100-6sen100+1=0. Portanto, sin100 é a raiz do polinômio f (x) =8x3-6x+1. Se procurarmos raízes racionais deste polinômio, estaremos convencidos de que não existem. Isto significa que a raiz sin100 não é um número racional, ou seja, sin100 é um número irracional.

Um polinômio na variável x é uma expressão da forma: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, onde n é um número natural; um, um-1, . . . , a 1, a 0 - quaisquer números chamados coeficientes deste polinômio. Expressões anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 são chamados de termos do polinômio e 0 é o termo livre. an é o coeficiente de xn, an-1 é o coeficiente de xn-1, etc. Um polinômio em que todos os coeficientes são iguais a zero é chamado de zero. por exemplo, o polinômio 0 x2+0 x+0 é zero. Pela notação de um polinômio fica claro que ele consiste em vários membros. É daí que vem o termo ‹‹polinômio›› (muitos termos). Às vezes, um polinômio é chamado de polinômio. Este termo vem das palavras gregas πολι – muitos e νομχ – membro.

Um polinômio em uma variável x é denotado: . f (x), g (x), h (x), etc. por exemplo, se o primeiro dos polinômios acima for denotado f (x), então podemos escrever: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. O polinômio h(x) é chamado de máximo divisor comum dos polinômios f(x) e g(x) se divide f(x), g (x) e cada um de seus divisores comuns. 2. Um polinômio f(x) com coeficientes do corpo P de grau n é considerado redutível sobre o corpo P se existirem polinômios h(x), g(x) О P[x] de grau menor que n tal que f(x) = h( x)g(x).

Se houver um polinômio f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 e an≠ 0, então o número n é chamado de grau do polinômio f (x) (ou dizem: f (x) - enésimo grau) e escrevemos arte. f(x)=n. Neste caso, an é chamado de coeficiente líder e anxn é o termo líder deste polinômio. Por exemplo, se f (x) =5 x 4 -2 x+3, então art. f (x) =4, coeficiente líder - 5, termo líder - 5 x4. O grau de um polinômio é o maior número diferente de zero de seus coeficientes. Polinômios de grau zero são números diferentes de zero. , o polinômio zero não tem grau; o polinômio f (x) =a, onde a é um número diferente de zero e tem grau 0; o grau de qualquer outro polinômio é igual ao maior expoente da variável x, cujo coeficiente é igual a zero.

Igualdade de polinômios. Dois polinômios f (x) e g (x) são considerados iguais se seus coeficientes para as mesmas potências da variável x e os termos livres forem iguais (seus coeficientes correspondentes são iguais). f (x) =g (x). Por exemplo, os polinômios f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 e g(x) =2 x 23 x+1 não são iguais, o primeiro deles tem um coeficiente de x3 igual a 1, e o segundo tem zero (de acordo com as convenções aceitas, podemos escrever: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. Neste caso: f (x) ≠g (x). Os polinômios não são iguais: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, pois seus coeficientes para x são diferentes.

Mas os polinômios f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 e g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 são iguais se e somente se a = 3, a b = -2. Seja dado o polinômio f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 e algum número c. Número f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 é chamado de valor do polinômio f (x) em x=c. Assim, para encontrar f (c), é necessário substituir c no polinômio em vez de x e realizar os cálculos necessários. Por exemplo, se f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, então f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Um polinômio pode assumir valores diferentes para valores diferentes da variável x. O número c é chamado de raiz do polinômio f (x) se f (c) =0.

Prestemos atenção na diferença entre duas afirmações: “o polinômio f (x) é igual a zero (ou, o que dá no mesmo, o polinômio f (x) é zero)” e “o valor do polinômio f (x) ) em x = c é igual a zero.” Por exemplo, o polinômio f (x) =x 2 -1 não é igual a zero, tem coeficientes diferentes de zero e seu valor em x=1 é zero. f (x) ≠ 0 e f (1) =0. Existe uma estreita relação entre os conceitos de igualdade de polinômios e o valor de um polinômio. Se dois polinômios iguais f (x) e g (x) forem dados, então seus coeficientes correspondentes são iguais, o que significa f (c) = g (c) para cada número c.

Operações com polinômios Polinômios podem ser somados, subtraídos e multiplicados usando as regras usuais para abrir parênteses e trazer termos semelhantes. O resultado é novamente um polinômio. Essas operações têm propriedades conhecidas: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Sejam dados dois polinômios f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 e g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. É claro que o art. f(x)=n, e art. g(x)=m. Se multiplicarmos esses dois polinômios, obteremos um polinômio da forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Como an≠ 0 e bn≠ 0, então anbm≠ 0, o que significa st. (f(x)g(x))=m+n. Uma declaração importante segue disso.

O grau do produto de dois polinômios diferentes de zero é igual à soma dos graus dos fatores, art. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). O termo principal (coeficiente) do produto de dois polinômios diferentes de zero é igual ao produto dos termos principais (coeficientes) dos fatores. O termo livre do produto de dois polinômios é igual ao produto dos termos livres dos fatores. As potências dos polinômios f(x), g(x) e f(x) ±g(x) estão relacionadas pela seguinte relação: art. (f (x) ±g (x)) ≤ máx (st. f (x), st. g (x)).

A superposição dos polinômios f (x) e g (x) é chamada. um polinômio denotado f (g (x)), que é obtido se no polinômio f (x) substituirmos o polinômio g (x) em vez de x. Por exemplo, se f(x)=x 2+2 x-1 e g(x) =2 x+3, então f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) +3=2x2+4x+1. Pode-se observar que f (g (x)) ≠g (f (x)), ou seja, a superposição dos polinômios f (x), g (x) e a superposição dos polinômios g (x), f ( x) são diferentes. Assim, a operação de superposição não possui a propriedade comutativa.

, Algoritmo de divisão com resto Para qualquer f(x), g(x), existem q(x) (quociente) e r(x) (resto) tais que f(x)=g(x)q(x)+ r(x) e o grau r(x)

Divisores de um polinômio O divisor de um polinômio f(x) é um polinômio g(x), tal que f(x)=g(x)q(x). O máximo divisor comum de dois polinômios O máximo divisor comum dos polinômios f(x) e g(x) é seu divisor comum d(x) que é divisível por qualquer um de seus outros divisores comuns.

Algoritmo euclidiano (algoritmo de divisão sequencial) para encontrar o máximo divisor comum dos polinômios f(x) e g(x) Então é o máximo divisor comum de f(x) e g(x).

Reduza a fração Solução: Encontre o mdc desses polinômios usando o algoritmo euclidiano 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Portanto, o polinômio (– x2 – 3 x – 2) é o mdc do numerador e denominador de uma determinada fração. O resultado da divisão do denominador por este polinômio é conhecido.

Vamos encontrar o resultado da divisão do numerador. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Assim, responda:

Esquema de Horner Dividir um polinômio f(x) com resto por um polinômio diferente de zero g(x) significa representar f(x) na forma f(x)=g(x) s(x)+r(x), onde s (x) e r(x) são polinômios e r(x)=0 ou st. r(x)

Os polinômios nos lados esquerdo e direito desta relação são iguais, o que significa que seus coeficientes correspondentes são iguais. Vamos igualá-los abrindo primeiro os colchetes e trazendo termos semelhantes do lado direito dessa igualdade. Obtemos: uma= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Lembre-se de que precisamos encontrar o quociente incompleto, ou seja, seus coeficientes e o restante. Vamos expressá-los a partir das igualdades obtidas: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Encontramos fórmulas que podem ser usadas para calcular os coeficientes do quociente parcial s (x) e o resto r. Neste caso, os cálculos são apresentados na forma da tabela a seguir; é chamado de esquema Horner.

Tabela 1. Coeficientes f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coeficientes s (x) resto Na primeira linha desta tabela, escreva todos os coeficientes do polinômio f (x) seguidos, deixando a primeira célula livre. Na segunda linha, na primeira célula, escreva o número c. As demais células desta linha são preenchidas calculando um a um os coeficientes do quociente incompleto s (x) e o restante r. Na segunda célula, escreva o coeficiente bn-1, que, como estabelecemos, é igual a an.

Os coeficientes em cada célula subsequente são calculados de acordo com a seguinte regra: o número c é multiplicado pelo número da célula anterior e o número acima da célula preenchida é adicionado ao resultado. Para lembrar, digamos, a quinta célula, ou seja, para encontrar o coeficiente nela, você precisa multiplicar c pelo número da quarta célula e adicionar o número acima da quinta célula ao resultado. Vamos dividir, por exemplo, o polinômio f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 por x-2 com resto, usando o esquema de Horner. Ao preencher a primeira linha deste diagrama, não devemos esquecer os coeficientes zero do polinômio. Portanto, os coeficientes f (x) são os números 3, 0, - 5, 3, - 1. E você também deve lembrar que o grau de um quociente incompleto é um a menos que o grau do polinômio f (x).

Assim, realizamos a divisão conforme o esquema de Horner: Tabela 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Obtemos o quociente parcial s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 e o restante r=33. Observe que ao mesmo tempo calculamos o valor do polinômio f (2) =33. Vamos agora dividir o mesmo polinômio f (x) por x+2 com resto. Neste caso c=-2. obtemos: Tabela 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Como resultado, temos f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Raízes de polinômios Sejam c1, c2,…, cm raízes diferentes do polinômio f (x). Então f (x) é dividido por x-c1, ou seja, f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Vamos colocar x=c2 nesta igualdade. Obtemos f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) e, então f (c 2) =0, então (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Mas с2≠с1, ou seja, с2 -с1≠ 0, o que significa s 1 (c 2) =0. Assim, c2 é a raiz do polinômio s 1 (x). Segue-se que s 1 (x) é divisível por x-c2, ou seja, s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Vamos substituir a expressão resultante por s 1 (x) na igualdade f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Temos f (x) = (xc 1) (xc 2) s 2 (x). Colocando x=c3 na última igualdade, levando em consideração o fato de que f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, obtemos que c3 é a raiz do polinômio s 2 (x). Isso significa s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), e então f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), etc. raízes restantes c4, c5, ..., cm, finalmente obtemos f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), ou seja, a afirmação formulada abaixo é comprovada.

Se с1, с2,…, сm são raízes diferentes do polinômio f (x), então f (x) pode ser representado como f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). Disto se segue um importante corolário. Se c1, c2, ..., cm são raízes diferentes do polinômio f(x), então f(x) é dividido pelo polinômio (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). O número de raízes diferentes de um polinômio diferente de zero f (x) não é maior que seu grau. Na verdade, se f(x) não tem raízes, então é claro que o teorema é verdadeiro, porque o Art. f(x) ≥ 0. Agora deixe f(x) ter m raízes с1, с2,…, сm, e todas elas são diferentes. Então, pelo que acabamos de provar, f(x) é dividido em (x-c1)(x -c2)…(x-cm). Neste caso, o art. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= ponto. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, ou seja, art. f(x)≥m, e m é o número de raízes do polinômio em questão. Mas o polinômio zero tem infinitas raízes, porque seu valor para qualquer x é igual a 0. Em particular, por esta razão não é prescrito nenhum grau específico. A seguinte afirmação segue do teorema que acabamos de provar.

Se um polinômio f(x) não é um polinômio de grau maior que n e tem mais de n raízes, então f(x) é um polinômio zero. Na verdade, das condições desta afirmação segue-se que ou f(x) é um polinômio zero, ou art. f(x) ≤n. Se assumirmos que o polinômio f (x) não é zero, então o Art. f (x) ≤n, e então f (x) tem no máximo n raízes. Chegamos a uma contradição. Isso significa que f(x) é um polinômio diferente de zero. Sejam f (x) e g (x) polinômios diferentes de zero de grau no máximo n. Se esses polinômios assumirem os mesmos valores para n+1 valores da variável x, então f (x) =g (x).

Para provar isso, considere o polinômio h (x) =f (x) - g (x). É claro que h (x) =0 ou st. h (x) ≤n, ou seja, h (x) não é um polinômio de grau maior que n. Agora seja o número c tal que f (c) = g (c). Então h (c) = f (c) - g (c) = 0, ou seja, c é a raiz do polinômio h (x). Portanto, o polinômio h (x) tem n+1 raízes, e quando, como acabamos de provar, h (x) =0, ou seja, f (x) =g (x). Se f (x) e g (x) assumem os mesmos valores para todos os valores da variável x, então esses polinômios são iguais

Raízes múltiplas de um polinômio Se um número c é uma raiz de um polinômio f (x), este polinômio é conhecido por ser divisível por x-c. Pode acontecer que f (x) também seja divisível por alguma potência do polinômio x-c, ou seja, por (x-c) k, k>1. Neste caso, c é chamado de raiz múltipla. Vamos formular a definição com mais clareza. Um número c é chamado de raiz da multiplicidade k (raiz k vezes maior) de um polinômio f (x) se o polinômio for divisível por (x - c) k, k>1 (k é um número natural), mas não divisível por (x - c) k+ 1. Se k=1, então c é chamado de raiz simples, e se k>1, então é chamado de raiz múltipla do polinômio f (x).

Se o polinômio f(x) for representado como f(x)=(x-c)mg(x), m é um número natural, então é divisível por (x-c) m+1 se e somente se g(x) for divisível em x-s. Na verdade, se g(x) é divisível por x-c, ou seja, g(x)=(x-c)s(x), então f(x)=(x-c) m+1 s(x), e isso significa f(x ) é divisível por (xc) m+1. Por outro lado, se f(x) é divisível por (x-c) m+1, então f(x)=(x-c) m+1 s(x). Então (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) e após a redução em (x-c)m obtemos g(x)=(x-c)s(x). Segue-se que g(x) é divisível por x-c.

Vamos descobrir, por exemplo, se o número 2 é a raiz do polinômio f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 e, em caso afirmativo, encontrar sua multiplicidade. Para responder à primeira pergunta, vamos verificar, usando o circuito de Horner, se f(x) é divisível por x-2. temos: Tabela 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Como você pode ver, o resto ao dividir f(x) por x-2 é igual a 0, ou seja, é dividido por x-2. Isso significa que 2 é a raiz deste polinômio. Além disso, obtivemos que f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Agora vamos descobrir se f(x) está em (x-2) 2. Isso depende, como acabamos de provar, da divisibilidade do polinômio g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 por x-2.

Vamos usar o esquema de Horner novamente: Tabela 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Descobrimos que g(x) é divisível por x-2 e g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Então f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Então f(x) é divisível por (x-2)2, agora precisamos descobrir se f(x) é divisível por (x-2)3. Para fazer isso, vamos verificar se h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 é divisível por x-2: Tabela 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Descobrimos que h(x ) é divisível por x-2, o que significa que f(x) é dividido por (x-2) 3, e f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

A seguir, verificamos de forma semelhante se f(x) é divisível por (x-2)4, ou seja, se s(x)=x 2+x-3 é divisível por x-2: Tabela 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Descobrimos que o resto ao dividir s(x) por x-2 é igual a 3, ou seja, s(x) não é divisível por x-2. Isso significa que f(x) não é divisível por (x-2) 4. Assim, f(x) é divisível por (x-2)3, mas não é divisível por (x-2)4. Portanto, o número 2 é raiz da multiplicidade 3 do polinômio f(x).

Normalmente, a verificação da multiplicidade da raiz é realizada em uma tabela. Para este exemplo, esta tabela se parece com isto: Tabela 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Em outras palavras, de acordo com o esquema de divisão de Horner do polinômio f (x) por x-2, na segunda linha obtemos os coeficientes do polinômio g (x). Então consideramos esta segunda linha como a primeira linha do novo sistema de Horner e dividimos g(x) por x-2, etc. Continuamos os cálculos até obtermos um resto diferente de zero. Neste caso, a multiplicidade da raiz é igual ao número de zero resíduos obtidos. A linha que contém o último resto diferente de zero também contém os coeficientes do quociente ao dividir f (x) por (x-2) 3.

Agora, usando o esquema proposto para verificar a multiplicidade da raiz, resolveremos o seguinte problema. Para que aeb o polinômio f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 tem o número - 2 como raiz de múltiplo de 2? Como a multiplicidade da raiz - 2 deve ser igual a 2, então, ao dividir por x+2 de acordo com o esquema proposto, devemos obter um resto 0 duas vezes, e na terceira vez - um resto diferente de zero. Temos: Tabela 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Assim, o número - 2 é uma raiz da multiplicidade 2 do polinômio original se e somente se

Raízes racionais de um polinômio Se a fração irredutível l/m (l, m são inteiros) é a raiz de um polinômio f (x) com coeficientes inteiros, então o coeficiente líder deste polinômio é dividido por m, e o termo livre é dividido por 1. Na verdade, se f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, onde an, an-1, . . . , a 1, a 0 são inteiros, então f(l/m) =0, ou seja, an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Vamos multiplicar ambos os lados desta igualdade por mn. Obtemos anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Isso implica anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vemos que o inteiro anln é divisível por m. Mas l/m é uma fração irredutível, ou seja, os números l e m são coprimos e, então, como é conhecido pela teoria da divisibilidade dos inteiros, os números ln e m também são coprimos. Então, anln é divisível por m e m é primo de ln, o que significa que an é divisível por m. Vamos encontrar as raízes racionais do polinômio f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. De acordo com o teorema, as raízes racionais deste polinômio estão entre as frações irredutíveis da forma l/m, onde l é o divisor do termo livre a 0=8, e m é o divisor do coeficiente líder a 4=6 . Além disso, se a fração l/m for negativa, o sinal “-” será atribuído ao numerador. Por exemplo, - (1/3) = (-1) /3. Portanto, podemos dizer que l é um divisor do número 8 e m é um divisor positivo do número 6.

Como os divisores do número 8 são ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, e os divisores positivos do número 6 são 1, 2, 3, 6, então as raízes racionais do polinômio em questão estão entre os números ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Lembremos que escrevemos apenas frações irredutíveis. Assim, temos vinte números - “candidatos” a raízes. Resta verificar cada um deles e selecionar aqueles que realmente são raízes. o seguinte teorema simplifica este trabalho. Se a fração irredutível l/m é a raiz de um polinômio f (x) com coeficientes inteiros, então f (k) é divisível por l-km para qualquer inteiro k, desde que l-km≠ 0.

Para provar este teorema, divida f(x) por xk com resto. Obtemos f(x)=(xk)s(x)+f(k). Como f(x) é um polinômio com coeficientes inteiros, o polinômio s(x) também o é, e f(k) é um número inteiro. Seja s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Então f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Vamos colocar 1 x=l/m nesta igualdade. Considerando que f(l/m)=0, obtemos f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Vamos multiplicar ambos os lados da última igualdade por mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Segue-se que o inteiro mnf (k) é divisível por l-km. Mas como l e m são coprimos, então mn e l-km também são coprimos, o que significa que f(k) é divisível por l-km. O teorema foi provado.

Voltemos ao nosso exemplo e, usando o teorema comprovado, estreitaremos ainda mais o círculo de busca por raízes racionais. Vamos aplicar este teorema para k=1 e k=-1, ou seja, se a fração irredutível l/m é a raiz do polinômio f(x), então f(1)/(l-m) e f(-1) /(eu +m). Descobrimos facilmente que em nosso caso f(1)=-5 e f(-1)= -15. Observe que, ao mesmo tempo, excluímos da consideração ± 1. Portanto, as raízes racionais do nosso polinômio devem ser buscadas entre os números ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Considere l/m=1/2. Então l-m=-1 ef (1) =-5 é dividido por este número. Além disso, l+m=3 ef (1) =-15 também é divisível por 3. Isso significa que a fração 1/2 permanece entre os “candidatos” a raízes.

Deixe agora lm=-(1/2)=(-1)/2. Neste caso, l-m=-3 e f (1) =-5 não é divisível por - 3. Isso significa que a fração -1/2 não pode ser a raiz deste polinômio e a excluímos de considerações posteriores. Vamos verificar cada uma das frações escritas acima e descobrir que as raízes necessárias estão entre os números 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Assim, usando uma técnica bastante simples, estreitamos significativamente a área de busca por racional raízes do polinômio em questão. Bem, para verificar os números restantes, usaremos o esquema de Horner: Tabela 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vemos que 1/2 é a raiz do polinômio f(x) e f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3x3+8x2-8x-8). É claro que todas as outras raízes do polinômio f (x) coincidem com as raízes do polinômio g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, o que significa que uma verificação adicional de “candidatos” para raízes pode ser realizado para este polinômio. Encontramos: Tabela 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Descobrimos que o resto ao dividir g(x) por x-2/3 é igual a - 80/9, ou seja, 2/3 não é uma raiz do polinômio g(x) e, portanto, também não é f(x). A seguir descobrimos que - 2/3 é a raiz do polinômio g(x) e g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Então f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Verificação adicional pode ser realizada para o polinômio x 2+2 x-4, o que, claro, é mais simples do que para g (x) ou, ainda mais, para f (x). Como resultado, descobrimos que os números 2 e -4 não são raízes. Portanto, o polinômio f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 tem duas raízes racionais: 1/2 e - 2/3. Este método permite encontrar apenas raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros. Enquanto isso, um polinômio também pode ter raízes irracionais. Assim, por exemplo, o polinômio considerado no exemplo tem mais duas raízes: - 1±√ 5 (estas são as raízes do polinômio x2+2 x-4). um polinômio pode não ter raízes racionais.

Ao testar raízes “candidatas” do polinômio f(x) usando o segundo dos teoremas provados acima, o último é geralmente usado para casos k = ± 1. Em outras palavras, se l/m é uma raiz “candidata”, então verifique se f (1) e f (-1) por l-m e l+m, respectivamente. Mas pode acontecer que, por exemplo, f(1) =0, ou seja, 1 é uma raiz, e então f(1) é divisível por qualquer número, e a nossa verificação perde o sentido. Neste caso, você deve dividir f(x) por x-1, ou seja, obter f(x)=(x-1)s(x), e testar o polinômio s(x). Ao mesmo tempo, não devemos esquecer que já encontramos uma raiz do polinômio f(x)-x 1=1. Se verificarmos os “candidatos” para raízes restantes após usar o segundo teorema sobre raízes racionais, usando o esquema de Horner, descobrimos que, por exemplo, l/m é uma raiz, então sua multiplicidade deverá ser encontrada. Se for igual a, digamos, k, então f(x)=(x-l/m) ks (x), e testes adicionais podem ser feitos em s(x), o que reduz o cálculo.

Solução. Tendo substituído a variável y=2 x, passamos para um polinômio com coeficiente igual a um no grau mais alto. Para fazer isso, primeiro multiplique a expressão por 4. Se a função resultante tiver raízes inteiras, elas estarão entre os divisores do termo livre. Vamos anotá-los: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Vamos calcular sequencialmente os valores da função g(y) nesses pontos até chegarmos a zero. Ou seja, y=-5 é uma raiz e, portanto, é a raiz da função original. Vamos dividir o polinômio por um binômio usando uma coluna (canto)

Não é aconselhável continuar verificando os divisores restantes, pois é mais fácil fatorar o trinômio quadrático resultante. Portanto,

Usando fórmulas de multiplicação abreviadas e binômio de Newton para fatorar um polinômio Às vezes, a aparência de um polinômio sugere uma maneira de fatorá-lo. Por exemplo, após transformações simples, os coeficientes são alinhados numa linha do triângulo de Pascal para os coeficientes do binômio de Newton. Exemplo. Fatore o polinômio.

Solução. Vamos transformar a expressão na forma: A sequência de coeficientes da soma entre colchetes indica claramente que isso é Portanto, agora aplicamos a fórmula da diferença de quadrados: A expressão no segundo colchete não tem raízes reais, e para o polinômio do primeiro colchete, aplicamos mais uma vez a fórmula da diferença de quadrados

Fórmulas Vieta que expressam os coeficientes de um polinômio através de suas raízes. Essas fórmulas são convenientes para verificar a exatidão de encontrar as raízes de um polinômio, bem como para compor um polinômio com base em suas raízes fornecidas. Formulação Se são as raízes de um polinômio, então os coeficientes são expressos na forma de polinômios simétricos das raízes, a saber

Em outras palavras, ak é igual à soma de todos os produtos possíveis de k raízes. Se o coeficiente principal for um polinômio, então para aplicar a fórmula Vieta é necessário primeiro dividir todos os coeficientes por 0. Nesse caso, as fórmulas Vieta fornecem uma expressão para a razão de todos os coeficientes em relação ao principal. Da última fórmula de Vieta segue-se que se as raízes de um polinômio são inteiras, então são divisores de seu termo livre, que também é inteiro. A prova é realizada considerando a igualdade obtida pela expansão do polinômio por raízes, levando em consideração que a 0 = 1 Igualando os coeficientes nas mesmas potências de x, obtemos as fórmulas de Vieta.

Resolva a equação x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Solução. Denotemos y = x 3, então a equação original assume a forma y 2 – 5 y + 4 = 0, resolvendo o que obtemos Y 1 = 1; Y 2 = 4. Assim, a equação original é equivalente a um conjunto de equações: x 3 = 1 ou x 3 = 4, ou seja, X 1 = 1 ou X 2 = Resposta: 1;

Definição do Teorema de Bezout 1. Um elemento é chamado raiz de um polinômio se f(c)=0. Teorema de Bezout. O restante da divisão do polinômio Pn(x) pelo binômio (x-a) é igual ao valor deste polinômio em x = a. Prova. Em virtude do algoritmo de divisão, f(x)=(xc)q(x)+r(x), onde r(x)=0, ou, e portanto. Então f(x)=(x-c)q(x)+r, portanto f(c)=(c-c)q(c)+r=r, e portanto f(x)=(xc)q(x) +f (c).

Corolário 1: O resto da divisão do polinômio Pn (x) pelo binômio ax+b é igual ao valor deste polinômio em x = -b/a, ou seja, R=Pn (-b/a). Corolário 2: Se o número a é a raiz do polinômio P (x), então este polinômio é divisível por (x-a) sem resto. Corolário 3: Se o polinômio P(x) tem raízes distintas aos pares a 1 , a 2 , ... , an, então ele é dividido pelo produto (x-a 1) ... (x-an) sem resto. Corolário 4: Um polinômio de grau n possui no máximo n raízes diferentes. Corolário 5: Para qualquer polinômio P(x) e número a, a diferença (P(x)-P(a)) é divisível pelo binômio (x-a) sem resto. Corolário 6: Um número a é uma raiz de um polinômio P(x) de grau pelo menos primeiro se e somente se P(x) for divisível por (x-a) sem resto.

Decomposição de uma fração racional em frações simples Mostremos que qualquer fração racional própria pode ser decomposta em uma soma de frações simples. Seja dada uma fração racional adequada (1).

Teorema 1. Seja x=a a raiz do denominador da brevidade k, ou seja, onde f(a)≠ 0, então esta fração própria pode ser representada como a soma de duas outras frações próprias como segue: (2), onde A é uma constante diferente de zero e F 1(x) é um polinômio cujo grau é menor que o grau do denominador